Математическое моделирование процессов кристаллизации металла
Исследуется пространственная задача Стефана с учетом конвективного движения и примесей в жидкой фазе. Получено уравнение свободной границы. Досліджується просторова задача Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній фазі. Доведено рівняння вільної границі. The three dimensiona...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56154 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла / А.С. Миненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 2. — С. 37-43. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860120636246982656 |
|---|---|
| author | Миненко, А.С. |
| author_facet | Миненко, А.С. |
| citation_txt | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла / А.С. Миненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 2. — С. 37-43. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | Исследуется пространственная задача Стефана с учетом конвективного движения и примесей в жидкой фазе. Получено уравнение свободной границы.
Досліджується просторова задача Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній фазі. Доведено рівняння вільної границі.
The three dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. Formula of free boundary equation is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:38:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 2’2010 37
1М
УДК 517.988
А.С. Миненко
Государственный университет информатики и искусственного интеллекта,
г. Донецк, Украина
minenko@iai.donetsk.ua
Математическое моделирование процессов
кристаллизации металла
Исследуется пространственная задача Стефана с учетом конвективного движения и примесей в жидкой
фазе. Получено уравнение свободной границы.
1. Работа посвящена изучению процессов кристаллизации двухкомпонентных сред
в случае, когда распространение тепла связано не только с теплопроводностью, но и
с конвективным переносом, присутствующим в жидкой фазе вещества. Рассматривае-
мая задача включает в себя как двухфазную задачу Стефана, так и начально-краевую
задачу для системы Навье-Стокса, описывающую движение вязкой несжимаемой жид-
кости в нецилиндрической области. При изучении задачи учитывается скачек плот-
ности вещества на границе раздела фаз.
Для описания поля скоростей в зоне поступления перегретого металла исполь-
зуется математическая модель затопленной струи вязкой жидкости, основанная на
известном в теоретической гидродинамике точном решении нелинейной системы диф-
ференциальных уравнений Навье-Стокса, а поскольку в затопленной струе переме-
шивание можно охарактеризовать так называемой свободной турбулентностью, ха-
рактеризующейся одним числовым параметром – коэффициентом «кажущейся», или
турбулентной, вязкости TV , полученные формулы можно интерпретировать как в ла-
минарном, так и в турбулентном приближениях.
Упомянутое решение системы Навье-Стокса имеет полярную особенность в на-
чале координат и обладает осевой симметрией, а его функциональная структура на
столько проста, что для соответствующего уравнения конвективной теплопередачи
удается получить решение с двумя произвольными вещественными параметрами, оп-
ределение которых приводит к полному описанию температурного поля в пределах
исследуемой зоны. В сферической системе координат ( ,r ,θ ,ϕ ) радиальная и азиму-
тальная компоненты скорости выражаются по формулам
( ),
sin
u f
r
ν θ
θ
′= ( ),
sin
V f
r
ν θ
θ
=
22sin( ) ,
1 cos
f
a
θθ
θ
=
+ −
в которых ν – кинематическая вязкость среды, а параметр а однозначно выражается че-
рез полный поток импульса Р рассматриваемой струйки, причем
216 1, 1a если Р
P
πν ρ
= − ,
4 2
2
552 , 1a если Р
P
ν β
= ,
где ρ – плотность жидкости. Полный поток импульса струи Р можно приближенно
посчитать по формуле
P GV∞= ,
Миненко А.С.
«Искусственный интеллект» 2’2010 38
1М
где G – количество поступающего расплавленного металла за одну секунду, а V∞ – аб-
солютное значение скорости движущегося вниз металла на оси кристаллизатора в точке
входа струйки в металлическую ванночку. Температурное поле описывается формулой
2
( , )
1 cos
B aТ r C
r a
σ
θ
θ
= + + −
,
в которой /сσ νρ λ= – число Прандтля, характеризующее свойство жидкой среды, а
В и С – вещественные параметры интегрирования, однозначно определяющиеся че-
рез тепловую интенсивность Q GcT∞= , нагретой до температуры T∞ струйки и число
Нуссельта 0 /Rω α λ= .
Вычисления показывают, что
2 1 1
1
В aС Т
R a R
σ
α
= + − +
o
,
где Т
o
– температура внешней относительна кристаллизатора среды, а постоянная В
в силу асимптотических соотношений определяется по формулам:
8 , 1
4 3 ( 2)
Q B если P
cv a a
σ
πρ
= +
,
2(1 ), 1
8
Q B а если P
cv
σ
πρ
= −
.
