Деякі результати локальної теорії гладких функцій

Деякі результати локальної теорії гладких функцій

Приведены результати исследования локального поведения гладких функций в окрестностях их регулярных и критических точек, доказаны теоремы о средних значениях рассматриваемых функций типа теоремы Лагранжа о конечных приращениях, исследована симметрия производной аналитической функции в окрестности ее...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2007
Автор: Самойленко, А.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2007
Теми:
Статті
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5528
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Деякі результати локальної теорії гладких функцій / А.М. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 231-267. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5528
record_format dspace
spelling Самойленко, А.М.
2010-01-25T17:26:36Z
2010-01-25T17:26:36Z
2007
Деякі результати локальної теорії гладких функцій / А.М. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 231-267. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5528
517.9 + 517.5
Приведены результати исследования локального поведения гладких функций в окрестностях их регулярных и критических точек, доказаны теоремы о средних значениях рассматриваемых функций типа теоремы Лагранжа о конечных приращениях, исследована симметрия производной аналитической функции в окрестности ее кратного нуля, доказаны новые утверждения подготовительной теоремы Вейерштрасса, касающиеся критической точки гладкой функции конечной гладкости, определено неградиентное векторное поле функции в окрестности ее критической точки и рассмотрен один критический случай устойчивости положения равновесия нелинейной системы.
We present results of the investigation of the local behavior of smooth functions in neighborhoods of their regular and critical point and prove theorems on mean values of considered functions similar to the Lagrange theorem on finite increments. We also investigate the symmetry of the derivative of an analytic function in the neighborhood of its multiple zero, prove new statements of the Weierstrass auxiliary theorem related to the critical point of a smooth function of finite smoothness, determine a nongradient vector field of the function in the neighborhood of its critical point, and consider one critical case of the stability of equilibrium position of a nonlinear system.
uk
Інститут математики НАН України
Статті
Деякі результати локальної теорії гладких функцій
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Деякі результати локальної теорії гладких функцій
spellingShingle Деякі результати локальної теорії гладких функцій
Самойленко, А.М.
Статті
title_short Деякі результати локальної теорії гладких функцій
title_full Деякі результати локальної теорії гладких функцій
title_fullStr Деякі результати локальної теорії гладких функцій
title_full_unstemmed Деякі результати локальної теорії гладких функцій
title_sort деякі результати локальної теорії гладких функцій
author Самойленко, А.М.
author_facet Самойленко, А.М.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2007
language Ukrainian
publisher Інститут математики НАН України
format Article
description Приведены результати исследования локального поведения гладких функций в окрестностях их регулярных и критических точек, доказаны теоремы о средних значениях рассматриваемых функций типа теоремы Лагранжа о конечных приращениях, исследована симметрия производной аналитической функции в окрестности ее кратного нуля, доказаны новые утверждения подготовительной теоремы Вейерштрасса, касающиеся критической точки гладкой функции конечной гладкости, определено неградиентное векторное поле функции в окрестности ее критической точки и рассмотрен один критический случай устойчивости положения равновесия нелинейной системы. We present results of the investigation of the local behavior of smooth functions in neighborhoods of their regular and critical point and prove theorems on mean values of considered functions similar to the Lagrange theorem on finite increments. We also investigate the symmetry of the derivative of an analytic function in the neighborhood of its multiple zero, prove new statements of the Weierstrass auxiliary theorem related to the critical point of a smooth function of finite smoothness, determine a nongradient vector field of the function in the neighborhood of its critical point, and consider one critical case of the stability of equilibrium position of a nonlinear system.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5528
citation_txt Деякі результати локальної теорії гладких функцій / А.М. Самойленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 231-267. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.
work_keys_str_mv AT samoilenkoam deâkírezulʹtatilokalʹnoíteoríígladkihfunkcíi
first_indexed 2025-11-26T18:31:50Z
last_indexed 2025-11-26T18:31:50Z
_version_ 1850768423900938240
fulltext UDK 517.9 + 517.5 A. M. Samojlenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ We present results of the investigation of the local behavior of smooth functions in neighborhoods of their regular and critical point and prove theorems on mean values of considered functions similar to the Lagrange theorem on finite increments. We also investigate the symmetry of the derivative of an analytic function in the neighborhood of its multiple zero, prove new statements of the Weierstrass auxiliary theorem related to the critical point of a smooth function of finite smoothness, determine a nongradient vector field of the function in the neighborhood of its critical point, and consider one critical case of the stability of equilibrium position of a nonlinear system. Pryveden¥ rezul\tat¥ yssledovanyq lokal\noho povedenyq hladkyx funkcyj v okrestnostqx yx rehulqrn¥x y krytyçeskyx toçek, dokazan¥ teorem¥ o srednyx znaçenyqx rassmatryvaem¥x funkcyj typa teorem¥ LahranΩa o koneçn¥x pryrawenyqx, yssledovana symmetryq proyzvod- noj analytyçeskoj funkcyy v okrestnosty ee kratnoho nulq, dokazan¥ nov¥e utverΩdenyq podhotovytel\noj teorem¥ Vejerßtrassa, kasagwyesq krytyçeskoj toçky hladkoj funkcyy koneçnoj hladkosty, opredeleno nehradyentnoe vektornoe pole funkcyy v okrestnosty ee kry- tyçeskoj toçky y rassmotren odyn krytyçeskyj sluçaj ustojçyvosty poloΩenyq ravnovesyq nelynejnoj system¥. Koly gvilqru vypovnylosq lyße pivviku, mnog bulo vykonano robotu z lokal\- no] teori] hladkyx funkcij. Hotugçys\ vidznaçyty nynißnij 90-litnij gvilej Griq Oleksijovyça Mytropol\s\koho, q pidhotuvav ce dopovnennq do perßo] roboty. OtΩe, mova jde pro z’qsuvannq povedinky hladko] funkci] v okolax qk ]] rehulqrno], tak i krytyçno] toçok. U perßomu punkti roboty navedeno pozna- çennq, deqki vyznaçennq ta dopomiΩni tverdΩennq. Druhyj punkt mistyt\ teo- remy pro seredni znaçennq funkci] ta pevni vlastyvosti analityçno] funkci] odni[] zminno], wo vyplyvagt\ iz cyx teorem. Tretij punkt prysvqçeno pidho- tovçij teoremi Vej[rßtrassa dlq okremyx klasiv hladkyx funkcij. Zaverßal\- nyj çetvertyj punkt roboty mistyt\ tverdΩennq pro vlastyvosti vektornoho nehradi[ntnoho polq funkci] f v okoli krytyçno] toçky. 1. Poznaçennq, vyznaçennq ta dopomiΩni tverdΩennq. Nexaj D — ob- last\ R n ( C n ), f : R n → R — Cr -funkciq v D z 1 ≤ r ≤ ω ( r = a ), x — toçka D, D′ — pidoblast\ D, zirkova vidnosno x. Poznaçymo çerez f ( k ) poxidnu vid f vyhlqdu ∂ ∂ … ∂ k k n k f x x n 1 1 , de k = ( k1 , … , kn ) — mul\tyindeks porqdku | k | = k n vv=∑ 1 . Budemo vvaΩaty x = ( x1 , … , xn ) ∈ G L ( n × 1, R ( C ) ) odnostovpçykovym vek- torom, ∂ ∂ = ∂ ∂ … ∂ ∂    x x xn1 , , vektornym operatorom perßoho dyferenciala, Hx = ∂ ∂ ∂ 2 x xi j matryçnym operatorom druhoho dyferenciala: f (1) = ∂ ∂ f x ∈ G L ( n × × 1, R ( C ) ), Hx f ∈ G L ( n × n, R ( C ) ). Dlq vektora f poznaçymo çerez `f vektor, otrymanyj iz f transponuvannqm. Poznaçymo vidpovidno çerez Jx , Gx ta fk pry | k | = m funkci] Jx ( y ) = f x y d( )1 0 1 ( + )∫ τ τ , Gx ( y ) = ( − ) +∫ 1 0 1 τ ττH f dx y , © A. M. SAMOJLENKO, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 231 232 A. M. SAMOJLENKO fk ( x, y ) = 1 1 1 1 0 1 ( − ) ( − ) ( + )− ( )∫m f x y dm k ! τ τ τ, (1) wo vyznaçeni dlq y ∈ D′ ta naleΩat\ vidpovidno prostoram C r – 1 , C r – 2 ta C r – m . Lema 1. Qkwo f — C r + 2 -funkciq v D z 1 ≤ r ≤ ω ( r = a ) ta x ∈ D, to f ( x + y ) = f ( x ) + `y Jx ( y ) = f ( x ) + `y ∂ ( ) ∂ f x x + `y Gx ( y ) y = = f ( x ) + V x y f x y ym m l k k k l ( ) + ( ) = = + ∑ ∑, , 1 1 (2) dlq y ∈ D′, 1 ≤ l ≤ r ta V x y m f x ym k k k m ( ) = ( )( ) = ∑, ! 1 . (3) Dijsno, dlq y ∈ D′ f ( x + y ) – f ( x ) = d d f x y d τ τ τ( + )∫ 0 1 = ∂ ∂ ( + ) = ∑∫ f x x y d y i i i n τ τ 10 1 = `y Jx ( y ), wo dovodyt\ perßu z rivnostej (2). Dali rozhlqnemo ∂ ∂ ( + ) = ∂ ∂ ( ) + ∂ ∂ ( + ) − ∂ ∂ ( )   ∫ ∫f x x y d f x x f x x y f x x d i i i i τ τ τ τ 0 1 0 1 = = ∂ ∂ ( ) + ∂ ∂ ( + )∫∫∑ = f x x d d f x x y d d i ij n τ τ τ τ τ 00 1 1 = = ∂ ∂ ( ) + ∂ ∂ ∂ ( + )∫∫∑ = f x x f x x x y d d y i i jj n j 2 00 1 1 τ τ τ τ = = ∂ ∂ ( ) + ( − ) ∂ ∂ ∂ ( + )∫∑ = f x x f x x x y d y i i jj n j1 2 0 1 1 τ τ τ . (4) OtΩe, f ( x + y ) = f ( x ) + ∂ ∂ ( ) + ( − ) ∂ ∂ ∂ ( + ) = ∑ ∫∑f x x y f x x x y d y y i i i n i j i j i j1 2 0 1 1 τ τ τ , = = f ( x ) + `y ∂ ( ) ∂ f x x + `y Gx ( y ) y, wo dovodyt\ druhu z rivnostej (2). Bil\ße toho, my dovely, vraxovugçy pozna- çennq ta rivnist\ (4), wo Jx ( y ) = f (1) ( x ) + Gx ( y ) y (5) dlq y ∈ D′. Nexaj (2) ma[ misce dlq vsix 1 ≤ l ≤ j < r, tobto f ( x + y ) = f ( x ) + V x y f x y ym m j k k k j ( ) + ( ) = = + ∑ ∑, , 1 1 , (6) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 233 de Vm ta fk — funkci] (1) ta (3). Iz (6) vyplyva[ f ( x + y ) = f ( x ) + V x y f x y j f x ym m j k k k j k( ) + ( ) − ( + ) ( )   = + = + ∑ ∑, , ! , 1 1 1 1 1 0 . (7) Dali, vraxovugçy (1) pry | k | = j + 1, otrymu[mo f x y f x j j f x y f x dk k j k k( ) − ( ) ( + ) = ( − ) ( + ) − ( ) ( ) ( ) ( )( )∫, ! !1 1 1 0 1 τ τ τ = = 1 1 00 1 j d d f x y d dj k ! ( − ) ( + )( )∫∫ τ τ τ τ τ τ = = 1 1 00 1 1 j f x x y d d yj k ii n i! ( − ) ∂ ∂ ( + ) ( ) = ∫∫∑ τ τ τ τ τ = = 1 1 1 1 1 00 1 1 j j d d f x x y d d yj k ii n i! (− ) + ( − ) ∂ ∂ ( + )+ ( ) = ∫∫∑ τ τ τ τ τ τ = = 1 1 1 1 0 1 1 ( + ) ( − ) ∂ ∂ ( + )+ ( ) = ∫∑ j f x x y d yj k ii n i! τ τ τ = = 1 1 1 1 0 1 1 1( + ) ( − ) ( + ) = ( )+ ( + ′) = + ′ = ∫∑ ∑j f x y d y f x y yj k k i n i k k i n i i i! ,τ τ τ , (8) de çerez ′ki = ( 0, … , 1, … , 0 ) poznaçeno i-j odynyçnyj ort, i = 1, n . Iz (7) ta (8) oderΩu[mo f ( x + y ) = f ( x ) + V x y f x y y ym m j k k i n i k j k i ( ) + ( )    = + + ′ == + ∑ ∑∑, , 1 1 11 = = f ( x ) + V x y f x y ym m j k k i n k k k j i i( ) + ( ) = + + ′ = + ′ = + ∑ ∑∑, , 1 1 11 = = f ( x ) + V x y f x y ym m j k k k j ( ) + ( ) = + = + ∑ ∑, , 1 1 2 , wo dovodyt\ formulu (2) dlq l = j + 1. Ce zaverßu[ indukcig, otΩe, j dovedennq lemy. Bil\ße toho, my dovely rivnist\ fk ( x, y ) = f x k k ( ) + `y fk + k′ ( x, y ) dlq y ∈ D′, | k | = m, de çerez fk + k′ poznaçeno vektor ( … )+ ′ + ′f fk k k kn1 , , . ZauvaΩymo, wo (2) — ce formula rozkladu funkci] f v rqd Tejlora u toçci x z ostatoçnym çlenom u malovidomij intehral\nij formi Koßi – Dirixle. Naslidok 1. Nexaj f ∈ C r + 2 v D. Todi ∂ ∂ ( + ) = ∂ ∂ ( ) + ( )f x x y f x x Q y yx (9) dlq y ∈ D′, de ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 234 A. M. SAMOJLENKO Q y H f dx x y( ) = +∫ τ τ 0 1 . (10) Dijsno, zhidno z lemog 1 ∂ ∂ ( + ) − ∂ ∂ ( ) = ∂ ∂ ∂ ( + )∫∑ = f x x y f x x f x x x y d y i i i jj n i 2 0 1 1 τ τ , wo vidpovida[ formuli (9) u pokoordynatnomu ]] zapysi. Vyznaçymo T-indeks funkci] f u toçci x qk porqdok najnyΩço] vidminno] vid 0 formy rozkladu f ( x + y ) – f ( y ) u rqd Tejlora v toçci y = 0 ta poznaçymo cej indeks çerez tindf ( x ). OtΩe, za vyznaçennqm, tindf ( x ) = 1, (11) koly ∂ ∂ ( )f x x i ≠ 0 xoça b dlq odnoho 1 ≤ i ≤ n, ta tindf ( x ) = p ≥ 2, (12) koly f (k) ( x ) = 0, 1 ≤ | k | < p, f xk k p ( ) = ( )∑ > 0. Nastupni vlastyvosti T-indeksu [ oçevydnymy ta vyplyvagt\ z joho vyzna- çennq. Lema 2. Nexaj C r -funkci] f ta g zadovol\nqgt\ umovy f ( x ) = g ( x ) = 0, tindf ( x ) ≤ r, tindg ( x ) ≤ r. Todi tindf + g ( x ) ≥ min ( tindf ( x ), tindg ( x ) ), tindfg ( x ) = tindf ( x ) + tindg ( x ), tindf ° g ( x ) ≥ tindf ( x ) tindg ( x ), tind ′fxv ≥ tindf ( x ) – 1, v = 1, n . Toçka x nazyva[t\sq rehulqrnog toçkog funkci] f, qkwo vykonu[t\sq umo- va (11), i krytyçnog toçkog funkci] f, qkwo vykonu[t\sq umova (12). Znaçennq f u krytyçnij toçci nazyvagt\ krytyçnym znaçennqm f. Lema 3. Nexaj C r -matrycq v D A ( x ) ∈ G L ( n × n , R ) [ symetryçnog ta ma[ 1 ≤ p < n nul\ovyx vlasnyx çysel. Todi isnugt\ okil U toçky x ∈ D ta nevyrodΩena v U C r -matrycq T ( y ) ∈ G L ( n × n, R ) taki, wo `T ( y ) A ( y ) T ( y ) = diag ( I, O ) dlq y ∈ U, de I = diag ( – 1, … , – 1, + 1, … , + 1 ) — matrycq, kil\kist\ ( – 1 ) ta ( + 1 ) qko] vidpovida[ kil\kosti vid’[mnyx ta dodatnyx vlasnyx çysel mat- ryci A ( x ), O — p-vymirna nul\ova matrycq. Dijsno, oskil\ky A ( x ) — ortohonal\no podibna do diahonal\no] matryci A ( x ) = `Q diag ( d1 , … , dn – p , 0, … , 0 ) Q, (13) to, vybravßy T0 = diag , , , , ,d d Qn p1 1 1… …( )− , (14) otryma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 235 `T0 A ( y ) T0 = B ( y ), (15) de B ( x ) = diag ( I, O ). (16) Podamo B u bloçnomu vyhlqdi B = B B B B 1 2 2 0`     , (17) uzhodΩenomu z rozbyttqm (16) takym çynom, wo B1 ( x ) = I, B2 ( x ) = O, B0 ( x ) = O. (18) Iz symetryçnosti matryci B ( y ) i formuly (17) vyplyva[ symetryçnist\ diaho- nal\nyx blokiv B1 ( y ) = `B1 ( y ), B0 ( y ) = `B0 ( y ). (19) Iz (18), (19) vyplyva[, wo v deqkomu okoli toçky x matrycq B1 ( y ) zadovol\nq[ umovy lemy [1], zhidno z qkog isnugt\ okil U toçky x ta nevyrodΩena v U C r -matrycq T1 ( y ) ∈ G L ( ( n – p ) × ( n – p ), R ) taki, wo `T1 ( y ) B1 ( y ) T1 ( y ) = I (20) dlq y ∈ U. Nexaj T2 ( y ) = T y A y O E 1 0( ) ( )    , (21) de E — p -vymirna odynyçna matrycq. Todi zhidno z (17), (20) ta (21) `T2 B T2 = I T B A B A B B T A B B A A B B ` ` ` ` ` ` 1 1 0 2 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 ( + ) ( + ) ( + ) + +     . (22) Poklademo A0 = − −B B1 1 2 , (23) todi `T2 ( y ) B ( y ) T2 ( y ) = diag ( I, B0 ( y ) – `B2 ( y )B y1 1− ( )B2 ( y ) ) (24) dlq y ∈ U. Zhidno z umovamy lemy 3, formulamy (13) – (15) ta (20) – (24) ranh matryci, qka sto]t\ sprava u formuli (24), dlq vsix y ∈ U dorivng[ ranhu mat- ryci A ( y ), otΩe, dorivng[ n – p. Iz vyhlqdu pravo] çastyny formuly (24) ta vykladenoho vywe vyplyva[, wo ranh matryci B0 ( y ) – `B2 ( y )B y1 1− ( )B2 ( y ) dlq y ∈ U dorivng[ nulg, wo moΩlyvo lyße todi, koly B0 ( y ) = `B2 ( y )B y1 1− ( )B2 ( y ) dlq y ∈ U. Dlq zaverßennq dovedennq lemy dosyt\ poklasty T ( y ) = T0 T2 ( y ) dlq y ∈ U. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 236 A. M. SAMOJLENKO ZauvaΩennq. Qkwo symetryçna matrycq A ( z ) ∈ G L ( n × n , C ) [ analityç- nog v D, ma[ 1 ≤ p < n nul\ovyx vlasnyx znaçen\ ta zadovol\nq[ umovu A ( x ) ∈ G L ( n × n, R ), (25) to tverdΩennq lemy 3 vykonu[t\sq z analityçnog v U matryceg T ( z ). Dijsno, vraxovugçy umovu (25), u dovedenni zauvaΩennq moΩlyvyj perexid vid matryci A ( y ) do matryci B ( y ) zhidno z formulamy (13) – (15). Z ohlqdu na vlastyvist\ (16) alhorytm pobudovy matryci T1 ( y ) dlq matryci B ( y ), zapro- ponovanyj pry dovedenni lemy [1] dlq matryc\ iz G L ( n × n , R ), zastosovnyj i dlq matryc\ iz G L ( n × n, C ), otΩe, nada[ moΩlyvist\ dovesty formulu (20) iz matryceg T1 ( z ) ∈ G L ( ( n – p ) × ( n – p ), C ), analityçnog v okoli U toçky x. Formuly (21) – (24) indyferentni stosovno toho, çy [ ]x ob’[kty dijsnymy, çy kompleksnymy. Naslidok 2. Nexaj symetryçna matrycq A ∈ G L ( n × n , R ( C ) ) ma[ 1 ≤ ≤ p < n nul\ovyx vlasnyx çysel. Todi qkwo matrycq A1 ∈ G L ( ( n – p ) × ( n – p ), R ( C ) ) iz rozbyttq A na bloky A = A A A A 1 2 2 0`     [ nevyrodΩenog, to A0 = `A2 A1 1− A2 . (26) Dijsno, qkwo vybraty matrycg T = E A A E 1 1 1 2 20 −    − , diag ( E1 , E2 ) = E, to zhidno z prostymy pidraxunkamy oderΩymo `T A T = diag ( A1 , A0 – `A2 A1 1− A2 ), a vraxuvavßy mirkuvannq, vykladeni pry dovedenni lemy 3, otryma[mo rivnist\ (26). Krytyçnu toçku x funkci] f nazyvagt\ nevyrodΩenog, qkwo det Hx f ≠ 0. (27) Kil\kist\ vid’[mnyx vlasnyx çysel matryci Hx f vyznaçagt\ qk indeks funk- ci] f u krytyçnij toçci x ta poznaçagt\ çerez indf ( x ). Ce ponqttq indeksu my poßyrymo j na vypadok, koly umova (27) dlq krytyçno] toçky x funkci] f ne vykonu[t\sq, otΩe, na vypadok vyrodΩeno] krytyçno] toçky x funkci] f, zbe- rihßy za nym i poznaçennq indf ( x ). 2. Teoremy pro seredni znaçennq funkci], symetriq ta invarianty. Do- vedemo rqd tverdΩen\, ob’[dnanyx pid nazvog teorem pro seredni znaçennq za analohi[g z teoremamy pro seredn[ znaçennq typu teoremy LahranΩa pro skin- çenni pryrosty. Teorema 1. Nexaj f — C r + 1 -funkciq v D ⊆ Rn ( C n ), 1 ≤ r ≤ ω ( r = a ), qka zadovol\nq[ umovu nevyrodΩenosti toçky x ∈ D ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 237 det Hx f ≠ 0. (28) Todi isnugt\ okil U toçky x ta C r -dyfeomorfizm gx : U → Rn ( C n ), gx ( 0 ) = 0, ∂ ∂ ( ) =g y Ex 0 1 2 , (29) de E — odynyçna matrycq, taki, wo f ( x + y ) = f ( x ) + f (1) ( x + gx ( y ) ) y (30) dlq y ∈ U. Dijsno, zhidno z lemog 1 f ( x + y ) = f ( x ) + Jx ( y ) y, otΩe, (30) spravdΩu[t\sq, koly gx ( y ) zadovol\nq[ rivnqnnq Jx ( y ) = f (1) ( x + g ). (31) Oskil\ky Jx ( 0 ) = f (1) ( x ), to toçka y = 0, g = 0 zadovol\nq[ rivnqnnq (31). Bil\ße toho, v cij toçci mat- rycq Qkobi pravo] çastyny rivnqnnq (31) dorivng[ matryci Hx f, otΩe, [ nevy- rodΩenog zhidno z umovog (28). C\oho dostatn\o, wob do rivnqnnq (31) zastosu- vaty teoremu pro neqvnu funkcig ta dovesty vsi tverdΩennq teoremy, krim dru- ho] rivnosti v (29). Dlq ]] dovedennq zdyferencig[mo rivnist\ Jx ( y ) = f (1) ( x + gx ( y ) ) ta, pidstavyvßy v rezul\tat znaçennq y = 0, gx ( 0 ) = 0, otryma[mo ∂ ∂ ( ) = = ∂ ∂ ( )∫J y d H f H f g y x x x x0 0 0 1 τ τ . OtΩe, oderΩymo potribnu nam rivnist\ dlq ∂ ∂ g y , wo j zaverßu[ dovedennq teoremy. Oçevydnym [ zv’qzok teoremy 1 z formulog LahranΩa pro skinçenni pryros- ty hladko] funkci] f : R → R f ( b ) – f ( a ) = f ′ ( c ) ( b – a ), a < c < b, (32) stosovno qko] teorema 1 stverdΩu[, wo c = a b O b a+ + −       2 2 2 . Dlq spravedlyvosti teoremy 1 sutt[vym [ vykonannq (28), pryçomu cq umova [ „hrubog” ta moΩe vykonuvatys\ qk dlq rehulqrnyx, tak i nevyrodΩenyx kry- tyçnyx toçok funkci] f. Vidmovytys\ vid ci[] umovy moΩna dlq funkcij odni[] zminno]. Dlq takyx funkcij spravedlyvymy [ nastupni tverdΩennq. Teorema 2. Nexaj f : C → C — analityçna funkciq v D , 0 — krytyçna toçka f, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 238 A. M. SAMOJLENKO tinf ( 0 ) = p. Todi isnugt\ okil U toçky 0 ta ( p – 1 )-na analityçna v U funkciq gk , gk ( 0 ) = 0, ′ ( )gk 0 ≠ 0, k = 1 1, p − , taki, wo f ( z ) = f ( 0 ) + f ′ ( gk ( z ) ) z (33) dlq z ∈ U ta k = 1 1, p − . Perexodqçy do dovedennq teoremy 2, vidznaçymo, wo dlq analityçnyx funk- cij p < + ∞. ZauvaΩymo takoΩ, wo pry p = 2 tverdΩennq teoremy 2 zbihagt\sq z vidpo- vidnymy tverdΩennqmy teoremy 1, otΩe, dlq p = 2 teoremu 2 dovedeno. Nexaj p ≥ 3. Zhidno z lemog 1 f ( z ) = f ( 0 ) + f tz dt z( )1 0 1 ( )∫ , f (1) ( z ) = 1 2 1 2 1 0 1 ( − ) ( − ) ( )− ( ) −∫p f z d zp p p ! τ τ τ . OtΩe, dlq dovedennq teoremy neobxidno, wob funkci] gk ( z ) zadovol\nqly riv- nqnnq t f t z d dt zp p p p− − ( ) −∫ ∫ ( − ) ( )1 0 1 2 1 0 1 1 τ τ τ = ( − ) ( )− ( ) −∫ 1 2 1 0 1 τ τ τp p pf g d g . (34) Poklademo g = h z (35) ta otryma[mo iz (34) rivnqnnq dlq h t f t z d dtp p p− − ( )∫ ∫ ( − ) ( )1 0 1 2 0 1 1 τ τ τ = ( − ) ( )− ( ) −∫ 1 2 1 0 1 τ τp p pf thz d h abo ( − ) ( )− ( ) −∫ 1 2 1 0 1 τ τ τp p pf hz d h = t f t z d dtp p p− − ( )∫ ∫ ( − ) ( )1 0 1 2 0 1 1 τ τ τ . (36) Pry z = 0 iz (36) otrymu[mo rivnqnnq dlq poçatkovyx znaçen\ h ( 0 ) = h0 joho rozv’qzkiv h p p 0 1 1− = . (37) OtΩe, h0 — ce bud\-qke iz znaçen\ hk = e p k p−1 , ek p−1 = 1, k = 1 1, p − . (38) Poxidna po g livo] çastyny rivnqnnq (36) v toçci ( 0, h0 ) dorivng[ znaçenng f hp p( ) −( )0 0 2 ≠ 0. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 239 C\oho dostatn\o, wob do rivnqnnq (36) zastosuvaty teoremu pro neqvnu funk- cig ta otrymaty iz (36) ( p – 1 )-nu funkcig hk ( z ) taku, wo funkci] gk ( z ) = hk ( z ) z (39) zadovol\nqgt\ usi umovy teoremy 2. Analohom teoremy 2 dlq funkcij dijsno] zminno] [ nastupna teorema. Teorema 3. Nexaj f : R → R — C p + r -funkciq v D z 1 ≤ r ≤ ω , 0 — kry- tyçna toçka f, tindf ( 0 ) = p < + ∞. Todi isnugt\ okil U toçky 0 ta odna pry parnomu i dvi pry neparnomu p C r -funkci] gk : U → R, g ( 0 ) = 0, g′ ( 0 ) ≠ 0, k ≤ 2, taki, wo f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( g ( x ) ) x dlq x ∈ U ta k ≤ 2. Povernemosq do rozhlqdu analityçno] funkci] f, qka zadovol\nq[ umovy te- oremy 2. Vporqdku[mo funkci] gk , poznaçyvßy çerez g tu z funkcij gk , u qko] g′ ( 0 ) = 1 1 pp− = ep , çerez gk pry p ≥ 3 ta k = 1 2, p − — ti z funkcij gk , u qkyx g′ ( 0 ) = ek ep , ek = e ik p2 1π ( − )/ , k = 1 2, p − . Naslidok 3. Qkwo vykonugt\sq umovy teoremy 2 ta p ≥ 3, to f (1) ( g ( z ) ) = f (1) ( g1 ( z ) ) = … = f (1) ( gp – 2 ( z ) ) (40) dlq z ∈ U. Nastupna teorema xarakteryzu[ funkci] gk ( z ). Teorema 4. Nexaj f : C → C — analityçna funkciq v D , 0 — krytyçna toçka f, tindf ( 0 ) = p, tindf ( p ) ( 0 ) = m. Todi rozv’qzky g ( z ) ta gk ( z ), k = 1 2, p − , p ≥ 3, rivnqnnq (34) zadovol\nq- gt\ umovy tind ′( )g 0 = tind ′ ( )gk 0 = m, ′ ( ) ′( ) g g k 0 0 = ek , g g p p m e e p p m e k m m p m k m p m ( + ) ( + ) ( ) ( ) = + − + − 1 1 0 0 , (41) g p m p m p p m e e f f m p m p p m p ( + ) ( + ) ( )( ) = ( − ) ( + ) ( + − ) + −    ( ) ( ) 1 0 2 1 1 0 0 ! ! ! . Wob dovesty cg teoremu, zdyferencig[mo rivnqnnq (36) ta otryma[mo dy- ferencial\ne rivnqnnq dlq rozv’qzkiv rivnqnnq (36): ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 240 A. M. SAMOJLENKO ( − ) ( − ) ( ) + ( − ) ( )         ′− ( ) − ( + ) −∫ ∫p f hz d f hz d hz h hp p p p p1 1 12 0 1 2 1 0 1 2τ τ τ τ τ τ τ = = t t f t z d dtp p p− − ( + )∫ ∫ ( − ) ( )1 0 1 2 1 0 1 1 τ τ τ τ – ( − ) ( )− ( + )∫ 1 2 1 0 1 τ τ τ τp p pf hz d h . (42) Qkwo m = 1, to f p( + )( )1 0 ≠ 0, otΩe, pidstavlqgçy v (42) znaçennq z = 0, otrymu[mo ( − ) ( − ) ( ) ′( )− ( ) −∫p d f h hp p p1 1 0 02 0 2 0 1 τ τ = = t d dt d h fp p p p p 0 1 2 0 1 2 0 0 1 11 1 0∫ ∫ ∫( − ) − ( − )     ( )− − ( + )τ τ τ τ τ τ . (43) Iz (43) oderΩu[mo rivnqnnq dlq h′ ( 0 ) f h h f p p p hp p p p( ) − ( + ) ( ) ′( ) = ( ) ( − ) + −    0 0 0 1 1 10 2 1 0 . (44) Vraxovugçy rivnist\ (37), iz (44) otrymu[mo h(1) ( 0 ) = f p pf p p h p p ( + ) ( ) ( ) ( − ) ( ) + −    1 0 0 1 0 1 , (45) otΩe, zhidno iz zaminog (35) ta formulog (45) g f h p pf p p hk p k p k ( ) ( + ) ( )( ) = ( ) ( − ) ( ) + −    2 1 0 2 0 1 0 1 . (46) Nexaj m ≥ 2. Todi f ( p + 1 ) ( 0 ) = … = f ( p + m – 1 ) ( 0 ) = 0, f ( p + m ) ( 0 ) ≠ 0, otΩe, f ( p + 1 ) ( z ) = 1 2 1 2 1 0 1 ( − ) ( − ) ( )− ( + ) −∫m f z d zm p m m ! θ θ θ . (47) Z uraxuvannqm (47) rivnqnnq (42) nabyra[ vyhlqdu   ( − ) ( − ) ( )− ( )∫p f hz dp p1 1 2 0 1 τ τ τ + + 1 2 1 12 2 0 1 0 1 2 ( − ) ( − ) ( − ) ( )   ′− − ( + ) −∫∫m f hz d d h z h hp m m p m m m p ! τ τ θ θτ θ τ = = 1 2 1 11 2 0 1 2 0 1 0 1 ( − )    ( − ) ( − ) ( )+ − − − ( + )∫ ∫∫m t f z d d dtp m p m m p m ! τ τ θ θτ θ τ – – ( − ) ( − ) ( )    − − ( + ) + − −∫ ∫1 12 0 1 2 1 0 1 1τ τ θ θτ θ τp m m p m p m mf hz d d h z . (48) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 241 Iz (48) vyplyva[ h(1) ( 0 ) = … = h(m – 1) ( 0 ) = 0, f h h m t d d dtp p m p m p m m( ) − ( ) + − − −( ) ( ) = ( − )   ( − ) ( − )∫ ∫∫0 0 1 1 10 2 1 0 1 2 2 0 1 0 1 τ τ θ θ τ – – ( − ) ( − )   ( )− − + − ( + )∫∫ 1 1 02 2 0 1 0 1 0 1 τ τ θ θ τp m m p m p md d h f . (49) Todi ( − ) = ( − ) ( − ) ( − ) ( + )… ( + − ) − − − − + − ∫ ∫1 2 2 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 0 1 τ τ τ τ τ τ τp m p p p p m d p p d d m p m d ! ! = = ( − ) ( + )… ( + − ) p m p m 2 1 1 ! . (50) OtΩe, z uraxuvannqm (37) ta (50) iz (49) otrymu[mo f h p p f h m p m p m h p p m p m m ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) = ( − ) ( ) ( + )… ( + − ) + −     0 0 2 0 1 1 10 0! . (51) Takym çynom, h p f h m p m f p p m hm p m p m( ) ( + ) ( )( ) = ( − ) ( ) ( + )… ( + − ) ( ) + −    0 2 0 1 1 0 0 0 ! . Z uraxuvannqm zaminy (35) g gk k m( ) ( )( ) = … = ( )1 0 0 = 0, (52) a z ohlqdu na (35) ta (51) oderΩymo g m h p f h m p m f p p m hk m m p m p k m( + ) ( ) ( + ) ( )( ) = ( + ) ( ) = ( − ) ( ) ( + )… ( + − ) ( ) + −    1 00 1 0 2 0 2 1 0 ! = = ( − ) ( + ) ( + − ) + −    ( ) ( ) ( + ) ( ) p m p m h p p m h f fk k m p m p 2 1 1 0 0 ! ! ! . (53) Oçevydno, wo iz formul (38), (39), (46), (52), (53) vyplyvagt\ usi tverdΩennq teoremy 4, krim tyx, qki stosugt\sq T -indeksiv vidpovidnyx funkcij. OtΩe, na pidstavi formul (52) ta (53) dlq zaverßennq dovedennq teoremy zalyßa[t\sq pokazaty, wo h p p mk m < + dlq cilyx p ≥ 2, m ≥ 1, abo Ω z uraxuvannqm poznaçen\ e p p mp m < + . (54) Zloharyfmuvavßy (54), otryma[mo ekvivalentnu (54) nerivnist\ − + − − + ( + )m p p p p m 1 1 ln ln < 0, p ≥ 2, m ≥ 1. (55) V oblasti p ≥ 2, m ≥ 1 liva çastyna (55) [ monotonno spadnog po m, oskil\ky v cij oblasti ]] poxidna po m vid’[mna: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 242 A. M. SAMOJLENKO − − + + < − − + +     ln ln p p p m p p p m1 1 1 1 1 < 0. OtΩe, nerivnist\ (54) zavΩdy spravdΩu[t\sq, koly pry m = 1 ta p ≥ 2 vyko- nu[t\sq nerivnist\ (55). Zalyßa[t\sq dovesty, wo − − + ( + )p p p p 1 1ln ln < 0, p ≥ 2. (56) Nerivnist\ (56) ekvivalentna nastupnomu lancgΩku nerivnostej: pry p ≥ 2 ( − ) ( + ) <p p p p1 1ln ln , ( + ) <−p pp p1 1 , 1 1 1 +    − p p < p, 1 1+   p p < p + 1, ale dlq p ≥ 2 1 1+   p p < e < p + 1, wo zaverßu[ dovedennq nerivnosti (56) i teoremy 4. Pry p ≥ 3 toçka 0 [ kratnym nulem funkci] f ′. Rivnosti (40) vkazugt\ na naqvnist\ symetri] u funkci] f ′ v okoli ]] kratnoho nulq 0, oskil\ky znaçennq f ′ v toçkax okolu 0 g ( z ), … , gp – 2 ( z ) (57) zbihagt\sq. Vnaslidok toho, wo pry dostatn\o malyx za modulem znaçennqx z toçky (57) „majΩe” leΩat\ na promenqx 0 ≤ | z | ≤ δ, arg z, arg z + 2 1 π −p , … , arg z + 2 2 1 π( − ) − p p , (58) symetriq f ′ v okoli ( p – 1 )-ho kratnoho nulq 0 „majΩe” promeneva. Spivvid- noßennq (41) ne zaleΩat\ ni vid funkci] f, ni vid znaçennq krytyçno] toçky f, otΩe, [ invariantamy, i ci invarianty xarakteryzugt\ symetrig f ′ v okoli ]] kratnoho nulq 0. Perßyj iz nyx vyznaça[ cg symetrig formulamy (58), druhyj utoçng[ ]] velyçynamy bil\ß vysokoho vidnosno | z | porqdku. Rozhlqnemo vypadok, ne oxoplenyj teoremamy, navedenymy vywe, koly 0 — rehulqrna toçka f ta krytyçna toçka f ′. Todi spravedlyvym [ nastupnyj re- zul\tat. Naslidok 4. Nexaj f : C → C — analityçna funkciq v D, 0 — rehulqrna toçka f ta krytyçna toçka f ′, tindf ′ ( 0 ) = p – 1, tindf (p) ( 0 ) = m. (59) Todi isnugt\ okil U toçky 0 ta ( p – 1 )-na analityçna v U funkciq gk z vlastyvostqmy, vyznaçenymy teoremog 4 pry p ≥ 3, taki, wo f ( z ) = f ( 0 ) + f ′ ( gk ( z ) ) z dlq z ∈ U ta k = 1 1, p − . Dijsno, rozhlqnemo funkcig F ( z ) = f ( z ) – f ( 0 ) – f ′ ( 0 ) z. (60) Dlq ci[] funkci] vykonugt\sq umovy F ( 0 ) = F ′ ( 0 ) = 0, F (2) ( z ) = f (2) ( z ), (61) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 243 tomu zhidno z (59) ta (61) tindF ( 0 ) = p, tind F p( ) ( )0 = m. OtΩe, do F moΩna zastosuvaty teoremu 2 ta otrymaty rozklad F ( z ) = F ( 0 ) + F ′ ( gk ( z ) ) z, (62) de funkci] gk magt\ vlastyvosti, vkazani teoremamy 2 ta 4 dlq p – 1 ≥ 2. Iz (60) ta (62) vyplyva[ f ( z ) = f ( 0 ) + f ′ ( gk ( z ) ) z dlq z ∈ U ta k = 1 1, p − , wo j zaverßu[ dovedennq naslidku. Qkwo Ω f : R → R, to naslidok 4 bude spravdΩuvatysq dlq f ∈ C p + m + 2 , 1 ≤ ≤ r ≤ ω, gk ∈ C r , k ≤ 2 ta p < + ∞. Z’qsu[mo pytannq pro meΩu okolu U. Iz dovedennq teoremy 2 vyplyva[, wo U vyznaça[t\sq umovamy isnuvannq rozv’qzkiv vidpovidnyx rivnqn\ dlq g ta umovamy naleΩnosti ]x rozv’qzkiv g ( z ), z ∈ U, oblasti D′. Metod dovedennq teoremy 2 moΩe sluhuvaty, takym çynom, alhorytmom nablyΩenoho vyznaçennq meΩ oblasti U. Qk nym moΩna korystuvatysq, proilgstru[mo na prykladi funkci] f, qka zadovol\nq[ umovu tindf ( 0 ) = 2. (63) Todi z rivnqnnq dlq g f (1) ( g ) = f z d( )( )∫ 1 0 1 τ τ (64) oderΩymo g ( 0 ) = 0. (65) Zdyferencig[mo (64) ta otryma[mo dyferencial\ne rivnqnnq dlq rozv’qzkiv rivnqnnq (64), qki isnugt\, oskil\ky vykonu[t\sq umova f (2) ( 0 ) ≠ 0, (66) wo vyplyva[ iz (63). OtΩe, f (2) ( g ) g′ = τ τ τf z d( )( )∫ 2 0 1 . (67) Vraxovugçy (66), zadaça Koßi (65), (67) ma[ [dynyj analityçnyj rozv’qzok g ( z ), i cej rozv’qzok isnu[ dlq tyx z ∈ U ⊆ D′, dlq qkyx isnu[ ta naleΩyt\ oblasti D′ analityçnyj rozv’qzok rivnqnnq (67), wo vyznaça[t\sq poçatkovym znaçen- nqm (65). Nexaj kruh | z | ≤ r (68) naleΩyt\ D′ ta vykonugt\sq umovy 0 < α ≤ | f (2) ( z ) | ≤ β (69) dlq z iz (68). Todi dlq z iz kruha (68) ta g iz kruha | g | ≤ r (70) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 244 A. M. SAMOJLENKO rivnqnnq (67), zapysane u vyhlqdi rivnqnnq, rozv’qzanoho vidnosno poxidno] g′ = τ τ τf z d f g ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ 2 0 1 2 , (71) zadovol\nq[ umovu M = max τ τ τ β α f z d f g ( ) ( ) ( ) ( ) ≤∫ 2 0 1 2 2 , de maksymum vyznaça[t\sq dlq z, g iz oblasti (69), (70). Vidoma teorema Koßi z analityçno] teori] dyferencial\nyx rivnqn\ [2] harantu[ isnuvannq ta [dynist\ analityçnoho v kruzi | z | < r e( − )−1 α β/ = r1 (72) rozv’qzku g ( z ) zadaçi Koßi (65), (71) takoho, wo | g ( z ) | ≤ r dlq z iz oblasti (72). OtΩe, moΩna stverdΩuvaty, wo okil U toçky 0, pro qkyj ide mova v teore- mi 2, v rozhlqduvanomu vypadku vykonannq umov (63), (69) mistyt\ u sobi kruh (72). Z inßoho boku, nuli funkci] f (2) v oblasti D′ — osoblyvi toçky rivnqnnq (67), koly vony ne [ nulqmy pravo] çastyny c\oho rivnqnnq. OtΩe, qkwo f (2) ( z0 ) = 0, τ τ τf z d( )( )∫ 2 0 0 1 ≠ 0, (73) to z0 ∉ U. Pidsumovugçy vykladene vywe stosovno meΩi U, otrymu[mo take tverd- Ωennq. Naslidok 5. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 2 dlq p = 2 t a umova (69). Todi (33) spravdΩu[t\sq dlq z iz oblasti | z | < r1 ta ne spravdΩu[t\sq dlq z = z0 , vyznaçenoho umovamy (73). Nasamkinec\, zauvaΩymo, wo c iz formuly (32) zhidno z teoremog 3 vyzna- ça[t\sq formulog c = a + ep ( b – a ) + O e b ap( )( − )2 2 pry vykonanni, zvyçajno, umovy, wo f ( 2 ) v toçci a ma[ nul\ vidpovidnoho po- rqdku. 3. Pidhotovça teorema Vej[rßtrassa. Nexaj Cr +2 -funkciq v oblasti D ⊆ Rn ( C n ) f u toçci 0 ∈ D ma[ nevyrodΩenu krytyçnu toçku ta 1 ≤ r ≤ ω, r = a. Todi zhidno z formulog (2) f ( x ) = f ( 0 ) + `x G ( x ) x (74) dlq x ∈ D′, de symetryçna matrycq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 245 G ( x ) = ( − )∫ 1 0 1 τ ττH f dx naleΩyt\ C r dlq x ∈ D′ ta nevyrodΩena v deqkomu okoli toçky 0. Ostann[ tverdΩennq vyplyva[ z rivnosti G ( 0 ) = 1 2 0H f ta nevyrodΩenosti matryci H0 f. Iz lemy Morsa [1, 3] vyplyva[ C r -ekvivalentnist\ funkcij f ta f ( 0 ) + + `x G ( 0 ) x v deqkomu okoli toçky 0. NevyrodΩenist\ krytyçno] toçky 0 funkci] f zabezpeçu[ ]] izol\ovanist\ qk krytyçno] toçky. Pry vykonanni ci[] Ω umovy — izol\ovanosti krytyçno] toçky — buly otry- mani osnovni rezul\taty suçasno] traktovky pidhotovço] teoremy Vej[rßtrassa [4 – 9]. Na pidstavi vykladenoho vywe svo[ridnym vynqtkom iz c\oho zahalu [ nastup- ne tverdΩennq ta joho analityçnyj analoh. Teorema 5. Nexaj 0 — krytyçna toçka C r + 2 -funkci] f : R n → R, 1 ≤ r ≤ ≤ ω, taka, wo matrycq G ( x ) u deqkomu okoli toçky 0 ma[ 1 ≤ p < n nul\o- vyx vlasnyx çysel. Todi isnugt\ okil U toçky 0 ta C r -dyfeomorfizm g : U → R n , g ( 0 ) = 0, taki, wo f ( g ( x ) ) = f ( 0 ) – x xi i k i i k n p 2 1 2 1= = + − ∑ ∑+ (75) dlq x ∈ U, de k = indf ( 0 ). Dijsno, matrycq G ( x ) zadovol\nq[ vsi umovy lemy 3, tomu v deqkomu okoli U toçky 0 isnu[ nevyrodΩena C r -matrycq T ( x ) ∈ G L ( n × n, R ) taka, wo `T ( x ) G ( x ) T ( x ) = diag ( I, 0 ) = diag ( – 1, … , – 1, + 1, … , + 1, 0, … , 0 ) (76) dlq x ∈ U, de matrycq I ma[ taku kil\kist\ ( – 1 ) na diahonali, qka dorivng[ kil\kosti vid’[mnyx vlasnyx çysel matryci G ( 0 ). Oskil\ky G ( 0 ) = 1 2 0T f , to kil\kosti vid’[mnyx vlasnyx çysel matryc\ G ( 0 ) ta T 0 f zbihagt\sq i dorivnggt\ zhidno z vyznaçennqm indeksu f u krytyçnij toçci c\omu indeksu. OtΩe, kil\kist\ ( – 1 ) v (76) dorivng[ çyslu k = indf ( 0 ). Vykona[mo v rivnosti (74) zaminu zminnyx x = T ( x ) y. (77) Oskil\ky rivnqnnq T– 1 ( x ) x = y (78) zadovol\nq[ v okoli toçky x = 0, y = 0 umovy pro neqvnu funkcig, isnu[ rozv’qzok g rivnqnnq (78) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 246 A. M. SAMOJLENKO g : R n → R n, g ∈ C r v U, g ( 0 ) = 0, det g′ ( 0 ) ≠ 0, (79) takyj, wo zhidno z zaminog zminnyx (79) f ( g ( y ) ) = f ( 0 ) + `y diag ( I, 0 ) y (80) dlq y ∈ U. Z uraxuvannqm kil\kosti ( – 1 ) v I formula (80) zbiha[t\sq z for- mulog (75) z toçnistg do poznaçen\, wo zaverßu[ dovedennq teoremy. Qk i u vypadku z lemog Morsa, analityçnyj variant teoremy 5 sformulg[mo takym çynom. Teorema 6. Nexaj 0 — krytyçna toçka C a -funkci] f : C n → C taka, wo matrycq G ( z ) u deqkomu okoli toçky 0 ma[ 1 ≤ p < n nul\ovyx vlasnyx çy- sel. Todi isnugt\ okil U toçky 0 ta C a -dyfeomorfizm g : U → C n , g ( 0 ) = 0, taki, wo f ( g ( z ) ) = f ( 0 ) + zi i n p 2 1= − ∑ dlq x ∈ U. Dijsno, qkwo G ( 0 ) ∈ G L ( n × n, R ), to tverdΩennq teoremy 6 vyplyvagt\ iz formul vyhlqdu (76), (77) ta (79) zhidno iz zauvaΩennqm do lemy 3. U zahal\no- mu vypadku potribno vykorystaty moΩlyvist\ podannq matryci G ( 0 ) u kano- niçnomu vyhlqdi [8] `Q G ( 0 ) Q = diag ( G1 , G0 ), det G1 ≠ 0, (81) z ortohonal\nog matryceg Q ta nevyrodΩenog matryceg G1 ∈ G L ( ( n – p ) × × ( n – p ), C ) i zvesty formulu (74) do vyhlqdu (74), ale z matryceg G ( x ) ta- kog, wo v ]] bloçnomu zapysi G ( x ) = G x G x G x G x 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )    ` matryci G1 ( x ) ta G0 ( x ) pry x = 0 zbihagt\sq z blokamy G1 ta G 0 iz formu- ly (81). Todi v deqkomu okoli U 1 toçky 0 matrycq G ( x ) ma[ 1 ≤ p < n nu- l\ovyx vlasnyx çysel ta zadovol\nq[ umovu det G1 ( x ) ≠ 0. Zhidno z naslidkom 2 G0 ( x ) = `G2 ( x ) G x1 1− ( ) G2 ( x ) (82) dlq x ∈ U1 . Vraxovugçy (82), otrymu[mo, wo matrycq E + A ( x ) = E G x G x E 1 1 1 2 20 − ( ) ( )    − zadovol\nq[ umovu ( E + `A ( x ) ) G ( x ) ( E + A ( x ) ) = diag ( G1 ( x ) , 0 ) dlq x ∈ U1 . Zamina zminnyx ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 247 x = ( E + A ( x ) ) y nada[ moΩlyvist\ obernennq v okoli U2 toçky x = 0, y = 0 x = g1 ( y ), g1 ( 0 ) = 0, det ′( )g1 0 ≠ 0, ta zvodyt\ (74) do vyhlqdu f ( g1 ( y ) ) = f ( 0 ) + `y diag ( G1 ( g1 ( y ) ) , 0 ) y dlq y ∈ U2 , pry c\omu matrycq G1 ( g1 ( y ) ) [ symetryçnog ta nevyrodΩenog v okoli toçky 0. Funkciq F ( y ) = `y diag ( G1 ( g1 ( y ) ) , 0 ) y = `( y1 , … , yn – p ) G1 ( g1 ( y ) ) ( y1 , … , yn – p ) (83) qk funkciq zminnyx y1 , … , yn p− ta parametriv yn – p + 1 , … , yn pry fiksovanyx znaçennqx parametriv zadovol\nq[ umovy lemy Morsa dlq analityçnyx funkcij, otΩe, C a -ekvivalentna funkci] f ( 0 ) + yi i n p 2 1= − ∑ . (84) Iz metodu dovedennq lemy Morsa [3] vyplyva[, wo zamina, qka nada[ funkci] (83) vyhlqdu (84), zberiha[ hladkist\ funkci] F za parametramy, otΩe, cq zamina [ analityçnog qk za y1 , … , yn – p , tak i za yn – p + 1 , … , yn v deqkomu okoli toçky 0. Ce zaverßu[ dovedennq teoremy 6. Proanalizu[mo umovu izol\ovanosti krytyçno] toçky 0 ∈ D analityçno] v D funkci] f. Dlq c\oho vykorysta[mo qk oznaçennq izol\ovanosti krytyçno] toç- ky, tak i naslidok, wo vykonu[t\sq dlq f v okoli izol\ovano] krytyçno] toçky. Cej naslidok stverdΩu[, wo v okoli izol\ovano] krytyçno] toçky 0 analityçno] funkci] f kil\ce vidobraΩen\ x → ∂ ∂ f x [ skinçennovymirnym. A ce oznaça[, wo rivnqnnq ∂ ∂ ( ) = ∑ f x x h n νν ν 1 = xk (85) dlq deqkoho ciloho r ta koΩnoho mul\tyindeksu k = ( k1 , … , kn ), | k | = r, (86) ma[ analityçnyj u deqkomu okoli U toçky 0 rozv’qzok h = hk ( x ) = ( h1k ( x ), … , hn k ( x ) ). Inakße kaΩuçy, rozmirnist\ f ′ v 0 vyznaça[t\sq najmenßym çyslom r , wo na- da[ moΩlyvist\ otrymaty rozklad ∂ ( ) ∂ ( ) = ∑ f x x h x n k νν ν 1 = xk (87) v okoli U toçky 0 koΩnoho monoma xk stepenq | k | = r za C a -funkciqmy v U hk = ( h1k , … , hn k ). U zv’qzku z cym vaΩlyvym dlq podal\ßoho vykladu [ nastupne tverdΩennq. Lema 4. Nexaj 0 — izol\ovana krytyçna toçka C a -funkci] v D f taka, wo f ′ v 0 ma[ rozmirnist\ r. Todi qkwo g ∈ C a v D, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 248 A. M. SAMOJLENKO g ( 0 ) = 0, tindg ( 0 ) ≥ r + 2, to 0 — izol\ovana krytyçna toçka funkci] f + g, a f ′ + g′ v 0 ma[ rozmir- nist\, ne bil\ßu za r. Dijsno, iz umov lemy vyplyva[ rozklad (87) ta ∂ ∂ ( ) = ( ) = ∑g x x g x xk k k rν ν , ν = 1, n , (88) de gνk ( 0 ) = 0 (89) dlq koΩnoho iz znaçen\ indeksiv ν ta k, qki vyznaçagt\sq formulog (88). Z uraxuvannqm rozkladu (87) otryma[mo ∂ ∂ ( ) = ( ) ( ) ( ) = = ∑ ∑g x x g x f x h xk k r j jk j n ν ν 1 = f x g x h xj k k r jk j n ( ) ( ) ( ) == ∑∑ ν 1 (90) dlq x ∈ U. Poznaçymo çerez Gνj funkci] g x h xk k r jkν ( ) ( ) = ∑ ta zapyßemo (90) u vyhlqdi ∂ ∂ ( ) = ( ) ( ) = ∑g x x f x G xj j j n ν ν 1 , ν = 1, n . (91) Rozhlqnemo rivnqnnq f ′ ( x ) + g′ ( x ) = 0 v okoli toçky 0. Dlq x ∈ U ce rivnqnnq z uraxuvannqm rozkladiv (87) ta (91) moΩna podaty v matryçnomu vyhlqdi ( E + G ( x ) ) f ′ ( x ) = 0, (92) de E — odynyçna matrycq, G — matrycq { Gνj ( x ) }. Iz (89) vyplyva[, wo znajdet\sq takyj okil U toçky 0, v qkomu rivnqnnq (92) ekvivalentne rivnqnng f ′ ( x ) = 0. Ce oznaça[, wo krytyçna toçka 0 funkci] f + g [ izol\ovanog. Dlq vyznaçennq rozmirnosti f ′ + g′ v 0 rozhlqnemo rivnqnnq `h ( E + G ( x ) ) f ′ ( x ) = xk , (93) qke [ zapysom u matryçnomu vyhlqdi rivnqnnq (85) dlq funkci] f + g. Qkwo mul\tyindeks k zadovol\nq[ umovu (86), to pravyl\nym [ rozklad (87). OtΩe, rivnqnnq (93) dlq x ∈ U ma[ vyhlqd `h ( E + G ( x ) ) f ′ ( x ) = `hk ( x ) f ′ ( x ), a joho rozv’qzok ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 249 h = `( E + G ( x ) ) – 1 hk ( x ) [ analityçnym v okoli U toçky 0. Zvidsy vyplyva[, wo rozmirnist\ f ′ + g′ v 0 ne bil\ßa, niΩ r. Ce zaverßu[ dovedennq lemy. Naslidok 6. Qkwo 0 — izol\ovana krytyçna toçka C a -funkci] f : C n → → C, to vona [ izol\ovanog krytyçnog toçkog bud\-qkoho polinoma Tejlora f u toçci 0 stepenq l ≥ r + 1, de r — rozmirnist\ f ′ v 0. Dlq otrymannq c\oho naslidku dostatn\o podaty f v okoli toçky 0 u vyh- lqdi sumy f ( x ) = f ( 0 ) + V x V x f x xm m p r m m r l k k k l ( ) + ( ) + ( ) = = + = + ∑ ∑ ∑ 1 1 (94) ta zastosuvaty lemu, pidstavyvßy zamist\ g vyraz f x xk k k l ( )= +∑ 1 iz (94) zi znakom minus. Naslidok zvodyt\ doslidΩennq izol\ovanosti krytyçno] toçky 0 funkci] f do doslidΩennq izol\ovanosti krytyçno] toçky polinoma Tejlora P v toçci 0 funkci] f stepenq l ≥ r + 1 P ( x ) = f ( 0 ) + V xm m p l ( ) = ∑ , (95) de p = tindf ( 0 ) ≥ l. Zhidno z formulog (10) dlq x ∈D′ ∂ ∂ ( )f x x = Q ( x ) x, Q ( x ) = H f dxτ τ 0 1 ∫ , analohiçno, ∂ ∂ ( )V x xm = Qm ( x ) x, Qm ( x ) = H V dx mτ τ 0 1 ∫ . Qkwo 0 ne [ izol\ovanog krytyçnog toçkog f, to isnu[ poslidovnist\ x n → → 0, n → ∞, taka, wo Q ( xn ) xn = 0, n = 1, 2, … . (96) OtΩe, det Q ( xn ) = 0 ta xn — vlasni znaçennq Q ( xn ), wo vidpovidagt\ nul\ovomu vlasnomu çyslu Q ( xn ). Takym çynom, 0 ne [ izol\ovanog krytyçnog toçkog P, qkwo (96) vyko- nu[t\sq dlq P ( x ): P ( xn ) xn = 0, n = 1, 2, … . (97) Podamo xn u vyhlqdi xn = rn θn , || θn || = 1, todi iz (95) ta (97) otryma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 250 A. M. SAMOJLENKO ( Qp ( θn ) + rn Qp + 1 ( θn ) + … + rn l p− Ql ( θn ) ) θn = 0 (98) dlq n = 1, 2, … . Nexaj θ — hranyçna toçka poslidovnosti θn , n = 1, 2, … . Todi, perexodqçy v (98) do hranyci, oderΩu[mo Qp ( θ ) θ = 0, otΩe, na promeni x = r θ, r ∈ R, r > 0, spravdΩu[t\sq rivnist\ Qp ( x ) x = 0. Ce oznaça[, wo 0 ne [ izol\ovanog krytyçnog toçkog formy Vp . Takym çynom, izol\ovanist\ krytyçno] toçky 0 formy Vp , de p = tindf ( 0 ), [ dostatn\og umovog izol\ovanosti ci[] toçky qk krytyçno] toçky C a -funkci] v D f. Cym faktom my skorysta[mosq troxy pizniße. U vypadku, koly f — hladka funkciq, tverdΩennq pro lokal\ne kil\ce vido- braΩen\ x → ∂ ∂ f x , qke [ naslidkom izol\ovanosti krytyçno] toçky C a -funkci] f, peretvorg[t\sq na osnovnu umovu pidhotovço] teoremy Vej[rßtrassa. Koly f ∈ C ω, rezul\tat vidobraΩennq x → ∂ ∂ f x naleΩyt\ prostoru Cω - funkcij, wo spryq[ uspißnomu rozhlqdu c\oho vypadku ta dovedenng pidhotov- ço] teoremy Vej[rßtrassa dlq n\oho. Qkwo Ω f ma[ skinçennu hladkist\, vkazane vidobraΩennq perevodyt\ C r - funkci] v C r – 1 -funkci], wo sutt[vo uskladng[ rozhlqd danoho vypadku ta do- vedennq dlq n\oho pidhotovço] teoremy Vej[rßtrassa. Dijsno, vΩe pry vyzna- çenni rozmirnosti f ′ v 0 vynyka[ neodnoznaçnist\, pov’qzana z pytannqm pro hladkist\ koefici[ntiv hk rozkladu monomiv xk ∂ ∂ ( ) ( ) = ∑ f x x h x n k νν ν 1 = xk stepenq | k | = r, oskil\ky velyçyna r bezposeredn\o zaleΩyt\ vid ne]. Podolaty takoho rodu ta podibni trudnowi pry dovedenni pidhotovço] teore- my Vej[rßtrassa dlq funkci] skinçenno] hladkosti vdalosq, pov’qzavßy umovy ci[] teoremy ne z rozmirnistg f ′ v 0, a z rozmirnistg P′ v 0 , de P — polinom Tejlora v toçci 0 funkci] f [8]. Interpretugçy P qk C a -funkcig C n → C, otrymu[mo izol\ovanist\ krytyçno] toçky 0 v C n funkci] P qk odnu z osnov- nyx umov pidhotovço] teoremy Vej[rßtrassa dlq vypadku hladkyx funkcij f skinçenno] hladkosti. Interpretugçy P qk Cω -funkcig R n → R, otrymu[mo umovu skinçennovy- mirnosti lokal\noho kil\cq vidobraΩen\ x → ∂ ∂ P x qk inßu osnovnu umovu pidho- tovço] teoremy Vej[rßtrassa dlq vypadku hladkyx funkcij f skinçenno] hlad- kosti. Odnym iz pytan\, nedostatn\o doslidΩenyx avtoramy suçasno] traktovky pid- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 251 hotovço] teoremy Vej[rßtrassa qk dlq analityçnoho, tak i dlq hladkoho vypad- kiv, [ pytannq minimizaci] stepenq polinoma Tejlora P funkci] f, ekvivalent- noho cij funkci], v krytyçnij toçci. Dlq vypadku hladko] funkci] skinçenno] hladkosti takym Ωe malo doslid- Ωenym [ pytannq pro konkretyzacig zaleΩnosti hladkostej funkci] f i dyfeo- morfizmu g, wo zdijsng[ ekvivalentnist\ f ta P. Nastupnyj rezul\tat pevnog mirog poqsng[ obydva pytannq dlq odnoho klasu funkcij, na dumku avtora, dostatn\o ßyrokoho. Domovymos\ hovoryty, wo formu a xk k k p= ∑ moΩna zvesty do nevyrodΩenoho kanoniçnoho vyhlqdu, qkwo ]] moΩna zvesty nevyrodΩenog linijnog zaminog koordynat do formy a x p n ν ν ν= ∑ 1 , aν ≠ 0, ν = 1, n . (99) Teorema 7. Nexaj 0 — krytyçna toçka C d + s + l -funkci] f : R n → R z 1 ≤ ≤ s ≤ ω ta tindf ( 0 ) = p. Todi qkwo p-formu funkci] f v 0 Vp ( x ) = 1 0 p f xk k k p ( ) = ( )∑ moΩna zvesty do nevyrodΩenoho kanoniçnoho vyhlqdu, to moΩna vkazaty l ( s ) ta s0 , okil U toçky 0 ta C s0 + s -dyfeomorfizm g : U → R n , g ( 0 ) = 0, taki, wo pry l > l ( s ) ta x ∈ U f ( g ( x ) ) = f ( 0 ) + P ( x ), de P — polinom Tejlora f v toçci 0 stepenq, ne vywoho za d = max ( ( p – 2 ) n, p ). Perß niΩ dovodyty teoremu, podamo f u vyhlqdi (2) f ( x ) = f ( 0 ) + V x f x xm m p l k k k l ( ) + ( ) = = + ∑ ∑ 1 , de l — nastil\ky velyke çyslo, naskil\ky ce bude neobxidno. Lema 5. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 7. Todi isnu[ polinom Q ( x ), Q ( 0 ) = 0, tindQ ( 0 ) ≥ 2, takyj, wo V x Q x V x R xm m p l m m p d ( )+ ( ) = ( ) + ( ) = = ∑ ∑ , de tindR ( 0 ) ≥ l + 1. (100) Pry dovedenni lemy budemo vvaΩaty, wo zvedennq formy Vp do kanoniçnoho vyhlqdu zdijsneno, otΩe, Vp — forma (99). Nexaj � — kil\ce polinomiv zmin- no] x, g ∈ �, g ( 0 ) = 0, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 252 A. M. SAMOJLENKO tindg ( 0 ) ≥ d1 ≥ 2. (101) Todi, vraxovugçy (99), otrymu[mo V x g x V x p a x g xm m p l m p n m p l ( )+ ( ) = ( ) + ( ) = − == ∑ ∑∑ ν ν ν ν 1 1 + + a j p x g x V x g x V x n p j j j p m m m p l ν ν ν ν = − = = + ∑ ∑ ∑    ( ) + + ( ) − ( )( )( ) 1 2 1 . (102) Nexaj F ( g ) : � → � vyznaçeno formulog F ( g ( x ) ) = a j p x g x V x g x V x n p j j j p m m m p l ν ν ν ν = − = = + ∑ ∑ ∑    ( ) + + ( ) − ( )( )( ) 1 2 1 . (103) Zhidno z lemog 2 ta (101) tindF ( g ) ( 0 ) ≥ min min , 2 1 ≤ ≤ ( − + ) +   j p p j dj p d = p + d1 . Bil\ße toho, qkwo g1 ( x ) ∈ �, g1 ( 0 ) = 0, tindg1 ( 0 ) ≥ d1 , to F ( g1 ( x ) ) – F ( g ( x ) ) = a j p x g x g x n p j j n ν ν ν ν ν = − = ∑ ∑     ( ) − ( )     ( ) 1 1 2 + + V x g x V x g xm m m p l ( ) ( )+ ( ) − + ( )( ) = + ∑ 1 1 , (104) de gν1 ( x ), ν = 1, n , — koordynaty g1 ( x ). Zhidno iz vlastyvostqmy T-indeksu vidpovidno do lemy 2 joho znaçennq dlq funkci] x g x g x x g x g x g x g xp j j j p j j i i i j ν ν ν ν ν ν ν ν − − − = − ( ) ( )( ) − ( ) = ( ) − ( ) ( ) ( )∑1 1 1 1 1 , j = 2, n , u toçci 0 ne menße za p – j + tindg1 – g ( 0 ) + d j 1 1− . OtΩe, perßa z sum u (104) ma[ T-indeks u toçci 0, ne menßyj za min 2 1 ≤ ≤ −( − + ) j p jp j d + tindg1 – g ( 0 ) ≥ p + tindg1 – g ( 0 ). Dali, dlq m ≥ p + 1 V x g x V x g xm m( ) ( )+ ( ) − + ( )1 = = V x g x g x g x d g x g xm ( )∫ ( ( )) ( )+ ( ) + ( ) − ( ) ( ) − ( )1 0 1 1 1τ τ , (105) otΩe, T-indeks funkci] (105) u toçci 0 ne menßyj za znaçennq p + tindg1 – g ( 0 ). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 253 Takym çynom, namy dovedeno, wo tindF ( g1 ) – F ( g ) ( 0 ) ≥ p + tindg1 – g ( 0 ). (106) Vykorysta[mo cg vlastyvist\ operatora F pry znaxodΩenni polinoma Q ( x ). Vraxuvavßy (102), (103), zapyßemo rivnqnnq V x g V x V xm m p l m m m d l m p d ( + ) = ( ) + ( ) = = += ∑ ∑∑ 1 + p a x g F gp n ν ν ν ν − = + ( )∑ 1 1 , (107) zhidno z qkym dlq dovedennq lemy dostatn\o znajty polinom Q ( x ), Q ( 0 ) = 0, takyj, wob riznycq miΩ livog çastynog rivnqnnq (107) ta perßog sumog pravo] joho çastyny R ( g ) = V x p a x g F gm m d l p n ( ) + + ( ) = + − = ∑ ∑ 1 1 1 ν ν ν ν zadovol\nqla umovu tindR ( Q ) ( 0 ) ≥ l + 1. Budemo ßukaty polinom Q qk nablyΩennq do rozv’qzku rivnqnnq p a x g F g V xp n m m d l ν ν ν ν − = = + + ( ) + ( )∑ ∑1 1 1 = 0. Vyznaçymo perße nablyΩennq do Q qk rozv’qzok rivnqnnq p a x g V xp n m m d l ν ν ν ν − = = + ∑ ∑+ ( )1 1 1 = 0. (108) Monom xk pry | k | = d + 1 ≥ ( p – 2 ) n + 1 dilyt\sq na x p ν −1 xoça b dlq odnoho z 1 ≤ ν ≤ n, oskil\ky v inßomu vypadku otryma[mo kν ≤ p – 2, ν = 1, n , otΩe, k n ν ν= ∑ 1 ≤ ( p – 2 ) n, wo supereçyt\ umovi | k | = d + 1. Tomu spravedlyvym [ rozklad V x x xm m d l p n ( ) = ( ) = + − = ∑ ∑ 1 1 1 vν ν ν , (109) i rivnqnnq (108) vyznaça[ rozv’qzok g1 ( x ) = − ( ) … ( )    1 1 1p x a x a n n v v , , . Iz (100) ta (109) vyplyva[, wo g1 ( 0 ) = 0 ta tindg1 ( 0 ) ≥ d – p + 2 ≥ 2. (110) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 254 A. M. SAMOJLENKO Druhe nablyΩennq do Q vyznaça[mo za g1 ( x ) iz rivnqnnq p a x g F g x V xp n m m d l ν ν ν ν − = = + + ( ) + ( )( )∑ ∑1 1 1 1 = 0. (111) Poklademo v (111) g = g1 ( x ) + q ta otryma[mo dlq q rivnqnnq p a x q F g xp n ν ν ν ν − = + ( )( )∑ 1 1 1 = 0. (112) Oskil\ky zhidno z vyznaçennqm (103) F ( 0 ) = 0, to iz vlastyvostej polinoma g1 ( x ) vyplyva[ F ( g1 ( 0 ) ) = 0, z nerivnostej (106), (110) — tindF ( g1 ) ( 0 ) ≥ p + ( d – p + 2 ) = d + 2. (113) C\oho dostatn\o dlq podannq F ( g1 ) u vyhlqdi F ( g1 ( x ) ) = vν ν ν 2 1 1 ( ) − = ∑ x x p n (114) ta znaxodΩennq rozv’qzku q rivnqnnq (112) u vyhlqdi polinoma q2 ( x ) = − ( ) … ( )    1 12 1 2 p x a x a n n v v , , . (115) Zhidno iz (113) – (115) q2 ( 0 ) = 0 ta tindq2 ( 0 ) ≥ d – p + 3. Takym çynom, my znajßly nablyΩennq do Q g1 ( x ), g2 ( x ) = g1 ( x ) + q2 ( x ), i ci nablyΩennq zadovol\nqgt\ umovy g1 ( 0 ) = g2 ( 0 ) = 0, tindgν ( 0 ) ≥ 2, tindg2 – g1 ( 0 ) ≥ d – p + 3, ν = 1, 2. Nexaj iz rivnqnnq p a x g F g x V xp i n m m d l ν ν ν ν − − = = + + ( ) + ( )( )∑ ∑1 1 1 1 = 0, (116) poçynagçy z g0 = 0, znajdeno nablyΩennq do Q g1 ( x ), … , gi ( x ), (117) i ci nablyΩennq taki, wo dlq ν = 1, i g1 ( 0 ) = … = gi ( 0 ) = 0, tindgν ( 0 ) ≥ 2, (118) tindgν – gν – 1 ( 0 ) ≥ d – p + ν + 1. (119) Nastupne ( i + 1 )-ße nablyΩennq gi + 1 ( x ) do Q vyznaçymo iz rivnqnnq, ot- rymanoho z (116) zaminog v n\omu i na i + 1. Budemo ßukaty ce nablyΩennq u vyhlqdi sumy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 255 gi ( x ) + qi + 1 ( x ), de qi + 1 ( x ) vidpovidno do vyznaçennq gi ( x ) — rozv’qzok rivnqnnq p a x q F g x F g xp i i n ν ν ν ν − − = + ( ) + ( )( ) ( )∑ 1 1 1 = 0. (120) Iz (118), (119) ta (106) oderΩymo tindF ( g1 )–F ( gi – 1 ) ( 0 ) ≥ p + tindgi – gi – 1 ( 0 ) ≥ ≥ p + d – p + i + 1 = d + i + 1 (121) ta F ( gi ( 0 ) ) = F ( gi – 1 ( x ) ) = 0. OtΩe, F g x F g x x xi i i p n ( ) ( )( ) − ( ) = ( )− ( + ) − = ∑1 1 1 1 vν ν ν , (122) i rozv’qzok q rivnqnnq (120) vyznaça[t\sq funkci[g qi + 1 ( x ) = − ( ) … ( )    ( + ) ( + )1 1 1 1 1 p x a x a i n i n v v , , . (123) Zhidno iz (121) – (123) qi + 1 ( 0 ) = 0 ta tindqi + 1 ( 0 ) ≥ tindvν( i + 1 ) ( 0 ) ≥ d – p + i + 2. Bil\ße toho, tindgi + 1 ( 0 ) ≥ min ( tindgi ( 0 ), tindgi – gi – 1 ( 0 ) ) ≥ ≥ min ( 2, d – p + i + 2 ) ≥ 2. OtΩe, ( i + 1 )-ße nablyΩennq do Q moΩna znajty, rozv’qzavßy rivnqnnq dlq gi + 1 ( x ), i ce nablyΩennq zadovol\nq[ umovy gi + 1 ( 0 ) = 0, tindgi + 1 ( 0 ) ≥ 2, tindgi + 1 – gi ( 0 ) ≥ d – p + i + 2 . Ce zaverßu[ indukcig ta dovodyt\ isnuvannq nablyΩen\ (117) do Q z vlasty- vostqmy (118), (119) dlq dovil\noho ciloho i ≥ 1. Poklademo Q ( x ) = gi ( x ) ta znajdemo T-indeks R ( gi ( x ) ) u toçci 0. Zhidno z vyznaçennqm R ( gi ( x ) ) = p a x g x F g x V xp i i n m m d l ν ν ν ν − = = + ( ) + ( ) + ( )( )∑ ∑1 1 1 = = F g x F g xi i( ) ( )( ) − ( )−1 , otΩe, z uraxuvannqm nerivnostej (121) tindR ( gi ) ( 0 ) = tindF ( gi )–F ( gi – 1 ) ( 0 ) ≥ d + i + 1. Takym çynom, pry i ≥ l – d ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 256 A. M. SAMOJLENKO polinom Q ( x ) = gi ( x ) zadovol\nq[ vsi vymohy lemy, wo zaverßu[ ]] dovedennq. Lema 6. Qkwo f ( x ) = f ( 0 ) + f x x p n ν ν ν ν( ) = ∑ 1 , de fν ∈ C r v D z 1 ≤ r ≤ ω ( r = a ) i fν ( 0 ) ≠ 0, ν = 1, n , to isnugt\ okil U toçky 0 i joho C r -dyfeomorfizm g, g ( 0 ) = 0, taki, wo f ( g ( x ) ) = f ( 0 ) + f x p n ν ν ν ν( ) = ∑ 0 1 . Dijsno, dostatn\o vyznaçyty dyfeomorfizm g iz formul zaminy yν = f x f xp ν ν νν ( ) ( )0 , ν = 1, n , wob otrymaty na pidstavi teoremy pro neqvnu funkcig vsi tverdΩennq lemy. Perejdemo do zaverßennq dovedennq teoremy. Lemy 5 ta 6 nadagt\ moΩly- vist\ zrobyty ce bez osoblyvyx zusyl\ u vypadku, koly max ( ( p – 2 ) n, p ) ≤ p, otΩe, koly ( p – 2 ) ( n – 1 ) ≤ 2. Zokrema, pry n = 1 tverdΩennq teoremy vyplyvagt\ iz lemy 6. Pry p = n = 2 (124) vony vyplyvagt\ iz lemy 6 ta rozkladu f ( x ) = f ( 0 ) + V x f x xk k k 2 3 ( ) + ( ) = ∑ , a pry p = 2, n ≥ 3 (125) ta pry p = 3, n = 2, n = 3; p = 4, n = 2 (126) — iz lem 5 ta 6 zhidno z rozkladom f ( x ) = f ( 0 ) + V x V x f x xp m m p p n k k k p n ( ) + ( ) + ( ) = + ( − ) =( − ) + ∑ ∑ 1 1 1 1 . Dijsno, nexaj vykonugt\sq umovy (125), (126). Iz lemy 5 vyplyva[, wo isnu[ polinom Q ( x ), Q ( 0 ) = 0, Q′ ( 0 ) = 0, takyj, wo f ( x + Q ( x ) ) = f ( 0 ) + V x R x f x Q x x Q xp k k k p n ( ) + ( ) + + ( ) + ( )( )( ) =( − ) + ∑ 1 1 , (127) de R ( 0 ) = 0, tindR ( 0 ) ≥ ( p – 1 ) n + 1. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 257 Todi polinom R ta funkciq, wo vyznaça[t\sq sumog v formuli (127), dilqt\sq na x p ν dlq deqkoho 1 ≤ ν ≤ n, tobto formulu (127) moΩna zapysaty u vyhlqdi f ( x + Q ( x ) ) = f ( 0 ) + ( )+ ( ) = ∑ a b x x p n ν ν ν ν 1 , (128) de funkci] bν taki, wo bν ( 0 ) = 0, ν = 1, n . (129) Zhidno z lemog 6 iz formuly (129) vyplyva[ rozklad f ( g ( x ) + Q ( g ( x ) ) ) = f ( 0 ) + a x p n ν ν ν= ∑ 1 (130) dlq x iz deqkoho okolu U toçky 0, pry c\omu v U g ∈ C s , (131) qkwo v D′ fk ∈ C s, | k | = ( p – 1 ) n + 1. Umova (131) oznaça[, wo hladkist\ f u D vyznaça[t\sq vklgçennqm f ∈ C ( p – 1 ) n + s + 1 , zvidky vyplyva[ spravedlyvist\ teoremy 7 dlq rozhlqduvanoho vypadku iz zna- çennqmy s0 = 0, l ( s ) = ( p – 1 ) ( n – 1 ). Vypadok (124) zvodyt\sq do vΩe rozhlqnutoho vypadku, koly Q ≡ 0, wo takoΩ zaverßu[ dlq n\oho dovedennq teoremy 7. Nexaj d = ( p – 2 ) n > p. 132) U c\omu vypadku podamo f u vyhlqdi f ( x ) = f ( 0 ) + V x V x f x xm m p d m m d l k k k l ( ) + ( ) + ( ) = = + = + ∑ ∑ ∑ 1 1 . Zhidno z lemog 5 isnu[ polinom Q takyj, wo Q ( 0 ) = 0, Q′ ( 0 ) = 0, f ( x + Q ( x ) ) = f ( 0 ) + V x R x f x Q x x Q xm m p d k k k l ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) = = + ∑ ∑ ( )( ) 1 , (133) de R — polinom, qkyj zadovol\nq[ umovy R ( 0 ) = 0, tindR ( 0 ) ≥ l + 1, l ≥ d + 1. (134) Qkwo f ( k′ ) ( 0 ) = 0 dlq koΩnoho mul\tyindeksu k ′ takoho, wo p < | k ′ | ≤ d, ′kν < p, ν = 1, n , to funkciq (133) ma[ rozklad (128) i, qk naslidok, rozklad (130), wo zaverßu[ i ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 258 A. M. SAMOJLENKO dlq c\oho vypadku dovedennq teoremy 7 iz znaçennqmy dlq s0 ta l ( s ), vyznaçe- nymy formulamy s0 = 0, l ( s ) = n + 1. Dlq osnovnoho iz vypadkiv vykonannq nerivnosti (134) dovedennq teoremy 7 [ nabahato skladnißym. Perexodqçy do n\oho, poznaça[mo çerez F funkcig F ( x ) = f ( 0 ) + V x R xm m p d ( ) + ( ) = ∑ 1 , qka vyznaça[ pravu çastynu formuly (133). OtΩe, R1 ( x ) = R ( x ) + f x Q x x Q xk k k l ( )( )+ ( ) + ( ) = + ∑ 1 , R1 ( 0 ) = 0, tindR1 ( 0 ) ≥ l + 1, F ∈ C d + s + l v D′. Nexaj P ma[ vyhlqd P ( x ) = f ( 0 ) + V xm m p d ( ) = ∑ , (135) todi 0 — izol\ovana krytyçna toçka P qk C a -funkci], oskil\ky takog vona [ dlq formy f ( 0 ) + Vp ( x ). Vyznaçymo rozmirnist\ P′ v 0. Dlq c\oho rozhlqnemo rivnqnnq p a x h V x hp n m m p d ν ν ν ν ν ν − = = + ∑ ∑+ ′ ( )1 1 1 = xk . (136) Nexaj | k | = ( p – 2 ) n + 1. (137) Todi poslidovnist\ nablyΩen\ h1 ( x ), … , hj ( x ), (138) wo vyznaça[t\sq formulog p a x h V x h xp j n m j m p d ν ν ν ν ν ν − = ( − ) = + ∑ ∑+ ′ ( ) ( )1 1 1 1 = xk , (139) poçynagçy z h0 = 0, isnu[ dlq dovil\noho j ≥ 1 ta zadovol\nq[ umovy h1 ( 0 ) = … = hj ( 0 ) = 0, tindhj – hj – 1 ( 0 ) ≥ ( p – 2 ) ( n – 1 ) + j – 1 (140) pry j ≥ 1. Dijsno, z rivnqnnq dlq h1 p a x hp n ν ν ν ν − = ∑ 1 1 = xk vyplyva[, wo pry vykonanni umovy (137) joho rozv’qzok h1 ( x ) = ( h11 ( x ), … , hn1 ( x ) ) isnu[ ta zadovol\nq[ umovu (140): ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 259 h1 ( 0 ) = 0, tindh1 ( 0 ) ≥ ( p – 2 ) n + 1 – ( p – 1 ) = ( p – 2 ) ( n – 1 ). Nexaj dlq 2 ≤ i < j rivnqnnq (139) vyznaça[ rozv’qzok hi ( x ), wo zadovol\nq[ umovu (140). Todi dlq hi + 1 oderΩu[mo rivnqnnq p a x h V x h xp n m i m p d ν ν ν ν − = = + ∑ ∑+ ′ ( ) ( )1 1 1 = xk, rozv’qzok qkoho vyznaçymo, poklavßy h = hi ( x ) + g. Zvidsy dlq g = ( g1 , … , gn ) otrymu[mo rivnqnnq p a x g V x h x h xp n m i i m p d ν ν ν ν − = − = + ∑ ∑+ ′ ( ) ( ) − ( )( )1 1 1 1 = 0. (141) Vraxovugçy (140) pry j = i, oderΩu[mo, wo funkciq Fi ( x ) = ′ ( ) ( ) − ( )( )− = + ∑ V x h x h xm i i m p d 1 1 zadovol\nq[ umovu Fi ( 0 ) = 0, tindFi ( 0 ) ≥ ( p – 2 ) ( n – 1 ) + i – 1 + p = ( p – 2 ) n + i + 1. OtΩe, rivnqnnq (141) ma[ rozv’qzok g = gi + 1 ( x ) takyj, wo gi + 1 ( 0 ) = 0, tindgi + 1 ( 0 ) ≥ ( p – 2 ) n + i + 1 – ( p – 1 ) = ( p – 2 ) ( n – 1 ) + i. Ale todi funkciq hi + 1 hi + 1 ( x ) = hi ( x ) + gi + 1 ( x ) vyznaça[ rozv’qzok rivnqnnq (141), i cej rozv’qzok zadovol\nq[ umovu hi + 1 ( 0 ) = 0, tindhi + 1 – hi ( 0 ) ≥ ( p – 2 ) ( n – 1 ) + i, tobto umovu (140) pry j = i + 1. Indukciq zaverßu[ dovedennq tverdΩennq pro isnuvannq nablyΩen\ (138), qki zadovol\nqgt\ umovu (140) dlq dovil\noho j ≥ 1. Zrobymo teper zaminu v rivnqnni (136), poklavßy h = hj ( x ) + g, (142) ta otryma[mo rivnqnnq p a x g V x g V x g xp n m m p m j m p ν ν ν ν ν ν ν ν − = = + = + ∑ ∑ ∑+ ′ ( ) + ( ) ( )1 1 1 1 = 0. (143) Oskil\ky 0 — izol\ovana krytyçna toçka funkci] Vmm p d = +∑ 1 qk C a -funkci], to P′ = ′= +∑ Vmm p d 1 v 0 ma[ skinçennu rozmirnist\. Poznaçymo ]] çerez r ta zastosu[mo zaminu (142) iz nastil\ky velykym znaçennqm j, wob T-indeks ostan- n\o] z sum u formuli (143) perevywuvav r. Todi za vlastyvistg rozmirnosti riv- nqnnq (143) matyme v deqkomu okoli toçky 0 analityçnyj rozv’qzok. OtΩe, ta- kyj Ωe rozv’qzok matyme i vyxidne rivnqnnq (136). A ce oznaça[, zhidno z vyzna- çennqm, wo r ≤ ( p – 2 ) n + 1 = d + 1. (144) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 260 A. M. SAMOJLENKO Podal\ße dovedennq teoremy zvodyt\sq, po suti, do zastosuvannq teoremy pro ekvivalentnist\ [8] do funkci] F, pry c\omu my moΩemo pokrawyty vymohy do hladkosti F u vkazanij teoremi za raxunok deqkyx utoçnen\ u sxemi ]] dove- dennq, qki [ moΩlyvymy, vraxuvavßy vyhlqd formy Vp funkci] f. Dijsno, toçka 0 [ krytyçnog toçkog formy Vp skinçennoho ( r-ho) typu, pryçomu dlq r moΩna vybraty take znaçennq, wo harantu[ rozv’qznist\ rivnqn- nq (136), otΩe, zhidno z dovedenym, moΩna poklasty r = d + 1. (145) Bil\ße toho, za umovy | k | = N ≥ r porqdok nulq rozv’qzku rivnqnnq (136) u toçci 0 moΩna vyznaçyty za znaçen- nqm T-indeksu dlq c\oho rozv’qzku v toçci 0. OtΩe, z rivnqnnq, vlastyvostej T-indeksu ta izol\ovanosti krytyçno] toçky 0 formy Vp qk C a -funkci] vyply- va[, wo cej porqdok moΩna otrymaty z nerivnosti p – 1 + tindh ( 0 ) ≥ min ( N, p + tindh ( 0 ) ) = N, i vin dorivng[ N – ( p – 1 ). Ce znaçennq znaçno bil\ße za znaçennq N – r, qke xarakteryzu[ porqdok nulq rozv’qzku rivnqnnq analohiçnoho vyhlqdu dlq funkci] f iz teoremy [8]. Tomu induktyvna lema z [8] dlq funkci] F spravdΩu[t\sq dlq bil\ß slabko], niΩ na- vedena v cij lemi, umovy na N, a same: zamist\ N ≥ 2r dostatn\o vybraty N ≥ max ( r, 2( p – 1 ), p ), wo z uraxuvannqm (145) ta (132) ekvivalentno umovi N ≥ r. (146) Takym çynom, induktyvna lema [8] dlq rozhlqduvanyx namy funkcij F vyko- nu[t\sq dlq umovy (146), wo vnosyt\ vidpovidni korektyvy u tverdΩennq teore- my pro ekvivalentnist\ [8], qki stosugt\sq hladkosti F, dostatn\o] dlq zasto- suvannq do F ci[] teoremy. ZauvaΩymo, wo koly l, qke vyznaça[ funkcig F, zadovol\nq[ umovu l ≥ r + 2, (147) to rozmirnist\ P′ v 0 bud\-qkoho polinoma Tejlora funkci] F v toçci 0 zado- vol\nq[ tu Ω umovu (144), wo j polinoma (135). Ostann[ tverdΩennq vyplyva[ iz lemy 4. Tomu teorema pro ekvivalentnist\ [8] stosovno koΩno] z funkcij F, vyznaçenyx umovog (147), stverdΩu[ C s + s0 -ekvivalentnist\ F v deqkomu okoli toçky 0 svo[mu polinomu Tejlora v toçci 0 stepenq, ne vywoho za m > β = max ,3 2 6 2 10( + + ) ( − )  s s N N (148) pry umovi, wo hladkist\ F bil\ßa za 3( N + β – 1 ). (149) Vybravßy l miΩ znaçennqmy (149) ta m, otryma[mo, wo polinom Tejlora funkci] F u toçci 0 stepenq, ne vywoho za m , — ce polinom (135). OtΩe, funkciq F C s + s0 -ekvivalentna v deqkomu okoli toçky 0 polinomu P ( x ). Zvid- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 261 sy vyplyva[ C s + s0 -ekvivalentnist\ u c\omu Ω okoli toçky 0 funkci] f ta po- linoma P ( x ). Dlq zaverßennq dovedennq teoremy 7 zalyßa[t\sq vyznaçyty s0 ta l ( s ). Dlq c\oho otryma[mo iz (148), (146), (145), umovy pro hladkist\ F, umovy pro rivnist\ hladkostej f ta F, a takoΩ iz formy zapysu umov pro hladkist\ u teo- remi 7 nastupni nerivnosti dlq vyznaçennq s0 ta l ( s ): 3 2 1 10( + + + )s d ≥ 6( 2d + 1 ), (150) l ( s ) ≥ 3( d + β ) – d – s = 2d + 3β – s. (151) Iz (150) znaxodymo s0 = 7d + 2, (152) a iz (151) — l ( s ) = 2( 19d + 7 ) + 7 2 s , (153) wo i zaverßu[ dovedennq teoremy 7. Zvyçajno, formula (153), qk i perßa z formul takoho typu G. Mozera [10], sutt[vo zavywu[ vymohy do hladkosti funkci] f, qki harantugt\ zastosovnist\ pidhotovço] teoremy Vej[rßtrassa do f, ale, z inßoho boku, vona da[ uqvlennq pro xarakter zaleΩnosti hladkosti g vid hladkosti f ta harantu[ deqkyj „za- pas hladkosti” g, wo vyznaça[t\sq çyslom s0 . Qk pryklad, znajdemo vidpovidni znaçennq dlq s0 ta l ( s ) u vypadku, koly n = 2, p = 5, s = 1. Iz (152) ta (153) otrymu[mo znaçennq s0 = 44, l ( 1 ) = 245,5. OtΩe, v rozhlqduvanomu vypadku teorema 7 spravdΩu[t\sq pry f ∈ C 253 ta harantu[, wo g ∈ C 45 i P ( x ) = f ( 0 ) + a x a x f x xk k k k k k 1 1 5 2 2 5 1 2 6 1 6 01 2 1 2 1 2 + + ( )( ) + = ∑ , . Nastupna teorema minimizu[ hladkist\, dlq qko] we moΩlyva ekvivalentnist\ f ta P. Teorema 8. Nexaj 0 — krytyçna toçka C p + 1 -funkci] f : R n → R, de p = tindf ( 0 ). Todi qkwo p-forma f v 0 VP ( x ) = f ( 0 ) + 1 0 p f xk k k p ( ) = ( )∑ zvodyt\sq do nevyrodΩenoho kanoniçnoho vyhlqdu, to isnugt\ okil U toçky 0 ta homeomorfizm g : U → Rn , g ( 0 ) = 0, taki, wo f ( g ( x ) ) = f ( 0 ) + a x p n ν ν ν= ∑ 1 dlq x ∈ U. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 262 A. M. SAMOJLENKO Dijsno, ne obmeΩugçy zahal\nosti mirkuvan\, moΩemo vvaΩaty, wo f uΩe zvedeno do vyhlqdu, v qkomu p-forma f u 0 ma[ kanoniçnyj vyhlqd (99). Todi zhidno z lemog 1 f ( x ) = f ( 0 ) + a x f x xp n k k k p ν ν ν= = + ∑ ∑+ ( ) 1 1 , (154) de fk ∈ C v D′. Pidstavymo v (154) zamist\ x funkcig ( x, x ) l x = x x n l ν ν 2 1= ∑    , de l — najmenße cile çyslo, wo zadovol\nq[ umovu 2l + p ≥ ( p – 1 ) n. Todi v deqkomu okoli U toçky 0 f ( ( x, x ) l x ) = f ( 0 ) + ( ) + ( ) ( )    = = + ∑ ∑ ( )x x a x x x f x x x xpl p n l k l k k p , , ,ν ν ν 1 1 = = f ( 0 ) + ( ) + ( )( ) = ∑x x a b x xpl p n , ν ν ν ν 1 , (155) de bν ∈ C v U, bν ( 0 ) = 0, ν = 1, n . Nexaj U — nastil\ky malyj okil, wo pry x ∈ U , de U — zamykannq U, znaçennq aν + bν ( x ) magt\ znak stalyx aν . Vykona[mo zaminu zminnyx, vvivßy v (155) zamist\ x zminni y za formulamy yν = ( ) + ( ) x x b x a xl p, 1 ν ν ν , ν = 1, n . (156) Todi (155) moΩna zapysaty u vyhlqdi f ( ( x, x ) l x ) = f ( 0 ) + a y p n ν ν ν= ∑ 1 . Poznaçymo 1 + ( )b x a p ν ν = 1 + qν ( x ), ν = 1, n . Todi (156) nabere vyhlqdu yν = ( x, x ) l ( 1 + qν ( x ) ) xν , ν = 1, n , (157) pry c\omu qν ∈ C v U ta qν ( 0 ) = 0, ν = 1, n . (158) Iz (157) otrymu[mo ( y, y ) = ( x, x ) 2l + 1 ( 1 + ϕ ( x ) ), (159) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 263 de çerez ϕ poznaçeno funkcig ϕ ( x ) = q x q x x x x n ν ν ν ν ( ) + ( ) ( ) ( ) = ∑ 2 2 2 1 , , x ≠ 0. Umova (158) oznaça[, wo ϕ ma[ hranyçne znaçennq v toçci 0 lim x x → ( ) 0 ϕ = 0, zvidky vyplyva[ moΩlyvist\ neperervnoho prodovΩennq ϕ v toçku 0. OtΩe, ϕ ∈ C v U. Vraxovugçy (159), otrymu[mo ( ) = ( ) + ( )( + ) ( + )( )y y x x xl l l l l, ,/ /2 1 2 11 ϕ . OtΩe, zamina (157) bude maty vyhlqd x q x x y y yl l l l ν ν ν ϕ ( ) ( ) + ( ) + ( ) = ( )( + ) ( + ) 1 1 2 1 2 1/ /, , ν = 1, n . (160) Poznaçymo zν = y y y l l ν ( ) ( + ), / 2 1 , y ≠ 0, ν = 1, n , (161) ta dopovnymo znaçennq pravo] çastyny (161) u toçci 0 hranyçnym znaçennqm lim , /y l l y y y→ ( + )( )0 2 1 ν = 0. (162) Todi formuly (161), (162) vyznaçagt\ zaminu dlq dovil\nyx znaçen\ y. Na pid- stavi c\oho zapyßemo (160) u vyhlqdi systemy rivnostej x q x x l l ν ν ϕ ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( + ) 1 1 2 1/ = zν , ν = 1, n . (163) Liva çastyna (163) vyznaça[ neperervne ta vza[mno odnoznaçne vidobraΩennq F deqkoho okolu U toçky 0 na deqkyj okil U toçky z = 0. Z c\oho vyplyva[ isnuvannq ta neperervnist\ obernenoho vidobraΩennq F– 1 : U1 → U , tobto isnu- vannq homeomorfizmu g1 : U1 → U, g1 ( 0 ) = 0, takoho, wo x = g1 ( z ) [ rozv’qzkom rivnqnnq (163) dlq z ∈ U1 . Zamina (161) takoΩ ma[ obernennq: oskil\ky ( z, z ) = ( ) = ( )− ( + ) ( + )y y y yl l l, ,/ /1 2 2 1 1 2 1 , to yν = zν ( z, z ) l, ν = 1, n . OtΩe, (161) vyznaça[ homeomorfizm deqkoho okolu U2 toçky y = 0 v okil U1 toçky z = 0. Superpozyciq cyx homeomorfizmiv vyznaça[ novyj homeomorfizm g2 : U2 → U, g2 ( 0 ) = 0, g2 ( y ) = g y y y l l1 2 1( )    ( + ), / , takyj, wo, zastosovugçy zaminu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 264 A. M. SAMOJLENKO x = g2 ( y ), de g2 ∈ C v U2 , oderΩu[mo rivnist\ f y q g y1 2+ ( )    ( ) = f ( 0 ) + a y p n ν ν ν= ∑ 1 dlq y ∈ U2 . Dlq zaverßennq dovedennq teoremy 8 poznaçymo g ( y ) = y q g y1 2+ ( )( ) ta otryma[mo formulu f ( g ( y ) ) = f ( 0 ) + a y p n ν ν ν= ∑ 1 z vyznaçenymy ci[g teoremog vlastyvostqmy funkci] g v U2 . Budemo hovoryty, wo f indyferentna v krytyçnij toçci 0, qkwo v bud\- qkomu ]] okoli f – f ( 0 ) nabuva[ znaçen\ riznyx znakiv. Naslidok 7. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 8. Todi funkciq f u toç- ci 0 ma[ lokal\nyj minimum abo lokal\nyj maksymum v zaleΩnosti vid toho, indf ( 0 ) = 0 çy indf ( 0 ) = n vidpovidno, ta [ indyferentnog v 0 , qkwo 0 < < indf ( 0 ) < n. 4. Lokal\ne vektorne pole f v okoli krytyçno] toçky, vidminne vid hradi[ntnoho, ta stijkist\ krytyçno] toçky. Nexaj f ∈ C r + 2 v D ⊆ Rn, 1 ≤ ≤ r ≤ ω. Todi operator grad : f → grad f = ∂ ∂ … ∂ ∂     f x f xn1 , , vyznaça[ v D vektorne pole, qke nazyvagt\ hradi[ntnym polem f. Nexaj 0 — krytyçna toçka f. Todi f ( x ) = f ( 0 ) + `x J ( x ) = f ( 0 ) + `x G ( x ) x (164) v D′, de J ( x ) = f x d( )1 0 1 ( )∫ τ τ, G ( x ) = ( − )∫ 1 0 1 τ ττH f dx . Vektor J ( x ) vyznaça[ vektorne pole f v okoli krytyçno] toçky 0, toçniße, u vsij ]] zirkovij oblasti D′. Ce pole my nazvemo lokal\nym vektornym polem f v okoli krytyçno] toçky, vidminnym vid hradi[ntnoho. Pid di[g takoho vektornoho polq toçka x0 ∈ D′ ruxa[t\sq vidpovidno do dyferencial\noho rivnqnnq ruxu dx dt = J ( x ) (165) ta vyznaça[ tra[ktorig v D′ c\oho ruxu x = xt ( x0 ), t ∈ ( α, β ), de xt ( x0 ) — rozv’qzok (165) z poçatkovym znaçennqm x0 u t = 0, α = α ( x0 ) ta β = β ( x0 ) — hranyçni znaçennq intervalu isnuvannq rozv’qzku xt ( x0 ), qki vyzna- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 265 çagt\sq umovamy lim t→ +α 0 xt ( x0 ) ∈ ∂D′, lim t→ −β 0 xt ( x0 ) ∈ ∂D′, de ∂D′ — hranycq oblasti D′. Krytyçna toçka 0 funkci] f vidnosno takoho ruxu — ce toçka jo- ho spokog xt ( 0 ) = 0, t ∈ R. Vyznaçal\nu vlastyvist\ ruxu xt ( x0 ) pid di[g vektornoho polq J ( x ), zadanoho rivnqnnqm (165), moΩna opysaty rivnistg 1 2 00 0 0 d dt x x x x f x x ft t t( ) ( )( ) ( ) = ( ) − ( ), (166) dlq t ∈ ( α, β ), qku moΩna lehko otrymaty iz formuly (164) ta rivnqnnq (165). Cq rivnist\ oznaça[, wo ßvydkist\ zminy 1 / 2 kvadrata evklidovo] vidstani ruxo- mo] toçky vid krytyçno] dorivng[ riznyci znaçen\ funkci] f v cyx toçkax ( xt ( x0 ) ta 0 vidpovidno ). Cq vlastyvist\ ruxu nada[ moΩlyvist\ zrobyty deqki vysnovky pro tra[kto- ri] ruxu. Nasampered ce stosu[t\sq xarakteru stijkosti krytyçno] toçky qk toçky spokog rivnqnnq (165). Vraxovugçy rivnist\ (5), poda[mo (165) u vyhlqdi riv- nqnnq dx dt = G ( x ) x. (167) Todi dy dt = G ( 0 ) y [ rivnqnnqm u variaciqx dlq toçky spokog 0 rivnqnnq (167). OtΩe, pytannq pro stijkist\ u nekrytyçnomu vypadku rozv’qzu[t\sq dlq toçky 0 zhidno z teo- remamy pro stijkist\ za perßym nablyΩennqm: qkwo vsi vlasni çysla matryci G ( 0 ) [ vid’[mnymy, 0 — asymptotyçno stijka toçka, za naqvnosti sered vlasnyx çysel matryci G ( 0 ) xoça b odnoho dodatnoho 0 — nestijka toçka. Dlq krytyçnoho vypadku spravdΩu[t\sq take tverdΩennq pro stijkist\. Teorema 9. Qkwo isnu[ okil U toçky 0 takyj, wo sered vlasnyx çysel matryci G ( x ) dlq x ∈ U nema[ dodatnyx, to toçka spokog 0 rivnqnnq (165) [ stijkog. Dijsno, pry vykonanni umovy teoremy kvadratyçna forma V ( x ) = 1 2 ( )x x, (168) zhidno iz (168) ta (164) ma[ poxidnu na dovil\nomu rozv’qzku rivnqnnq (165) V ( x ) = ( G ( x ) x, x ), qka dlq vsix x ∈ U zadovol\nq[ umovu znakostalosti ( G ( x ) x, x ) = ( `Q ( x ) D ( x ) Q ( x ) x, x ) = ( D ( x ) Q ( x ) x, Q ( x ) x ) ≤ 0, de Q — ortohonal\na matrycq, D — diahonal\na matrycq, diahonal\nymy ele- mentamy qko] [ vlasni çysla matryci G ( x ). C\oho dostatn\o, wob stijkist\ toç- ky spokog 0 rivnqnnq (165) vyplyvala z teoremy Lqpunova pro stijkist\ [11]. Zaznaçymo, wo vsi toçky spokog rivnqnnq (165) moΩna znajty lyße sered toçok, qki zadovol\nqgt\ rivnqnnq f ( x ) = f ( 0 ). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 266 A. M. SAMOJLENKO ZauvaΩymo takoΩ, wo vsi periodyçni, kvaziperiodyçni ta majΩe periodyçni rozv’qzky xt ( x0 ) rivnqnnq (165) zadovol\nqgt\ umovu pro spil\ne seredn[ zna- çennq funkci] f x xt( )( )0 : lim T t T T f x x dt →∞ ( )( )∫1 0 0 = f ( 0 ). Intehrugçy (166), otrymu[mo ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) − ( )( )∫x x x x x x x x f x x f x dtt t t t 0 0 0 0 0 02, ,τ τ τ (169) dlq dovil\nyx t ta τ z intervalu ( α, β ). Iz (169), zokrema, vyplyva[, wo koly lim t→−∞ xt ( x0 ) = 0, to dlq vsix t < β ( ) ( )( ) ( ) = ( ) − ( )( ) −∞ ∫x x x x f x x f x dtt t t t 0 0 0 02, , qkwo Ω lim t→+∞ xt ( x0 ) = 0, to dlq vsix t > α ( ) ( )( ) ( ) = − ( ) − ( )( ) +∞ ∫x x x x f x x f x dtt t t t 0 0 0 02, . Nasamkinec\, zauvaΩymo, wo teorema pro stijkist\, qku sformul\ovano vywe, ma[ nastupne uzahal\nennq. Teorema 10. Nexaj rivnqnnq dx dt = X ( x ), (170) de X : R n → R n — C 2 -funkciq v D, ma[ toçku spokog 0: X ( 0 ) = 0. Todi qkwo isnu[ okil U toçky 0 takyj, wo symetryçna çastyna `G x G x( ) + ( ) 2 (171) matryci G ( x ) = ∂ ∂ ( )∫ X x x dτ τ 0 1 ne ma[ v U dodatnyx vlasnyx çysel, to toçka spokog 0 rivnqnnq (170) [ asymptotyçno stijkog, koly vlasni çysla matryci (171) dlq x ∈ U, x ≠ 0, vid’[mni, ta stijkog, koly sered nyx [ nul\ovi dlq x ∈ U, x ≠ 0. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 DEQKI REZUL|TATY LOKAL|NO} TEORI} HLADKYX FUNKCIJ 267 Dijsno, oskil\ky v okoli toçky 0 zhidno z lemog 1 rivnqnnq (170) moΩna zapysaty u vyhlqdi dx dt = G ( x ) x, (172) to kvadratyçna forma V ( x ) = 1 2 ( )x x, ma[ poxidnu dlq bud\-qkoho rozv’qzku rivnqnnq (172) ˙ , , ,`V x G x x x G x G x x x x x x( ) = ( ) = ( ) + ( )( ) ≤ ( )( )( ) ( )1 2 α , x ∈ U, de α ( x ) — najbil\ße iz vlasnyx çysel matryci (171). Zhidno z teoremamy Lqpunova pro stijkist\ z umov dlq α ( x ) v teoremi 10 vyplyvagt\ potribni nam tverdΩennq stosovno stijkosti toçky spokog 0 riv- nqnnq (170), wo zaverßu[ dovedennq teoremy 10. 1. Xyrß M. Dyfferencyal\naq topolohyq. – M.: Myr, 1979. – 279 s. 2. Holubev V. V. Lekcyy po analytyçeskoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.; L.: Hostexteoryzdat, 1950. – 436 s. 3. Mylnor DΩ. Teoryq Morsa. – M.: Myr, 1965. – 184 s. 4. Arnol\d V. Y. Zameçanye o podhotovytel\noj teoreme Vejerßtrassa // Funkcyon. analyz. – 1967. – 1, v¥p. 3. – S. 1 – 8. 5. Arnol\d V. Y. Osobennosty hladkyx otobraΩenyj // Uspexy mat. nauk. – 1968. – 23, v¥p. 1(139). – S. 3 – 44. 6. Houzel C. Géomètrie analytique locale. I // Semin. H. Cartan. – 1960/1961. – # 18. 7. Malgrange B. Le theoreme de preparation eu geometrie differentiable // Ibid. – 1962/1963. – # 11 – 13, 22. 8. Samojlenko A. M. Ob πkvyvalentnosty hladkoj funkcyy polynomu Tejlora v okrestnosty krytyçeskoj toçky koneçnoho typa // Funkcyon. analyz. – 1968. – 2, v¥p. 4. – S. 63 – 69. 9. Arnol\d V. Y., Varçenko A. N., Husejn-Zade S. M. Osobennosty dyfferencyruem¥x otobra- Ωenyj. – M.: Nauka, 1982. – 302 s. 10. Mozer G. O kryv¥x, ynvaryantn¥x pry otobraΩenyqx kol\ca, soxranqgwyx plowad\ // Matematyka: Sb. per. – 1962. – 6, v¥p. 5. – S. 51 – 67. 11. Malkyn Y. H. Teoryq ustojçyvosty dvyΩenyq. – M.: Nauka, 1966. – 530 s. OderΩano 01.12.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2

Схожі ресурси