Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригоном...
Saved in:
| Published in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56574 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Мироненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 3. — С. 501-509. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859684864460062720 |
|---|---|
| author | Мироненко, Л.П. |
| author_facet | Мироненко, Л.П. |
| citation_txt | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Мироненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 3. — С. 501-509. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригонометрические и гиперболические функции и поэтому названы тригогиперболическими функциями. Получены соотношения между новыми функциями, а также между новыми и традиционными функциями. Необычность этих соотношений делает теорию довольно сложной, но перспективной.
У статті пропонується альтернативний варіант системи незалежних функцій. Нові функції взаємно одночасно виражаються через звичні тригонометричні і гіперболічні функції і тому названі тригогіперболічними функціями. Отримані співвідношення між новими функціями, а також між новими і традиційними функціями. Незвичність цих співвідношень робить теорію досить складною, але перспективною.
|
| first_indexed | 2025-11-30T21:37:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 3’2010 501
5М
УДК 514.116
Л.П. Мироненко
Донецкий национальный технический университет, Украина
Тригогиперболические функции
и их алгебраические свойства (I)
Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают
альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему
тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются
через обычные тригонометрические и гиперболические функции и поэтому названы тригогипербо-
лическими функциями. Получены соотношения между новыми функциями, а также между новыми и
традиционными функциями. Необычность этих соотношений делает теорию довольно сложной, но
перспективной.
Хорошо известно, что функции синус и косинус могут быть представлены абсо-
лютно и равномерно сходящимися на всей вещественной оси степенными рядами [1-3].
Эти ряды являются знакочередующимися. Другими словами, каждая из функций
состоит из пары сходящихся рядов противоположного знака. Каждый ряд сходится к
некоторой, как следует из их разложений, аналитической функции. На основании
такого разделения рядов для синуса и косинуса на две пары рядов (всего четыре ря-
да) можно ввести четыре аналитические функции. Так возникает единый базис для
тригонометрии обычной и гиперболической со своими, назовем, «тригогиперболиче-
скими» соотношениями и свойствами.
Представления тригонометрических и гиперболических функций через новые,
непериодические, функции является, по сути, упрощением элементарных функций
синуса и косинуса и служит базисом для практической работы с обычными триго-
нометрическими и гиперболическими функциями, а также с экспоненциальной функцией.
Получив ряд соотношений между новыми базисными четырьмя функциями, можно
работать как с новым набором функций, так и с обычным набором (синус, косинус,
гиперболическими синус и косинус). С каким набором функций работать удобно, опре-
деляется постановкой решаемой задачи.
1 Определения тригогиперболических функций
и основные обозначения
Запишем стандартные степенные ряды
.
)!2(
)1(...
!4!2
1cos
,
)!12(
)1(..
!5
.
!3
sin
2
0
42
12
0
53
n
xxxx
n
xxxxx
n
n
b
n
n
b
−=+++−=
+
−=+++−=
∑
∑
∞
=
+∞
= (1)
Разбиваем каждый их этих рядов на два знакопостоянных ряда и введем обозначения
Мироненко Л.П.
«Искусственный интеллект» 3’2010 502
5М
.
)!4(
....
!10!6!2
.
)!4(
....
!8!4
1
,
)!34(
...
!11
.
!7
.
3
.
,
)!14(
...
!9
.
!5
.
24
0
1062
4
0
84
34
0
1173
14
0
95
n
xxxxosx
n
xxxcox
n
xxxxinx
n
xxxxsix
n
b
n
b
n
b
n
b
+∞
=
∞
=
+∞
=
+∞
=
∑
∑
∑
∑
=++=
=+++=
+
=+++=
+
=+++=
(2)
В дальнейшем будем эти функции называть соответственно six «си-функция», inx
«инус», cox «ко-функция» и osx «осинус», а всю совокупность osxcoxinxsix ,,, – триго-
гиперболическими функциями.
Согласно определениям
.cos
,sin
osxcoxx
inxsixx
−=
−= (3)
Сравним ряды для гиперболических функций ,shx chx и функции xe с определе-
ниями тригогиперболических функций (2)
.
!
....
!3
.
!2
1
.,
)!2(
...
!4!2
1
,
)!12(
..
!5
.
!3
0
32
2
0
42
12
0
53
n
xxxxe
n
xxxchx
n
xxxxshx
n
b
x
n
b
n
b
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
+∞
=
=+++++=
=++++=
+
=++++=
Находим следующие равенства
.
