Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости
Обсуждаются результаты численных экспериментов, посвященных воспроизведению трехмерной структуры гидрологических полей в карстовой полости. Для этого используются трехмерная гидростатическая и двумерные гидростатическая и негидростатическая численные модели (в приближении «твердой крышки»). В трехме...
Saved in:
| Published in: | Морской гидрофизический журнал |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56637 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости / Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 3. — С. 44-60. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859602206864441344 |
|---|---|
| author | Михайлова, Э.Н. Шапиро, Н.Б. |
| author_facet | Михайлова, Э.Н. Шапиро, Н.Б. |
| citation_txt | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости / Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 3. — С. 44-60. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Морской гидрофизический журнал |
| description | Обсуждаются результаты численных экспериментов, посвященных воспроизведению трехмерной структуры гидрологических полей в карстовой полости. Для этого используются трехмерная гидростатическая и двумерные гидростатическая и негидростатическая численные модели (в приближении «твердой крышки»). В трехмерной модели роль приближения гидростатики оценивается апостериори на основе баланса членов в вихре скорости ω = wy − vz. Показано, что в трехмерной и двумерной гидростатических моделях влияние слагаемого wy, связанного с вертикальными движениями, оказывается существенным только вблизи источника пресной воды. В рамках двумерной негидростатической модели отказ от приближения гидростатики приводит к большему распреснению поверхностных вод в полости, что лучше согласуется с данными наблюдений. Установлено, что главным фактором, влияющим на формирование реальной структуры гидрологических полей в карстовой полости, является образование вертикальной ячейки циркуляции из-за завихренности поля скорости, роль конвективного перемешивания при этом является вторичной.
Обговорюються результати чисельних експериментів, присвячених відтворенню тривимірної структури гідрологічних полів у карстовій порожнині. Для цього використовуються тривимірна гідростатична і двовимірні гідростатична і негідростатична чисельні моделі (у наближенні «твердої кришки»). У тривимірній моделі роль наближення гідростатики оцінюється апостеріорі на основі балансу членів у вихорі швидкості ω = wy – vz. Показано, що в тривимірній і двовимірній гідростатичних моделях вплив доданка wy, пов'язаного з вертикальними рухами, є істотним тільки поблизу джерела прісної води. В рамках двовимірної негідростатичної моделі не врахування наближення гідростатики призводить до більшого розспріснення поверхневих вод в порожнині, що краще узгоджується з даними спостережень. Встановлено, що головним фактором, який впливає на формування реальної структури гідрологічних полів у карстовій порожнині, є утворення вертикального осередку циркуляції через завихорність поля швидкості, роль конвективного перемішування при цьому є вторинною.
Results of numerical experiments intended for reconstructing three-dimensional structure of hydrological fields in a karst cavity are discussed. For this purpose three-dimensional hydrostatic numerical model and two-dimensional – hydrostatic and nonhydrostatic – ones (approximation of «rigid lid») are used. In the three-dimensional model the role of hydrostatics approximation is estimated a posteriori based on the term balance in vorticity ω = wy – vz. It is shown that in three-dimensional and twodimensional hydrostatic models influence of summand wy connected with vertical motions turns out to be significant only nearby the freshwater source. Within the framework of nonhydrostatic model, refusal from hydrostatics approximation results in stronger salinity decrease of surface waters in the cavity that better agrees with observation data. It is found that the main factor influencing formation of real structure of hydrological fields in a karst cavity is formation of vertical cell of circulation due to vorticity of velocity field; at that the role of convective mixing is secondary.
|
| first_indexed | 2025-11-28T00:44:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 44
© Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро, 2012
Математическое моделирование
морских систем
УДК 551.465
Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро
Роль гидростатического приближения при моделировании
субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости
Обсуждаются результаты численных экспериментов, посвященных воспроизведению трех-
мерной структуры гидрологических полей в карстовой полости. Для этого используются трех-
мерная гидростатическая и двумерные гидростатическая и негидростатическая численные мо-
дели (в приближении «твердой крышки»).
В трехмерной модели роль приближения гидростатики оценивается апостериори на основе
баланса членов в вихре скорости ω = wy − vz. Показано, что в трехмерной и двумерной гидро-
статических моделях влияние слагаемого wy, связанного с вертикальными движениями, оказы-
вается существенным только вблизи источника пресной воды. В рамках двумерной негидро-
статической модели отказ от приближения гидростатики приводит к большему распреснению
поверхностных вод в полости, что лучше согласуется с данными наблюдений.
Установлено, что главным фактором, влияющим на формирование реальной структуры
гидрологических полей в карстовой полости, является образование вертикальной ячейки цир-
куляции из-за завихренности поля скорости, роль конвективного перемешивания при этом
является вторичной.
Ключевые слова: субмаринная разгрузка, карстовая полость, негидростатическая модель,
численный эксперимент.
Введение. В предыдущих работах [1, 2], посвященных воспроизведению
структуры гидрологических полей в карстовой полости (в районе м. Айя на
Южном берегу Крыма), наблюдавшейся во время экспедиций в сентябре 2007
и 2008 гг., использовалась трехмерная гидростатическая модель в приближе-
нии «твердой крышки» и с процедурой «конвективного приспособления».
Методология численных экспериментов состояла в следующем. В на-
чальный момент времени в полости движение отсутствует и заданы не ме-
няющиеся по горизонтали поля температуры и солености такие же, как в от-
крытом море. Затем через трещины в боковых границах карстовой полости
начинает просачиваться пресная вода с нулевой соленостью, температурой
15ºC (более высокой во время первой и более низкой во время второй экспе-
диции по сравнению с температурой воды в море) и заданными априори рас-
ходами воды. Пресная вода практически мгновенно всплывает к поверхности
моря, как предполагалось, вследствие конвективной неустойчивости, пере-
мешиваясь при этом с соленой морской водой, и в виде распресненного слоя
выносится в открытое море. Из моря глубинными течениями в полость вно-
сится соленая морская вода. В результате в полости формируется трехмерная
(по существу, двухслойная) структура полей течений, температуры и солено-
сти.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 45
Проведенные численные эксперименты показали, что модель качествен-
но правильно описывает формирование трехмерных полей температуры, со-
лености и скорости течений в карстовой полости. Был сделан вывод, что для
количественного согласования результатов расчета с данными наблюдений
необходимо усовершенствование модели, и в первую очередь за счет учета
негидростатических эффектов.
Настоящая работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена оцен-
ке роли приближения гидростатики и процедуры «конвективного приспособ-
ления» на основе результатов численных экспериментов, выполненных в
рамках упомянутой выше трехмерной численной модели. Получена апосте-
риорная оценка приближения гидростатики, а влияние процедуры «конвек-
тивного приспособления» проанализировано на основе специально прове-
денных расчетов. Заодно проведено исследование влияния глубины залегания
источника пресной воды на величину поверхностной солености в полости –
основного индикатора субмаринной разгрузки.
Вторая часть работы посвящена разработке двумерной численной модели
в приближении «твердой крышки», в которой приближение гидростатики не
используется.
Трехмерная гидростатическая модель. В продолжение исследований,
описанных в работе [2], были проведены численные эксперименты, в кото-
рых субмаринная разгрузка происходит под действием одного источника
пресной воды, расположенного на берегу в вершине полости. На рис. 1 при-
веден рельеф дна в рассматриваемой области, показано положение источника
пресной воды (точка А) и станций, для которых на последующих рисунках
демонстрируются результаты расчетов (нумерация станций, как в работах [1,
2]).
Как в работе [2], численные эксперименты проводились в рамках 40-слой-
ной модели с разрешением по вертикали на сетке Z, когда границы слоев –
горизонтальные и все слои, кроме самого нижнего, придонного слоя имеют
одинаковую толщину. Толщина 39 верхних слоев равна 7 см, так что все гра-
ницы слоев располагаются над поднятием дна у входа в полость. Шаги сетки
по горизонтали ∆x = ∆y = 0,5 м. Дебит подземного источника QA =
= 6000 м3/сут ( ≈ 0,06 м3/с). Рассматривалось два случая: источник пресной во-
ды располагается в слое от горизонта 2,4 м до дна (3,5 м) – эксперимент 1 и
от горизонта 1 м до горизонта 2,1 м – эксперимент 2. Таким образом, пресная
вода поступает в слои от 35-го до 40-го в эксперименте 1 и от 15-го до 29-го в
эксперименте 2. Заметим, что в аналогичном расчете, описанном в статье [2],
пресная вода поступала во все слои. Коэффициенты горизонтальной и верти-
кальной вязкости и диффузии, как и в [2], равны 100; 50 см2/с и 0; 0,1 см2/с
соответственно. Как указывалось выше, в начальный момент времени ско-
рость течений равна нулю, температура и соленость в полости и на открытой
границе меняются только по вертикали, причем соленость увеличивается с
глубиной по линейному закону от 17,9 до 18,2‰, а температура, учитывая
условия второй экспедиции [2], наоборот, уменьшается от 24 до 23ºС. Расчет
с шагом по времени ∆t = 0,72 с проводился до тех пор (на 10 ч), пока все поля
не выходили на установившийся режим.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 46
5 10 15 20 X,м
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Y,м A
5 10 15 20 X,м
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Y,м
1
2
4
7
10
а б
в
15 16 17 X,м
48
49
50
Y,м
1
11
12
13
A
Р и с. 1. Рельеф дна H, м (а) и положение станций, для которых демонстрируются результаты
расчетов (б, в)
На рис. 2 приведены вертикальные профили солености, температуры,
компонент скорости течения v, w на указанных внизу станциях и при различ-
ном заглублении источника пресной воды (результаты расчетов двух экспе-
риментов). Видно, что соленость на поверхности моря достаточно сильно за-
висит от глубины залегания источника. Чем ближе к поверхности моря распо-
лагается источник, тем меньшую величину имеет поверхностная соленость.
Этот результат в достаточной степени тривиален, но он позволяет судить о
возможном положении источника субмаринной разгрузки и дополняет ре-
зультаты, полученные в работе [2].
Численные эксперименты, проведенные без учета процедуры «конвек-
тивного приспособления», привели, как это ни казалось вначале странным,
практически к тем же результатам, что и при учете данной процедуры. Важ-
но, что во время расчетов, по существу, не возникало неустойчивой страти-
фикации по плотности. Это указывает на то, что подъем пресных вод к по-
верхности моря связан не только с конвективной неустойчивостью, а обу-
словлен, может быть в основном, завихренностью поля скорости, образую-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 47
щейся в силу бароклинности жидкости при втекании пресной воды в соленую
воду. Речь в данном случае идет о компоненте вихря скорости ω = wy − vz,
индексы внизу означают дифференцирование. Вследствие этого происходит
образование вертикальной ячейки циркуляции в плоскости (y, z) с подъемом
вод около источника пресной воды, вытеканием распресненной воды в верх-
нем слое моря и подтеканием к источнику более плотной воды в глубинных
слоях.
10 14 18
6.4
4.8
3.2
1.6
0
10 14 18
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
10 14 18
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
10 14 18 S
8
6.4
4.8
3.2
1.6
0
19 21 23
6.4
4.8
3.2
1.6
0
19 21 23
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
19 21 23
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
19 21 23 T
8
6.4
4.8
3.2
1.6
0
-8 -4 0
6.4
4.8
3.2
1.6
0
-4 -2 0 2
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-8 -4 0
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
-3 -2 -1 0 1 v
8
6.4
4.8
3.2
1.6
0
-0.08 0 0.08
6.4
4.8
3.2
1.6
0
-0.08 0 0.08
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-0.2 0 0.20.4
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
-0.016 0 w
8
6.4
4.8
3.2
1.6
0
Ст. 4Ст. 2 Ст. 10 Ст. 7
Р и с. 2. Вертикальные профили солености S (‰), температуры T (°C), компонент скорости
течения v, w (см/с) на указанных станциях при различном заглублении источника пресной во-
ды в вершинной части полости с расходом QA = 0,06 м3/с (сплошные кривые – эксперимент 1,
штриховые – эксперимент 2)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 48
Это можно продемонстрировать на примере двумерной негидростатиче-
ской модели для идеальной жидкости, когда все переменные не зависят от
координаты x и не учитывается вращение Земли:
dv/dt = vt + vvy + wvz = −py, (1)
dw/dt = wt + vwy + wwz= −pz + gρ, (2)
vy + wz = 0. (3)
Исключая из уравнений движения (в приближении Буссинеска) перекре-
стным дифференцированием давление p, с учетом уравнения неразрывности
получаем уравнение вихря
dω /dt = ω t + vω y + wω z = gρy, (4)
где v и w − компоненты скорости течения вдоль осей y и z соответственно
(ось z направлена вертикально вниз), ρ – плотность, g – ускорение силы тяже-
сти, t – время, d /dt – полная, субстанциональная производная.
Так как при втекании пресной воды в соленую, более плотную, воду
ρy < 0, то и dω/dt < 0. Если в начальный момент времени имел место покой
(ω = 0), то затем образуется циркуляция с отрицательной завихренностью
(ω < 0), и получается описанная выше схема течений. При отрицательной за-
вихренности происходит вращение против часовой стрелки.
В гидростатической модели (−pz + gρ = 0) уравнение вихря имеет вид
yzyt gwdtd ρωωνωω =′+′+′=′ ,
где ω′ = −vz, т. е. в вихре учитывается только вертикальный сдвиг горизон-
тальной скорости течения. Вследствие сохранения массы (в силу уравнения
неразрывности) сдвиг скорости течения v как по горизонтали (vy ≤ 0), так и
по вертикали (vz > 0) вызовет появление соответствующих вертикальных
движений, и в результате получится вертикальная ячейка циркуляции с той
же завихренностью, как в негидростатической модели.
При моделировании морских течений, как правило, члены в уравнении
(2), связанные с вертикальной скоростью, являются малыми, и с большой
точностью выполняется гидростатический баланс. В рассматриваемой задаче,
как следует из результатов расчетов в [1, 2], вертикальные течения оказыва-
ются достаточно большими (сравнимыми по величине с горизонтальной ско-
ростью), по крайней мере вблизи источника пресной воды. Поэтому пред-
ставляет интерес оценить, хотя бы апостериори, важность компонент вихря, а
именно, значимость слагаемого wy по сравнению с членом vz.
Приведенные соображения иллюстрируются рисунками, на которых по-
казаны вертикальные распределения вихря ω и его составляющих wy, −vz
(рис. 3) и профили температуры, солености, компонент скорости течения v, w
(рис. 4). На рис. 4 представлены профили для станций, расположенных в зоне
около источника пресной воды (рис. 1, в). Вертикальные распределения вих-
ря (рис. 3) показаны как вблизи источника, так и внутри карстовой полости.
Хорошо видно, что непосредственно у источника завихренность связана с
горизонтальным сдвигом вертикальной скорости wy, а с удалением от источ-
ника внутрь полости завихренность определяется вертикальным сдвигом го-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 49
ризонтальной скорости vz. Важно, что это справедливо для обоих численных
экспериментов. Отметим также, что подъем вод, причем очень мощный,
вблизи источника достаточно быстро ослабевает с удалением от него и сме-
няется опусканием вод, и, как видно на рис. 2, опускание интенсифицируется
у локального поднятия дна (ст. 10).
-0.16 0-0.3 -0.1-1.2 -0.4
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-0.08 0
___ _ _ ___ω wy -vz=wy-vz
а б в г
-0.04 0-0.04 0-0.04 0
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-0.016 0
д е ж з
-0.08 0-0.16 0-0.8 -0.4 0
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-0.08 0
а б в г
-0.02 0-0.04 0-0.02 0
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-0.016 0
д е ж з
Эксперимент 1
Эксперимент 2
Р и с. 3. Вертикальные профили вихря скорости ω = wy − vz и его составляющих wy, −vz (с
-1) на
ст. 13 (а), 11 (б), 1 (в), 12 (г), 2 (д), 4 (е), 10 (ж), 7 (з) при различном заглублении источника
пресной воды для экспериментов 1 и 2
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 50
10 14 1810 14 18
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
10 14 18 10 14 18 S
19 21 2319 21 23
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
19 21 23 19 21 23 T
-20 -10 0 10-20 0 20
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-20 -10 0 10 -20 -10 0 10 v
-1.6 0 1.6-8 -4 0
4
3.2
2.4
1.6
0.8
0
Z,м
-0.4 0 0.4 -0.4 0 0.4 0.8 w
Ст. 11Ст. 13 Ст. 1 Ст. 12
Р и с. 4. Вертикальные профили солености S (‰), температуры T (°C), компонент скорости
течения v, w (см/с) на станциях вблизи источника пресной воды (сплошные кривые – экспери-
мент 1, штриховые – эксперимент 2)
Учитывая результаты проведенных ранее экспериментов [2], отметим,
что степень распреснения поверхностных вод, происходящего при субмарин-
ной разгрузке, зависит от расположения и интенсивности источников под-
земных вод. Это не дает возможности сделать однозначные выводы о место-
положении, мощности и суммарном дебите подземных источников пресной
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 51
воды, основываясь только на наблюдениях поверхностной солености и/или
поверхностной температуры.
Двумерная негидростатическая модель. Сопоставление результатов
расчета с данными наблюдений указывает на необходимость обобщения мо-
дели на случай учета негидростатических эффектов. Для этой цели можно
было бы воспользоваться способом, предложенным в работе [3]. Представля-
ется, однако, целесообразным рассмотреть вначале негидростатическую мо-
дель в двумерной постановке. В двумерной модели, как правило, рассчитыва-
ется движение в бесконечном полупространстве, например y ≥ 0, z ≥ 0, и
предполагается, что все функции не зависят от координаты x. В данной рабо-
те рассматривается обобщенная двумерная модель, в которой рассчитывается
движение в области переменной ширины L1(y) ≤ x ≤ L2(y), 0 ≤ y ≤ B, 0 ≤
≤ z ≤ H(y). При этом L(y) = L2 – L1 > 0 и вычисляются поля, осредненные по
поперечным сечениям, т. е. функции y, z.
Полагая, что границы области x = L1(y) и x = L2(y) являются непроницае-
мыми, т. е. равны нулю нормальные к границе компоненты скорости течения
и потоки тепла и соли, уравнения модели запишем в дивергентном виде:
Ut + (vU)y + (wU)z – fV =AUzz + ALUyy, (5)
Vt + (vV)y + (wV)z + fU = –(pL)y – pLy + AVzz + ALVyy, (6)
Wt + (vW)y + (wW)z = –(pL)z + RL + AWzz + ALWyy, (7)
Vy + Wz = 0, (8)
(TL)t + (VT)y + (WT)z = (µLTz)z + (µLLTy)y, (9)
(SL)t + (VS)y + (WS)z = (µLSz)z + (µLLSy)y, (10)
R = R (T, S). (11)
Здесь U = uL, V = vL, W = wL, где u, v, w – компоненты скорости течения
вдоль осей x, y, z соответственно; T – температура; S – соленость; R = gρ;
ρ – плотность; f – параметр Кориолиса; A, AL – коэффициенты вертикальной и
горизонтальной турбулентной вязкости; µ, µL – коэффициенты вертикальной
и горизонтальной турбулентной диффузии. Соотношение (11) – уравнение
состояния для морской воды (нелинейное).
Отметим, что уравнения двумерной модели (5) – (10) получаются интег-
рированием по x (от L1 до L2) уравнений трехмерной модели (в приближении
Буссинеска). При этом предполагается, что поля T, S, u, v, w, p, R не зависят
от координаты x в пределах полости, и, кроме того, постулируется парамет-
ризация для горизонтальной вязкости. Подчеркнем, что при L = const уравне-
ния (5) – (11) переходят в уравнения классической двумерной модели.
Приведем теперь граничные и начальные условия, учитывая из внешнего
воздействия только действие подземного источника пресной и относительно
холодной воды, расположенного в вершинной части полости. Используя, как
и в трехмерной модели, приближение «твердой крышки» и полагая постоян-
ным атмосферное давление, на поверхности моря получим
при z = 0 Auz = Avz = 0, p = −Rζ, w = 0, Tz = Sz = 0, (12)
где ζ − уровень (понижение) моря.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 52
На дне, принимая условия прилипания и отсутствия потоков тепла и со-
ли, запишем
при z = H(y) u = v = w = 0, µ Tn = µ Sn = 0, (13)
где Tn, Sn – производные по нормали к границе.
На твердой границе y = 0 в вершине полости в слое z∈[Z1, Z2] задается
втекание воды со скоростью v0 = const с известным априори расходом Q0 =
= V0(Z2−Z1), V0 = v0L и заданными температурой T0 и соленостью S0. Тогда
при y = 0, z∈[Z1, Z2]: u = w = 0, v = v0, − µ LTy + vT = v0T0, − µ LSy + vS = v0S0; (14)
при y = 0, z∉[Z1, Z2]: u = w = 0, v = 0, µ LTy = 0, µ LSy = 0. (15)
Отметим, что условия для температуры и солености формулируются, как
и в трехмерной модели, для суммарных (адвективных плюс диффузионных)
потоков.
На открытой границе ставятся условие свободного протекания для ско-
рости
при y= B u = w = 0, vy = 0 (16)
и условие транспортивности для нормальных потоков тепла и соли
при y = B − µ LTy +vT = v−Tfon + v+T, − µ LSy +vS = v−Sfon + v+S, (17)
где v ≡ v+ + v−, v+ = max(0, v) ≥ 0 – скорость вытекающего, v− = min(0, v) ≤ 0
– втекающего в полость течения. Видно, что в область втекает вода с фоно-
вой температурой и соленостью Tfon, Sfon, а вытекает со своей температурой и
соленостью.
В начальный момент времени задаются распределения компонент скоро-
сти течения, температуры и солености
при t = 0 u = v = w = 0, T = Tfon, S = Sfon. (18)
Заметим, что, в отличие от трехмерной модели, в которой ось y направ-
лена внутрь области, в двумерной модели она, наоборот, направлена от ис-
точника в открытое море. При этом, естественно, разные знаки имеют компо-
нента скорости v и вихрь ω = wy − vz.
Для решения поставленной задачи используется уравнение для вихря
Ω = Wy − Vz, которое получается исключением давления с помощью перекре-
стного дифференцирования уравнений движения (6) – (7) и с учетом уравне-
ния неразрывности (8). Уравнение (8), в свою очередь, позволяет ввести
функцию тока Ψ , так что
V = − zΨ , W = yΨ , (19)
Ω = ∆Ψ . (20)
Уравнение вихря (фактически уравнение для функции тока Ψ ) после не-
которых преобразований можно привести к виду
Ω t + (v Ω )y + (w Ω )z = A Ω zz + AL Ω yy + LRy − Ω V(1/L)y − VW(1/L)yy + Φ , (21)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 53
где
Φ = (wt + vwy + wwz − Awzz − AL(wL)yy /L) Ly.
Член Φ в правой части уравнения (21) является достаточно малым, по
крайней мере по сравнению с LRy. Несущественность этого члена подтвер-
ждается и расчетами.
Задача решается численно методом конечных разностей. Алгоритм ре-
шения следующий. По известным распределениям на n-м временном шаге из
уравнений (9), (10) с учетом соответствующих граничных условий на сле-
дующем (n+1)-м временном шаге рассчитываются поля температуры T, соле-
ности S и с помощью уравнения состояния (11) плотности R. После этого из
уравнения (21) находится распределение завихренности Ω и затем из урав-
нения Пуассона (20) вычисляется функция тока Ψ , а следовательно, и ком-
поненты скорости v, w. Далее из уравнения (5) рассчитывается компонента
скорости u. В заключение из уравнения (6) могут быть найдены давление p
при z = 0 и уровень моря ζ.
Граничные условия для завихренности Ω и функции тока Ψ , вообще го-
воря, следуют из условий (12) − (17). Тогда на поверхности моря Ω (y, 0) = 0,
на дне Ω (y, H) и на береговой границе Ω (0, z) вычисляются по известным (за
предыдущий момент времени) компонентам потока V, W, на открытой грани-
це Ω y = 0. Функция тока на поверхности моря и на дне является постоянной
величиной. Принимая, что на дне Ψ (y, H) = 0, получаем на поверхности моря
Ψ (y, 0) = Ψ (0, 0) = Q0, причем Ψ (0, z) вычисляется из уравнения zΨ =
= −V(0, z), на открытой границе yΨ = 0. Подчеркнем, что в условии Ω y = 0 на
открытой границе предполагается равенство нулю не только W, но и Wyy.
Уравнения (9), (10), (5) и (21) решаются методом переменных направле-
ний (продольно-поперечной прогонки). При этом используется двухслойная
схема по времени с неявной аппроксимацией адвективных и диффузионных
членов. Пространственная аппроксимация проводится с использованием
бокс-метода на прямоугольной сетке типа C (по терминологии Аракавы). Ад-
вективные члены аппроксимируются схемой первого порядка точности, а
именно, направленными разностями. Полученные уравнения решаются мето-
дом немонотонной прогонки. Уравнение Пуассона аппроксимируется на 5-то-
чечном шаблоне и решается методом верхней релаксации.
Компоненты скорости V, U определяются в середине грани бокса, парал-
лельной оси z, компонента скорости W – в середине грани, параллельной оси
y, завихренность Ω и функция тока Ψ – в узлах бокса, температура T и со-
леность S – в центре бокса. При аппроксимации граничных условий вводятся
фиктивные точки, в которых функции доопределяются посредством линей-
ной интерполяции. Твердые границы области проходят через грани боксов, а
именно, границы y = const – через грани, где рассчитывается компонента ско-
рости V, а границы z = const – через грани, где определяется компонента W;
открытая граница y = B проходит через центры боксов. В результате на от-
крытой границе y = B одновременно выполняются условия W = 0 и Wyy = 0.
Дно аппроксимируется ступенчатой линией, проходящей через грани боксов.
Аналогичная постановка задачи может быть сформулирована и для гид-
ростатической версии двумерной модели. В гидростатической модели систе-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 54
ма уравнений идентична системе (5) – (11), за исключением уравнения (7),
которое заменяется условием гидростатики
–(pL)z + RL = 0.
Тот же вид имеют граничные и начальные условия, в которых теперь не
нужно ставить условий для вертикальной скорости w на границах y = 0 и
y = B и в начальный момент времени t = 0.
Уравнение вихря при этом принимает вид
tΩ′ + (v Ω′ )y + (w Ω′ )z = A zzΩ′ + AL yyΩ′ + LRy − Ω′ V(1/L)y,
где Ω′ = −Vz.
Кроме того, в гидростатической модели нет необходимости решать урав-
нение Пуассона. Поскольку выполняется равенство Vz = − Ω′ , то вначале вы-
числяется компонента потока V с точностью до константы, которая определя-
ется из условия
dzzyV
H
),(
0
∫ ≡ Q0, (22)
а затем из уравнения неразрывности (8) вычисляется W.
Таким образом, роль приближения гидростатики оценивается не апосте-
риори, а на основе сопоставления результатов численных экспериментов, вы-
полненных в рамках полной, без приближения гидростатики, и гидростатиче-
ской двумерных моделей.
Конфигурация области и рельеф дна H(y) показаны на рис. 5. Область
похожа на рассматриваемую ранее карстовую полость, ее длина B = 40 м,
максимальная глубина 8 м, и она симметрична относительно оси y (L1 = −L2).
При такой конфигурации u = 0, как и в случае, когда не учитывается враще-
ние Земли (f = 0).
Предположение о симметричности области не является обязательным,
поскольку в уравнения входит только ширина полости L(y). В этом случае
при f ≠ 0 компонента скорости течения u ≠ 0, что, как показали численные
эксперименты, практически не сказывается на результатах расчетов.
Расчеты проводились в рамках 40-уровенной модели на сетке с шагами
∆ y = 40 см, ∆ z = 20 см, шаг по времени ∆ t = 0,72 с. Коэффициенты турбу-
лентной вязкости и диффузии принимались равными A = 10 см2/с, AL =
= 100 см2/с, µ = 0,1 см2/с, µ L = 1 см2/с. Расход втекающей воды Q0 =
= 0,03 м3/с, причем T0 = 15ºC, S0 = 0‰, Z1 = 1,8 м, Z2 = 2,8 м, Tfon = 24ºC, Sfon =
= 18‰.
Сразу отметим, что в двумерной модели, как и в трехмерной, практиче-
ски несущественным оказался эффект процедуры «конвективного приспо-
собления», причем как в гидростатической, так и в негидростатической вер-
сиях модели.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 55
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
X, м
8 6 4 2 0
H, м
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Y, м
Р и с. 5. Форма полости и рельеф дна H (м) в двумерной модели
На рис. 6 приведены вертикальные профили солености S, температуры T,
горизонтальной v и вертикальной w компонент скорости течения на различ-
ном удалении от источника пресной воды, после 100 ч действия источника,
когда все поля уже находились в установившемся режиме. Сплошными ли-
ниями показаны результаты, полученные в полной модели, штриховыми −
результаты, полученные в гидростатической модели. Профили температуры и
солености показаны в пределах верхнего слоя, в котором функции меняются
с глубиной.
Видно, что в полной модели, когда приближение гидростатики не ис-
пользуется, происходит более сильное распреснение и охлаждение поверхно-
стных вод. Любопытно, что скорость течения в негидростатической модели
получается меньшей, чем в гидростатической. Это связано с различием за-
вихренности в этих моделях. Завихренность скорости, или, другими словами,
интенсивность вертикальной ячейки циркуляции, больше в гидростатической
модели. В этой модели происходит более интенсивный подъем вод в вер-
шинной части полости вблизи источника пресной воды, и в результате в пе-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 56
ремешивании вод более существенную роль играют глубинные наиболее со-
леные и в данном случае более теплые воды.
10 14 1810 14 1810 14 18
3
2
1
0
Z,м
10 14 18 S
20 22 2420 22 2420 22 24
3
2
1
0
Z,м
20 22 24 T
-4-2 0 2 4 6 8
6
4
2
0
-2 0 2 4 6 8
5
4
3
2
1
0
-10 0 10 20 30
3
2
1
0
Z,м
-2 0 2 4 6 8 v
8
6
4
2
0
-1 0 1 2 3 4
6
4
2
0
-0.8 -0.4 0
5
4
3
2
1
0
-50 -30 -10
3
2
1
0
Z,м
-4 -2 0 w
8
6
4
2
0
y=0.4м y=10.4м y=25.6м y=32м
Р и с. 6. Вертикальные профили солености S (‰), температуры T (°C) и компонент скорости
течения v и w (см/с) на указанных расстояниях от источника пресной воды (сплошные кривые
– негидростатическая модель, штриховые – гидростатическая модель)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 57
На рис. 7 приведены вертикальные профили вихря скорости ω = wy − vz и
его составляющих wy, −vz на различном удалении от источника пресной воды,
причем для обеих версий двумерной модели. Видно, что непосредственно у
источника пресной воды (y = 0,4 м) завихренность определяется вертикаль-
ными движениями, а с удалением от источника – в основном сдвигом гори-
зонтальной скорости. В полной модели это выполняется всегда, а в гидроста-
тической модели имеют место исключения, например в районе локального
поднятия дна (рис. 7, ж, з), где из-за резкого изменения глубины моря возни-
кают значительные вертикальные движения (рис. 6, y = 25,6 м и y = 32 м).
-0.04 0 0.04
3
2
1
0
0 0.08
3
2
1
0
0 0.4
3
2
1
0
Z,м
0 0.02 0.04
4
3
2
1
0
Без гидростатики
___ _ _ ___ω wy -vz=wy-vz
а б в г
-0.04 0 0.04
6
4
2
0
0 0.02 0.04
6
4
2
0
0 0.04 0.08
6
4
2
0
Z,м
0 0.04
8
6
4
2
0
д е ж з
0 0.2 0.4
3
2
1
0
0 0.4 0.8
3
2
1
0
0 0.8 1.6
3
2
1
0
Z,м
0 0.08 0.16
4
3
2
1
0
С гидростатикой
а б в г
-0.2 0
6
4
2
0
0 0.08
6
4
2
0
0 0.16
6
4
2
0
Z,м
0 0.08
8
6
4
2
0
д е ж з
Р и с. 7. Вертикальные профили вихря скорости ω = wy − vz и его составляющих wy, −vz (с
-1)
при y = 0,4 м (а), y = 0,8 м (б), y = 1,2 м (в), y = 5,6 м (г), y = 21,6 м (д), y = 23,6 м (е), y = 25,6 м
(ж), y = 32 м (з) в негидростатической и гидростатической моделях
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 58
На рис. 8 приведены распределения солености S, температуры T и вихря
скорости ω на разрезе вдоль полости в негидростатической и гидростатиче-
ской двумерных моделях, причем с детализацией в окрестности источника
пресной воды. Хорошо виден поверхностный слой, в котором располагаются
воды пониженной солености и пониженной температуры. Четко видно, что
формирование практически двухслойной структуры происходит достаточно
близко, примерно на расстоянии 1 м, от источника пресной воды. Положи-
тельная завихренность, с которой связана упомянутая выше вертикальная
ячейка циркуляции, сосредоточена в окрестности источника пресной воды, и
в гидростатической модели она значительно интенсивнее.
10 20 30 Y,мZ,м
0.5 1 1.5 Y,мZ,м
0.5 1 1.5 Y,мZ,м
С гидростатикой
Без гидростатики
10 20 30 Y,мZ,м
2
2
2
2
6
1
6
1
10 20 30 Y,м
0.5 1 1.5 Y,м
0.5 1 1.5 Y,м
10 20 30 Y,м
S
S
T
T
10 20 30 Y,м
0.5 1 1.5 Y,м
0.5 1 1.5 Y,м
10 20 30 Y,м
ω
ω
Р и с. 8. Распределения солености S (‰), температуры T (°C) и вихря скорости ω (с-1) на разре-
зе вдоль полости в негидростатической и гидростатической моделях с детализацией вблизи
источника пресной воды (штриховыми кривыми указана изолиния ω = 0)
На рис. 9 приведены распределения горизонтальной v и вертикальной w
компонент скорости течения на разрезе вдоль полости в обеих версиях дву-
мерной модели с детализацией вблизи источника пресной воды. Справа при-
ведены распределения вертикальной скорости w вблизи поднятия дна, распо-
ложенного у входа в полость. Четко видна двухслойная структура течений, а
именно, вытекание малосоленой и относительно холодной воды из полости в
поверхностном слое моря и втекание глубинных соленых и сравнительно те-
плых вод. Видны также особенности течений в местах резкого изменения бе-
реговой линии и дна моря.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 59
С гидростатикой
Без гидростатики
2
2
2
2
6
1
6
1
v
v
w
w
10 20 30 Y,мZ,м
0.5 1 1.5 Y,мZ,м
10 20 30 Y,мZ,м
0.5 1 1.5 Y,мZ,м
10 20 30 Y,м
0.5 1 1.5 Y,м
10 20 30 Y,м
0.5 1 1.5 Y,м
25 25.5 26 Y,мZ,м
31.5 32 32.5 Y,мZ,м
25 25.5 26 Y,мZ,м
31.5 32 32.5 Y,мZ,м
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
w
w
w
w
Р и с. 9. Распределения компонент скорости течения v, w (см/с) на разрезе вдоль полости в
негидростатической и гидростатической моделях с детализацией вблизи источника пресной
воды, а также распределения вертикальной скорости w вблизи поднятия дна у входа в полость
(штриховыми кривыми указаны изолинии v = 0 и w = 0)
Выводы. На основании проведенных расчетов можно сделать следую-
щие выводы. Во-первых, главным фактором, влияющим на формирование
наблюдавшейся трехмерной структуры гидротермодинамических полей в
карстовой полости, является образование вертикальной ячейки циркуляции
вследствие завихренности поля скорости, связанной с неоднородностью жид-
кости, т. е. с бароклинным эффектом [4, с. 166]. Во-вторых, роль конвекции,
возникающей при неустойчивой стратификации, которая представлялась ра-
нее чуть ли не главной причиной подъема пресных вод к поверхности моря,
оказалась вторичной и практически незначимой. Подчеркнем, что этот вывод
справедлив как для двумерной, так и для трехмерной модели. В-третьих, от-
каз от гидростатического приближения приводит к более интенсивному по-
нижению солености поверхностных вод и более точному соответствию ре-
зультатов расчетов данным наблюдений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шапиро Н.Б. Моделирование трехмерной структуры гидрологических полей в карсто-
вой полости под действием субмаринной разгрузки подземных вод // Морской гидро-
физический журнал. – 2010. – № 1. – С. 46 – 62.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 60
2. Шапиро Н.Б. Численная модель субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой по-
лости // Там же. – 2011. – № 5. – С. 66 – 84.
3. Канарская Ю.В., Мадерич В.С. Численная негидростатическая модель течений со сво-
бодной поверхностью // Прикладная гидромеханика. – 2002. – 4, № 3. – С. 12 – 21.
4. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. – М.: ГИТТЛ,
1955. – 560 с.
Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил
Севастополь в редакцию 24.01.11
E-mail: men_sh@mail.ru После доработки 16.05.11
АНОТАЦІЯ Обговорюються результати чисельних експериментів, присвячених відтворенню
тривимірної структури гідрологічних полів у карстовій порожнині. Для цього використову-
ються тривимірна гідростатична і двовимірні гідростатична і негідростатична чисельні моделі
(у наближенні «твердої кришки»).
У тривимірній моделі роль наближення гідростатики оцінюється апостеріорі на основі ба-
лансу членів у вихорі швидкості ω = wy – vz. Показано, що в тривимірній і двовимірній гідрос-
татичних моделях вплив доданка wy, пов'язаного з вертикальними рухами, є істотним тільки
поблизу джерела прісної води. В рамках двовимірної негідростатичної моделі не врахування
наближення гідростатики призводить до більшого розспріснення поверхневих вод в порожни-
ні, що краще узгоджується з даними спостережень.
Встановлено, що головним фактором, який впливає на формування реальної структури гід-
рологічних полів у карстовій порожнині, є утворення вертикального осередку циркуляції через
завихорність поля швидкості, роль конвективного перемішування при цьому є вторинною.
Ключові слова: субмаринне розвантаження, карстова порожнина, негідростатична модель,
чисельний експеримент.
ABSTRACT Results of numerical experiments intended for reconstructing three-dimensional struc-
ture of hydrological fields in a karst cavity are discussed. For this purpose three-dimensional hydros-
tatic numerical model and two-dimensional – hydrostatic and nonhydrostatic – ones (approximation
of «rigid lid») are used.
In the three-dimensional model the role of hydrostatics approximation is estimated a posteriori
based on the term balance in vorticity ω = wy – vz. It is shown that in three-dimensional and two-
dimensional hydrostatic models influence of summand wy connected with vertical motions turns out to
be significant only nearby the freshwater source. Within the framework of nonhydrostatic model,
refusal from hydrostatics approximation results in stronger salinity decrease of surface waters in the
cavity that better agrees with observation data.
It is found that the main factor influencing formation of real structure of hydrological fields in a
karst cavity is formation of vertical cell of circulation due to vorticity of velocity field; at that the role
of convective mixing is secondary.
Keywords: submarine discharge, karst cavity, nonhydrostatic model, numerical experiment.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56637 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0233-7584 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T00:44:45Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михайлова, Э.Н. Шапиро, Н.Б. 2014-02-21T11:45:38Z 2014-02-21T11:45:38Z 2012 Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости / Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 3. — С. 44-60. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0233-7584 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56637 551.465 Обсуждаются результаты численных экспериментов, посвященных воспроизведению трехмерной структуры гидрологических полей в карстовой полости. Для этого используются трехмерная гидростатическая и двумерные гидростатическая и негидростатическая численные модели (в приближении «твердой крышки»). В трехмерной модели роль приближения гидростатики оценивается апостериори на основе баланса членов в вихре скорости ω = wy − vz. Показано, что в трехмерной и двумерной гидростатических моделях влияние слагаемого wy, связанного с вертикальными движениями, оказывается существенным только вблизи источника пресной воды. В рамках двумерной негидростатической модели отказ от приближения гидростатики приводит к большему распреснению поверхностных вод в полости, что лучше согласуется с данными наблюдений. Установлено, что главным фактором, влияющим на формирование реальной структуры гидрологических полей в карстовой полости, является образование вертикальной ячейки циркуляции из-за завихренности поля скорости, роль конвективного перемешивания при этом является вторичной. Обговорюються результати чисельних експериментів, присвячених відтворенню тривимірної структури гідрологічних полів у карстовій порожнині. Для цього використовуються тривимірна гідростатична і двовимірні гідростатична і негідростатична чисельні моделі (у наближенні «твердої кришки»). У тривимірній моделі роль наближення гідростатики оцінюється апостеріорі на основі балансу членів у вихорі швидкості ω = wy – vz. Показано, що в тривимірній і двовимірній гідростатичних моделях вплив доданка wy, пов'язаного з вертикальними рухами, є істотним тільки поблизу джерела прісної води. В рамках двовимірної негідростатичної моделі не врахування наближення гідростатики призводить до більшого розспріснення поверхневих вод в порожнині, що краще узгоджується з даними спостережень. Встановлено, що головним фактором, який впливає на формування реальної структури гідрологічних полів у карстовій порожнині, є утворення вертикального осередку циркуляції через завихорність поля швидкості, роль конвективного перемішування при цьому є вторинною. Results of numerical experiments intended for reconstructing three-dimensional structure of hydrological fields in a karst cavity are discussed. For this purpose three-dimensional hydrostatic numerical model and two-dimensional – hydrostatic and nonhydrostatic – ones (approximation of «rigid lid») are used. In the three-dimensional model the role of hydrostatics approximation is estimated a posteriori based on the term balance in vorticity ω = wy – vz. It is shown that in three-dimensional and twodimensional hydrostatic models influence of summand wy connected with vertical motions turns out to be significant only nearby the freshwater source. Within the framework of nonhydrostatic model, refusal from hydrostatics approximation results in stronger salinity decrease of surface waters in the cavity that better agrees with observation data. It is found that the main factor influencing formation of real structure of hydrological fields in a karst cavity is formation of vertical cell of circulation due to vorticity of velocity field; at that the role of convective mixing is secondary. ru Морський гідрофізичний інститут НАН України Морской гидрофизический журнал Математическое моделирование морских систем Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости Article published earlier |
| spellingShingle | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости Михайлова, Э.Н. Шапиро, Н.Б. Математическое моделирование морских систем |
| title | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости |
| title_full | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости |
| title_fullStr | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости |
| title_full_unstemmed | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости |
| title_short | Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости |
| title_sort | роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости |
| topic | Математическое моделирование морских систем |
| topic_facet | Математическое моделирование морских систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56637 |
| work_keys_str_mv | AT mihailovaén rolʹgidrostatičeskogopribliženiâprimodelirovaniisubmarinnoirazgruzkipresnyhvodvkarstovoipolosti AT šapironb rolʹgidrostatičeskogopribliženiâprimodelirovaniisubmarinnoirazgruzkipresnyhvodvkarstovoipolosti |