Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами
Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами и доказана теорема об оценке его точности. An algorithm of the construction of asymptotic solutions of the Cauchy problem for singularly perturbe...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5513 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 122-132. — Бібліогр.: 23 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859551250470666240 |
|---|---|
| author | Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. |
| author_facet | Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. |
| citation_txt | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 122-132. — Бібліогр.: 23 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами и доказана теорема об оценке его точности.
An algorithm of the construction of asymptotic solutions of the Cauchy problem for singularly perturbed Korteweg – de Vries equation with varying coefficients is proposed. The theorem on estimation of its precision is proved.
|
| first_indexed | 2025-11-26T05:52:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 917.9
V. H. Samojlenko, G. I. Samojlenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI
DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO RIVNQNNQ KORTEVEHA –
DE FRIZA ZI ZMINNYMY KOEFICI{NTAMY
An algorithm of the construction of asymptotic solutions of the Cauchy problem for singularly perturbed
Korteweg – de Vries equation with varying coefficients is proposed. The theorem on estimation of its
precision is proved.
PredloΩen alhorytm postroenyq asymptotyçeskoho reßenyq zadaçy Koßy dlq synhulqrno
vozmuwennoho uravnenyq Korteveha – de Fryza s peremenn¥my koπffycyentamy y dokazana
teorema ob ocenke eho toçnosty.
1. Vstup. Odnym iz fundamental\nyx rivnqn\ suçasno] fizyky [ rivnqnnq
Korteveha – de Friza [1], qke v 1895 roci bulo zaproponovane Kortevehom i de
Frizom dlq opysu qvywa „vidokremleno] xvyli”, vidkrytoho Rasselom [2]. Qk
vyqvylosq zhodom, rivnqnnq Korteveha – de Friza ne lyße opysu[ dovhi xvyli
poverxni ridyny, a j modelg[ nyzku inßyx fizyçnyx qvyw ta procesiv [3].
Zokrema, ce rivnqnnq stalo matematyçnym pid©runtqm dlq rozvytku novoho
naprqmku v matematyci – matematyçno] teori] solitoniv, rizni aspekty qko]
vyvçalys\ u pracqx takyx vidomyx matematykiv, qk Kruskal [3, 4], Laks [5, 6],
V.?{. Zaxarov, S. P. Novikov, L. D. Fadd[[v [7 – 11], V. O. Marçenko [12, 13],
G.?O. Mytropol\s\kyj [14] ta in. Zokrema, dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza,
wo zapysu[t\sq u vyhlqdi
u uu ut x xxx− +6 = 0,
za dopomohog metodu oberneno] zadaçi teori] rozsiqnnq bulo znajdeno rizni kla-
sy toçnyx rozv’qzkiv c\oho rivnqnnq.
Dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy vyhlqdu
u ut xxx+ = ( ( , , )) ( , , ) ( , )g t x u f t x u F t xx + +
z poçatkovog umovog
u x( , )0 = u x0( ) , x ∈R,
znajdeno umovy isnuvannq rozv’qzku u prostori ßvydkospadnyx funkcij [15]. U
praci [16] rozhlqnuto rehulqryzovane rivnqnnq dlq dovho] xvyli vyhlqdu
u uu ut x xxt+ − = 0.
Prote, nezvaΩagçy na te, wo rivnqnnq Korteveha – de Friza sponukalo roz-
vytok oberneno] zadaçi teori] rozsiqnnq, qka dozvolq[ otrymaty toçni rozv’qzky
dlq bahat\ox dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy, sered qkyx riv-
nqnnq Korteveha – de Friza, nelinijne rivnqnnq Íredinhera, rivnqnnq sin-Hor-
dona, rivnqnnq Kadomceva – Petviaßvili ta inßi [10, 11, 14], wo magt\ vaΩlyve
znaçennq v suçasnij fizyci, cej pidxid ne dozvolq[ zapysaty v qvnomu vyhlqdi
rozv’qzky pry naqvnosti u takyx rivnqn\ zminnyx koefici[ntiv. Çerez ce dlq
rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy zi zminnymy koefici[ntamy, wo [ uzahal\nen-
nqm tak zvanyx intehrovnyx [7, 14] rivnqn\, dovodyt\sq zastosovuvaty rizni ana-
lityçni metody, sered qkyx najbil\ß efektyvnymy [ klasyçni asymptotyçni me-
tody [17], qki dozvolqgt\ pobuduvaty ]x nablyΩeni rozv’qzky za dopomohog dos-
tatn\o prostyx obçyslgval\nyx alhorytmiv. Zokrema, dlq rivnqnnq Korteveha
– de Friza zi zminnymy koefici[ntamy ta malym parametrom u [18 – 20] znajdeno
joho nablyΩeni rozv’qzky za dopomohog asymptotyçnoho metodu.
2. Postanovka zadaçi. Osnovni prypuwennq i poznaçennq. V danij stat-
ti rozhlqda[t\sq pytannq pro pobudovu asymptotyçnyx rozv’qzkiv zadaçi Koßi
rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy vyhlqdu
© V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO, 2007
122 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 123
ε2uxxx = a x u b x uut x( , ) ( , )ε ε+ (1)
z poçatkovog umovog
u x( , , )0 ε = f x
ε
, (2)
de
a x( , )ε = a xk
k
k
( )ε
=
∞
∑
0
, b x( , )ε = b xk
k
k
( )ε
=
∞
∑
0
,
funkci] a xk( ) , b xk( ) ∈ C∞( )R1 , k = 0, 1, … ; funkciq f ( )η , η∈R , naleΩyt\
prostoru Ívarca; ε > 0 — malyj parametr.
Sformulg[mo osnovni prypuwennq ta navedemo oznaçennq, neobxidni dlq
podal\ßoho vykladu.
Nexaj nezburene dlq (1) rivnqnnq ( ε = 0 )
a x u b x uut x0 0( ) ( )+ = 0 (3)
ma[ neskinçenno dyferencijovnyj v R × [ ; ] \0 T Γ , de Γ = {( , ) : ( ),t x x t= ϕ
t T∈[ ; ]}0 — deqka kryva, rozv’qzok, qkyj [ rozryvnym lyße na kryvij Γ; pry-
puska[mo, wo cq kryva [ hladkog. Taki rozv’qzky dlq rivnqnnq vyhlqdu (3), qk
vidomo, isnugt\ [18].
Poznaçymo çerez G1 = G T1 0( [ ; ] )R R× × linijnyj prostir neskinçenno
dyferencijovnyx funkcij f = f x t( , , )τ , ( x, t, τ ) ∈ R R× ×[ ; ]0 T , takyx, wo
dlq dovil\nyx nevid’[mnyx cilyx çysel n, m, q, p rivnomirno wodo zminnyx x,
t na koΩnij kompaktnij mnoΩyni K ⊂ R × [ ; ]0 T vykonugt\sq taki dvi umovy
[18] :
1) spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
( x, t, τ ) lim ( , , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ
→+∞
n
m
m
q
q
p
pt x
f x t = 0, ( x, t ) ∈ K ; (4)
2) isnu[ taka neskinçenno dyferencijovna funkciq f x t−( , ), wo
lim ( , , ) ( , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ
→−∞
−−( )n
m
m
q
q
p
pt x
f x t f x t = 0, ( x, t ) ∈ K . (5)
Poznaçymo çerez G1
0 = G T1
0 0( [ ; ] )R R× × linijnyj pidprostir prostoru
G1 = G T1 0( [ ; ] )R R× × neskinçenno dyferencijovnyx funkcij f = f x t( , , )τ ,
( x, t, τ ) ∈ R R× ×[ ; ]0 T , takyx, wo dlq dovil\nyx nevid’[mnyx cilyx çysel n,
m, q, p rivnomirno wodo zminnyx x, t na koΩnomu kompakti K ⊂ R × [ ; ]0 T
dodatkovo do umov (4), (5) vykonu[t\sq umova
lim ( , , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ
→−∞
n
m
m
q
q
p
pt x
f x t = 0. (6)
ZauvaΩymo, wo prostir G1
0 — ce prostir neskinçenno dyferencijovnyx
funkcij, zaleΩnyx vid zminnyx ( x, t, τ ) ∈ R R× ×[ ; ]0 T , qki wodo zminno] τ
naleΩat\ prostoru Ívarca.
Poznaçymo çerez G2
+ = G T2 0 0+ × × ×( [ ; ] [ ; ])R R Θ , de Θ — deqke dijsne do-
datne çyslo, linijnyj prostir neskinçenno dyferencijovnyx funkcij f =
= f x t( , , , )τ τ1 2 , ( τ1 , τ2 ) ∈ R × [ ; ]0 Θ , ( x, t ) ∈ R × [ ; ]0 T , takyx, wo dlq dovil\-
nyx nevid’[mnyx cilyx çysel p, q, r, q1 , q2 rivnomirno wodo zminnyx x, t na
koΩnij kompaktnij mnoΩyni K ⊂ R × [ ; ]0 T vykonu[t\sq spivvidnoßennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
124 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
lim ( , , , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ τ
→±∞
1
1 2
1 2
1
1
2
2
r
q
q
q
q
q
q
p
pt x
f x t = 0, ( x, t ) ∈ K, τ2 ∈ [ ; ]0 Θ . (7)
Oznaçennq71 [18]. Funkciq u = u x t( , , )ε nazyva[t\sq odnofazovog soli-
tonopodibnog, qkwo dlq dovil\noho ciloho çysla N ≥ 0 funkcig u ( x , t, ε )
moΩna zobrazyty za dopomohog rozkladu za malym parametrom ε :
u ( x, t, ε ) =
j
N
j
j j
Nu x t V x t O
=
+∑ + +
0
1ε τ ε[ ( , ) ( , , )] ( ),
de τ = ( ( ))x t− −ϕ ε 1; ϕ ( t ) ∈ C Tx
∞ ×( [ ; ])R1 0 — deqka skalqrna dijsna funkciq;
funkci] uj ( x, t ) , j N= 0, , — neskinçenno dyferencijovni (v toçkax t = 0, t =
= T rozhlqdagt\sq vidpovidno liva ta prava poxidni); V x t G0 1
0( , , )τ ∈ ;
V x t Gj( , , )τ ∈ 1, j N= 1, .
Funkciq S ( x, t ) = x – ϕ ( t ) nazyva[t\sq fazog odnofazovo] solitonopodibno]
funkci] u ( x, t, ε ) . Funkciq ϕ ( t ) vyznaça[ linig rozryvu funkci] u ( x, t, ε ) pry
ε = 0.
3. ZobraΩennq asymptotyçnoho rozv’qzku zadaçi Koßi (1), (2). Rozv’q-
zok zadaçi Koßi (1), (2) ßuka[mo u vyhlqdi asymptotyçnoho rqdu
u ( x, t, ε ) = Y x t ON
N( , , ) ( )ε ε+ +1 , (8)
de
YN ( x, t, ε ) =
j
N
j
j j ju x t V x t W
=
∑ + +
0
1 1 2ε τ τ τ[ ( , ) ( , , ) ( , )], (9)
τ1 =
x t− ϕ
ε
( )
, τ2 = t
ε
.
