Параметрические модели надежности технических систем

Обсуждаются вопросы оценки надежности технических систем на основе параметрических моделей отказов. Приведены соотношения для определения вероятности неразрушения элементов конструкций в зависимости от коэффициента запаса, который представляет собой отношение математических ожиданий несущей способно...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Author:	Переверзев, Е.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2008
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5572
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Параметрические модели надежности технических систем / Е.С. Переверзев // Техн. механика. — 2008. — № 2. — С. 85-95. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5572
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-55722025-02-09T09:46:03Z Параметрические модели надежности технических систем Переверзев, Е.С. Обсуждаются вопросы оценки надежности технических систем на основе параметрических моделей отказов. Приведены соотношения для определения вероятности неразрушения элементов конструкций в зависимости от коэффициента запаса, который представляет собой отношение математических ожиданий несущей способности к нагрузке. Получены соотношения для оценки величины коэффициентов запаса в зависимости от требуемого значения вероятности неразрушения. Такие соотношения приведены как для статических моделей, описываемых случайными величинами, так и для динамических моделей, в которых несущая способность и нагрузка представляют собой случайные процессы. Значительное внимание уделяется спектральному анализу случайных процессов после преобразования их линейными операторами, в том числе построению доверительных интервалов для выходного процесса и для вероятности его пребывания в заданных границах. Problems of estimation of the reliability of technical systems are discussed on the basis of parametrical models of failure. Relations for definition of the nonfailure probability of structural elements are presented depending on the stock factor which represents the relation between expectation of the carrying capacity and the load. Relations for estimation of the value of stock factors are obtained depending on a required value of the nonfailure probability. Such relations are given both for the static models described by random variables and for dynamic models in which the carrying capacity and the load represent random processes. Much attention is placed on the spectral analysis of random processes after their transformation by operators, including construction of confidence intervals for an output process and for the probability of its stay in a given limit. 2008 Article Параметрические модели надежности технических систем / Е.С. Переверзев // Техн. механика. — 2008. — № 2. — С. 85-95. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5572 621. 192:519.2 ru application/pdf Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Обсуждаются вопросы оценки надежности технических систем на основе параметрических моделей отказов. Приведены соотношения для определения вероятности неразрушения элементов конструкций в зависимости от коэффициента запаса, который представляет собой отношение математических ожиданий несущей способности к нагрузке. Получены соотношения для оценки величины коэффициентов запаса в зависимости от требуемого значения вероятности неразрушения. Такие соотношения приведены как для статических моделей, описываемых случайными величинами, так и для динамических моделей, в которых несущая способность и нагрузка представляют собой случайные процессы. Значительное внимание уделяется спектральному анализу случайных процессов после преобразования их линейными операторами, в том числе построению доверительных интервалов для выходного процесса и для вероятности его пребывания в заданных границах.
format	Article
author	Переверзев, Е.С.
spellingShingle	Переверзев, Е.С. Параметрические модели надежности технических систем
author_facet	Переверзев, Е.С.
author_sort	Переверзев, Е.С.
