Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости
В линейной постановке рассмотрена двумерная задача о стационарных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для трех модельных непрерывных распределений скорости течения найдены аналитические решения и условия существования внутренних волн. Пока...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2012
|
| Назва видання: | Морской гидрофизический журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56622 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56622 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-566222025-02-09T09:39:02Z Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. Термогидродинамика океана В линейной постановке рассмотрена двумерная задача о стационарных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для трех модельных непрерывных распределений скорости течения найдены аналитические решения и условия существования внутренних волн. Показано, что внутренние волны существуют только в определенных диапазонах значений параметров течения и плотностной стратификации. При малой толщине верхнего слоя и слабой стратификации периодические внутренние волны не образуются. Волновая скорость максимальна на границе раздела слоев. Ее убывание при удалении от скачка плотности зависит от сдвигов скорости течения. Как правило, усиление сдвигов приводит к более медленному пространственному затуханию волнового поля. Длина внутренней волны существенно уменьшается с ростом относительного перепада плотности между слоями. При постоянном полном потоке изменение скорости течения по глубине приводит к увеличению длины волны в два и более раз по сравнению с течением без сдвига скорости. У лінійній постановці розглянута двовимірна задача про стаціонарні внутрішні гравітаційні хвилі у течії двошарової pідини з вертикальним зсувом швидкості. Для трьох модельних неперервних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення та умови існування внутрішніх хвиль. Показано, що внутрішні хвилі існують тільки в певних діапазонах значень параметрів течії та щільнісної стратифікації. Якщо товщина верхнього шару мала і стратифікація слабка, періодичні внутрішні хвилі не утворюються. Хвильова швидкість максимальна на межі розділу шарів. Її зменшення при віддаленні від стрибка щільності залежить від зсувів швидкості течії. Як правило, посилення зсувів призводить до більш повільного просторового загасання хвильового поля. Довжина внутрішньої хвилі суттєво зменшується із зростанням відносного перепаду щільності між шарами. При постійному повному потоці зміна швидкості течії з глибиною призводить до збільшення довжини хвилі в два і більше разів у порівнянні з течією без зсуву швидкості. Two-dimensional problem on stationary internal gravity waves in a flow of two-layer liquid with vertical shear of velocity is considered in the linear statement. The analytical solutions and the conditions providing existence of internal waves are found for three model continuous distributions of current velocity. It is shown that internal waves exist only within the specific ranges of current and density stratification parameters. If the upper layer thickness is small and stratification is weak periodic internal waves are not generated. The wave velocity is maximal on the layers’ interface. Its attenuation varying with distance from the density drop depends on the current velocity shear. As a rule, growth of current shifts results in a slower decrease of the wave field. The internal wavelength significantly decreases with growth of relative density difference between the layers. At constant full flow the current velocity variation over depth leads to a wavelength increase by two and more times as compared to the case of a current without shear. 2012 Article Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0233-7584 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56622 551.466.8 ru Морской гидрофизический журнал application/pdf Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана |
| spellingShingle |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости Морской гидрофизический журнал |
| description |
В линейной постановке рассмотрена двумерная задача о стационарных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для трех модельных непрерывных распределений скорости течения найдены аналитические решения и условия существования внутренних волн. Показано, что внутренние волны существуют только в определенных диапазонах значений параметров течения и плотностной стратификации. При малой толщине верхнего слоя и слабой стратификации периодические внутренние волны не образуются. Волновая скорость максимальна на границе раздела слоев. Ее убывание при удалении от скачка плотности зависит от сдвигов скорости течения. Как правило, усиление сдвигов приводит к более медленному пространственному затуханию волнового поля. Длина внутренней волны существенно уменьшается с ростом относительного перепада плотности между слоями. При постоянном полном потоке изменение скорости течения по глубине приводит к увеличению длины волны в два и более раз по сравнению с течением без сдвига скорости. |
