Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій
У статті досліджуються кубатурні формули обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційованих функцій. Інформація про функцію задана її слідами на взаємно-перпендикулярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки наближення. В статье...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56388 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 37-48. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56388 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. 2014-02-17T22:34:23Z 2014-02-17T22:34:23Z 2012 Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 37-48. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56388 621.391:517.518:510.52 У статті досліджуються кубатурні формули обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційованих функцій. Інформація про функцію задана її слідами на взаємно-перпендикулярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки наближення. В статье исследуются кубатурные формулы вычисления коэффициентов Фурье функций трех переменных на классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана её следами на взаимно-перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул. In the work, cubature formulas of calculation of 3D Fourier coefficients with using spline-interflatation were submitted. Cubature formulas are presented in the case when information about function is set of flats, set of lines and set of knots on one class of differentiable functions. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій Приближенное вычисление коэффициентов Фурье функций трех переменных на классе дифференцированных функций Calculation of 3D Fourier Coefficients on the Class of Differentiable Functions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій |
| spellingShingle |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| title_short |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій |
| title_full |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій |
| title_fullStr |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій |
| title_full_unstemmed |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій |
| title_sort |
наближене обчислення коефіцієнтів фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій |
| author |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| topic |
Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| topic_facet |
Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Штучний інтелект |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Приближенное вычисление коэффициентов Фурье функций трех переменных на классе дифференцированных функций Calculation of 3D Fourier Coefficients on the Class of Differentiable Functions |
| description |
У статті досліджуються кубатурні формули обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційованих функцій. Інформація про функцію задана її слідами на взаємно-перпендикулярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки наближення.
В статье исследуются кубатурные формулы вычисления коэффициентов Фурье функций трех переменных на классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана её следами на взаимно-перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул.
In the work, cubature formulas of calculation of 3D Fourier coefficients with using spline-interflatation were submitted. Cubature formulas are presented in the case when information about function is set of flats, set of lines and set of knots on one class of differentiable functions. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented.
|
| issn |
1561-5359 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56388 |
| citation_txt |
Наближене обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на класі диференційовних функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 37-48. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom nabliženeobčislennâkoefícíêntívfurêfunkcíitrʹohzmínnihnaklasídiferencíiovnihfunkcíi AT nečuivíterop nabliženeobčislennâkoefícíêntívfurêfunkcíitrʹohzmínnihnaklasídiferencíiovnihfunkcíi AT litvinom približennoevyčisleniekoéfficientovfurʹefunkciitrehperemennyhnaklassedifferencirovannyhfunkcii AT nečuivíterop približennoevyčisleniekoéfficientovfurʹefunkciitrehperemennyhnaklassedifferencirovannyhfunkcii AT litvinom calculationof3dfouriercoefficientsontheclassofdifferentiablefunctions AT nečuivíterop calculationof3dfouriercoefficientsontheclassofdifferentiablefunctions |
| first_indexed |
2025-11-26T22:33:03Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:33:03Z |
| _version_ |
1850774974627840000 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 1’2012 37
2Л
УДК 621.391:517.518:510.52
О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер
Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків, Україна
Україна, 61003, м. Харків, вул. Університетська, 16
Наближене обчислення коефіцієнтів
Фур’є функцій трьох змінних
на класі диференційовних функцій
O.N. Lytvyn, O.P. Nechuiviter
Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy
Ukraine, 61003, Kharkiv, Universytetska St., 16
Calculation of 3D Fourier Coefficients
on the Class of Differentiable Functions
О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер
Украинская инженерно-педагогическая академия, г. Харьков, Украина
Украина, 61003, г. Харьков, ул. Университетская, 16
Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
функций трех переменных на классе
дифференцированных функций
В статье исследуются кубатурные формулы вычисления коэффициентов Фурье функций трех переменных
на классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана её следами на взаимно-
перпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки
погрешности кубатурных формул.
Ключевые слова: коэффициенты Фурье функций трех переменных,
кубатурные формулы, интерфлетация функций.
In the work, cubature formulas of calculation of 3D Fourier coefficients with using spline-interflatation were
submitted. Cubature formulas are presented in the case when information about function is set of flats, set of
lines and set of knots on one class of differentiable functions. The estimations of error of approaching of the
cubature formulas are presented.
Key words: 3 D Fourier coefficients, cubature formulas, interflatation of functions.
У статті досліджуються кубатурні формули обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій трьох змінних на
класі диференційованих функцій. Інформація про функцію задана її слідами на взаємно-перпендикулярних
площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки наближення.
Ключові слова: коефіцієнти Фур’є функцій трьох змінних, кубатурні формули,
інтерфлетація функцій.
Вступ
Сучасні задачі цифрової обробки сигналів вимагають розв’язку за допомогою
інформаційних операторів різних типів. Це пов’язане з тим, що як дані можуть бути
значення функції у вузлових точках, сліди функції на лініях або площинах, інтеграли
від наближуваної функції вздовж вибраної системи ліній або площин, що перетинають
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 1’201238
2Л
досліджуваний об’єкт. Ефективним у вирішені таких задач став апарат інтерлінації
та інтерфлетації функцій [1]. Зокрема, в [2] на класі Ліпшиця був представлений ал-
горитм побудови кубатурних формул з використанням кусково-сталої інтерфлетації
у випадку, коли як дані задані сліди функції на взаємноперпендикулярних площинах.
У [3], [4] був викладений загальний підхід до побудови операторів фінітного триви-
мірного дискретно-неперервного і дискретного перетворення Фур’є на основі методу
Файлона, трилінійних сплайнів (лінійних за кожною змінною) та сплайн-інтерфлетації
на класі диференційовних функцій у випадку, коли задані значення функції у вузлах.
У [5], [6] наведений алгоритм для отримання більш точної оцінки похибки наближення
3 D коефіцієнтів Фур’є кубатурними формулами, що у своїй побудові використовують
оператори сплайн-інтерфлетації.
Метою даної роботи є представлення та дослідження кубатурних формул на-
ближеного обчислення 3 D коефіцієнтів Фур’є у випадках, коли як дані задані значення
функції у вузлах, сліди функції на взаємноперпендикулярних лініях, на взаємно-
перпендикулярних лініях площинах на класі дійсних функцій трьох змінних, визначених
на 30 ,1G і т а к и х , щ о ,0 ,0 ( , , )rf x y z M , 0 , ,0 ( , , )rf x y z M , 0 ,0 , ( , , )rf x y z M ,
, ,0 ( , , )r rf x y z M , ,0 , ( , , )r rf x y z M , 0 , , ( , , )r rf x y z M , , , ( , , )r r rf x y z M , 1, 2r .
Д л я к у б а т у р н и х ф о р м у л з а в ж д и є а к т у а л ь н и м п и т а н н я їх я к о с т і [ 7 ] . Т о м у в а ж -
л и в и м є п и т а н н я о т р и м а н н я о ц ін о к п о х и б к и н а б л и ж е н о г о о б ч и с л е н н я , з о к р е м а і н о в и м и
м е т о д а м и . Д л я д о с я г н е н н я м е т и п о с т а в л е н а т а к а з а д а ч а . П о б у д у в а т и к у б а т у р н і ф о р -
м у л и н а б л и ж е н о г о о б ч и с л е н н я 3 D к о е ф іц іє н т ів Ф у р ’є
1 1 1
3
1
0 0 0
( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2I m n p f x y z mx ny pzdxdydz ,
1 1 1
3
2
0 0 0
( , , ) ( , , )co s 2 co s 2 co s 2I m n p f x y z mx ny pzdxdydz ,
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzI m n p f x y z e e e dxdydz ,
н а о сн о в і сп л ай н -ін т е р ф л ет ац ії ф ун к ц ій у в и п ад к у р ізн и х ін ф о р м ац ій н и х о п ер а т о р ів : п р и
д ан и х – сл ід ах ф ун к ц ії н а в з а є м н о п ер п ен д и к ул я р н и х п л о щ и н ах , л ін ія х , зн а ч ен н я х ф ун к ц ії
у в у з л а х . О т р и м а т и о ц ін к у п о х и б к и н а б л и ж е н н я з а п р о п о н о в а н и х к у б а т у р н и х ф о р м у л .
1 О п е р а т о р и с п л а й н - ін т е р п о л я ц і ї ,
с п л а й н - ін т е р л ін а ц і ї т а с п л а й н - ін т е р ф л е т а ц і ї
В в е д е м о п о з н а ч е н н я :
1
0 1
10
1
, ,
( )
0, ,
x x
x x x
h x
x x
1
1
1
0, ,
( )
, ,
x x
h x x x
x x x
Наближене обчислення теореми Фур’є функцій трьох змінних...
«Штучний інтелект» 1’2012 39
2Л
1
1
1
1
1
1
0, ,
, ,
( )
, ,
0, ,
k
k
k k
k
k
k k
k
x x
x x
x x x
h x
x x
x x x
x x
1
1, 1, ,kk x k
,
1
0 1
110
1
, ,
( )
0, ,
x x
x x x
h x
x x
3/2
3/2
3/2 3/2
1
1
1
0, ,
( )
, ,
x x
h x x x
x x x
1
1
1
1
1
1
1
1
0, ,
, ,
( )
, ,
0, ,
k
k
k k
k
k
k k
k
x x
x x
x x x
h x
x x
x x x
x x
3/2
1 1 3/2
1
1, 1, ,kk x k
,
1
0 1
210
1
, ,
( )
0, ,
x x
x x x
h x
x x
3
3
3 3
1
1
1
2
0, ,
( )
, ,
x x
h x x x
x x x
1
1
2
1
1
1
2
1
0, ,
, ,
( )
, ,
0, ,
k
k
k k
k
k
k k
k
x x
x x
x x x
h x
x x
x x x
x x
3
2 2 3
1
1, 1, ,kk x k
.
Аналогічно визначаються функції
1. 2 3( ), 0, , ( ), 0, ,j sh y j h z s 1
, ,j sy j z s
;
2. 3/ 2
2 ( ) 0, ,jh y j 3/ 2
3 ( ) 0, ,sh z s 1 1 1 3/ 2
1
, ,sjy j z j
;
3. 3
2 ( ) 0, ,jh y j 3
3 ( ) 0, ,sh z s 2 2 2 3
1
, ,sjy j z s
.
Розглянемо оператори:
1 1
0
( , , ) ( , , ) ( )k k
k
O f x y z f x y z h x
, 2 2
0
( , , ) ( , , ) ( )j j
j
O f x y z f x y z h y
,
3 3
0
( , , ) ( , , ) ( )s s
s
O f x y z f x y z h z
,
3/ 2
1 1
0
( , , ) ( , , ) ( )k k
k
O f x y z f x y z h x
,
3/2
2 2
0
( , , ) ( , , ) ( )j j
j
O f x y z f x y z h y
,
3/ 2
3 3
0
( , , ) ( , , ) ( )s s
s
O f x y z f x y z h z
,
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 1’201240
2Л
3
1 1
0
( , , ) ( , , ) ( )k k
k
O f x y z f x y z h x
,
3
2 2
0
( , , ) ( , , ) ( )j j
j
O f x y z f x y z h y
,
3
3 3
0
( , , ) ( , , ) ( )s s
s
O f x y z f x y z h z
.
Означення 1. Під слідом функції ( , , )f x y z на лініях розуміємо
( , , ), 0 1k jf x y z z , ( , , ), 0 1k sf x y z y , ( , , ), 0 1j sf x y z x .
Означення 2. Під слідом функції ( , , )f x y z на площинах розуміємо
( , , ), 0 1, 0 1kf x y z y z , ( , , ), 0 1, 0 1jf x y z x z , ( , , ), 0 1, 0 1sf x y z x y .
Лема 1. [1] Оператор сплайн-інтерфлетації
1 2 3( , , ) , , , , , ,Of x y z O f x y z O f x y z O f x y z
1 2 2 3 1 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z
має властивість
3
1
( , , ) ( , , )
r
f x y z Of x y z O
.
Лема 2. [1] Оператор сплайн-інтерлінації, побудований на основі інтерфлетації
1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 3, , , , , , , , , , , ,Of x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z O O f x y z O O f x y z
2 1 3 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , ,O O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z
1 2 1 3 2 3 1 2 3, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z
має властивість
3
1
( , , ) ( , , )
r
f x y z Of x y z O
.
Лема 3. [1] Оператор сплайн-інтерполяції, побудований на основі інтерфлетації
1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3( , , ) , , , , , , , ,Of x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z
2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1 3 1 2, , , , , , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z
zyxfOOOzyxfOOOzyxfOOOzyxfOOO ,,,,,,,, 321132231321
має властивість
3
1
( , , ) ( , , )
r
f x y z Of x y z O
.
Нехай
1
1
1
1 1
1
1
1
, ,
1 !
, ,
, ,
1 !
r
kk
k
k k
k r
kk
k
k k
xx x
x x
x x r
G x r
xx x
x x
x x r
1
1
1
1 1
1
1
1
, ,
1 !
, ,
, ,
1 !
r
kk
k
k k
k r
kk
k
k k
xx x
x x
x x r
G x r
x x x
x x
x x r
1
1
1
1 1
1
1
1
, ,
1 !
, ,
, ,
1 !
r
kk
k
k k
k r
kk
k
k k
xx x
x x
x x r
G x r
xx x
x x
x x r
Наближене обчислення теореми Фур’є функцій трьох змінних...
«Штучний інтелект» 1’2012 41
2Л
а функції 2 22, , , , , , , ,j jjG y r G y r G y r , 3 3, , , , , ,s sG z r G z r 3 , ,sG z r , 1, 2r
визначаються аналогічно.
Лема 4. [1] Справедливі наступні рівності
1. ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z
11 1
, .
1 2 3( , , ) , , , , , ,
jk s
k j s
yx z
r r r
k j s
x y z
f G x r G y r G x r d d d
;
2. 1 1 2 1 3 1 2 3 , ,O O O O O O O O f x y z
1 1
0, ,
2 3( , , ) ( , , ) ( , , )
j s
j
sj
y z
r r
k s
y z
f x G y r G z r d d
;
3. 1
,0,0
1 2 1 2 3 1, , ( , , ) ( , , )
k
k
x
r
j s k
x
O O O O O f x y z f y z G x r d
.
Лема 5. [8] Справедливі наступні нерівності
1 1 1
1
2
, ,
( 2)!
k k
k k
x x r
x x
G x r d dx
r
,
1 1
2 , ,
j j
j j
y y
j
y y
G y r d dy
12
( 2)!
r
r
,
1 1
3 , ,
s s
s s
z z
s
z z
G z r d dz
12
( 2)!
r
r
.
2 Кубатурна формула обчислення 3 D коефіцієнтів Фур’є
з використанням операторів сплайн-інтерфлетації
Для обчислення інтегралів 3 ( , , ), 1, 2,3I m n p пропонуються формули:
1 1 1
3
1
0 0 0
, , ( , , )sin2 sin2 sin2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz ,
1 1 1
3
2
0 0 0
( , , ) ( , , ) s2 s2 cos2m n p Of x y z co mxco ny pzdxdydz ,
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
( , , ) ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz .
Підставимо вираз для оператора сплайн-інтерфлетації та отримаємо відповідні
кубатурні формули, наприклад:
11 1 1
3
11
00 0
( , , ) ( , , ) sin2 sin2 sin2
k
k
x
k k
k x
m n p f x y z h x mxdx nydy pzdz
11 1 1
2
00 0
( , , ) sin2 sin2 sin2
j
j
y
j j
j y
f x y z h y nydy mxdx pzdz
11 1 1
3
00 0
( , , ) sin2 sin2 sin2
s
s
z
s s
s z
f x y z h z pzdz nydy mxdx
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 1’201242
2Л
111 1 1
1 2
0 00
( , , ) sin 2 sin 2 sin 2
jk
k j
yx
k j k j
k j x y
f x y z h x mxdx h y nydy pzdz
1 11 1 1
1 3
0 00
( , , ) sin2 sin2 sin2
k s
k s
x z
k s k s
k s x z
f x y z h x mxdx h z pzdz nydy
1 11 1 1
2 3
0 00
( , , ) sin 2 sin 2 sin 2
j s
j s
y z
j s j s
j s y z
f x y z h y nydy h z pzdz mxdx
11 11 1 1
1 2 3
0 0 0
( , , ) sin2 sin2 sin2
jk s
k j s
yx z
k j s k j s
k j s x y z
f x y z h x mxdx h y nydy h z pzdz
.
Теорема 1. Для кубатурної формули 3
1 , ,m n p обчислення 3
1 , ,I m n p справедлива
така оцінка: 3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p
3 3
8
( 2)! r
M
r
.
Доведення. Маємо таку оцінку:
3 3
1 1, , , ,I m n p m n p
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2f x y z Of x y z mx ny pzdxdydz
11 11 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) sin2 sin2 sin2
jk s
k j s
yx z
k j s x y z
f x y z Of x y z mx ny pzdxdydz
1 11 1 1 11 1 1
, .
0 0 0
( , , )
j jk s k s
k j s k j s
y yx z x z
r r r
k j s x y z x y z
f
1 2 3, , , , , ,k j sG x r G y r G x r d d d dxdydz
.
)!2(
~
8
)!2(
8~
)!2(
2
)!2(
2
)!2(
2~
333
3111
0
1
0
11
0
r
rrr
k j
r
s r
M
r
M
rrr
M
Теорема доведена.
3 Кубатурна формула обчислення 3 D коефіцієнтів
Фур’є з використанням операторів сплайн-інтерлінації,
побудованих на основі інтерфлетації
Для обчислення інтегралів 3( , , ), 1,2,3I m n p пропонуються формули:
1 1 1
3
1
0 0 0
, , ( , , )sin2 sin2 sin2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz ,
1 1 1
3
2
0 0 0
, , ( , , )cos2 cos2 cos2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz ,
Наближене обчислення теореми Фур’є функцій трьох змінних...
«Штучний інтелект» 1’2012 43
2Л
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
, , ( , , ) i mx i ny i pzm n p Of x y z e e e dxdydz .
Теорема 2. Для кубатурної формули 3
1 , ,m n p обчислення 3
1 , ,I m n p справед-
лива така оцінка: 3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p
3 2 3
8 1 2 1
( 2 ) ! ( 2 ) ! r
M M
r r
.
Д о в е д е н н я . О ц ін и м о п о х и б к у н а б л и ж е н н я
1 1 1
3 3
1 1
0 0 0
( , , ) , , ( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2I m n p m n p f x y z Of x y z mx ny pzdxdydz
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) sin 2 sin 2 sin 2f x y z Of x y z Of x y z Of x y z mx ny pzdxdydz
3 3 3 3
1 1 1 1( , , ) , , ( , , ) , ,I m n p m n p m n p m n p
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z dxdydz Of x y z Of x y z dxdydz .
За теоремою 1
3 3
1 1 3 3
8
, , , ,
( 2)! r
M
I m n p m n p
r
. Знайдемо оцінку
3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n p :
3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n p
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )Of x y y O f x y z dxdydz
1 1 1
1 2 3
0 0 0
, , , , , ,O f x y z O f x y z O f x y z
1 2 1 3 1 2 3 2 1, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O O f x y z O O f x y z
2 3 2 1 3 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , , , ,O O f x y z O O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O O f x y z dxdydz
1 1 1
1 1 2 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 2 1 3
0 0 0
, , , ,O O O O O O O O f x y z O O O O O O O O f x y z
3 3 1 3 2 3 1 2 , ,O O O O O O O O f x y z dxdydz
1 1 1
1 1 2 1 3 1 2 3
0 0 0
, ,O O O O O O O O f x y z dxdydz
1 11
2 2 1 2 3 2 1 3
0 00
, ,O O O O O O OO f x y z dxdydz
1 11
3 3 1 3 2 3 1 2
0 00
, ,O O O O O O O O f x y z dxdydz
3/ 2 3/ 2 1 11 1 11 1 1
0, ,
0 0 0
( , , )
j jk s s
k s sj j
y yx z z
r r
k
k j s x y z y z
f x
2 3( , , ) ( , , )
j sG y r G z r d d dxdydz
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 1’201244
2Л
3/2 3/2 11 1 1 11 1 1
,0,
0 00
( , , )
jk s k s
j s sk k
yx xz z
r r
j
j sk x y z x z
f y
31 ( , , ) ( , , )skG x r G z r d d dxdydz
3/2 3/2 1 11 1 11 1 1
, ,0
0 00
( , , )
j jk s k
sj jk k
y yx xz
r r
s
s jk x y z x y
f z
21 ( , , ) ( , , )jkG x r G y r d d dxdydz
1 1 1 1
3/2 3/2 3/2 3/21 1 1 12 2 2 2
( 2)!( 2)! ( 2)!( 2)!
r r r r
M M
r r r r
1 1
3/ 2 3/ 2 1 12 2
( 2)! ( 2)!
r r
M
r r
2
21 1
12 2 3/2 2 3
12 12 1 12 1
12
( 2)!( 2)! ( 2)! ( 2)! ( 2)!
rr r
r
r
M M M
M
r r r r r
.
Отже, 3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p
3 3
8
( 2)! r
M
r
+
2 3
1 2 1
( 2 ) ! r
M
r
=
3 2 3
8 1 2 1
( 2 ) ! ( 2 ) ! r
M M
r r
.
Т е о р е м а д о в е д е н а .
4 К у б а т у р н а ф о р м у л а о б ч и с л е н н я 3 D к о е ф і ц і є н т і в
Ф у р ’ є з в и к о р и с т а н н я м о п е р а т о р і в с п л а й н - і н т е р п о л я ц і ї ,
п о б у д о в а н и х н а о с н о в і і н т е р ф л е т а ц і ї
Д л я о б ч и с л е н н я і н т е г р а л і в 3 ( , , ) , 1 , 2 , 3I m n p п р о п о н у ю т ь с я ф о р м у л и :
1 1 1
3
1
0 0 0
, , ( , , )sin2 sin2 sin2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz ,
1 1 1
3
2
0 0 0
, , ( , , )cos2 cos2 cos2m n p Of x y z mx ny pzdxdydz ,
1 1 1
3 2 2 2
3
0 0 0
, , ( , , ) i mx i ny i pzmn p Of x y z e e e dxdydz .
Теорема 3. Для кубатурної формули 3
1 , ,m n p обчислення 3
1 , ,I m n p справедлива
така оцінка:
3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p
3 2 3
8 1 2 1 8 1
( 2 ) !( 2 ) ! ( 2 ) ! r
M M M
rr r
.
Д о в е д е н н я . О ц і н и м о п о х и б к у н а б л и ж е н н я 3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p :
Наближене обчислення теореми Фур’є функцій трьох змінних...
«Штучний інтелект» 1’2012 45
2Л
1 1 1
3 3
1 1
0 0 0
( , , ) , , ( , , ) ( , , ) sin2 sin2 sin2I m n p m n p f x y z Of x y z mx ny pzdxdydz
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z Of x y z Of x y z Of x y z Of x y z
sin2 sin 2 sin2mx ny pzdxdydz
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1( , , ) , , ( , , ) , , , , ( , , )I m n p m n p m n p m n p m n p m n p
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z Of x y z dxdydz Of x y z Of x y z dxdydz
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )Of x y z Of x y z dxdydz .
За теоремою 1 та за теоремою 2 маємо:
3 3
1 1, , , ,I m n p m n p 3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n p
3 2 3
8 1 2 1
( 2 ) ! ( 2 ) ! r
M M
r r
.
З н а й д е м о о ц ін к у 3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n p :
3 3
1 1( , , ) , ,m n p m n p
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , ) sin2 sin2 sin2O x y z Of x y z mx ny pzdxdydz
1 1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )Of x y y Of x y z dxdydz
1 1 1
1 2 1 3 2 1 2 3
0 0 0
, , , , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z O O f x y z
3 1 3 2, , , ,O O f x y z O O f x y z 1 2 1 3 2 3, , , , , ,O O f x y z O O f x y z O O f x y z
1 2 2 3 1 3, , , , , ,OO f x y z O O f x y z OO f x y z 1 2 3 1 3 2, , , ,O O O f x y z O O O f x y z
2 1 3 2 3 1, , , ,O O O f x y z O O O f x y z 3 1 2 3 2 1, , , ,O O O f x y z O O O f x y z
1 2 3 1 3 2 2 3 1, , , , , ,O O O f x y z O O O f x y z O O O f x y z dxdydz
1 11
1 2 1 2 3
0 00
, ,OO OO O f x y z dxdydz dxdydzzyxfOOOOO ,,
~~
23131
1
0
1
0
1
0
1 11
2 1 2 1 3
0 00
, ,O O O O O f x y z dxdydz
1 11
2 3 2 3 1
0 00
, ,O O O O O f x y z dxdydz
1 1 1
3 1 3 1 2
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz
1 11
3 2 3 2 1
0 00
, ,O O O O O f x y z dxdydz
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 1’201246
2Л
1 1 1
1 2 1 2 3
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz
1 11
1 3 1 3 2
0 00
, ,O O O O O f x y z dxdydz
1 1 1
2 3 2 3 1
0 0 0
, ,O O O O O f x y z dxdydz
3/ 2 3 11 1 11 1 1
0,0,
3
0 0 0
( , , ) ( , , )
jk s s
k s sj
yx z z
r
k sj
k j s x y z z
f x y G z r d dxdydz
3/2 3 1 11 11 1 1
0, ,0
2
0 0 0
( , , ) ( , , )
j jk s
k s j j
y yx z
r
k s j
k s j x z y y
f x z G y r d dxdydz
3/2 3 11 1 11 1 1
0,0,
3
0 00
( , , ) ( , , )
jk s s
j s sk
yx z z
r
j sk
j sk x y z z
f x y G z r d dxdydz
3/2 3
1 1 11 1 1
,0,0
1
0 0 0
( , , ) ( , , )
jk s k
s jk k
yx xz
r
j s k
j s k x z y x
f y z G x r d dxdydz
3/ 2 3 1 111 1 1
0, ,0
2
0 00
( , , ) ( , , )
j jk s
s j jk
y yx z
r
s jk
s jk x z y y
f x z G y r d dxdydz
3/2 3 11 1 11 1 1
,0,0
1
0 0 0
( , , ) ( , , )
jk s k
s jk k
yx xz
r
sj k
s j k x z y x
f y z G x r d dxdydz
3 3 11 1 11 1 1
0,0,
3
0 0 0
( , , ) ( , , )
jk s s
k j s s
yx z z
r
k j s
k j s x y z z
f x y G z r d dxdydz
3 1 11 11 1 1
0, ,0
2
0 0 0
( , , ) ( , , )
j jk s
k s j j
y yx z
r
k s j
k s j x z y y
f x z G y r d dxdydz
3 3
1 1 11 1 1
,0,0
1
0 0 0
( , , ) ( , , )
jk s k
s jk k
yx xz
r
j s k
j s k x z y x
f y z G x r d dxdydz
1
3/ 2 3 2
1
2
3
( 2)!
r
M
r
1 1
3/2 3 32 2
1
2 2
3 3
( 2)! ( 2)!
r r
M M
r r
2 2 2
3 3
2 2 2 6 3 18
3 3 3
( 2)! ( 2)! ( 2)! ( 2)! ( 2)!
r r r
r r
M M
M M M
r r r r r
.
Отже, 3 3
1 1( , , ) , ,I m n p m n p
3 2 3
8 1 2 1 8 1
( 2 ) !( 2 ) ! ( 2 ) ! r
M M M
rr r
. Т е о р е м а д о в е д е н а .
Наближене обчислення теореми Фур’є функцій трьох змінних...
«Штучний інтелект» 1’2012 47
2Л
Висновки
У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3 D
коефіцієнтів Фур’є з використанням операторів сплайн-інтерфлетації на класі функцій,
визначених на 30 ,1G і т а к и х , щ о ,0 , 0 ( , , )rf x y z M , 0 , ,0 ( , , )rf x y z M ,
0 , 0 , ( , , )rf x y z M , , , 0 ( , , )r rf x y z M , ,0 , ( , , )r rf x y z M , 0 , , ( , , )r rf x y z M ,
, , ( , , )r r rf x y z M , 1 , 2r . Ін ф о р м а ц ія п р о ф у н к ц ію за д а н а с л ід а м и н а с и с т е м і
в за є м н о -п е р п е н д и к у л я р н и х п л о щ и н , с л ід а м и н а с и с т е м і в з а є м н о -п е р п е н д и к у л я р н и х
л ін ій т а з н а ч е н н я м и ф у н к ц і ї у в у з л о в и х т о ч к а х . У в с іх в и п а д к а х о т р и м а н а о ц ін к а
п о х и б к и н а б л и ж е н н я 3 D к о е ф іц іє н т ів Ф у р ’є к у б а т у р н и м и ф о р м у л а м и .
Т е с т у в а н н я т а а н а л із з а п р о п о н о в а н и х к у б а т у р н и х ф о р м у л б у д е р о з г л я н у т и й у
н а с т у п н и х с т а т т я х . П и т а н н я я к о с т і к у б а т у р н и х ф о р м у л , т о б т о ч и є п о б у д о в а н і к у б а -
т ур н і ф о р м ул и о п ти м ал ь н и м и а б о б л и зь к и м и д о н и х , б уд е н а ст уп н и м ет а п о м д о сл ід ж ен ь .
Л іт е р а т у р а
1 . Л и тв и н О .М . Ін те р л ін а ц ія ф ун к ц ій та д е я к і її зас то с ув а н н я / Л и тв и н О .М . – Х а р к ів : О с н о в а , 2 0 0 2 . – 5 4 4 с .
2 . Л и т в и н О .М . П о т р ій н і ін т е г р а л и в ід щ в и д к о о с ц и л ю ю ч и х ф у н к ц ій н а к л а с і 3
2 , , ,L L LC т а ін т е р ф л е т а ц ія
ф у н к ц ій / О .М . Л и т в и н , О .П . Н е ч у й в іт е р / / І н ф о р м а т и к а т а с и с т е м н і н а у к и ( І С Н -2 0 1 0 ) : м а т е р іа л и
В с е у к р а їн с ь к о ї к о н ф е р е н ц ії , 1 8 – 2 0 б е р е з н я 2 0 1 0 р . / з а р е д . д .ф .-м .н , п р о ф . О .О . Є м ц я . – П о л т а в а :
Р В В П У С К У , 2 0 1 0 . – С . 1 0 8 -1 1 0 .
3 . Л и т в и н О .М . О п е р а т о р и ф ін іт н о г о т р и в и м ір н о г о п е р е т в о р е н н я Ф у р ’є / О .М . Л и т в и н , В .М . У д о в и -
ч е н к о / / Р а д и о э л е к т р о н и к а и и н ф о р м а т и к а . – 2 0 0 4 . – № 4 ( 2 9 ) . – С . 1 3 0 -1 3 3 .
4 . Л и т в и н О .М . Т р и в и м ір н і ф ін іт н і п е р е т в о р е н н я Ф у р ’є т а Х а р т л і з в и к о р и с т а н н я м ін т е р ф л е т а ц ії
ф у н к ц ій / О .М . Л и т в и н , В .М . У д о в и ч е н к о / / В е с т н и к Н а ц и о н а л ь н о г о т е х н и ч е с к о г о у н и в е р с и т е т а
« Х П И » . С б о р н и к н а у ч ы х т у д о в . Т е м а т и ч е с к и й в ы п у с к : А в т о м а т и к а и п р и б о р о с т р о е н и е . – 2 0 0 5 . –
В ы п . 3 8 . – С . 9 0 -1 3 0 .
5 . Л и т в и н О .М . І н т е р ф л е т а ц ія ф у н к ц ій п р и р о з в ’я з у в а н н і т р и в и м ір н о ї з а д а ч і т е п л о п р о в ід н о с т і /
О .М . Л и т в и н , Л .І . Г у л ік . – К и їв : Н а у к о в а д у м к а , 2 0 1 1 . – 2 1 0 с .
6 . Н е ч у й в іт е р О .П . П р о п о х и б к у н а б л и ж е н о г о о б ч и с л е н н я 3 D к о е ф іц іє н т ів Ф у р ’є к у б а т у р н и м и ф о р -
м у л а м и з в и к о р и с т а н н я м ін т е р п о л я н т а , п о б у д о в а н о г о н а о с н о в і с п л а й н - ін т е р ф л е т а н т а / О .П . Н е ч у й -
в іт е р / / П р а ц і м іж н а р о д н о ї м о л о д іж н о ї м а т е м а т и ч н о ї ш к о л и « П и т а н н я о п т и м із а ц і ї о б ч и с л е н ь
( П О О -X X X V I I ) » . – К и їв : І н с т и т у т к іб е р н е т и к и ім е н і В .М . Г л у ш к о в а Н А Н У к р а їн и , 2 0 1 1 . – С . 1 3 3 .
7 . З а д и р а к а В .К . Ц и ф р о в а я о б р а б о т к а с и г н а л о в / В .К . З а д и р а к а , С .С . М е л ь н и к о в а . – К и е в : Н а у к о в а
Д у м к а , 1 9 9 3 . – 2 9 4 с .
8 . Л и тв и н О .М . К у б а т у р н а ф о р м у л а д л я о б ч и с л е н н я 2 D к о е ф іц іє н т ів Ф у р ’є з в и к о р и с та н н я м ін те р л ін а ц ії
ф ун к ц ій / О .М . Л и тв и н , О .П . Н е ч уй в ітер // В іс н и к Х ар к івс ь ко го н а ц іо н а л ь н о го ун ів ер с и тет у ім . В .Н . К а -
р аз ін а . З б ір н и к н а у к о в и х п р а ц ь . С е р ія : М а те м а т и ч н е м о д е л ю в а н н я . Ін ф о р м а ц ій н і те х н о л о г ії. А в то м а -
ти зо в а н і с и с т е м и у п р а в л ін н я . – 2 0 1 0 . – № 9 2 6 . – С . 1 5 3 -1 6 0 .
L іte ra tu ra
1 . L y tv y n O .M . І n te r l іn a c і j a fu n k c і j ta d e ja k і i i z a s to s u v a n n ja . H a r k іv : O s n o v a . 2 0 0 2 . 5 4 4 s .
2 . L y tv y n O .M ., N e c h u jv і te r O .P . І n fo r m a ty k a ta s y s te m n і n a u k y ( І S N -2 0 1 0 ) : m a te r іa ly V s e u k r a in s ’k o ї
k o n fe r e n c і i 1 8 -2 0 b e r e z n ja 2 0 1 0 r . P o l ta v a : R V V P U S K U . 2 0 1 0 . S . 1 0 8 -1 1 0 .
3 . L ytv yn O .M . R ad io je lek tro n ika i in fo rm atika № 4 (2 9). 2 004 . H ar’ko vsk ij nac io na l’nyj un iversite t rad io jelek tro n ik i.
S . 1 30 -133 .
4 . L y v y n O .M ., U d o v ic h e n k o V .M . V e s tn ik N a c io n a l’n o g o te h n ic h e sk o g o u n iv e rs ite ta “H P I” . S b o rn ik n a u c h y h
tu d o v . T e m a tic h e sk ij v y p u sk , “ A v to m a tik a i p rib o ro s tro e n ie ” . 3 8 ’. 2 0 0 5 , H a r’k o v . 2 0 0 5 . S . 9 0 -1 3 0 .
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 1’201248
2Л
5. Lytvyn O.M., Gulіk L.І. Іnterfletacіja funkcіj pri rozv’jazuvannі tryvymіrnoi zadachі teploprovіdnostі.
Kiiv.: Naukova dumka. 2011. 210 s.
6. Nechujvіter O.P. Pracі mіzhnarodnoї molodіzhnoї matematychnoi shkoly “Pytannja optymіzacіi obchyslen’
(POO-XXXVII)”. Kiiv: Іnstytut kіbernetyky іmenі V.M. Glushkova NAN Ukraini. 2011. S. 133.
7. Zadiraka V.K., Mel’nikova S.S. Cifrovaja obrabotka signalov. Kiev: Naukova Dumka. 1993. 294 s.
8. Lytvyn O.M., Nechujvіter O.P. Vіsnyk Harkіvs’kogo nacіonalynogo unyversitetu іm. V.N. Karazіna.
Zbіrnyk naukovyh prac’. Serіja: “Matematichne modeljuvannja. Іnformacіjnі tehnologіi. Avtomatizovanі
sisteme upravlіnnja». Harkіv. № 926. 2010. S. 153-160.
O.N. Lytvyn, O.P. Nechuiviter
Calculation of 3D Fourier Coefficients on the Class
of Differentiable Functions
Modern problems of digital signal processing need the solutions with new forms of
data. It means that information about function is set of flats or set of lines or set of knots.
The theory of interlineations and interflatation of functions is the most effective in this
case.
In the work, cubature formulas of calculation of 3D Fourier coefficients with using
spline-interflatation were submitted. Cubature formulas are presented in the case when
information about function is set of flats, set of lines and set of knots on one class of
differentiable functions. The estimations of error of approaching of the cubature formulas
are presented.
Стаття надійшла до редакції 02.11.2011.
|