title	Параметрические модели надежности технических систем
title_short	Параметрические модели надежности технических систем
title_full	Параметрические модели надежности технических систем
title_fullStr	Параметрические модели надежности технических систем
title_full_unstemmed	Параметрические модели надежности технических систем
title_sort	параметрические модели надежности технических систем
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2008
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5572
citation_txt	Параметрические модели надежности технических систем / Е.С. Переверзев // Техн. механика. — 2008. — № 2. — С. 85-95. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT pereverzeves parametričeskiemodelinadežnostitehničeskihsistem
first_indexed	2025-11-25T13:54:15Z
last_indexed	2025-11-25T13:54:15Z
_version_	1849770754246180864
fulltext	85 УДК 621. 192:519.2 Е. С. ПЕРЕВЕРЗЕВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Обсуждаются вопросы оценки надежности технических систем на основе параметрических моделей отказов. Приведены соотношения для определения вероятности неразрушения элементов конструкций в зависимости от коэффициента запаса, который представляет собой отношение математических ожиданий несущей способности к нагрузке. Получены соотношения для оценки величины коэффициентов запаса в зависимости от требуемого значения вероятности неразрушения. Такие соотношения приведены как для статических моделей, описываемых случайными величинами, так и для динамических моделей, в которых несущая способность и нагрузка представляют собой случайные процессы. Значительное внимание уделя- ется спектральному анализу случайных процессов после преобразования их линейными операторами, в том числе построению доверительных интервалов для выходного процесса и для вероятности его пребы- вания в заданных границах Problems of estimation of the reliability of technical systems are discussed on the basis of parametrical models of failure. Relations for definition of the nonfailure probability of structural elements are presented de- pending on the stock factor which represents the relation between expectation of the carrying capacity and the load. Relations for estimation of the value of stock factors are obtained depending on a required value of the non- failure probability. Such relations are given both for the static models described by random variables and for dynamic models in which the carrying capacity and the load represent random processes. Much attention is placed on the spectral analysis of random processes after their transformation by operators, including construction of confidence intervals for an output process and for the probability of its stay in a given limit. В статье обобщены результаты исследований отдела надежности и дол- говечности технических систем за последние 10 лет по развитию параметри- ческих моделей надежности. Для многих технических систем задаются требования по надежности. Среди показателей надежности наиболее часто используются показатели без- отказности и долговечности. Для количественной оценки этих показателей используются различные модели надежности. Наиболее просто показатели безотказности определяются на основе биноминальной модели. Если по результатам n испытаний наблюдалось m отказов, то оценка вероятности безотказной работы находится как n m P −=1 ) . (1) Нижняя доверительная граница НР вероятности безотказной работы на- ходится из уравнения Клоппера − Пирсона ( )∑ = − γ−=− m k k Н kn Н k n PPC 0 11 , (2) где γ − доверительная вероятность. При 0=m из уравнения (2) находим ( )n НP 1 1 γ−= . (3) Из (3) можно получить выражение для определения числа безотказных испытаний для подтверждения требуемого значения трР нижней довери- тельной границы  Е.С. Переверзев, 2008 Техн. механика. – 2008. – № 2. 