Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок
Рассмотрена задача о стабилизированном движении вязкой жидкости в плоском канале под действием периодически изменяющегося давления в случае присутствия у его стенок легкопроницаемой шероховатости, ЛПШ (т.е. слоя с распределенной массовой силой, зависящей от локальной скорости жидкости). По аналитиче...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5196 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок / Е.А. Гаев // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 3-10. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859989626472628224 |
|---|---|
| author | Гаев, Е.А. |
| author_facet | Гаев, Е.А. |
| citation_txt | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок / Е.А. Гаев // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 3-10. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена задача о стабилизированном движении вязкой жидкости в плоском канале под действием периодически изменяющегося давления в случае присутствия у его стенок легкопроницаемой шероховатости, ЛПШ (т.е. слоя с распределенной массовой силой, зависящей от локальной скорости жидкости). По аналитическому решению, полученному в комплексных числах, построены изменяющиеся во времени распределения скорости и трения поперек канала в отсутствие и при наличии ЛПШ. Обнаружено кардинальное различие во влиянии ЛПШ на пульсирующий поток в зависимости от частоты изменения давления. Результаты могут быть использованы в пневмо- или гидроавтоматике и в биомеханике.
Розглянута задача про нестацiонарний рух в'язкої рiдини на стабiлiзованiй дiлянцi плоского каналу пiд впливом тиску, що гармонiчно змiнюється, у випадку присутностi бiля його стiнок легкопронизливої шорсткостi, ЛПШ (тобто шару з розподiленою масовою силою, що залежить вiд локальної швидкостi рiдини). За аналiтичним розв'язком в комплексних числах побудованi змiнюванi за часом розподiли швидкостi та тертя у вiдсутностi та присутностi ЛПШ. Знайдена суттєва рiзниця у впливi ЛПШ на пульсуючий потiк в залежностi вiд частоти змiни тиску. Результати можуть бути використанi у пневмо- чи гiдроавтоматицi та в бiомеханiцi.
Stabilized motion of a viscous fluid in a long plane duct with the easily penetrable roughness (EPR) over walls (i.e., a layer with a distributed mass force proportional to the local velocity) has been considered under the periodically changing pressure gradient. By means of an analytical solution in complex numbers, distributions of the velocity and shear stress have been plotted across the duct for different time moments with the absence or presence of the EPR. The influence of the EPR on the periodical flow appeared to be drastically depended on the frequency of pressure changes. Results may be used in pneumatics or hydroautomatics, and in biological fluid mechanics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:31:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
������ö �����ö ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10��� 532.517.2������������ ���������� ������� � ������� ���������������� ��������������� �������. �. �����áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 8.12.98� áᬮâॠ§ ¤ ç ® áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®¬ ¤¢¨¦¥¨¨ ¢ï§ª®©¦¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¨§¬¥ïî饣®áï ¤ ¢«¥¨ï ¢ á«ãç ¥ ¯à¨áãâá⢨ï ã ¥£® á⥮ª «¥£ª®¯à®¨æ ¥¬®© è¥à®å®¢ â®áâ¨, ��� (â.¥. á«®ï áà á¯à¥¤¥«¥®© ¬ áᮢ®© ᨫ®©, § ¢¨áï饩 ®â «®ª «ì®© ᪮à®á⨠¦¨¤ª®áâ¨). �® «¨â¨ç¥áª®¬ã à¥è¥¨î, ¯®-«ã祮¬ã ¢ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á« å, ¯®áâà®¥ë ¨§¬¥ïî騥áï ¢® ¢à¥¬¥¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⨠¨ âà¥¨ï ¯®¯¥à¥ªª « ¢ ®âáãâá⢨¥ ¨ ¯à¨ «¨ç¨¨ ���. �¡ à㦥® ª न «ì®¥ à §«¨ç¨¥ ¢® ¢«¨ï¨¨ ��� ¯ã«ìá¨àãî-騩 ¯®â®ª ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç áâ®âë ¨§¬¥¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï. �¥§ã«ìâ âë ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¢ ¯¥¢¬®- ¨«¨£¨¤à® ¢â®¬ ⨪¥ ¨ ¢ ¡¨®¬¥å ¨ª¥.�®§£«ïãâ § ¤ ç ¯à® ¥áâ æ÷® ਩ àãå ¢'離®ù à÷¤¨¨ áâ ¡÷«÷§®¢ ÷© ¤÷«ïæ÷ ¯«®áª®£® ª «ã ¯÷¤ ¢¯«¨¢®¬â¨áªã, é® £ ମ÷ç® §¬÷îõâìáï, ã ¢¨¯ ¤ªã ¯à¨áãâ®áâ÷ ¡÷«ï ©®£® áâ÷®ª «¥£ª®¯à®¨§«¨¢®ùè®àá⪮áâ÷, ��� (⮡â®è àã § ஧¯®¤÷«¥®î ¬ ᮢ®î ᨫ®î, é® § «¥¦¨âì ¢÷¤ «®ª «ì®ù 袨¤ª®áâ÷ à÷¤¨¨). � «÷â¨ç¨¬ ஧¢'離®¬ ¢ª®¬¯«¥ªá¨å ç¨á« å ¯®¡ã¤®¢ ÷ §¬÷î¢ ÷ § ç ᮬ ஧¯®¤÷«¨è¢¨¤ª®áâ÷ â â¥àâï ã ¢÷¤áãâ®áâ÷ â ¯à¨áãâ®áâ÷ ���.� ©¤¥ áãââõ¢ à÷§¨æï ã ¢¯«¨¢÷ ��� ¯ã«ìáãî稩 ¯®â÷ª ¢ § «¥¦®áâ÷ ¢÷¤ ç áâ®â¨ §¬÷¨ â¨áªã. �¥§ã«ìâ ⨬®¦ãâì ¡ã⨠¢¨ª®à¨áâ ÷ ã ¯¥¢¬®- ç¨ £÷¤à® ¢â®¬ â¨æ÷ â ¢ ¡÷®¬¥å ÷æ÷.Stabilized motion of a viscous
uid in a long plane duct with the easily penetrable roughness (EPR) over walls (i.e., alayer with a distributed mass force proportional to the local velocity) has been considered under the periodically changingpressure gradient. By means of an analytical solution in complex numbers, distributions of the velocity and shear stresshave been plotted across the duct for di�erent time moments with the absence or presence of the EPR. The in
uence ofthe EPR on the periodical
ow appeared to be drastically depended on the frequency of pressure changes. Results maybe used in pneumatics or hydroautomatics, and in biological
uid mechanics.��������� ¬¨ ஥ ¯®à®¥ â¥ç¥¨¥ ¥á¦¨¬ ¥¬®©¦¨¤ª®á⨠¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¥áâ 樮 ண®, ä«ãª-âã¨àãî饣® ¯à®¤®«ì®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ïp0=p00 + ap� cos !t à áᬮâਬ «¨èì áâ ¡¨«¨-§¨à®¢ ®¬ ãç á⪥ ¯«®áª®£® ª « , ¢®§«¥ á⥮ªª®â®à®£® 室¨âáï «¥£ª®¯à®¨æ ¥¬ ï è¥à®å®¢ -â®áâì (���).� ª ï § ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥á ª ª ¤ «ì¥©-襥 ¨§ã票¥ £¨¤à®¬¥å ¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¯à®¨-æ ¥¬®© è¥à®å®¢ â®á⨠[1], â ª ¨ ª ª ¥ª®â®à ïá奬 ⨧ æ¨ï ¥¨© âãà¡ã«¥â®áâ¨. � ¬®-¦¥â ©â¨ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ â¥å¨ç¥áª¨å (¯à¨¢®¤ ¢¨-¡à â®à®¢, ¯®¤ ç ⮯«¨¢ ¢ ª ¬¥àã ᦨ£ ¨ï ¤¢¨-£ ⥫ï) ¨ ¡¨®«®£¨ç¥áª¨å (¤¢¨¦¥¨¥ ªà®¢¨ ¢ ᪫¥-à®â¨ç¥áª¨å á®á㤠å, ¢®§¤ãå ¢ âà å¥ïå ¨«¨ ¢®¤ë ¢¦ ¡à å ¬®àáª¨å ¦¨¢®âëå) § ¤ ç å.�â¥à¥áãî饥 á â¥ç¥¨¥ ¢ ¯«®áª®¬ ª «¥ ¬ -⥬ â¨ç¥áª¨ ¯à®é¥, 祬 ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ â¥ç¥-¨¥ ¢ ªà㣫®© âàã¡¥. �¥¬ ¥ ¬¥¥¥, £®â®¢®¥ à¥è¥-¨¥ ¤«ï á«ãç ï £« ¤ª¨å á⥮ª (â.¥. ¢ ®âáãâá⢨¥���) ¬ë ¢ «¨â¥à âãॠ¥ 諨. � «¨â¥à âã-
ॠ¯à¨¢¥¤¥ë ¯®áâ ®¢ª¨ ¨ à¥è¥¨ï § ¤ ç ® ¥-áâ 樮 ஬ â¥ç¥¨¨ «¨èì ¤«ï ªà㣫®© âàã¡ë.� [2,4] ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï � ¯« á ; ¢-â®àë [3] ¬¥â®¤®¬ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà ¯®«ãç îâ à¥-襨¥ «¨èì ¤«ï ¬ «ëå ¥áâ 樮 àëå ¢®§¬ãé¥-¨© áâ 樮 ண® à¥è¥¨ï. �ë ¡ã¤¥¬ á«¥¤®¢ â짤¥áì áâ ¤ à⮬㠯ਥ¬ã ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä¨-§¨ª¨ ®âë᪠¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å à¥è¥¨©, ®¯¨á -®¬ã, ¢ ç áâ®áâ¨, �«¨å⨣®¬ [5] á® áá뫪®© àï¤ ®à¨£¨ «ìëå à ¡®â. �® ¡ã¤¥â ¯®«ã祮 ª ªç áâë© á«ãç © ¡®«¥¥ ®¡é¥© § ¤ ç¨ «¨ç¨ï ã áâ¥-®ª ¥ª®â®à®© ��� § ¤ ®© £ãáâ®âë ¨ ¢ëá®âë¨ ¡ã¤¥â á«ã¦¨âì ᮯ®áâ ¢¨â¥«ì®¬ã «¨§ã § -¤ ç¨.1. ������������ � ������� �������ãáâì ã á⥮ª ¤«¨®£® ª « ¢ëá®âë 2H, ®â-®á¨â¥«ì® ®á¨ ª « z=H, ᨬ¬¥âà¨ç® à §¬¥-é¥ «¥£ª®¯à®¨æ ¥¬ ï è¥à®å®¢ â®áâì (���) [1]¥ª®â®à®© ¢ëá®âë h; h <H. � ãç á⪥ ª « ,¤®áâ â®ç® 㤠«¥®¬ ®â ¥£® ¢å®¤®£® ¨ ¢ë室-®£® ®£®«®¢ª®¢, ãáâ ®¢¨âáï, ª ª ¨§¢¥áâ®, ¥ª®-c
�. �. � ¥¢, 1999 3
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10â®à®¥ "áâ ¡¨«¨§¨à®¢ ®¥", ¥ § ¢¨áï饥 ®â ¯à®-¤®«ì®© ª®®à¤¨ âë à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⨠â¥ç¥-¨ï ¦¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ á¥ç¥¨¥ ª « U (z). �«ï ¯®-áâ®ï®£® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï p0 ®® ©¤¥® ¢ [1].� á«ãç ¥ ¦¥ ¥áâ 樮 ண® £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ªà ¥¢ãî § ¤ çã ¤«ï ãà ¢¥¨© ¢ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤ëå:U 0t = �U 00zz � p0(t)� �8<: kU; z 2 [0; h];0; z 2 (h;H]; (1)z = 0 U = 0; z = H U 0z = 0:� í⮩ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ k, 1/c ¥áâì ª®íää¨æ¨¥âᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯®â®ªã ¢ á«®¥ ¯à¥¯ïâá⢨©, á®áâ -¢«ïîé¨å ���.�§¢¥áâ®, çâ® ® à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¨¤¨¢¨¤ã «ì®£® ¯à¥¯ïâáâ¢¨ï ª®æ¥âà æ¨î ¯à¥¯ïâá⢨© ¢ ®¡ê¥¬¥ n; 1=¬3 [1]¨ ®âà ¦ ¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, £ãáâ®âã ���. �ë¯à¨¨¬ ¥¬ «¨¥©ë© § ª® ᨫë, â ª¦¥ ª ª ¨ ¯à®-á⥩襥 (« ¬¨ ஥) § ¤ ¨¥ âà¥¨ï ¢ ¯®â®ª¥F = �k¨¤U; f = nF = �kU; (2)k = k¨¤n; � = �� dUdz ;çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨.�ਠí⮬ ¥ ãç¨âë¢ ¥âáï â ª¦¥ ¢®§¬®¦®¥ ¢«¨ï-¨¥ ᨫã ᮯà®â¨¢«¥¨ï ãáª®à¥¨ï ¯®â®ª . �á-á«¥¤®¢ ¨¥ «¨¥©®© ᨫë (2) ¢á¥ ¦¥ ¬®¦¥â á«ã-¦¨âì â¥á⮬ ¤«ï ¯®á«¥¤ãîé¨å, ¡®«¥¥ â®çëå, ¯®-áâ ®¢®ª § ¤ ç¨.�à ¤¨¥â ¯à®¤®«ì®£® ¤ ¢«¥¨ï ¡ã¤¥¬ § ¤ ¢ âì¢ ¢¨¤¥ ¯®áâ®ï®© ¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© á®áâ ¢«ïî-é¨å: p0(t)� = p00� + ap cos !t: (3)�¥ç¥¨¥, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢®á¥¬ìî䨧¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ { �, �; H; p00=�, ap, !;k, h, å à ªâ¥à¨§ãî騬¨ ᮮ⢥âá⢥® ⥪ãéã¤ª®áâì ¨ ª «, å à ªâ¥à ¨§¬¥¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¨á¢®©á⢠���. �ਠ¯®áâ®ï®¬ £à ¤¨¥â¥ ¤ ¢«¥-¨ï, ap = 0, ¨ ¢ ®âáãâá⢨¨ ��� (â.¥. ª®£¤ k = 0¨«¨ h = 0) ¯®«ã稬 «¨¥©®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ âà¥-¨ï ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⨠[6] ᬠªá¨¬ «ì묨 § 票ﬨW = maxz2[0;H] U (z) = U (H) = �p00H22�� ;�00 = maxz2[0;H] � (z) = � (0) = �p00H:
�ᯮ«ì§ã¥¬ ¨å ¢ ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡®¢ ¯à¨ ¢¢¥¤¥¨¨¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¯®«®© § ¤ ç¨ (1) { (3):z = zH ; U = UW ; � = ��00 ; t = �tH2 : (4)�¡¥§à §¬¥à¥ë¥ ãà ¢¥¨ï § ¯¨è¥¬ à §¤¥«ì-® ¤«ï â¥ç¥¨© ¢ãâਠ¨ ¢¥ ��� á ãá«®¢¨¥¬ á®-¯à殮¨ï £à ¨æ¥ à §¤¥« z=h:¯à¨ z 2 [0; �]( U 0t = U 00zz + 2(1 + a cos !t)� AU;z = 0 U = 0; (5)¯à¨ z 2 [�; 1]( U 0t = U 00zz + 2(1 + a cos!t);z = 1 Uz = 0;U (� � 0) = U (� + 0); � (� � 0) = � (� + 0):�ਠí⮬ ¡¥§à §¬¥à®¥ â२¥ ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢-ë¬ ¯®«®¢¨¥ ¯à®¨§¢®¤®© ᪮à®áâ¨:� = 12 dUdz(ç¥àâ ¤ ᨬ¢®« ¬¨ ®¯ãé¥ ). � ®¢ëå ¡¥§à §-¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå «¨èì ç¥âëॠ(¡¥§à §¬¥àëå)¯ à ¬¥âà a = apH2�W ; ! = !H2� ; A = kH2� ; � = hH®¯à¥¤¥«ïîâ â¥ç¥¨¥.�¥è¥¨¥ ¯®«ã稢襩áï áâ 樮 ன § ¤ ç¨ (5)¢ ®âáãâá⢨¥ "¯ã«ìá 権" £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ¡ë-«® ¯®«ã祮 ¬¨ à ¥¥ [1]. �®¬¥â¨¬ ¥£® ¨¤¥ªá®¬"S":Us =8>>>>><>>>>>: 2A + 2 �0�0 sh (�0z)� 2Ach (�0z);¢ãâਠ���, z 2 [0; �];Uh + (z � �)(2� z � �);¢e ���, z 2 [�; 1]; (6)�s = 8>>>>><>>>>>: �0ch (�0z) � 1�0 sh (�0z);¢ãâਠ���, z 2 [0; �];1� z; ¢e ���, z 2 [�; 1];4 �. �. � ¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10£¤¥ �0=pA ¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢ ¨á¯®«ì§®¢ -ë â२¥ á⥪¥ ¨ ᪮à®áâì £à ¨æ¥ ���, ©¤¥ë¥ ¨§ ãá«®¢¨© ᮯà殮¨ï ¨ ¢ëç¨á«ï¥¬ë¥¯® ä®à¬ã« ¬�0 = 1� �ch�0� + 1�0 th�0�;Uh = 2A + 2 �0�0 sh �0� � 2Ach �0�:�¥è¥¨¥ ¦¥ ¨§ãç ¥¬®© §¤¥áì ¥áâ 樮 ன§ ¤ ç¨ (5) ¢ ᨫ㠥¥ «¨¥©®á⨠¨ ®¤®à®¤®áâ¨ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨©, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥á㬬ë áâ 樮 ன á®áâ ¢«ïî饩 (6) ¨ ¥áâ æ¨-® ன ¤®¡ ¢ª¨, "¯ã«ìá 樨":V (z; t) = U (z; t)� Us(z): (7)�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ ¥áâ 樮 à ï ¤®¡ ¢ª 㤮¢«¥â¢®àï¥â § ¤ ç¥ á®¯à殮¨ï:¯à¨ z 2 [0; �]( V 0t = V 00zz + 2a cos!t � AV;z = 0 V = 0; (8)¯à¨ z 2 [�; 1]( V 0t = V 00zz + 2a cos!t;z = 1 V 0z = 0;V (� � 0) = V (� + 0); V 0z (� � 0) = V 0z (� + 0):�ਠí⮬ ¡¥§à §¬¥à®¥ ¢ï§ª®¥ â२¥ ¢ ¯®â®ª¥á¢ï§ ® á ¯®¯¥à¥çë¬ £à ¤¨¥â®¬ ¤®¡ ¢ª¨ ᪮à®-á⨠᫥¤ãî騬 ®¡à §®¬:� (z; t) = �s(z) + 12V 0z (z; t):� ¤ ç (8) ¤«ï "¤®¡ ¢®ª" (7) ¨¬¥¥â ¨ á ¬®áâ®-ï⥫쮥 § 票¥: ® ®¯¨áë¢ ¥â ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥¢®§¢à â®-¯®áâ㯠⥫쮥 â¥ç¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ã«¥¢®¬ á।¥¬ £à ¤¨¥â¥ ¤ ¢«¥¨ï p00=0. �¬¥-® íâ®â á«ãç ©, ª®£¤ Us�0 ¢ ᨫã p00=0, ¨ ¡ã¤¥â§¤¥áì à áᬮâà¥.�â®¡ë ©â¨ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ á®¯à殮¨ï (8),¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¤®¡ ¢ª¨ (7) ª ª ¢¥é¥á⢥-ë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ¡®«¥¥ ®¡é¨å ª®¬¯«¥ªá®§ ç-ëå ãà ¢¥¨©V 0t = V 00zz + 2aei!t �AV ¯à¨ z 2 [0; �]¨Vt = Vzz + 2aei!t ¯à¨ z 2 [�; 1]:
�¥è¥¨¥ ®¡®¨å ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ [5,7]V (z; t) = Z(z) exp(
t); (9)£¤¥
{ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® ¨ Z { ª®¬¯«¥ªá®§ ç ïäãªæ¨ï ¢¥é¥á⢥®£® à£ã¬¥â z. �¥£ª® ¢¨-¤¥âì, çâ® â ª®¥ à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¥á«¨
= i!.�ਠí⮬ à¥è¥¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª®¬¯«¥ªá®§ ç-ë¬ (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥) ãà ¢¥¨ï¬Z00 � (A +
)Z + 2a = 0 ¯à¨ z 2 [0; �]Z̈00 �
Z + 2a = 0 ¯à¨ z 2 [�; 1]:�à¨å®¤¨¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª § ¤ ç¥ á®¯à殮-¨ï ¤«ï ª®¬¯«¥ªá®§ 箩 äãªæ¨¨ Z ®â ¤¥©á⢨-⥫쮣® à£ã¬¥â z:¯à¨ z 2 [0; �]( Z00 � (A+ i!)Z = �2a;Z(0) = 0; (10)¯à¨ z 2 [�; 1]( Z00 � i!Z = �2a;Z0(1) = 0;Z(� � 0) = Z(� + 0); (11)Z0(� � 0) = Z0(� + 0):�â ¤ àâë¬ ¯à¨¥¬®¬ à¥è¥¨¥ ¯¥à¢®£® ãà ¢-¥¨ï (10) («¨¥©®£®, ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì®£® ¢â®à®£® ¯®à浪 ) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ -¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 áã¬¬ë ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ®¤-®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¨ ç á⮣® à¥è¥¨ï ¥®¤®-த®£®, ᮤ¥à¦ 饩 ¥®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®íää¨æ¨-¥âë:Z = C1e�z + C2e��z + 2aM4 (A � i!);Z0 = �(C1e�z �C2e��z);£¤¥ ª®à¥ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¥áâì�=pA + i!=Me�i'=2. � ç¥¨ï ¥®¯à¥¤¥«¥ë媮íää¨æ¨¥â®¢ ¤®«¦ë ¡ëâì ©¤¥ë ¨§ £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© § ¤ ç (10). �® § ¯¨áì à¥è¥¨ï ¡ã-¤¥â « ª®¨ç¥¥, ¥á«¨ ¯à¨¬¥¨âì á«¥¤ãî騩 ¯à¨-¥¬. � 票¥ à£ã¬¥â z = � ï¥âáï ®¡é¨¬¤«ï ®¡¥¨å § ¤ ç. � 票ï äãªæ¨¨ ¢ í⮩ â®çª¥Z(�) ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®© Z0(�), å®âï ®¨ ¯®ª ¨ ¥-¨§¢¥áâë, ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¢¬¥áâ® £à ¨çëå ãá«®¢¨©(10) ¤«ï § ¯¨á¨ ®¡é¥£® ¢¨¤ à¥è¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®-àïï ⥬ á ¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬ ᮯà殮¨ï (11). �®á«¥®¯à¥¤¥«¥¨ï C1 ¨ C2 ¨§ á¨áâ¥¬ë ¤¢ãå «¨¥©ëå�. �. � ¥¢ 5
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãîé¥-¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î à¥è¥¨ï ¯¥à¢®© ªà ¥¢®© § ¤ -ç¨, z 2 [0; �]; ¯®¬¥ç ¥¬ ¥£® ¨¤¥ªá®¬ "1":Z1(z) = fZ(�) � 2aA + i! g � ch [�1(z � �)]++ 1�1Z0(�) � sh [�1(z � �)] + 2aA+ i! ; (12)£¤¥ �1 = pA + !i = M1 exp 12'1i,M21 = (A2 + !2) 12 , cos'1 = A=pA2 + !2.�®à¬ «ì® ¯®¤áâ ¢«ïï áî¤ A=0, ¯®«ãç ¥¬ à¥-襨¥ ¨ ¤«ï ¢â®à®© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨, z 2 [�; 1], ª®-â®à®¥ ¯®¬¥ç ¥¬ ¨¤¥ªá®¬ "2":Z2(z) = fZ(�)� 2ai! g � ch [�2(z � �)] ++ 1�2Z 0 � (�)sh [�2(z � �)] + 2ai! ; (13)£¤¥ �2 = p!i = M2 exp (12'2i), M22 = !, '2 = �=2.�¥¯¥àì ä®à¬ «ìë¥ ¯ à ¬¥âàë Z(�) ¨ Z0(�) «¥£-ª® ©â¨ ¨§ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨© § ¤ ç (10):Z(�) = NumDen � ch (�2�2)�2 ; (14)Z0(�) = NumDen � sh (�2�2);£¤¥ Num = 2af1� ch (�1�1)gei'1 ,Den = M21 � f 1�2 � ch (�1�1) � ch (�2�2) ++ 1�1 � sh (�1�1) � sh (�2�2)g;�1 = �, �2 = 1� �.�ëà ¦¥¨ï (12) { (14) ¨ ¤ îâ à¥è¥¨¥ ª®¬¯«¥ªá-®§ 箩 § ¤ ç¨ (10). �뤥«ïï ¢ ¯®á«¥¤¥¬ ¢¥-é¥á⢥ãî ç áâì, ¯®«ãç ¥¬ à¥è¥¨¥ ¤«ï "¯ã«ì-á 権" (8) ᮣ« á® (9):V (z; t) = Re (Z exp (i!t)) == Re (Z cos (!t) � Im (Z sin (!t): (15)�®«ãç¥ë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¢¥áì¬ £à®¬®§¤ª¨, ¥á«¨ ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ ¨ ¬¨¬ë¥ ç á⨢뤥«ïâì "¤® ª®æ ". �¤ ª® «¥£ª® ¢ë¯®«ïâ쯮 ¨¬ ¢ëç¨á«¥¨ï «î¡®¬ ¨§ «£®à¨â¬¨ç¥áª¨åï§ëª®¢. �à¨áâ㯨¬ ª «¨§ã ¯®«ã祮£® à¥è¥-¨ï (12) { (15).
2. ���������� ������� ������������� ����á®, çâ® ¯à¨ (¡¥§à §¬¥à®¬) £à ¤¨¥â¥ ¤ ¢«¥-¨ï, ¯ã«ìá¨àãî饬 ¯® £ ମ¨ç¥áª®¬ã § ª®ãp0 = a cos !t; (16)¢ ª «¥ ãáâ ®¢¨âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ ¢®§¢à â®-¯®áâ㯠⥫쮥 ¤¢¨¦¥¨¥ á ¯¥à¨®¤®¬ ª®«¥¡ ¨©T = 2�=!. � áᬮâਬ á ç « á«ãç © ®âáãâ-áâ¢¨ï «¥£ª®¯à®¨æ ¥¬®© è¥à®å®¢ â®á⨠¢ ª «¥,çâ® ®â¢¥ç ¥â § ç¥¨ï¬ ¯ à ¬¥â஢ � = 0 «¨¡®A=0. � à¨á. 1 ¨ 2, ¢ ¨å ¨¦¨å ¯®«®¢¨ª å, ¯®-ª § ë à á¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⨠¨ âà¥¨ï ¢ ª «¥¡¥§ ��� ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨¢ ¯à¥¤¥« å ®¤®£® ¯®«ã¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© ¤ ¢«¥-¨ï. �«¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® â¥ç¥¨¥ ¢ ¢¥à奩¯®«®¢¨¥ ª « ᨬ¬¥âà¨ç® ¨ §¤¥áì ¥ ¯®ª § -®. � 襩 楫ìî ¡ã¤¥â ᮯ®áâ ¢¨âì â¥ç¥¨ï ¯à¨,ãá«®¢® £®¢®àï, "¬ «®©" ¨ "¢ë᮪®©" ç áâ®â å ª®-«¥¡ ¨©.�ᥠ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨠¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ ®«ì ¢ á¨-«ã £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï á⥪¥. �à¨"¬ «®©" ç áâ®â¥ ª®«¥¡ ¨© { ¤«ï ¯à¨¬¥à à¨á. 1¢§ïâ® ! = 1 ¯à¨ ¡¥§à §¬¥à®© ¬¯«¨â㤥 a = 2:5{ ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨠¨¬¥îâ ¬®®â®ë© ¯ à ¡®-«¨ç¥áª¨© ¢¨¤, â.¥. á«¥¤ãîâ § ª®ã �ã §¥©«ï ¤«ïª « [5, 6] ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨. �¢¨¦¥-¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ í⮬ ®¤® ¯à ¢«¥® á £à ¤¨-¥â®¬ ¤ ¢«¥¨ï. � ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t=0 (ªà¨¢ ï 1 à¨á. 1(�)) £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï (16) ¯®«®¦¨â¥«¥¨ ¬ ªá¨¬ «¥, ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠§ ¨¬ ¥â ªà ©-¥¥ ¯à ¢®¥ ¯®«®¦¥¨¥: ¢¥«¨ç¨ ᪮à®á⨠¯®«®¦¨-⥫ì , ¦¨¤ª®áâì ¢ ª «¥ ¤¢¨¦¥âáï á«¥¢ ¯à -¢® (¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ¯à ¢«¥¨¥). � ¯®á«¥¤ãî騥¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï 㬥ìè ¥â-áï, á ç « ¬¥¤«¥®, ® á ã᪮२¥¬, ¨ ᮮ⢥â-á⢥® ¢¥¤ãâ á¥¡ï ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨠¢ ¬®¬¥âë¢à¥¬¥¨ t=�t (ªà¨¢ ï 2) ¯à¨ �t= T=20; t= 2�t(ªà¨¢ ï 3); t=3�t (ªà¨¢ ï 4) ¨ â.¤. � ¬®¬¥â ¢à¥-¬¥¨ t = 5�t (ªà¨¢ ï 6) £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï à ¢¥ã«î ¨ ¢ ¯®á«¥¤ãî騥 ¬®¬¥âë áâ ®¢¨âáï ®âà¨-æ ⥫ìë¬. �®®â¢¥âá⢥® ¢¥¤ãâ á¥¡ï ¯à®ä¨«¨áª®à®á⨠7, .., 10: ᪮à®áâì ®âà¨æ ⥫ì , ¦¨¤-ª®áâì ¤¢¨¦¥âáï á¯à ¢ «¥¢®.� ¬®¬¥â t= 10�t (ªà¨¢ ï 11) £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥-¨ï (16) ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ «ì®¥ § 票¥, ¨«¨ â®ç¥¥{ ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®âà¨æ ⥫쮥, ¨ ç¨ ¥â § ⥬ã¡ë¢ âì ¯® ¢¥«¨ç¨¥. �®í⮬㠢 ¯®á«¥¤ãî騥 ¬®-¬¥âë ¢à¥¬¥¨ (ªà¨¢ë¥ 12, 13 ¨ â.¤.) ¯à®ä¨«¨ ᪮-à®á⨠¯¥à¥¬¥é îâáï ¢¯à ¢®, ®âà¨æ ⥫쮥 ¤¢¨-¦¥¨¥ ®á« ¡¥¢ ¥â ¨ § ¬¥é ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ìë¬,ᮢ ¯à ¢«¥ë¬ á«¥¢ ¯à ¢®. � ¤ «ì¥©è¨¬å®¤®¬ ¢à¥¬¥¨ ®¯¨á ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢6 �. �. � ¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10
�¨á. 1. �®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨠¯®â®ª ç¥à¥§ á¥ç¥¨¥ ¯«®áª®£® ª « ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨: 1 - t =0, 2 - t=�t=T=20, 3 - t=2�t ¨ â.¤. ¯à¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬¨§¬¥¥¨¨ ¤ ¢«¥¨ï (16) á ¬¯«¨â㤮© a=2:5 ¨ "¬ «®©" ç áâ®â®© !=1.¢¨§ã { ª « ¡¥§ ���, ¢¢¥àåã { ª « á ���, �=0:7, A=50,� { ¯¥à¢ ï, � { ¢â®à ï ¯®«®¢¨ë ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© Tª «¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¯®¢â®àïîâáï. �⬥⨬, çâ®ã¦¥ ¯à¨ í⮬ § 票¨ ç áâ®âë ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á« -¡®¥ "®âáâ ¢ ¨¥" ¤¢¨¦¥¨ï ®â ¨§¬¥¥¨© ¤ ¢«¥-¨ï: ¯à¨ ã«¥¢®¬ £à ¤¨¥â¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¬®¬¥â 6᪮à®á⨠¢ ª «¥ ¥ à ¢ë ⮦¤¥á⢥® ã«î.� á¯à¥¤¥«¥¨¥ âà¥¨ï ¢ ª «¥ ¯à¨ â ª®© ¬ «®©ç áâ®â¥ ¯ã«ìá 権 (à¨á. 1(�)) á«¥¤ã¥â ¢ ®á®¢®¬¨§¢¥á⮬㠧 ª®ã, ã¡ë¢ ï «¨¥©® ®â ¥ª®â®à®£®â२ï á⥪¥ �0 = � (0; t) ¤® ã«ï ®á¨ ª -« ; «¨èì ¢ ¥ª®â®àë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ ¢®§¨ª ¥âá« ¡®¥ ¨áªà¨¢«¥¨¥ à á¯à¥¤¥«¥¨© ¢¡«¨§¨ á⥮ª.� à¨á. 2(�) ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨦¨¤ª®á⨠¯®¯¥à¥ª ª « ¯à¨ "¢ë᮪®©" ¡¥§à §-¬¥à®© ç áâ®â¥ !=50 ( ¯®¬¨¬, çâ® «¨èì ¨¦-¨¥ ¯®«®¢¨ë à¨á㪮¢ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á«ãç © ®â-áãâá⢨ï ���). �®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤¢¨¦¥¨¥¦¨¤ª®á⨠¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ 5, 6, ..., 9 (á¬. á®-®â¢¥âáâ¢ãî騥 ªà¨¢ë¥) ¯à®¨á室¨â, ¯®á⥯¥®§ ¬¥¤«ïïáì, á«¥¢ ¯à ¢®, ¯®á«¥ 祣® ¢ ¬®¬¥âë¢à¥¬¥¨ 11, 12, ..., 15 ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ª «¥ ¡ã¤¥â -¯à ¢«¥® 㦥 ¢ ®¡à âãî, ®âà¨æ ⥫ìãî, áâ®à®-ã, § ⥬ ᮢ ¢ ¯®«®¦¨â¥«ìãî (í⨠¬®¬¥âë¢à¥¬¥¨ 㦥 ¥ ¯®ª § ë), ¨ â ª ¤ «¥¥ ¯¥à¨®¤¨-ç¥áª¨. �¥à¨®¤ íâ¨å ª®«¥¡ ¨© T2=2�=!2 ¢ 50 à §¬¥ìè¥, 祬 ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥.�®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® "®âáâ ¢ ¨¥" ¯®â®ª ®â ¨§-¬¥¥¨© ¤ ¢«¥¨ï ¢ á«ãç ¥ "¢ë᮪®ç áâ®âëå" ª®-«¥¡ ¨© § ç¨â¥«ì® ¢®§à®á«® ¯® áà ¢¥¨î á ¯à¥-¤ë¤ã騬 á«ãç ¥¬ "¨§ª®ç áâ®âëå" ®á樫«ï権:¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ 6, ª®£¤ £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï à -¢¥ ã«î, ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⨠⮫쪮-⮫쪮 "¯¥à¥-
¢ «¨«" ç¥à¥§ ªà ©¥ ¯à ¢®¥ ¯®«®¦¥¨¥. � ¢ ¬®-¬¥â ¢à¥¬¥¨ 10, ª®£¤ £à ¤¨¥â ¯®ç⨠¤®á⨣¬ ªá¨¬ «ì®© ®âà¨æ ⥫쮩 ¢¥«¨ç¨ë (¨ ¯à¨ ª®-â®à®¬ ¢ ¯¥à¢®¬ à áç¥â®¬ á«ãç ¥ ¦¨¤ª®áâì ¤¢¨£ -« áì ¢«¥¢® á ¯®ç⨠¬ ªá¨¬ «ì® ¢®§¬®¦®© ᪮à®-áâìî), ¦¨¤ª®áâì ¢á¥ ¥é¥ ¯à®¤®«¦ ¥â â¥çì ¢ ¯®«®-¦¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨, á«¥¢ ¯à ¢®. � ª®¥ ®â-áâ ¢ ¨¥ ¯® ä §¥ ª®«¥¡ ¨© ®¡êïáï¥âáï, ª®¥ç®,¨¥à樮®áâìî ¦¨¤ª®áâ¨. �¤ ª® ¢¡«¨§¨ áâ¥-®ª, £¤¥ ᪮à®áâì ¦¨¤ª®á⨠¥ ¢¥«¨ª , ® "¡®-«¥¥ ¯®á«ãè®" á«¥¤ã¥â § ¨§¬¥¥¨¥¬ £à ¤¨¥â .�á«¥¤á⢨¥ í⮣® ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ 5, 6, 7 ¨ § -⥬ ¢ ¬®¬¥âë 11, ..., 15 ¯à®ä¨«ïå ᪮à®á⨠㤠«¥¨¨ ®â ®á¨ ª « ¯®ï¢«ïîâáï «®ª «ì륬 ªá¨¬ã¬ë. �®«¥¥ ⮣®, ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ 9¨ 10 ã á⥮ª ¯®ï¢«ïîâáï §®ë ¯à®â¨¢®¯®«®¦® ¯à ¢«¥®£® (¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ { ®âà¨æ ⥫ì®)¤¢¨¦¥¨ï. �â®â íää¥ªâ ¡ë« ®¡ à㦥 íªá¯¥à¨-¬¥â «ì® �¨ç à¤á®®¬ [8] ¨ §¢ ¨¬ " ã«ïà-ë¬" (ª®«ì楢ë¬). � ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ 楫¥ ¯à ¢«¥® ¯à¨ ¯à®¬ë¢ª¥ âàã¡, âà ᯮàâ¥áãᯥ§¨© ¨«¨ § ¯ë«¥ëå £ §®¢ [4]. �â¥à¥á®,çâ® ¢ æ¥âॠª « à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮à®á⨠¡«¨§-ª® ª à ¢®¬¥à®¬ã, ¢ 楫®¬ ¯à®ä¨«ì U (z) ¢¥áì¬ á«®¦¥.�ª § ®¥ ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï à á¯à¥¤¥«¥¨ï¬¨âà¥¨ï ¯®¯¥à¥ª ª « (¨¦ïï ¯®«®¢¨ à¨á.2(�)). �२¥ ¯®ç⨠®âáãâáâ¢ã¥â ¢ á¥à¥¤¨¥ ª - « , ® ¢¥áì¬ á«®¦® à á¯à¥¤¥«¥® ã ¥£® á⥮ª.�¬¯«¨â㤠¨§¬¥¥¨© ¢¥«¨ç¨ë ᪮à®á⨠㬥ì-訫 áì ¯®ç⨠¢ 25 à § ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª® ¢â®à®-�. �. � ¥¢ 7
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10
�¨á. 2. �®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨠¯®â®ª (�) ¨ â२ï (�) ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨:1 - t = 0, 2 - t = �t = T=20, 3 - t = 2�t, ¨ â.¤. ®¤®£® ¯®«ã¯¥à¨®¤ ¯à¨ ¯ã«ìá 樮®¬¨§¬¥¥¨¨ ¤ ¢«¥¨ï á ¬¯«¨â㤮© a = 2:5 ¨ "¢ë᮪®©" ç áâ®â®© ! = 50;(�¨§ã - ª « ¡¥§ ���, ¢¢¥àåã - ª « á ��� � = 0:5, A = 50)¬ã à áç¥â®¬ã á«ãç î. �® ¬¯«¨â㤠â२ï á⥪¥ �0(t) 㬥ì訫 áì «¨èì ¢ 5 à §.3. ������������ ������� � ������� ���� §¢ ë¥ íä䥪âë 㦥 ®¯¨á ë ¢ «¨â¥à âã-ॠ[2 {4], å®âï ¨ ¬ «® ¨§¢¥áâë ¢ ⥮à¥â¨ç¥áª®©£¨¤à®¬¥å ¨ª¥. �®á¬®âਬ ⥯¥àì, ª ª¨¥ ¨§¬¥¥-¨ï ¢®á¨â ¢ ¯®â®ª ¯à¨áãâá⢨¥ ¢ ¥¬ «¥£ª®¯à®¨-æ ¥¬®© è¥à®å®¢ â®áâ¨. � áç¥âë¥ ¯à®ä¨«¨ â¥ç¥-¨© ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¢¥àå¨å ¯®«®¢¨ª å à¨á. 1 ¨2 ¤«ï ��� ¥ª®â®à®© ¯«®â®á⨠A= 50, § ¨¬ -î饩 ¯®«®¢¨ã á¥ç¥¨ï ª « (â.¥. �=0:5), å®âï, ¯®¬¨¬, à áᯮ«®¦¥¨¥ ��� ¢ ª «¥ ¨, á®®â-¢¥âá⢥®, â¥ç¥¨¥ ¢ ¥¬, ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨-â¥«ì® ®á¨ z=1. � à¨áãª å ®â¬¥ç¥ ®¡« áâì ãá⥮ª, § ¯®«¥ ï ¯à¥¯ïâá⢨ﬨ.�¢¨¦¥¨¥ ¢ï§ª®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ª «¥ á ��� â ª-¦¥, ¥áâ¥á⢥®, ¨§¬¥ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ á ¯¥-ਮ¤®¬ T = 2�=!: ¦¨¤ª®áâì â¥ç¥â á ç « á«¥¢ ¯à ¢®, § ⥬ - ¢ ®âà¨æ ⥫쮬 ¯à ¢«¥¨¨,á¯à ¢ «¥¢®, ¨ â.¤. �® 㬥à 樨 ¯à®ä¨«¥© ᪮-à®á⨠à¨áãª å ¥ á«®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì, ª ª ª®¬ã¬®¬¥â㠢६¥¨ ®â®á¨âáï â® ¨«¨ ¨®¥ à á¯à¥-¤¥«¥¨¥, ¨¡® ¢ 楫®¬ ¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì á®®â-¢¥âáâ¢ã¥â á«ãç î ¡¥§ ���. �â ª, ¥á«¨ ¯®¬¥áâ¨âì��� ¡¥§à §¬¥à®© A = 50 ¯«®â®á⨠¢ "¨§ª®-ç áâ®â®" ¯ã«ìá¨àãî騩 ¯®â®ª (á¬. à¨á. 1), â® ¬¯«¨â㤠¨§¬¥¥¨ï ᪮à®á⨠㬥ìè¨âáï ¯à¨-¬¥à® ¢ ¤¢ à § . � ª®© १ã«ìâ â ᮢ¥à襮¥áâ¥á⢥¥, ¯®áª®«ìªã ��� ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©¤®¯®«¨â¥«ì®¥ (ª âà¥¨î ® á⥪¨) £¨¤à ¢«¨ç¥-
᪮¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¢ ª «¥. � á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪮-à®á⥩ á®á⮨â ⥯¥àì ¨§ ¤¢ãå ç á⥩ { "§ â®à-¬®¦¥®£®" ¢ á«®¥ ¯à¥¯ïâá⢨© ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®-£® ¢ ᢮¡®¤®© ç á⨠ª « . � ª ¦¤ë© ¬®¬¥â¢à¥¬¥¨ ®® ¨¬¥¥â ¯à¨¬¥à® â ª®© ¦¥ ¢¨¤, ª ª®©¡ë« ¡ë ¢ áâ 樮 ஬ â¥ç¥¨¨ (6) á ᮮ⢥âáâ¢ã-î饩 ¢¥«¨ç¨®© £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ¨ ¯à¨ «¨-稨 ��� [1]. �᫨ ��� ¡ã¤¥â ¡®«¥¥ ¯«®â®©, â®,ª ª ¯®ª §ë¢ îâ à áç¥âë, ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ á«®¥ ¯à¥¯ïâ-á⢨© ã£ á ¥â ¤® ¯®«®£® § áâ®ï ¨ á®á।®â 稢 -¥âáï «¨èì ¢ ᢮¡®¤®© ç á⨠ª « , ª ª ¥á«¨ ¡ë{ ¢ ¯à¥¤¥«¥ { ª « ¡ë« ¡ë 㬥ì襮© è¨à¨ë1� � á £« ¤ª¨¬¨ á⥪ ¬¨.� ¢®â ¯®¬¥é¥¨¥ ��� ¢ ª « á "¢ë᮪®ç -áâ®â묨" ¨§¬¥¥¨ï¬¨ ¤ ¢«¥¨ï ¢¥¤¥â ª ¡®«¥¥¥®¦¨¤ ë¬ à¥§ã«ìâ â ¬, ¢ ª®à¥ ®â«¨çë¬ ®âáâ 樮 ண® à¥è¥¨ï. � ª ¯®ª §ë¢ ¥â à¨á.2(�), ¬¯«¨â㤠¨§¬¥¥¨© ᪮à®á⨠¥ 㬥ìè¨-« áì ¯® áà ¢¥¨î á® á«ãç ¥¬ ®âáãâá⢨ï ���(¨¦ïï ¯®«®¢¨ª à¨á㪮¢), ¤ ¦¥ á«¥£ª 㢥-«¨ç¨« áì ¢ ᢮¡®¤®¬ á¥ç¥¨¨ ª « (áà. ¯à®ä¨-«¨ ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ 5 ¨ 6), ¨ â ª¦¥ 㢥«¨ç¨-¢ ¥âáï ¬¯«¨â㤠"«®ª «ìëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢" ¢ § -â®à¬®¦¥®© ç á⨠â¥ç¥¨ï ¨ à §¬¥àë ®¡« á⥩,®å¢ ç¥ëå ¯à®â¨¢®¯®«®¦® ¯à ¢«¥ë¬, ¢®§-¢à âë¬, ¤¢¨¦¥¨¥¬ (¯à®ä¨«¨ 8, 9 ¨ 10). �®¦®£®¢®à¨âì ®¡ ãᨫ¥¨¨ ã«ïண® íä䥪â . � ª®¥ï¢«¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â® 㬥ìè¥¨î £¨¤à ¢«¨ç¥áª®-£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ª « . �¢¥«¨ç¥¨¥ ¯«®â®áâ¨��� (A=100 ¢¬¥á⨠50) ¯®ç⨠¨ç¥£® ¥ ¬¥ï¥â,¢ ®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ¥¢ áâ 樮 ண® ¨«¨ ¨§ª®ç -áâ®â®£® ¤¢¨¦¥¨ï. � áç¥â ¤«ï ¥é¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®©ç áâ®âë != 100 í⨠¢ë¢®¤ë ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â: å®âï8 �. �. � ¥¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 10
�¨á. 3. �§¬¥¥¨¥ ¢® ¢à¥¬¥¨ ¯à殮¨ï â२ï á⥪¥ ª « �0¢ ®âáãâá⢨¥ ��� (èâà¨å®¢ë¥ «¨¨¨) ¨ ¯à¨ ¥¥ «¨ç¨¨ (ᯫ®èë¥; A=50; � � 0:5):1 { !=10; 2 { !=50; 3 { !=100¡¥§à §¬¥à ï ᪮à®áâì áâ « ¨§¬¥ïâìáï ¢ ¡®«¥¥ã§ª¨å ¯à¥¤¥« å, ®â �0:045 ¤® 0:045, ® ��� ¤¥« -¥â "ªà ©¨¥" ¯à®ä¨«¨ ᪮à®á⨠¡®«¥¥ ¯®«¥ë-¬¨ ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥â £ ¡ à¨âë ®¡« á⨠¯à®â¨¢®â®ª .� «¨ç¨¥ ��� 㬥ìè ¥â â ª¦¥ ᤢ¨£ ä § ¬¥¦¤ãª®«¥¡ ¨ï¬¨ ¤ ¢«¥¨ï ¨ ᪮à®áâ¨.� à ¬¥âà § ¤ ç¨ �, � 2 [0; 1], å à ªâ¥à¨§ã¥â ¤®-«î á¥ç¥¨ï ª « , § ï⮣® ���. � áç¥âë ¯®ª -§ «¨, çâ® ¥£® 㢥«¨ç¥¨¥ ¯à¨ ¢ë᮪®© ç áâ®â¥ !¯®ç⨠¥ â®à¬®§¨â ¦¨¤ª®áâì. �â® â ª¦¥ ®â«¨ç®®â á«ãç ï ¬ «®© ç áâ®âë.�§¬¥¥¨¥ ¢® ¢à¥¬¥¨ ¯à殮¨ï âà¥¨ï ¯ã«ì-á¨àãî饣® ¯®â®ª á⥪¥ ª « �0(t) ¯à¥¤áâ -¢«¥® £à 䨪¥ à¨á. 3. �®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® âà¥-¨¥ á⥪¥ ¢® ¢á¥å à áç¥âëå á«ãç ïå ¨§¬¥ï-¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨, ¯® § ª®ã ª®á¨ãá , ® á ¥-ª®â®àë¬ á¤¢¨£®¬ ä §ë ¯® ®â®è¥¨î ª ¤ ¢«¥¨î(16). �¢¥«¨ç¥¨¥ ç áâ®âë ¯ã«ìá 権 㬥ìè ¥â ¬¯«¨âã¤ã �0(t), ® ¢ ®âáãâá⢨¥ ��� (èâà¨å®-¢ë¥ «¨¨¨) íâ®â íä䥪⠯à®ï¢«ï¥âáï ᨫ쥥, 祬¯à¨ ¥¥ ¯à¨áãâá⢨¨ (ᯫ®èë¥ «¨¨¨), ¨¡® ���á ¬ ¯® ᥡ¥ ¢¥¤¥â ª 㬥ìè¥¨î ¯à¨á⥮£®â२ï. �à ¢¨¢ ï ¯ à㠪ਢëå á ®¤¨ ª®¢ë¬¨®¬¥à ¬¨, ¥é¥ à § ®â¬¥ç ¥¬ «¨ç¨¥ ᤢ¨£ ä §á ¯ã«ìá æ¨ï¬¨ ¤ ¢«¥¨ï.4. ������������� ��������¢¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨¥ ¨â¥à¯à¥â 樨 ¬®£ãâ ¡ëâì¤ ë à áᬮâ८© ¢ëè¥ § ¤ ç¥. �ਠç¨áâ® £ à-¬®¨ç¥áª®¬ ¨§¬¥¥¨¨ ¤ ¢«¥¨ï (16) ¤¥©á⢨⥫ì-® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢®§¢à â®-¯®áâ㯠⥫쮥 ¤¢¨¦¥-
¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¢ ª «¥, ª ª®â®à®¬ã ®â®áïâáï ¢á¥¢ë襯ਢ¥¤¥ë¥ ¨««îáâà 樨. �«¥¤ã¥â ⮫쪮®£®¢®à¨âì, çâ® ¯à¨ í⮬ ¬ áèâ ¡ ᪮à®á⨠W ¬®-¦¥â ¡ëâì § ¤ «¨èì ¢ ¢¨¤¥ W = �=H, ¯®áª®«ìªãá।¨© £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ®âáãâáâ¢ã¥â, p00 � 0.�â® ®§ ç ¥â, çâ® ¡¥§à §¬¥à ï ¬¯«¨â㤠ª®-«¥¡ ¨© ¤ ¢«¥¨ï ¢® ¢á¥å ¯à¨¢¥¤¥ëå ä®à¬ã« 娬¥¥â á«¥¤ãî騩 á¬ëá«:a = apH3�2 :�᫨ ¦¥ ¢ ª «¥ ¤¥©áâ¢ã¥â ¨ á।¨© £à ¤¨-¥â ¤ ¢«¥¨ï p00 6= 0, â® ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ ¯à®-䨫¨ ᪮à®á⨠¨ âà¥¨ï ª« ¤ë¢ îâáï áâ -樮 àë¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï (6) ª ª ¥ª®â®àë¥ ä«ãª-âã 樨. � â ª®¬ á«ãç ¥ ¡¥§à §¬¥à ï ¬¯«¨â㤠¨¬¥¥â ¨®© á¬ëá«: a = �app00 :�।¨© ¯® ¢à¥¬¥¨ à á室 ¦¨¤ª®á⨠®áâ ¥âáï ¥-¨§¬¥ë¬. �¤ ª® ¨®¥ § ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ®¦¨-¤ âì, ¥á«¨ ¤®¯ãáâ¨âì ¡®«¥¥ ॠ«ìë©, ª¢ ¤à â¨ç-ë© § ª® ᨫë (2).�����������¡ à㦥®¥ ¢«¨ï¨¥ ��� ¯ã«ìá¨àãî騩¯®â®ª ¬®¦¥â ¡ëâì, ¢ ¨â®£¥, ®å à ªâ¥à¨§®¢ ® ¢§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¨á¯®«ì§ã¥âáï «¨ ��� ¤«ï¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¯ã«ìá¨àãî騩 ¯®â®ª ¨«¨, ®¡®-à®â, ¯ã«ìá 樨 ¤ ¢«¥¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤«ï ã¯à -¢«¥¨ï ¯®â®ª®¬ ¢ ª «¥ á ���:�. �. � ¥¢ 9
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 3 { 101.1. �᫨ ¯®¬¥áâ¨âì ��� ¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¯ã«ì-á¨àãî騩 ¯®â®ª, â® ¯à¨ ¨§ª®© ç áâ®â¥ ¯ã«ìá -権 ® ¢ë§®¢¥â १ª®¥ 㬥ì襨¥ ¯à®¯ã᪠¥¬®-£® à á室 ¦¨¤ª®á⨠(â.¥. 㢥«¨ç¥¨¥ £¨¤à ¢«¨ç¥-᪮£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï ª « );1.2. �᫨ ¯®¬¥áâ¨âì ��� ¢ ¢ë᮪®ç áâ®â멯ã«ìá¨àãî騩 ¯®â®ª, â® íâ® ¥ 㬥ìè¨â ¬-¯«¨âã¤ã ¢ ਠ樨 ᪮à®áâ¨. �®§¬®¦® ¯®í⮬㡨®«®£¨ç¥áª¨¥ á ¬®ã¯à ¢«ï¥¬ë¥ á¨á⥬ë ॠ£¨-àãîâ ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ¯à¥¯ïâá⢨© (¢á«¥¤á⢨¥, ¯à¨¬¥à, ¡®«¥§¨ ¨«¨ áâ २ï) ãç 饨¥¬ ¤¢¨-¦¥¨ï.1.3. � ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥, ®¤ ª®, à áè¨àïîâáï¯à¨á⥮çë¥ ®¡« áâ¨ á ¯à®â¨¢®¯®«®¦® ¯à -¢«¥ë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬, çâ® ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¥£ ⨢륯®á«¥¤áâ¢¨ï ¤«ï ¡¨®«®£¨ç¥áª¨å á¨á⥬.2.1. �᫨ ¦¥ ¥®¡å®¤¨¬® ã¯à ¢«ïâì ¤¢¨¦¥¨¥¬ ¢ª «¥ á ¨¬¥î饩áï ���, â® ª« ¤ë¢ ¨¥ ¯ã«ì-á 権 ¤ ¢«¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤¨ ¨§ ¢®§-¬®¦ëå ¬¥â®¤®¢. �ਠí⮬ â ª¦¥ á«¥¤ã¥â ¯à¨-ïâì ¢® ¢¨¬ ¨¥ à §«¨ç®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨯ਠ¨§ª¨å ¨ ¢ë᮪¨å ç áâ®â å ¨§¬¥¥¨ï ¤ ¢«¥-¨ï.