,
,
osxcoxinxsixe
osxcoxchx
inxsixshx
x +++=
+=
+=
(4)
Графики введенных функций представлены на рис. 1, а разности ,sin inxsixx −=
osxcoxx −=cos и суммы osxcoxchxinxsixshx +=+= , – на рис. 2 и 3.
Рисунок 1 – Графики функций sixy = и inxy = , функций coxy = и osxy =
Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
«Штучний інтелект» 3’2010 503
5М
Рисунок 2 – Графики функций xosxcoxy cos=−= и chxosxcoxy =+=
Рисунок 3 – Графики функций xinxsixy sin=−= и shxinxsixy =+=
Свойства симметрии функций osxcoxinxsix ,,,
.)(,,)(
,)(,,)(
coxxoscoxxco
inxxinsixxsi
=−=−
−=−−=−
(5)
Запишем нули функции xy sin= : Znnxx ∈=⇒= ,0sin π . Поскольку inxsixx −=sin ,
то Znninnsi ∈= ),()( ππ . Аналогично, Znnxx ∈+=⇒= ,
2
0cos ππ . Поскольку
osxcoxx −=cos , то Znnosnco ∈
+=
+ ,
22
ππππ . Теперь рассмотрим значения
Znnxx ∈+±=⇒±= ,2
2
1sin ππ . Откуда следует, что 12
2
2
2
±=
+±−
+± ninnsi ππππ .
Если Znnxx ∈+±=⇒±= ,21cos ππ . Откуда следует, что Znnosnco ∈
+=
+ ,
22
ππππ .
Итак,
.,12
2
2
2
,1)2()2(
,
22
),()(
Znninnsi
nosnco
nosnconinnsi
∈±=
+±−
+±
±=+±−+±
+=
+=
ππππ
ππππ
ππππππ
Мироненко Л.П.
«Искусственный интеллект» 3’2010 504
5М
Рисунок 4 – Более детальное поведение тригогиперболических функций
в окрестности точек Znnxnx ∈+== ,
2
, πππ
Выразим тригогиперболические функции через обычные тригонометрические
и гиперболические, комбинируя равенства (3) и (4)
).cos(
2
1
),(cos
2
1
),sin(
2
1
),(sin
2
1
chxxosx
chxxcox
shxxinx
shxxsix
+−=
+=
+−=
+=
(6)
Сразу обратим внимание на тот факт, что мы имеем дело с двумя независимыми
наборами функций osxcoxinxsix ,,, и chxshxxx ,,cos,sin (или, что эквивалентно
набору xx eexx −, ,cos,sin ), переход от одного набора к другому производится по
формулам (3), (4) и (6).
2 Основные соотношения для функций six, inx, cox, osx
Выведем ряд соотношений, связывающих тригогиперболические функции ,six
, ,inx cox osx с обычными тригонометрическими и гиперболическими функциями
.))((cos ;))((sin 2222 xosxcoosxcoxosxcoxchxxxinxsiinxsixinxsixshxx −=+−=⋅−=+−=⋅
Откуда,
. cos
, sin
22
22
chxxxosxco
shxxxinxsi
⋅=−
⋅=− (7)
Отсюда следует формула
. cos sin2222 chxxshxxxosxcoxinxsi ⋅+⋅=−+−
Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
«Штучний інтелект» 3’2010 505
5М
Используя формулы (6), найдем
).cos((sin
2
1
)))(cossin()cos)(((sin
4
1
hxxschxx
chxxshxxchxxshxxcoxinxosxsix
⋅−⋅=
=++−−+−+=⋅−⋅
Кратко
.cossin)(2 shxxchxxcoxinxosxsix ⋅−⋅=⋅−⋅
Используем основное тригонометрическое тождество 1cossin 22 =+ sx
.122 ,1)()( 222222 =−−+++=−+− coxosxsixinxxosxcoxinxsiosxcoxinxsix
Аналогично используем основное «гиперболическое тождество» 122 =− xshxch
,1.22 ,1)() 222222 =−+−−+=+−+ sixinxcoxosxxinxsixosxcoinxsixosxcox
В результате имеем пару соотношений
).(21
),(21
2222
2222
osxcoxinxsixxinxsixosxco
osxcoxinxsixxinxsixosxco
⋅−⋅+=−−+
⋅+⋅+=+++
(8)
Складывая и вычитая полученные равенства, получим
.2
,21
22
22
osxcoxxinxsi
inxsixxosxco
⋅=+
⋅+=+ (9)
Используем формулы двойных аргументов xxx cossin22sin = и chxshxxsh ⋅= 22
, 2 2 2 2))((2222sin coxnxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsixxinxsix −−+=−−=−=
, 2 2 2 2))((2222 coxnxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsixxinxsixsh +++=++=+=
). (22
), (22
coxinxosxsixxin
osxinxcoxsixxsi
⋅+⋅=
⋅+⋅=
(10)
Проверим результат
.2sincossin2cos) (2)coscos (2
))() ( (2) (222
xxxxinxsixxinxxsix
coxosxinxosxcoxsixcoxinxosxinxosxsixcoxsixxinxsi
==−=−=
=−+−=⋅−⋅+⋅−⋅=−
Аналогично проверяется равенство .222 xshxinxsi =+
Используем формулы двойных аргументов xxx 22 sincos2cos −= и xshxchxch 222 22 +=
,22)()(222cos 222222 sixinxcoxosxxinxsiosxcoinxsixosxcoxxosxcox +−−−+=−−−=−=
,22)()(222 222222 sixinxcoxosxxinxsiosxcoinxsixosxcoxxosxcoxch +++++=+++=+=
.22
,22
22
22
osxcoxxinxsixos
inxsixosxcoxco
⋅++=
⋅++= (11.1)
Подставив формулы (9), получим более простые выражения
2 1 4 ,
2 4 .
co x six inx
os x cox osx
= + ⋅
= ⋅
(11.2)
Мироненко Л.П.
«Искусственный интеллект» 3’2010 506
5М
Вычитая и складывая выражения, получим osxcoxinxsixxxosxcox ⋅−⋅+==−= 4412cos222cos ,
,441222 osxcoxinxsixxosxcoxch ⋅+⋅+=+=
.4412
,4412cos
osxcoxinxsixxch
osxcoxinxsixx
⋅+⋅+=
⋅−⋅+= (12)
Вычитая и складывая равенства, получим еще два соотношения
.822cos2
,82cos2
inxsixxxch
coxosxxxch
⋅+=−+
=−− (13)
Используем формулы понижения степени
2
2cos1sin2 xx −
= и
2
2cos1cos2 xx +
= ,
подставив формулу (12):
2
2cos1 x±
⋅−⋅
⋅−⋅+
=
⋅−⋅+±
=
)(2
)221
2
)441(1
inxsixosxcox
osxcoxinxsixosxcoxinxsix
).(21cos
)(2sin
2
2
osxcoxinxsixx
inxsixosxcoxx
⋅−⋅+=
⋅−⋅=
(14)
Используем формулы понижения степени
2
122 −
=
xchxsh и
2
212 xchxch +
= ,
подставив формулу (12)
⋅+⋅
⋅+⋅+
=
±⋅+⋅+
=
±
.22
,221
2
1441
2
12
osxcoxinxsix
osxcoxinxsixosxcoxinxsixxch
.22
221
2
2
osxcoxinxsixxsh
osxcoxinxsixxch
⋅+⋅=
⋅+⋅+= (15)
Найдем тригогиперболические функции для суммы и разности аргументов x и y
.)()(
,
))(())((sincoscossin)sin(
inyosxnxosyosysixosxsiyinxcoycoxinysiycoxsixcoyyxinyxsi
osxinycoxinyosxsiycoxsiynxosyinxcoysixosysixcoy
inysiyosxcoxosycoyinxsixyxyxyx
++−−−−+=+−+
+−−++−−=
=−−+−−=+=+
Аналогично, для гиперболической функции )( yxsh +
.
))(())(()(
osxinycoxinyosxsiycoxsiynxosyinxcoysixosysixcoy
inysiyosxcoxosycoyinxsixchxshyshxchyyxsh
+++++++=
=+++++=+=+
В результате получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .si x y in x y sixcoy siycox coxiny inxcoy osxsiy osysix nxosy inyosx+ + + = + + + + + + +
Сладывая и вычитая равенства для выражений )()( yxinyxsi +−+ и ( )si x y+ + ,
( )in x y+ + получим
.)(
,)(
,)(
,)(
sixosysiyosxcoyinxinycoxyxin
sixosysiyosxcoyinxinycoxyxin
osxinyosyinxcoxsiycoysixyxsi
osxinyosyinxcoxsiycoysixyxsi
⋅+⋅−⋅+⋅−=−
⋅+⋅+⋅+⋅=+
⋅−⋅+⋅−⋅=−
⋅+⋅+⋅+⋅=+
(16)
Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
«Штучний інтелект» 3’2010 507
5М
Легко проверить, что формулы двойных аргументов xinxsi 2,2 следуют при yx =
и совпадают с формулами (9).
