Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь
A new functional-discrete method to solve eigenvalue problems for ordinary differential operators of the Schr¨odinger type with nonlinear potentials is proposed. The method approximates both eigenvalues and eigenfunctions superexponentially. The efficiency of the method is illustrated by several num...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5653 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 16-22. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261331878281216 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. |
| author_facet | Макаров, В.Л. |
| citation_txt | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 16-22. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | A new functional-discrete method to solve eigenvalue problems for ordinary differential operators of the Schr¨odinger type with nonlinear potentials is proposed. The method approximates both eigenvalues and eigenfunctions superexponentially. The efficiency of the method is illustrated by several numerical experiments.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:55:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
для кожного v ∈ l∞(D) єдиний розв’язок u в просторi l∞(D). Тому, з урахуванням леми 1,
оператор G неперервно оборотний тодi i тiльки тодi, коли для кожного z ∈ S є неперервно
оборотним оператор
TA−
∑
k∈Z
TAkz
k = T (A− f(z)).
Вiдзначимо, що oператор T : B → D лiнiйний, обмежений i неперервно оборотний. Тому
T (A− f(z)) неперервно оборотний для кожного z ∈ S тодi i тiльки тодi, коли виконується
твердження a2.
При p = ∞ твердження a1 та a2 еквiвалентнi внаслiдок леми 1. Теорему 1 доведено.
1. Городнiй М.Ф. Стацiонарнi у широкому сенсi розв’язки рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi //
Теорiя ймовiрностей та матем. статистика. – 2006. – Вип. 74. – С. 27–33.
2. Дороговцев А.Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и
стохастических динамических систем. – Київ: Вища шк., 1992. – 319 с.
3. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический
анализ // Сиб. мат. журн. – 1997. – 38, № 1. – С. 14–28.
4. Городнiй М. Ф. lp-розв’язки одного рiзницевого рiвняння в банаховому просторi // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 3. – С. 425–430.
5. Вятчанiнов О. В., Городнiй М.Ф. Властивостi розв’язкiв дискретної системи Вольтерри в банаховому
просторi // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 2. – С. 184–187.
Надiйшло до редакцiї 03.12.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 519.6
© 2008
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров
Функцiонально-дискретний метод розв’язування задач
на власнi значення для нелiнiйних диференцiальних
рiвнянь
A new functional-discrete method to solve eigenvalue problems for ordinary differential ope-
rators of the Schrödinger type with nonlinear potentials is proposed. The method approxi-
mates both eigenvalues and eigenfunctions superexponentially. The efficiency of the method
is illustrated by several numerical experiments.
Розглядається задача
u′′(x) + [λ−N(x, u(x))]u(x) = 0, x ∈ (0, 1), (1)
u(0) = 0, u′(0) = M, u(1) = 0, (2)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
деN(x, u) при кожному фiксованому x є аналiтичною функцiєю за u з властивiстю N(x, u) =
= N(x,−u), N(x, 0) = 0, |∂kN(x, u)/∂uk| 6 N
(k)
(u), N(u) — гладка функцiя з невiд’ємними
похiдними, u ∈ R
1
+.
Питання iснування та єдиностi послiдовностi власних значень {λn} i вiдповiдних влас-
них функцiй {un(x)} таких, що un(x) має точно n нулiв в iнтервалi (0, 1), n = 0, 1, . . .
задачi (1), (2) в автономному випадку дослiджувалось у роботi [1].
Дана робота присвячена розробцi та обгрунтуванню функцiонально-дискретного (FD)
методу розв’язування сформульованої задачi.
Найпростiший варiант FD-методу з використанням полiномiв Адомяна був запропоно-
ваний у [2, 3]. Розглянемо, у чому полягає алгоритм методу m-го рангу.
Наближення n-го розв’язку задачi 1 має вигляд
um
n (x) =
m∑
j=0
u(j)
n (x), λm
n =
m∑
j=0
λ(j)
n , (3)
де доданки в сумах визначаються з рекурентної послiдовностi задач
d2
dx2
u(j+1)
n (x) + λ(0)
n u(j+1)
n (x) = −
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n u(p)
n (x) +
+
j∑
p=0
Aj−p(x, u
(0)
n (x), . . . , u(j−p)
n (x))u(p)(x), x ∈ (0, 1), (4)
u(j+1)(0) = 0,
du(j+1)(0)
dx
= 0, u(j+1)(1) = 0, (5)
λ(j+1)
n =
1∫
0
j∑
p=0
Aj−p(x, u
(0)
n (x), . . . , u(j−p)
n (x))u(p)
n (x)u(0)
n (x) dx, (6)
1∫
0
u(j+1)
n (x)u(0)
n (x)dx = 0, j = 0, 1, . . . ,m− 1,
λ(0)
n = (nπ)2, u(0)
n (x) = M
sinnπx
nπ
,
(7)
де Aj(u
(0)(x), . . . , u(j)(x)) — полiноми Адомяна, якi визначаються за формулою [4]
Aj(x, u
(0), u(1), . . . , u(j)) =
=
∑
α1+...+αj=j
N (α1)(x, u(0))
(u(1))α1−α2
(α1 − α2)!
· · · · · (u(j−1))αj−1−αj
(αj−1 − αj)!
(u(j))αj
(αj)!
,
j = 1, 2, . . . , A0(x, u
(0)) = N(x, u(0)). (8)
Має мiсце
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 17
Теорема 1 [2]. Нехай M/
√
2πn 6 1, нелiнiйна функцiя N(f) така, що
max√
26f6
√
2+1
f −
√
2 − (f −
√
2)2
(1 +
√
2)N (f)f
= R,
тодi ∀n ∈ N
0 таких, що
rn =
1
Rnπ
6 1, (9)
FD-метод збiгається суперекспоненцiально i мають мiсце такi оцiнки точностi:
‖un − um
n ‖ 6
C
(m+ 2)1+ε
(rn)m+1, |λn − λm
n | 6
C
R(m+ 2)1+ε
(rn)m, (10)
де ε — додатна стала.
Якщо умова (9) не виконується для n = 1, . . . , n0, тодi запропонований алгоритм для та-
ких порядкових номерiв власних значень може розбiгатись. У цьому випадку пропонується
алгоритм FD-методу, що є узагальненням iдей роботи [5] на нелiнiйний випадок. Розiб’ємо
вiдрiзок [0, 1] сiткою
ω̂ = {xi ∈ [0, 1], i = 1,K − 1: 0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xK−1 < xK = 1}
на K вiдрiзкiв [xi−1, xi], i = 1,K, i на кожному з них наблизимо нелiнiйнiсть N(x, u(x))
сталою
N̂(x, u(x)) =
1
2
[N(xi−1, u(xi−1)) +N(xi, u(xi))], x ∈ [xi−1, xi]. (11)
Занурюємо задачу (1), (2) у бiльш загальну задачу
d2
dx2
u(x, t) + {λ(t) − w(x, t, u(·))}u(x, t) = 0, (12)
u(0, t) = 0,
∂u(0, t)
∂x
= 1, u(1, t) = 0, (13)
w(x, t, u(·)) = N̂(x, u(·, t)) + t{N(x, u(x)) − N̂(x, u(·, t))}. (14)
При цьому очевидно, що u(x, 1) = u(x), λ(1) = λ. Розв’язок задачi (12)–(14) шукається
у виглядi рядiв
u(x, t) =
∞∑
j=0
tju(j)(x), λ(t) =
∞∑
j=0
tjλ(j), (15)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
коефiцiєнти яких знаходяться як розв’язки рекурентної послiдовностi задач
d2u(j+1)(x)
dx2
+ µ2
iu
(j+1)(x) = −
j∑
p=0
λ
(j+1−p)
i u(p)(x) +
+
j∑
p=0
{
Aj−p(x, u
(0)(x), . . . , u(j−p)(x)) −
− 1
2
[
Aj−p(xi−1, u
(0)(xi−1), . . . , u
(j−p)(xi−1)) +
+Aj−p(xi, u
(0)(xi), . . . , u
(j−p)(xi))
]}
u(p)(x), x ∈ (xi−1, xi), (16)
u(j+1)(0) = 0,
du(j+1)(0)
dx
= 0,
[u(j+1)(x)]x=xi
= 0,
[
du(j+1)(x)
dx
]
x=xi
= 0, i = 1,K − 1,
u(j+1)(1) = 0, j = 0, 1, . . . ,
(17)
де
[v(x)]xi
= v(xi + 0) − v(xi − 0),
µ2
i = λ(0) − 1
2
[N(xi−1, u
(0)(xi−1)) +N(xi, u
(0)(xi))], (18)
λi
(j+1−p)
= λ(j+1−p) − 1
2
[
Aj+1−p(xi−1, u
(0)(xi−1), . . . , u
(j+1−p)(xi−1)) +
+Aj+1−p(xi, u
(0)(xi), . . . , u
(j+1−p)(xi))
]
. (19)
Тут (λ(0), u(0)(x)) — розв’язок базової задачi
d2u(0)(x)
dx2
+ µ2
iu
(0)(x) = 0, x ∈ (xi−1, xi), i = 1,K,
[u(0)(x)]x=xi
= 0,
[
du(0)(x)
dx
]
x=xi
= 0, i = 1,K − 1,
u(0)(0) = 0,
du(0)(0)
dx
= M, u(0)(1) = 0.
(20)
Зауважимо одразу, що базова задача (20) є згiдно з (18) нелiнiйною, хоча i з кусково-ста-
лими коефiцiєнтами. Вона належить до так званих крайових задач з кусково-сталими аргу-
ментами, теорiї яких останнiм часом придiляється значна увага (див., напр., [6] i цитовану
там лiтературу). Пiсля знаходження її розв’язку розв’язується рекурентна послiдовнiсть
лiнiйних крайових задач (16) з виродженим постiйним (незалежним вiд j) диференцiаль-
ним оператором. Специфiкою останнiх є те, що в коефiцiєнт λ
(j+1)
(xi−1) згiдно з (19) та
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 19
згiдно з визначенням полiномiв Адомяна (8) будуть входити лiнiйно невiдомi u(j+1)(xi−1),
u(j+1)(xi) (при α1 = α2 = · · · = αj+1 = 1).
За наближення FD-методу m-го рангу розв’язку задачi (1), (2) приймається
um(x) =
m∑
j=0
u(j)(x), λm =
m∑
j=0
λ(j). (21)
Має мiсце
Теорема 2. Завжди iснує таке додатне, достатньо мале h0, що як тiльки max
16i6K
hi =
= max
16i6K
(xi − xi−1) 6 h0, FD-метод буде суперекспоненцiально збiжним для будь-якого за
номером n ∈ {1, 2, . . . , n0} власного значення λn i будуть мати мiсце такi оцiнки точ-
ностi:
|λn − λm
n | 6
C
(m+ 2)1+ε
(
h
R
)m
, ‖un − um
n ‖1 6
C
(m+ 2)1+ε
(
h
R
)m+1
. (22)
Тут ‖v‖1,∞ = max{‖v‖∞, ‖dv/dx‖}, ‖v‖∞ = max
06x61
|v(x)| i величина R має подiбний сенс,
що i в теоремi 1. Доведення теореми 2 суттєво спирається на такi твердження:
Лема 1. Нехай u(p)(x) ∈ C1[0, 1], p = 0, 1, . . ., тодi
‖Ak(x, u
(0)(x), . . . , u(k)(x)) −Ak(xi−1, u
(0)(xi−1), . . . , u
(k)(xi−1))‖∞ 6
6 h
r∑
i=1
ai2iAk(N, ‖u(0)‖1,∞, ‖u(1)‖1,∞, . . . , ‖u(k)‖1,∞),
де h = max
16i6K
(xi − xi−1), Ak(N ; v1, . . . , vk) — полiноми Адомяна для функцiї N(u).
Лема 2. Нехай N(u) =
∞∑
j=1
aju
2j , aj > 0, j = 1, 2, . . ., тодi має мiсце формула
Aj+1(N(u);V0, . . . , Vj , 0) =
1
(j + 1)!
{
dj+1
dzj+1
N(f(z) − V0)
}
z=0
, (23)
де f(z) =
∞∑
j=0
ziVj .
Справедливiсть твердження теореми 2 iлюструють результати чисельних розрахункiв,
що наводяться нижче.
П ри к л а д 1 . Розглянемо задачу
u′′(x) + [λ− u2(x)]u(x) = 0, x ∈ (0, 1),
u(0) = 0, u′(0) = M, u(1) = 0.
(24)
На пiдставi симетрiї u2(x) = u2(1 − x) задача (24) має двi послiдовностi власних функцiй,
одна з яких складається з парних вiдносно точки x = 1/2 функцiй, а друга — з непарних.
Для визначеностi зупинимось на випадку парних власних функцiй i замiсть задачi (24)
будемо розглядати задачу
u′′(x) + [λ− u2(x)]u(x) = 0, x ∈ (0, 1/2),
u(0) = 0, u′(0) = M, u′(1/2) = 0.
(25)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Таблиця 1
m λ
m
1 ∆
m
1 = λ
T
1 − λ
j
1
r
m
1 λ
m
3 r
m
3
0 9,869604401 11,243388 3,605831 88,8264396098 0,133549
1 25,067781947 −3,954789 3,605831 90,5151260038 0,812039·10
−3
2 18,241722278 2,871270 1,186630 90,5057624103 0,848473·10
−5
3 23,747710005 −2,6347171 0,974777 90,5058556547 0,104871·10
−6
4 18,388332376 2,724660 1,216683 90,5058545342 0,141627·10
−8
5 24,143719524 −3,030726 90,5058545490
Таблиця 2
m λ
m
1 ∆
m
1 = λ
T
1 − λ
j
1
r
m
1
0 20,598798053 0,514194 0,348338
1 21,088264618 0,024728 0,057621
Використовуючи найпростiший варiант FD-методу (3)–(7) з вiдповiдною модифiкацiєю, по-
в’язаною зi змiною правої крайової умови, одержуємо
λ
(0)
1 = π2, λ1
1 = π2 +
3M2
4π2
, λ2
1 = π2 +
3M2
4π2
− 21M4
128π6
,
λ3
1 = λ2
1 +
33M6
512π10
, λ4
1 = λ3
1 −
4005M8
131072π14
, λ5
1 = λ4
1 +
8379M8
524288π18
.
Для M = 10
√
2 точним першим власним значенням є λT
1 = 21,112992612 . . ..
З табл. 1 видно, що найпростiший FD-метод для першого власного значення при M =
= 10
√
2 є розбiжним, у той же час для λ3 метод є практично збiжним. Аналiтичнi вирази
наближення FD-методу до 5-го рангу для λ3 мають вигляд
λ
(0)
3 = 9π2, λ1
3 = λ
(0)
3 +
50
3π2
, λ2
3 = λ1
3 −
4375
486π6
,
λ3
3 = λ2
3 +
171875
19683π10
, λ4
3 = λ3
3 −
173828125
17006112π14
, λ5
3 = λ4
3 +
9091796875
688747536π18
.
У табл. 1 величини
rm
n =
{ 1∫
0
[
d2um
n (x)
dx2
+ λm
n u
m
n (x) − um
n (x)3
]2
dx
}1/2
, m = 0, 1, 2, 3, 4, n = 1, 3,
є вiдповiдними нев’язками.Щоб досягти збiжностi методу для першого власного значення
задачi (25), застосуємо тепер загальний FD-метод (16)–(20) з двома сходинками. При цьому
вiзьмемо x0 = 0, x1 = 1/4, x2 = 1/2, K = 2. Результати обчислень наведено у табл. 2, з якої
можна зробити висновок про практичну збiжнiсть методу. Для власних значень з бiльшими
порядковими номерами швидкiсть збiжностi буде ще вищою.
1. Zhidkov P. E. Basis properties of eigenfunctions of nonlinear Sturm–Liouville problems // Electron. J. Dif-
ferent. Equat. – 2000. – No 28. – 13 p.
2. Gavrilyuk I. P., Klimenko A.V., Makarov V. L., Rossokhata N.O. Exponentially convergent parallel algo-
rithm for nonlinear eigenvalue problems // IMA J. Numer. Anal. – 2007. – 27, No 4. – P. 818–838.
3. Гаврилюк I.П., Клеменко А.В., Макаров В.Л., Россохата Н.О. FD-метод для задач на власнi зна-
чення з нелiнiйним потенцiалом // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 1. – С. 14–28.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 21
4. Abbaoui K., Pujol M. J., Cherruault Y. et al. A new formulation of Adomian method: convergence result //
Kybernetes. – 2001. – 30, No 9–10. – P. 1183–1191.
5. Makarov V.L. A functional-difference method of arbitrary order of accuracy for solving the Sturm–Liouville
problem with piecewise-smooth coefficients // Soviet. Math. Dokl. – 1992. – 44, No 2. – P. 391–396.
6. Akhmet M.U. Integral manifolds of differential equations with piecewise constant argument of generalized
type // Nonlinear Anal. – 2007. – 66, No 2. – P. 367–383.
Надiйшло до редакцiї 11.04.2008Iнститут математики НАН України, Київ
УДК 519.21
© 2008
I. В. Малик, В. К. Ясинський
Експоненцiальна поведiнка в середньому
квадратичному розв’язку стохастичних
диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу
в критичному випадку
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Conditions for the mean square stability of linear stochastic differential-difference equations of
the neutral type in the critical case are obtained.
На iмовiрнiсному базисi [1] (Ω, F, P, Im), де Im ≡ {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано сильний
розв’язок [1, 2] x(t) = x(t, ω) ∈ R1 лiнiйного стохастичного диференцiально-рiзницевого
рiвняння нейтрального типу (ЛСДРРНТ)
d{Dxt} = {Lxt}dt+ {Gxt}dw(t) (1)
за початковою умовою
x0 = ϕ. (2)
Тут xt ≡ {x(t + s),−h 6 s 6 0} ∈ C([−h, 0]); ϕ ∈ C([−h, 0]) — F0 — вимiрний випадковий
процес; w(t) = w(t, ω) — одновимiрний випадковий вiнерiв процес, що узгоджений з Im =
= {Ft, t > 0}; D, L, G — рiзницевi оператори, що заданi на просторi спiввiдношеннями [3, 4]
для ψ ∈ C([−h, 0])
Dψ ≡ ψ(0) +
n∑
k=1
δkψ(−τk), 0 < τ1 < τ2 < · · · < τn 6 h;
Lψ ≡ αψ(0) +
m∑
k=1
bkψ(−λk), 0 < λ1 < λ2 < · · · < λm 6 h; (3)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5653 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:55:40Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. 2010-02-01T15:40:12Z 2010-02-01T15:40:12Z 2008 Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 16-22. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5653 519.6 A new functional-discrete method to solve eigenvalue problems for ordinary differential operators of the Schr¨odinger type with nonlinear potentials is proposed. The method approximates both eigenvalues and eigenfunctions superexponentially. The efficiency of the method is illustrated by several numerical experiments. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь Article published earlier |
| spellingShingle | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь Макаров, В.Л. Математика |
| title | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_short | Функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_sort | функціонально-дискретний метод розв'язування задач на власні значення для нелінійних диференціальних рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5653 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl funkcíonalʹnodiskretniimetodrozvâzuvannâzadačnavlasníznačennâdlânelíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹ |