Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом
Построена длинноволновая нелинейно-дисперсионная модель, описывающая распространение изгибно-гравитационных волн в упругой пластине, плавающей на поверхности жидкости переменной глубины. Модель учитывает эффекты нелинейной дисперсии жидкости, а также инерцию, упругость и геометрически нелинейный про...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5190 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом / В.A. Ткаченко, В.В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 55-64 — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5190 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ткаченко, В.А. Яковлев, В.В. 2010-01-12T16:40:46Z 2010-01-12T16:40:46Z 1999 Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом / В.A. Ткаченко, В.В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 55-64 — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5190 533.6.013.42 Построена длинноволновая нелинейно-дисперсионная модель, описывающая распространение изгибно-гравитационных волн в упругой пластине, плавающей на поверхности жидкости переменной глубины. Модель учитывает эффекты нелинейной дисперсии жидкости, а также инерцию, упругость и геометрически нелинейный прогиб пластины. Исходя из полученных уравнений, построена иерархическая последовательность более простых моделей, обобщающих известные из теории поверхностных волн уравнения Перегрина, Буссинеска и Кортевeга-де Вриза на случай изгибно-гравитационных волн. В частном случае обобщенного уравнения Кортевега-де-Вриза построены и проанализированы точные решения, описывающие распространение солитонов и кноидальных волн в море, покрытом сплошным или битым льдом. Показано, что изгибно-гравитационные волны обладают некоторыми зеркальными свойствами по сравнению с длинными нелинейными волнами на воде. Относительно солитона это означает, что без изменения формы распространяется впадина, а не горб, как в случае чистой воды, и скорость ее распространения с ростом амплитуды уменьшается, а не увеличивается. Кроме того, характеристики изгибно-гравитационных волн определяются амплитудой и дисперсией изгибной жесткости пластины и не зависят от дисперсии воды и инерционных свойств ледяного покрова. Побудовано довгохвильову нелiнiйно-дисперсiйну модель, яка описує поширення згинно-гравiтацiйних хвиль в пружнiй пластинi, шо плаває на поверхнi рiдини змiнної глибини. Модель враховує ефекти нелiнiйної дисперсiї рiдини, а також iнерцiю, пружнiсть та геометрично нелiнiйний прогин пластини. Виходячи з одержаних рiвнянь, побудовано iєрархiчну послiдовнiсть бiльш простих моделей, що узагальнюють вiдомi з теорiї поверхневих хвиль рiвняння Перегрiна, Буссiнеска та Кортевега-де Врiза на випадок згинно-гравiтацiйних хвиль. В окремому випадку узагальнюючого рiвняння Кортевеге-де Врiза побудованi та проаналiзованi точнi розв'язки, що описують поширення солiтонiв та кноїдальних хвиль в морi, яке покрите суцiльним чи битим льодом. Показано, що згинно-гравiтацiйнi хвилi мають деякi зеркальнi властивостi порiвняно з довгими нелiнiйними хвилями на водi. Вiдносно солiтона це означає, що без змiни форми розповсюджується западина, а не горб, як у випадку чистої води, i швидкiсть її росповсюдження зi зростанням амплiтуди зменьшується, а не збiльшується. Крiм того, характеристики згинно-гравiтацiйних хвиль визначаються амплiтудой та дисперсiєй згинної жорсткостi пластини i не залежить вiд дисперсiї води та iнерцiйних властивостей крижаного покриву. The long-wave nonlinear-dispersion model,describing propagation of bending-gravitational waves in a elastic plate, floating on a surface of variable depth liquid is constracted. The model takes in to account effects of nonlinear dispersion and inertion, elasticity and geometrical nonlinear deflection of plates. On the basis of the general model the hierarchical sequence of more simple models is developed. This models generalize the known in the water wave theory the models of Peregreen, Boussinesq and Korteweg - de Vrise on the case of the flexural-gravitational waves. In particular case of generalized equation of Korteweg - de Vrise a exact solution has been obtained. This solution discribes the properties of solitons and cnoidal waves in the sea covered broken and unbroken ice. It is shown that the flexural-gravitational waves are over furned, in comparison with the long nonlinear water waves. With regard to the solitons it means, that without change of the form surface propagatio the trough, while in the water propagation the crest. The velocity propagation of flexural - gravitational waves with increase of amplitude decreases. Moreover the characteristics the flexural gravitational waves are determined by amplitude and dispersion of flexural rigidity of a plate and do not depend on water dispersion and inertial properties of ice cover. ru Інститут гідромеханіки НАН України Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом Nonlinear-dispersion models of the surface waves in sea coated by ice Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом |
| spellingShingle |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом Ткаченко, В.А. Яковлев, В.В. |
| title_short |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом |
| title_full |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом |
| title_fullStr |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом |
| title_full_unstemmed |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом |
| title_sort |
нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом |
| author |
Ткаченко, В.А. Яковлев, В.В. |
| author_facet |
Ткаченко, В.А. Яковлев, В.В. |
| publishDate |
1999 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Nonlinear-dispersion models of the surface waves in sea coated by ice |
| description |
Построена длинноволновая нелинейно-дисперсионная модель, описывающая распространение изгибно-гравитационных волн в упругой пластине, плавающей на поверхности жидкости переменной глубины. Модель учитывает эффекты нелинейной дисперсии жидкости, а также инерцию, упругость и геометрически нелинейный прогиб пластины. Исходя из полученных уравнений, построена иерархическая последовательность более простых моделей, обобщающих известные из теории поверхностных волн уравнения Перегрина, Буссинеска и Кортевeга-де Вриза на случай изгибно-гравитационных волн. В частном случае обобщенного уравнения Кортевега-де-Вриза построены и проанализированы точные решения, описывающие распространение солитонов и кноидальных волн в море, покрытом сплошным или битым льдом. Показано, что изгибно-гравитационные волны обладают некоторыми зеркальными свойствами по сравнению с длинными нелинейными волнами на воде. Относительно солитона это означает, что без изменения формы распространяется впадина, а не горб, как в случае чистой воды, и скорость ее распространения с ростом амплитуды уменьшается, а не увеличивается. Кроме того, характеристики изгибно-гравитационных волн определяются амплитудой и дисперсией изгибной жесткости пластины и не зависят от дисперсии воды и инерционных свойств ледяного покрова.
Побудовано довгохвильову нелiнiйно-дисперсiйну модель, яка описує поширення згинно-гравiтацiйних хвиль в пружнiй пластинi, шо плаває на поверхнi рiдини змiнної глибини. Модель враховує ефекти нелiнiйної дисперсiї рiдини, а також iнерцiю, пружнiсть та геометрично нелiнiйний прогин пластини. Виходячи з одержаних рiвнянь, побудовано iєрархiчну послiдовнiсть бiльш простих моделей, що узагальнюють вiдомi з теорiї поверхневих хвиль рiвняння Перегрiна, Буссiнеска та Кортевега-де Врiза на випадок згинно-гравiтацiйних хвиль. В окремому випадку узагальнюючого рiвняння Кортевеге-де Врiза побудованi та проаналiзованi точнi розв'язки, що описують поширення солiтонiв та кноїдальних хвиль в морi, яке покрите суцiльним чи битим льодом. Показано, що згинно-гравiтацiйнi хвилi мають деякi зеркальнi властивостi порiвняно з довгими нелiнiйними хвилями на водi. Вiдносно солiтона це означає, що без змiни форми розповсюджується западина, а не горб, як у випадку чистої води, i швидкiсть її росповсюдження зi зростанням амплiтуди зменьшується, а не збiльшується. Крiм того, характеристики згинно-гравiтацiйних хвиль визначаються амплiтудой та дисперсiєй згинної жорсткостi пластини i не залежить вiд дисперсiї води та iнерцiйних властивостей крижаного покриву.
The long-wave nonlinear-dispersion model,describing propagation of bending-gravitational waves in a elastic plate, floating on a surface of variable depth liquid is constracted. The model takes in to account effects of nonlinear dispersion and inertion, elasticity and geometrical nonlinear deflection of plates. On the basis of the general model the hierarchical sequence of more simple models is developed. This models generalize the known in the water wave theory the models of Peregreen, Boussinesq and Korteweg - de Vrise on the case of the flexural-gravitational waves. In particular case of generalized equation of Korteweg - de Vrise a exact solution has been obtained. This solution discribes the properties of solitons and cnoidal waves in the sea covered broken and unbroken ice. It is shown that the flexural-gravitational waves are over furned, in comparison with the long nonlinear water waves. With regard to the solitons it means, that without change of the form surface propagatio the trough, while in the water propagation the crest. The velocity propagation of flexural - gravitational waves with increase of amplitude decreases. Moreover the characteristics the flexural gravitational waves are determined by amplitude and dispersion of flexural rigidity of a plate and do not depend on water dispersion and inertial properties of ice cover.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5190 |
| citation_txt |
Нелинейно-дисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом / В.A. Ткаченко, В.В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 55-64 — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tkačenkova nelineinodispersionnaâmodelʹtransformaciipoverhnostnyhvolnvpribrežnoizonemorâpokrytoilʹdom AT âkovlevvv nelineinodispersionnaâmodelʹtransformaciipoverhnostnyhvolnvpribrežnoizonemorâpokrytoilʹdom AT tkačenkova nonlineardispersionmodelsofthesurfacewavesinseacoatedbyice AT âkovlevvv nonlineardispersionmodelsofthesurfacewavesinseacoatedbyice |
| first_indexed |
2025-11-26T05:51:25Z |
| last_indexed |
2025-11-26T05:51:25Z |
| _version_ |
1850614422400139264 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64��� 533.6.013.42���������-������������� ������������������� ������������� ����� ���������� ���� ����, ��������������. �. ��������, �. �. ��������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 11.08.98�®áâ஥ ¤«¨®¢®«®¢ ï ¥«¨¥©®-¤¨á¯¥àᨮ ï ¬®¤¥«ì, ®¯¨áë¢ îé ï à á¯à®áâà ¥¨¥ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨-®ëå ¢®« ¢ ã¯à㣮© ¯« á⨥, ¯« ¢ î饩 ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¯¥à¥¬¥®© £«ã¡¨ë. �®¤¥«ì ãç¨âë¢ ¥âíä䥪âë ¥«¨¥©®© ¤¨á¯¥àᨨ ¦¨¤ª®áâ¨, â ª¦¥ ¨¥àæ¨î, ã¯à㣮áâì ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥«¨¥©ë© ¯à®£¨¡ ¯« -áâ¨ë. �áå®¤ï ¨§ ¯®«ãç¥ëå ãà ¢¥¨©, ¯®áâ஥ ¨¥à àå¨ç¥áª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¡®«¥¥ ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥©,®¡®¡é îé¨å ¨§¢¥áâë¥ ¨§ ⥮ਨ ¯®¢¥àå®áâëå ¢®« ãà ¢¥¨ï �¥à¥£à¨ , �ãáᨥ᪠¨ �®à⥢e£ -¤¥ �ਧ á«ãç © ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®«. � ç á⮬ á«ãç ¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï �®à⥢¥£ -¤¥-�ਧ ¯®áâà®¥ë ¨¯à® «¨§¨à®¢ ë â®çë¥ à¥è¥¨ï, ®¯¨áë¢ î騥 à á¯à®áâà ¥¨¥ ᮫¨â®®¢ ¨ ª®¨¤ «ìëå ¢®« ¢ ¬®à¥, ¯®ªàë-⮬ ᯫ®èë¬ ¨«¨ ¡¨âë¬ «ì¤®¬. �®ª § ®, çâ® ¨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨®ë¥ ¢®«ë ®¡« ¤ î⥪®â®à묨 §¥àª «ì묨᢮©á⢠¬¨ ¯® áà ¢¥¨î á ¤«¨ë¬¨ ¥«¨¥©ë¬¨ ¢®« ¬¨ ¢®¤¥. �â®á¨â¥«ì® ᮫¨â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¡¥§¨§¬¥¥¨ï ä®à¬ë à á¯à®áâà ï¥âáï ¢¯ ¤¨ , ¥ £®à¡, ª ª ¢ á«ãç ¥ ç¨á⮩ ¢®¤ë, ¨ ᪮à®áâì ¥¥ à á¯à®áâà ¥¨ïá à®á⮬ ¬¯«¨âã¤ë 㬥ìè ¥âáï, ¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï. �஬¥ ⮣®, å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®«®¯à¥¤¥«ïîâáï ¬¯«¨â㤮© ¨ ¤¨á¯¥àᨥ© ¨§£¨¡®© ¦¥á⪮á⨠¯« áâ¨ë ¨ ¥ § ¢¨áï⠮⠤¨á¯¥àᨨ ¢®¤ë ¨ ¨¥àæ¨-®ëå ᢮©á⢠«¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ .�®¡ã¤®¢ ® ¤®¢£®å¢¨«ì®¢ã ¥«÷÷©®-¤¨á¯¥àá÷©ã ¬®¤¥«ì, ïª ®¯¨áãõ ¯®è¨à¥ï §£¨®-£à ¢÷â æ÷©¨å 墨«ì ¢ ¯àã¦-÷© ¯« áâ¨÷, è® ¯« ¢ õ ¯®¢¥àå÷ à÷¤¨¨ §¬÷®ù £«¨¡¨¨. �®¤¥«ì ¢à 客ãõ ¥ä¥ªâ¨ ¥«÷÷©®ù ¤¨á¯¥àá÷ù à÷¤¨¨, â ª®¦ ÷¥àæ÷î, ¯àã¦÷áâì â £¥®¬¥âà¨ç® ¥«÷÷©¨© ¯à®£¨ ¯« á⨨. �¨å®¤ïç¨ § ®¤¥à¦ ¨å à÷¢ïì, ¯®¡ã¤®¢ ®÷õà àå÷çã ¯®á«÷¤®¢÷áâì ¡÷«ìè ¯à®áâ¨å ¬®¤¥«¥©, é® ã§ £ «ìîîâì ¢÷¤®¬÷ § ⥮à÷ù ¯®¢¥à奢¨å 墨«ì à÷¢ïï �¥à¥-£à÷ , �ãáá÷¥áª â �®à⥢¥£ -¤¥ �à÷§ ¢¨¯ ¤®ª §£¨®-£à ¢÷â æ÷©¨å 墨«ì. � ®ªà¥¬®¬ã ¢¨¯ ¤ªã 㧠£ «ìîî-箣® à÷¢ïï �®à⥢¥£¥-¤¥ �à÷§ ¯®¡ã¤®¢ ÷ ⠯஠«÷§®¢ ÷ â®ç÷ ஧¢'離¨, é® ®¯¨áãîâì ¯®è¨à¥ï ᮫÷â®÷¢â ª®ù¤ «ì¨å 墨«ì ¢ ¬®à÷, 瘟 ¯®ªà¨â¥ áãæ÷«ì¨¬ ç¨ ¡¨â¨¬ «ì®¤®¬. �®ª § ®, é® §£¨®-£à ¢÷â æ÷©÷ 墨«÷ ¬ -îâì ¤¥ïª÷ §¥àª «ì÷ ¢« á⨢®áâ÷ ¯®à÷¢ï® § ¤®¢£¨¬¨ ¥«÷÷©¨¬¨ 墨«ï¬¨ ¢®¤÷. �÷¤®á® ᮫÷â® æ¥ ®§ ç õ, 鮡¥§ §¬÷¨ ä®à¬¨ ஧¯®¢áãõâìáï § ¯ ¤¨ , ¥ £®à¡, ïª ã ¢¨¯ ¤ªã ç¨áâ®ù ¢®¤¨, ÷ 袨¤ª÷áâì ùù à®á¯®¢á¥ï §÷§à®áâ ï¬ ¬¯«÷- â㤨 §¬¥ìèãõâìáï, ¥ §¡÷«ìèãõâìáï. �à÷¬ ⮣®, å à ªâ¥à¨á⨪¨ §£¨®-£à ¢÷â æ÷©¨å 墨«ì¢¨§ ç îâìáï ¬¯«÷â㤮© â ¤¨á¯¥àá÷õ© §£¨®ù ¦®àá⪮áâ÷ ¯« á⨨ ÷ ¥ § «¥¦¨âì ¢÷¤ ¤¨á¯¥àá÷ù ¢®¤¨ â ÷¥àæ÷©¨å¢« á⨢®á⥩ ªà¨¦ ®£® ¯®ªà¨¢ã.The long-wave nonlinear-dispersion model,describing propagation of bending-gravitational waves in a elastic plate,
oatingon a surface of variable depth liquid is constracted. The model takes in to account e�ects of nonlinear dispersion andinertion, elasticity and geometrical nonlinear de
ection of plates. On the basis of the general model the hierarchicalsequence of more simple models is developed. This models generalize the known in the water wave theory the modelsof Peregreen, Boussinesq and Korteweg - de Vrise on the case of the
exural-gravitational waves. In particular case ofgeneralized equation of Korteweg - de Vrise a exact solution has been obtained. This solution discribes the properties ofsolitons and cnoidal waves in the sea covered broken and unbroken ice. It is shown that the
exural-gravitational wavesare over furned, in comparison with the long nonlinear water waves. With regard to the solitons it means, that withoutchange of the form surface propagatio the trough, while in the water propagation the crest. The velocity propagation of