| format |
Article |
| author |
Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. |
| author_facet |
Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. |
| author_sort |
Билюнас, М.В. |
| title |
Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_short |
Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_full |
Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_fullStr |
Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_full_unstemmed |
Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_sort |
свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| publisher |
Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Термогидродинамика океана |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56622 |
| citation_txt |
Свободные внутренние волны в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Морской гидрофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bilûnasmv svobodnyevnutrennievolnyvneodnorodnomtečeniisvertikalʹnymsdvigomskorosti AT docenkosf svobodnyevnutrennievolnyvneodnorodnomtečeniisvertikalʹnymsdvigomskorosti |
| first_indexed |
2025-11-25T11:25:57Z |
| last_indexed |
2025-11-25T11:25:57Z |
| _version_ |
1849761435628863488 |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 3
© М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко, 2012
Термогидродинамика океана
УДК 551.466.8
М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко
Свободные внутренние волны
в неоднородном течении с вертикальным сдвигом скорости
В линейной постановке рассмотрена двумерная задача о стационарных внутренних грави-
тационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для
трех модельных непрерывных распределений скорости течения найдены аналитические реше-
ния и условия существования внутренних волн. Показано, что внутренние волны существуют
только в определенных диапазонах значений параметров течения и плотностной стратифика-
ции. При малой толщине верхнего слоя и слабой стратификации периодические внутренние
волны не образуются. Волновая скорость максимальна на границе раздела слоев. Ее убывание
при удалении от скачка плотности зависит от сдвигов скорости течения. Как правило, усиле-
ние сдвигов приводит к более медленному пространственному затуханию волнового поля.
Длина внутренней волны существенно уменьшается с ростом относительного перепада плот-
ности между слоями. При постоянном полном потоке изменение скорости течения по глубине
приводит к увеличению длины волны в два и более раз по сравнению с течением без сдвига
скорости.
Ключевые слова: течения с вертикальным сдвигом скорости, жидкость двухслойная, вол-
ны внутренние, волны свободные, решения аналитические, решения численные.
Введение. Круг задач, связанных с распространением волн в сдвиговых
гидродинамических течениях, очень широк [1 – 3]. Течения с вертикальным
сдвигом скорости существенно влияют на динамику внутренних волн в Ми-
ровом океане [1, 2]. Вертикальные сдвиги скорости являются источником не-
устойчивости течения [4], изменения условий генерации, горизонтальной и
вертикальной структуры волновых полей [5 – 10].
Первая работа, показавшая существенное влияние течений на динамику
внутренних волн в двухслойных потоках, выполнена Г. Гельмгольцем [11].
Во многих случаях в моделях задавались многослойные распределения плот-
ности и линейные (постоянный сдвиг скорости) или кусочно-линейные рас-
пределения горизонтальной скорости течения по вертикали [5 – 9, 12].
Изучение динамики стратифицированной жидкости с кусочно-постоян-
ной плотностью имеет приложение к задачам океанологии. Важной особен-
ностью таких движений является развитие внутренних волн за счет передачи
импульса от одного слоя к другому. Простейшая модель (аппроксимация)
вертикальной плотностной стратификации морской среды – двухслойное
распределение плотности [1, 2], которое в зависимости от глубины залегания
границы раздела и перепада плотности между слоями позволяет моделиро-
вать сезонный или основной пикноклин. Задание в слоях горизонтальных
сдвиговых течений приводит к простейшей модели стратифицированного
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 4
x
–H
ρ2, U2(z)
ρ1, U1(z)
z
0
–h1
течения с вертикальным сдвигом скорости. Именно такая модель использует-
ся ниже для анализа стационарных внутренних волн в сдвиговых течениях.
В настоящей статье для трех типов вертикальных распределений скоро-
сти течения в двухслойной жидкости бесконечной глубины найдены анали-
тические решения задачи и на их основе рассмотрены свойства и условия су-
ществования внутренних волн, зависимости длин и вертикальной структуры
внутренних волн от параметров задачи. Ранее аналогичное исследование бы-
ло выполнено авторами для однородного течения с вертикальным сдвигом
скорости [13].
Математическая постановка задачи. В вертикальной плоскости Oxz,
где x – горизонтальная, z – вертикальная координата вдоль направленной вер-
тикально вверх оси Оz, отсчитываемой от невозмущенного положения сво-
бодной поверхности, рассматривается горизонтальный поток (U(z), 0) иде-
альной несжимаемой двухслойной жидкости постоянной глубины H (рис. 1).
Толщины слоев h1 и h2 постоянны, скорость течения
U = U1(z) (–h1 ≤ z ≤ 0), U = U2(z) (–H ≤ z ≤ –h1),
плотность верхнего слоя равна ρ1, нижнего – ρ2, H = h1+ h2. Вертикальное
распределение скорости течения изменяется непрерывно при пересечении
границы раздела слоев, то есть U1(–h1 + 0) = U2(–h1 – 0).
Р и с. 1. Схема задачи
Будем исследовать стационарные внутренние волны в таком сдвиговом
течении в рамках общей линейной теории. Кроме этого, воспользуемся при-
ближением твердой крышки, предполагающим замену свободной поверхно-
сти горизонтальной плоскостью. Оно позволяет отфильтровать поверхност-
ные волны.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 5
При сделанных предположениях стационарные свободные внутренние
волны в сдвиговом течении в области 0 , <<−+∞<<∞− zHx описываются
системой шести линеаризованных относительно среднего течения (U(z), 0)
уравнений с зависящими от вертикальной координаты z коэффициентами:
)2 1(
1
,j
x
p
w
dz
dU
x
u
U j
j
j
jj
j =
∂
∂
−=+
∂
∂
ρ
, (1)
z
p
x
w
U j
j
j
j ∂
∂
−=
∂
∂
ρ
1
, (2)
0=
∂
∂
+
∂
∂
z
w
x
u jj , (3)
где ),( zxu j – малые возмущения горизонтальной скорости потока; ),( zxwj –
вертикальная скорость в верхнем (j = 1) и нижнем (j = 2) слоях; ),( zxp j – ди-
намические возмущения гидростатического давления жидкости в слоях.
Систему уравнений (1) – (3) необходимо дополнить граничными усло-
виями. На поверхности z = 0 и на дне бассейна z = –H при всех ),( ∞+−∞∈x
должны выполняться условия непротекания жидкости:
)0( 01 == zw , )( 02 Hzw −== . (4)
На границе раздела слоев 1hz −= необходимо задать два условия согла-
сования решений в слоях – кинематическое и динамическое. Первое условие
)()( 1211 hwhw −=− (5)
вытекает из пары линеаризованных кинематических соотношений
)( )( 11 hz
x
hUw jj −=
∂
∂−= ζ
(6)
на границе раздела слоев, где ζ�(x) – смещения границы раздела слоев от гори-
зонтального положения .1hz −= Динамическое условие означает непрерыв-
ность полного давления жидкости при пересечении границы слоев 1hz −= :
ζρζρ gpgp hzhz 2|21|1 11
−− −=−= = , (7)
где g – ускорение свободного падения.
Переход к краевой задаче для системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений. В рамках задачи (1) – (5), (7) рассмотрим гармонические
по x стационарные внутренние волны, имеющие вид
kxzwwkxazpzupu jjjjjj sin)( ,cos}),(),({},,{ ==ζ , (8)
где k – подлежащее нахождению волновое число; uj, wj, pj – неизвестные ам-
плитудные функции; a – константа. Подстановка выражений (8) в задачу
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 6
(1) – (5), (7) и исключение из полученных соотношений всех неизвестных
функций, кроме w1,2, приводит к краевой задаче на собственные значения k и
соответствующие им распределения по z амплитудных функций полей верти-
кальной скорости в слоях:
( )0 0)]([ 111
2"
1 <<−=+− zhwzkw α , (9)
( )122
2"
2 0)]([ hzHwzkw −<<−=+− α , (10)
0)0(1 =w , (11)
)()( 1211 hwhw −=− , 0)()()( 111212 =−′−−−−′ hwhwhw γη , (12)
0)(2 =−Hw , (13)
где штрих означает производную по переменной z,
)(
)(
zU
zU
j
j
j
′′
=α ,
2
1
ρ
ργ = ,
)(
)(
)(
)(
)( 12
11
12
12
1
2
2 hU
hU
hU
hU
hU
g
−
−′
−
−
−′
+
−
=
γεη , ε = 1 – γ.
Будем предполагать, что скорость течения не изменяет своего направле-
ния (Uj(z) > 0) при всех − H ≤ z ≤ 0, а распределения горизонтальной скорости
течения в слоях гладкие. Задача (9) – (13) является основной для последую-
щего анализа внутренних волн в двухслойных сдвиговых течениях. Она
представляет собой краевую задачу для системы двух обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка на собственные значения µ = k2.
Докажем, что значения µ в задаче (9) – (13) могут быть только вещест-
венными. Произведем с уравнениями (9) и (10) следующие операции:
∫
−
∗∗ =⋅−⋅
0
11
1
0])9()9[(
h
dzww , ∫
−
−
∗∗ =⋅−⋅
1
0])10()10[( 22
h
H
dzww ,
где звездочка – знак комплексного сопряжения. После одного интегрирова-
ния по частям с учетом (11) и (13) приходим к равенствам
∫
−
∗
−=
∗∗ =−+−
0
2
11111
1
1
0||)()''(
h
hz
dzwwwww µµ , (14)
∫
−
−
∗
−=
∗∗ =−+−
1
1
0||)()''( 2
22222
h
H
hz
dzwwwww µµ . (15)
Исключая w2(–h1) и w2'(–h1) из (15) с использованием граничных условий (12),
получим с учетом (14) равенство
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 7
0||||)(
1
1
2
2
0
2
1 =
+− ∫∫
−
−−
∗
h
Hh
dzwdzwγµµ . (16)
Из (16) следует, что µµ =∗ , то есть все собственные числа µ = k2 являются
вещественными. Таким образом, для стационарных волн вида (8) значения k
могут быть либо вещественными (µ > 0), либо чисто мнимыми (µ < 0). Чисто
мнимые значения µik ±= соответствуют неустойчивым волновым режи-
мам (экспоненциальный рост по x амплитуд внутренних волн). В дальнейшем
будем рассматривать только вещественные значения k, соответствующие пе-
риодическим по x волнам.
Распределения скорости течения, допускающие аналитические ре-
шения задачи. Рассмотрим некоторые вертикальные распределения горизон-
тальной скорости двухслойного течения, для которых решение задачи (9) –
(13) находится аналитически и выражается через элементарные функции.
Предположим, что распределения скорости сдвигового течения таковы,
что const=jα для j = 1, 2. Введем величины jj kk α+= 22 . Решение задачи
(9) – (13) записывается в виде
,
sh
ch
)(
11
11
1 hk
zk
k
k
Azu −=
22
22
2 sh
)(ch
)(
hk
Hzk
k
k
Azu
+
= ,
,
sh
sh
)(
11
1
1 hk
zk
Azw −=
22
2
2 sh
)(sh
)(
hk
Hzk
Azw
+
= , (17)
)( 12 hkU
A
a
−
−= ,
здесь A – произвольная константа; волновое число k должно удовлетворять
трансцендентному уравнению
11
1
22
2
thth hk
k
hk
k γη =− . (18)
В тех случаях, когда 02
1 <k (это возможно только при α 1 < 0) и/или
02
2 <k (возможно только при α 2 < 0), необходимо положить в формулах (17)
и (18) || 11 kik ±= и/или || 22 kik ±= . Тогда соответствующие гиперболиче-
ские функции можно заменить на тригонометрические. В дальнейшем рас-
сматриваются распределения U1,2(z), для которых 02
2,1 >k при всех k ≥ 0, то
есть 0≥jα .
Левая часть уравнения (18) – строго монотонно убывающая функция
волнового числа k > 0, правая – строго монотонно возрастающая функция k.
Следовательно, уравнение (18) может иметь только один корень, который
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 8
существует при выполнении неравенства (условие существования внутрен-
них волн)
.
thth 11
1
22
2
hh α
α
γ
α
α
η >− (19)
Для удобства введем обозначения: U00 = U1(0) > 0 – скорость течения на
верхней границе потока; U11 = U1(–h1) > 0 – скорость течения на границе раз-
дела слоев; U22 = U2(–H) > 0 – скорость течения на дне бассейна;
00111 /UUr = – отношение скоростей течения на границах верхнего слоя;
22112 /UUr = – аналогичное отношение скоростей для нижнего слоя.
Течение без сдвига скорости [2]. В этом случае Uj(z) ≡ U00 (рис. 2, а). Ре-
шение (17) принимает вид
,
sh
ch
)(
1
1 kh
kz
Azu −=
2
2 sh
)(ch
)(
kh
Hzk
Azu
+= ,
,
sh
sh
)(
1
1 kh
kz
Azw −=
2
2 sh
)(sh
)(
kh
Hzk
Azw
+= ,
00kU
A
a −= .
Р и с. 2. Вертикальные распределения скорости течения, допускающие аналитические решения
Волновое число k > 0 удовлетворяет уравнению (18), которое записывается в
форме
12
2
00 thth kh
k
kh
k
U
g γε =− .
z
U 0
-h1
-H
U00
а
z
U 0
-h1
-H
U00
U11
U22
б
z
U 0
-h1
-H
U00
U11
U22
в
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 9
Условие существования волн упрощается:
2
212
00 hH
hgh
U
ε
ε
−
< .
Приближенно HhghCU /2100 ε=< , где C – скорость распространения длин-
ных волн в двухслойной жидкости [2].
Течение с линейными распределениями скорости в слоях [2, 9, 12]. Пред-
положим, что
)0( )( 10011 ≤≤−+= zhUzczU ,
)( )()( 111122 hzH UhzczU −≤≤−++= ,
где 222112111001 /)( ,/)( hUUchUUc −=−= . Схематически это течение показа-
но на рис. 2, б.
Решение (17) записывается в виде
,
sh
ch
)(
1
1 kh
kz
Azu −=
2
2 sh
)(ch
)(
kh
Hzk
Azu
+= ,
,
sh
sh
)(
1
1 kh
kz
Azw −=
2
2 sh
)(sh
)(
kh
Hzk
Azw
+= ,
11kU
A
a −= .
Искомое волновое число k > 0 удовлетворяет уравнению
1211
21
2
11 thth kh
k
kh
k
U
cc
U
g γγε =−
−
− .
Оно имеет корень при выполнении условия
2
112211
1
U
g
hrhr
εγ <+ . (20)
Течение с экспоненциальными распределениями скорости в слоях. Зада-
дим распределение скорости течения
)0( e)( 1001
1 ≤≤−= − zhUzU zδ ,
)( e)( 1
)(
112
12 hzH UzU hz −≤≤−= +δ ,
где jjj hr /ln=δ (рис. 2, в). Решение задачи имеет вид (17) с 22
jj kk δ+= .
Волновое число k > 0 находится из уравнения
11
1
22
2
212
11 thth hk
k
hk
k
U
g γδγδε =−++ , (21)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 10
являющегося следствием (18). Условие существования положительных кор-
ней у уравнения (21) записывается в виде
2)1(
ln
)1(
ln
2
11
2
22
2
2
11
1
U
g
rh
r
rh
r εγ
<
−
+
−
. (22)
Неравенство (22) – это условие существования внутренних волн в течении с
экспоненциальными распределениями скорости в слоях.
Комбинированные распределения горизонтальной скорости течения.
Аналитические решения задачи можно также найти, используя в различных
слоях перечисленные выше, но не совпадающие по виду распределения ско-
рости течения. Кроме этого, как и в потоке однородной жидкости [13], можно
задать изменение Uj(z) в одном или двух слоях в виде гиперболических
функций shδ (z – z0) и сhδ (z – z0). Для сложных распределений скорости те-
чения необходимо численно решать краевую задачу (9) – (13) на собственные
значения k > 0.
Характеристики внутренних волн для модельных распределений
скорости течения. Поскольку рассматриваются свободные внутренние вол-
ны в двухслойном сдвиговом течении, их основными характеристиками яв-
ляются условия генерации, длина волны и вертикальная структура поля ба-
роклинных волновых скоростей.
Характерные вертикальные распределения проекций волновой скорости
для внутренней волны показаны на рис. 3 и 4. Условия существования внут-
ренних волн (20) и (22) в этих случаях выполняются. Для каждого распреде-
ления скорости течения проводится сопоставление с течением, скорость ко-
торого постоянна по глубине, а полный поток жидкости равен потоку соот-
ветствующего сдвигового течения (рис. 3 и 4).
Для всех распределений скорости течения вертикальная структура вол-
нового поля качественно одинаковая. Горизонтальная волновая скорость
(рис. 3, б и 4, б) изменяет знак на противоположный при пересечении грани-
цы раздела слоев, вертикальная скорость во внутренней волне (рис. 3, в и 4, в)
имеет постоянный знак по глубине и принимает наибольшее значение на гра-
нице раздела слоев. Сдвиг скорости фонового течения при сохранении пол-
ного потока жидкости вызывает существенно более медленное затухание
волнового поля при удалении от скачка плотности. На рис. 3 длины волн λ
для течения с постоянной по глубине скоростью и сдвигового течения равны
35,04 и 98,86 м, на рис. 4 – 10,68 и 80,62 м соответственно. Сдвиг скорости
течения существенно влияет на длины внутренних волн. Заметим, что в
длинной внутренней волне [2] горизонтальная скорость постоянна в каждом
слое, а вертикальная изменяется в слоях линейно, принимая нулевые значе-
ния на верхней и нижней границах течения.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 11
Р и с. 3. Вертикальные распределения скорости течения (а), горизонтальной (б) и вертикаль-
ной (в) скоростей во внутренней волне при ε = 0,001. Течение с линейными распределениями
скорости в слоях – сплошные линии, течение без сдвига скорости – штриховые
Р и с. 4. То же, что на рис. 3, для экспоненциальных распределений скорости течения в слоях
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 12
Длина внутренней волны существенно зависит от относительного пере-
пада плотности между слоями ε, что демонстрирует для двух типов сдвиго-
вых течений рис. 5. Длины волн наибольшие при малых значениях ε, причем
усиление кривизны вертикального профиля скорости фонового течения в
слоях вызывает уменьшение длины волны при одних и тех же величинах ско-
рости течения на верхней и нижней границах потока, а также на границе раз-
дела слоев.
Р и с. 5. Зависимости длины внутренней волны от относительного перепада плотности между
слоями при линейном (1) и экспоненциальном (2) распределениях скорости течения в слоях.
Параметры течений: h1 = 60 м, H = 200 м, U00 = 0,1 м·с–1, U11 = 0,3 м·с–1, U22 = 0,01 м·с–1
Р и с. 6. Зависимости длины внутренней волны (в м) от глубины верхнего слоя жидкости и
относительного перепада плотности при линейных распределениях скорости течения в слоях.
Параметры течений: U00 = 0,1 м·с–1, U11 = 0,3 м·с–1, U22 = 0,001 м·с–1
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 13
Уменьшение длины волны с ростом относительного перепада плотности
между слоями ε следует также из рис. 6. Некоторое увеличение длины волны
происходит при уменьшении глубины верхнего слоя. Область графика в
нижнем левом углу, где кривые отсутствуют, соответствует значениям h1 и ε,
для которых внутренняя волна не образуется, то есть не выполняется условие
(20).
Рассмотрим применение двухслойной модели течения для оценки длин
стационарных волн в реальных океанических условиях.
Р и с. 7. Распределения условной плотности σt (а) и средней скорости течения U(z) (б) в Гиб-
ралтарском проливе 12 апреля 1986 г. [14], а также вертикальные распределения проекций
волновых скоростей во внутренней волне (в, г), рассчитанные с использованием двухслойной
аппроксимации непрерывного распределения плотности (штриховая линия)
На рис. 7, а, б представлены распределения условной плотности и скоро-
сти течения в Гибралтарском проливе (сплошные кривые), измеренные 12
апреля 1986 г. при глубине в районе исследований H = 890 м [14]. Подходя-
щая двухслойная аппроксимация распределения плотности и аналитическая
аппроксимация распределения скорости течения показаны на рис. 7, а, б
штриховыми линиями. Параметры двухслойной плотностной стратификации
таковы: h1 = 75 м, ρ1 = 1026,94 кг·м–3, ρ2 = 1028,99 кг·м–3. Аппроксимация
распределения скорости течения задавалась по формулам
−≤≤−
≤≤−
=
, ),(
,0 ),(
)(
12
11
hzHzU
zhzU
zU
211 cos)( A
h
z
AzU +
= ∗
π
,
−≤≤−
−≤≤−
= ∗
∗
, ,
, ),(
)(
22
11
2
hzHU
hzhzU
zU
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 14
где А1 = 0,743 м·с–1, А2 = 0,916 м·с–1, U22 = 0,174 м·с–1, ∗h = 120 м (U00 =
= 1,659 м·с–1).
Собственные значения k > 0 находились из краевой задачи (9) – (13) мето-
дом стрельбы, причем уравнения (9) и (10) решались методом Рунге – Кутта
четвертого порядка точности [15]. Найденная таким способом длина внутрен-
ней волны λ равна 489,9 м. Распределения волновых скоростей для этого слу-
чая, рассчитанные для двухслойного потока, приведены на рис. 7, в, г. Основ-
ные волновые возмущения локализуются в области границы раздела слоев.
Заключение. В общей линейной постановке рассмотрена плоская задача
о свободных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной
жидкости с изменяющимися по вертикали скоростями течения в слоях. Вол-
ны предполагаются стационарными, что характерно, в частности, для подвет-
ренных внутренних волн. Нахождение длины генерируемой внутренней вол-
ны и соответствующих распределений горизонтальной и вертикальной ско-
ростей сведено к решению краевой задачи на собственные значения. Для трех
модельных знакопостоянных распределений горизонтальной скорости тече-
ния в слоях найдены аналитические решения и условия существования внут-
ренних волн.
Показано, что для рассмотренных вертикальных распределений скорости
двухслойного течения внутренние волны могут существовать только в опре-
деленных диапазонах значений параметров плотностной стратификации и
распределения скорости фонового течения. В частности, внутренние волны
не генерируются при слабых стратификациях и относительно малых глуби-
нах верхнего слоя жидкости.
Для всех рассмотренных распределений скорости течения вертикальная
структура волнового поля качественно одинаковая: горизонтальная волновая
скорость имеет разные знаки в слоях, а вертикальная скорость во внутренней
волне имеет постоянный знак по глубине и принимает наибольшее значение
на границе раздела слоев. Характер затухания волновых скоростей при уда-
лении от скачка плотности зависит от сдвигов скорости течения: как правило,
усиление сдвигов скорости ослабляет такое затухание волнового поля.
Длина внутренней волны существенно зависит от относительного пере-
пада плотности между слоями. Ее значения существенно возрастают при
уменьшении такого перепада плотности. Зависимость длины волны от глуби-
ны верхнего слоя течения выражена слабее. При одном и том же полном по-
токе сдвиг скорости фонового течения приводит к увеличению длины волны
в два и более раз.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крауcс В. Внутренние волны. – Л.: Гидрометеоиздат, 1968. – 272 с.
2. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 2. – М.: Мир, 1981. – 365 с.
3. Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых гидродинамиче-
ских течениях // Успехи физических наук. – 1989. – 159, вып. 1. – С. 83 – 123.
4. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1976. – 108 с.
5. Букатов А.Е., Власенко В.И., Пухтяр Л.Д. и др. Динамика поверхностных и внутренних
волн. – Киев: Наук. думка, 1988. – 192 с.
6. Букатов А.Е., Власенко В.И., Стащук Н.М. и др. Поверхностные и внутренние гравита-
ционные волны в океане. – Киев: Наук. думка, 1989. – 144 с.
7. Черкесов Л.В., Власенко В.И., Стащук Н.М. и др. Гидродинамика морских волн. – Ки-
ев: Наук. думка, 1992. – 162 с.
8. Суворов А.М., Тананаев А.Н. О влиянии вертикальной структуры течения на развитие
пространственных внутренних волн // Морские гидрофизические исследования. –
1979. – № 4. – С. 63 – 68.
9. Суворов А.М. Генерация внутренних волн в потоке двухслойной жидкости со сдвигом
скорости // Цунами и внутренние волны. – Севастополь: МГИ АН УССР, 1976. –
С. 170 – 178.
10. Puri K.K. Waves on a shear flow // Bull. Austral. Math. Soc. – 1974. – 11. – P. 263 – 277.
11. Helmholtz H.V. Über diskontinuierliche flüssigkeitsbewegungen. – Berlin: Monatsber. der
Kgl. Preuss. Akad. Wiss., 1868. – S. 215 – 228.
12. Berkofsky L. Internal gravity-vorticity lee waves over mountains // J. Geophys. Res. – 1960. –
65, № 11. – P. 3685 – 3692.
13. Билюнас М.В., Доценко С.Ф. Стационарные волны в потоке однородной жидкости с
вертикальным сдвигом скорости // Морской гидрофизический журнал. – 2010. – № 4. –
С. 15 – 29.
14. Watson G. Internal waves in a stratified shear flow: the Strait of Gibraltar // J. Phys.
Oceanogr. – 1994. – 24, № 2. – P. 509 – 517.
15. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил
Севастополь в редакцию 18.11.10
Е-mail: sf_dotsenko@mail.ru После доработки 06.12.10
АНОТАЦІЯ У лінійній постановці розглянута двовимірна задача про стаціонарні внутрішні
гравітаційні хвилі у течії двошарової pідини з вертикальним зсувом швидкості. Для трьох мо-
дельних неперервних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення та умови
існування внутрішніх хвиль. Показано, що внутрішні хвилі існують тільки в певних діапазонах
значень параметрів течії та щільнісної стратифікації. Якщо товщина верхнього шару мала і
стратифікація слабка, періодичні внутрішні хвилі не утворюються. Хвильова швидкість мак-
симальна на межі розділу шарів. Її зменшення при віддаленні від стрибка щільності залежить
від зсувів швидкості течії. Як правило, посилення зсувів призводить до більш повільного про-
сторового загасання хвильового поля. Довжина внутрішньої хвилі суттєво зменшується із зро-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 1 16
станням відносного перепаду щільності між шарами. При постійному повному потоці зміна
швидкості течії з глибиною призводить до збільшення довжини хвилі в два і більше разів у
порівнянні з течією без зсуву швидкості.
Ключові слова: течії з вертикальним зсувом швидкості, рідина двошарова, хвилі
внутрішні, хвилі вільні, рішення аналітичні, рішення числові.
ABSTRACT Two-dimensional problem on stationary internal gravity waves in a flow of two-layer
liquid with vertical shear of velocity is considered in the linear statement. The analytical solutions and
the conditions providing existence of internal waves are found for three model continuous distribu-
tions of current velocity. It is shown that internal waves exist only within the specific ranges of cur-
rent and density stratification parameters. If the upper layer thickness is small and stratification is
weak periodic internal waves are not generated. The wave velocity is maximal on the layers’ inter-
face. Its attenuation varying with distance from the density drop depends on the current velocity
shear. As a rule, growth of current shifts results in a slower decrease of the wave field. The internal
wavelength significantly decreases with growth of relative density difference between the layers. At
constant full flow the current velocity variation over depth leads to a wavelength increase by two and
more times as compared to the case of a current without shear.
Keywords: flow with vertical velocity shear, two-layer fluid, internal waves, free waves, analyti-
cal solutions, numerical solutions.
|