Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели
Изучаются теплофизические процессы, сопровождающиеся фазовыми переходами вещества, описываемые математической моделью, в которой температура каждой из фаз удовлетворяет уравнению переноса тепла со своими теплофизическими коэффициентами, на границе раздела фаз, обе температуры постоянны и равны темпе...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Штучний інтелект |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56425 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели / А.С. Миненко // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 60-65. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56425 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Миненко, А.С. 2014-02-18T11:47:26Z 2014-02-18T11:47:26Z 2012 Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели / А.С. Миненко // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 60-65. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56425 517.988 Изучаются теплофизические процессы, сопровождающиеся фазовыми переходами вещества, описываемые математической моделью, в которой температура каждой из фаз удовлетворяет уравнению переноса тепла со своими теплофизическими коэффициентами, на границе раздела фаз, обе температуры постоянны и равны температуре фазового перехода, а на заданных частях границы поддерживается определенный режим. Поверхность раздела фаз («свободная граница») является неизвестной и для ее определения дополнительно задается условие Стефана. Это условие превращает математическую модель в нелинейную проблему большой трудности. Для описания поля скоростей в жидкой фазе используется система уравнений Навье-Стокса. Для решения задачи предложен метод малого параметра. Вивчаються теплофізичні процеси, які супроводжуються фазовими переходами речовин, які описуються математичною моделлю, в який температура кожної фази задовольняє рівнянню переносу тепла зі своїми теплофізичними коефіцієнтами, на границі розподілу фаз, температури постійні і дорівнюють температурі фазового перехода, а на заданих частинах границь підтримується заданий режим. Поверхня розділу фаз («вільна границя») є невідома і для її визначення задається умова Стефана. Ця умова перетворює математичну модель в нелінійну проблему великої тяжкості. Для описання поля швидкостей в рідинній фазі використовується система рівнянь Нав’є-Стокса. Для розв’язання задачі запропонован метод малого параметру. Thermophysical processes accompanied by substance phase transitions are studied in the work. These processes are described by the mathematical model, in which the temperature of each phase satisfies the heat-transfer equation with its thermophysical coefficients. In boundary of phase division, both temperatures are constant and equal to the temperature of a phase transition. On the set parts of boundary, certain schedule is supported. The surface of phase division (“free boundary”) is unknown and Stephan condition is additionally set for its determination. This condition turns mathematical model into nonlinear problem of large difficulty. The Navier-Stokes equations are used to describe velocity fields in liquid phase. To solve the task, the method of small parameter is offered. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели Приблизний аналіз нелінійної конвективної математичної моделі Approximation Analysis of Nonlinear Mathematical Model with Convection Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели |
| spellingShingle |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели Миненко, А.С. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| title_short |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели |
| title_full |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели |
| title_fullStr |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели |
| title_full_unstemmed |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели |
| title_sort |
приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели |
| author |
Миненко, А.С. |
| author_facet |
Миненко, А.С. |
| topic |
Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| topic_facet |
Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Штучний інтелект |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Приблизний аналіз нелінійної конвективної математичної моделі Approximation Analysis of Nonlinear Mathematical Model with Convection |
| description |
Изучаются теплофизические процессы, сопровождающиеся фазовыми переходами вещества, описываемые математической моделью, в которой температура каждой из фаз удовлетворяет уравнению переноса тепла со своими теплофизическими коэффициентами, на границе раздела фаз, обе температуры постоянны и равны температуре фазового перехода, а на заданных частях границы поддерживается определенный режим. Поверхность раздела фаз («свободная граница») является неизвестной и для ее определения дополнительно задается условие Стефана. Это условие превращает математическую модель в нелинейную проблему большой трудности. Для описания поля скоростей в жидкой фазе используется система уравнений Навье-Стокса. Для решения задачи предложен метод малого параметра.
Вивчаються теплофізичні процеси, які супроводжуються фазовими переходами речовин, які описуються математичною моделлю, в який температура кожної фази задовольняє рівнянню переносу тепла зі своїми теплофізичними коефіцієнтами, на границі розподілу фаз, температури постійні і дорівнюють температурі фазового перехода, а на заданих частинах границь підтримується заданий режим. Поверхня розділу фаз («вільна границя») є невідома і для її визначення задається умова Стефана. Ця умова перетворює математичну модель в нелінійну проблему великої тяжкості. Для описання поля швидкостей в рідинній фазі використовується система рівнянь Нав’є-Стокса. Для розв’язання задачі запропонован метод малого параметру.
Thermophysical processes accompanied by substance phase transitions are studied in the work. These processes are described by the mathematical model, in which the temperature of each phase satisfies the heat-transfer equation with its thermophysical coefficients. In boundary of phase division, both temperatures are constant and equal to the temperature of a phase transition. On the set parts of boundary, certain schedule is supported. The surface of phase division (“free boundary”) is unknown and Stephan condition is additionally set for its determination. This condition turns mathematical model into nonlinear problem of large difficulty. The Navier-Stokes equations are used to describe velocity fields in liquid phase. To solve the task, the method of small parameter is offered.
|
| issn |
1561-5359 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56425 |
| citation_txt |
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели / А.С. Миненко // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 60-65. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT minenkoas približennyianaliznelineinoikonvektivnoimatematičeskoimodeli AT minenkoas priblizniianalíznelíníinoíkonvektivnoímatematičnoímodelí AT minenkoas approximationanalysisofnonlinearmathematicalmodelwithconvection |
| first_indexed |
2025-11-26T20:01:23Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:01:23Z |
| _version_ |
1850772388389584896 |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 1’201260
2М
УДК 517.988
А.С. Миненко
Институт информатики и искусственного интеллекта
ГВУЗ «Донецкий национальный технический университет», г. Донецк, Украина
Украина, 83050, г. Донецк, пр. Б. Хмельницкого, 84, minenko@iai.donetsk.ua
Приближенный анализ нелинейной
конвективной математической модели
A.S. Minenko
Institute of Informatics and Artificial Intelligence
of Donetsk National Technical University, Donetsk, Ukraine
Ukraine, 83050, c. Donetsk, B. Khmelnitskiy st., 84
Approximation Analysis of Nonlinear
Mathematical Model with Convection
О.С. Міненко
Інститут інформатики і штучного інтелекту
ДВНЗ «Донецький національний технічний університет», м. Донецьк, Україна
Україна, 83050, м. Донецьк, пр. Б. Хмельницького, 84
Приблизний аналіз нелінійної
конвективної математичної моделі
Изучаются теплофизические процессы, сопровождающиеся фазовыми переходами вещества, описываемые
математической моделью, в которой температура каждой из фаз удовлетворяет уравнению переноса тепла
со своими теплофизическими коэффициентами, на границе раздела фаз, обе температуры постоянны и
равны температуре фазового перехода, а на заданных частях границы поддерживается определенный
режим. Поверхность раздела фаз («свободная граница») является неизвестной и для ее определения
дополнительно задается условие Стефана. Это условие превращает математическую модель в нелинейную
проблему большой трудности. Для описания поля скоростей в жидкой фазе используется система
уравнений Навье-Стокса. Для решения задачи предложен метод малого параметра.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, свободная граница, численные методы,
функционал, оптимизация.
Thermophysical processes accompanied by substance phase transitions are studied in the work. These processes are
described by the mathematical model, in which the temperature of each phase satisfies the heat-transfer equation with
its thermophysical coefficients. In boundary of phase division, both temperatures are constant and equal to the
temperature of a phase transition. On the set parts of boundary, certain schedule is supported. The surface of phase
division (“free boundary”) is unknown and Stephan condition is additionally set for its determination. This condition
turns mathematical model into nonlinear problem of large difficulty. The Navier-Stokes equations are used to describe
velocity fields in liquid phase. To solve the task, the method of small parameter is offered.
Key words: differential equation, free boundary, numerical algorithms, functional, optimization.
Вивчаються теплофізичні процеси, які супроводжуються фазовими переходами речовин, які описуються
математичною моделлю, в який температура кожної фази задовольняє рівнянню переносу тепла зі своїми
теплофізичними коефіцієнтами, на границі розподілу фаз, температури постійні і дорівнюють температурі
фазового перехода, а на заданих частинах границь підтримується заданий режим. Поверхня розділу фаз
(«вільна границя») є невідома і для її визначення задається умова Стефана. Ця умова перетворює
математичну модель в нелінійну проблему великої тяжкості. Для описання поля швидкостей в рідинній фазі
використовується система рівнянь Нав’є-Стокса. Для розв’язання задачі запропонован метод малого
параметру.
Ключові слова: диференціальне рівняння, вільна межа, чисельні методи, функціонал, оптимізація
mailto:minenko@iai.donetsk.ua
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели
«Штучний інтелект» 1’2012 61
2М
1. Принято считать, что чем ближе модель к действительности, тем точнее прогнозы
и тем эффективнее, следовательно, управление. Однако это не так. Процессы ЭШП
(электрошлаковый переплав) настолько сложны, что, попытавшись построить мате-
матическую модель, весьма близкую к реальному процессу со всеми его деталями и
особенностями, можно прийти к очень сложным уравнениям, решения которых крайне
затруднительны и приводят к существенным ошибкам. Исходя из этих соображений,
необходимо стремиться к построению сравнительно простой математической модели
процесса ЭШП, отражающей его самые существенные стороны.
В настоящее время известны основные качественные зависимости протекания
процесса ЭШП. К сожалению, полных математических моделей его не существует.
Перейдем к построению математической модели процесса кристаллизации.
Будем обозначать через t
область, занятую жидкой (твердой) фазой в момент
времени t. При этом 0 – заданная область в 3R , граница которой состоит из двух замк-
нутых связанных поверхностей 0
и 0
, не имеющих самопересечений, где 0 – гладкая
замкнутая поверхность, лежащая внутри 0 , такая, что 0
лежит внутри ограниченной
области, границей которой является 0 . Требуется определить области t
и t
(т.е.
границы t
и t
), вектор скорости 1 2 3( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )),V x t V x t V x t V x t
давление
( , )p x t , концентрации примеси ( , )с x t , температуру жидкой ( , )u x t и твердой ( , )u x t
фаз по следующим условиям:
2 2( , )
( ) ( , ) ( , ) 0
u x t
V u x t a u x t
t
, ( , ) Tx t D ,
2 2( , )
( , ) 0
u x t
a u x t
t
, ( , ) Tx t D ,
2( , )
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
V x t
V V x t p x t v V x t f u c
t
, ( , ) Tx t D , (1)
( , ) 0V x t
, ( , ) Tx t D , ( ,0) ( )V x C x
;
( , ) ( , )T V p n q x t n
, ( , ) tx t ; (1 )n nV W
;
0V , ( , ) tx t , ( , ) ( , )u x t B x t , 0( , ) tx t ;
( ,0) ( )u x A x ; *u u T c , _ n
u u
k k p W
n n
, ( , ) tx t ,
2( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0
с
x t V c x t c x t
t
, ( , ) Tx t D ;
0( ,0) ( )c x g x , ( , ) ( , )c x t g x t , ( , ) tx t , n
с
cW
n
, ( , ) tx t .
Здесь 1 2 3( , , )x x x x , {( , ) : , (0, )}T tD x t x t T , t
– области соответственно
жидкой и твердой фаз, t t
, 0 t
, n
– нормаль к t , направленная
в сторону t
. Далее, 1 2 3( / , / , / )x x x , ( , )T V p
– тензор напряжений с элемен-
тами ( / / )ij ij i j j iT Р v V x V x , nV и V – нормальная и тангенциальная состав-
ляющие V
, nW – скорость движения фронта кристаллизации в направлении нормали n
;
Миненко А.С.
«Искусственный интеллект» 1’201262
2М
*, , , , , , , , , ,T v k k
– известные положительные постоянные. Отметим также,
что если *( , ) ( , ) ( , ) 0x t u x t c x t T – уравнение поверхности t , тогда | |n tW .
В дальнейшем удобно условие Стефана представить в следующем виде:
2 2 2 2 2 2( , , , ) | | | | ( )( , ) ( )( , )tL u u k u k u k k k u c k k k u c
( ) ( ) 0t t tk u k u k k c
, ( , ) tx t .
В работе предполагается, что 4
0( ) ( ),A x H 2
0( ) ( ),С x H
2
2 ,
2( , ) ( [0, ]),B x t H T
2
0( , ) ( [0, ]),tB x t H T
1 2( , ) ( )f u c C R
,
2
2 ,
2( , ) ( [0, ])tg x t H T
, 4
0 0( ) ( )g x H .
При этом ( , )g x t и ( , )
ixg x t должны быть функциями класса
1
1 , 32 ( [0, ])H R T
.
Считается также, что выполнены условия согласования до первого порядка вклю-
чительно, которые формулируются аналогично [1, с. 268, с. 363].
Цель работы – исследование задачи Стефана с учетом конвекции и примесей в
жидкой фазе.
Постановка задачи – построение приближенного решения задачи, используя
метод малого параметра.
2. Будем искать свободные границы t и t
в следующем виде: { ( ) ( ) ( , )}t x x n t
{ ( ) ( ) ( , )}x x n t
, { ( ) ( , ) ( )}t x x t n
, где 1 2 1 2( , ), ( , ) , 0( )x ,
0( )x , ( , )t и ( , )t – некоторые функции соответственно классов
2
2 ,
2
0( [0, ])H T
и
2
2 ,
2
0( [0, ])H T
, ( ,0) 0 и ( ,0) 0 . Введем также
обозначения 0 [0, ]TQ T , 0 0 [0, ]T T , 0 0 [0, ]T T , 0 0 [0, ]T T .
Далее, для достаточно малых чисел будем искать решение задачи (1) в виде
следующих разложений:
0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
k
k
u x t u x u x t
,
0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
k
k
p x t p x p x t
,
0
1
( , ; ) ( ) ( , )k
i i ik
k
V x t V x V x t
,
0
1
( , ) ( ) ( , )k
k
k
с x t с x с x t
, (2)
1,2,3;i
1
( , ; ) ( , )k
k
k
t t
,
1
( , ; ) ( , )k
k
k
t t
.
В работах [2-7] изучены нулевые и первые приближения задачи (1) для малых
чисел . При этом установлено, что 0 ( ) ( )u x A x , 0 ( ) ( )V x C x
, 0 0( ) ( )с x g x ,
2
2 ,
2
1 0( , ) ( )Tt H
, 1 0( , ) Tt ,
2
2 ,
2
1( , ; , ) ( )Tu x t H Q
,
2
2 ,
2
1( , ; , ) ( )Tс x t H Q
,
причем 1 ( , )t находим как неподвижную точку сжимающегося оператора 1M :
1 1
1 1 1
0
1
( ( , ))
t u u
M k k f x t dt
p n n
, 0( ) Tx .
3. Имеют место следующие формулы:
21 2
0 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ... ( ) ( )
t
k kk
x x k k k k
uu u
u u f u f u f u о
x x x
,
0( , ) Tx t ; 21 2
1 2
0 0 0
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
| | | | | |t
k kt t kt
n k
u u u
W F F F о
u u u
,
0( , ) Tx t ,
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели
«Штучний інтелект» 1’2012 63
2М
2 _ 2 2 2 2 2
0 0 0 1 0 1 1( , , , , ) | [ | | | | ] [2 ( , ) 2 ( , )
tt tL u u k u k u k u u k u u
2 2
1 1 0 0( )] ... [2 ( , ) 2 ( , ) ( )]k
t t k k k kt ktk u k u k u u k u u k u k u
( ) 0kо , 0( , ) Tx t , где ( , ), ( , ), ( , ), ( , )k k k kx t x t f x t F x t и ( , )k x t – известные
функции. Из последней формулы следует, что 2 2 2
0 0| | | | 0k u k u
, 0x ,
k k k
k
u u
k k
n n t
, 0( , ) Tx t .
4. Введем обозначения: 1 0 1 1 0( , ) ( ) ( ) ... ( )i j k k kM
, 2 0 1 1 0( , ) ( ) ( ) ... ( )i j k k kM
0 1 1 0( , ) ( , ) ( ) ... ( , )i j k k kN V p n T V p n T V p n T V p n
.
Затем рассмотрим k-е приближение ( , , , , , )k k k k k kV u p c
задачи (1) для малых
чисел . Имеем:
2 2
1
0
0,
0
1
( , ) ( , ), ( , )
!
0, ( , ) ; ( , ) 0, ( , ) ,
( , 0) 0, (1 )[ ( , )], 0, ( , )
| |
k
i j k k k k T
k T i j T
kt
k kn k k T
V
M V V p v V d f u c x t Q
t k
V x t Q N V p n x t
up
V x V F x t V x t
u
(3)
2 2
2
2 2
0 0
0 0
( , ) , ( , ) ,
0, ( , ) ,
( ,0) 0, ( , ) 0, ( , ) , ,
| ( ( )) | ( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) 0, ( , )
k
i k k T
k
k T
k k T T k k
k k k T
u
M V u a u x t Q
t
u
a u x t Q
t
u x u x t x t u u
u x t u x t f x t x t
(4)
2
2
*
0 0 0
0
0
0
( , ) 0, ( , ) , ( , 0) 0, ( , ) 0,
( , ) ; ( ) , ( , ) ,
| |
( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) 0, ( , ) ,
k
i j k T k
k kt
T k k k T
k k k T
c
M V c c x t Q c x c x t
t
c u
x t c c x F x t
n u
c
t c x t g x t x t
n
(5)
здесь ( , ), ( , )k kF x t f x t и *( , )kF x t – известные функции.
Зададим теперь 1( , )V V x t
. Затем решим задачу (4), (5) и найдем 1 1 1 1, , ,u c .
После чего решим задачу (3), являющуюся начально-краевой задачей для системы Навье-
Стокса. Затем, используя новое значение 2 ( , )V x t
, снова решаем задачу (4) и (5) и т.д.
Следовательно, получим процесс последовательных приближений , , , ,k k k k kV u c
.
Доказательство сходимости этого процесса аналогично приведенному в [8] причем при
заданном
2
2 ,
2
0( , ) ( )k Tt H
найдем функции
2
2 ,
2( , , ) ( )k k Tu x t H Q
,
2
2 ,
2( , , ) ( )k k Tс x t H Q
как единственное решение задачи (4) – (5), а ( , )k t находим как неподвижную точку
сжимающегося оператора kM :
0
0
1
( ( , )) , ( ( ), )
t
k k
k k k T
u u
M k k x t dt x t
n n
.
Миненко А.С.
«Искусственный интеллект» 1’201264
2М
Справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть выполнены условия 0
0
( )
| ( ( )) | , ; 1
g c k k
A x x
n
, где с –
некоторая постоянная [1, с. 364] и пусть 2 ( ) 0A x , 0x ,
0 0
( ) | ( ,0)
x
A x B x
,
0
( ) | 0A x
, ( ) 0,С x
0 ,x
0 0
| ( ) | | ( ) | ,k A x k A x
0
| ( ) || 0A x
(здесь – некоторая положительная постоянная). Тогда оператор kM , действующий
из
2
2 ,
2
0( )ТH
в
2
2 ,
2
0( )ТH
, имеет там неподвижную точку.
Лемма 2. В качестве k-го приближения задачи (1) можно взять решение
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )k k k k ku x t c x t V x t t t
задачи (4) – (5).
Теорема. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда приближения ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )k k k k kV x t u x t c x t t t
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )k k k k kV x t u x t c x t t t сходятся к функциям ( , ),V x t ( , ),u x t ( , ),c x t ( , ),t ( , )k t –
класса
2
2 ,
2H
, являющимся решением задачи (1).
Лемма 3. Пусть 0 ( )
0
g x
n
на 0
. Тогда при малых числах и достаточно
малых значениях t справедливы формулы:
0
01
( ( ), ) ( ( ), )
: (0) ( ),
k
i ki i
t
i
c x t g x t
x x n о x
c
n
,
0
1 0
( ( ), ) ( ( ), )
: ( ) ( ),
| ( ( )) |
k
i ki i
t
i
u x t f x t
x x n о x
u x
.
Замечание. Доказанная теорема фактически устанавливает существование реше-
ния задачи (1) в классе функций
2
2 ,
2H
.
Литература
1. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская,
В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева – М. : Наука, 1967. – 756 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей / Миненко А.С. – К. : Наукова думка,
2005. – 341 с.
3. Шевченко А.И. Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко,
А.С. Миненко // Доповіді НАН України. – 2010. – № 4. – C. 30-34.
4. Шевченко А.И. Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко,
А.С. Миненко // Доповіді НАН України. – 2010. – № 5. – C. 36-40.
5. Шевченко А.И. Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко,
А.С. Миненко // Доповіді НАН України. – 2010. – № 10. – C. 29-33.
6. Миненко А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца / А.С. Миненко //
Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 11. – C. 1546-1556.
7. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца / А.С. Миненко //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 10. – C. 1385-1394.
8. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной сво-
бодной поверхностью / В.А. Солонников // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1977. – 41, № 6. – С. 1388-1424.
Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели
«Штучний інтелект» 1’2012 65
2М
Literatura
1. Ladyzhenskaja O.A., Solonnikov V.A., Ural’ceva N.N.. Linejnye i kvazilinejnye uravnenija parabolicheskogo
tipa. M.: Nauka. 1967. 756 s.
2. Minenko A.S. Variacionnye zadachi so svobodnoj granicej. K.: Naukova dumka. 2005. 341 s.
3. Shevchenko A.I., Minenko A.S.. Dopovіdі NAN Ukraini. № 4. 2010. S. 30-34.
4. Shevchenko A.I., Minenko A.S.. Dopovіdі NAN Ukraini. № 5. 2010. S. 36-40.
5. Shevchenko A.I., Minenko A.S.. Dopovіdі NAN Ukraini. № 10. 2010. S. 29-33.
6. Minenko A.S. Ukr. mat. zhurn. 2007. - 59, № 11. S. 1546-1556.
7. Minenko A.S. Ukr. mat. zhurn. 2006. - 58, № 10. S. 1385-1394.
8. Solonnikov V.A. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1977. - 41, № 6. S. 1388-1424.
A.S. Minenko
Approximation Analysis of Nonlinear Mathematical Model
with Convection
This paper extend to the rime-dependent case some result obtained by the authors for
the steady-nonstate Stephan problem with convection. Referring to the ice-water system,
water is assumed to be incompressible and to obey the Stocks equation:
)(),(
Re
1
),(),()(
),( 2
uftxVtxptxVV
t
txV .
(V is velocity, is kinematic viscosity, p is pressure, f is buoyancy force, u is water
temperature), while temperature u satisfies the heat conduction-convection equation with
temperature-dependent thermphysical properties:
,0),(),()(
),( 22
txuatxuV
t
txu TDtx ),(
The temperature field u in the solid phase is governed by diffusion only:
0),(
),( 22
txua
t
txu .),( TDtx
At the ice-water interface, 0 uu and Stefan condition holds:
,0),cos(),cos(,0),(
3
1
tnkxn
x
u
k
x
u
ktxu i
i ii
x t
tx ,
,),0(,:),( ttxtxD tT ),,,( 321 xxxx
t .
The scheme is completed by initial and boundary conditions.
The author presents an existence theorem for the case of three space dimensions. The
main difficulty consists in the fact that to interpret the Stokes equation in a week sense,
some information is needed on the region where the temperature is positive, which is in
turn influenced by the velocity field itself. The precise formulation of the problem requires
a technical choice on function spaces. Existence of a solution is proved by introducing a
temperature dependent penalty term in the fluid flow equation in order to define both the
approximating temperature U and the approximation velocity V in the whole domain.
Compactness arguments are used to get a convergent subsequence, whole limit is shown to
solve the original problem. The question of uniqueness is left open.
Статья поступила в редакцию 02.12.2011.
|