Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі
The solutions to an abstract m-harmonic equation on (0,∞) are described. The necessary and sufficient conditions on initial data, under which the Cauchy problem for such an equation is solvable in the class of finite-order and finite-type entire vector-valued functions for a dense set of initial dat...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5455 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі / М.Л. Горбачук, В.І. Горбачук // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859779039270535168 |
|---|---|
| author | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.І. |
| author_facet | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.І. |
| citation_txt | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі / М.Л. Горбачук, В.І. Горбачук // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The solutions to an abstract m-harmonic equation on (0,∞) are described. The necessary and sufficient conditions on initial data, under which the Cauchy problem for such an equation is solvable in the class of finite-order and finite-type entire vector-valued functions for a dense set of initial data, are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:17:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.43+517.5
© 2008
Член-кореспондент НАН України М. Л. Горбачук, В. I. Горбачук
Задача Кошi для диференцiальних рiвнянь вищих
порядкiв у банаховому просторi
The solutions to an abstract m-harmonic equation on (0,∞) are described. The necessary and
sufficient conditions on initial data, under which the Cauchy problem for such an equation is
solvable in the class of finite-order and finite-type entire vector-valued functions for a dense
set of initial data, are presented.
Розглянемо абстрактну задачу Кошi
(
d2
dt2
− B
)m
y(t) = 0, t ∈ (0,∞),
y(i)(0) = yi, i = 0, 1, . . . , 2m − 1,
де B — позитивний оператор у комплексному банаховому просторi B, тобто B — щiльно
заданий в B оператор такий, що
∃M > 0, ∀λ > 0: ‖(B + λI)−1‖ 6
M
1 + λ
.
Оскiльки при m = 1 розглядуване рiвняння є елiптичного типу, то ця задача не завжди
має розв’язок.
У роботi даються умови на початковi данi (y0, y1, . . . , y2m−1), якi гарантують її одно-
значну розв’язнiсть; наводяться критерiї iснування розв’язку в класi цiлих вектор-функцiй
заданого порядку росту ρ < ∞ i скiнченного типу, а також умови на ρ, за яких така розв’яз-
нiсть має мiсце на щiльнiй в B
m множинi початкових даних (y0, y1, . . . , y2m−1). Крiм того,
описуються усi розв’язки зазначеного рiвняння на вiдкритому iнтервалi (0,∞).
1. Нехай B — банахiв простiр з нормою ‖ · ‖, E(B) — множина всiх щiльно визначених
в B замкнених лiнiйних операторiв, I — одиничний оператор, D(·), ρ(·), RA(·) — область
визначення, резольвентна множина i резольвента оператора. Через {etA}t>0 позначатимемо
C0-пiвгрупу лiнiйних операторiв з генератором A (стосовно теорiї пiвгруп у банаховому та
локально опуклому просторах див. [1, 2]).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 7
Для оператора A ∈ E(B) i числа β > 0 покладемо
G{β}(A) = ind lim
α→∞
G
α
β(A) =
⋃
α>0
G
α
β(A), G(β)(A) = proj lim
α→0
G
α
β(A) =
⋂
α>0
G
α
β(A),
де
G
α
β(A) = {x ∈ C∞(A) | ∃ c = c(x) > 0,∀ k ∈ N0 = {0}
⋃
N : ‖Akx‖ 6 cαkkkβ} —
банахiв простiр вiдносно норми
‖x‖Gα
β
(A) = sup
k∈N0
‖Akx‖
αkkkβ
,
а
C∞(A) =
⋂
n∈N0
D(An) —
простiр нескiнченно диференцiйовних векторiв оператора A. Нагадаємо (див. [3]), що збiж-
нiсть в G{β}(A)(G(β)(A)) означає збiжнiсть в G
α
β(A) при деякому (при всiх) α > 0.
Очевидно, що для довiльних λ 6= 0, µ ∈ C
G{β}(A) = G{β}(λA + µI), G(β)(A) = G(β)(λA + µI),
i за умови, що β1 < β2,
G(β1)(A) ⊆ G{β1}(A) ⊆ G(β2)(A) ⊆ G{β2}(A).
Бiльше того,
P (A)G{β}(A) ⊆ G{β}(A), P (A)G(β)(A) ⊆ G(β)(A),
де P (λ) — многочлен, i якщо 0 ∈ ρ(P (A)), то
P (A)G{β}(A) = G{β}(A), P (A)G(β)(A) = G(β)(A).
Простори G{1}(A) i G(1)(A) називаються просторами аналiтичних i цiлих векторiв опера-
тора A вiдповiдно.
Зауважимо, що простiр G{β}(A) (а поготiв i G(β)(A)) може складатися лише з нульового
вектора. Але має мiсце таке твердження (порiвн. з [4]).
Твердження 1. Якщо A генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу {etA}t>0 у просто-
рi B з кутом аналiтичностi θ, то при β > 1 − 2θ/π G(β)(A) = B, а оператор-функцiя
exp(zA) =
∞∑
k=0
zkAk
k!
є цiлою у просторi G{β}(A) з β < 1 i в G(β)(A) з β 6 1. Сiм’я {exp(zA)}z∈C утворює
однопараметричну C0-групу операторiв у цих просторах, i якщо x належить до такого
простору, то
exp(tA)x =
{
etAx при t > 0,
(e−tA)−1x при t < 0.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
2. Нехай A — генератор C0-пiвгрупи лiнiйних операторiв в B. Далi припускатимемо, що
ker etA = {0} для будь-якого t > 0. Без обмеження загальностi вважатимемо також {etA}t>0
пiвгрупою стискiв.
Позначимо через B−t(A) (t > 0) поповнення B за нормою
‖x‖−t = ‖etAx‖.
Норми ‖x‖−t (t > 0) є узгодженими i порiвнянними на B. Отже, при t < t′ маємо щiльне й
неперервне вкладення B−t(A) ⊆ B−t′(A). Покладемо
B−(A) = proj lim
t→0
B−t(A).
Зазначимо, що для одержання B−(A) досить обмежитися просторами B− 1
n
(A), n ∈ N.
Таким чином, B−(A) — повний злiченно-нормований простiр (щодо злiченно-нормованих
просторiв i операторiв у них див. [5]).
Оператор etA допускає неперервне розширення Ũ(t) з B на B−t(A), причому на пiдставi
неперервностi вкладення B−t(A) в B−t′(A) при t < t′ Ũ(t′)|B−t(A) = Ũ(t).
На просторi B−(A) задамо оператори U(t) (t > 0) таким чином:
∀x ∈ B−(A) : U(t)x = Ũ(t)x при t > 0, U(0)x = x.
Теорема 1. Сiм’я {U(t)}t>0 утворює одностайно неперервну C0-пiвгрупу лiнiйних опе-
раторiв у просторi B−(A) iз властивостями:
1) ∀ t > 0: U(t)B−(A) ⊆ B;
2) ∀ t > 0,∀x ∈ B : U(t)x = etAx;
3) ∀ t, s > 0,∀x ∈ B−(A) : U(t + s)x = etAU(s)x = esAU(t)x.
Якщо пiвгрупа {etA}t>0 є диференцiйовною при t > 0, то генератор Â пiвгрупи {U(t)}t>0
визначений на всьому просторi B−(A) i є замиканням A у цьому просторi.
Iз теореми 1 i теореми про замкнений графiк випливає
Наслiдок 1. Якщо пiвгрупа {etA}t>0 є диференцiйовною при t > 0, то вкладення
B ⊂ B−(A) є строгим, оператор Â неперервним у просторi B−(A), а пiвгрупа {U(t) =
= etÂ}t>0 — нескiнченно диференцiйовною на [0,∞) в B−(A).
3. Розглянемо тепер рiвняння вигляду
(
d2
dt2
− B
)m
y(t) = 0, t ∈ (0,∞), m ∈ N, (1)
де B — позитивний оператор в B. Останнє означає, що B ∈ E(B), (−∞, 0] ∈ ρ(B) i iснує
стала M > 0 така, що
∀λ > 0: ‖RB(−λ)‖ 6
M
1 + λ
.
Як показано в [6, 7], у цьому випадку є визначеними дробовi степенi Bα, 0 < α < 1,
оператора B, а оператор A = −B1/2 генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу {etA}t>0
у просторi B з вiд’ємним типом
ω(A) = lim
t→∞
ln ‖etA‖
t
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 9
Пiд розв’язком рiвняння (1) на (0,∞) розумiтимемо 2m разiв неперервно диференцiйов-
ну в B на (0,∞) вектор-функцiю y(t) таку, що y(2k) ∈ D(Bm−k) (k = 0, 1, . . . ,m), Bm−ky(2k)
неперервна в B на (0,∞), i яка задовольняє (1). Пiдкреслимо, що жодних умов на поведiн-
ку розв’язку в околi нуля не вимагається.
Теорема 2. Вектор-функцiя y(t) є розв’язком рiвняння (1) на (0,∞) тодi i тiльки
тодi, коли її можна зобразити у виглядi
y(t) =
m−1∑
k=0
tketÂfk +
m−1∑
k=0
tk exp(−tA)gk, (2)
де A = −B1/2, fk ∈ B−(A), gk ∈ G(1)(A). Вектори fk i gk (k = 0, 1, . . . ,m − 1) однозначно
визначаються за y(t).
Наслiдок 2. Будь-який розв’язок рiвняння (1) на (0,∞) є аналiтичною на (0,∞) век-
тор-функцiєю в B.
Наслiдок 3. Кожний розв’язок y(t) рiвняння (1) на (0,∞) i його похiднi довiльного
порядку мають граничнi значення в нулi у просторi B−(A).
Теорема 3. Для того щоб розв’язок рiвняння (1) на (0,∞) був цiлою вектор-функцiєю
в B, необхiдно i достатньо, щоб у його зображеннi (2) fk ∈ G(1)(A) (k = 0, 1, . . . ,m − 1).
За цiєї умови y(t) є цiлою вектор-функцiєю в G(1)(A).
4. Перейдемо до задачi Кошi для рiвняння (1). Вона полягає у вiдшуканнi за заданими
векторами y0, y1, . . . , y2m−1 ∈ B−(A) розв’язку y(t) рiвняння (1) на (0,∞), для якого
lim
t→0
y(i)(t) = yi, i = 0, 1, . . . , 2m − 1 (3)
(границя береться у просторi B−(A)).
Зауважимо, що ця задача може не мати розв’язку, якщо yi ∈ B−(A) довiльнi. Наприк-
лад, у випадку m = 1 розв’язок рiвняння має вигляд
y(t) = etÂf0 + exp(−tA)g0, f0 ∈ B−(A), g0 ∈ G(1)(A).
Ця вектор-функцiя задовольняє умову (3) з m = 1 тодi i тiльки тодi, коли
f0 =
1
2
A−1(y1 + Ay0), g0 = −
1
2
A−1(y1 − Ay0).
Отже, вона є розв’язком задачi Кошi лише в тому випадку, коли −(1/2)A−1(y1 − Ay0) ∈
∈ G(1)(A), що не завжди виконується (для B = −d2/dx2 це було вiдмiчено в [8]).
Враховуючи, що для розв’язку y(t) рiвняння (1)
(
d
dt
+ Â
)(
d2
dt2
− Â2
)m−1
y(t) =
m−1∑
k=0
(−1)m−1−iCi
m−1Â
2(m−i−1)(y(2i+1)(t) + Ây(2i)(t)) =
= (m − 1)!2mÂmetÂfm−1
i
(
d
dt
− Â
)(
d2
dt2
− Â2
)m−1
y(t) =
m−1∑
k=0
(−1)m−1−iCi
m−1Â
2(m−i−1)(y(2i+1)(t) − Ây(2i)(t)) =
= (−1)m(m − 1)!2mAm exp(−tA)gm−1,
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
одержимо для fm−1 та gm−1 вирази
fm−1 = Â−m
2m−1∑
k=0
Pm−1,k(Â)yk, gm−1 = Â−m
2m−1∑
k=0
Qm−1,k(Â)yk,
де Pm−1,k(Â) i Qm−1,k(Â) — деякi многочлени вiд оператора Â.
Знаючи тепер fm−1 i gm−1, можемо зробити висновок, що якщо y(t) — розв’язок задачi
Кошi (3) для рiвняння (1), то вектор-функцiя
y1(t) = y(t) − (tm−1etÂfm−1 + tm−1 exp(−tA)gm−1) —
розв’язок задачi Кошi
y1,i = yi при i = 0, 1, . . . ,m − 2;
y1,i = yi − (m − 1)!Cm−1
i Âi−(m−1)(fm−1 + (−1)i−m+1gm−1)
при i = m − 1, . . . , 2(m − 1) − 1
для рiвняння
(
d2
dt2
− B
)m−1
y1(t) = 0.
Так само, як це зроблено вище, знайдемо fm−2 i gm−2. Вони будуть мати вигляд
fm−2 = Â−(2m−1)
2m−1∑
k=0
Pm−2,k(Â)yk, gm−2 = Â−(2m−1)
2m−1∑
k=0
Qm−2,k(Â)yk.
Продовжуючи цю процедуру, для fm−i, gm−i (i = 1, . . . ,m) отримаємо формули типу
fm−i = Â− 1
2
(2m−i+1)i
2m−1∑
k=0
Pm−i,k(Â)yk, gm−i = Â− 1
2
(2m−i+1)i
2m−1∑
k=0
Qm−i,k(Â)yk,
де Pm−i,k(Â) i Qm−i,k(Â) — многочлени вiд оператора Â. Звiдси, на основi теореми 2, прийде-
мо до такого твердження: задача Кошi (1), (3) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли вектори
Â− 1
2
(2m−i+1)i
2m−1∑
k=0
Qm−i,k(Â)yk (i = 0, 1, . . . ,m − 1) є цiлими векторами для оператора A;
якщо розв’язок iснує, то вiн єдиний.
Iз наведених мiркувань також випливає така теорема.
Теорема 4. Для того щоб задача Кошi (1), (3) була коректно розв’язною у класi цiлих
вектор-функцiй iз значеннями в B, необхiдно i достатньо, щоб yk ∈ G(1)(A). За цих умов
значення y(t) також будуть належати до G(1)(A).
Тут пiд коректнiстю задачi (1), (3) у класi цiлих B-значних вектор-функцiй розумiється,
що вона не лише однозначно розв’язна в цьому класi, але й її розв’язок неперервно залежить
вiд початкових даних, а саме: якщо yn,i → yi (n → ∞) у просторi G(1)(A), то для вiдповiдних
розв’язкiв yn(t), ‖yn(z) − y(z)‖ → 0 (n → ∞) рiвномiрно на кожному компактi K ⊂ C.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 11
5. Розглянемо докладнiше випадок розв’язностi задачi Кошi в класi цiлих вектор-функ-
цiй.
Позначимо через A(B) множину всiх цiлих B-значних вектор-функцiй. Говорять, що
вектор-функцiя y(z) ∈ A(B) є скiнченного порядку росту, якщо iснує число γ > 0 таке, що
для достатньо великих |z|
‖y(z)‖ 6 e|z|
γ
.
Точна нижня межа ρ(y) таких γ — це порядок y(z).
Нехай тепер число δ > 0 — довiльне фiксоване. Пiд степенем вектор-функцiї y(z) ∈ A(B)
вiдносно δ розумiтимемо величину
σ(y, δ) = lim
r→∞
ln max
|z|=r
‖y(z)‖
rδ
.
Ясно, що якщо y(z) має скiнченний порядок ρ = ρ(y) i δ < ρ, то σ(y, δ) = ∞, але якщо δ > ρ,
то σ(y, δ) = 0. Величина σ(y) = σ(y, ρ) (степiнь y(z) вiдносно її порядку) називається типом
вектор-функцiї y(z). Вектор-функцiю y(z) ∈ A(B) скiнченного порядку, для якої ρ(y) 6 1
i σ(y, 1) < ∞, прийнято називати вектор-функцiєю експоненцiального типу.
Для довiльного числа ρ > 0 позначимо через A
ρ(B) множину вектор-функцiй y(z) ∈
∈ A(B), порядок яких не перевищує ρ i скiнченного степеня вiдносно цього ρ. Покладемо
також
A
ρ
α(B) = {y ∈ A
ρ(B) | ∃ c > 0,∀ z ∈ C : ‖y(z)‖ 6 ceα|z|ρ},
де c = c(y) > 0 — стала. Множина A
ρ
α(B) — банахiв простiр з нормою
‖y‖ρ,α = sup
r>0
e−αrρ
max
|z|=r
‖y(z)‖.
Очевидно, що
A
ρ(B) =
⋃
α>0
A
ρ
α(B).
У просторi A
ρ(B) введемо топологiю iндуктивної границi просторiв A
ρ
α(B):
A
ρ(B) = ind lim
α→∞
A
ρ
α(B).
Тодi збiжнiсть послiдовностi yn(z) до y(z) у просторi A
ρ(B) означає, що послiдовнiсть
σ(yn, ρ) обмежена i ‖yn(z) − y(z)‖ → 0 (n → ∞) рiвномiрно на кожному компактi K ⊂ C.
Неважко бачити, що A
1(B) — простiр цiлих B-значних вектор-функцiй експоненцiального
типу.
Теорема 5. Розв’язок y(t) задачi Кошi (1), (3) допускає продовження до цiлої век-
тор-функцiї y(z) ∈ A
ρ(B) тодi i тiльки тодi, коли yi ∈ G{β}(A), де β = (ρ − 1)/ρ.
Бiльше того, якщо розв’язок y(z) належить до A
ρ(B), то y(z) ∈ G{β}(A) для довiльного
z ∈ C i задача Кошi (1), (3) є коректною у такому розумiннi: якщо G{β}(A) ∋ yi,n → yi
(n → ∞) у просторi G{β}(A), то послiдовнiсть вiдповiдних розв’язкiв yn(z) збiгається до
y(z) у просторi A
ρ(B).
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Оскiльки пiвгрупа {etA}t>0 є обмеженою аналiтичною, то iз твердження 1 i теореми 5
випливає, що множина початкових даних (y0, y1, . . . , y2m−1), для яких задача (1), (3) є роз-
в’язною в A
ρ(B), є щiльною у просторi B
2m з ρ > π/(2θ) > 1, де θ — кут аналiтичностi
пiвгрупи. Що стосується випадку ρ = 1, то, на основi [9], щiльнiсть буде мати мiсце тодi,
коли θ = π/2 i виконується додаткова умова на рiст резольвенти оператора A, а саме:
1∫
0
ln ln M(s) ds < ∞, де M(s) = sup
| Im λ|>s
‖RA(λ)‖.
Останнє завжди має мiсце, якщо B — додатно визначений самоспряжений оператор у гiль-
бертовому просторi.
Зауважимо, що для абстрактних диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв параболiчно-
го типу питання розв’язностi задачi Кошi в класi цiлих вектор-функцiй розглянуто в [10].
Робота виконана за пiдтримки ДФФД України (проект 14.1–003).
1. Иосида К. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1967. – 624 с.
2. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York:
Springer, 1983. – 279 p.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. – Москва:
Физматгиз, 1959. – 684 с.
4. Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht:
Kluwer, 1991. – 347 p.
5. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. Т 2. – Москва: Физ-
матгиз, 1958. – 307 с.
6. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – Москва: Наука,
1967. – 464 с.
7. Komatsu H. Fractional powers of operators // Pacif. J. Math. – 1966. – 19, No 2. – P. 285–346.
8. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений гиперболического типа. – Москва: Наука, 1978. –
352 с.
9. Горбачук М.Л., Горбачук В. I. Про наближення гладких векторiв замкненого оператора цiлими ве-
кторами експоненцiального типу // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 5. – С. 616–628.
10. Xiao T., Liang J. Entire solutions of higher order abstract Cauchy problems // J. Math. Annal. and Appl. –
1997. – 208. – P. 298–310.
Надiйшло до редакцiї 29.01.2008Iнститут математики НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5455 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:17:20Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.І. 2010-01-22T12:03:29Z 2010-01-22T12:03:29Z 2008 Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі / М.Л. Горбачук, В.І. Горбачук // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5455 517.43+517.5 The solutions to an abstract m-harmonic equation on (0,∞) are described. The necessary and sufficient conditions on initial data, under which the Cauchy problem for such an equation is solvable in the class of finite-order and finite-type entire vector-valued functions for a dense set of initial data, are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі Горбачук, М.Л. Горбачук, В.І. Математика |
| title | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі |
| title_full | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі |
| title_fullStr | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі |
| title_full_unstemmed | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі |
| title_short | Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі |
| title_sort | задача коші для диференціальних рівнянь вищих порядків у банаховому просторі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5455 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukml zadačakošídlâdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkívubanahovomuprostorí AT gorbačukví zadačakošídlâdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkívubanahovomuprostorí |