Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку
Conditions for the mean square stability of linear stochastic differential-difference equations of the neutral type in the critical case are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5664 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку / І.В. Малик, В.К. Ясинський // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 22-27. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859659615349768192 |
|---|---|
| author | Малик, І.В. Ясинський, В.К. |
| author_facet | Малик, І.В. Ясинський, В.К. |
| citation_txt | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку / І.В. Малик, В.К. Ясинський // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 22-27. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Conditions for the mean square stability of linear stochastic differential-difference equations of the neutral type in the critical case are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:16:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
4. Abbaoui K., Pujol M. J., Cherruault Y. et al. A new formulation of Adomian method: convergence result //
Kybernetes. – 2001. – 30, No 9–10. – P. 1183–1191.
5. Makarov V.L. A functional-difference method of arbitrary order of accuracy for solving the Sturm–Liouville
problem with piecewise-smooth coefficients // Soviet. Math. Dokl. – 1992. – 44, No 2. – P. 391–396.
6. Akhmet M.U. Integral manifolds of differential equations with piecewise constant argument of generalized
type // Nonlinear Anal. – 2007. – 66, No 2. – P. 367–383.
Надiйшло до редакцiї 11.04.2008Iнститут математики НАН України, Київ
УДК 519.21
© 2008
I. В. Малик, В. К. Ясинський
Експоненцiальна поведiнка в середньому
квадратичному розв’язку стохастичних
диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу
в критичному випадку
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Conditions for the mean square stability of linear stochastic differential-difference equations of
the neutral type in the critical case are obtained.
На iмовiрнiсному базисi [1] (Ω, F, P, Im), де Im ≡ {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано сильний
розв’язок [1, 2] x(t) = x(t, ω) ∈ R1 лiнiйного стохастичного диференцiально-рiзницевого
рiвняння нейтрального типу (ЛСДРРНТ)
d{Dxt} = {Lxt}dt+ {Gxt}dw(t) (1)
за початковою умовою
x0 = ϕ. (2)
Тут xt ≡ {x(t + s),−h 6 s 6 0} ∈ C([−h, 0]); ϕ ∈ C([−h, 0]) — F0 — вимiрний випадковий
процес; w(t) = w(t, ω) — одновимiрний випадковий вiнерiв процес, що узгоджений з Im =
= {Ft, t > 0}; D, L, G — рiзницевi оператори, що заданi на просторi спiввiдношеннями [3, 4]
для ψ ∈ C([−h, 0])
Dψ ≡ ψ(0) +
n∑
k=1
δkψ(−τk), 0 < τ1 < τ2 < · · · < τn 6 h;
Lψ ≡ αψ(0) +
m∑
k=1
bkψ(−λk), 0 < λ1 < λ2 < · · · < λm 6 h; (3)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Gψ ≡ fψ(0) +
q∑
k=1
gkψ(−θk), 0 < θ1 < θ2 < · · · < θq 6 h.
Для ЛСДРРНТ (1), (2) має мiсце теорема iснування та єдиностi з точнiстю до стохас-
тичної еквiвалентностi сильного розв’язку x(t) ∈ R1 [1] для якого iснує E{x2(t)} < ∞.
Поряд з рiвнянням (1) розглянемо детермiноване диференцiально-рiзницеве рiвняння
нейтрального типу (ДДРРНТ) [3, 5]
d{Dyt} = {Lyt}dt (4)
за початковою умовою
y(t) = ϕ(t), −h 6 t 6 0. (5)
Лема 1. Якщо
n∑
k=1
|δk| < 1, (6)
то розв’язок y(t) ≡ 0 ДДРРНТ (4), (5) є експоненцiально стiйкий тодi i тiльки тодi,
коли всi коренi характеристичного квазiполiнома
V (z) ≡ z
(
1 +
n∑
k=1
e−zτkδk
)
− a−
m∑
l=1
e−zλlbl (7)
лежать у лiвiй пiвплощинi комплексної площини C [6], тобто
∃ρ > 0, ∀z ∈ C : V (z) = 0 ⇒ Re z < −ρ. (8)
Нехай X(t) [7] — розв’язок (4), що задовольняє початкову умову
X(t) ≡ 1(t) =
{
0, −h 6 t < 0;
1, t = 0.
(9)
Лема 2. Розв’язок ЛСДРРНТ (1), (2) задовольняє рiвняння
x(t) = y(t) +
t∫
0
X(t− s)Gxsdw(s), (10)
де y(t) — розв’язок (4), (2).
Розглянемо поведiнку розв’язку ЛСДРРНТ (1), (2), якщо B = 1, де
B ≡
1
π
∞∫
0
|G(is)|2|V (is)|−2ds. (11)
Теорема 1. Нехай виконуються умови (6), (8), справджується рiвнiсть
B =
1
π
∞∫
0
|G(is)|2|V (is)|−2ds = 1, (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 23
а також
f +
q∑
k=1
gk 6= 0. (13)
Тодi знайдеться початкова функцiя ϕ, така що
0 < lim
t→∞
E|x(t)|2 <∞.
Доведення. Нехай сильний розв’язок (1) побудовано за функцiєю
x(t) ≡ ε1(t) =
{
0, −h 6 t < 0,
ε, t = 0.
(14)
Тодi y(t) = εX(t) є розв’язком детермiнованого рiвняння (4), а рiвняння для Γ(t, ϕ) набуде
вигляду
∞∫
0
Γ(t, ϕ)e−ztdt =
∞∫
0
|H(t)|2e−ztdt
(
ε+
∞∫
0
Γ(t, ϕ)e−ztdt
)
, (15)
де
Γ(t, ϕ) ≡ E{|γ(t)|2/F 0} = E{|γ(t)|2}, (16)
γ(t) ≡ Gyt +
t∫
0
H(t− s)γ(t) dw(s), (17)
H(t) ≡ GXt =
1
2πi
∫
Re z=µ
eztG1(z)V
−1(z) dz. (18)
Звiдси
∞∫
0
Γ(t, ϕ)e−ztdt =
ε
∞∫
0
|H(t)|2e−ztdt
(
1 −
∞∫
0
|H(t)|2e−ztdt
) . (19)
Вiдомий факт зв’язку поведiнки при t → ∞ оригiналу Γ(t, ϕ) i при z → 0 зображення
для нього [8] має вигляд
lim
t→∞
Γ(t, ϕ) = ε lim
z→0
z
∞∫
0
|H(t)|2e−ztdt
(
1 −
∞∫
0
|H(t)|2e−ztdt
) . (20)
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Границя при z → 0 у правiй частинi рiвняння (20) дорiвнює
lim
z→0
εz
∞∫
0
|H(t)|2e−ztds
(
1 −
∞∫
0
|H(t)|2e−ztdt
) =
ε
∞∫
0
|H(t)|2tdt
. (21)
При виконаннi умов (8) iснує iнтеграл у знаменнику правої частини (21)
ε = ε
∞∫
0
|H(t)|2dt 6
∞∫
0
|H(t)|2tdt 6 K
∞∫
0
|H(t)|2eρt/2dt = c <∞, (22)
де K = 2 : ρ.
Значить, одержимо нерiвнiсть
ε
c
6 lim
t→∞
Γ(t, ϕ) 6 1. (23)
Оскiльки Γ(t, ϕ) = M{Gxt}
2, то за умови iснування lim
t→∞
Γ(t, ϕ) можна довести, що
lim
t→∞
Γ(t, ϕ) =
(
f +
q∑
k=1
gk
)2
lim
t→∞
M{x2(t)}. (24)
Теорема 1 доведена.
Поряд з рiвнянням (1) буде розглядатися збурене рiвняння
d{Dxt} = {Lxt}dt+ (1 + α(t)){Gxt}dw(t). (25)
Припустимо, що виконується умова (11). Позначимо через Re1, Re2 простори неперерв-
них на [0,∞) функцiй φ, для яких
Re1 = {φ : ∃ ε ∈ (0, 1),∀ t > 0: (1 + φ(t))2 < 1 − ε}.
Re2 = {φ : ∃ ε > 0,∀ t > 0: (1 + φ(t))2 > 1 + ε}.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (6), (8) та B = 1. Тодi:
А) тривiальний розв’язок рiвняння (25) асимптотично стiйкий в середньому квадра-
тичному, якщо α ∈ Re1;
Б) тривiальний розв’язок рiвняння (25) нестiйкий у середньому квадратичному, якщо
α ∈ Re2.
Доведення. Доведемо, наприклад, частину А. Рiвняння (25) набуде вигляду
x(t) = y(t) +
t∫
0
(1 + α(s))X(t − s)Gxsdw(s), (26)
де y(t) — розв’язок задачi (4), (2), X(t) — фундаментальний розв’язок, t > 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 25
Тодi, використовуючи iнтегральне рiвняння (26) та (16), отримаємо
Γ(t, ϕ) = |Gyt|
2 +
t∫
0
(1 + α(s))2|H(t− s)|2Γ(s, ϕ) ds. (27)
Нехай α ∈ Re1. Тодi рiвнiсть (27) можна замiнити на нерiвнiсть
Γ(t, ϕ) < |Gyt|
2 + (1 − ε)
t∫
0
|H(t− s)|2Γ(s, ϕ) ds. (28)
Використовуючи перетворення Лапласа, отримаємо нерiвнiсть для образiв, а саме
∞∫
0
Γ(t, ϕ)e−λtdt <
∞∫
0
|Gyt|
2e−ztdt
(
1 − (1 − ε)
∞∫
0
|H(t)|2e−λtds
)
−1
. (29)
За умови виконання B = 1, очевидно, що полюс з найбiльшою дiйсною частиною для
правої частини нерiвностi (29) буде полюс λ0, для якого виконується рiвнiсть
∞∫
0
|H(t)|2e−λ0tdt =
1
1 − ε
> 1. (30)
Дiйсно, перетворення Лапласа дiйсного аргументу (λ ∈ R) є спадною неперервною функ-
цiєю та B = 1, то λ0 < 0. А це означає, що Γ(t, ϕ) поводить себе на ∞ як функцiя, яка за
модулем не перевищує Neλ0t, N > 0, тобто
lim
t→∞
Γ(t, ϕ) = 0. (31)
Частину А теореми 2 доведено. Аналогiчно можна довести частину В.
Зауваження 1. В умовi теореми 2 простори Re1 та Re2 можна замiнити на “ширшi
простори”, а саме
R̃e1 ≡ {φ ∈ C0([0,∞]) : ∃ ε > 0,∀ t ∈ [0, h] : (1 + φ(t))2 < 1 − ε;∀ t > h : (1 + φ(t))2 6 1},
R̃e2 ≡ {φ ∈ C0([0,∞]) : ∃ ε > 0,∀ t ∈ [0, h] : (1 + φ(t))2 > 1 + ε;∀ t > h : (1 + φ(t))2 > 1}.
Доведення. Доведемо, наприклад, першу частину зауваження:
Нерiвнiсть (28) перепишемо у виглядi
Γ(t, ϕ) 6 |Gyt|
2 + (1 − ε)
t∫
0
|H(t− s)|2Γ(s, ϕ) ds для t ∈ [0, h],
Γ(t, ϕ) 6 |Gyt|
2 + (1 − ε)
h∫
0
|H(t− s)|2Γ(s, ϕ) ds +
t∫
h
|H(t− s)|2Γ(s, ϕ) ds для t > h.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Тодi нерiвнiсть (29) перепишеться у виглядi
∞∫
0
Γ(t, ϕ)e−λtdt <
∞∫
0
|Gyt|
2e−ztdt
(
1 −
∞∫
0
|H(t)|2e−λtdt+ ε
h∫
0
|H(t)|2e−λtdt
)
−1
. (32)
Оскiльки B = 1 та
h∫
0
|H(t)|2e−λtdt = K > 0, то можна стверджувати, що всi полюси пра-
вої частини (32) лежать у лiвiй пiвплощинi комплексної площини, а це означає, що Γ(t, ϕ)
на ∞ поводить себе як експонента з вiд’ємним показником, тобто розв’язок збуреного рiв-
няння (25) експоненцiально стiйкий у середньому квадратичному. Зауваження 1 доведено.
1. Береза В. Ю, Ясинський В.К. Про iснування розв’язкiв стохастичних диференцiально-функцiональ-
них рiвнянь нейтрального типу з пуассонiвськими перемиканнями // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. Фiз.-мат.
науки. – 2002. – Вип. 5. – С. 19–27.
2. Снекторский И.Я. Обобщенные формулы вариации постоянной линейного неоднородного стохасти-
ческого уравнения // Пробл. управления и информатики. – 1998. – № 5. – С. 107–112.
3. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – Москва: Мир, 1967. – 545 с.
4. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига: Зи-
натне, 1989. – 421 с.
5. Хусаинов Д. Я, Шатырко А. В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифферен-
циально-функциональных систем. – Киев: Изд-во КНУ, 1997. – 236 с.
6. Слюсарчук В.Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю: Монографiя. – Рiвне: Вид-во
УДУВГП, 2003. – 288 с.
7. Хусаинов Д.Я. Оценки решений линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтраль-
ного типа // Укр. мат. журн. – 1991. – № 9. – С. 1123–1135.
8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. –
Москва: Наука, 1971. – 288 с.
Надiйшло до редакцiї 20.02.2008Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5664 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:16:23Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малик, І.В. Ясинський, В.К. 2010-02-01T16:56:01Z 2010-02-01T16:56:01Z 2008 Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку / І.В. Малик, В.К. Ясинський // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 22-27. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5664 519.21 Conditions for the mean square stability of linear stochastic differential-difference equations of the neutral type in the critical case are obtained. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку Article published earlier |
| spellingShingle | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку Малик, І.В. Ясинський, В.К. Математика |
| title | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку |
| title_full | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку |
| title_fullStr | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку |
| title_full_unstemmed | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку |
| title_short | Експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку |
| title_sort | експоненціальна поведінка в середньому квадратичному розв'язку стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в критичному випадку |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5664 |
| work_keys_str_mv | AT malikív eksponencíalʹnapovedínkavserednʹomukvadratičnomurozvâzkustohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipuvkritičnomuvipadku AT âsinsʹkiivk eksponencíalʹnapovedínkavserednʹomukvadratičnomurozvâzkustohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipuvkritičnomuvipadku |