Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
Досліджено структуру множини неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом в околах станів рівноваги. We study the structure of the set of continuous solutions for a certain class of systems of nonlinear difference equations with a continuous...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5515 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860112922295926784 |
|---|---|
| author | Пелюх, Г.П. |
| author_facet | Пелюх, Г.П. |
| citation_txt | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Досліджено структуру множини неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом в околах станів рівноваги.
We study the structure of the set of continuous solutions for a certain class of systems of nonlinear difference equations with a continuous argument in neighborhoods of equilibrium states.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:34:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.962.2
Г. П. Пелюх (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА
НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
C НЕПРЕРЫВНЫМ АРГУМЕНТОМ
We study the structure of the set of continuous solutions for a certain class of systems of nonlinear
difference equations with a continuous argument in neighborhoods of equilibrium states.
Дослiджено структуру множини неперервних розв’язкiв одного класу систем нелiнiйних рiзницевих
рiвнянь з неперервним аргументом в околах станiв рiвноваги.
В современной теории разностных уравнений с непрерывным аргументом имеется
ряд хорошо разработанных направлений. К ним, в частности, относятся направ-
ления, основными целями которых является построение представления общего
непрерывного решения в окрестности особой точки [1 – 7] и исследование пове-
дения непрерывных при t ≥ 0 решений таких уравнений при t → +∞ [8 – 12].
B настоящей работе получены новые результаты, касающиеся этих направлений,
которые существенно дополняют и развивают полученные ранее результаты.
1. Представление непрерывных решений систем нелинейных разностных
уравнений. Рассмотрим систему разностных уравнений вида
x(t + 1) = Λx(t) + f(t, x(t)), (1)
где t ∈ R+ = [0,+∞), Λ — постоянная вещественная (n × n)-матрица, f : R+ ×
×Rn → Rn, и исследуем структуру множества ее непрерывных решений в окрест-
ности тривиального решения x(t) = 0 (f(t, 0) ≡ 0). При различных предполо-
жениях относительно матрицы Λ и вектор-функции f(t, x) эта задача изучалась
многими математиками [1 – 7] и в настоящее время достаточно хорошо исследова-
на. Тем не менее здесь имеется ряд вопросов, которые ждут своего решения. В
настоящей работе рассматривается один из них — исследуется структура общего
непрерывного решения системы уравнений (1).
Для простоты в дальнейшем будем считать, что собственные числа λi, i =
= 1, . . . , n, матрицы Λ являются вещественными и матрица Λ имеет вид Λ =
= diag
(
Λ1(λ1), . . . ,Λk(λk
)
, 1 ≤ k ≤ n, где Λi, i = 1, . . . , k, — квадратные (ni×ni)-
матрицы,
Λi =
∣∣∣∣∣∣∣∣
λi ε 0 . . . 0
0 λi ε . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λi
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
причем
∑k
i=1
ni = n и ε — сколь угодно малое положительное число (в противном
случае систему уравнений (1) можно привести к указанному виду с помощью
линейной неособой вещественной замены переменных).
c© Г. П. ПЕЛЮХ, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 99
100 Г. П. ПЕЛЮХ
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
1) вектор-функция f(t, x) непрерывна в области D : t ≥ 0, |x| = max
1≤i≤n
|xi| ≤ b
и f(t, 0) ≡ 0;
2) для произвольных точек (t, x), (t, x̂) ∈ D выполняется неравенство∣∣f(t, x)− f(t, x̂)
∣∣ ≤ L
(
|x|+ |x̂|
)α|x− x̂|,
где L,α = const > 0;
3) 0 < |λi| < 1, i = 1, . . . , k, |Λ−1||Λ|1+α = δ < 1.
Тогда в некоторой области D∗ ⊂ D существует замена переменных
x(t) = κ(t, y(t)) = y(t) + γ(t, y(t)), (2)
где вектор-функция γ(t, y) является непрерывной, удовлетворяет условию
∣∣γ(t, y)− γ(t, ŷ)
∣∣ ≤ L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ|, (t, y), (t, ŷ) ∈ D∗, (3)
L̃ = L∆, δ < ∆ < 1, и γ(t, 0) ≡ 0, приводящая систему уравнений (1) к виду
y(t + 1) = Λy(t). (4)
Для доказательства теоремы достаточно, очевидно, доказать, что в некоторой
области D∗ ⊂ D система уравнений
κ(t + 1,Λy) = Λκ(t, y) + f
(
t, κ(t, y)
)
(5)
имеет решение κ(t, y) = y + γ(t, y), удовлетворяющее указанным в теореме усло-
виям.
Решение системы уравнений (5) построим с помощью метода последовательных
приближений. При этом последовательные приближения κm(t, y), m = 0, 1, . . . ,
определим соотношениями
κ0(t, y) = y,
κm(t, y) = Λ−1κm−1(t + 1,Λy)− Λ−1f(t, κm−1(t, y)), m = 1, 2, . . . .
(6)
Сначала покажем, что при всех t ≥ 0 и достаточно малых |y| выполняются нера-
венства ∣∣κm(t, y)
∣∣ ≤ |y|+ L̃
1−∆
|y|1+α, m = 0, 1, . . . . (7)
Существует положительное число b∗ (b∗ < b) такое, что при |x| ≤ b∗, |y| ≤ b∗
имеем (
1 +
2L̃
1−∆
(|x|+ |y|)α
)1+α
≤ 1− δ
1−∆
,
|y|+ L̃
1−∆
|y|1+α ≤ b, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 101
2αL̃
(
|y|+ L̃
1−∆
|y|1+α
)α
≤ ∆− δ.
Поскольку
∣∣κm(t, y)
∣∣ ≤ |y| +
∣∣κm(t, y) − y
∣∣, для доказательства (7) достаточно
доказать справедливость соотношений
∣∣κm(t, y)− y
∣∣ ≤ L̃
1−∆
|y|1+α, m = 0, 1, . . . . (9)
Соотношение (9) выполняется, очевидно, при m = 0. Пусть оно доказано для
некоторого m ≥ 0. Taк кaк в силу (6)
κm+1(t, y)− y = Λ−1κm(t + 1,Λy)− Λ−1f(t, κm(t, y))− Λ−1Λy,
отсюда с учетом условий 1 – 3 и неравенств (7), (8) имеем∣∣κm+1(t, y)− y
∣∣ ≤ |Λ−1|
∣∣κm(t + 1,Λy)− Λy
∣∣+ |Λ−1|L
∣∣κm(t, y)
∣∣1+α ≤
≤ |Λ−1| L̃
1−∆
|Λy|1+α + |Λ−1|L
(
|y|+ L̃
1−∆
|y|1+α
)1+α
≤
≤ L̃
1−∆
δ + (1−∆)
(
1 +
L̃
1−∆
|y|α
)1+α
|y|1+α ≤ L̃
1−∆
|y|1+α.
Следовательно, соотношения (9) выполняются при t ≥ 0, |y| ≤ b∗ и всех m ≥ 0.
Теперь покажем, что при t ≥ 0, |y| ≤ b∗ и всех m ≥ 1 имеет место оценка∣∣κm(t, y)− κm−1(t, y)
∣∣ ≤ L̃∆m−1|y|1+α. (10)
Действительно, в силу условий 1 – 3 и соотношений (6) – (8) имеем∣∣κ1(t, y)− κ0(t, y)
∣∣ = ∣∣Λ−1Λy − Λ−1f(t, y)− y
∣∣ ≤ L̃|y|1+α,
т. е. оценка (10) имеет место при m = 1. Предположим, что она доказана для
некоторого m ≥ 1. Тогда, принимая во внимание условия теоремы и (6) – (8),
получаем ∣∣κm+1(t, y)− κm(t, y)
∣∣ =
=
∣∣∣Λ−1κm(t + 1,Λy)− Λ−1f
(
t, κm(t, y)
)
−
−Λ−1κm−1(t + 1,Λy) + Λ−1f
(
t, κm−1(t, y)
)
| ≤
≤ |Λ−1|
∣∣κm(t + 1,Λy)− κm−1(t + 1,Λy)
∣∣+
+|Λ−1|
∣∣f(t, κm(t, y))− f(t, κm−1(t, y))
∣∣ ≤
≤ |Λ−1|L̃∆m−1|Λ|1+α|y|1+α+
+|Λ−1|L2α
(
|y|+ L̃
1−∆
|y|1+α
)α
L̃∆m−1|y|1+α ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
102 Г. П. ПЕЛЮХ
≤ L̃∆m−1
[
δ + L̃2α
(
|y|+ L̃
1−∆
|y|1+α
)α ]
|y|1+α ≤ L̃∆m|y|1+α.
Таким образом, оценка (10) имеет место при t ≥ 0, |y| ≤ b∗ и всех m ≥ 1.
Из (10) непосредственно вытекает, что при t ≥ 0, |y| ≤ b∗ ряд κ0(t, y) +
+
∑∞
i=1
[
κi(t, y) − κi−1(t, y)
]
и, следовательно, последовательность функций (6)
равномерно сходятся к некоторой непрерывной функции κ(t, y). Переходя в (6) к
пределу при m → ∞, можно показать, что κ(t, y) является решением системы
уравнений (5).
Обозначим
γm(t, y) = κm(t, y)− y, m = 0, 1, . . . . (11)
Тогда, очевидно, lim
m→∞
γm(t, y) = κ(t, y)− y = γ(t, y) и γ(t, 0) ≡ 0 (следует из (7),
(11)). Покажем, что вектор-функция γ(t, y) удовлетворяет условию (3).
Действительно, пусть (t, x), (t, x̂) — произвольные точки из D∗ : t ≥ 0, |y| ≤
≤ b∗. Тогда, использовав соотношения (6) – (8), (11), докажем, что при всех m ≥ 0
выполняются неравенства∣∣γm(t, y)− γm(t, ŷ)
∣∣ ≤ L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ|. (12)
При m = 0 неравенство (12), очевидно, имеет место. Тогда, предположив его
справедливость для некоторого m ≥ 0, докажем, что оно сохранится при переходе
от m к m+1. Действительно, в силу условий теоремы, (6) – (8), (11), (12) получаем∣∣γm+1(t, y)− γm+1(t, ŷ)
∣∣ =
=
∣∣∣Λ−1γm(t + 1,Λy)− Λ−1f
(
t, y + γm(t, y)
)
−
− Λ−1γm(t + 1,Λŷ) + Λ−1f
(
t, ŷ + γm(t, ŷ)
)∣∣∣ ≤
≤ |Λ−1| L̃
1−∆
|Λ|1+α
(
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ|+
+ |Λ−1|L
(
|y|+ |γm(t, y)|+ |ŷ|+ |γm(t, ŷ)|
)α×
×
(
|y − ŷ|+ |γm(t, y)| − |γm(t, ŷ)|
)
≤
≤ L̃
1−∆
δ
(
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ|+ L̃
(
|y|+ |ŷ|+ 2
L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)1+α
)α
×
×
(
|y − ŷ|+ L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ|
)
≤
≤ L̃
1−∆
[
δ + (1−∆)
(
1 + 2
L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)α)α
×
×
(
1 +
L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)α)](|y|+ |ŷ|)α|y − ŷ| ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 103
≤ L̃
1−∆
[
δ + (1−∆)
1− δ
1−∆
] (
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ| ≤
≤ L̃
1−∆
(
|y|+ |ŷ|
)α|y − ŷ|.
Teм самым доказано, что неравенство (12) имеет место при t ≥ 0, |y| ≤ b∗, |ŷ| ≤ b∗
и всех m ≥ 0. Переходя в (12) к пределу при m →∞, получаем условие (3).
Teopeмa 1 доказана.
Таким образом, с помощью взаимно однозначной (следует из (3), (8)) заме-
ны переменных (2) исследование системы уравнений (1) в области D∗ сводится
к исследованию линейной системы уравнений (4). B свою очередь, построение
решений системы уравнений (4) сводится к построению решений подсистем урав-
нений вида
yi(t + 1) = Λiyi(t), (13)
где yi = col
(
yi
1, . . . , y
i
ni
)
, i = 1, . . . , k. Общее непрерывное решение системы урав-
нений (13) можно легко построить. Например, в случае, когда λi > 0, i = 1, . . . , k,
оно имеет вид
yi
1(t) = λt
iωni
(t) + c1
i,ni−1tλ
t
iω
i
ni−1(t) + . . . +
ni−1∑
j=1
cj
i,1t
j
λt
iω
i
1(t),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yi
ni
(t) = λt
iω
i
1(t), i = 1, . . . , k,
где cj
i1i2
— некоторые постоянные и ωi
j(t), j = 1, . . . , ni, i = 1, . . . , k, — произволь-
ные непрерывные 1-периодические функции.
Принимая во внимание представление общего непрерывного решения систе-
мы (4) и замену переменных (2), можно получить представление общего непре-
рывного решения системы уравнений (1) при достаточно больших t > 0. Из этого
представления непосредственно вытекает ряд интересных результатов, имеющих
важное значение для теории разностных уравнений.
При исследовании системы уравнений (1) в случае, когда собственные числа λi,
i = 1, . . . , n, матрицы Λ удовлетворяют условию 0 < |λi| < 1 < |λp+j |, i = 1, . . . , p,
j = 1, . . . , q, p + q = n, запишем ее в виде
x(t + 1) = Λx(t) + f
(
t, x(t), y(t)
)
,
y(t + 1) = Λ̂y(t) + ϕ
(
t, x(t), y(t)
)
,
(14)
где = col
(
x1, . . . , xp
)
, y = col
(
y1, . . . , yq
)
, f = col
(
f1, . . . , fp
)
, ϕ = col
(
ϕ1, . . .
. . . , ϕq
)
, Λ = diag
(
Λ1, . . . ,Λr
)
, 1 ≤ r ≤ p, Λ̂ = diag
(
Λ̂1, . . . , Λ̂s
)
, 1 ≤ s ≤ q,
и Λi, i = 1, . . . , r, Λ̂j , j = 1, . . . , s, — квадратные соответственно (pi × pi)- и
(qj × qj)-матрицы,
Λi =
∣∣∣∣∣∣∣∣
λi ε 0 . . . 0
0 λi ε . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λi
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
104 Г. П. ПЕЛЮХ
Λ̂j =
∣∣∣∣∣∣∣∣
λ̂j ε 0 . . . 0
0 λ̂j ε . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λ̂j
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
причем
∑r
i=1
pi = p,
∑s
j=1
qj = q.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются условия:
1) 0 < |λi| < 1 < |λ̂j |, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s;
2) вектор-функции f(t, x, y), ϕ(t, x, y) являются непрерывными в области D :
t ≥ 0, |x| = max
1≤i≤p
|xi| ≤ b, |y| = max
1≤j≤q
|yj | ≤ b, удовлетворяют условию Липшица
∣∣f(t, x, y)− f(t, x̂, ŷ)
∣∣ ≤ l1
(
|x− x̂|+ |y − ŷ|
)
,∣∣ϕ(t, x, y)− ϕ(t, x̂, ŷ)
∣∣ ≤ l2
(
|x− x̂|+ |y − ŷ|
)
, (t, x, y), (t, x̂, ŷ) ∈ D,
где l1, l2 — достаточно малые положительные постоянные и f(t, 0, 0) ≡ 0,
ϕ(t, 0, 0) ≡ 0.
Тогда в некоторой области D∗ ⊂ D существует замена переменных
x(t) = u(t), y(t) = v(t) + γ(t, u(t)), (15)
где вектор-функция γ(t, u) является непрерывной, удовлетворяет условию
∣∣γ(t, u)−
− γ(t, û)
∣∣ ≤ l|u − û| (l — достаточно малая положительная постоянная) и
γ(t, 0) ≡ 0, приводящая систему уравнений (14) к виду
u(t + 1) = Λu(t) + f̃
(
t, u(t), v(t)
)
,
v(t + 1) = Λ̂v(t) + ϕ̃
(
t, u(t), v(t)
)
,
(16)
где вектор-функции f̃(t, u, v), ϕ̃(t, u, v) непрерывны в области D∗, удовлетворяют
условию Липшица по u, v и ϕ̃(t, u, 0) ≡ 0.
Для доказательства теоремы достаточно в качестве вектор-функции γ(t, u) ис-
пользовать решение системы уравнений
γ
(
t + 1,Λu + f(t, u, γ(t, u))
)
= Λ̂γ(t, u) + ϕ
(
t, u, γ(t, u)
)
, (17)
удовлетворяющее указанным в теореме условиям.
Решение системы уравнений (17) можно построить с помощью метода после-
довательных приближений. При этом последовательные приближения γm(t, u),
m = 0, 1, . . . , определяются следующими соотношениями:
γ0(t, u) = 0,
γm(t, u) = Λ̂−1γm−1(t + 1,Λu) + f(t, u, γm−1(t, u))−
−Λ̂−1ϕ(t, u, γm−1(t, u)), m = 1, 2, . . . .
Поскольку для системы уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 105
u(t + 1) = Λu(t) + f̃(t, u(t), 0)
можно доказать теорему, аналогичную теореме 1, и, следовательно, построить ее
общее непрерывное решение в некоторой области D∗ ⊂ D, используя замену пе-
ременных (15), можно построить множество непрерывных решений системы урав-
нений (14), зависящее от произвольных непрерывных периодических функций.
2. Исследование свойств непрерывных решений систем нелинейных раз-
ностных уравнений при t → +∞. Рассмотрим теперь систему нелинейных
разностных уравнений вида
x(t + 1) = x(t) +
∞∑
i=0
fi(t, x(t + i)), (18)
где t ∈ R+, fi : R+ ×Rn → Rn, и исследуем поведение ее непрерывных и ограни-
ченных решений при t → +∞. Поскольку свойства непрерывных и ограниченных
при t ∈ R+ решений системы (18) достаточно хорошо характеризуются наличием
у нее непрерывного при t ∈ R+, 1-периодического асимптотического равновесия,
то основной нашей целью является установление достаточных условий существо-
вания такого равновесия.
Определение 1. Будем говорить, что система уравнений (18) имеет непре-
рывное при t ∈ R+, 1-периодическое асимптотическое равновесие, если:
а) произвольное непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение x(t) удовлет-
воряет при t → +∞ соотношению
x(t) = ω(t) + o(1), (19)
где ω(t) — непрерывная при t ∈ R+, 1-периодическая вектор-функция;
б) для произвольной непрерывной при t ∈ R+, 1-периодической вектор-функции
ω(t) существует непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение x(t) системы
уравнений (18), удовлетворяющее при t → +∞ соотношению (19).
Условия, гарантирующие справедливость утверждения а), устанавливаются в
следующей теореме.
Теорема 3. Пусть выполняются условия:
1) вектор-функции fi(t, x), i = 0, 1, . . . , являются непрерывными при t ∈ R+,
x ∈ Rn, fi(t, 0) ≡ 0, i = 0, 1, . . . , и удовлетворяют соотношениям∣∣fi(t, x)− fi(t, y)
∣∣ ≤ ηi(t)|x− y|, i = 0, 1, . . . ,
где ηi(t) — некоторые неотрицательные непрерывные и ограниченные при t ∈ R+
функции, x, y ∈ Rn, |x| = max
1≤i≤n
|xi|;
2) ряды
H(t) =
∞∑
i=0
ηi(t), H̃(t) =
∞∑
i=0
η̃i(t),
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
106 Г. П. ПЕЛЮХ
η̃i(t) =
i∑
j=0
ηi−j(t + j)*,
равномерно сходятся при всех t ∈ R+ и H̃(t) ≤ θ < 1 при всех t ∈ R+.
Тогда для произвольного непрерывного и ограниченного при t ∈ R+ решения x(t)
системы уравнений (18) существует непрерывная при t ∈ R+, 1-периодическая
вектор-функция ω(t) такая, что при t → +∞ выполняется соотношение (19).
Доказательство. Предположим, что x(t) — непрерывное и ограниченное при
t ∈ R+ решение системы уравнений (18). Тогда в силу условий 1, 2 теоремы имеем
x(t) = ω(t)−
∞∑
i=0
f̃i(t, x(t + i)), (20)
где
f̃i(t, x(t + i)) =
i∑
j=0
fi−j(t + j, x(t + i)),
ω(t) = x(t) +
∞∑
i=0
f̃i(t, x(t + i)).
Отсюда вследствие условий 1, 2 непосредственно следует, что таким образом опре-
деленная вектор-функция ω(t) является непрерывной и ограниченной при t ∈ R+.
Kpoмe этого, поскольку в силу условий 1, 2 имеем H̃(t) → 0 при t → +∞, из (20)
следует, что при t → +∞ имеет место соотношение (19).
Покажем, что вектор-функция ω(t) = x(t) +
∑∞
i=0
f̃i(t, x(t + i)) является 1-
периодической. Действительно, поскольку
x(t + 1) ≡ x(t) +
∞∑
i=0
fi
(
t, x(t + i)
)
и
f̃i
(
t, x(t + i)
)
= f̃i−1
(
t + 1, x(t + i)
)
+ fi
(
t, x(t + i)
)
,
то
ω(t + 1) = x(t + 1) +
∞∑
i=0
f̃i
(
t + 1, x(t + 1 + i)
)
=
= x(t) +
∞∑
i=0
fi
(
t, x(t + i)
)
+
∞∑
i=0
f̃i
(
t + 1, x(t + 1 + i)
)
=
= x(t) +
∞∑
i=0
fi
(
t, x(t + i)
)
+
∞∑
i=1
f̃i−1
(
t + 1, x(t + i)
)
=
= x(t) +
∞∑
i=0
f̃i
(
t, x(t + i)
)
= ω(t).
*Поскольку H̃(t)→ 0 при t→ +∞, соотношение H̃(t) ≤ θ < 1 всегда имеет место при t ≥ T,
где T достаточно велико.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 107
Teopeмa 3 доказана.
Теперь докажем, что для произвольной непрерывной при t ∈ R+, 1-периодичес-
кой вектор-функции ω(t) существует непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ ре-
шение системы уравнений (18), удовлетворяющее условию (19). Поскольку произ-
вольное непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение системы уравнений (20)
удовлетворяет системе уравнений (18) (в этом можно убедиться непосредственной
подстановкой (20) в (18)), для этого достаточно показать, что такое решение имеет
система уравнений (20).
Теорема 4. Если выполняются условия теоремы 1, то система уравнений (20)
имеет непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение x(t), удовлетворяющее
при t → +∞ условию (19).
Доказательство. С помощью соотношений
x0(t) = ω(t),
xm(t) = ω(t)−
∞∑
i=0
f̃i (t, xm−1(t + i)) , m = 1, 2, . . . ,
(21)
определим последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1 . . . , и докажем,
что она равномерно сходится при t ∈ R+ к непрерывному и ограниченному при
t ∈ R+ решению системы уравнений (20).
Принимая во внимание условия 1, 2, можно по индукции показать, что вектор-
функции m(t), m = 0, 1 . . . , являются непрерывными при t ∈ R+ и при всех m ≥ 0,
t ∈ R+ выполняется соотношение
|xm(t)| ≤ M
1− θ
, (22)
где M = max
t
|ω(t)|. Более того, покажем, что при всех m ≥ 1, t ∈ R+ имеет место
оценка ∣∣xm(t)− xm−1(t)
∣∣ ≤ Mθm. (23)
Действительно, в силу (21) и условия 2 при m = 1 имеем
∣∣x1(t)− x0(t)
∣∣ ≤ ∞∑
i=0
∣∣∣f̃i (t, ω(t + i))
∣∣∣ ≤ M
∞∑
i=0
η̃i(t) ≤ Mθ
и, следовательно, оценка (23) имеет место при m = 1. Рассуждая по индукции,
предположим, что она доказана для некоторого m ≥ 1. Тогда в силу (21), условия
2 и (23) получаем
∣∣xm+1(t)− xm(t)
∣∣ ≤ ∞∑
i=0
∣∣∣f̃i (t, xm(t + i))− f̃i (t, xm−1(t + i))
∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
η̃i(t)
∣∣∣xm(t + i)− xm−1(t + i)
∣∣∣ ≤ Mθm
∞∑
i=0
η̃i(t) ≤ Mθm+1.
Таким образом, оценка (23) имеет место при всех t ∈ R+ и m ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
108 Г. П. ПЕЛЮХ
Непосредственно из (22), (23) следует, что последовательность вектор-функций
xm(t), m = 0, 1, . . . , равномерно сходится к некоторой непрерывной при t ∈ R+
вектор-функции x(t), удовлетворяющей условию
|x(t)| ≤ M
1− θ
.
Если теперь перейти в (21) к пределу при m → +∞, то можно убедиться, что
вектор-функция x(t) = lim
m→+∞
xm(t) удовлетворяет системе уравнений (20). Teм
самым теорема 4 доказана.
Непосредственным следствием теорем 3, 4 является следующая теорема.
Теорема 5. Если для системы уравнений (18) выполняются условия теоре-
мы 3, то она имеет непрерывное при t ∈ R+, 1-периодическое асимптотическое
равновесие.
1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. – 1911. –
12. – P. 243 – 284.
2. Birkhoff G. D. Formal theory of irregular linear difference equations // Acta math. – 1930. – 54. –
P. 205 – 246.
3. Tokano B. K. Solutions containing arbitrary periodic functions of systems of nonlinear difference
equations // Funkc. ekvacioj. – 1973. – 16, № 2. – P. 137 – 164.
4. Пелюх Г. П. О структуре непрерывных решений одного класса нелинейных разностных урав-
нений // Дифференц. уравнения. – 1994. – 30, № 6. – С. 1083 – 1085.
5. Пелюх Г. П. Представление решений разностных уравнений с непрерывным аргументом //
Там же. – 1996. – 32, № 2. – С. 304 – 312.
6. Пелюх Г. П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргу-
ментом // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 936 – 953.
7. Быков Я. В., Линенко В. Г. О некоторых вопросах качественной теории систем разностных
уравнений. – Фрунзе: Илим, 1968. – 127 с.
8. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И., Самойленко А. М. Системы эволюционных уравнений
с периодическими и условно-периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1984. –
216 с.
9. Stević S. Asymptotic behaviour of solutions of systems of a nonlinear difference equations with a
continuous argument // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 8. – С. 1095 – 1100.
10. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах непрерывных решений систем нелинейных
функционально-разностных уравнений // Докл. РАН. – 2002. – № 1. – С. 14 – 16.
11. Пелюх Г. П. Асимптотическое поведение решений нелинейных разностных уравнений с не-
прерывным аргументом // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – С. 138 – 141.
12. Пелюх Г. П. О структуре множества непрерывных решений систем нелинейных функцио-
нально-разностных уравнений // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 1. – С. 115 – 120.
Получено 20.09.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5515 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:34:52Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пелюх, Г.П. 2010-01-25T16:48:58Z 2010-01-25T16:48:58Z 2007 Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5515 517.962.2 Досліджено структуру множини неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом в околах станів рівноваги. We study the structure of the set of continuous solutions for a certain class of systems of nonlinear difference equations with a continuous argument in neighborhoods of equilibrium states. ru Інститут математики НАН України Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом Пелюх, Г.П. |
| title | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_full | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_fullStr | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_full_unstemmed | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_short | Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_sort | исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5515 |
| work_keys_str_mv | AT pelûhgp issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešeniisistemnelineinyhraznostnyhuravneniisnepreryvnymargumentom |