Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости
В линейной постановке рассмотрена плоская задача о прогрессивных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для нескольких модельных распределений скорости течения найдены аналитические решения задачи. Описаны возможные типы внутренних волн, усло...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Морской гидрофизический журнал |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56641 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 4. — С. 36-49. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56641 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. 2014-02-21T12:56:47Z 2014-02-21T12:56:47Z 2012 Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 4. — С. 36-49. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0233-7584 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56641 551.466.81 В линейной постановке рассмотрена плоская задача о прогрессивных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для нескольких модельных распределений скорости течения найдены аналитические решения задачи. Описаны возможные типы внутренних волн, условия их блокировки и критерии устойчивости волн, зависящие от вертикальной структуры течений. Показано, что распределение скорости фонового течения влияет на количество генерируемых волн, направления их распространения и условия блокировки. Скачок скорости течения на границе раздела слоев увеличивает количество точек блокировки и приводит к ограничению диапазона возможных частот внутренних волн. Для течений с разрывом распределения скорости на границе раздела слоев найдены кривые нейтральной устойчивости прогрессивных внутренних волн. Показано, что область устойчивости течения сужается при уменьшении относительного перепада плотности между слоями и увеличении скачка скорости фонового течения. У лінійній постановці розглянута плоска задача про прогресивні внутрішні гравітаційні хвилі в двошаровій рідині з вертикальним зрушенням швидкості. Для кількох модельних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення задачі. Описані можливі типи внутрішніх хвиль, умови їх блокування та критерії стійкості хвиль, які залежать від вертикальної структури течій. Показано, що розподіл швидкості фонової течії впливає на кількість ґенерованих хвиль, напрями їх розповсюдження та умови блокування. Стрибок швидкості течії на межі поділу шарів збільшує кількість точок блокування та призводить до обмеження діапазону можливих частот внутрішніх хвиль. Для течій з розривом розподілу швидкості на межі розділу шарів знайдені криві нейтральної стійкості прогресивних внутрішніх хвиль. Показано, що область стійкості течії звужується зі зменшенням відносного перепаду густини між шарами і зі збільшенням стрибка швидкості фонової течії. Two-dimensional problem on progressive internal gravity waves in a flow of two-layer fluid with vertical velocity shear is considered in the linear statement. The analytical solutions are found for some model distributions of current velocity. Possible types of internal waves, the conditions of their locking, and the criteria of waves’ stability depending on the currents’ vertical structure are found. It is shown that distribution of the background flow velocity affects the amount of the generated waves, directions of their propagation and the lock condition. The current velocity jump on the layers’ interface increases the number of locking points and reduces the range of possible frequencies of internal waves. For the flows with a break in velocity distribution on the layers’ interface, the curves of neutral stability of the progressive internal waves are found. It is shown that the region of the flow stability narrows with decrease of the relative density difference between the layers and increase of the background flow velocity jump. ru Морський гідрофізичний інститут НАН України Морской гидрофизический журнал Термогидродинамика океана Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| spellingShingle |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. Термогидродинамика океана |
| title_short |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_full |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_fullStr |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_full_unstemmed |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| title_sort |
прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости |
| author |
Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. |
| author_facet |
Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. |
| topic |
Термогидродинамика океана |
| topic_facet |
Термогидродинамика океана |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Морской гидрофизический журнал |
| publisher |
Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| format |
Article |
| description |
В линейной постановке рассмотрена плоская задача о прогрессивных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для нескольких модельных распределений скорости течения найдены аналитические решения задачи. Описаны возможные типы внутренних волн, условия их блокировки и критерии устойчивости волн, зависящие от вертикальной структуры течений. Показано, что распределение скорости фонового течения влияет на количество генерируемых волн, направления их распространения и условия блокировки. Скачок скорости течения на границе раздела слоев увеличивает количество точек блокировки и приводит к ограничению диапазона возможных частот внутренних волн. Для течений с разрывом распределения скорости на границе раздела слоев найдены кривые нейтральной устойчивости прогрессивных внутренних волн. Показано, что область устойчивости течения сужается при уменьшении относительного перепада плотности между слоями и увеличении скачка скорости фонового течения.
У лінійній постановці розглянута плоска задача про прогресивні внутрішні гравітаційні хвилі в двошаровій рідині з вертикальним зрушенням швидкості. Для кількох модельних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення задачі. Описані можливі типи внутрішніх хвиль, умови їх блокування та критерії стійкості хвиль, які залежать від вертикальної структури течій. Показано, що розподіл швидкості фонової течії впливає на кількість ґенерованих хвиль, напрями їх розповсюдження та умови блокування. Стрибок швидкості течії на межі поділу шарів збільшує кількість точок блокування та призводить до обмеження діапазону можливих частот внутрішніх хвиль. Для течій з розривом розподілу швидкості на межі розділу шарів знайдені криві нейтральної стійкості прогресивних внутрішніх хвиль. Показано, що область стійкості течії звужується зі зменшенням відносного перепаду густини між шарами і зі збільшенням стрибка швидкості фонової течії.
Two-dimensional problem on progressive internal gravity waves in a flow of two-layer fluid with vertical velocity shear is considered in the linear statement. The analytical solutions are found for some model distributions of current velocity. Possible types of internal waves, the conditions of their locking, and the criteria of waves’ stability depending on the currents’ vertical structure are found. It is shown that distribution of the background flow velocity affects the amount of the generated waves, directions of their propagation and the lock condition. The current velocity jump on the layers’ interface increases the number of locking points and reduces the range of possible frequencies of internal waves. For the flows with a break in velocity distribution on the layers’ interface, the curves of neutral stability of the progressive internal waves are found. It is shown that the region of the flow stability narrows with decrease of the relative density difference between the layers and increase of the background flow velocity jump.
|
| issn |
0233-7584 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56641 |
| citation_txt |
Прогрессивные внутренние волны в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2012. — № 4. — С. 36-49. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bilûnasmv progressivnyevnutrennievolnyvdvuhsloinomtečeniisvertikalʹnymsdvigomskorosti AT docenkosf progressivnyevnutrennievolnyvdvuhsloinomtečeniisvertikalʹnymsdvigomskorosti |
| first_indexed |
2025-11-25T21:12:15Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:12:15Z |
| _version_ |
1850548392085684224 |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 36
© М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко, 2012
УДК 551.466.81
М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко
Прогрессивные внутренние волны
в двухслойном течении с вертикальным сдвигом скорости
В линейной постановке рассмотрена плоская задача о прогрессивных внутренних гравита-
ционных волнах в течении двухслойной жидкости с вертикальным сдвигом скорости. Для не-
скольких модельных распределений скорости течения найдены аналитические решения зада-
чи. Описаны возможные типы внутренних волн, условия их блокировки и критерии устойчи-
вости волн, зависящие от вертикальной структуры течений. Показано, что распределение ско-
рости фонового течения влияет на количество генерируемых волн, направления их распро-
странения и условия блокировки. Скачок скорости течения на границе раздела слоев увеличи-
вает количество точек блокировки и приводит к ограничению диапазона возможных частот
внутренних волн. Для течений с разрывом распределения скорости на границе раздела слоев
найдены кривые нейтральной устойчивости прогрессивных внутренних волн. Показано, что
область устойчивости течения сужается при уменьшении относительного перепада плотности
между слоями и увеличении скачка скорости фонового течения.
Ключевые слова: течения с вертикальным сдвигом скорости, двухслойная жидкость, ли-
нейные внутренние волны, волны прогрессивные, устойчивость волн, аналитические решения.
Введение. Перечень задач, связанных с динамикой внутренних волн в
течениях с вертикальным сдвигом скорости, достаточно обширен. Учет сдви-
говых течений, скорости которых соизмеримы со скоростями распростране-
ния внутренних волн, необходим при моделировании распространения внут-
ренних волн в модельных и реальных бассейнах [1 – 4]. Анализ условий уси-
ления внутренних волн в сдвиговых течениях непосредственно связан с ре-
шением двух взаимосвязанных задач [2, 5 – 9]: определением критериев ус-
тойчивости таких течений и нахождением условий роста амплитуд внутрен-
них волн. Сдвиговые течения влияют на кинематику и динамику вынужден-
ных внутренних волн, например, они вызывают изменения структуры барок-
линных волновых следов за движущимися возмущениями [10 – 12].
Первая работа, показавшая существенное влияние переменных по глубине
течений на динамику внутренних волн в двухслойных потоках, выполнена
Г. Гельмгольцем [1, 13]. Во многих случаях в моделях задавались многослойные
распределения плотности и линейные (постоянный сдвиг скорости) или кусочно-
линейные распределения горизонтальной скорости течения по вертикали.