1. � ¥¢ �.�. �«¨ï¨¥ ®á®¡¥®á⥩ «¥£ª®¯à®¨æ ¥¬®©è¥à®å®¢ â®á⨠£¨¤à®¤¨ ¬¨ªã « ¬¨ ண® ¯®-⮪ // �̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1984.{ N 50.{ �. 44{52.�£«. ¯¥à¥¢®¤: E�ect of Easily Penetrable Roughnesson the Hydrodynamics of Laminar Flow { Fluid Mech.- Soviet Research (USA), 19, N 3, May - June 1990,pp. 1-12.2. �®¯®¢ �.�. �¥áâ 樮 àë¥ £¨¤à®¬¥å ¨ç¥áª¨¥¯à®æ¥ááë.{ �.: � 訮áâ஥¨¥, 1982.{ 240 á.3. � «¨æ¥©áª¨© �.�., �릮¢ �.�., �ªãè �.�. �¥¯«®-¢ë¥ ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ª®«¥¡«îé¨åáﯮ⮪ å.{ �.: � 訮áâ஥¨¥, 1977.{ 256 á.4. � ©§ã«« ¥¢ �.�., � ¢à㧮¢ �. �̈ ¤à®¤¨ ¬¨ª ¯ã«ìá¨àãîé¨å ¯®â®ª®¢.{ � 誥â: � , 1986.{192 á.5. �«¨å⨣ �. �¥®à¨ï ¯®£à ¨ç®£® á«®ï.{ �.: � ã-ª , 1969.{ 742 á.6. �®©æï᪨© �.�. �¥å ¨ª ¦¨¤ª®á⨠¨ £ § .{ �.:� 㪠, 1973.{ 848 á.7. �¨å®®¢ �.�., � ¬ à᪨© �.�. �à ¢¥¨ï ¬ ⥬ -â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨.{ �.: � 㪠, 1966.{ 724 á.8. Richardson E.G. Amplitude of sound waves in pipes //Proc. Roy. Soc., Ser. A.{ 1926.{ 112.{ P. 522{541.
10 �. �. � ¥¢
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5196 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:31:16Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гаев, Е.А. 2010-01-12T16:43:06Z 2010-01-12T16:43:06Z 1999 Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок / Е.А. Гаев // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 3-10. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5196 532.517.2 Рассмотрена задача о стабилизированном движении вязкой жидкости в плоском канале под действием периодически изменяющегося давления в случае присутствия у его стенок легкопроницаемой шероховатости, ЛПШ (т.е. слоя с распределенной массовой силой, зависящей от локальной скорости жидкости). По аналитическому решению, полученному в комплексных числах, построены изменяющиеся во времени распределения скорости и трения поперек канала в отсутствие и при наличии ЛПШ. Обнаружено кардинальное различие во влиянии ЛПШ на пульсирующий поток в зависимости от частоты изменения давления. Результаты могут быть использованы в пневмо- или гидроавтоматике и в биомеханике. Розглянута задача про нестацiонарний рух в'язкої рiдини на стабiлiзованiй дiлянцi плоского каналу пiд впливом тиску, що гармонiчно змiнюється, у випадку присутностi бiля його стiнок легкопронизливої шорсткостi, ЛПШ (тобто шару з розподiленою масовою силою, що залежить вiд локальної швидкостi рiдини). За аналiтичним розв'язком в комплексних числах побудованi змiнюванi за часом розподiли швидкостi та тертя у вiдсутностi та присутностi ЛПШ. Знайдена суттєва рiзниця у впливi ЛПШ на пульсуючий потiк в залежностi вiд частоти змiни тиску. Результати можуть бути використанi у пневмо- чи гiдроавтоматицi та в бiомеханiцi. Stabilized motion of a viscous fluid in a long plane duct with the easily penetrable roughness (EPR) over walls (i.e., a layer with a distributed mass force proportional to the local velocity) has been considered under the periodically changing pressure gradient. By means of an analytical solution in complex numbers, distributions of the velocity and shear stress have been plotted across the duct for different time moments with the absence or presence of the EPR. The influence of the EPR on the periodical flow appeared to be drastically depended on the frequency of pressure changes. Results may be used in pneumatics or hydroautomatics, and in biological fluid mechanics. ru Інститут гідромеханіки НАН України Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок Pulsating laminar flow in a duct with easily penetrable roughness near walls Article published earlier |
| spellingShingle | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок Гаев, Е.А. |
| title | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок |
| title_alt | Pulsating laminar flow in a duct with easily penetrable roughness near walls |
| title_full | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок |
| title_fullStr | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок |
| title_full_unstemmed | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок |
| title_short | Пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок |
| title_sort | пульсирующее ламинарное течение в канале с легкопроницаемой шероховатостью у стенок |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5196 |
| work_keys_str_mv | AT gaevea pulʹsiruûŝeelaminarnoetečenievkanaleslegkopronicaemoišerohovatostʹûustenok AT gaevea pulsatinglaminarflowinaductwitheasilypenetrableroughnessnearwalls |