86 ( ) трP n ln 1ln γ− ≥ . Для системы, состоящей из r параллельно соединенных элементов, со- ответственно получим ( ) ( )         −− γ− ≥ r трPr n 1 11ln 1ln . Биноминальное распределение выражается через F - распределение. По- этому вместо уравнения (2) можно использовать следующее соотношение [1] ( )21,, 1 νν − + = xF mn m PH . Значение ( )21,, ννxF находится из таблиц F - распределения для уровня значимости γ−=α 1 и числа степеней свободы ( )121 +=ν m , ( )mn −=ν 22 . Заметим, что в биноминальной модели не используется информация о виде закона распределения наработки до отказа. Если использовать такую информацию, на основе биноминального распределения можно получить вы- ражения для определения числа испытаний для различных законов распреде- ления наработки до отказа. Например, для распределения Вейбулла имеем [2, 3] ( ) ( )трP n −η γ− ≥ β 1ln 1ln , (4) где 0t tи=η − относительная длительность испытаний; иt − длительность испытаний; 0t − требуемое время работы технической системы. Параметр β связан с коэффициентом вариации ν наработки до отказа следующим соотношением       β +       β +−      β + =ν 1 1 1 1 2 1 2 Г ГГ , где ( )...Г − гамма-функция. Для ускоренных испытаний выражение (4) принимает следующий вид ( ) ( )трPk n −η γ− ≥ β 1ln 1ln , где k − коэффициент ускорения. 87 В настоящее время широко используются параметрические модели на- дежности. Наиболее распространенными из них являются модели «нагрузка – прочность», которые впервые начали применять при расчетах вероятности неразрушения элементов конструкций в задачах прочности. Пусть R − несущая способность элемента конструкции, а Q – нагрузка, действующая на него. Если R и Q − случайные величины, то вероятность неразрушения Р элемента конструкции можно определить так ( )0>−= QRPP . (5) В общем случае для произвольных распределений вероятность неразру- шения элемента конструкции определяется из выражений ( ) ( )dyygyFP ∫ ∞ ∞− = , ( )[ ] ( )dxxfxGP ∫ ∞ ∞− −= 1 , где ( ) ( )...,... gG – функция и плотность распределения несущей способности; ( ) ( )...,... fF – функция и плотность распределения нагрузки. Здесь через x обозначена нагрузка, через y – несущая способность. В случае, когда величины R и Q распределены по нормальному закону, находим ( )hFP = , QRQR rvv h νην−+η −η = 2 1 222 , где ( ) dx x hF h ∫ ∞−         − π = 2 exp 2 1 2 – функция стандартного нормального рас- пределения; Q R M M =η – математическое ожидание коэффициента запаса; R R R M v σ = – коэффициент вариации несущей способности; Q Q Q M v σ = – ко- эффициент вариации эксплуатационной нагрузки; QRQR MM σσ ,,, – математические ожидания и средние квадратические отклонения несущей способности и эксплуатационной нагрузки; r – коэффициент корреляции между случайными величинами R и Q . Некоторые авторы коэффициент η определяют как отношение несущей способности mR и нагрузки mQ m m Q R =η , 88 где mR и mQ – значения несущей способности и нагрузки, при которых на- блюдаются максимумы на кривых плотностей распределения несущей спо- собности и нагрузки. Если несущая способность и нагрузка – независимые случайные величи- ны, имеем 222 1 QR vv h +η −η = . (6) Решив уравнение (6) относительно η , запишем ( )( ) 22 2222 1 1111 R QR vh vhvh − −−−+ =η . Для логарифмически нормального распределения несущей способности и нагрузки получим           + µ−µ = 22 QR QR bb FP , (7) где QQRR bb ,,, µµ – параметры логарифмически нормального распреде- ления соответственно несущей способности и нагрузки. Параметры µ и b следующим образом связаны с математическим ожи- данием М и коэффициентом вариации v : 2 )1ln( ln 2v М + −=µ , ( )21ln vb += . При 3,0;3,0 ≤≤ QR vv выражение (7) можно приближенно представить так           + − ≈ 22 lnln RQ QR vv ММ FP . В этом случае ( )hFP ≈ , vvv h RQ η = + η = lnln 22 , где 22 QR vvv += . После преобразований получим ( )pvhexp=η . 89 Значение ph находим из равенства ( ) тpp PhF = , где тpP – требуемое значение вероятности неразрушения элемента конст- рукции. Из изложенного следует, что для нормального и логарифмически нор- мального распределений несущей способности и нагрузки удается получить аналитические выражения для коэффициента η . Для произвольных распре- делений несущей способности и нагрузки получить аналитические выраже- ния не удается. При неизвестных законах распределения несущей способности и нагруз- ки можно получить нижние оценки для вероятности неразрушения Р на ос- нове неравенства Чебышева и распределения Гермейера [3]. Для этого пред- ставим выражение (5) в виде ( )0>= ZPP , (8) где QRZ −= . На основе неравенства Чебышева оценку вероятности (8) запишем как 2 2 1 Z ZM P σ −≥ . Если случайные величины R и Q независимые, ( ) ( )22 QR MMZM −= , 222 QRZ σ+σ=σ . С учетом последних выражений имеем [2] 22 2 )( 1 QR QR ММ P σ+σ − −≥ . Введя коэффициенты η , Rν и Qν , получим 222 2 )1( 1 QR P ν+νη −η −= . Отсюда после решения квадратного уравнения находим необходимое значение η для обеспечения требуемой вероятности неразрушения ( )( ) 2 22 1 1111 Rmp QтрRтр тр νβ− νβ−νβ−−+ =η , где mpmp P−=β 1 . 90 Для усиленного неравенства Чебышева, которое применяется для унимо- дальных распределений, получим [3] 22 2)( 9 4 1 QR QR ММ P σ+σ − −≥ и, соответственно, 2 22 4 9 1 4 9 1 4 9 111 Rmp QтрRтр тр νβ−       νβ−      νβ−−+ =η . Для распределения Гермейера имеем [2] 222 2 )( )( QRQR QR ММ ММ P σ+σ+− − ≥ . (9) Потребное значение коэффициента η находим из выражения (9) ( )( ) 2 222 Rтртр QтртрRтртртртр тр Р РР ν−β ν−βν−β−β+β =η . Рассмотрим случай, когда несущая способность и нагрузка описываются случайными процессами. Вероятность неразрушения элемента конструкции в течение времени t в этом случае можно найти как ( ) ( )[ ]tXYPP ,0,0 ∈τ>τ−τ= , где ( ) ( )tXtY , – соответственно случайные процессы, описывающие измене- ние во времени несущей способности )(tR и нагрузки )(tQ . Если процессы ( )tY и ( )tX описываются гауссовскими стационарными процессами, получим следующие оценки [4, 5] ( )         σ − −−        σ − ≥ 2 2 0 2 )( exp QRQR MM tn MM FtP , (10) ( ) ( )                 σ − −−        σ − ≤ 2 2 0 2 expexp QRQR MM tn MM FtP . (11) Параметры σ и 0n вычисляются по формулам ( ) QRQR R σσ−σ+σ=σ 02222 , ( ) ( ) ( )[ ]QRQR Rrrn σσ′′+′′σ−′′σ− π = 0200 2 1 2 2 1 2 0 , 91 ( ) ( ) 0 2 1 2 1 0 =τ τ τ =′′ d rd r , ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0 =τ τ τ =′′ d rd r , ( ) ( ) 0 2 2 0 =ττ τ =′′ d Rd R , где ( ) ( )ττ 21 , rr – нормированные корреляционные функции процессов ( )tY и ( )tX ; ( )τR – взаимная нормированная корреляционная функция между про- цессами ( )tY и ( )tX . Выражение (10) дает нижнюю оценку для вероятности неразрушения, а выражение (11) – верхнюю оценку. Для независимых процессов получим ( )      σ+σ − −−           σ+σ − ≥ 22 2 0 22 2 )( exp QR QR QR QR MM tn MM FP , (12) ( ) ( ) ( )                 σ+σ − −−           σ+σ − ≤ QR QR QR QR MM tn MM FtP 22 2 0 22 2 expexp , (13) ( ) ( )[ ]00 2 1 2 2 1 2 0 rrn QR ′′σ−′′σ− π = . Представим выражения (12) и (13) в следующем виде ( )         −−≥ 2 exp 2 0 h tnhFP , (14)                 −−≤ 2 expexp)( 2 0 h tnhFP . (15) Задавшись вероятностью неразрушения трP , из выражений (14), (15) можно найти потребное значение трη для обеспечения требуемой вероятно- сти неразрушения ( ) ( )      ν+ν −η −−           ην+ν −η = 22 2 0 222 2 1 exp 1 RQ тр трRQ тр тр tnFP , (16) ( ) ( )                 ν+ν −η −−           ην+ν −η = 22 2 0 222 2 1 expexp 1 RQ тр трRQ тр тр tnFP . (17) При высоких значениях вероятности неразрушения 92 1 1 222 ≈           η+ −η RQ vv F . В этом случае выражения (16), (17) принимают вид ( ) ( )      ν+ν −η −−= 22 2 0 2 1 exp1 RQ тр тр tnP , (18) ( ) ( )                 ν+ν −η −−= 22 2 0 2 1 expexp RQ тр тр tnP . (19) Последние выражения позволяют получить аналитические зависимости для определения трη . В частности, из выражения (19) после двойного лога- рифмирования получим ( ) ( ) ( )22 2 2 1 lnlnln RQ vv NP + −η −=− , где tnN 0= . После преобразований запишем квадратное уравнение 02 =+η+η cba , где ( )[ ]tnPva R 0 2 lnlnln21 −−+= ; 2−=b ; ( )[ ]tnPvc Q 0 2 lnlnln21 −−−= . Решив квадратное уравнение, находим a aca a b 2 4 2 2 − ±−=η . Подставив значения коэффициентов a , b , c , получим ( ) ( )( ) dv dvdvdv R RRR 2 2222 21 12214211 + −++++ =η , где ( ) ( )tnPd 0lnlnln −−= . Из выражения (18) после логарифмирования и преобразования имеем ( ) ( ) 0lnln22ln2ln21 2222 =−βν+η−ν−νβ+η NN трQRRтртр , где тртр P−=β 1 , tnN 0= . Запишем решение квадратного уравнения в следующем виде ( )Nv caa трR lnln21 1 2 11 2 1 −β+ −+ =η , 93 где ( )Na трR lnln21 2 1 −βν+= ; ( )Nc трQ lnln2 2 1 −βν= . Заметим, что коэффициент η зависит от длительности действия нагрузки t. В многомерном случае для коррелированных процессов значительно ус- ложняется определение числа 0п . Выражение для определения 0п приведено в [3]. Для логарифмически-нормального распределения ординаты процесса выражения (10), (11) записываются так ( )      + µ−µ −−           + µ−µ ≥ 22 2 0 22 2 )( exp QR QR QR QR bb tn bb FP , (20) ( ) ( ) ( )                 + µ−µ −−           + µ−µ ≤ QR QR QR QR bb tn bb FtP 22 2 0 22 2 expexp . (21) При 3,0≤νR ; 3,0≤νQ выражения (20), (21) можно приближенно пред- ставить так ( )         ν+ν − −−           ν+ν − ≥ 22 2 0 22 2 )ln(ln exp lnln QR QR QR QR MM tn MM FP , (22) ( ) ( )                 ν+ν − −−           ν+ν − ≤ QR QR QR QR MM tn MM FP 22 2 0 22 2 lnln expexp lnln . (23) После преобразований выражения (22), (23) запишем так         ν η −−      ν η ≥ 2 2 0 2 )(ln exp ln tnFP , (24) ( )                 ν η −−      ν η ≤ 2 2 0 2 ln expexp ln tnFP , (25) где 222 QR ν+ν=ν . Из этих выражений можно найти значение трη для обеспечения требуе- мой вероятности неразрушения трР . При 1 ln ≈      ν η F после двойного лога- рифмирования выражения (25) получим ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 ln lnlnln ν η −=− tnP . Отсюда находим 94 ( ) ( )[ ]{ }2 1 0 lnlnln2ln трPtn −−ν=η или ( )( ) ( )[ ]{ }2 1 0 lnlnln2exp трPtn −−ν=η . При 1 ln ≈      ν η F из выражения (24) имеем ( )         ν η −−= 2 2 2 ln exp1 тр тр NP . Отсюда после преобразования получим 2 1 ln2ln         β ν=η тр тр N или                   β ν=η 2 1 ln2exp тр тр N . Заметим, что при проведении приближенных расчетов негауссовские процессы можно нормализовать [6]. Для этого в каждом сечении случайного процесса )(tX все его значения располагаются в вариационный ряд: kxx ,...,1 , 1+ix > ix , ki ,1= , k – число значений в сечении. Для каждого i -го значения вычисляется эмпирическая функция распределения 1+ = k i Gi . Да- лее вычисляется квантиль нормальной функции распределения из равенства ii GuF =)( , где (...)F – функция стандартного нормального распределения. Вычисляются среднее значение x ) и среднее квадратическое отклонение s . Соответственно i -ое значение нормальной случайной величины iy нахо- дится так: suxy ii += ) . Такой способ нормализации негауссовских процессов является прибли- женным, но очень удобным при проведении инженерных расчетов. Приведенные соотношения при известных значениях коэффициентов ва- риации позволяют определить значения коэффициента η в зависимости от требуемого уровня вероятности неразрушения. При 0=t из соотношений для случайных процессов можно получить выражения для оценки вероятности неразрушения для случая, когда несущая способность и нагрузка представляют собой случайные величины. 95 1. Переверзев Е. Испытания и надежность технических систем / Е Переверзев, Ю. Даниев. − Днепропет- ровск : ИТМ НАНУ и НКАУ, 1999. − 224 с. 2. Переверзев Е. С. Вероятностные распределения и их применение / Е. С Переверзев, Ю. Ф. Даниев. − Днепропетровск : ИТМ НАНУ и НКАУ, 2004. – 418 с. 3. Надежность технических систем / Е. Переверзев , А. Алпатов, Ю. Даниев, П. Новак. − Днепропетровск : Пороги, 2002. − 396 с. 4. Переверзев Е. С. Спектральный анализ случайных процессов в задачах точности и надежно- сти / Е. С. Переверзев // Техническая механика. – 2007. – № 2. – С.80 − 91. 5. Эффективность научно-технических проектов и программ / О. В. Пилипенко, Е. С. Переверзев, А. П. Алпатов и др. − Днепропетровск : Пороги, 2008. – 509 с. 6. Переверзев Е. С. Актуальные задачи теории надежности и долговечности технических устройств / Е. С. Переверзев // Техническая механика. − 2006. − № 1. – С. 137 − 155. Институт технической механики Получено 23. 07.08, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 16.09.08 Днепропетровск

Параметрические модели надежности технических систем

Institution

Similar Items