О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле

В работе рассмотрен вопрос о разложении функции тока вблизи критической точки в ряд по координатам, адаптивным к поверхности тела, с точностью до членов второго порядка. Данный вопрос представляет практический интерес при решении обратных краевых задач гидродинамики решеток профилей. На основе интег...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Author:	Кваша, Ю.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2009
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5581
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле / Ю.А. Кваша // Техн. механика. — 2009. — № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860264504048222208
author	Кваша, Ю.А.
author_facet	Кваша, Ю.А.
citation_txt	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле / Ю.А. Кваша // Техн. механика. — 2009. — № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	В работе рассмотрен вопрос о разложении функции тока вблизи критической точки в ряд по координатам, адаптивным к поверхности тела, с точностью до членов второго порядка. Данный вопрос представляет практический интерес при решении обратных краевых задач гидродинамики решеток профилей. На основе интегральной формулы Пуассона показано, что в случае плоского безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости справедливо следующее утверждение: если критическая точка расположена на прямолинейном участке поверхности обтекаемого тела, и в ней пересекаются только две линии тока, одна из которых совпадает с поверхностью тела, то значение смешанной производной второго порядка по прямоугольным декартовым координатам в критической точке отлично от нуля. С использованием предложенной модификации полярной системы координат показана справедливость приведенного выше утверждения в случае, когда участок поверхности обтекаемого тела, на котором расположена критическая точка, представляет собой дугу окружности. У роботі розглянуто питання про розкладання функції току поблизу критичної точки в ряд по координатах, адаптивних до поверхні тіла, з точністю до членів другого порядку. Дане питання становить практичний інтерес при розв'язанні зворотних крайових задач гідродинаміки решіток профілів. На основі інтегральної формули Пуассона показано, що у випадку плоскої безвихрової течії ідеальної нестисливої рідини справедливо наступне твердження: якщо критична точка розташована на прямолінійній ділянці поверхні обтічного тіла, і в ній перетинаються тільки дві лінії току, одна з яких збігається з поверхнею тіла, то значення змішаної похідної другого порядку по прямокутних декартових координатах у критичній точці відмінно від нуля. З використанням запропонованої модифікації полярної системи координат показана справедливість наведеного вище твердження у випадку, коли ділянка поверхні обтічного тіла, на якому розташована критична точка, являє собою дугу окружності. The work deals with the problem on expansion of the stream function in the vicinity of a critical point in term of coordinates, which are adaptive for the body surface, to the second order terms. This problem is of practical interest to solve inverse boundary problems of the hydrodynamics of airfoils arranged in cascade. Based on the Poisson integral formula, it is shown that in case of a plane vortex-free flow of an ideal incompressible fluid it is correctly reasoned: if a critical point is located on a straight section of the streamlined body surface, and with only two streamlines at this point, one of which coincides with the body surface, the value of the mixed second derivative with respect to rectangular Cartesian coordinates at a critical point differs from zero. Using the proposed modification of the system at polar coordinates, the validity of above statement is demonstrated in case when the section of the streamlined body surface, on which a critical point is located, represents a segment of a circle.
first_indexed	2025-12-07T18:59:05Z
format	Article
fulltext	3 УДК 532.51 Ю.А. КВАША О ПЛОСКОМ БЕЗВИХРЕВОМ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ НА ОБТЕКАЕМОМ ТЕЛЕ В работе рассмотрен вопрос о разложении функции тока вблизи критической точки в ряд по коорди- натам, адаптивным к поверхности тела, с точностью до членов второго порядка. Данный вопрос представ- ляет практический интерес при решении обратных краевых задач гидродинамики решеток профилей. На основе интегральной формулы Пуассона показано, что в случае плоского безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости справедливо следующее утверждение: если критическая точка расположена на прямолинейном участке поверхности обтекаемого тела, и в ней пересекаются только две линии тока, одна из которых совпадает с поверхностью тела, то значение смешанной производной второго порядка по пря- моугольным декартовым координатам в критической точке отлично от нуля. С использованием предло- женной модификации полярной системы координат показана справедливость приведенного выше утвер- ждения в случае, когда участок поверхности обтекаемого тела, на котором расположена критическая точка, представляет собой дугу окружности. У роботі розглянуто питання про розкладання функції току поблизу критичної точки в ряд по коор- динатах, адаптивних до поверхні тіла, з точністю до членів другого порядку. Дане питання становить прак- тичний інтерес при розв'язанні зворотних крайових задач гідродинаміки решіток профілів. На основі інтег- ральної формули Пуассона показано, що у випадку плоскої безвихрової течії ідеальної нестисливої рідини справедливо наступне твердження: якщо критична точка розташована на прямолінійній ділянці поверхні обтічного тіла, і в ній перетинаються тільки дві лінії току, одна з яких збігається з поверхнею тіла, то зна- чення змішаної похідної другого порядку по прямокутних декартових координатах у критичній точці від- мінно від нуля. З використанням запропонованої модифікації полярної системи координат показана спра- ведливість наведеного вище твердження у випадку, коли ділянка поверхні обтічного тіла, на якому розта- шована критична точка, являє собою дугу окружності. The work deals with the problem on expansion of the stream function in the vicinity of a critical point in term of coordinates, which are adaptive for the body surface, to the second order terms. This problem is of practi- cal interest to solve inverse boundary problems of the hydrodynamics of airfoils arranged in cascade. Based on the Poisson integral formula, it is shown that in case of a plane vortex-free flow of an ideal incompressible fluid it is correctly reasoned: if a critical point is located on a straight section of the streamlined body surface, and with only two streamlines at this point, one of which coincides with the body surface, the value of the mixed second deriva- tive with respect to rectangular Cartesian coordinates at a critical point differs from zero. Using the proposed modification of the system at polar coordinates, the validity of above statement is demonstrated in case when the section of the streamlined body surface, on which a critical point is located, represents a segment of a circle. Введение. При решении обратных краевых задач гидродинамики реше- ток профилей необходимо задавать распределение скорости жидкости на по- верхности профиля [1]. Указанное распределение не может быть произволь- ным, при его задании должны учитываться существующие теоретические представления о картине течения вблизи профиля. При этом одним из важ- ных факторов, определяющих качество решения задачи об определении фор- мы профиля, является учет структуры течения вблизи критических точек на его поверхности. В этих точках скорость жидкости равна нулю, и в них пересекаются, как правило, две линии тока (на рис. 1 показано ха- рактерное расположение линий то- ка жидкости вблизи критической точки O ). В случае безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости функция тока ψ удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является гармонической функцией. Извест-  Ю.А. Кваша, 2009 Техн. механика. – 2009. – № 1. 4 ный подход к описанию такого течения вблизи критической точки на поверх- ности тела состоит в использовании разложения функции тока [2] (или по- тенциала скорости [3]) в ряд по координатам с точностью до членов второго порядка. В соответствии с этим подходом вводят декартову прямоугольную систему координат Oxy (рис. 1), начало которой совпадает с критической точкой. Значение функции тока ψ на поверхности тела полагают равной ну- лю. Малый участок поверхности тела вблизи критической точки рассматри- вают как прямолинейный [3, с. 44]. Далее, с учетом равенства нулю произ- водных x∂ψ∂ и y∂ψ∂ в критической точке и условия, что в данной точке функция ψ удовлетворяет уравнению Лапласа, получают (с точностью до членов второго порядка) ( ) Cxyyx =ψ , , (1) где O yxC       ∂∂ ψ∂= 2 (O – критическая точка). Из выражения (1) следует, что компоненты скорости жидкости вблизи критической точки равны Cxyvx =∂ψ∂= , Cyxvy −=∂ψ∂−= [3]. Одна из двух линий тока ψ = 0 совпадает с поверхностью тела, а вторая совпадает с осью y и, следовательно, пересекает поверхность тела под прямым углом [2, с. 117]. В настоящей работе рассмотрен следующий вопрос. Все сказанное выше о структуре течения вблизи критической точки на поверхности тела справед- ливо в случае, если константа C в разложении (1) удовлетворяет условию 0≠C . (2) Предположение о том, что условие (2) всегда выполняется в случае пере- сечения двух линий тока на поверхности тела, не является очевидным и тре- бует обоснования. Автору не известны публикации, в которых рассматривал- ся бы этот вопрос, что явилось основанием для проведения данного исследо- вания. Покажем, что соотношения (1) и (2) всегда выполняются, если критиче- ская точка расположена на поверхно- сти обтекаемого тела и в ней пересе- каются только две линии тока ψ = 0, одна из которых совпадает с поверх- ностью тела. Рассмотрим при этом следующие две формы участка по- верхности тела, на котором располо- жена критическая точка. 1. Участок поверхности обте- каемого тела, на котором располо- жена критическая точка, является прямолинейным. Пусть, как и ранее, начало координат является критиче- ской точкой. Совместим ось x с по- верхностью тела, как показано на рис. 2. Примем, что ψ = 0 на поверхности 5 тела. Будем рассматривать течение жидкости в верхней полуплоскости 0>y . В пределах рассматриваемого прямолинейного участка поверхности обтекае- мого тела опишем окружность некоторого радиуса R с центром в начале ко- ординат (рис. 2). В дополнение к используемой декартовой прямоугольной системе коор- динат yxO введем полярную систему координат ϕrO . Примем, что в верх- ней полуплоскости линия тока ψ = 0, не совпадающая с поверхностью тела, пересекает выбранную окружность в единственной точке ( )∗ϕ,R . Без ограни- чения общности можно предположить, что 2 0 π ≤ϕ< ∗ . (3) Также без ограничения общности можно предположить, что в верхней полуплоскости распределение функции тока ( ) ( )ϕ′ψ=ϕ′ψΓ ,R на окружности удовлетворяет условиям: ( ) 0>ϕ′ψΓ при ∗ϕ<ϕ′<0 , ( ) 0<ϕ′ψΓ при π<ϕ′<ϕ∗ , (4) ( ) 0=ϕψ ∗ Γ . Необходимость задания ( )ϕ′ψΓ на интервале ( )π,0 в виде знакоперемен- ной функции будет показана ниже. В точках пересечения окружности с осью x , то есть в точках, принадлежащих поверхности обтекаемого тела, ( ) ( ) 00 =πψ=ψ ΓΓ . В соответствии с принципом симметрии [4] зададим далее распределение ( )ϕ′ψΓ на окружности в нижней полуплоскости 0<y таким образом, чтобы выполнялось условие ( ) ( )ϕ′−πψ−=ϕ′ψ ΓΓ 2 при π≤ϕ′≤ 20 . (5) Рассмотрим течение жидкости в области, ограниченной выбранной ок- ружностью радиуса R , при заданных граничных условиях (4), (5). Для такого течения функция тока ψ может быть определена на основе интегральной формулы Пуассона [5] ( ) ( ) ( ) ϕ′ϕ′ψ ϕ′−ϕ−+ − π =ϕψ Γ π ∫ d RrrR rR r 2 0 22 22 22 1 cos , . (6) Проверим, что при условии (5) внутри данного круга радиуса R выпол- няются соотношения ( ) 00 =ψ ,r при Rr <≤0 , (7) ( ) 0=πψ ,r при Rr <<0 , (8) то есть ψ = 0 на оси x , совпадающей с поверхностью обтекаемого тела. Покажем, что выполняется соотношение (7). Обозначим 6 ( ) ( )ϕ′−−+ − π =ϕ′ 022 1 22 22 cos ,, RrrR rR rRF . Функция ( )ϕ′,,rRF удовлетворяет условию ( ) ( )ϕ′−π=ϕ′ 2,,,, rRFrRF при π≤ϕ′≤ 20 . (9) На основе формулы (6) и условий (5), (9) имеем ( ) ( ) ( ) =ϕ′ϕ′ψ ϕ′−−+ − π =ψ Γ π ∫ d RrrR rR r 2 0 22 22 022 1 0 cos , ( ) ( ) =ϕ′ϕ′ψϕ′= ∫ π Γ 2 0 drRF ,, ( ) ( ) ( ) ( ) =ϕ′ϕ′ψϕ′+ϕ′ϕ′ψϕ′= ∫∫ π π Γ π Γ 2 0 drRFdrRF ,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) =ϕ′ϕ′−πψϕ′−π−ϕ′ϕ′ψϕ′= ∫∫ π π Γ π Γ 2 0 22 drRFdrRF ,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 =ϕ′′ϕ′′ψϕ′′+ϕ′ϕ′ψϕ′= ∫∫ π Γ π Γ drRFdrRF ,,,, . Аналогично можно показать, что соотношение (8) также выполняется. Рассмотрим условие, при котором критическая точка совпадает с нача- лом координат. Указанное условие может быть записано в виде: ( ) 0 20 =               ∂ ψ∂ π→ , lim rr r . (10) На основе дифференцирования выражения (6) по переменной r можно показать, что условие (10) эквивалентно условию ( ) ( ) 0 2 0 =ϕ′ϕ′ψϕ′∫ π Γ dsin . (11) Преобразуем интеграл в выражении (11) с учетом (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =ϕ′ϕ′ψϕ′+ϕ′ϕ′ψϕ′=ϕ′ϕ′ψϕ′ ∫∫∫ π π Γ π Γ π Γ 2 0 2 0 ddd sinsinsin ( ) ( ) ( ) ( ) =ϕ′ϕ′−πψϕ′−π+ϕ′ϕ′ψϕ′= ∫∫ π π Γ π Γ 2 0 22 dd sinsin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ π Γ π Γ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′=ϕ′′ϕ′′ψϕ′′−ϕ′ϕ′ψϕ′= 0 0 0 2 ddd sinsinsin . 7 Таким образом, условие, при котором критическая точка совпадает с на- чалом координат, имеет вид: ( ) ( ) 0 0 =ϕ′ϕ′ψϕ′∫ π Γ dsin . (12) Выражение (12) подтверждает правильность задания ( )ϕψΓ на интервале ( )π,0 в виде знакопеременной функции (4) и устанавливает дополнительное ограничение на вид данной функции. Полагая далее Rr малой величиной и разлагая подынтегральную функ- цию в формуле (6) в ряд с точностью до членов второго порядка, имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) .cos cos, ∫ ∫∫ π Γ π Γ π Γ ϕ′ϕ′ψ−ϕ′−ϕ π      + +ϕ′ϕ′ψϕ′−ϕ π +ϕ′ϕ′ψ π =ϕψ 2 0 2 2 2 0 2 0 12 1 1 2 1 d R r d R r dr (13) Для краткости дальнейшего изложения обобщим полученные выше ре- зультаты вычисления интегралов, а именно: если некоторая функция ( )ϕ′G обладает свойством ( ) ( )ϕ′−π=ϕ′ 2GG при π≤ϕ′≤ 20 , (14) то ( ) ( ) 0 2 0 =ϕ′ϕ′ψϕ′∫ π Γ dG ; (15) если же эта функция обладает свойством ( ) ( )ϕ′−π−=ϕ′ 2GG при π≤ϕ′≤ 20 , (16) то ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ π Γ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′=ϕ′ϕ′ψϕ′ 0 2 0 2 dGdG . (17) Справедливость выражений (15), (17) может быть показана на основе тех же преобразований, которые были использованы при выводе формул (7) и (12). Рассмотрим первый интеграл в правой части выражения (13). В данном случае подынтегральная функция ( )ϕ′G имеет вид ( )ϕ′G = 1 и обладает свойством (14), следовательно, этот интеграл равен нулю. Запишем в развернутой форме второй интеграл в правой части (13) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .sinsin coscoscos ∫ ∫∫ π Γ π Γ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ+ +ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ=ϕ′ϕ′ψϕ′−ϕ 2 0 2 0 2 0 d dd (18) В первом интеграле в правой части выражения (18) подынтегральная функция ( ) ( )ϕ′=ϕ′ cosG обладает свойством (14), следовательно, этот инте- грал равен нулю. Второй интеграл в правой части (18) равен нулю в соответ- ствии с условием (11). Запишем в развернутой форме третий интеграл в правой части (13) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .sinsin sincossincos coscoscos ∫∫ ∫ ∫∫ π Γ π Γ π Γ π Γ π Γ ϕ′ϕ′ψ−ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ+ +ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′ϕϕ+ +ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ=ϕ′ϕ′ψ−ϕ′−ϕ 2 0 2 0 22 2 0 2 0 22 2 0 2 2 4 212 dd d dd (19) В правой части выражения (19) имеется четыре интеграла. В первом, третьем и четвертом интеграле подынтегральные функции ( )ϕ′G обладают свойством (14), следовательно, данные интегралы равны нулю. Во втором интеграле подынтегральная функция ( ) ( ) ( )ϕ′ϕ′=ϕ′ sincosG обладает свойст- вом (16), и на основании (17) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ π Γ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′=ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′ 0 2 0 2 dd sincossincos . (20) Таким образом, выражение для функции тока (13) упрощается и с учетом (20) приобретает следующий вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′ϕϕ π      =ϕψ 0 2 8 d R r r sincossincos, . (21) Проведем оценку интеграла в правой части выражения (21). С учетом (3) и теоремы о среднем значении [5] можно записать ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ π π Γ π ϕ Γ ϕ Γ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′+ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ+ +ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′=ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′ ∗ ∗ 2 2 00 ,sincossincos sincossincos dd dd (22) где 9 2 π <ϕ<ϕ∗ . (23) Запишем интеграл (12) на таких же, как в (22), интервалах интегрирова- ния ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 =ϕ′ϕ′ψϕ′+ϕ′ϕ′ψϕ′+ϕ′ϕ′ψϕ′ ∫∫∫ π π Γ π ϕ Γ ϕ Γ ∗ ∗ ddd sinsinsin . (24) Умножая (24) на ( )ϕcos , выражая затем второй интеграл в (24) через ос- тальные интегралы и подставляя полученное выражение в (22), имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) .sincoscos sincoscossincos ∫ ∫∫ π π Γ ϕ Γ π Γ ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ−ϕ′+ +ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ−ϕ′=ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′ ∗ 2 00 d dd (25) На основе того, что ϕ<ϕ′ при ∗ϕ<ϕ′<0 , а cos – строго монотонная (убывающая) на интервале ( )20 π, функция, справедливо соотношение ( ) ( ) 0>ϕ−ϕ′ coscos при ∗ϕ<ϕ′<0 . (26) С учетом (4), (26) подынтегральная функция в первом интеграле в правой части (25) удовлетворяет неравенству ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0>ϕ′ψϕ′ϕ−ϕ′ Γsincoscos при ∗ϕ<ϕ′<0 . (27) Подыинтегральная функция во втором интеграле в правой части (25) с учетом (4), (23) также удовлетворяет неравенству ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0>ϕ′ψϕ′ϕ−ϕ′ Γsincoscos при π<ϕ′<π 2 . (28) На основе теоремы о среднем значении [5] с учетом (27), (28) получаем оценку для интеграла в левой части выражения (25) ( ) ( ) ( ) 01 0 >=ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′∫ π Γ Cdsincos . (29) Аналогично можно провести оценку интеграла в левой части выражения (25), если вместо (4) принять “обратный” закон изменения ( )ϕ′ψΓ , а именно: ( ) 0<ϕ′ψΓ при ∗ϕ<ϕ′<0 , ( ) 0>ϕ′ψΓ при π<ϕ′<ϕ∗ , ( ) 0=ϕψ ∗ Γ . В этом случае получаем 10 ( ) ( ) ( ) 02 0 <=ϕ′ϕ′ψϕ′ϕ′∫ π Γ Cdsincos . (30) В итоге, переходя в (21) к декартовым координатам ( )ϕ= cosrx , ( )ϕ= sinry и учитывая (29), (30), получаем ( ) Cxyyx =ψ , , 0≠C . (31) 2. Участок поверхности обтекаемого тела, на котором расположена критическая точка, представляет собой дугу окружности. Пусть wR – радиус данной окружности, точка A – ее центр, O – критическая точка, как показано на рис. 3. Примем для определенности, что поверхность обтекаемо- го тела на рассматриваемом участке является выпуклой. Введем декартову прямоугольную систему координат Oxy с центром в критической точке. По- строим также систему криволинейных координат ξηO , связь координат ηξ, с прямоугольными декартовыми координатами yx, зададим выражениями ( )w R w ReRx w η= ξ sin , (32) ( ) ww R w RReRy w −η= ξ cos . (33) Предлагаемая система криволинейных координат ξηO является модифи- кацией полярной системы координат с центром в точке A , в последней положение любой точки B задается радиусом AB и углом OAB (рис. 3). В системе координат ξηO радиус AB выражается в виде wR weR ξ , где величина ξ может изменяться в пределах +∞<ξ<∞− , а угол OAB выражается в виде wRη ( wRπ≤η≤ 20 ). Из выражений (32), (33) следует, что координатная линия 0=ξ сов- падает с поверхностью тела, а линия 0=η совпадает с осью y декарто- вой прямоугольной системы коор- динат Oxy , показанной на рис. 3. В критической точке O , где 0== yx , имеем также 0=η=ξ . Особенность предлагаемой системы координат ξηO состоит в том, что уравнение Лапласа в этих координатах имеет тот же вид, что и в прямоуголь- ных декартовых координатах, а именно: 11 0 2 2 2 2 = η∂ ψ∂ + ξ∂ ψ∂ . (34) Справедливость выражения (34) может быть показана обычным путем – дифференцированием функции тока ψ по декартовым и криволинейным ко- ординатам с использованием формул (32), (33). Приведем соотношения, связывающие значения производных функции тока по декартовым координатам yx, и криволинейным координатам ηξ, в критической точке O OOx       η∂ ψ∂ =      ∂ ψ∂ , OOy       ξ∂ ψ∂ =      ∂ ψ∂ , (35) OwOO Rx       ξ∂ ψ∂ +        η∂ ψ∂ =        ∂ ψ∂ 1 2 2 2 2 , OwOO Ry       ξ∂ ψ∂ −        ξ∂ ψ∂ =        ∂ ψ∂ 1 2 2 2 2 , OwOO Ryx       η∂ ψ∂ −        η∂ξ∂ ψ∂ =        ∂∂ ψ∂ 122 . (36) Поскольку в критической точке 0=∂ψ∂=∂ψ∂ yx , из соотношений (35) и (36) имеем 0=      η∂ ψ∂ =      ξ∂ ψ∂ OO , (37) OOx         η∂ ψ∂ =        ∂ ψ∂ 2 2 2 2 , OOy         ξ∂ ψ∂ =        ∂ ψ∂ 2 2 2 2 , OO yx         η∂ξ∂ ψ∂ =        ∂∂ ψ∂ 22 . (38) Таким образом, c учетом формы записи уравнения Лапласа для функции тока (34), соотношений (37) и условия, что координатная линия 0=ξ совпа- дает с поверхностью тела, задача нахождения разложения функции тока ψ в ряд по криволинейным координатам ηξ, с точностью до членов второго по- рядка формально эквивалентна задаче, рассмотренной в пункте 1 настоящей работы. В качестве пояснения данного рассуждения укажем, что на схеме, приведенной на рис. 2, можно заменить обозначение x на η , а y – на ξ . Ис- ходя из этого, немедленно получаем ( ) ξη=ηξψ C, , 0≠C , (39) откуда с учетом (38) следуют соотношения (31). Отметим, что приведенные в данном пункте рассуждения справедливы и в случае, если поверхность обтекаемого тела на рассматриваемом участке представляет собой дугу окружности и является вогнутой. Выводы. 12 1. На основе интегральной формулы Пуассона показано, что в случае плоского безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости справед- ливо следующее утверждение: если критическая точка расположена на пря- молинейном участке поверхности обтекаемого тела и в ней пересекаются только две линии тока ψ = 0, одна из которых совпадает с поверхностью те- ла, то разложение функции тока вблизи критической точки в ряд по декарто- вым координатам с точностью до членов второго порядка имеет вид ( ) Cxyyx =ψ , . При этом, в отличие от известного подхода к описанию данно- го течения, дополнительно показано, что константа C (значение смешанной производной yx∂∂ ψ∂2 в критической точке) отлична от нуля. 2. Предложена модификация полярной системы координат, на основе ис- пользования которой установлена справедливость приведенного выше ут- верждения в случае, когда участок поверхности обтекаемого тела, на котором расположена критическая точка, представляет собой дугу окружности. 3. Полученные результаты позволяют достаточно обоснованно задавать распределение скорости жидкости вблизи критических точек на поверхности профиля при решении обратных краевых задач гидродинамики решеток. 1. Елизаров А. М. Обратные краевые задачи аэродинамики. Теория и методы проектирования и оптимиза- ции формы крыловых профилей / А. М. Елизаров, Н. Б. Ильинский, А. В. Потапов. – Магадан, 2006. – 436 с. 2. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика: Пер. с англ. / Л. М. Милн-Томсон – М. : Мир, 1964 – 655 с. 3. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. в 10 т. Т. 6, Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц – М. : Наука, 1986. – 736 с. 4. Соломенцев Е. Д. Гармоническая функция / Е. Д. Соломенцев // Математическая энциклопедия. В 5 т. Т.1. – М. : Советская энциклопедия, 1977. – С. 875 – 879. 5. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1978. – 832 с. Институт технической механики Получено 26.05.08, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 8.01.09 Днепропетровск
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5581
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9184
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:59:05Z
publishDate	2009
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
record_format	dspace
spelling	Кваша, Ю.А. 2010-01-26T16:02:48Z 2010-01-26T16:02:48Z 2009 О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле / Ю.А. Кваша // Техн. механика. — 2009. — № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5581 532.51 В работе рассмотрен вопрос о разложении функции тока вблизи критической точки в ряд по координатам, адаптивным к поверхности тела, с точностью до членов второго порядка. Данный вопрос представляет практический интерес при решении обратных краевых задач гидродинамики решеток профилей. На основе интегральной формулы Пуассона показано, что в случае плоского безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости справедливо следующее утверждение: если критическая точка расположена на прямолинейном участке поверхности обтекаемого тела, и в ней пересекаются только две линии тока, одна из которых совпадает с поверхностью тела, то значение смешанной производной второго порядка по прямоугольным декартовым координатам в критической точке отлично от нуля. С использованием предложенной модификации полярной системы координат показана справедливость приведенного выше утверждения в случае, когда участок поверхности обтекаемого тела, на котором расположена критическая точка, представляет собой дугу окружности. У роботі розглянуто питання про розкладання функції току поблизу критичної точки в ряд по координатах, адаптивних до поверхні тіла, з точністю до членів другого порядку. Дане питання становить практичний інтерес при розв'язанні зворотних крайових задач гідродинаміки решіток профілів. На основі інтегральної формули Пуассона показано, що у випадку плоскої безвихрової течії ідеальної нестисливої рідини справедливо наступне твердження: якщо критична точка розташована на прямолінійній ділянці поверхні обтічного тіла, і в ній перетинаються тільки дві лінії току, одна з яких збігається з поверхнею тіла, то значення змішаної похідної другого порядку по прямокутних декартових координатах у критичній точці відмінно від нуля. З використанням запропонованої модифікації полярної системи координат показана справедливість наведеного вище твердження у випадку, коли ділянка поверхні обтічного тіла, на якому розташована критична точка, являє собою дугу окружності. The work deals with the problem on expansion of the stream function in the vicinity of a critical point in term of coordinates, which are adaptive for the body surface, to the second order terms. This problem is of practical interest to solve inverse boundary problems of the hydrodynamics of airfoils arranged in cascade. Based on the Poisson integral formula, it is shown that in case of a plane vortex-free flow of an ideal incompressible fluid it is correctly reasoned: if a critical point is located on a straight section of the streamlined body surface, and with only two streamlines at this point, one of which coincides with the body surface, the value of the mixed second derivative with respect to rectangular Cartesian coordinates at a critical point differs from zero. Using the proposed modification of the system at polar coordinates, the validity of above statement is demonstrated in case when the section of the streamlined body surface, on which a critical point is located, represents a segment of a circle. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле Article published earlier
spellingShingle	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле Кваша, Ю.А.
title	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле
title_full	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле
title_fullStr	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле
title_full_unstemmed	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле
title_short	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле
title_sort	о плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5581
work_keys_str_mv	AT kvašaûa oploskombezvihrevomtečeniiidealʹnoinesžimaemoižidkostivblizikritičeskoitočkinaobtekaemomtele

О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле

Institution

Similar Items