Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии
Метод розрахунку заснований на критерії міцності матеріалів Кулона і теорії граничного стану з урахуванням зовнішнього і внутрішнього тертя. Одержана задовільна збіжність розрахункових результатів з експериментальними даними. The calculation method is based on Cоulomb’s criterion of durability of m...
Saved in:
| Published in: | Геотехническая механика |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/53750 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии / Л.М. Васильев, Д.Л. Васильев, Ю.М. Ус // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2012. — Вип. 98. — С. 246-254. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859636481386086400 |
|---|---|
| author | Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Ус, Ю.М. |
| author_facet | Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Ус, Ю.М. |
| citation_txt | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии / Л.М. Васильев, Д.Л. Васильев, Ю.М. Ус // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2012. — Вип. 98. — С. 246-254. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геотехническая механика |
| description | Метод розрахунку заснований на критерії міцності матеріалів Кулона і теорії граничного
стану з урахуванням зовнішнього і внутрішнього тертя. Одержана задовільна збіжність розрахункових результатів з експериментальними даними.
The calculation method is based on Cоulomb’s criterion of durability of materials and the theory
of lines of sliding taking into account an external and internal friction. Satisfactory convergence of settlement results with experimental data is received.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:16:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
246
УДК 622.831.3.001.5 Д-р техн.наук Л.М. Васильев.,
канд.техн.наук Д.Л. Васильев,
инж. Ю.М. Ус
(ИГТМ НАН Украины)
МЕТОД РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ОБРАЗЦОВ
ГОРНЫХ ПОРОД ПРИ ОБЪЁМНОМ СЖАТИИ
Метод розрахунку заснований на критерії міцності матеріалів Кулона і теорії граничного
стану з урахуванням зовнішнього і внутрішнього тертя. Одержана задовільна збіжність роз-
рахункових результатів з експериментальними даними.
THE METHOD OF CALCULATION OF LIMITING STATE AT
VOLUMETRIC COMPRESSION SAMPLES OF ROCKS
The calculation method is based on Cоulomb’s criterion of durability of materials and the theory
of lines of sliding taking into account an external and internal friction. Satisfactory convergence of
settlement results with experimental data is received.
В работе [1] разработан метод расчета предельного состояния при сжатии
образцов горных пород с линейной связью между контактными касательными
τк и нормальными напряжениями σу согласно закону Кулона-Амонтона
yê fστ = , (1)
где f- коэффициент внешнего (контактного) трения.
При использовании этого закона возникают непреодолимые трудности точ-
ного интегрирования двух известных дифференциальных уравнений совместно
с алгебраическим уравнением равновесия. Разработанные методы расчета пре-
дельного состояния материала, основанные на этом принципе, не позволяют
определять напряжения внутри материала [2].
Решение имеет место только в частном случае, когда поперечные напряже-
ния σx равны продольным нормальным напряжениям σу и dσу = dσx, что и было
использовано в работе [1].
В работах [3, 4] нами ранее была предпринята попытка использовать другой,
более обоснованный подход к определению связи между напряжениями. В ос-
нову расчета распределения нормальных напряжений был положен метод
Прандтля, разработанный для широкой полосы. Доказано, что точное решение
задачи с использованием двух дифференциальных и одного алгебраического
уравнения равновесия обеспечивается при постоянном значении контактного
касательного напряжения τху. В литературе [2] принято, что касательное напря-
жение изменяется вдоль действия нормального сжимающего напряжения по за-
висимости
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅=
h
Y
êxy
21ττ . (2)
Принято считать [2], что при этом подходе достоверность обеспечивается
вдали от боковых обнаженных граней, так как в граничные условия заложено
247
сохранение их прямолинейности, что не позволяет соблюсти закон парности
касательных напряжений.
В реальных условиях вследствие деформирования боковые грани приобре-
тают выпуклую форму в силу выпучивания свободных, обнаженных (бочкооб-
разных) поверхностей с углом ψ между касательной к бочке и исходной сво-
бодной поверхности (рис.1).
Рис.1. – Схема контактных нагрузок в образце горной породы при наличии внешнего
трения
Это дает нам основание для применения закона парности касательных на-
пряжений в приконтурной области образца. Получено, что теоретическое
распределение нормальных напряжений при постоянном значении касательных
напряжений имеет вид выпуклого треугольника (рис.2), что подтверждено
экспериментальными данными [2].
Рис. 2. – Эпюры контактных нормальных σу и касательных τк напряжений.
Распределение нормальных напряжений σу на контрактной поверхности
описывается простой формулой
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
+=
h
xf
yy
210σσ , (3)
248
где σу0 – предел прочности в угловой точке а.
Сила контактного давления на единицу длины образца равна
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
+⋅⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
+⋅= ∫ h
afadx
h
xfP y
a
y 2
1212 0
2
0 0 σσ . (4)
Удельное давление
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
+=
h
afp y 2
10σ . (5)
Теперь с учетом этих положений в данной статье предстоит разрабо-
тать метод расчета предела прочности образцов горных пород при объемном
нагружении, когда имеет место боковое внешнее нагружение σ2 =σ3 (кон-
тактное трение на боковых гранях отсутствует) при постоянном значении
касательных напряжений на контактной плоскости. Для разработки метода
используем, как и раньше [1], критерий предельного состояния материалов с
внутренним трением, внутри которых эффективные касательные напряже-
ния по Кулону
αα μσττ −=ý , (6)
где τα и σα – активные касательные и нормальные напряжения на наклонной
плоскости, μ – коэффициент внутреннего трения.
Учтем внешнее трение между контактируемыми поверхностями.
Направление элементарных сил трения на контактной поверхности образца,
и, следовательно, касательных напряжений, примем против деформаций.
Оговорим правило знаков касательных напряжений. Касательные напряжения
принимаются положительными, если они направлены вдоль одной из осей
координат, а нормальные сжимающие напряжения – вдоль другой оси. Из этого
следует, что на верхней левой половине образца касательные напряжения
имеют положительный знак, а нижней – отрицательный. На правой половине –
наоборот (рис.1).
Значения τα и σα определяются из известных выражений [4]
ατα
σσ
τα 22
2
CosSin ê
yx +
−
−= , (7)
ατα
σσσσ
σα 22
22
SinCos ê
yxyx −
−
−
+
= . (8)
Подставив выражения (7) и (8) в формулу (6) и продифференцировав по α,
находим выражение для определения наклона траектории максимальных каса-
249
тельных напряжений (линии скольжения), на которой эффективные касатель-
ные напряжения имеют максимальные значения
( )
( ) êyx
êyxtg
τσσμ
μτσσ
α
2
2
2
+−
−−
−= . (9)
Используя выражение (9), находим тригонометрические функции Sin2α и
Соs2α, после подстановки которых в выражение (7), имеем
( ) 22 4
2 êyx
Cos τσσρτα +−= . (10)
Далее продифференцируем по α выражение (8). После подстановки в полу-
ченную формулу тригонометрических функций получаем
( ) 22 4 êyxCos
d
d τσσρ
α
σα +−⋅−= . (11)
Из сравнения выражений (10) и (11) вытекает, что
α
α τ
α
σ 2−=
d
d . (12)
По закону Кулона активные касательные напряженияτα равны сопротивле-
нию материала сдвигу с учетом внутреннего трения с обратным знаком. С уче-
том этого, подставив значение из уравнения (6) в (12), имеем важное диффе-
ренциальное уравнение равновесного состояния на линии скольжения ξ
( )α
α μσ
α
σ
+= k
d
d 2 , (13)
где k – текущее значение сопротивления материала внешнему касательному на-
пряжению на линии скольжения.
Аналогично поступим с выражениями на линии скольжения η, угол наклона
которой равен π -α. Получим уравнение (13) со знаком минус множителя
(k+μσα).
Решение уравнения (13) сводится к решению интеграла на линии скольже-
ния ξ между точками а и b
( )
∫ ∫=
+a
b
a
b
dkdα
α
σ
σ
α
α
α α
μ
μσ 2 . (14)
250
Как видно, для решения этого уравнения нужно знать значения касательных
напряжений k, нормальных напряжений σα и углов α наклона линий скольже-
ния в точках а и b.
На основании тригонометрических функций из уравнения (8) имеем
( ) 22 4
22 êyx
yx Sin τσσρσσ
σα +−−
+
= . (15)
Для определения суммы и подрадикального выражения найдем уравнение
равновесия путем подстановки тригонометрических функций в выражение (6)
получим для точки а
( ) ( )
2
4
2
22 yx
êyxý
Ñosk
σσ
μτσσρτ
+
−+−== . (16)
Откуда радикальное выражение имеет вид
( ) ( )
ρ
σσμ
τσσ
Ños
k yx
êyx
++
=+−
2
4 22
. (17)
Для определения суммы (σх+σу) используем соотношение между попереч-
ными и продольными нормальными напряжениями из работы [6]. На основа-
нии чего имеем
( ) ( )( ) y
yyx bSin
Ños
k
σρ
ρ
μσσσ
+−−
+
=
+ 21
2
, (18)
где
y
ê
k
b
μσ
τ
+
= . (19)
С учетом формул (17) и (18) преобразуем уравнение (15) к виду
( ) 22 111 bCoskbSiny −⋅⋅−−−= ρρσσα .
Тогда нормальное напряжение в точке b на линии ξ
( ) 22 111 bby bCoskbSin
b
−⋅⋅−−⋅−= ρρσσα . (20)
Теперь, в отличие от одноосной нагрузки [4], учтем внешнюю нагрузку σ2.
Тогда нормальное напряжение в точке а на линии ξ составит
251
( ) 22
2 111 aa bCoskbSin
a
−⋅⋅+−⋅+= ρρσσα . (21)
Теперь предстоит найти углы наклона αа и αb из выражения (9).
Преобразуем его к виду
óõ
ê
óõ
ê
tg
σσ
τμ
σσ
μτ
α
−
+
−
−
−= 2
21
2 . (22)
Обозначим составляющую
óõ
ê
σσ
τ
−
2 через tg2β.
Тогда,
óõ
êarctg
σσ
τβ
−
=
2
2
1 . (23)
Как видно, для расчета угла β нужно знать разность σх–σу , которая опреде-
ляется из уравнения (18)
( ) ( )21
2
bSin
Ños
k y
yx −−×
+
=− ρ
ρ
μσ
σσ . (24)
Тогда, с учетом (19) угол
212
1
bSin
Cosbarctg
−−
⋅
=
ρ
ρβ . (25)
Угол поворота линии скольжения в точке b от касательных напряжений
( )( )212
1
bób
ê
b
bSink
Cosarctg
−−+
⋅−
=
ρμσ
ρτβ , (26)
а в точке а –
( )( )21
21
2
1
aón
ê
a
bSink
Cos
h
Y
arctg
−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅
=
ρμσ
ρτ
β . (27)
Преобразуя выражение (22), находим α
252
βρα ++=
2
45 . (28)
Угол наклона линии скольжения в точке а составит
aa βρα −+=
2
45 . (29)
Угол βа имеет отрицательный знак при ρSinba >− 21 . Угол βb имеет поло-
жительный знак.
Поэтому угол αb наклона линии скольжения в точке b
bb βρα ++=
2
45 . (30)
Тогда имеем общий угол поворота линии скольжения между точками b и a с
учетом знаков βb и βa за счет разности αb и αа
abba ββα += . (31)
Тогда из решения интеграла (14) с учетом (20), (21) и (31) имеем
( ) ( )
( ) ( )
( )abe
bSink
bSink
aa
byb ββμ
ρμσ
ρμσμσ +=
−⋅+⋅+
−⋅−⋅++ 2
2
2
2
2
11
11 . (32)
Используя выражения (14, 32) и опуская громоздкие преобразования, полу-
чим систему уравнений для расчета нормального сжимающего напряжения в
угловой точке а образца горных пород на линии ξ при объёмном сжатии
( )( )
( )
( ) ( )]
( )( )
( )⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
⋅−+
−−++
=
+−⋅
⎢
⎢
⎣
⎡
−⋅−
−⋅++
= +
242
2
2
2
2
2
2
2
0
11
11
11
111
μσ
ρ
ρμσμσ
μσ
ρ
ρμσ
μ
σ
μβ
ββμ
b
ab
ebSin
bSink
k
ke
bSin
bSink
a
ayn
b
b
a
an
y
(33)
В зависимости от направления образования трещины, например, в направ-
лении от точки а в точку b, в вершине трещины kа = kn – пределу сопротивления
материала чистому сдвигу, в точке b – kb < kn.
С учетом распределения нормальных напряжений на контактной плоскости
находим удельное давление, фиксируемое на прессе при раздавливании образ-
цов горных пород при объёмном нагружении согласно (5)
253
( ) ( )] ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
+⋅+−⋅
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⋅−
−⋅++
= +
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
h
afke
bSin
bSink
p b
ab
a
an
2
1
11
111
2
2
2
2
2
μσ
ρ
ρμσ
μ
ββμ (34)
Для определения предельного напряжения в точке d для линии скольжения
η показатель экспоненты имеет знак минус.
Теперь определим достоверность расчетных значений с экспериментальны-
ми данными [7, 8]. Поскольку характеристики физико-механических свойств
авторами не приведены, подберем их из условий согласования значений теоре-
тического расчета с экспериментальными значениями при одноосном сжатии
(σ2=0). Так для рис.73 [7] принято kn = 35 Mпа, ρ = 45°, f = 0,35, а для рис. 26 [8]
kn = 32 Mпа, ρ = 38°, f = 0,05.
Результаты расчета сведем в таблицу.
Таблица 1– Сравнение расчетных значений предела прочности с экспериментальными
данными.
σ2 – боковое
напряжение
сжатия,
МПа
Р – расчетное
продольное на-
пряжение,
МПа
σсж – экспери-
ментальное
значение преде-
ла прочности,
МПа
Литература
Ошибка
расчета,
%
1 2 3 4 5
0 194 165 7,57
0,5 197 210 6,19
10 248 240 3,33
25 329 315 4,44
50 464 440 5,45
100 733 600 22,16
150 1002 880
Рис. 73 [7]
13,86
1 2 3 4 5
0 138 138 0
4,2 151 141 6,3
11,5 176 150 10,6
16,6 189 184
Рис. 26 [8]
2,7
Сопоставление расчетных предельных значений с экспериментальными при
объемном сжатии образцов двух типов пород свидетельствует, что средняя
ошибка составила 6,95 %, что подтверждает высокую сходимость с экспери-
ментальными данными разработанного метода.
254
Выводы
1. Разработан метод расчета предельного состояния образцов горных по-
род при объёмном сжатии и постоянном контактном касательном напряже-
нии от внешнего трения с использованием двух дифференциальных и одного ал-
гебраического уравнения. При предельном значении сжимающего напряжения в
точках а или b при τэ = kп возникает трещина. В других областях материал
деформируется упруго.
2. Применение разработанного метода расчета предела прочности горных
пород при объемном сжатии при практических расчетах позволит повысить
достоверность расчетных результатов с экспериментальными данными по
сравнению с ранее разработанными методами при сходимости около 90 –
93 %.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев Л.М., Васильев Д.Л. Метод расчета предела прочности горных пород на одноосное сжатие при
линейной связи между контактными напряжениями // Геотехническая механика. Выпуск 42, Днепропетровск,
2003, – С 42–48.
2. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. –М.: Машиностроение, 1977. – 423 с.
Васильев Д.Л. Метод расчета распределения нормальных контактных напряжений в образцах горных по-
род при постоянном значении контактного трения // Геотехническая механика. Выпуск 44, Днепропетровск,
2003, – С 37–44.
3. Васильев Д.Л. Метод расчета предела прочности на сжатие образцов горных пород при постоянстве кон-
тактного касательного напряжения // Збірник наукових праць НГУ № 33 – Дніпропетровськ: РВК НГУ, 2009, –
С 111–117.
4. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. –560 с.
5. Васильев Д.Л. Метод расчета горизонтальных напряжений в массивах горных пород // Геотехническая
механика. Выпуск 29, Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2002, – С 161–165.
6. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глуби-
нах. М.: Недра, 1985.–271 с.
7. Виноградов В.В Геомеханика управления состоянием массива вблизи горных выработок. – Киев: Наук.
думка, 1989. – 192 с.
УДК 622.235.53
Научн.сотр. В.Я. Осенний
(ИГТМ НАН Украины)
ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ СОЗДАНИЯ КОТЛОВОЙ ПОЛОСТИ
ПЛАЗМЕННЫМ ГЕНЕРАТОРОМ ТЕПЛА
Показана перспективність створення ресурсозберігаючих технологій видобутку міцних
руд на основі застосування котлових порожнин для розміщення вибухових речовин плазмо-
вим способом. Розроблена математична модель формування котлової порожнини, проведе-
ний її аналіз у зіставленні із промисловим експериментом.
ABOUT MODEL OF THE CHAMBERING CAVITY
PLASMA GENERATOR OF WARVLY
The prospects of a resource-saving technologies for the extraction of ores strong through the
use of chambering cavity for placement of explosives plasma method. A mathematical model of
the chambering cavity, conducted its analysis in relation to the industrial experiment.
Разработка крепких руд в Кривбассе, в частности магнетитовых кварцитов,
требует большого объема буровых и проходческих работ.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-53750 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-4556 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:16:08Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Ус, Ю.М. 2014-01-26T23:59:07Z 2014-01-26T23:59:07Z 2012 Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии / Л.М. Васильев, Д.Л. Васильев, Ю.М. Ус // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2012. — Вип. 98. — С. 246-254. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1607-4556 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/53750 622.831.3.001.5 Метод розрахунку заснований на критерії міцності матеріалів Кулона і теорії граничного стану з урахуванням зовнішнього і внутрішнього тертя. Одержана задовільна збіжність розрахункових результатів з експериментальними даними. The calculation method is based on Cоulomb’s criterion of durability of materials and the theory of lines of sliding taking into account an external and internal friction. Satisfactory convergence of settlement results with experimental data is received. ru Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України Геотехническая механика Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии The method of calculation of limiting state at volumetric compression samples of rocks Article published earlier |
| spellingShingle | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Ус, Ю.М. |
| title | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии |
| title_alt | The method of calculation of limiting state at volumetric compression samples of rocks |
| title_full | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии |
| title_fullStr | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии |
| title_full_unstemmed | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии |
| title_short | Метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии |
| title_sort | метод расчета предельного состояния образцов горных пород при объёмном сжатии |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/53750 |
| work_keys_str_mv | AT vasilʹevlm metodrasčetapredelʹnogosostoâniâobrazcovgornyhporodpriobʺemnomsžatii AT vasilʹevdl metodrasčetapredelʹnogosostoâniâobrazcovgornyhporodpriobʺemnomsžatii AT usûm metodrasčetapredelʹnogosostoâniâobrazcovgornyhporodpriobʺemnomsžatii AT vasilʹevlm themethodofcalculationoflimitingstateatvolumetriccompressionsamplesofrocks AT vasilʹevdl themethodofcalculationoflimitingstateatvolumetriccompressionsamplesofrocks AT usûm themethodofcalculationoflimitingstateatvolumetriccompressionsamplesofrocks |