exural - gravitational waves with increase of amplitude decreases. Moreover the characteristics the
exural gravitationalwaves are determined by amplitude and dispersion of
exural rigidity of a plate and do not depend on water dispersionand inertial properties of ice cover.���������ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ âà áä®à¬ 樨 ¤«¨ëå ¯®-¢¥àå®áâëå £à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯¥-६¥®© £«ã¡¨ë è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¥«¨¥©-ë¥ ¨ ¥«¨¥©®-¤¨á¯¥àá¨®ë¥ ¬®¤¥«¨ [1]. �¡§®àíâ¨å ¬®¤¥«¥©, â ª¦¥ ¨å ¢§ ¨¬®á¢ï§ì ¨ ¨¥à àå¨-ç¥áª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ [2].�¥®à¨ï ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ª áâ®-ï饬㠢६¥¨ ¤®áâ â®ç® è¨à®ª® à §à ¡®â - ®á®¢¥ «¨¥©ëå ¬®¤¥«¥© [3-5]. �¥«¨¥©ë¬¨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨®ë¬ ¢®« ¬ ¯®á¢ïé¥ë «¨èì®â¤¥«ìë¥ à ¡®âë [6-11]. �¢ï§ ® íâ® ¯à¥¦¤¥
¢á¥£® á ⥬, çâ® á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï¢ § ¤ ç å ® ¥«¨¥©ëå ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ë墮« å £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠®áïâ ¡®«¥¥ á«®¦ë© å à ªâ¥à ¯® áà ¢¥-¨î á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¤«ï «¨¥©ë娧£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¨ ¥«¨¥©ëå £à -¢¨â 樮ëå ¢®«.�®¢¥àå®áâë¥ ¢®«ë ¢ ᯫ®èëå «ì¤ å ¯à¥¤-áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ª®¬¡¨ æ¨î ¨§£¨¡®© ¢®«ë ¢ «¥-¤ï®© ¯« á⨥ ¨ £à ¢¨â 樮®© ¢®«ë ¢ ¢®¤¥.�â ¤¢®©á⢥®áâì ¢®á¨â áãé¥áâ¢¥ë¥ ¨§¬¥¥-¨ï ¢ ¤¨á¯¥àá¨î ¢®«. �®«¥¡ ¨ï ⮣® ¨«¨ ¨®£®â¨¯ ¯à¥®¡« ¤ îâ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â á®®â®è¥¨ïc
�. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢, 1999 55
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64¬¥¦¤ã ᨫ ¬¨ â殮á⨠¨ ¦¥á⪮áâìî «¥¤ï®© ¯« -áâ¨ë. �¨«ë ¨¥à樨 ¬ ááë «ì¤ ¨ ᨫë ã¯à㣮-á⨠ãà ¢®¢¥è¨¢ îâ ¤ ¢«¥¨¥ ¢®« ¨ ®¯à¥¤¥«ïî⤨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« «¥¤{ ¢®¤ . � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¯à¨®¡à¥â ¥â ®ç¥ìá«®¦ë© ¢¨¤ ¨ ¤¥â «ì®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ 䨧¨ç¥-áª¨å § ª®®¬¥à®á⥩ à á¯à®áâà ¥¨ï íâ¨å ¢®«¢¥áì¬ § âà㤥®. � à ¡®â å [8, 9] ¯à¥¤áâ ¢«¥®®¡®¡é¥¨¥ ⥮ਨ ¥«¨¥©ëå ¢®« �⮪á á«ã-ç © ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¨ ¢ë¥ë ä¨-§¨ç¥áª¨¥ § ª®®¬¥à®á⨠à á¯à®áâà ¥¨ï íâ¨å¢®« ¢ á«ãç ¥ ª®¥ç®© ¨ ¡¥áª®¥ç®© £«ã¡¨ë¦¨¤ª®áâ¨. �¤ ª® ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥® ¥«¨¥©-ë¥ íä䥪âë ¢ ⥮ਨ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ë墮« ¯à®ï¢«ïîâáï ¢ á«ãç ¥ ¤«¨ëå ¢®«. �¥ª®â®-àë¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¨ à¥è¥¨ï ¤«ï ¤«¨-ëå ¥«¨¥©ëå ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®«¯à¨¢¥¤¥ë ¢ à ¡®â å [6, 7, 10, 11].� ¡¨âëå «ì¤ å à §¬¥àë «ì¤¨ áç¨â îâáï ¬ «ë-¬¨ ¯® áà ¢¥¨î á ¤«¨®© ¢®«ë, ¨ ¢¥à⨪ «ì-ë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯à®ä¨«î ¯®¢¥àå-®á⮩ ¢®«ë. �¤¥áì ¢®ááâ ¢«¨¢ î饩 á¨-«®©, ¯®à®¦¤ î饩 ª®«¥¡ ¨ï, ï¥âáï ᨫ â殮-áâ¨. �ਠà á¯à®áâà ¥¨¨ ¤«¨ëå ¯®¢¥àå®áâ-ëå £à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¢ ¡¨âëå «ì¤ å ¥ ¯®-ï¥âáï ¨ª ª¨å ®¢ëå ⨯®¢ ¢®« ¯® áà ¢¥¨îá ç¨á⮩ ¢®¤®©. �â®à¨çë¥ ¢®«ë, £¥¥à¨à㥬ë¥á¢®¡®¤ë¬¨ ª®«¥¡ ¨ï¬¨ ª ¦¤®© ®â¤¥«ì®© «ì¤¨-ë, ¬ «® ¢«¨ïîâ ®¡éãî ¢®«®¢ãî ª àâ¨ã. �®-í⮬㠡¨âë© «¥¤ ®¡ëç® ¬®¤¥«¨àã¥âáï ᮢ®ªã¯®-áâìî ¥á¢ï§ ëå ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¯« ¢ îé¨å ¬ áá,¨ ¥£® ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ¯« ¢ îéãî ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠⮪ãî ¥á¦¨¬ ¥¬ã¥ªã á ¯®¢¥àå®áâë¬ â殮¨¥¬, § ¢¨áï騬®â ᯫ®ç¥®á⨠¡¨â®£® «ì¤ [5].�¨¦¥ ¬ë ¯®áâந¬ ¨¥à àå¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ -⥫ì®áâì ¤«¨®¢®«®¢ë奫¨¥©®-¤¨á¯¥àᨮ-ëå ¬®¤¥«¥© âà áä®à¬ 樨 ¢®« ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯¥-६¥®© £«ã¡¨ë, ¯®ªàë⮩ ᯫ®èë¬ ¨«¨ ¡¨-âë¬ «ì¤®¬, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯¥à¥å®¤ï ®â ¯®«®©¯®áâ ®¢ª¨ § ¤ ç¨ ª® ¢á¥ ¡®«¥¥ ¯à®áâë¬ ¬®¤¥«ï¬.�«ï ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï �®à⥢¥£ -¤¥ �à¨-§ ¯®¤à®¡® ¨áá«¥¤ã¥¬ ¢«¨ï¨¥ à §«¨çëå ä ªâ®-஢ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª®¨¤ «ìëå ¨ 㥤¨¥ë墮«.1. ������� �������-�����������-��� ������ áᬮâਬ ¯®â¥æ¨ «ì®¥ ¢®«®¢®¥ ¤¢¨¦¥-¨¥ ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¯¥à¥¬¥®©£«ã¡¨ë d(x), ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì ª®â®à®© ¯®-
ªàëâ ã¯à㣮© ¯« á⨮©. �ãáâì ¯«®áª®áâì xOyᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¢®§¬ã饮© ¯®¢¥àå®áâìî ¦¨¤ª®-áâ¨, ®áì z ¯à ¢«¥ ¢¢¥àå. � í⮬ á«ãç ¥ ªà -¥¢ ï § ¤ ç ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨@u@t + @u2@x + @(uv)@y + @(uw)@z = � 1�2 @p@x; (1)@v@t + @(uv)@x + @v2@y + @(vw)@z = � 1�2 @p@y ; (2)@w@t + u@w@x + v@w@y + w@w@z = � 1�2 @p@z � g; (3)@u@x + @v@y + @w@z = 0 (4)á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨: ¤¥ z = �d w = �u@d@x � v @d@y (5)¨ ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯à㣮©¯« áâ¨ë á ãç¥â®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥«¨¥©®£®¯à®£¨¡ z = �z [12]w = @�z@t + u@�z@x + v@�z@y ; (6)p = Dr4�z + �1h1@2�z@t2 � h1L(�z;�); (7)r4� = EL(�z ; �z): (8)�¤¥áì u, v ¨ w { ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ᪮à®áâ¨;p - ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨; �2 - ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®-áâ¨; �1; h1; D;E { ᮮ⢥âá⢥® ¯«®â®áâì, ⮫-é¨ , 樫¨¤à¨ç¥áª ï ¦¥á⪮áâì ¨ ¬®¤ã«ì ã¯àã-£®á⨠¯« áâ¨ë; �z;�; �x; �y; � { ¯à®£¨¡, äãªæ¨ï ¯à殮¨© ¨ ª®¬¯®¥âë ⥧®à ¯à殮¨© ¢á।¨®© ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨ë ᮮ⢥âá⢥®:@2�@x2 = �y; @2�@y2 = �x; @2�@x@y = ��;L(�z ;�) = @2�z@x2 @2�@y2 + @2�z@y2 @2�@x2 � 2 @2�z@x@y @2�@x@y ;L(�z ; �z) = � @2�z@x@y�2 � @2�z@x2 @2�z@y2 :56 �. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64�¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票¥:f = 1hZ �z�d fdz; h = d+ �z¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ãà ¢¥¨ï (1), (2) ¨ (4) ¯® £«ã-¡¨¥ ®â �d ¤® �z. �®£¤ á ãç¥â®¬ £à ¨çëå ãá«®-¢¨© (5) - (7) ¯®«ã稬@(hu)@t + @(hu2)@x + @(huv)@y + 1�2 @(hp)@x == 1�2 h@�z@x p(�z) + p(�d) @d@x i; (9)@(hv)@t + @(huv)@x + @(hv2)@y + 1�2 @(hp)@y == 1�2 h@�z@y p(�z) + p(�d)@d@y i; (10)@(hu)@x + @(hv)@y + @�z@t = 0: (11)�«¥¤ãï à ¡®â¥ [13], ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ®âª«®¥-¨¥¬ £®à¨§®â «ìëå ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à ᪮à®-á⨠¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯®â®ª ®â ª®¬¯®¥â á।¥©¯® £«ã¡¨¥ ᪮à®á⨠¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì, â.¥. ¯®-«®¦¨âì u ' u; v ' v; u2 ' u2; v2 ' v2; uv ' uv:�ந⥣à¨à㥬 ⥯¥àì ãà ¢¥¨¥ (4) ¯® z ¢ ¯à¥-¤¥« å ®â �d ¤® z:w = �(z + d)�@u@x + @v@y�+ f(x; y): (12)� ¢ëà ¦¥¨¨ (12) äãªæ¨î f(x; y) ¢ë¡¥à¥¬ â -ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë 㤮¢«¥â¢®à¨âì £à ¨çë¬ãá«®¢¨ï¬ ¤¥ (5) ¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨à §¤¥« (6). �ª®ç â¥«ì® ¯®«ã稬:w = � @@x [(z + d)u]� @@y [(z + d)v]: (13)�§ ãà ¢¥¨ï (3) á«¥¤ã¥â, çâ®p(z) = ��2 Z (g + dwdt )dz +C: (14)�¯à¥¤¥«ïï ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (14) á ãç¥â®¬ (13)§ 票ï p(�d) ¨ p ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¨å ¢ (9), (10),¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï ¤«¨®¢®«®¢®£® ¥«¨¥©®-¤¨á¯¥àᨮ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï, ®¯¨áë¢ î騥 à á-¯à®áâà ¥¨¥ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¢ã¯à㣮© ¯« á⨥ ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¯¥à¥-¬¥®© £«ã¡¨ë á ãç¥â®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥«¨¥©-®£® ¯à®£¨¡ ¯« áâ¨ë:@�z@t +r � (hu) = 0; (15)
dudt + �hR2 + Q�rd� 1hr�h3R3 + h2Q2 �+ (16)+r�g�z + D�2r4�z + �1h1�2 @2�z@t2 � h1�2 L(�z;�)� = 0;r4� = EL(�z; �z); (17)£¤¥ u = u(u; v); r = i @@x + j @@y ;R =r � u+ u�[r(r�u)]� (r � u)2;Q = @u@t �rd+ u � [r (u �rd)]:2. ������������� �������������-����� ������� ������� ������� -�������������� ����.���������� ������ �������� áᬮâਬ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá ¨§£¨¡ ¯« -áâ¨ë ¡¥§ ãç¥â à á¯à®áâà ¥¨ï ã¯àã£¨å ¢®«[12], çâ® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ®â¡à®á¨âì ¨¥àæ¨-®ë¥ ç«¥ë @2�x=@t2; @2�y=@t2 (§¤¥áì �x; �y {ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥¨© c।¨®© ¯®-¢¥àå®á⨠ã¯à㣮© ¯« áâ¨ë). �®£¤ ¤«ï ®¤®¬¥à-®£® á«ãç ï ¨§ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥¬¥é¥¨ï [12] ¨¬¥¥¬:@2�x@x2 + @�z@x @2�z@x2 = 0:�ந⥣à¨à®¢ ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯® x, ¯®-«ã稬 @�x@x + 12(@�z@x )2 = �x = const; (18)£¤¥ �x { ¤¥ä®à¬ æ¨ï á।¨®© ¯®¢¥àå®á⨠§ áç¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥«¨¥©®£® ¯à®£¨¡ . �®£¤ ¤«ï ®¤®¬¥à®£® á«ãç ïL(�z ;�) = E�x1� �2 @2�z@x2¨ ãà ¢¥¨ï (15)-(17) ¥«¨¥©®-¤¨á¯¥àᨮ®£®¯à¨¡«¨¦¥¨ï à á¯à®áâà ¥¨ï ¨§£¨¡®-£à ¢¨â -樮ëå ¢®« ¢ ã¯à㣮© ¯« á⨥, ¯« ¢ î饩 ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨, ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤@�z@t + @@x (hu) = 0; (19)@u@t + u@u@x + �hR2 +Q�@d@x � 1h @@x�h3R3 ++ @@xhg�z + D�2 @4�z@x4 + �1h1�2 @2�z@t2 � (20)�. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢ 57
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64� h1E�x�2(1 � �2) @2�z@x2 i = 0:�¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (§¢¥§¤®çª¨ ¢¤ «ì¥©è¥¬ ®¯ãá⨬):x? = x=�; (z?; h?1; d?) = (z; h1; d)=d0;(�?x ; �?z ) = (�x; �z)=A; t? = tpgd0=�;u? = u=(�pgd0); �?i = �i�2 ; (i = 1; 2);� = A=d0; � = (do=�)2;E? = �E(1� �2)�2g�;
= ��1h1=�2do; � = �D=(�2gd2o�2)¨ § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨ï ¬®¤¥«¨ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:@�z@t + @@x (hu) = 0; (21)@u@t + @�z@x + �u@u@x + �h(hR2 +Q)@d@x�� 1h @@x (h3R3 + h2Q2 )i+
@2�z@x@t + � @5�z@x5 � (22)�Eh1�x @3�z@x3 = 0:�¤¥áì R = @2u@x@t + �hu@2u@x2 � (@u@x )2i;Q = @u@t @d@x + �u @@x (u@d@x ); h = d+ ��z:�áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢¥¨¨ (22) ç«¥ë ¯®à浪 �, � ¨â¥, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥«¨¥©®-¬ã ¯à®£¨¡ã ¯« áâ¨ë, ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ �¥à¥-£à¨ [14], ®¯¨áë¢ î饥 âà áä®à¬ æ¨î ¤«¨ë墮« ª®¥ç®©, ® ¬ «®© ¬¯«¨âã¤ë:@u@t + �u@u@x � �d2 @@th@2(du)@x2 � d3 @2u@x2 i++ @@x��z +
@2�z@t2 + � @4�z@x4 �Eh1�x@2�z@x2 � = 0: (23)� ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ d = d0=const ¨§ ãà ¢-¥¨© (21) ¨ (23) ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ⨯ �ãcᨥ᪠[1]:@�z@t + (1 + ��z)@u@x + �u@�z@x = 0; (24)@u@t + �u@u@x � �3 @3u@t2@x + @@x��z+ (25)
+
@2�z@t2 + � @4�z@x4 � Eh1�x@2�z@x2 � = 0:�§ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (24), (25), ¯à®¤¥« ¢ ¯à¥-®¡à §®¢ ¨ï, «®£¨çë¥ [1], ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥@�z@t + (1 + 32��z)@�z@x ++� + 3
� 3h1�xE6 @3�z@x3 + �2 @5�z@x5 = 0; (26)ª®â®à®¥, ᮣ« á® ª« áá¨ä¨ª 樨 [15], ®â®á¨âáï ªª« ááã ®¡®¡é¥ëå ãà ¢¥¨© �®à⥢¥£ -¤¥ �à¨-§ .�§ã稬 áâ 樮 àë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (26):�z(x; t) = �X(�); � = x� Ut: (27)�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨ï (27) ¢ (26), § ⥬ ¤¢ -¦¤ë ¨â¥£à¨àãï ¨ ¢¢®¤ï ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ X �X, (dX=d�)2 � Y (X), ¯®«ãç ¥¬��4hY Y " � 14�Y 0�2i� � + 3
� 3h1�xE12 Y + (28)+�4X3 � 1� U2 X2 +AX + B = 0:�¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (28) ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ áâ¥-¯¥®£® àï¤ Y = 1Xi=0 biX�i :�®¤áâ ¢«ïï íâ®â àï¤ ¢ (28) ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íä¨-樥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå X�i á ãç¥â®¬§ ¬¥ë �2(�) = X, 室¨¬:3P�d�d� �2 = �(��3+3C�2�6A�+6B) � f(� ); (29)£¤¥P = 13r35�� ;C = 4�39r 35�� ;A = 518�(U � co);B = 8�111�r 35�� (U � co); co = 1� 288169 �2� ; (30)� = (� + 3
� 3h1�xE)=12:�ਠ®¯à¥¤¥«¥ëå ãá«®¢¨ïå ãà ¢¥¨¥ (29) ¬®-¦¥â ®¯¨áë¢ âì ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥, ᮢ¥àè -î饥áï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ᬥ¦ë¬¨ ¢¥é¥á⢥묨ã«ï¬¨ äãªæ¨¨ f(� ), £¤¥ f(� ) � 0. �ãªæ¨ï f(� ){ ªã¡¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬, ¨¬¥î騩 âਠª®àï. �¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨§ãç âì à¥è¥¨ï, ®¯¨áë¢ -î騥 ¥¯®áâ®ïë¥ ®£à ¨ç¥ë¥ à¥è¥¨ï (29).�祢¨¤®, ¬ë ¤®«¦ë à áᬮâà¥âì ¤¢ á«ãç ï:58 �. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64
�¨á. 1. �奬 â¨ç¥áª¨© £à 䨪 ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨f(�), ª®£¤ ® ¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤¨¢¥é¥áâ¢¥ë© ª®à¥ì¯¥à¢ë© { ª®£¤ f(� ) = �(�3 + 3C�2 + 6A� + 6B),¢â®à®© { ª®£¤ f(� ) = �3 � 3C�2 + 6A� � 6B.�«ãç © 1. �ãáâì f(� ) ¨¬¥¥â ®¤¨ ¢¥é¥á⢥-ë© ª®à¥ì ¯à¨ � = �1. �§ à¨á. 1 ïá®, çâ®f(� ) < 0, ª®£¤ � > �1, ¨ f(� ) � 0, ª®£¤ � � �1,¯®í⮬㠤«ï ¢¥é¥á⢥ëå à¥è¥¨© (29) ¬ë ¤®«¦-ë à áᬠâਢ âì ¨â¥à¢ « � � �1. � ª ª ª f(� )®áâ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ìë¬ ¯à¨ � � �1 ¨ áâ६¨âáïª ¡¥áª®¥ç®á⨠¯à¨ � �! �1, â® à¥è¥¨¥ ®ª -§ë¢ ¥âáï ¥®£à ¨ç¥ë¬.�ãáâì ⥯¥àì ¢á¥ âਠª®àï �1; �2; �3 äãªæ¨¨f(� ) ¢¥é¥á⢥ë¥. �â® ¢®§¬®¦o ⮫쪮 ¢ á«ã-ç ¥, ª®£¤ U � co, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï âà¥å à §«¨çë墥é¥á⢥ëå ª®à¥© U < co, ª®£¤ ¤¢ ¨§ ¨åà ¢ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© { U = co.� áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ � + 3
� 3h1�xE � 0;â.¥. �x < (� + 3
)=(3h1E). �¨á. 2 ¤ ¥â ª ç¥á⢥-ãî ª àâ¨ã ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨ f(� ), ª®£¤ ¢á¥ª®à¨ f(� ) (�1 < �2 < �3) à §«¨çë (ªà¨¢ ï �) ¨ª®£¤ �1 < �2 = �3 (ªà¨¢ ï �, ª®â®à ï ª á ¥âáï ®á¨� ¢ â®çª¥ �2).�ãáâì f(� ) ¨¬¥¥â âà¨ à §«¨çëå ¢¥é¥á⢥ë媮àï (¯à¨ í⮬ ª®íää¨æ¨¥âë ¯®«¨®¬ ¤®«¦ë㤮¢«¥â¢«àïâì ãá«®¢¨ï¬ C > 0; B < 0; A < 0). �®-᪮«ìªã à¥è¥¨¥ (29) ¤®«¦® ¡ëâì ¢¥é¥á⢥묨 ®£à ¨ç¥ë¬, â® ¬ë ¤®«¦ë ¢ë¡¨à âì ¨â¥à-¢ « ¨§¬¥¥¨ï � ¬¥¦¤ã ª®àﬨ �2 ¨ �3 (ªà¨¢ ï �).�®£¤ ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (29) ¯®«ã-ç ¥¬ [1, 15]:� = �2 + (�3 � �2)cn2�r�3 � �112P �; s�; (31)£¤¥ cn { í««¨¯â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï �ª®¡¨; s =p(�3 � �2)=(�3 � �1):�ãáâì f(� ) ¨¬¥¥â âਠ¢¥é¥á⢥ëå ª®àï, ¤¢
¨§ ª®â®àëå à ¢ë (ªà¨¢ ï �). �®£¤ U = co; A =B = 0; C > 0 ¨ ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¨â¥à¢ « § 票©� < �1. �® ¢ í⮬ á«ãç ¥, ª ª ¨ ¤«ï á«ãç ï ®¤®-£® ¢¥é¥á⢥®£® ª®àï, ®£à ¨ç¥®¥ à¥è¥¨¥ ¥áãé¥áâ¢ã¥â.
�¨á. 2. �奬 â¨ç¥áª¨© £à 䨪 ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨f(�), ª®£¤ ¢á¥ âਠª®àï ¢¥é¥á⢥ë¥. �«ãç © 1�।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® � + 3
� 3h1�xE < 0;â.¥. �x > (� + 3
)=(3h1E) ¨ ¯ãáâì f(� ) ¨¬¥¥â âà¨à §«¨çëå ¢¥é¥á⢥ëå ª®àï (�1 < �2 < �3)(à¨á. 3). �®£¤ C < 0; A < 0; B > 0 ¨ ¢¥é¥á⢥-®¥ ®£à ¨ç¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (29) ¡ã¤¥âáãé¥á⢮¢ âì ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ � ¬¥¦¤ã �2 ¨ �3 (ªà¨-¢ ï �) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ (31). � á«ãç ¥,ª®£¤ ¤¢ ¢¥é¥á⢥ëå ª®àï à ¢ë (ªà¨¢ ï �),U = co; C < 0; A = B = 0: �ਠí⮬ � ¤®«¦®¨§¬¥ïâìáï ¬¥¦¤ã �1 ¨ �2 (ªà¨¢ ï �, à¨á. 3). �®-᪮«ìªã à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (29) ¤®«¦® ¡ëâì ®£à -¨ç¥ë¬ ¨ ¢¥é¥á⢥ë¬, â® ¥£® ¬®¦® ¯à¥¤áâ -¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ [1, 15]� = �3Csech2(�r�3C12P ): (32)� ¡¥£ã饩 ¢®«¥, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ¢ëà ¦¥¨¥¬(32), ¯¥à¥å®¤ ®â á®áâ®ï¨ï ¯®ª®ï ¯à¨ � �! �1ª á®áâ®ï¨î ¯®ª®ï ¯à¨ � �! +1 «®ª «¨§ã¥âáï ¢®ªà¥áâ®á⨠� = 0. �㤥¬ §ë¢ âì â ª®© ¯à®æ¥áá㥤¨¥®© ¢®«®©.�«ãç © 2. �ãáâì f(� ) = �3 � 3C�2 + 6A� �B. �®£¤ , ¯à®¤¥« ¢ «¨§, «®£¨çë© á«ãç î1, ¯®«ã稬, çâ® ãà ¢¥¨¥ (29) ¤®¯ã᪠¥â à¥è¥¨¥¢ ¢¨¤¥ ª®¨¤ «ì®© ¢®«ë [1, 15]:� = �1 + (�2 � �1)sn2�r�3 � �112P �; s�; (33)(§¤¥áì sn { í««¨¯â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï �ª®¡¨; s =p(�2 � �1)=(�3 � �1); �1 < �2 < �3 ¢¥é¥á⢥륪®à¨ ¯®«¨®¬ f(� ), áãé¥áâ¢ãî騥 ¤«ï ¢á¥å § -票© �, ¯à¨ ª®â®àëå ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮U < co), â ª¦¥ ¢ ¢¨¤¥ 㥤¨¥®© ¢®«ë (ª®-£¤ U = co; � < 0; C < 0; A = B = 0, â.¥.�. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢ 59
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64
�¨á. 3. �奬 â¨ç¥áª¨© £à 䨪 ¨§¬¥¥¨ï äãªæ¨¨f(�), ª®£¤ ¢á¥ âਠª®àï ¢¥é¥á⢥ë¥. �«ãç © 2f(� ) ¨¬¥¥â âਠ¢¥é¥á⢥ëå ª®àï, ¨§ ª®â®àë夢 à ¢ë) [1, 15]:� = 3Csech2(r�3C12P �): (34)�ª®ç ⥫ì®, á ãç¥â®¬ § ¬¥ë �2(�) = X ¨§¢ëà ¦¥¨© (27), (31) { (34) ¯®«ãç ¥¬ áâ 樮 à-ë¥ ¥¯®áâ®ïë¥, ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ ¨ ®£à ¨ç¥ë¥à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (26) ¢ ¢¨¤¥ ª®¨¤ «ì®© ¢®«-ë:�z(x; t) = �h�2 + (�3 � �2)án2�r�3 � �112P � (35)�(x� Ut); s�i2;�z(x; t) = �h�1 + (�2 � �1)sn2�r�3 � �112P � (36)�(x� Ut); s�i2¨ 㥤¨¥®© ¢®«ë�z(x; t) = �9C2sech4�r� �13� (x� Ut)�: (37)� ¢ëà ¦¥¨ïå (35) ¨ (36) �2 ¨ �1 ®¯à¥¤¥«ïîâ®âª«®¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯®¤®è¢¥ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮®© ¢®«ë.� áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ á«ãç ¨.�®«®¦¨¬ �2 ¢ à¥è¥¨¨ (35) ¨ �1 ¢ (36) à ¢ë-¬¨ ã«î ¨ § 䨪á¨à㥬 â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¯®-¤®è¢ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮®© ¢®«ë ᮢ¯ ¤ ¥âá ¯®¢¥àå®áâìî à §¤¥« «¥¤{¢®¤ . � í⮬ á«ãç ¥¨§ ãà ¢¥¨ï (29) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¨¤ «ìãî ¢®«ã¡ã¤¥â ®¯¨áë¢ âì ⮫쪮 ¢ëà ¦¥¨¥ (35), ¯®áª®«ì-ªã ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (36) ¯à¨ �1 = 0 ¤¢ ¤àã£¨å ª®àï�1 ¨ �3 ¯à ¢®© ç á⨠(29) ¡ã¤ãâ ª®¬¯«¥ªá묨. �§
ãá«®¢¨ï �2 = 0 á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ãà ¢¥¨¨ (29) B =0. �®£¤ ¨§ (30) ¨¬¥¥¬:C = 0; co = 1; A = 518�(U � 1);�x = (� + 3
)=(3h1E)¨ ¢ëà ¦¥¨¥ (35) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥�z(x; t) = 6Acn4hs2p6A12P (x� Ut); si:�§ ãá«®¢¨ï ⮣®, çâ® ¡¥§à §¬¥à ï ¬¯«¨â㤠ª®¨¤ «ì®© ¢®«ë à ¢ -1, á«¥¤ã¥â, çâ®U = 1� 3�5 :�ª®ç â¥«ì® ¢ëà ¦¥¨¥ (35), ®¯¨áë¢ î饥ª®¨¤ «ìãî ¢®«ã ¯à¨ �1 = 0, § ¯¨è¥âáï á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬:�z(x; t) = �cn4� 1p6P (x� Ut); s�; s = p22 : (38)
�¨á. 4. �à®ä¨«¨ ª®¨¤ «ì®© ( ) ¨ 㥤¨¥®© (¡)¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®«�¨á. 4, ¨««îáâà¨àã¥â ä®à¬ã ¨§£¨¡® - £à ¢¨-â 樮®© ª®¨¤ «ì®© ¢®«ë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¢ë-à ¦¥¨¥¬ (38) ¯à¨ t = 0; � = 0:35; � = 0:4. �§£à 䨪 á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¨¤ «ìë¥ ¨§£¨¡®- £à -¢¨â æ¨®ë¥ ¢®«ë ïîâáï ¯¥à¥¢¥àãâ묨 ¯®áà ¢¥¨î á ª®¨¤ «ì묨 ¢®« ¬¨ ¢®¤¥. �«ï¨å å à ªâ¥à® «¨ç¨¥ ¡®«¥¥ ®áâன ¢¯ ¤¨ë ¯®áà ¢¥¨î á £®à¡®¬, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ á«ãç ¥ ¯®-¢¥àå®áâëå £à ¢¨â 樮ëå ¢®« ®¡®à®â.�«¨ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮®© ª®¨¤ «ì-®© ¢®«ë, ¥¥ ¯¥à¨®¤, ¢®«®¢®¥ ç¨á«® ¨ ç áâ®â ®¯à¥¤¥«ïîâáï á«¥¤ãî騬¨ ¢ëà ¦¥¨ï¬¨:� = (1 � 3�5 )p6PK(s);60 �. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64T = p6PK(s); k = (1� 3�5 )=p6P; (39)! = 1=p6P ;£¤¥ K(s) { ¯®«ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨â¥£à « ¯¥à¢®-£® த .�§ ¯®á«¥¤¥£® ¢ëà ¦¥¨ï (39), ª®â®à®¥ ¯à¥¤-áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¤¨á¯¥àᨮ®¥ á®®â®è¥¨¥, á«¥-¤ã¥â, çâ® ç áâ®â ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮®© ª®¨-¤ «ì®© ¢®«ë § ¢¨á¨â ®â ¥¥ ¬¯«¨âã¤ë ¨ ã¯à㣨å᢮©á⢠«¥¤ï®© ¯« áâ¨ë.� áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡® ¢ëà ¦¥¨¥(37), ®¯¨áë¢ î饥 ¨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨®ë© á®«¨-â® ¢ ¬®à¥, ¯®ªàë⮬ ᯫ®èë¬ «ì¤®¬. � ¬¥â¨¬,çâ® ¡¥§à §¬¥à ï ¬¯«¨â㤠¯à®£¨¡ ¯« áâ¨ëà ¢ �9C2 , â.¥. ¨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨®ë© á®«¨-⮠ï¥âáï ¯¥à¥¢¥àãâë¬ ¯® ®â®è¥¨î ª ᮫¨-â®ã ¢ ¢®« å ¢®¤¥. �஬¥ ⮣®, ¢ ᨫ㠢¢¥¤¥-®£® ¬¨ ®¡¥§à §¬¥à¨¢ ¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® 9C2 = 1¨ ¨§ ãá«®¢¨ï � < 0 ¨¬¥¥¬ 3C = �1. �âªã¤ «¥£-ª® ©â¨, çâ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï á।¨®© ¯®¢¥àå®á⨯®áâ஥®£® ¬¨ ᮫¨â® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª�x = � + 3
+ 39p��=353h1E : (40)�ਠ¯®áâ஥¨¨ à¥è¥¨ï (37) ¡ë«® ¯®ª § ®,çâ® ¢¥é¥á⢥®¥ ®£à ¨ç¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥-¨ï (29), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ãà ¢¥¨ï (26), ¡ã-¤¥â áãé¥á⢮¢ âì ¯à¨ �x > (� + 3
)=3h1E. �«ï¯®áâ஥®£® ¬¨ à¥è¥¨ï íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ ᨫã(40) § ¢¥¤®¬® ¢ë¯®«ï¥âáï. �âáî¤ á«¥¤ã¥â, ç⮨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨®ë© á®«¨â® áãé¥áâ¢ã¥â ¢á¥-£¤ , ¥ ⮫쪮 ¤«ï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® à áâïã⮩¯« áâ¨ë, ª ª íâ® ã⢥ত ¥âáï ¢ [6, 7]. �ª®ç -⥫쮥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮®£®á®«¨â® ¯à¨¬¥â ¢¨¤�z(x; t) = �sech4�r� �13� (x� Ut)�; (41)� = �p2�=3512�¥¤¨¥ ï ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮 ï ¢®« ¯à¨t = 0; � = 0:35; � = 0:4 ¯à¥¤áâ ¢«¥ à¨á. 4, ¡.�®£« á® ¢ëà ¦¥¨© (30) ¨ (40) ᪮à®áâì à á-¯à®áâà ¥¨ï ᮫¨â® U = 1� 1835�¢ ®â«¨ç¨¨ ®â ¢®« ¢®¤¥ á à®á⮬ ¬¯«¨âã¤ë㬥ìè ¥âáï.
3. ������� ���������� ����� �����, �������� ����� ������à ¢¥¨ï ¤«¨®¢®«®¢®£® ¥«¨¥©®-¤¨á¯¥à-ᨮ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï âà áä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå-®áâëå ¢®« ¢ ¦¨¤ª®áâ¨, ¯®ªàë⮩ ¡¨âë¬ «ì¤®¬,¬®¦® ¯®«ãç¨âì ᯮᮡ®¬, ¨§«®¦¥ë¬ ¢ëè¥ ¤«ï¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®«, ¯à¨ § ¬¥¥ ãà ¢¥-¨ï (7) ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« ¦¨¤ª®á⨠¨ ¡¨â®£®«ì¤ z = a+ � á«¥¤ãî騬 ãà ¢¥¨¥¬:p = m�g + @2�@t2 �; (42)£¤¥ p { ¤ ¢«¥¨¥; � { ®âª«®¥¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §-¤¥« «¥¤{¢®¤ ; a = �ho�1=�2 £«ã¡¨ ¯®£à㦥¨ï«ì¤¨ë ¯à¨ áâ â¨ç¥áª®¬ à ¢®¢¥á¨¨; �2 { ¯«®â-®áâì ¢®¤ë; m = �1hoN ; N; �1 ¨ h0 - ¯®¢¥àå®áâ- ï ¯«®â®áâì, äãªæ¨ï ᯫ®ç¥®áâ¨, ¯«®â®áâì¨ â®«é¨ ¡¨â®£® «ì¤ ᮮ⢥âá⢥®. �ª®ç -â¥«ì® ¨¬¥¥¬:dudt � 1hr�h3R3 + h2Q2 �+r�g� + m�2 @2�@t2 � == ��hR2 + Q�rd; (43)@�@t +r � (hu) = 0; (44)£¤¥ u = u(u; v); r = i @@x + j @@y ;R =r � u+ u�[r(r�u)]� (r � u)2;Q = @u@t �rd+ u � [r(u �rd)]:h = d+ a+ �:�¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (§¢¥§¤®çª¨ ¢¤ «ì¥©è¥¬ ®¯ãá⨬)(x?; y?) = (x; y)� ; (z?; d?; h�o; a?) = (z; d; h; a)(d0 + a) ;�? = �A; t? = tpg(d0 + a)� ;u? = u�pg(d0 + a) ; �? = ��2 ; (45)� = A(d0 + a) ; � = (d0 + a)2�2 ;
= � m�2(d0 + a) :�¤¥áì d0 { å à ªâ¥à ï £«ã¡¨ ¦¨¤ª®áâ¨; � ¨A { ¤«¨ ¢®«ë ¨ ¥¥ ¬¯«¨â㤠.�. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢ 61
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64C ãç¥â®¬ ãà ¢¥¨ï (44) á¨á⥬ (42){(43) § -¯¨è¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:@u@t +r� + �(u �r)u+ �h(hR2 +Q)rd�� 1hr (h3R3 + h2Q2 )i+
r@2�@t2 = 0; (46)@�@t +r(hu) = 0; (47)£¤¥ R = r � @u@t + �fu � [r(r �u)]� (r � u)2g;Q = @u@t �rd+ �u � [r(u �rd)];h = d+ a+ ��:�®«ãç¥ë¥ ãà ¢¥¨ï ®â«¨ç îâáï ®â á« ¡®¥«¨-¥©®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï «¨ç¨¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ìëåç«¥®¢ ¯®à浪 �n� (n = 1, 2, 3, 4), ®¯¨-áë¢ îé¨å íä䥪âë ¥«¨¥©®© ¤¨á¯¥àᨨ. �à¨m=0 ¨ a=0 ãà ¢¥¨ï (46){(47) ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¨§-¢¥áâë¥ ãà ¢¥¨ï ¤«¨®¢®«®¢®£® ¥«¨¥©®-¤¨á¯¥àᨮ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯¥à¥-¬¥®© £«ã¡¨ë, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ [2] ᯮᮡ®¬, ¨§-«®¦¥ë¬ ¢ëè¥ ¨ à §«®¦¥¨¥¬ ¯® ¬ «®¬ã ¯ à -¬¥âàã �.�áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢¥¨¨ (46) ç«¥ë ¯®à浪 � ¨ �,¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ⨯ �¥à¥£à¨ [14]:@u@t + �(u �r)u+r(� +
@2�@t2 )��� d+ a2 @@tfr[r�(du)]�d+ a3 r(r�u)g = 0: (48)� ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ d = d0=const ¨§ á®-®â®è¥¨© (47), (48) ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©â¨¯ �ãcᨥ᪠:@u@t + �u@u@x + @�@x � �3 @3u@t2@x +
@3�@t2 @x = 0; (49)@�@t + @@x [(1 + ��)u] = 0: (50)�§ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (49), (50) ¯®á«¥ ¥á«®¦-ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© [1] ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ⨯ �®à⥢¥£ -¤¥ �ਧ :@�@t + @�@x + 32�� @�@x + � + 3
6 @3�@x3 = 0: (51)�à ¢¥¨ï (49){(51) ¬®£ãâ ¡ëâì â ª¦¥ ¯®«ãç¥-ë ¨§ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (1){(4), £à ¨çëå ãá«®-¢¨© (5){(6), (42) à §«®¦¥¨¥¬ ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥-âàã �.
�¢¥¤¥¬ ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ u = r' ¨, ¨á¯®«ì-§®¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ �¥àã««¨, ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¨á室ãîá¨á⥬ã á ãç¥â®¬ (45) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:� @2'@x2 + @2'@z2 = 0; z 2 [�do; a+ ��]; x 2 (�1;1);�@'@z �z=�do = 0;�@�@t + �@�@x @'@x � 1� @'@z �z=a+�� = 0; (52)n
@2�@t2 +�+@'@t +�2 h�@'@x�2+ 1� �@'@z �2ioz=a+�� = 0:� áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ ¤«¨ à á¯à®áâà ï-î饩áï ¢®«ë áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè ¥â £«ã¡¨ã¦¨¤ª®áâ¨, ¥¥ ¬¯«¨â㤠ï¥âáï ¤®áâ â®ç® ¬ -«®©, â ª çâ® � � 1 ¨ �� 1, ¯à¨ç¥¬ � � �. � í⮬á«ãç ¥ ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ ' ¥áâ¥á⢥® à §«®-¦¨âì ¢ àï¤ �¥©«®à ¯® £«ã¡¨¥ [1]:' = 1Xm=o(�1)m (z + do)2m(2m)! @2mf@x2m �m: (53)�®¤áâ ¢«ïï à §«®¦¥¨¥ (53) ¢ (52) ¨ ¢ë¯®«ïï¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, «®£¨çë¥ [1], ¯®«ãç ¥¬:@u@t + �u@u@x + @�@x � 12� @3u@x2@t +
@3�@t2@x++O(��; �2) = 0;@�@t + @[(1 + ��)u]@x � 16� @3u@x3 + O(��; �2) = 0:�â® ¢ ਠâ ãà ¢¥¨© ⨯ �ãác¨¥áª , ª®â®àë©«¥£ª® ᢮¤¨âáï ª ¢¨¤ã á¨á⥬ë (49), (50) [1].�â 樮 àë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (51) ¡ã¤¥¬¨áª âì ¢ ¢¨¤¥�(x; t) = �(�); � = x� Ut: (54)�®¤áâ ¢«ïï á®®â®è¥¨ï (54) ¢ (51) ¨ ¨â¥£à¨-àãï ¥£® ¯® �, ¯®«ãç ¥¬� + 3
6 d2�d�2 + 34��2 � (U � 1)� = 32A:�¬®¦ ï ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ d�=d� ¨ ᮢ ¨â¥£à¨àãï ¥£® ¯® �, ¨¬¥¥¬:3S�d�d��2 = ��3 + 3C�2 + 6A� + 6B� ; (55)£¤¥ S = � + 3
9� ;C = 2(U � 1)3� :62 �. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64�à ¢¥¨¥ (55) «®£¨ç® ãà ¢¥¨î (29), ª®-â®à®¥ ¡ë«® ¯®¤à®¡® ¨áá«¥¤®¢ ® ¢ëè¥. � á«ãç ¥,ª®£¤ ¯®«¨®¬ ¯à ¢®© ç á⨠(55) ¨¬¥¥â âà¨ à §-«¨çëå ¢¥é¥á⢥ëå ª®àï �3 > �2 > �1, à¥è¥¨¥¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥� = �2 + (�3 � �2)cn2hr�3 � �112S (x� Ut); si;s =s�3 � �2�3 � �1 : (56)� á«ãç ¥, ª®£¤ ¤¢ ¨§ ª®à¥© ¯®«¨®¬ à ¢ë,à¥è¥¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:� = �2 + (�3 � �2)sech2hr�3 � �112S (x� Ut)i: (57)� áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ á«ãç ¨ ¯®áâà®-¥ëå ¢ëè¥ à¥è¥¨© ¤«ï ª®¨¤ «ìëå ¨ 㥤¨¥-ëå ¢®«.�®«®¦¨¬ �2 ¢ ãà ¢¥¨¨ (56) à ¢ë¬ ã«î, çâ®íª¢¨¢ «¥â® ®âáãâáâ¢¨î ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ¯®¤ê-¥¬ ãà®¢ï ¢®¤ë ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, 䨪á¨àã¥â -ç «ìãî £«ã¡¨ã ¦¨¤ª®áâ¨. �§ ãá«®¢¨ï ⮣®, ç⮡¥§à §¬¥à ï ¬¯«¨âã¤ à ¢ ¥¤¨¨æ¥, á«¥¤ã¥â,çâ® �3 = 1. �à¥â¨© ª®à¥ì �1 ¯®«¨®¬ ¯à ¢®© ç -á⨠(55) ¤®«¦¥ ¡ëâì ®âà¨æ ⥫ìë¬. �®«®¦¨¬¥£® à ë¬ �1 = �� 1. �⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ãá«®¢¨î⮣®, çâ® ¬¯«¨â㤠ª®¨¤ «ì®© ¢®«ë ¤®«¦ ¡ëâì ¬¥ìè¥ £«ã¡¨ë ¦¨¤ª®áâ¨. �ª®ç ⥫쮢ëà ¦¥¨¥ (56), ®¯¨áë¢ î饥 ª®¨¤ «ìãî ¢®«-ã, ¯à¨ ᤥ« ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå § ¯¨è¥âáï á«¥-¤ãî騬 ®¡à §®¬:� = cn2hr2� �12S (x � Ut); si; s =r 12� �: (58)�ª®à®áâì à á¯à®áâà ¥¨ï í⮩ ¢®«ë, ¥¥ ¤«¨ ,¯¥à¨®¤, ¢®«®¢®¥ ç¨á«® ¨ ç áâ®â ®¯à¥¤¥«ïîâáï¢ëà ¦¥¨ï¬¨U = 1 + �22 ; � = 4Ur 3S2� �K(s);T = 4r 3S2� �K(s); k = 12Ur2� �3S ;! = 12r2� �3S ;£¤¥ K(s) { ¯®«ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨â¥£à « ¯¥à¢®-£® த .� áᬮâਬ 㥤¨¥ãî ¢®«ã, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî¢ëà ¦¥¨¥¬ (57). �।¯®« £ ï, ª ª ¨ ¢ëè¥, çâ®�2 = 0 ¨ �3 = 1, ¯®«ãç ¥¬:� = sech2hs 3�4(� +
(x� Ut)i; U = 1 + �2 : (59)
�§ ¢ëà ¦¥¨© (58) ¨ (59) á«¥¤ã¥â, ç⮠᪮à®áâìà á¯à®áâà ¥¨ï ª®¨¤ «ìëå ¨ 㥤¨¥ëå ¢®«¢ ¬®à¥, ¯®ªàë⮬ ¡¨âë¬ «ì¤®¬, § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬¯«¨âã¤ë ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ᯫ®ç¥®á⨠¡¨â®£®«ì¤ . � â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¤«¨ ¢®«ë ¨ ¥¥ ¯¥à¨®¤ § -¢¨áïâ ¨ ®â ¬¯«¨âã¤ë ¢®«ë ¨ ®â å à ªâ¥à¨á⨪¡¨â®£® «ì¤ .
�¨á. 5. �à®ä¨«ì 㥤¨¥®© ¢®«ë ¤«ï à §«¨çëå§ ç¥¨© äãªæ¨¨ ᯫ®ç¥®á⨠¡¨â®£® «ì¤ :1��N = 1; 2��N = 0:5; 3��N = 0� à¨á. 5 ¯à¨¢¥¤¥ë à áç¥âë ®âª«®¥¨ï ¯®-¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« «¥¤{¢®¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (59) ¯à¨á«¥¤ãîé¨å § 票ïå ¯ à ¬¥â஢: t = 0; h0 =0:15; �1 = 0:917;� = 0:35; � = 0:05 ¤«ï à §«¨ç-ëå § 票© äãªæ¨¨ ᯫ®ç¥®á⨠N . �ਠí⮬N = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î, ª®£¤ ¯®¢¥àå®áâ즨¤ª®á⨠¯®«®áâìî ¯®ªàëâ ¡¨âë¬ «ì¤®¬, N =0� á«ãç î ®âáãâáâ¢¨ï «ì¤ . �§ £à 䨪 á«¥¤ã¥â,ç⮠㥤¨¥ë¥ ¢®«ë ¯à¨ «¨ç¨¨ ¡¨â®£® «ì¤ ¯®¢¥àå®á⨠¢®¤ë ¨¬¥îâ ¡®«¥¥ ¯®«®£¨© ¯à®ä¨«ì.4. �����������ਢ¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à¥§ã«ìâ âë ¯®ª §ë¢ îâ,çâ® ¤«¨ë¥ ¥«¨¥©ë¥ ¢®«ë ¢ ¬®à¥, ¯®ªàë-⮬ «ì¤®¬, áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨áïâ ®â å -à ªâ¥à¨á⨪ «¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ . � á«ãç ¥ ¡¨â®£®«ì¤ , ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ¥£® ᯫ®ç¥®áâ¨, ¤«¨ ª®-¨¤ «ìëå ¢®« 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, ¯à®ä¨«ì 㥤¨¥-®© ¢®«ë áâ ®¢¨âáï ¡®«¥¥ ¯®«®£¨¬. �â® á¢ï§ -® á ⥬, çâ® ¯« ¢ î騩 ¡¨âë© «¥¤ ¢®á¨â ¤®-¯®«¨â¥«ìãî ¤¨á¯¥àá¨î ¢ ¯à®æ¥áá à á¯à®áâà -¥¨ï ¢®«. �ਠí⮬ ᪮à®áâì à á¯à®áâà ¥¨ïíâ¨å ¢®« § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬¯«¨âã¤ë, ª ª ç¨á⮩ ¢®¤¥, ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ᯫ®ç¥®á⨠¡¨-⮣® «ì¤ . � á«ãç ¥ ᯫ®è®£® «ì¤ ¢«¨ï¨¥ å -à ªâ¥à¨á⨪ «¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ ¡®«¥¥ ᨫ쮥. �®-¯¥à¢ëå, ¨§£¨¡®-£à ¢¨â æ¨®ë¥ ¢®«ë ïîâáﯥॢ¥àãâ묨 ¯® áà ¢¥¨î á ¤«¨ë¬¨ ¥«¨-¥©ë¬¨ ¢®« ¬¨ ¢®¤¥. �â®á¨â¥«ì® 㥤¨¥-®© ¢®«ë íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ä®à-�. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢ 63
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 55 { 64¬ë à á¯à®áâà ï¥âáï ¢¯ ¤¨ , ¥ £®à¡, ª ª ¢á«ãç ¥ ç¨á⮩ ¢®¤ë. �®-¢â®àëå, ᪮à®áâì à á¯à®-áâà ¥¨ï ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« á à®á⮬ ¬¯«¨âã¤ë 㬥ìè ¥âáï. �஬¥ ⮣®, ¨§ ¤¨á-¯¥àᨮëå á®®â®è¥¨© (39) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«¨- ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮®© ¢®«ë à áâ¥â á 㢥-«¨ç¥¨¥¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¦¥á⪮á⨠¯« áâ¨ë ¨ã¬¥ìè ¥âáï á à®á⮬ ¬¯«¨âã¤ë. � ª¨¬ ®¡à -§®¬, ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå á«ãç ïå ®âáãâá⢨ï -ç «ì®£® ®âª«®¥¨ï ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« å à ª-â¥à¨á⨪¨ ¨§£¨¡®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ®¯à¥¤¥-«ïîâáï ¬¯«¨â㤮© ¨ ¤¨á¯¥àᨥ© ¨§£¨¡®© ¦¥áâ-ª®á⨠¯« áâ¨ë ¨ ¥ § ¢¨áïâ, ª ª ¢ á«ãç ¥ ¡¨â®£®«ì¤ , ®â ¤¨á¯¥àᨨ ¢®¤ë ¨ ¨¥à樮ëå ᢮©á⢫¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ .1. Whitham C. B. Linear and nonlinear waves.{ Lon-don: A Wiley-Interscience Publication, 1974.{ 624 p.2. �¥«¥§ïª �. �., �¥«¨®¢áª¨© �. �. �¨§¨ª®- ¬ -⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ª â æã ¬¨ ¡¥à¥£ //�®à쪨©.{ ��� �� ����.{ 1985.{ �. 8{33.3. �㪠⮢ �. �. �«¨ï¨¥ ¯à®¤®«ì® ᦠ⮩ ã¯àã-£®© ¯« á⨪¨ ¥ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï ¢®«®¢®¥ ¤¢¨-¦¥¨¥ ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠// �§¢.�� ����,���.{ 1980.{ N5.{ �. 68{75.4. �㪠⮢ �. �., �¥àª¥á®¢ �. �. �«¨ï¨¥ «¥¤ï®-£® ¯®ªà®¢ à §¢¨â¨¥ ¢ãâà¥¨å ¢®« ®â ¯¥-ਮ¤¨ç¥áª¨å ¢®§¬ã饨© // �®à᪨¥ £¨¤à®ä¨§¨-ç¥áª¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï.{ �¥¢ á⮯®«ì.{ 1976.{ T. 75,N4.{ �. 5{16.5. �¥©á¨ �. �. �¨ ¬¨ª «¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ .{ �: �̈ -¤à®¬¥â¥®¨§¤ â, 1967.{ 216 á.
6. � à祪® �. �. � ¤«¨ëå ¢®« å ¢ ¬¥«ª®© ¦¨¤-ª®á⨠¯®¤ «¥¤ïë¬ ¯®ªà®¢®¬ // ���.{ 1988.{52,�ë¯.2.{ �. 230{234.7. � à祪® �. �., �à¨à �. �. � ⥮ਨ ¤¢ã-¬¥àëå ¥«¨¥©ëå ¢®« ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯®¤ «¥¤ï묯®ªà®¢®¬ // �§¢. �� ����, ���.{ 1991.{ N4.{�. 125{133.8. �« ¤ã �. �., �¥¤®á¥ª® �. �. � ¥«¨¥©-®¬ ãáâ ®¢¨¢è¥¬áï ¤¢¨¦¥¨¨ ã¯à㣮© ¯« áâ¨ë,¯« ¢ î饩 ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®©£«ã¡¨ë // �§¢. �� ����, ���.{ 1987.{ N2.{�. 119{123.9. �« ¤ã �. �., �¥¤®á¥ª® �. �. �¥«¨¥©ë¥ áâ®-ï稥 ª®«¥¡ ¨ï ã¯à㣮© ¯« áâ¨ë, ¯« ¢ î饩 ¯®¢¥àå®á⨠â殮«®© ¦¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®© £«ã-¡¨ë // ���.{ 1988.{ 52, ¢ë¯.3.{ �. 460{464.10. �ª 祪® �. �., �ª®¢«¥¢ �. �. �«¨®-¢®«®¢ë¥¥«¨¥©®- ¤¨á¯¥àá¨®ë¥ ¬®¤¥«¨ âà áä®à¬ 樨¯®¢¥àå®áâëå ¢®« ¢ ¬®à¥, ¯®ªàë⮬ «ì¤®¬.{ �á-á«¥¤®¢ ¨ï æã ¬¨: �, 1988.{ N3 { á.41{4611. �ª 祪® �. �., �ª®¢«¥¢ �. �. �¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥¨§£¨¡®- £à ¢¨â æ¨®ë¥ ¢®«ë ¢ ¬®à¥, ¯®ªàë⮬«ì¤®¬//�á⮩稢®áâì ¤¢¨¦¥¨ï ⢥à¤ëå ¨ ¤¥ä®à-¬¨à㥬ëå á¨á⥬.{ �¨¥¢: � ãª. ¤ã¬ª , 1989.{ 100{104 á.12. �®«ì¬¨à �. �. �¥«¨¥© ï ¤¨ ¬¨ª ¯« á⨮ª ¨®¡®«®ç¥ª.{ �: � 㪠, 1972.{ 432 á.13. �¥«¥§ïª �. �. �¨á«¥®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ âà á-ä®à¬ 樨 ¢®« ¢ ¯à¨¡à¥¦®© §®¥. �¥â®¤ë ¨áá«¥-¤®¢ ¨© ¨ à áç¥â®¢ ¢®«®¢ëå ¢®§¤¥©á⢨© // �.{�¥p£¨ï.{ 1982.{ �. 194{195.14. Peregrin D.H. Long waves on a beach // J.FluidMech.{ 1967.{ V27.{ P. pt.4.815{82715. Bhatnagar P. L. Nonlinear waves in one-dimensionaldispersive systems.{ Oxford: Clarendon Press Ox-ford, 1979.{ 136 p.
64 �. A. �ª 祪®, �. �. �ª®¢«¥¢
|