Двухслойное распределение плотности (простейшая аппроксимация вер-
тикальной плотностной стратификации океана [1, 2]) в зависимости от поло-
жения границы раздела и перепада плотности между слоями позволяет моде-
лировать сезонный или основной пикноклины. Задание в слоях горизонталь-
ных сдвиговых течений приводит к простейшей модели стратифицированно-
го течения с вертикальным сдвигом скорости. Такая модель используется в
настоящей статье для анализа простых прогрессивных внутренних волн в
сдвиговых течениях.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 37
Ниже для нескольких типов вертикальных распределений скорости тече-
ния в двухслойной жидкости конечной глубины найдены аналитические ре-
шения задачи о прогрессивных внутренних волнах, дисперсионные зависи-
мости для внутренних волн и на их основе определены возможные типы ба-
роклинных волн, условия их существования, направления распространения,
блокировки и критерии возникновения неустойчивых волновых режимов.
Ранее характеристики стационарных внутренних волн в двухслойном сдвиго-
вом течении рассматривались в работах [14 – 16] и др.
Математическая постановка задачи. В вертикальной плоскости Oxz,
где x – горизонтальная, z – вертикальная координата, рассматривается гори-
зонтальный поток (U(z), 0) идеальной несжимаемой двухслойной жидкости
постоянной глубины H. Толщины слоев h1 и h2 постоянны, скорость течения
U = U1(z) (–h1 ≤ z ≤ 0), U = U2(z) (–H ≤ z ≤ –h1),
плотность верхнего слоя равна ρ1, нижнего – ρ2, H = h1 + h2 (рис. 1). Распреде-
ление скорости течения по z может быть как непрерывным, так и претерпе-
вать разрыв первого рода при пересечении границы раздела слоев z = –h1.
Р и с. 1. Схема задачи
В рамках линейной теории исследуем в таком сдвиговом течении воз-
можные внутренние прогрессивные волны. Воспользуемся приближением
«твердой крышки», заменяя свободную поверхность твердой горизонтальной
плоскостью. Оно отфильтровывает поверхностные волны без существенного
искажения внутренних [1, 2].
Нестационарные внутренние волны в двухслойном течении идеальной
жидкости, занимающем область 0 , <<−+∞<<∞− zHx , описываются сис-
ρ1, U1(z)
x
–H
ρ2, U2(z)
z
0
–h1
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 38
темой из шести линеаризованных относительно среднего течения (U(z), 0)
уравнений с зависящими от вертикальной координаты z коэффициентами:
)2 1(
1
,j
x
p
w
dz
dU
x
u
U
t
u j
j
j
jj
j
j =
∂
∂
−=+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
, (1)
z
p
x
w
U
t
w j
j
j
j
j
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
1
, (2)
0=
∂
∂
+
∂
∂
z
w
x
u jj , (3)
где ),,( tzxu j – малые возмущения горизонтальной скорости потока в верхнем
(j = 1) и нижнем (j = 2) слоях; ),,( tzxwj – вертикальная скорость; ),,( tzxp j –
динамические возмущения гидростатического давления жидкости.
Систему уравнений (1) – (3) необходимо дополнить граничными усло-
виями. На невозмущенной поверхности жидкости z = 0 и дне бассейна z = –H
при всех ),( +∞−∞∈x и t ≥ 0 должны выполняться условия скольжения (не-
протекания) жидкости:
)0( 01 == zw , )( 02 Hzw −== . (4)
На границе раздела слоев 1hz −= задаются два условия согласования ре-
шений в слоях – кинематическое и динамическое. Первое условие
)(
~
)( 1211 hwhw −=− θ , (5)
в котором
xt
xt
hU
hU
ζζ
ζζθ
)(
)(~
12
11
−+
−+= ,
вытекает из двух линеаризованных кинематических соотношений
)( )( 112,12,1 hz
x
hU
t
w −=
∂
∂−+
∂
∂= ζζ
(6)
на границе раздела слоев, где ζ(x, t) – смещение скачка плотности от горизон-
тального положения z = – h1. Динамическое условие означает непрерывность
при всех ),( +∞−∞∈x и t ≥ 0 полного давления жидкости при пересечении
границы раздела слоев 1hz −= :
gζρ|pgζρ|p hzhz 202101 11
−=− −−=+−= , (7)
где g – ускорение свободного падения.
Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим прогрессивные внутренние волны вида
)sin()( ),cos(}),(),({},,{ tkxzwwtkxazpzupu jjjjjj σσζ −=−= , (8)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 39
где k и σ – волновое число и частота волны, связанные между собой подле-
жащим нахождению дисперсионным соотношением; uj, wj, pj – неизвестные
амплитудные функции; a – неизвестная амплитуда смещений скачка плотно-
сти. Подстановка выражений (8) в (1) – (5), (7) и исключение из полученных
соотношений всех неизвестных функций, кроме w1,2, приводят к краевой за-
даче для нахождения собственных значений σ = σ(k) и соответствующих им
распределений по z амплитудных функций полей вертикальной скорости в
слоях:
( )0 0)]([ 111
2
1 <<−=+−′′ zhwzkw α , (9)
( )122
2
2 0)]([ hzHwzkw −<<−=+−′′ α , (10)
0)0(1 =w , (11)
)()( 1211 hwhw −=− θ , 0)()()( 111212 =−′−−−−′ hwhwhw γθη , (12)
0)(2 =−Hw , (13)
где штрих означает производную по вертикальной координате z;
czU
zU
j
j
j −
′′
=
)(
)(
α ,
chU
hUhU
chU
g
−−
−′−−′
+
−−
=
)(
)()(
])([ 12
1112
2
12
γθεη ,
chU
chU
−−
−−
=
)(
)(
12
11θ ,
2
1
ρ
ργ = , γε −=1 ;
k
c
σ= – фазовая скорость внутренней волны. При c > 0
волна распространяется вправо, при c < 0 – влево.
Внутренние волны в сдвиговых течениях с модельными распределе-
ниями скорости по глубине. Рассмотрим несколько вертикальных распреде-
лений горизонтальной скорости двухслойного течения, для которых решение
задачи (9) – (13) может быть найдено аналитическими методами.
Введем обозначения: U00 = U1(0) – скорость течения на верхней границе
двухслойной жидкости; U10 = U1(–h1) – скорость течения на нижней границе
верхнего слоя; U11 = U2(–h1) – скорость течения на верхней границе нижнего
слоя; U22 = U2(–H) – скорость течения на дне бассейна.
Пусть распределения скорости сдвигового течения в слоях удовлетворя-
ют условиям 021 ≡= αα . Уравнения (9) и (10) имеют постоянные коэффици-
енты, что позволяет найти аналитическое решение в виде
},sh ;ch{
sh
} ;{
1
11 kzkz
kh
A
wu
θ−=
)},(sh );(ch{
sh
} ;{
2
22 HzkHzk
kh
A
wu ++= (14)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 40
σ−
−=
11kU
A
a ;
A – произвольная константа. Волновое число k и частота волны σ должны
удовлетворять трансцендентному уравнению
ηγθ =+ 1
2
2 kaka ,
где jj kha thc= . Из этого уравнения находим пару дисперсионных зависимо-
стей
21
112101 )(
aa
kUaUa
+
∆±++
=
γ
γµσ , (15)
где
)]()([
2
1
1211 hUhU −′−−′= γµ , 1110 UU −=δ ,
{ } 22
2111212121
2 )]()([)( kaakhUahUaaag δγγδγεµ −−′+−′−++=∆ .
Условия 021 ≡= αα выполняются для течений с кусочно-постоянными и
кусочно-линейными распределениями скорости. Простейшие из них рас-
смотрены ниже.
Течение с постоянной скоростью по глубине. В этом случае
U1,2(z) ≡ U00 ≥ 0 (рис. 2, а). Дисперсионные соотношения (15) принимают вид
21
0000 ,)(
aa
gk
kkU
+
=∆∆±=
γ
εσ . (16)
Если фоновое течение отсутствует (U00 = 0), то дисперсионная зависи-
мость σ = σ(k) представляет собой две кривых, вдоль каждой из которых
групповая скорость внутренних волн dkkdc /)(g σ= сохраняет свой знак
(рис. 2, б). Для заданной частоты волны σ0 уравнение σ0 = σ(k) имеет два
корня )( 000
+−± −== kkkk , которым соответствуют прогрессивные волны, рас-
пространяющиеся в противоположных направлениях.
При U00 ≠ 0 вид дисперсионных кривых изменяется. Если sgU /00 ε< ,
где 21 /1/ hhs += γ , на дисперсионной кривой существуют точки экстремума
– так называемые точки блокировки волн ),( bb
+− σk и ),( bb
−+ σk , в которых
групповая скорость cg = 0, т. е. отсутствует передача волновой энергии
(рис. 2, в). При таких параметрах может происходить резонансный рост высо-
ты внутренней волны. В режимах блокировки волны распространяются про-
тив течения (c < 0). Для описания подобных режимов необходимо рассмотре-
ние волн в рамках более сложных моделей, а именно, нелинейных или учи-
тывающих диссипацию энергии волнового поля.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 41
Р и с. 2. Течение без сдвига скорости (а) и дисперсионные кривые в случаях U00 = 0 (б),
sgU /00 ε< (в) и sgU /00 ε> (г)
При −< bσσ и +> bσσ уравнение σ0 = σ(k) имеет два корня одного знака.
Для таких частот в жидкости возможны две внутренних волны, распростра-
няющиеся вниз по течению (c > 0).
Если частота волны лежит в диапазоне +− << bb σσσ , в жидкости могут
существовать четыре прогрессивных внутренних волны, две из которых рас-
пространяются вниз по течению, а остальные – против течения.
k
σ
k+
k−
kb
+
kb
−
σ b
+
σ b
−
z
U
0
-h1
-H
U00
а б
в г
k
σ
k 0
− k0
+
k
σ
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 42
При sgU /00 ε> точки экстремума отсутствуют и дисперсионные кри-
вые представляют собой две возрастающие функции (рис. 2, г). Для заданной
частоты волны σ0 уравнение σ0 = σ(k) имеет два корня по k одного знака, ко-
торым соответствуют прогрессивные волны, распространяющиеся в положи-
тельном направлении оси x.
Течение с непрерывным распределением скорости, являющимся ли-
нейным в каждом слое. В этом случае (рис. 3, а)
)0( )( 10011 ≤≤−+= zhUzdzU , )( )()( 111122 hzH UhzdzU −≤≤−++= , (17)
где постоянные сдвиги скорости 222112111001 /)( ,/)( hUUdhUUd −=−= .
Р и с. 3. Сдвиговое течение с непрерывным кусочно-линейным распределением скорости (а) и
возможные дисперсионные зависимости для внутренних волн (б, в)
Дисперсионные соотношения для внутренних волн находятся из (15):
)(
)(
21
1
11 aa
k
kU
+
∆±
+=
γ
µ
σ , (18)
kaag )( 21
2
1 ++=∆ γεµ , 2/)( 12 dd γµ −= .
Поведение дисперсионных кривых качественно аналогично предыдущему
случаю, т. е. при ( ) sU /)0(111 µ−∆< существуют две точки блокировки волн
±= bkk , а волны с волновыми числами k из диапазона +− << bb kkk с соответст-
вующими частотами для дисперсионной зависимости, обозначенной штрихо-
вой линией на рис. 3, б, распространяются вверх по потоку (c < 0) и перено-
сят энергию в этом же направлении (cg < 0). Случай ( ) sU /)0(111 µ−∆> со-
ответствует дисперсионным кривым без точек блокировки (рис. 3, в).
Перейдем к рассмотрению внутренних волн в течениях с разрывами вер-
тикального распределения скорости на границе раздела слоев.
z
U 0
-h1
-H
U00
U22
а
U11
б в
k
σ
k
σ
k+
k−
kb
+
kb
−
σb
+
σb
−
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 43
Однонаправленное течение с постоянными, но различными по вели-
чине скоростями потока в слоях. В этом случае (рис. 4, а)
U = U00 ≥ 0 (–h1 ≤ z ≤ 0), U = U11 ≥ 0 (–H ≤ z ≤ –h1), (19)
причем U00 ≠ U11. Дисперсионные соотношения (15) принимают вид
( )
21
21100 )(21
aa
kkUaUa
+
∆±+
=
γ
γ
σ , (20)
22
21212 )( kaakaag δγγε −+=∆ . (21)
Р и с. 4. Сдвиговые течения с разрывными на границе раздела слоев распределениями скоро-
сти (а, б) и возможные дисперсионные зависимости для внутренних волн (в, г)
z
U
0
-h1
-H
U00
а
U11
z
U 0
-h1
-H
U00
U11
U22
б
U10
в г
k
σ
kb2
−k2
−
kb2
+ k 2
+k1
+
σ b1
−
σ 2
−
σ b2
−
σb2
+
σ 2
+
σ b1
+
k b1
+k1
−
kb1
− k
σ
k b
−k−
k b
+k +
σ −
σ b
−
σb
+
σ +
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 44
Дисперсионные кривые ограничены на плоскости (k, σ) (рис. 4, в, г). В случае
( ) )0(// 2211100 ∆<+= hUhUP γ существуют две пары точек блокировки
внутренних волн: ),( 1bb1
−+ σk , ),( b2b2
++ σk и ),( 1bb1
+− σk , ),( b2b2
−− σk . В этих точках
групповая скорость равна нулю, а фазовая отлична от нуля, что указывает на
рост амплитуды такой прогрессивной волны со временем. Внутренние волны
могут существовать только в ограниченных диапазонах волновых чисел
+− << 22 kkk и частот +<<−
b2b2 σσσ . Если частота волны изменяется в диапазо-
не ),( b1b1
+− σσ , то могут существовать четыре прогрессивных волны, две из ко-
торых распространяются по течению, а другие две – против. В частотных
диапазонах ),( b1b2
−− σσ и ),( b2b1
++ σσ могут существовать только две внутренних
волны, распространяющиеся по течению. При )0(2∆>P существует одна
пара точек блокировки внутренних волн: ),( bb
++ σk и ),( bb
−− σk (рис. 4, г).
Течение с постоянными, но противоположными по направлению ско-
ростями в слоях. В этом случае (рис. 5, а)
Р и с. 5. Двухслойное течение с различными по направлению скоростями в слоях (а) и соот-
ветствующие дисперсионные зависимости для внутренних волн (б, в)
U = U00 (–h1 ≤ z ≤ 0), U = U11 (–H ≤ z ≤ –h1), (22)
где U00U11< 0. Дисперсионная зависимость описывается формулой (20). Если
0>P , то дисперсионные кривые имеют вид зависимостей, показанных на
рис. 4, в, г. При 0<P дисперсионные кривые изменяют свой вид в зависимо-
сти от того, выполняется неравенство )0(2∆−>P (рис. 5, б) или нет
(рис. 5, в). В этих случаях диапазоны существования внутренних волн по час-
тотам и волновым числам несколько отличаются. Для распределений скоро-
сти, показанных на рис. 4, а и 5, а, возможно существование двух или четы-
б
z
U
0
-h1
-H
U00
а
U11
в
k
σ
kb2
−k2
−
kb2
+ k2
+k1
+
σb1
−
σ2
−
σb2
−
σb2
+
σ2
+
σb1
+
kb1
+k1
−
kb1
−
k
σ
kb
−k−
kb
+ k+
σ−
σb
−
σb
+
σ+
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 45
рех внутренних волн, распространяющихся по и против течения в верхнем
слое.
Течение с линейными распределениями скорости, имеющими разрыв
первого рода на границе раздела слоев. Распределение скорости течения (по-
казано на рис. 4, б) описывается выражениями
)0( )( 10011 ≤≤−+= zhUzdzU , )( )()( 111122 hzH UhzdzU −≤≤−++= , (23)
где 222112110001 /)( ,/)( hUUdhUUd −=−= . Дисперсионные зависимости для
внутренних волн в этом случае имеют вид
( )
21
3112101
aa
kUaUa
+
∆±++
=
γ
γµ
σ , (24)
22
21122121
2
3 )]()([ kaakdadaaag δγγδγεµ −+−++=∆ , (25)
где 2/)( 12 dd γµ −= . График дисперсионных кривых представлен на рис. 4, в
при ( ) µγ −∆<+ )0(// 3211110 hUhU и на рис. 4, г, если последнее неравенст-
во не выполняется. Возможные типы внутренних прогрессивных волн анало-
гичны тем, которые могут существовать в течении, показанном на рис. 4, а.
Линейная устойчивость внутренних волн в двухслойных сдвиговых
течениях (19), (22) и (23). Остановимся на анализе линейной неустойчивости
малых возмущений в форме внутренних прогрессивных волн, распростра-
няющихся в рассмотренных выше двухслойных сдвиговых течениях. Неус-
тойчивость возникает при значениях параметров, при которых частота волны,
найденная из дисперсионного соотношения, имеет ненулевую мнимую часть.
В случае дисперсионных зависимостей (15) неустойчивые внутренние волны
с экспоненциальным ростом амплитуды существуют при условии 0<∆ .
Кривая на плоскости параметров, разделяющая области устойчивости и неус-
тойчивости внутренних волн, известна как граница нейтральной устойчиво-
сти [2, 5, 17]. В рамках подхода, примененного в настоящей работе, она соот-
ветствует решениям уравнения 0=∆ .
Для модельных распределений скорости сдвиговых течений, являющихся
непрерывными, δ = 0, а поэтому ∆ > 0. Следовательно, внутренние волны в
рассмотренных выше сдвиговых течениях с непрерывным распределением
скорости устойчивы.
Иная ситуация наблюдается в течениях, распределения скорости которых
имеют разрывы на границе раздела слоев. Такие случаи реализуются для
двухслойных течений (19), (22) и (23). Для них выполнены расчеты границ
нейтральной устойчивости при различных параметрах фонового течения. В
случае течения (19) в предположении, что U11 = 0, а глубина нижнего слоя
бесконечна, построенные кривые нейтральной устойчивости совпадают с
найденными в работе [17].
На рис. 6 представлены для различных значений ε границы нейтральной
устойчивости
внутренних волн на плоскости параметров (k, |δ|) в случае тече-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 46
ния с постоянными скоростями в слоях (рис. 4, а и 5, а). Области линейной
устойчивости волн располагаются под соответствующими кривыми. Ослаб-
ление стратификации и увеличение скачка скорости приводят к сужению об-
ласти устойчивости волн.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
k, 1/м
0
0.5
1
1.5
2
|δ|,
0.005
0.001
0.0005
0.0001
м/с
Р и с. 6. Кривые нейтральной устойчивости внутренних волн на плоскости (k, |δ|) в случае
течения с постоянными скоростями в слоях (рис. 4, а и 5, а) при различных значениях относи-
тельного перепада плотности ε, указанных у соответствующих кривых (глубины слоев:
h1 = 100 м, H = 2000 м; устойчивым режимам соответствуют точки под кривыми)
Кривые нейтральной устойчивости
внутренних волн на плоскости пара-
метров (k, h1) для двухслойного течения с постоянными скоростями в слоях
(рис. 4, а и 5, а) при различных значениях скачка скорости δ на границе раз-
дела слоев приведены на рис. 7. Области устойчивости находятся слева от
соответствующих кривых. Увеличение скачка скорости приводит к сужению
области устойчивости. Влияние глубины залегания скачка плотности жидко-
сти наиболее заметно при больших значениях δ, а также в случаях, когда гра-
ница раздела слоев располагается у верхней поверхности течения или у дна
бассейна.
Кривые нейтральной устойчивости, соответствующие течению с линей-
ными распределениями скорости в слоях (см., например, рис. 4, б), показаны
на рис. 8. Области устойчивых волновых режимов ограничены снаружи соот-
ветствующей парой кривых. Уменьшение параметра плотностной стратифи-
кации и/или увеличение скачка скорости приводят к сужению области устой-
чивости внутренних волн.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 47
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
k, 1/м
50
100
150
200
250
300
h , м 0
.4 0
.2
0
.2
4
0
.2
8
0
.3
2
0.
34
0.
34
5
0.
36
1
Р и с. 7. Кривые нейтральной устойчивости внутренних волн на плоскости (k, h1) в двухслой-
ном течении (постоянные скорости в слоях) с разрывом распределения скорости на границе
раздела слоев для нескольких значений скачка скорости δ (м/с), указанных у кривых (глубина
бассейна H = 300 м; относительный перепад плотности ε = 0,001; устойчивым режимам соот-
ветствуют точки слева от кривых)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
k, 1/м
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
δ,
1
2
3
м/с
Р и с. 8. То же, что и на рис. 6, но для течения с линейным распределением скорости в слоях
для различных значений относительного перепада плотности (1 – ε = 0,005; 2 – ε = 0,001, 3 – ε
= 0,0001) (параметры течения: постоянные сдвиги скорости d1 = –0,0025 c–1, d2 = 0,00045 c–1,
толщины слоев h1 = 100 м, h2 = 200 м; устойчивым волновым режимам соответствуют точки
(k, δ) между соответствующими кривыми)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 48
Заключение. В линейной постановке рассмотрена плоская задача о про-
грессивных внутренних гравитационных волнах в течении двухслойной жид-
кости с изменяющейся по вертикали скоростью течения. Для нескольких ку-
сочно-постоянных и кусочно-линейных распределений скорости течения в
слоях найдены аналитические решения задачи и соответствующие дисперси-
онные зависимости.
Найденные аналитические решения позволили описать возможные типы
внутренних волн, направления их распространения, условия блокировки волн
течениями и условия устойчивости волн. Показано, что распределение скоро-
сти течения влияет на все перечисленные характеристики волн.
Сдвиговые течения с непрерывными распределениями скорости являют-
ся устойчивыми. Наличие скачка скорости на границе раздела слоев жидко-
сти может привести к неустойчивости. Для нескольких разрывных распреде-
лений скорости течения найдены границы нейтральной устойчивости течения
относительно малых возмущений в виде прогрессивных внутренних волн.
Области устойчивости течения сужаются при уменьшении относительного
перепада плотности между слоями и увеличении скачка в распределении ско-
рости фонового течения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крауcс В. Внутренние волны. – Л.: Гидрометеоиздат, 1968. – 272 с.
2. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 2. – М.: Мир, 1981. – 365 с.
3. Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых гидродинамиче-
ских течениях // Успехи физических наук. – 1989. – 159, вып. 1. – С. 83 – 123.
4. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1980. – 320 с.
5. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. – М.: Иностр. лит., 1958. –
195 с.
6. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1976. – 108 с.
7. Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows // J. Fluid Mech. – 1961. – 10, № 4.
– P. 496 – 508.
8. Howard L.N. Note on a paper of John W. Miles // Ibid. – 1961. – 10, № 4. – P. 509 – 512.
9. Menkes J. On the stability of a shear layer // Ibid. – 1959. – 6, № 4. – P. 518 – 522.
10. Букатов А.Е., Власенко В.И., Пухтяр Л.Д. и др. Динамика поверхностных и внутренних
волн. – Киев: Наукова думка, 1988. – 192 с.
11. Букатов А.Е., Власенко В.И., Стащук Н.М. и др. Поверхностные и внутренние гравита-
ционные волны в океане. – Киев: Наукова думка, 1989. – 144 с.
12. Черкесов Л.В., Власенко В.И., Стащук Н.М. и др. Гидродинамика морских волн. – Ки-
ев: Наукова думка, 1992. – 162 с.
13. Helmholtz H.V. Über diskontinuierliche flüssigkeitsbewegungen. – Berlin: Monatsber. der
Kgl. Preuss. Akad. Wiss., 1868. – 23. – S. 215 – 229.
14. Суворов А.М. Генерация внутренних волн в потоке двухслойной жидкости со сдвигом
скорости // Цунами и внутренние волны. – Севастополь: МГИ АН УССР, 1976. –
С. 170 – 178.
15. Билюнас М.В., Доценко С.Ф. Свободные внутренние волны в неоднородном течении с
вертикальным сдвигом скорости // Морской гидрофизический журнал. – 2012. – № 1. –
С. 3 – 16 .
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 4 49
16. Berkofsky L. Internal gravity-vorticity lee waves over mountains // J. Geophys. Res. – 1960. –
65, № 11. – P. 3685 – 3692.
17. Esch R.E. Stability of the parallel flow of a fluid over a slightly heavier fluid // J. Fluid Mech.
– 1962. – 12. – P. 192 – 208.
Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил
Севастополь в редакцию 01.06.11
Е-mail: sf_dotsenko@mail.ru
АНОТАЦІЯ У лінійній постановці розглянута плоска задача про прогресивні внутрішні
гравітаційні хвилі в двошаровій рідині з вертикальним зрушенням швидкості. Для кількох мо-
дельних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення задачі. Описані можливі типи
внутрішніх хвиль, умови їх блокування та критерії стійкості хвиль, які залежать від
вертикальної структури течій. Показано, що розподіл швидкості фонової течії впливає на
кількість ґенерованих хвиль, напрями їх розповсюдження та умови блокування. Стрибок
швидкості течії на межі поділу шарів збільшує кількість точок блокування та призводить до
обмеження діапазону можливих частот внутрішніх хвиль. Для течій з розривом розподілу
швидкості на межі розділу шарів знайдені криві нейтральної стійкості прогресивних
внутрішніх хвиль. Показано, що область стійкості течії звужується зі зменшенням відносного
перепаду густини між шарами і зі збільшенням стрибка швидкості фонової течії.
Ключові слова: течії з вертикальним зсувом швидкості, двошарова рідина, лінійні
внутрішні хвилі, хвилі прогресивні, стійкість хвиль, аналітичні рішення.
ABSTRACT Two-dimensional problem on progressive internal gravity waves in a flow of two-layer
fluid with vertical velocity shear is considered in the linear statement. The analytical solutions are
found for some model distributions of current velocity. Possible types of internal waves, the condi-
tions of their locking, and the criteria of waves’ stability depending on the currents’ vertical structure
are found. It is shown that distribution of the background flow velocity affects the amount of the gen-
erated waves, directions of their propagation and the lock condition. The current velocity jump on the
layers’ interface increases the number of locking points and reduces the range of possible frequencies
of internal waves. For the flows with a break in velocity distribution on the layers’ interface, the
curves of neutral stability of the progressive internal waves are found. It is shown that the region of
the flow stability narrows with decrease of the relative density difference between the layers and in-
crease of the background flow velocity jump.
Keywords: flow with vertical shear velocity, two-layer fluid, linear internal waves, progressive
waves, waves’ stability, analytical solutions.
|