Каждая линия тока рассматриваемого поля скоростей имеет единственную бли-
жайшую к оси кристаллизатора точку и все такие точки лежат на одной и той же пря-
мой, имеющей некоторый угол наклона 0θ к оси симметрии, а вращение той прямой
вокруг оси описывает конус – боковую границу рассматриваемой зоны. Другим харак-
терным размером зоны является глубина *r жидкой ванночки вдоль оси кристаллиза-
тора. Как показывают непосредственные вычисления, 0θ и *r определяются из формул
0
1cos
1a
θ =
+
, * *
Br
T С
=
−
,
где *T – температура кристаллизации.
Для иллюстрации приведенных формул предположим, что высота шлаковой ван-
ночки равна 10 см, а плотность шлака в 2,5 раза меньше плотности металла, и поскольку
металл поступает в виде серии капель приблизительно 7 грамм (следовательно, и мас-
са капли равна кт ≈7 г), то каждая из них, если учитывать только силы тяжести и ар-
химедовы силы, в момент соприкосновения с зеркалом жидкого металла имеет ско-
рость около 110 см/с и несет импульс кР = 770 г см/с. Производительность печи в одну
тонну веса в час соответствует G = 280 грамм веса в секунду, следовательно, в одну
секунду выпадает около 40 капель, суммарный поток импульса которых равен прибли-
зительно Р = 43 10× г см/с 2 . И для того случая, когда все капли сливаются в сплошную
струйку вдоль оси кристаллизатора, несущую поток импульса Р = 43 10× г см/с2, и
для того случая, когда в некоторую точку за каждую секунду опускается одна капля
с импульсом кР = 770 г см/с, формула 0
1cos
1a
θ =
+
дает нулевой угол 0θ , следователь-
но, зона интенсивного перемешивания на значительной глубине жидкой металличес-
кой ванночки имеет вид цилиндра, радиус которого, как показывают наблюдения за
зоной интенсивного каплепадения, равен приблизительно одной трети радиуса электрода.
Математическое моделирование процессов кристаллизации металла
«Штучний інтелект» 2’2010 39
1М
Если считать, что металл поступает перегретым на 150 o С, так что его температу-
ра приблизительно равна 1650Т∞ =
o С, то по указанной выше формуле получаем теп-
ловую интенсивность 43,9 10Q = × кал/с. Пользуясь формулами, получаем * 7r R≈ ,
если при этом принять во внимание, что для расплавленных металлов молекулярная
вязкость приблизительно равна 35 10ν −= × см/с, а число Прандтля имеет близкое к 0,08
значение. Применительно к ЭШП полученная величина имеет условный характер,
прежде всего потому, что металл в этом случае поступает не в виде сплошной струйки,
а в виде серии капель. Применяя предыдущие формулы и расчеты к случаю, когда в
одну и ту же точку ежесекундно падает одна капля с указанными параметрами, полу-
чим * 0,17 8,5r R≈ ≈ см, то есть около одной пятой радиуса. Истинная глубина при ЭШП,
несомненно, больше, поскольку мы не учли теплопередачи к жидкому металлу со сто-
роны высокотемпературной шлаковой ванночки.
Существенную поправку к указанным величинам вносит эффект турбулентности,
который в рассматриваемом случае «свободной турбулентности» описывается коэф-
фициентом «кажущейся» вязкости ТV . Согласно известной формуле 311 10ТV K−= ⋅ ,
где РК
ρ
= – поток кинематического импульса. Для случая струйного течения получа-
ем ТV = 0,215, т.е. ТV ≈ 140ν , тогда, как в случае серии капель, весьма правдоподоб-
ным является соотношение ТV ≈ 10ν = 25 10−× см 2 /с.
Переходя к турбулентному переносу тепла, примем в соображение, что соответст-
вующий коэффициент вдвое превосходит коэффициент турбулентного переноса импульса.
Уравнение энергии в турбулентном потоке в этом случае характеризуется «кажущимся
коэффициентом теплопроводности» 2 TK V K= + , где K – «коэффициент молекулярной
температуропроводности», а соответствующее число Прандтля равно
( 2 )
T
Т
T
V
K V
σ =
+
.
В разобранных выше случаях имеем 0,5Тσ ≈ для струйки и 0,31Тσ ≈ для серии капель,
что в первом случае дает * 3,5r = см 27 10 R−= × , а во втором * 1, 2r ≈ см 22, 4 10 R−= × .
В условиях ЭШП эти величины увеличиваются из-за потока тепла со стороны ванноч-
ки жидкого шлака.
2. Пусть 0Ω – заданная область в 3R , граница которой состоит из двух замк-
нутых связанных гладких поверхностей 0
+Γ и 0
−Γ , не имеющих самопересечений.
Пусть, далее 0Γ – гладкая замкнутая поверхность, лежащая внутри 0Ω , такая, что 0
−Γ
лежит внутри ограниченной области, границей которой является 0Γ . Поверхность 0Γ
разбивает 0Ω на две подобласти 0
+Ω и 0
−Ω , которые в начальный момент t = 0 заня-
ты жидкой и твердой фазами соответственно. Будем обозначать через t
±Ω область
занятую жидкой (твердой) фазой в момент времени t. Заметим, что в процессе кри-
сталлизации проходит изменение границы 0
+Γ (это связано с тем, что жидкая и
твердая фазы имеют разные плотности), а граница 0
−Γ остается неизменной. Задача
состоит в определении областей t
+Ω и t
−Ω (т.е. границ t
+Γ и tΓ ), занимаемых твер-
дой и жидкой фазами соответственно в момент времени t [0, ]T∈ , вектора скорости
Миненко А.С.
«Искусственный интеллект» 2’2010 40
1М
1 2 3( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))V x t V x t V x t V x t=
ur
, давления ( , )р x t , концентрации примеси ( , )с x t , распре-
делений температур жидкой ( , )и x t+ и твердой ( , )и x t− фаз по следующим условиям:
2 2( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ;T
u x t V u x t a u x t x t D
t
+
+ + +
+
∂
+ ∇ − ∇ = ∈
∂
r
2 2( , ) ( , ) 0, ( , ) ,T
u x t a u x t x t D
t
−
− −
−
∂
− ∇ = ∈
∂
2( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) 0, ( , ) ,T
V x t V V x t p x t V x t f u c V x t x t D
t
ν + +∂
+ ∇ +∇ = ∇ + ∇ = ∈
∂
r
rr r r r
( ,0) ( ); ( , ) ( , ) ,V x C х T V p n q x t n= = −
ur ur ur r r
( , ) ; (1 ) ; 0,t n nx t V W Vτ
ρ
ρ
−
+
+∈Γ = − − = ( , ) ,tx t ∈Γ
( , ) ( , ),u x t B x t± ±= 0( , ) ;tx t + −∈Γ ∪Γ ( ,0) ( );u x A x± ±= (1)
* , ,n
u uu u T c k k W
n n
ε χρ
− +
+ − +
− +
∂ ∂
= = − − =
∂ ∂
( , ) ,tx t ∈Γ
2
0
( , ) ( ) ( , ) ( , ), ( , ) ; ( ,0) ( ),T
c x t V c x t c x t x t D с x g x
t
γ +∂
+ ∇ − ∇ ∈ =
∂
ur
( , ) ( , ), ( , ) ; , ( , ) .t n t
cc x t g x t x t сW x t
n
α β+ ∂
= ∈Γ − = ∈Γ
∂
Здесь {( , ) : , (0, )},T tD x t x t T± ±= ∈Ω ∈ 1 2 3( , , ) ,x x x x= t
±Ω – области соответственно жид-
кой и твердой фаз, ,t t
+ +∂Ω = Γ ∪Γ 0 ,t
− −∂Ω = Γ ∪Γ n
r
– нормаль к tΓ , направленная в
сторону t
+Ω ; *,T ,ν ,ε ,χ ,ρ+ ,ρ− α, β, γ, ,κ κ− + – положительные постоянные,
1 2 3
( , , ),
x x x
∂ ∂ ∂
∇ =
∂ ∂ ∂
( , )T V p
ur
– тензор напряжений с элементами ( ),ji
ij ij
j i
VVT p
x x
δ ν
∂∂
= − + +
∂ ∂
nW – скорость движения фронта кристаллизации в направлении нормали n
r
, nV и Vτ –
нормальная и тангенциальная составляющие V
ur
. Если *( , ) ( , ) ( , ) 0x t u x t c x t Tε±Φ = + − = –
уравнение поверхности tΓ , тогда / | |,n tW = −Φ ∇Φ ( )
| ( ) |
u cn
u c
ε
ε
±
±
∇ +
=
∇ +
r
.
Укажем, что условие Стефана можно представить также в виде: 2 2| |uκ κ−
− ∇ −
2 2 2 2| | 2 ( , ) 2 ( , ) ( ),t tu u c u c u uκ εκ εκ χρ κ κ+ − + + − +
+ − + − +− ∇ + ∇ ∇ − ∇ ∇ = + ( , ) tx t ∈Γ .
Предполагается, что 0
4( ) ( ),A x H α ++∈ Ω
0
2( ) ( ),C x H α+ +∈ Ω
22 ,
2
0( , ) ( tB x t H
αα +
+± + −∈ Γ ∪Γ ×
[0, ]),T× 1 2( , ) ( ),f u c C R+ ∈
ur
22 ,
2( , ) ( [0, ]),tg x t H T
αα +
+ +∈ Γ × 4
00 ( ) ( ).g x H α ++∈ Ω
ur
При этом
( , )g x t и ( , )
ixg x t должны быть функциями класса
11 , 32 ( [0, ])H R T
αα +
+
× . Предполагается
также выполненными условия согласования до первого порядка включительно, кото-
рые следуют из предположения существования гладкого решения и формулируются
аналогично [1, с. 268, с. 363].
Отметим, что при малых значениях t, задача (1) разрешима в классе гладких функ-
ций
22 ,
2 ( ),Tu H D
αα +
+± ±∈
22 ,
2 ( ),TV H D
αα +
+ ±∈
ur
22 ,
2 ( ),TC H D
αα +
+ ±∈
,
2 ( ),Tp H D
αα ±∇ ∈ а гра-
ницы t
+Γ и tΓ описываются функциями, принадлежащими классам
22 ,
2H
αα +
+
[2].
Математическое моделирование процессов кристаллизации металла
«Штучний інтелект» 2’2010 41
1М
Решение задачи (1) моделирует процесс кристаллизации вещества с учетом пе-
реноса примеси в жидкой фазе. При этом последнее условие в (1) следует из закона
Нернста, а ( , )f u с+
ur
описывает влияние неравномерного распределения температуры
и концентрации примеси на движение жидкости.
3. Известно, что свободные границы tΓ и t
+Γ можно представить в виде tΓ =
{ ( ) ( ) ( , )},x x n tω ω ρ ω= = +
r
* * *{ ( ) ( , ) ( )}t x x t nω η ω ω+Γ = = +
r
, где 1 2( , ),ω ω ω= * *
1( ,ω ω ω=
*
2 ),ω 0( )x ω ∈Γ , *
0( )x ω +∈Γ , ( , )tρ ω и *( , )tη ω – некоторые функции соответственно
классов
22 ,
2
0( [0, ])H T
αα +
+
Γ × и
22 ,
2
0( [0, ])H T
αα +
+ +Γ × , ( ,0) 0ρ ω = и *( ,0) 0η ω = [2].
Предложен метод решения задачи (1), состоящий в разложении решения в ряд
по степеням малых чисел ε :
0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
k
k
u x t u x u x tε ε
∞
± ± ±
=
= +∑ , 0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
k
k
p x t p x p x tε ε
∞
=
= +∑ ,
0
1
( , ; ) ( ) ( , ), 1, 2,3;k
i i ik
k
V x t V x V x t iε ε
∞
=
= + =∑
1
( , ; ) ( , ),k
k
k
t tρ ω ε ε ρ ω
∞
=
=∑ (2)
0
1
( , ) ( ) ( , )k
k
k
с x t c x c x tε
∞
=
= +∑ .
Для нулевого приближения 0 0 10 20 30( ), ( ) ( ( ), ( ), ( )),u x V x V x V x V x± =
uur
0Γ и 0 ( )с х из ус-
ловий (1) и разложения (2) вытекает следующая задача:
2
0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( , ),V V x p x V x f u cν∇ +∇ = ∇ +
uur uur uur uur
0 ,х +∈Ω
0 ( ) 0,V x∇ =
uur
0 ,х +∈Ω 0 0( , ) ( ) ,T V p n q x n= −
uur r r
0х +∈Γ , (1 ) ,n nV Wρ
ρ
−
+= − − 0,Vτ =
0;х∈Γ 2
0 0 0( ) 0,V u a u+ +
+∇ − ∇ =
uur
0 ,х +∈Ω 0 ( ) ( ),u x B x± ±= 0 0 ,х + −∈Γ ∪Γ (3)
*
0 0( ) ( ) ,u x u x Т− += = 0;х∈Γ 0 0 0,u uk k
n n
− +
− +
∂ ∂
− =
∂ ∂ 0 ,х∈Γ 2
0 0,и −∇ = 0 ,х −∈Ω
2
0 0 0( ) 0,V c cγ∇ − ∇ =
uur
0 ,х +∈Ω 0 0( ) ( ),с х g x= 0х +∈Γ ; 0 0,с
n
α ∂
− =
∂
0.х∈Γ
Здесь ради простоты предполагается, что функции B± и q зависят только от пе-
ременной х.
Лемма 1. Пусть функции 0 ( ) ( ),u x A x± ±= 0 ( ) ( ),V х С х=
uur ur
0 0( ) ( )с х g x= являются
решением задачи (3) соответственно в области 0
±Ω и 0
+Ω . Тогда эти функции можно
взять в качестве нулевого приближения задачи (1).
4. Далее, пусть
0 [0, ]TQ T± ±= Ω × , 0 0 [0, ]T T− −Γ = Γ × , 0 0 [0, ]T T+ +Γ = Γ × , 0 0 [0, ]T TΓ = Γ × .
Рассмотрим первое приближение 1 1 1 1 1( , , , , )V u p сρ±
ur
задачи (1) для малых чисел ε.
Миненко А.С.
«Искусственный интеллект» 2’2010 42
1М
Имеем:
2 ' '1
1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1
0 1 1 0 1
1
1 1 0
0
( ) ( ) ( , ) ( , ) , ( , ) ;
0, ( , ) ;
( , ) 0, , ( ,0) 0,
(1 ) , 0, ;
| |
u C T
T
t
n
V V V V V p V f u с u f u с с x t Q
t
V х t Q
T V V p n x V х
uV V х
u τ
ν
ρ
ρ
+ + + +
+
+
+−
+ +
∂
+ ∇ + ∇ +∇ = ∇ + + ∂
∇ = ∈
+ = ∈Γ =
= − = ∈Γ
∇
ur
uurur uur uur ur ur
ur
uur ur r ur (4)
2 2 2 21 1
1 0 0 1 1 1
1 0 0
1 1 1
1 1 1 0
( ) ( ) 0, ( , ) ; 0, ( , ) ,
( ,0) 0; ( , ) 0, ( , ) ,
, 2 ( , ) , ( , ) ;
T T
T T
T
u uV u V u a u x t Q а u x t Q
t t
u x u x t x t
u u cu u k k k f x t x t
n n n t
ρχρ
+ −
+ + + + − −
+ −
± ± − +
− +
± − +
− + −
∂ ∂
+ ∇ + ∇ − ∇ = ∈ + ∇ = ∈ ∂ ∂ = = ∈Γ ∪Γ
∂ ∂ ∂∂ = − + + = ∈Γ
∂ ∂ ∂ ∂
ur uur
(5)
21
1 0 0 1 1
1 1 0
1
2 0 2 0
0
0
1 1 0
( ) ( ) 0, ( , ) ,
( ,0) 0, ( , ) 0, ( , ) ,
( , ), ( , ) , ( , ) ,
| |
( ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) .
T
T
t
T
T
с V с V с с x t Q
t
с x с x t x t
uс f x t x t f x t с
n u
с х t с x t x t
п
γ
α
η ω
+
+
+
+
+
∂
+ ∇ + ∇ − ∇ = ∈ ∂
= = ∈Γ
∂
− = ∈Γ = ∂ ∇
∂
+ = ∈Γ ∂
ur uur
(6)
Зададим теперь 1( , )V V x t=
ur ur
. Затем решим задачу (5), (6) и найдем , ,u с ρ± . Пос-
ле чего заменим , ,u с ρ± – решением задачи (5), (6) и решим задачу (4), являющуюся
начально-краевой задачей для системы Навье-Стокса. Затем, используя новое
значение ( , )V x t , снова решаем задачу (5) и (6) и т.д. Таким образом, получим процесс
последовательных приближений. Доказательство сходимости этого процесса анало-
гично приведенному в работе [3]. При этом при заданном
22 ,
2
1 0( , ) ( )Tt H
αα
ρ ω
+
+
∈ Γ най-
дем функции
2 22 , 2 ,
2 2
1 1( , ; ) ( ), ( , ; ) ( ),T Tu x t H Q с x t H Q
α αα α
ρ ρ
+ +
+ +± ± ±∈ ∈ как единственное
решение задачи (5), (6) [1], причем 1( , )tρ ω находим как неподвижную точку сжимаю-
щегося оператора 1М : 1 1
1 1 1
0
1 ( 2 ( , )) ,
t u u CМ k k k f x t dt
n n n
ρ
χρ
− +
− + −+
∂ ∂ ∂
= − + +
∂ ∂ ∂∫ 0( ) Tx ω ∈Γ .
Имеют место следующие утверждения.
Лемма 2. Пусть выполнено условие 0 ( )| ( ) | g xA x
n
+ ∂
∇ =
∂
на 0Γ . Тогда оператор 1М ,
действующий из
22 ,
2
0( )ТH
αα +
+
Γ в
22 ,
2
0( )ТH
αα +
+
Γ , имеет там неподвижную точку.
Лемма 3. В качестве первого приближения задачи (1) можно взять решение за-
дачи (4) – (6): 1 1 1 1 1( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )u x t с x t V x t p x t x tρ±
ur
.
Математическое моделирование процессов кристаллизации металла
«Штучний інтелект» 2’2010 43
1М
Теорема. Пусть 0 ( ) 0g x
n
∂
≠
∂
на 0
+Γ . Тогда при малых числах ε и достаточно ма-
лых значениях t справедливы формулы:
1
0
( ( ), ): ( ) ( ), ( , )
| ( ( )) |t T
u x tx x n о x t
А x
ωω ε ε
ω
±
±Γ = − + ∈Γ
∇
r
,
* 1 0
0
0
( ( ), ) ( ( )) ( ( ), ): ( ) ( ), ( , )( ( ))t T
с x t g x g x tx x n о x tg x
n
ω ω ωω ε εω
+ ++ −
Γ = − + ∈Γ
∂
∂
r
,
где 1 ( , ),u x t± 1 ( , ),с x t 1 ( , )tρ ω , 1 ( , )tη ω – функции класса
22 ,
2H
αα +
+
, являющиеся ре-
шением задачи (4) – (6).
Литература
1. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / Ладыженская О.А.,
Солонников В.А., Уральцева Н.Н. – М. : Наука, 1967. – 756 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей / Миненко А.С. – К. : Наукова думка,
2005. – 341 с.
3. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной
свободной поверхностью / В.А. Солонников // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1977. – 41, № 6. –
С. 1388-1424.
4. Патон Б.Е. Избранные труды / Б.Е. Патон // Тр. Ин-та электросварки им. Е.О. Патона НАН Украи-
ны. – 2008. – 893 с.
О.С. Міненко
Математичне моделювання процесів кристалізації металу
Досліджується просторова задача Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній
фазі. Доведено рівняння вільної границі.
A.S. Minenko
Mathematical Modeling of the Processes Crystallization of Metal
The three dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. Formula of free boundary
equation is obtained.
Статья поступила в редакцию 02.03.2010.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56154 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:38:49Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миненко, А.С. 2014-02-12T18:25:40Z 2014-02-12T18:25:40Z 2010 Математическое моделирование процессов кристаллизации металла / А.С. Миненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 2. — С. 37-43. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56154 517.988 Исследуется пространственная задача Стефана с учетом конвективного движения и примесей в жидкой фазе. Получено уравнение свободной границы. Досліджується просторова задача Стефана з урахуванням конвективних рухів і домішок у рідинній фазі. Доведено рівняння вільної границі. The three dimensional convection Stefan problem in liquid phase is investigated. Formula of free boundary equation is obtained. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Алгоритмическое и программное обеспечение Математическое моделирование процессов кристаллизации металла Математичне моделювання процесів кристалізації металу Mathematical Modeling of the Processes Crystallization of Metal Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла Миненко, А.С. Алгоритмическое и программное обеспечение |
| title | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла |
| title_alt | Математичне моделювання процесів кристалізації металу Mathematical Modeling of the Processes Crystallization of Metal |
| title_full | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла |
| title_fullStr | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла |
| title_short | Математическое моделирование процессов кристаллизации металла |
| title_sort | математическое моделирование процессов кристаллизации металла |
| topic | Алгоритмическое и программное обеспечение |
| topic_facet | Алгоритмическое и программное обеспечение |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56154 |
| work_keys_str_mv | AT minenkoas matematičeskoemodelirovanieprocessovkristallizaciimetalla AT minenkoas matematičnemodelûvannâprocesívkristalízacíímetalu AT minenkoas mathematicalmodelingoftheprocessescrystallizationofmetal |