Funkciq
UN ( x, t, ε ) =
j
N
j
ju x t
=
∑
0
ε ( , )
nazyva[t\sq rehulqrnog çastynog asymptotyky (8), a funkciq
V x t W x tN N( , , ) ( , , )ε ε+ =
j
N
j
j jV x t W
=
∑ +
0
1 1 2ε τ τ τ[ ( , , ) ( , )] (10)
— synhulqrnog çastynog asymptotyky (8). Pry c\omu funkcig VN ( x, t, ε ) =
= ε τj
jj
N
V x t( , , )10=∑ vyznaçeno v deqkomu okoli kryvo] Γ , a funkcig
WN ( x, t, ε ) = ε τ τj
jj
N
W ( , )1 20=∑ — v deqkomu okoli zv’qzno] mnoΩyny
{( , ) : , }t x t x= ∈0 R ∪ {( , ) : ( ), [ ; ]}t x x t t T= ∈ϕ 0
i, krim toho,
YN ( x, t, ε ) = U x t V x t W x tN N N( , , ) ( , , ) ( , , )ε ε ε+ + .
Oznaçennq72. Qkwo dlq rozv’qzku u ( x, t, ε ) zadaçi Koßi (1), (2) pry bud\-
qkomu cilomu çysli N ≥ 0 ma[ misce zobraΩennq (8), (9), d e ϕ ( t ) ∈
∈ C Tx
∞ ×( [ ; ])R1 0 — deqka skalqrna dijsna funkciq; funkci] uj ( x, t ) , j N= 0, ,
— neskinçenno dyferencijovni (v toçkax t = 0, t = T rozhlqdagt\sq vid-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 125
povidno liva ta prava poxidni); V x t G0 1 1
0( , , )τ ∈ ; V x t Gj( , , )τ1 1∈ , j N= 1, ;
W Gj( , )τ τ1 2 2∈ + , j N= 0, , to funkciq u ( x, t, ε ) nazyva[t\sq asymptotyçnym
odnofazovym solitonopodibnym rozv’qzkom zadaçi Koßi (1), (2).
Vidpovidno do zahal\no] metodolohi] asymptotyçnyx metodiv [17], dlq vyzna-
çennq koefici[ntiv asymptotyçnyx rozkladiv (8) – (10) znaxodymo
ε
ε τ ε τ ε τ
2
3
3
3
3
3
2
1
2
3
1
2 3
3
1
3
3 3 1∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
U
x
V
x
V
x
V
x
VN N N N N =
= a x
U
t
V
t
V
t
VN N N N( , ) ( )ε
ε τ
ϕ
ε τ
∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
′ + ∂
∂
1 1
1 2
+
+ b x U V
U
x
V
x
V
g x tN N
N N N
N( , )( ) ( , , )ε
ε τ
ε+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+1
1
, (11)
de gN ( x, t, ε ) = O N( )ε +1
— deqka neskinçenno dyferencijovna funkciq svo]x
arhumentiv, wo vyznaça[t\sq rekurentnym (wodo j ) çynom za funkciqmy Yj ( x, t,
ε ) , j N= −0 1, . Çyslo N vvaΩa[mo dovil\nym, ale fiksovanym.
Dlq vyznaçennq rehulqrno] çastyny asymptotyky UN ( x, t, ε ) v (8) sprqmu[mo
τ1 do + ∞ v livij ta pravij çastynax spivvidnoßennq (11), a potim, vraxuvavßy
(8) – (10), pryrivnq[mo koefici[nty pry odnakovyx stepenqx ε. V rezul\tati
otryma[mo deqku systemu dyferencial\nyx rivnqn\ dlq funkcij uj ( x, t ) , j =
= 0, N , qki vxodqt\ do rehulqrno] çastyny asymptotyky v (8). Qkwo dodatkovo
prypustyty, wo vykonu[t\sq umova u0 ( 0, 0 ) = 0, to rehulqrna çastyna asymp-
totyky (8) vyznaça[t\sq funkciqmy, qki [ rozv’qzkamy zadaç vyhlqdu
a x
u
t
b x u
u
x0
0
0 0
0( ) ( )
∂
∂
+ ∂
∂
= 0, u0 ( 0, 0 ) = 0, (12)
a x
u
t
b x u
u
x
b x
u
x
uj j
j0 0 0 0
0( ) ( ) ( )
∂
∂
+
∂
∂
+ ∂
∂
= f x t u u uj j( , , , , , )0 1 1… − , j N= 1, . (13)
ZauvaΩymo, wo rozv’qzok zadaç (12), (13) isnu[ pry dosyt\ zahal\nyx umovax,
a tomu zadaçu pro znaxodΩennq rehulqrno] çastyny asymptotyky (8) moΩna vva-
Ωaty rozv’qzanog.
4. Vyznaçennq synhulqrno] çastyny asymptotyky V x tN( , , )εε . VvaΩag-
çy vidomog rehulqrnu çastynu asymptotyky v (8), pislq pryrivngvannq koefici-
[ntiv pry odnakovyx stepenqx ε (v livij ta pravij çastynax rivnosti (11)) znaxo-
dymo systemu dyferencial\nyx rivnqn\ dlq vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ1 ,
j N= 0, , qki vxodqt\ do synhulqrno] çastyny asymptotyky VN ( x, t, ε ) . Oder-
Ωani rivnqnnq spoçatku vykorystovu[mo dlq vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ1 ,
j N= 0, , na kryvij rozryvu Γ, a potim — dlq prodovΩennq cyx funkcij v
deqkyj 2µ-okil kryvo] Γ — oblast\
Ωµ ( Γ ) = { }( , ) [ ; ] : ( )t x T x t∈ × − <R 0 2ϕ µ ,
de µ ∈( ; )0 1 — deqka (dostatn\o mala) stala. Pry c\omu my vykorystovu[mo te,
wo bud\-qku neskinçenno dyferencijovnu funkcig g ( x, t ) v oblasti Ωµ ( Γ )
moΩna zobrazyty takym çynom:
g t t( ( ) , )ϕ ετ+ 1 =
j
N
j j
j
j
x t
N
j x
g x t O
= =
+∑ ∂
∂
+
0
1
11ε τ ε
ϕ!
( , ) ( )
( )
. (14)
ZauvaΩymo, wo oblast\ Ωµ ( Γ ) i kryva Γ poky wo nevidomi i magt\ buty
vyznaçeni zhodom.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
126 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
4.1. Vyznaçennq synhulqrno] çastyny asymptotyky V x tN( , , )εε na kry-
vij ΓΓΓΓ. Poznaçymo
v j
Γ = v j tΓ( , )τ1 = V x tj x t
( , , )
( )
τ
ϕ1 =
, j N= 0, . (15)
Vraxovugçy (12), (13), z (11) znaxodymo, wo funkci] v j
Γ = v j tΓ( , )τ1 , j = 0, N ,
[ rozv’qzkamy systemy kvazilinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy po-
xidnymy:
∂
∂
+ ′ ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
3
0
1
3 0
0
1
0 0
0
1
0
0
1
v v v
v
vΓ Γ Γ
Γ
Γ
τ
ϕ ϕ
τ
ϕ ϕ
τ τ
a t t b t u t t( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), ) = 0, (16)
∂
∂
+ ′
∂
∂
−
∂
∂
+ ∂
∂
+
∂
∂
3
1
3 0
1
0 0
1
0
1
0
1
v v v v
v v
vj j j
j
ja t t b t u t t
Γ Γ Γ Γ
Γ Γ
Γ
τ
ϕ ϕ
τ
ϕ ϕ
τ τ τ
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), ) = F j t( , )τ1 ,
(17)
de funkci]
F j t( , )τ1 = F t t t u x t u x tj j j x t
( , ( , ), , ( , ), ( , ), , ( , ))
( )
v v0 1 1 1 0
Γ Γτ τ
ϕ
… …− =
, j N= 1, ,
vyznaçagt\sq rekurentnym çynom.
Rozv’qzok rivnqnnq (16) u prostori G1
0
moΩna podaty u vyhlqdi [19]
v0 1
Γ( , )t τ = A ch C H[ ] (( ) [ ])ϕ τ ϕ− +2
1 0 , C0 = const,
de
A[ ]ϕ = – 2 0 0 0
0
a t t b t u t t
b t
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), )
( ( ))
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
′ −
, H[ ]ϕ =
2
0
A
b t
[ ]
( ( ))
ϕ
ϕ
,
pry umovi, wo funkciq ϕ = ϕ ( t ) vyznaçena dlq t ∈ [ 0; T ] i dlq ne] pry vsix t ∈
∈ [ 0; T ] vykonugt\sq nerivnosti b t0( ( ))ϕ ≠ 0, A [ ϕ ] > 0.
Rozhlqnemo pytannq pro rozv’qznist\ systemy (17) pry j N= 1, . Poznaçymo
L =
∂
∂
+ ′ − −[ ] ∂
∂
− ∂
∂
3
1
3 0 0 0 0 0
1
0
0
1τ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
τ
ϕ
τ
a t t b t u t t b t b t( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), ) ( ( )) ) ( ( ))v
vΓ
Γ
.
Todi systemu rivnqn\ (16) za dopomohog operatora L moΩna zapysaty v opera-
tornomu vyhlqdi takym çynom:
L tjvΓ( , )τ1 = F j t( , )τ1 , j N= 1, . (18)
Qkwo funkci] F tj( , )τ1 , j N= 1, , zadovol\nqgt\ umovu F j t G( , )τ1 1
0∈ , j =
= 1, N , to dlq rozv’qznosti operatornyx rivnqn\ (18) u prostori G1 neobxidno i
dostatn\o, wob vykonuvalas\ umova ortohonal\nosti [19]
F j t t d( , ) ( , )τ τ τ1 0 1 1vΓ
−∞
+∞
∫ = 0, j N= 1, . (19)
Intehrugçy (18) za zminnog τ1 vid – ∞ do τ1 , dlq funkci] v j tΓ( , )τ1 , j =
= 1, N , znaxodymo rivnqnnq
L tj1 1vΓ( , )τ = Φ j t( , )τ1 ,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 127
L1 =
∂
∂
+ ′ − −
2
1
2 0 0 0 0 0τ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕa t t b t b t u t t( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ), )vΓ .
Todi funkcig v j tΓ( , )τ1 , j N= 1, , moΩna zapysaty u vyhlqdi
v j tΓ( , )τ1 = ν η τ ψ τj jt t t( ) ( , ) ( , )1 1+ ,
de
ν j t( ) = − ′ − −
→−∞
( ( ( )) ( ) ( ( ))) lim ( , )a t t b t tj0 0
1
1
1
ϕ ϕ ϕ τ
τ
Φ ,
Φ j t( , )τ1 =
−∞
∫ +
τ
τ τ
1
F j jt d E t( , ) ( ) , lim ( , )
τ
τ
1
1
→+∞
Φ j t = 0.
Tut η τ( , )t 1 — deqka funkciq z prostoru G1 taka, wo lim ( , )
τ
η τ
1
1
→−∞
t = 1, E tj ( )
— deqka neskinçenno dyferencijovna funkciq („stala intehruvannq”).
Qkwo ψ τj t G( , )1 1
0∈ , j N= 1, , to dlq ( x, t ) ∉ Ωµ ( Γ ) funkci] v j tΓ( , )τ1 ,
j N= 1, , moΩna zapysaty u vyhlqdi v j tΓ( , )τ1 = ν η τj t t( ) ( , )1 + ψ τj t( , )1 , j N= 1, .
PokaΩemo, wo funkciq ψ τj t G( , )1 1
0∈ , j N= 1, . Dlq c\oho rozhlqnemo riv-
nqnnq wodo ψ τj t( , )1 , j N= 1, . Ma[mo
L1 ψj = Φ j jt t L t( , ) ( ) ( , )τ ν η τ1 1 1− . (20)
Oçevydno, wo funkciq Φ j jt t L t( , ) ( ) ( , )τ ν η τ1 1 1− naleΩyt\ prostoru G1
0.
Oskil\ky prostir G1
0
[ skriz\ wil\nym u prostori ( )G1
0 ′ , prostir ( )G1
0 ′
— pov-
nym, a operator L G G1 1
0
1
0: ( )→ ′
— neterovym, to dlq rozv’qznosti rivnqnnq (20)
u prostori G1
0
neobxidnog i dostatn\og [ umova ortohonal\nosti vyhlqdu [21]
〈 − 〉Φ j jt t L t( , ) ( ) ( , ),τ ν η τ1 1 1 v = 0, (21)
de 〈⋅ ⋅〉, — standartnyj skalqrnyj dobutok u prostori G1
0; v v= ∈ ∗( )τ1 1Ker L ;
L1
∗
— operator, sprqΩenyj do L1 stosovno skalqrnoho dobutku u prostori G1
0.
Dali, oskil\ky Ker L1
∗ = { }v0τ
Γ , to umova (21) ma[ misce todi i lyße todi, ko-
ly vykonu[t\sq umova (19). Ce oznaça[, wo ψ τj t G( , )1 1
0∈ , j N= 1, , za umovy,
wo vykonu[t\sq umova ortohonal\nosti (19).
Z umovy ortohonal\nosti (19) pry j = 1 znaxodymo zvyçajne dyferencial\ne
rivnqnnq dlq vyznaçennq funkci] ϕ = ϕ ( t ) . Ce rivnqnnq zapysu[t\sq takym çy-
nom [19]:
a d
dt
A
H
a
d
dt
b u t b
u x t
x
A
Hx
0
2
0 0 0 0
0
2
2 2( )
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( , ) ( )
( , ) [ ]
[ ]
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
+ ′ − ′ − ∂
∂
=
= 0. (22)
Dali prypuska[mo, wo rivnqnnq (22) ma[ rozv’qzok ϕ = ϕ ( t ) , vyznaçenyj pry
t ∈ [ 0; T ] , qkyj zadovol\nq[ poçatkovu umovu
ϕ ( 0 ) = 0. (23)
4.2. ProdovΩennq synhulqrno] çastyny asymptotyky V x tN( , , )εε v
2µµµµ-okil kryvo] ΓΓΓΓ . Opyßemo proceduru vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ1 ,
j N= 1, , v zamykanni deqko] oblasti Ωµ ( Γ ) ⊃ Γ. Vraxovugçy (17), vyznaça[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
128 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
prodovΩennq funkcij v j tΓ( , )τ1 , j N= 0, , z kryvo] Γ v oblast\ Ωµ ( Γ ) za do-
pomohog formuly
V x t0 1( , , )τ = v0 1
Γ( , )t τ , V x tj( , , )τ1 = v j jx t t t− +( , ) ( , ) ( , )η τ ψ τ1 1 , j N= 1, ,
de v j x t−( , ) , j N= 1, , — deqki funkci], qki vyznaçagt\sq qk rozv’qzky zadaç
Koßi vyhlqdu
Λv j x t−( , ) = f x tj
−( , ), (24)
v j x t−( , )
Γ
= ν j t( ), j N= 1, . (25)
Dyferencial\nyj operator Λ v (24) zapysu[t\sq u vyhlqdi
Λ = a x
t
b x u x t
x
b x
u x t
x0 0 0 0
0( ) ( ) ( , ) ( )
( , )∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ + .
Dyferencial\ne rivnqnnq (24) dlq vyznaçennq funkci] v j x t−( , ) , j N= 1, , ot-
rymano z (11) za dopomohog hranyçnoho perexodu pry τ1 → – ∞ .
Oskil\ky kryva Γ pry vsix t ∈ [ 0; T ] transversal\na xarakterystykam ope-
ratora Λ, to zhidno z teoremog Koßi – Kovalevs\ko] poçatkova zadaça (24), (25)
ma[ rozv’qzok v j x t−( , ) ∈ C∞( ( ))Ω Γµ , j N= 1, , prynajmni v deqkij oblasti
Ωµ ( Γ ) za umovy, wo çyslo µ dostatn\o male. Dali prypuska[mo, wo zadaça Ko-
ßi (24), (25) ma[ rozv’qzok i v oblasti ( , ) : ( ) , ( ; )x t x t t T− ≤ − ∈{ }ϕ µ 0 .
ZauvaΩennq71. Dlq funkci] u x t V x t0 0 1( , ) ( , , )+ τ magt\ misce spivvidno-
ßennq
u x t V x t0 0 1( , ) ( , , )+ τ → u x t0( , ) v D ′ pry ε → 0,
V x t0 1( , , )τ
ε
→ g t x t( ) ( ( ))δ ϕ− v D ′ pry ε → 0,
de D ′ — prostir uzahal\nenyx funkcij.
Takym çynom, N-te nablyΩennq U x t V x tN N( , , ) ( , , , )ε τ ε+ 1 , ( x, t ) ∈ R1 0× [ ; ]T ,
rozv’qzku rivnqnnq (1) moΩna zapysaty za dopomohog formuly
U x t V x tN N( , , ) ( , , , )ε τ ε+ 1 =
=
ε τ
ε
ε
µ
µ
µ
j
j j
j
N
j
j j
j
N
j
j
j
N
u x t V x t x t
u x t u x t x t x t D
u x t x t D
[ ( , ) ( , , )], ( , ) ( ),
( , ) [ ( , ) ( , )], ( , ) ( ),
( , ), ( , ) ( ),
\
\
+ ∈
+ + ∈
∈
=
−
=
−
=
+
∑
∑
∑
1
0
0
1
0
Ω Γ
Ω Γ
Ω Γ
v
(26)
de
D− = ( , )) [ ; ] : ( )x t T t x∈ × − ≥{ }R1 0 ϕ µ ,
D+ = ( , )) [ ; ] : ( )x t T x t∈ × − ≥{ }R1 0 ϕ µ ,
a funkci] v j x t−( , ) , j N= 0, , vyznaçeno qk rozv’qzky zadaç Koßi (24), (25) qk v
oblasti Ωµ ( Γ ) , tak i v oblasti ( , ) : ( ) , ( ; )x t x t t T− ≤ − ∈{ }ϕ µ 0 .
ZauvaΩennq72. Pry vkazanomu vywe prodovΩenni funkci] V x tj( , , )τ1 , j =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 129
= 0, N , z kryvo] Γ v oblast\ Ωµ ( Γ ) funkciq Y x tN( , , )ε , vyznaçena za dopomo-
hog formuly (26), pry τ1 → – ∞ zadovol\nq[ rivnqnnq (1) z toçnistg O N( )ε +2 .
ZauvaΩennq73. U vypadku, koly rozv’qzky zadaç Koßi (24), (25) vyznaçeni
lyße v oblasti Ωµ ( Γ ) , N-te nablyΩennq U x t V x tN N( , , ) ( , , )ε ε+ , ( x, t ) ∈
∈ R1 0× [ ; ]T , rozv’qzku rivnqnnq (1) moΩna zapysaty za dopomohog formuly
U x t V x tN N( , , ) ( , , )ε ε+ =
=
ε τ
ε
µ
µ
j
j j
j
N
j
j
j
N
u x t V x t x t
u x t x t D D
[ ( , ) ( , , )], ( , ) ( ),
( , ), ( , ) ( ) ( ),\
+ ∈
∈
=
=
+ −
∑
∑
1
0
0
Ω Γ
Ω Γ∪
(27)
i take nablyΩennq rozv’qzku rivnqnnq (1) pry τ1 → – ∞ zadovol\nq[ rivnqnnq
(1) z toçnistg O N( )ε +2 .
5. Vyznaçennq synhulqrno] çastyny asymptotyky W x tN( , , )εε . Vraxovu-
gçy zadaçi (12), (13), z (11) standartnym çynom (pryrivnggçy koefici[nty pry
odnakovyx stepenqx ε ) znaxodymo systemu dyferencial\nyx rivnqn\ dlq vy-
znaçennq funkcij Wj( , )τ τ1 2 , j N= 0, , v okoli zv’qzno] mnoΩyny
M = ( , ) : , ( , ) : ( ), [ ; ]t x t x t x x t t T= ∈{ } = ∈{ }0 01R ∪ ϕ .
Takym çynom, dlq vyznaçennq synhulqrno] çastyny W x tN( , , )ε ma[mo dyferen-
cial\ni rivnqnnq
∂
∂
3
0
1
3
W
τ
= – a
W W
0
0
1
0
2
0 0( ) ( )′ ∂
∂
− ∂
∂
ϕ
τ τ
+
+ b V
W V
W W
W
0 0 1
0
1
0 1
1
0 0
0
1
0 0
0
( ) ( , )
( , )τ
τ
τ
τ τ
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
, (28)
∂
∂
3
1
3
Wj
τ
= – a
W Wj j
0
1 2
0 0( ) ( )′
∂
∂
−
∂
∂
ϕ
τ τ
+
+ b V
W V
W
W
W W
Wj
j j
j
j0 0 1
1
0 1
1
0
1
0
1
1 20 0
0
( ) ( , )
( , )
( , )τ
τ
τ
τ τ τ
τ τ
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+
∂
∂
+ G , (29)
de funkci] G j( , )τ τ1 2 , j N= 1, , vyznaçagt\sq rekurentnym çynom pislq vyzna-
çennq funkcij W0 1 2( , )τ τ , W1 1 2( , )τ τ , … , Wj−1 1 2( , )τ τ .
Vykorystovugçy poçatkovu umovu (2), znaxodymo spivvidnoßennq
U x t V x t W x tN N N t( , , ) ( , , ) ( , , )ε ε ε+ +( ) =0 = f x
ε
,
zvidky, vraxovugçy asymptotyçni rozklady dlq funkcij U x tN( , , )ε , V x tN( , , )ε ,
W x tN( , , )ε vyhlqdu (8) – (10), otrymu[mo poçatkovi umovy dlq funkcij
Wj( , )τ τ1 2 , j N= 0, , pry τ2 = 0 :
W0 1 0( , )τ = f V( ) ( , )τ τ1 0 10− , (30)
Wj( , )τ1 0 = – V Qj j( , , ) ( )0 0 1 1τ τ+ , j N= 0, , (31)
de funkci] Qj , j N= 1, , vyznaçagt\sq rekurentnym çynom pislq vyznaçennq
funkcij W0 1 2( , )τ τ , W1 1 2( , )τ τ , … , Wj−1 1 2( , )τ τ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
130 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
Z’qsu[mo pytannq pro isnuvannq rozv’qzku zadaç (28), (30) ta (29), (31) u pro-
stori G2
+
. Dlq rozv’qznosti cyx zadaç u prostori G2
+
dostatn\og [ umova
vyhlqdu G j G( , )τ τ1 2 2∈ + . Pry c\omu rozv’qzok zadaç (28), (30) ta (29), (31) isnu[
dlq τ2 0∈[ ; ]Θ , de Θ — deqke dodatne çyslo.
Spravedlyva taka lema.
Lema71. Funkciq W0 1 2( , )τ τ , qka [ rozv’qzkom zadaçi (28), (30), naleΩyt\
prostoru G2
+
.
Lema?1 vyplyva[ z umovy W G0 1 1
00( , )τ ∈ .
Lema72. Qkwo funkciq – V Qj j( , ) ( )0 1 1τ τ+ , j N= 1, , naleΩyt\ prostoru
G1
0, a funkciq G j( , )τ τ1 2 , j N= 1, , — prostoru G2
+ , to funkciq Wj( , )τ τ1 2 ,
j N= 1, , qka [ rozv’qzkom zadaçi (29), (31), naleΩyt\ prostoru G2
+
.
Lema?2 vyplyva[ z teoremy?2.1 [15].
Takym çynom, ©runtugçys\ na vykladenyx vywe mirkuvannqx, moΩna sfor-
mulgvaty take tverdΩennq.
Teorema71. Nexaj vykonugt\sq taki prypuwennq:
1) funkci] ak ( x ) , bk ( x ) naleΩat\ prostoru C ( )( )∞ R1
, k ≥ 0;
2) zadaça Koßi (22), (23) ma[ rozv’qzok ϕ ( t ) , t ≥ 0, dlq qkoho vykonu[t\sq
nerivnist\ A [ ϕ ] > 0;
3) funkci] F j ( t, τ1 ) , j N= 1, , naleΩat\ prostoru G1
0
ta zadovol\nq-
gt\ umovu ortohonal\nosti (19);
4) vykonugt\sq umovy lemy?2.
Todi funkciq
Y x t( , , )ε =
j
N
j
j j j
Nu x t V x t W O
=
+∑ + + +
0
1 1 2
1ε τ τ τ ε[ ( , ) ( , , ) ( , )] ( ), (32)
τ1 =
x t− ϕ
ε
( )
, τ2 = t
ε
,
[ asymptotyçnym rozvynennqm dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku
zadaçi Koßi (1), (2) dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza pry 0 ≤ ≤t εΘ .
MoΩna vstanovyty ocinku miΩ toçnym u ( x, t, ε ) i nablyΩenym YN ( x, t, ε )
rozv’qzkamy zadaçi (1), (2). Spravedlyva taka teorema.
Teorema72. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy?1, funkci] a ( x, ε ) , b ( x, ε )
naleΩat\ prostoru G1
0
dlq ε ∈ ( 0; ε0 ] , funkciq a ( x, ε ) < 0 dlq vsix x ∈
∈ R1
ta dlq vsix ε ∈ ( 0; ε0 ] . Todi ma[ misce ocinka miΩ toçnym u ( x, t, ε ) i
nablyΩenym YN ( x, t, ε ) rozv’qzkamy zadaçi (1), (2) vyhlqdu
max ( )[ ( , , ) ( , , )]
[ ; ]t
Nx u x t Y x t dx
∈
−∞
+∞
∫ −
0
2
ε
αρ ε ε
Θ
≤ inf ( ) ( , )
α
αρ ε
−∞
+∞
∫ x h x dx2 , (33)
de α ∈N ∪ { }0 ; funkciq h x G( , )ε ∈ 1
0
— deqka funkciq, dlq qko] vykonu[t\sq
nerivnist\ h x( , )ε ≤ C Nε +1, a funkciq ρα( )x ma[ vyhlqd
ρα( )x =
e x
x x
x, ,
( ) , .
≤
+ >
0
1 0α
,
Dovedennq. Rozhlqnemo funkcig vyhlqdu
ω εN x t( , , ) = u x t Y x tN( , , ) ( , , )ε ε− ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 131
de funkciq u ( x, t, ε ) — toçnyj rozv’qzok zadaçi (1), (2). Todi funkciq ωN ( x, t, ε )
[ rozv’qzkom zadaçi Koßi vyhlqdu
ε ω2
3
3
∂
∂
N
x
= a x
t
b x
x
Y
x
Y
x
N
N
N
N
N
N
N( , ) ( , )ε ω ε ω ω ω ω∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
, (34)
ωN ( x, 0, ε ) = h ( x, ε ) , (35)
de h x G( , )ε ∈ 1
0
— deqka funkciq, dlq qko] vykonu[t\sq asymptotyçna neriv-
nist\ h x( , )ε ≤ C Nε +1.
Vykonavßy v rivnqnni (34) zaminu zminnyx
x = εξ , t = – ε a ( ε ξ , ε ) η ,
otryma[mo rivnqnnq
∂
∂
+ ∂
∂
3
3
ω
ξ
ω
η
N N = b Y
Y
N
N
N
N
N
N( , )εξ ε ω ω
ξ
ω
ξ
ω
ξ
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
,
dlq rozv’qzku ωN ( ξ, η, ε ) qkoho vykonu[t\sq nerivnist\
max ( )( ( , , ))
[ ; ]t
Nx d
∈
−∞
+∞
∫0
2
ε
αρ ω ξ η ε ξ
Θ
≤
−∞
+∞
∫ ρ εξ ε ξα( ) ( , ))x h d2 ,
de α ∈N ∪ { }0 .
Zvidsy vyplyva[ (33).
Teoremu?2 dovedeno.
Vysnovok. Za dopomohog zaproponovanoho alhorytmu pobudovano odnofa-
zovi solitonopodibni asymptotyçni rozv’qzky zadaçi Koßi dlq rivnqnnq Korteve-
ha?–?de?Friza zi zminnymy koefici[ntamy ta vstanovleno asymptotyçnu ocinku
dlq nyx.
1. Korteweg D. J., de Vries G. On the change in form of long waves advancing in a rectangular canal
and a new type of long stationary waves // Phil. Mag. – 1895. – # 39. – P. 422 – 433.
2. Russel J. S. Report on waves // Rept Fourteenth Meeting Brit Assoc. Adv. Sci. – London: John
Murray, 1844. – P. 311 – 390.
3. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of „solutions” in a collisionless plasma and the recurrence
of initial states // Phys. Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240.
4. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg – de
Vries equation // Ibid. – 1967. – 19. – P. 1095.
5. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure and
Appl. Math. – 1968. – 21, # 2. – P. 467 – 490 (Pereklad ros. movog: Yntehral¥ nelynejn¥x
πvolgcyonn¥x uravnenyj y uedynenn¥e voln¥ // Matematyka. – 1969. – 13, # 15. –
S.?128 – 150 ) .
6. Lax P. D. Periodic solutions of the Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl.
Math. – 1975. – 28, # 2. – P. 141 – 188.
7. Zaxarov V. E., Faddeev L. D. Uravnenye Korteveha – de Fryza — vpolne yntehryruemaq
hamyl\tonova systema // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1971. – 5, # 4. – S. 18 – 27.
8. Novykov S. P. Peryodyçeskaq zadaça dlq uravnenyq Korteveha – de Fryza // Tam Ωe. – 1974.
– 8, # 3. – S. 54 – 66.
9. Zaxarov V. E., Manakov S. V. Obobwenye metoda obratnoj zadaçy teoryy rasseyvanyq //
Teor. y mat. fyzyka. – 1976. – 27, # 3. – S. 283 – 287.
10. Zaxarov V. E., Manakov S. V., Novykov S. P., Pytaevskyj L. P. Teoryq solytonov: metod
obratnoj zadaçy. – M.: Nauka, 1980. – 320 s.
11. TaxtadΩqn L. A., Faddeev L. D. Hamyl\tonov podxod v teoryy solytonov. – M.: Nauka,
1986. – 527 s.
12. Marçenko V. A. Peryodyçeskaq zadaça Korteveha – de Fryza // Mat. sb. – 1974. – 95, # 3. –
S. 331 – 356.
13. Marçenko V. A. Operator¥ Íturma – Lyuvyllq y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka,
1977. – 332 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
132 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
14. Mytropol\skyj G. A., Boholgbov N. N. (ml.), Prykarpatskyj A. K., Samojlenko V. H.
Yntehryruem¥e dynamyçeskye system¥: spektral\n¥e y alhebro-heometryçeskye aspekt¥. –
Kyev: Nauk. dumka, 1987. – 296 s.
15. Famynskyj A. V. Zadaça Koßy dlq uravnenyq Korteveha – de Fryza y eho obobwenyj // Tr.
sem. ym. Y. H. Petrovskoho. – 1988. – V¥p. 13. – S. 56 – 105.
16. Dye J. M., Parker A. An inverse scattering scheme for the regularized long-wave equation // J.
Math. Phys. – 2000. – 41, # 5. – P. 2889 – 2904.
17. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A. Asymptotyçeskye metod¥ nelynejnoj mexanyky. –
M.: Nauka, 1974. – 504 s.
18. Maslov V. P., Omel\qnov H. A. Asymptotyçeskye solytonoobrazn¥e reßenyq uravnenyj s
maloj dyspersyej // Uspexy mat. nauk. – 1981. – V¥p. 36 (219), # 2. – S. 63 – 124.
19. Samojlenko V. H., Samojlenko G. I. Asymptotyçni rozvynennq dlq odnofazovyx
solitonopodibnyx rozv’qzkiv rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy //
Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 58, # 1. – S. 111 – 124.
20. Samoylenko Yul. Asymptotical expansions for one-phase solution-type solution to perturbed
Korteweg – de Vries equation // Proc. Fifth. Int. Conf. „Symmetry in Nonlinear Mathematical
Physics”. – Kyiv: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2004. – 3. – P. 1435 – 1441.
21. Matematyçeskaq πncyklopedyq: V 5 t. – M.: Nauka, 1982. – T. 3. – 1026 s.
22. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yul. Asymptotical expansions of solution to Cauchy problem for
Korteweg – de Vries equation with varying coefficients and small parameter // CERMCS Int. Conf.
Young Sci. Communs. – Chisinau: Moldova State Univ., 2006. – P. 186 – 192.
23. Myxajlov V. P. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Nauka,
1976. – 391 s.
OderΩano 11.10.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5513 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-26T05:52:07Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. 2010-01-25T16:47:32Z 2010-01-25T16:47:32Z 2007 Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 122-132. — Бібліогр.: 23 назв. — укp. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5513 917.9 Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами и доказана теорема об оценке его точности. An algorithm of the construction of asymptotic solutions of the Cauchy problem for singularly perturbed Korteweg – de Vries equation with varying coefficients is proposed. The theorem on estimation of its precision is proved. uk Інститут математики НАН України Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. |
| title | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_short | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_sort | асимптотичні розв'язки задачі коші для сингулярно збуреного рівняння кортевена-де фріза зі змінними коефіцієнтами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5513 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkovg asimptotičnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevenadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoûí asimptotičnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevenadefrízazízmínnimikoefícíêntami |