Комбинируя в (16), получим
).(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
siyosxinycoxyxinyxin
sixosycoyinxyxinyxin
osxinycoxsiyyxsiyxsi
osyinxcoysixyxsiyxsi
⋅+⋅=−−+
⋅+⋅=−++
⋅+⋅=−−+
⋅+⋅=−++
(17)
Найдем тригогиперболические функции для суммы и разности аргументов для
)cos( yx ± и )( yxch ±
.
))(())((sinsincoscos)cos(
inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosycoxosxcoycoxcoy
inysiyinxsixosycoyosxcoxyxyxyx
−++−+−−=
=−−−−−=−=+
.)( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosxcoyosxcoycoxcoyshxshychxchyyxch +++++++=+=+
.)()( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosycoxosxcoycoxcoyyxosyxco −++−+−−=+−+
.)()( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosxcoyosxcoycoxcoyyxosyxco +++++++=+++
.)(
,)(
,)(
,)(
inxinysixsiyosycoxosxcoyyxos
inxinysixsiyosycoxosxcoyyxos
sixinyinxsiyosxosycoxcoyyxco
sixinyinxsiyosxosycoxcoyyxco
−−+=−
+++=+
−−+=−
+++=+
(18)
Формулы двойных аргументов xosxco 2,2 следуют при yx = и совпадают с
формулами (10).
).(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
inxinysixsiyyxosyxos
osycoxosxcoyyxosyxos
inxsiysixinyyxcoyxco
osxosycoxcoyyxcoyxco
+=−−+
+=−++
+=−−+
+=−++
(19)
3 Некоторые комплексные соотношения
для функций six, inx, cox, osx
Подставив в разложения функций osxcoxinxsix ,,, вместо переменной x
переменную ix и учитывая, что 1 , ,1 432 =−=−= iiii , получим
.....
!10!6!2
)(
....
!8!4
1)(
,...
!11
.
!7
.
3
.)(
,...
!9
.
!5
.)(
10106722
8744
11117533
9955
osxxixixiixos
coxxixiixco
iinxxixixiixin
isixxixiixixsi
−=++=
=+++=
−=+++=
=+++=
Мироненко Л.П.
«Искусственный интеллект» 3’2010 508
5М
В результате получим соотношения для тригогиперболических функций мнимого
аргумента
.)(
.)(
,)(
,)(
osxixos
coxixco
inxiixin
sixiixsi
−=
=
⋅−=
⋅=
(19)
Легко проверяются следующие равенства
.cos)()()(
,sin)()()()(
,)()()cos(
,)()()()sin(
xosxcoxixosixcoixch
xiinxsixiixinixsiixsh
chxosxcoxixosixcoix
shxiinxsixiixinixsiix
=−=+=
⋅=−=+=
=+=−=
⋅=+=−=
(20)
.sincos)()()()()( xixosxcoxinxsixiixosixcoixinixsieix +=++−=+++=
Подставим эти выражения в формулы (6)
)).((
2
1
)),((
2
1
)),((
2
1
)),((
2
1
ixchchxosx
ixchchxcox
uxshishxinx
uxshishxsix
−=
+=
⋅+=
⋅−=
).cos)(cos(
2
1
),cos)(cos(
2
1
)),sin((sin
2
1
)),sin((sin
2
1
xixosx
xixcox
ixixinx
ixixsix
−=
+=
⋅+−=
⋅−=
(21)
Запишем формулы (16) – (19) для комплексной переменной iyxz += и iyxz −=*
).()(
),()(
),()(
),()(
osxsiycoxinyiosysixinxcoyiyxin
coxinyosxsiyiosysixinxcoyiyxin
siycoxinyosxinxosysixcoyiyxsi
inyosxsiycoxiinxosysixcoyiyxsi
−+−=−
−+−=+
−+−=−
−+−=+
).(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
coxinyosxsiyiiyxiniyxin
osysixinxcoyiyxiniyxin
inyosxsiycoxiiyxsiiyxsi
inxosysixcoyiyxsiiyxsi
−=−−+
−=−++
−=−−+
−=−++
(22)
).()(
),()(
),()(
),()(
inxinysixsiyiosycoxosxcoyyxos
inxinysixsiyiosycoxosxcoyyxos
sixinyinxsiyiosxosycoxcoyiyxco
inxsiysixinyiosxosycoxcoyiyxco
−⋅−−=−
+⋅−−=+
−⋅−−=−
−⋅−−=+
(23)
).(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
),(2)()(
inxinysixsiyiiyxosiyxos
osycoxosxcoyiyxosiyxos
sixinyinxsiyiiyxcoiyxco
osxosycoxcoyiyxcoiyxco
−=−−+
−=−++
−=−−+
−=−++
(24)
Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I)
«Штучний інтелект» 3’2010 509
5М
Выводы
В работе рассмотрена возможность введения группы независимых «элемен-
тарных» функций на основе известных стандартных степенных рядов для функций
chxshxxx ,,cos,sin . При «перестраивании» степенных рядов введены четыре линейно
независимые между собой функции, которые условно обозначены как osxcoxinxsix ,,,
и названы тригогиперболическими функциями. Эти функции выражаются через обычные
тригонометрические и гиперболические функции взаимно однозначно. Для них расс-
мотрен весь спектр алгебраических возможностей. Получены алгебраические соот-
ношения между новыми функциями, а также между новыми и прежними. Произведено
аналитическое продолжение новых функций в комплексную плоскость и записаны
основные соотношения для функций комплексного переменного.
Необычные соотношения в связи с введением новых функций делают теорию
достаточно сложной, но перспективной. Математический аппарат в новых функциях
имеет значительные ограничения в сравнении с обычными и требует определенной
сноровки и опыта. Тем не менее, теория интересная и допускает обобщения и
развития в область дифференциального и интегрального исчисления, а также
дифференциальных уравнений. Свойства тригогиперболических функций позволяют
в полной мере изучить класс уравнений, решаемых в квадратурах.
Что касается перспективы предложенной теории, то сразу отметим возможность
ее практического применения в теории фазовых переходов и переходных процессов в
электрических цепях. Эта возможность открывается благодаря уникальным свойствам
введенных функций. Одним из специфических свойств является монотонный характер
функций ,,,, osxcoxinxsix а их разности )(),( osxcoxinxsix −− дают ограниченные и
периодические функции.
Литература
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Кудрявцев Л.Д. – М. : Наука,1970. – Т. 2. – 571 с.
2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Изд. ФМЛ, 1956. –
Т. 2. – 472 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. –
Москва : Наука, «ФМЛ» : 1972. – Т 2. – 795 с.
4. Гурса Э. Курс математического анализа / Гурса Э. – М. : Государственное технико-практическое
издательство, 1933. – Т 1. – 368 с
5. Шведов И.А. Компактный курс анализа. Функции одной переменной / Шведов И.А. – Новоси-
бирск : Новосибирский государственный университет, 2003. – 112 с.
6. Смирнов В.И. Курс высшей математики / Смирнов В.И. – Москва : Наука, 1974. – Т. 1. – 480 с.
Л.П. Мироненко
Тригогіперболічні функції та їх алгебраїчні властивості
У статті пропонується альтернативний варіант системи незалежних функцій. Нові функції взаємно одночасно
виражаються через звичні тригонометричні і гіперболічні функції і тому названі тригогіперболічними
функціями. Отримані співвідношення між новими функціями, а також між новими і традиційними
функціями. Незвичність цих співвідношень робить теорію досить складною, але перспективною.
Статья поступила в редакцию 05.07.2010.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56574 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T21:37:05Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мироненко, Л.П. 2014-02-19T21:51:33Z 2014-02-19T21:51:33Z 2010 Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Мироненко // Штучний інтелект. — 2010. — № 3. — С. 501-509. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56574 514.116 Материалы статьи носят научно-исследовательский характер в области теории функций и предлагают альтернативный вариант системы независимых функций, которые, возможно, дополнят систему тригонометрических и гиперболических функций. Новые функции взаимно однозначно выражаются через обычные тригонометрические и гиперболические функции и поэтому названы тригогиперболическими функциями. Получены соотношения между новыми функциями, а также между новыми и традиционными функциями. Необычность этих соотношений делает теорию довольно сложной, но перспективной. У статті пропонується альтернативний варіант системи незалежних функцій. Нові функції взаємно одночасно виражаються через звичні тригонометричні і гіперболічні функції і тому названі тригогіперболічними функціями. Отримані співвідношення між новими функціями, а також між новими і традиційними функціями. Незвичність цих співвідношень робить теорію досить складною, але перспективною. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) Тригогіперболічні функції та їх алгебраїчні властивості Article published earlier |
| spellingShingle | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) Мироненко, Л.П. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) |
| title_alt | Тригогіперболічні функції та їх алгебраїчні властивості |
| title_full | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) |
| title_fullStr | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) |
| title_full_unstemmed | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) |
| title_short | Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) |
| title_sort | тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (i) |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56574 |
| work_keys_str_mv | AT mironenkolp trigogiperboličeskiefunkciiiihalgebraičeskiesvoistvai AT mironenkolp trigogíperbolíčnífunkcíítaíhalgebraíčnívlastivostí |