Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності

Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності

У роботі запропонований метод побудови точних розв’язків нестаціонарної задачі теплопровідності в областях, складених з прямокутників. Пропонується аналіз результатів обчислювального експерименту, проведеного авторами за допомогою створеної ними програми при розв’язанні прикладу в областях, складени...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Штучний інтелект
Datum:2012
Hauptverfasser: Литвин, О.М., Лобанова, Л.С., Залужна, Г.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2012
Schlagworte:
Интеллектуальные робототехнические системы
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56738
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 219-228. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56738
record_format dspace
spelling Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
Залужна, Г.В.
2014-02-22T23:51:55Z
2014-02-22T23:51:55Z
2012
Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 219-228. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
1561-5359
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56738
519.6
У роботі запропонований метод побудови точних розв’язків нестаціонарної задачі теплопровідності в областях, складених з прямокутників. Пропонується аналіз результатів обчислювального експерименту, проведеного авторами за допомогою створеної ними програми при розв’язанні прикладу в областях, складених з прямокутників. Розглянуто приклад області, що має форму швелера.
В работе предложен метод построения точных решений нестационарной задачи теплопроводности в областях, составленных из прямоугольников. Предлагается анализ результатов вычислительного эксперимента, проведенного авторами с помощью созданной ими программы при решении примера в областях, составленных из прямоугольников. Рассмотрен пример области, имеющей форму швелера.
In this paper, the method for constructing exact solutions of unsteady heat conduction problem for areas, which are made of rectangles, is proposed. The analysis of the results of computational experiment is offered. It was conducted by the authors with the help of two programs for solving the example in areas, which are made of rectangles. The example of area, which has a shape of channel bars, is considered.
uk
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
Штучний інтелект
Интеллектуальные робототехнические системы
Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
Об одном подходе к тестированию новых методов решения нестационарной задачи теплопроводности
On the Approach to Testing of New Methods for Solving the Unsteady Heat Conduction Problem
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
spellingShingle Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
Залужна, Г.В.
Интеллектуальные робототехнические системы
title_short Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
title_full Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
title_fullStr Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
title_full_unstemmed Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
title_sort про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності
author Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
Залужна, Г.В.
author_facet Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
Залужна, Г.В.
topic Интеллектуальные робототехнические системы
topic_facet Интеллектуальные робототехнические системы
publishDate 2012
language Ukrainian
container_title Штучний інтелект
publisher Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
format Article
title_alt Об одном подходе к тестированию новых методов решения нестационарной задачи теплопроводности
On the Approach to Testing of New Methods for Solving the Unsteady Heat Conduction Problem
description У роботі запропонований метод побудови точних розв’язків нестаціонарної задачі теплопровідності в областях, складених з прямокутників. Пропонується аналіз результатів обчислювального експерименту, проведеного авторами за допомогою створеної ними програми при розв’язанні прикладу в областях, складених з прямокутників. Розглянуто приклад області, що має форму швелера. В работе предложен метод построения точных решений нестационарной задачи теплопроводности в областях, составленных из прямоугольников. Предлагается анализ результатов вычислительного эксперимента, проведенного авторами с помощью созданной ими программы при решении примера в областях, составленных из прямоугольников. Рассмотрен пример области, имеющей форму швелера. In this paper, the method for constructing exact solutions of unsteady heat conduction problem for areas, which are made of rectangles, is proposed. The analysis of the results of computational experiment is offered. It was conducted by the authors with the help of two programs for solving the example in areas, which are made of rectangles. The example of area, which has a shape of channel bars, is considered.
issn 1561-5359
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56738
citation_txt Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 219-228. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT litvinom proodinpídhíddotestuvannânovihmetodívrozvâzannânestacíonarnoízadačíteploprovídností
AT lobanovals proodinpídhíddotestuvannânovihmetodívrozvâzannânestacíonarnoízadačíteploprovídností
AT zalužnagv proodinpídhíddotestuvannânovihmetodívrozvâzannânestacíonarnoízadačíteploprovídností
AT litvinom obodnompodhodektestirovaniûnovyhmetodovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti
AT lobanovals obodnompodhodektestirovaniûnovyhmetodovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti
AT zalužnagv obodnompodhodektestirovaniûnovyhmetodovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti
AT litvinom ontheapproachtotestingofnewmethodsforsolvingtheunsteadyheatconductionproblem
AT lobanovals ontheapproachtotestingofnewmethodsforsolvingtheunsteadyheatconductionproblem
AT zalužnagv ontheapproachtotestingofnewmethodsforsolvingtheunsteadyheatconductionproblem
first_indexed 2025-11-25T23:31:45Z
last_indexed 2025-11-25T23:31:45Z
_version_ 1850586126733017088
fulltext «Штучний інтелект» 1’2012 219 5Л УДК 519.6 О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків, Україна Україна, 61003, м. Харків, вул. Університетська, 16 academ@kharkov.ua, ludmila_lobanova@mail.ru, zal_artem@mail.ru Про один підхід до тестування нових методів розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності O.N. Lytvyn, L.S. Lobanova, G.V. Zalyzhna Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy Ukraine, 61003, Kharkiv, Universytetska St., 16 On the Approach to Testing of New Methods for Solving the Unsteady Heat Conduction Problem О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужная Украинская инженерно-педагогическая академия, г. Харьков, Украина Украина, 61003, г. Харьков, ул. Университетская, 16 Об одном подходе к тестированию новых методов решения нестационарной задачи теплопроводности У роботі запропонований метод побудови точних розв’язків нестаціонарної задачі теплопровідності в областях, складених з прямокутників. Пропонується аналіз результатів обчислювального експерименту, проведеного авторами за допомогою створеної ними програми при розв’язанні прикладу в областях, складених з прямокутників. Розглянуто приклад області, що має форму швелера. Ключові слова: нестаціонарна задача теплопровідності, інтерлінація, метод скінченних елементів, початково-крайова задача. In this paper, the method for constructing exact solutions of unsteady heat conduction problem for areas, which are made of rectangles, is proposed. The analysis of the results of computational experiment is offered. It was conducted by the authors with the help of two programs for solving the example in areas, which are made of rectangles. The example of area, which has a shape of channel bars, is considered. Key words: unsteady heat conduction problem, interlination, finite elements method, the initial-boundary value problem. В работе предложен метод построения точных решений нестационарной задачи теплопроводности в областях, составленных из прямоугольников. Предлагается анализ результатов вычислительного эксперимента, проведенного авторами с помощью созданной ими программы при решении примера в областях, составленных из прямоугольников. Рассмотрен пример области, имеющей форму швелера. Ключевые слова: нестационарная задача теплопроводности, интерлинация, метод конечных элементов, начально-краевая задача. Вступ У праці [1] запропонований метод ЛІДР розв’язання диференціальних рівнянь з частинними похідними (метод зведення до системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь). У статтях [2], [3] досліджувалися деякі аспекти чисельної реалізації методу, запропонованого в статті [1]. У даній роботі пропонується аналіз результатів обчис- лювального експерименту, проведеного авторами за допомогою створеної ними про- грами при розв’язанні прикладу в областях, складених з прямокутників. У цьому прикладі розв’язувалась тестова крайова задача, в якій був відомий точний розв’язок, побудований з використанням методики, викладеної в роботі [4], відповідним чином перенесеної на випадок нестаціонарної задачі теплопровідності. mailto:academ@kharkov.ua mailto:ludmila_lobanova@mail.ru mailto:zal_artem@mail.ru Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. «Искусственный интеллект» 1’2012220 5Л У статті [2] розглянуто більш детально структура наближеного розв’язку, коли областю є прямокутник. У даній роботі досліджуються його можливості для випадку областей, складених з прямокутників. Зокрема, ідея цього методу використовується для побудови точного розв’язку нестаціонарної задачі теплопровідності, що належить класу   2,2 ,1 0,C D   . Розглянуто приклад для швелера. Основні твердження методу Наближений розв’язок задачі:    1 2[ ( , , )] : ( , ) ( , ) ( , , )t x yx y L u x y t u a x y u a x y u f x y t       , 2( , ) , 0x y R t   , (1) ( , , ) 0, ( , )u x y t x y  , (2) 0( , , 0) ( , ), ( , )u x y x y x y  , (3) 0 ( , ) 0x y   , (4) де  – область, складена з прямокутників – шукається у вигляді: 2 2 1 1 2 , 1 1 1 1 1 1 2 , , 1 1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), n n n k n j k j n n n n i n k n n i k u x y t C t h n x k h n y j C t h n x i h ny C h nx k h ny                                  в якій , ( )C t  – невідомі функції, які задовольняють початкові умови , 2 (0) ,k n j k j C n n          , , 2 (0) ,i n i C n n            , , (0) ,k n n k C n n            . Для їх знаходження розв’язується задача Коші для системи звичайних дифе- ренціальних рівнянь відносно , ( )C t  :  , , ,, ( ) [ , ]( ) , ( )n k n j n k n j k n j u t u t f t t                21, 1; ; , 1, 1 ,j n j n k n          , , ,, ( ) [ , ]( ) , ( )n i n n i n i n j u t u t f t t                    21, 1; ; , 1, 1 ,i n i k n k n        , , ,, ( ) [ , ]( ) , ( ) ( , 1, 1)n k n n n k n n k n n u t u t f t k n t                      , де використовуються позначення:       , , , , ,u v t u x y t v x y t dx dy    ,   1 2[ , ] n nu uu v u v t a a dx dy x x y y             . Метод оснований на заміні формул інтерлінації [5] за змінними ,x y відповід- ними формулами інтерполяції з точністю, яку має метод ЛІДР. Згідно із загальною теорією методу скінченних елементів [6, с. 290], якщо по- значимо через hS простір МСЕ степеня  1k  за кожною змінною, то похибка апро- ксимації методом Гальоркіна задовольняє нерівностям: Про один підхід до тестування нових методів... «Штучний інтелект» 1’2012 221 5Г                11 0 00 0 0 h t ttk tkk k u t u t u t Pu t e t C h u t e u e u d                  (5) де h – максимальний крок розбиття, C – деяка стала,  0 0 , ,0u u x y  ,    , ,t d u u x y d t   ,   22 2u u u t u dx dy x y                  . Для цієї формули справедлива така оцінка похибки в енергетичній нормі:     22 12, kh ha u S u S C h u    , д е k – с т е п ін ь с к ін ч е н н и х е л е м е н т ів ,  , u v u v a u v u v dx dy x x y y               ,   2 2 0 u t u dx dy    . Якщо ж використовуємо метод скінченних елементів, побудований на основі методу інтерлінації (ІМСЕ), то формула (5) для похибки зміниться і буде мати вигляд:          112 00 0 t ttS k tu t u t C h u t e u e u d             . (6) Постановка задачі У даній роботі область D будемо вважати розміщеною в квадраті    0,1 0,1D   , складеною з об’єднання прямокутників    , , , 1,k k k k kD a b c d k M   , зі сторонами, паралельними осям координат. Проведемо розбиття на прямокутні елементи за допомо- гою прямих , 0,kx x k m  , , 0,y y n   так, щоб , , ,k k k ka b c d серед точок роз- биття існували такі  kx  ,  ky  ,  kx ,  ky , щ о  k ka x ,  k kb x ,  k kc y ,  k kd y . Треба знайти наближений розв’язок  , ,u x y t початково-крайової задачі  , , u u f x y t t      ,  ,x y D , 0t  , (7 )    0, , 0 ,u x y x y , (8 )  , , 0 D u x y t   (9 ) методом скінченних елементів, викладеним в статті [1], і порівняти його з наближ еним розв’язком , зн ай дени м М С Е , в класи чн ій ф орм і. У роботі [3] досл ідж увався м етод , ви кладен ий в [1], для п рям ок утн о ї област і, в дан ій роботі н аведем о результати для област і, щ о м ає ф орм у ш велера. П обу дова точн и х розв’язк ів тестови х задач в областях , складен и х з п рям оку тн и к ів П р и к л ад . Р озглян ем о задач у н естац іон арн о ї теп лоп ровідн ості в област і D , яка м ає ф орм у ш вел ера (ри с. 1). 1 2\D П П , д е    1 , 0 ,П a a b   ,    2 , ,П c c d b   . Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. «Искусственный интеллект» 1’2012222 5Л Рисунок 1 – Область D у формі швелера Розіб’ємо область D на прямокутні елементи прямими , 0, ;kx x k m  , 0, ;ly y l n  1 1 2 20 1 1 1... ... ...m m m m ma x x x c x x c x x a                ; 1 1 10 1 1 1 10 ... ...n n n n ny y y y d y y y b             . Наближений розв’язок поставленої задачі шукаємо у вигляді:               1 1 1 1 11 1 1 1 1 , , n mm n k k k k k k n u x y t C t h x H y C t h x H y                       2 1 1 1 1 , m n k k k m n C t h x H y            (10) де  , , 0x y D t  ,   1 1 1 1 1 1 1 1 0, , , , , , 0, . k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x h x x x x x x x x x x                         Аналогічно визначаються функції  H y .   1 1 1 2 1, 1 1; 1 1; 1 1; 1; 1 1; 1k k m n k m n n m k m n n                        П о з н а ч и м о : 1 2 3       , д е   1 1, 1 1; 1 1k k m n         ,   2 1 1, 1 1; 1k k m n n         ,   3 2 1, 1 1; 1k m k m n n          . Ф у н к ц ії    ,kC t k    з н а х о д и м о , м ін ім із ую ч и в и р а з  J u з в и к о р и с т а н н я м м е т о д у л о к а л ь н о г о п о т е н ц іа л у :     22 2 , , D u u u J u f x y t u dx dy x y t                          . Це приводить до системи лінійних диференціальних рівнянь відносно  kC t . Запишемо (1) у вигляді:           , , , k k k u x y t C t h x H y       . (1 1 ) Т о д і д л я в и зн а ч е н н я  kC t о т р и м а є м о с и с т е м у :           , , , 0p q k k p q k k p q k k a C t b C t f t t              ,  ,p q   , (1 2 ) Про один підхід до тестування нових методів... «Штучний інтелект» 1’2012 223 5Г де        pq k p q k G a h x H y h x H y dx dy   ,                p q k p q k p q k G b h x H y h x H y h x H y h x H y dx dy x x y y                  ,        , ,p q p q G f t h x H y f x y t dx dy  . Проведемо сумування по кожній множині 1 2 3, ,   окремо. Отримаємо замість (12) систему диференціальних рівнянь:                           1 2 3 1 2 3 , , , , , , , 0 p q k k p q k k p q k k k l k k p q k k p q k k p q k k pq k k k a C t a C t a C t b C t b C t b C t f t t                                          (13)    0 ,k kC x y  . Систему (13) запишемо у матричному вигляді:   , 0 c A B c G t t t      , (1 4 ) ш л я х о м з а м ін и ч о т и р и в и м ір н и х м а с и в ів p q ka  , p q kb  н а м а т р и ц і A   , B   т а м а т р и ц і в іл ь н и х ч л е н ів  p qf t н а в е к т о р  G t , м а т р и ц ю  kC t н а в е к т о р  c t з г ід н о з о п и - с а н и м н и ж ч е а л г о р и т м о м . Т у т п р и ф о р м у в а н н і р е з у л ь т у ю ч о ї м а т р и ц і А , щ о в ід п о в ід а є н а п и с а н и м в и щ е т р ь о м м а т р и ц я м , п о в о д и м о с я н а с т у п н и м ч и н о м :       1 11 , 1 1 1 , 1 1 1A A m n m n              ,              1 1 1 1 1 11 1 , 1 1 2 , 1 1 1 , 1 1 1m n m nA A m n n m n n                     ,                   1 1 1 1 1 11 1 1 1 , 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 , 1 1 1 , 1 1 1 m n m n n m n m n nA A m m n n m m n n                                Аналогічно формуємо матрицю В. Зауваження. Якщо d b , то в результаті отримаємо систему Ac Bc f  , яка досліджувалася в [3] для прямокутної області. Побудова точного розв’язку тестового прикладу з використанням сплайн-інтерлінації функцій Побудуємо точний розв’язок задачі для тестового прикладу. Необхідно, щоб точний розв’язок належав до класу функцій, які мають неперервну похідну по t і не- перервні другі похідні ,xx yyu u  . Для цього будемо шукати точний розв’язок тестового прикладу у вигляді 5 різних формул у 5 різних підобластях ID , IID , IIID , IVD , VD розбиття (рис. 2). Будемо вважати, що на лініях 0y  , y d , y b точний розв’язок визначається наступними формулами:  0, 0 , , s ss y ut x t y       1, , , s ss y d ut x t y       2, , , 0, 2 s ss y b ut x t s y       . Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. «Искусственный интеллект» 1’2012224 5Л Рисунок 2 – Розбиття області D на підобласті та граничні умови на частинах границі області D , де I II III IV VD D D D D D     Точний розв’язок на лініях x a  , x c  , x c , x a визначається формулами:  0, , , s ss x a ut y t x       1, , , s ss x c ut y t x       2, , , s ss x c ut y t x       4, , , 0, 2 s ss x a ut y t s x       . При цьому       1,0 1,0 1,0 , , , 0, , , x t a x c x t c x c x t c x a                   ,       1,1 1,1 1,1 , , , 0, , , x t a x c x t c x c x t c x a                   ,       1,2 1,2 1,2 , , , 0, , , x t a x c x t c x c x t c x a                   ,    1 ,0 1 , 0 , , 0 , 0 , y t y d y t d y b         ,    2 , 0 2 ,0 , , 0 , 0 , y t y d y t d y b         ,    1 ,1 1 ,1 , , 0 , 0 , y t y d y t d y b         ,    2 ,1 2 ,1 , , 0 , 0 , y t y d y t d y b         ,    1 , 2 1 , 2 , , 0 , 0 , y t y d y t d y b         ,    2 , 2 2 , 2 , , 0 , 0 , y t y d y t d y b         , д е  , , 0 , 2k s x t k  ;  , , 0 , 3p y t   ; 0 , 2s p  – д о в іл ь н і ф ун к ц ії , я к і з а д о - в о л ь н я ю т ь у м о в и С .М . Н ік о л ь с ь к о г о [5 ] у к у т о в и х т о ч к а х . З о к р е м а , в т о ч ц і  , 0a м а ю т ь в и г л я д :        0 , 0 ,, 0 ,p s s pa t t   , 0 , 2s p  , Про один підхід до тестування нових методів... «Штучний інтелект» 1’2012 225 5Г що є наслідком незалежності мішаних похідних від порядку диференціювання:    ,0 ,0 s p p s p s s p a a u t u t x y y x            , 0 , 2s p  . З г ід н о з т в е р д ж е н н я м п р а ц і [7 ] , у к ут о в и х т о ч к а х о б л а с т і D т о ч н и й р о з в ’я з о к к р а й о в о ї з а д а ч і д л я д и ф е р е н ц іа л ь н о г о р ів н я н н я Л а п л а с а м а є о с о б л и в іс т ь s inr      (  ,r r x y – в ід с т а н ь в ід т о ч к и  ,x y D д о к у т о в о ї т о ч к и ,  – в х ід н и й к ут ,  – п о л я р н и й к ут ) . В р а х о в у ю ч и о д н о р ід н іс т ь г р а н и ч н и х ум о в , в з а г а л ь н о м у в и п а д к у ч а с т и н н і п о х ід н і п е р ш о г о п о р я д к у в к у т о в и х т о ч к а х  , 0a ,  ,a b ,  ,c b ,  ,c b ,  ,a b ,  , 0a п о в и н н і д о р ів н ю в а т и н у л ю . М іш а н і п о х ід н і в ц и х т о ч к а х н е д о р ів н ю ю т ь н ул ю . Ч а с т и н н і п о х ід н і д р уг о г о п о р я д к у у ц и х т о ч к а х т е ж д о р ів н ю ю т ь н ул ю . М іш а н і п о х ід н і д р уг о г о п о р я д к у у ц и х т о ч к а х н е д о р ів н ю ю т ь н ул ю . У т о ч к а х з і в х ід н и м и к у т а м и , т о б т о в т о ч к а х  ,c d і  ,c d , р о з в ’я з о к  , ,u x y t д о р ів н ю є н ул ю , в з а г а л ь н о м у в и п а д к у ч а с т и н н і п о х ід н і п е р ш о г о т а д р у г о г о п о р я д к у і м іш а н і п о х ід н і      , , 0 , 2p qu x y p q  н е д о р ів н ю ю т ь н ул ю . А л е у ч а с т и н н о м у в и п а д к у в о н и (а б о д е я к і п о х ід н і) м о ж у т ь д о р ів н ю в а т и н ул ю . Т о ч н и й р о з в ’я з о к  , ,u x y t б у д е м о ш у к а т и у в и г л я д і: ( , , ) , ( , ) ( , , ) , ( , ) ( , , ) ( , , ) , ( , ) ( , , ) , ( , ) ( , , ) , ( , ) I I I I I I I I I I I I IV IV V V u x y t x y D u x y t x y D u x y t u x y t x y D u x y t x y D u x y t x y D         , д е ф у н к ц ії , , , , ,u I I I I I I IV V   з а д о в о л ь н я ю т ь ум о в и н а г р а н и ц я х м іж с у с ід - н ім и о б л а с т я м и D  , щ о з а б е з п е ч у ю т ь в и к о н а н н я в л а с т и в о с т і  2 , 2 ,1 3u C R . З о к р е м а , 2 2 , , 1 0 ( , , ) ( , ) 1 ( )I k p k p k p u x y t x t S y      1 2 , , 0 0 ( , ) 2 ( )q q q y t S x        2 2 1 2 ( , ) , , 1 0 0 0 ( , , ) 2 ( ) 1 ( )q p k q k p k p q u x y t S x S y            . П р и п о б уд о в і т е с т о в о г о п р и к л а д у в д а н ій р о б о т і б уд е м о в и к о р и с т о в у в а т и л и ш е д в а п ід х о д и (д л я п о б уд о в и д о п о м іж н и х ф ун к ц ій ) . П ід х ід 1 .  ,1 k pS y б у д у є м о у в и г л я д і п о л ін о м ів 5 -г о с т е п е н я , я к щ о в и м а г а є м о , щ о б у ф о р м ул і ін т е р л ін а ц ії в и к о р и с т о в ув а л и с ь і с л ід и ф ун к ц ій , і с л ід и п е р ш и х т а д р у - г и х п о х ід н и х (в ц ь о м у в и п а д к у п о з м ін н ій y м а є м о в с ь о г о 3 в уз л о в и х т о ч к и 0 0y  , 1y d , 2y b ) . Я к щ о у ф о р м у л і Е р м іт а в и к о р и с т о в ую т ь с я с л ід и ф ун к ц ій і п е р ш и х п о х ід н и х п о y , т о к о ж н а т а к а д о п о м іж н а ф ун к ц ія б у д е п о л ін о м о м 5 -г о с т е п е н я (6 к о - е ф іц іє н т ів м о ж у т ь б у т и о д н о з н а ч н о з н а й д е н і з 6 ін т е р п о л я ц ій н и х ум о в ) . Я к щ о ж в и - к о р и с т о в ує м о ф о р м у л и , я к і п р и 0y y , 1y y , 2y y м а ю т ь з а д а н і с л ід и т а з а д а н і Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. «Искусственный интеллект» 1’2012226 5Л сліди першої і другої похідних, то потрібно використовувати для побудови допоміжних функцій  ,1k pS y поліноми степеня 8, які мають 9 коефіцієнтів. Аналогічно по змінній x . Якщо в кожній точці інтерполюємо лише функцію і похідну, то потрібно використовувати поліноми 7-го степеня, оскільки в 4 точках буде задано 8 умов. Якщо ж у кожній точці інтерполяції по x задана функція та перша і друга похідна, то на 4 точках по x нам потрібно задовольнити 12 умов. Таку кількість умов можна задовольнити поліномом 11-го степеня. Підхід 2. Якщо використовуємо як допоміжні функції сплайни, то при умові, що нам необхідно, щоб точний розв’язок належав класу  1C  , достатньо взяти сплайни 3-го степеня, оскільки в цьому випадку на кожному інтервалі  1,k kx x  в точці kx та в точці 1kx  можемо відновити значення функції та її перших похідних (4 умови). Якщо хочемо, щоб тестова функція належала класу  2C  , потрібно викори- стовувати сплайни 5-го степеня, оскільки в точці kx та в точці 1kx  будуть задані зна- чення слідів функції, першої та другої похідних (6 умов). Тобто на цьому інтервалі можемо скористатися поліномом 5-го степеня, який має 6 коефіцієнтів. Функції    , ,1 , 2 , 0,2, 0,3, 0, 2k p l pS y S x k l p   є відповідними базисними поліномами Ерміта, їх похідні відповідного степеня повинні задовольняти визначені умови у вузлових точках. При визначенні цих функцій використовується позначення:           0 ! sn n s a s x a g x g a s   . Зокрема,  0,01S y – поліном 3-го степеня з властивостями:  0,0 0 1 1 y S y   ,  0,01 0 y d S y   ,  0,0 0 1 0 y dS y dy   ,  2 0,0 2 0 1 0 y d S y dy   .         2 2 0,0 2 3 0 1 1 1 y y y S y y d y d y d d d d                 . Припустимо, що точний розв’язок задачі має вигляд:    , , ,tu x y t e u x y  . Права частина точного розв’язку задачі (7) – (9):       , , , ,tf x y t e u x y u x y      . Графік функції  , ,f x y t при 0t  , 2  , яка визначає щільність розподілу точ- кових джерел тепла у пластині, має вигляд (рис. 3): Рисунок 3 – Графік функції  , ,f x y t при 0t  , 2  Про один підхід до тестування нових методів... «Штучний інтелект» 1’2012 227 5Г Проведений обчислювальний експеримент показав, що відхилення набли- женого розв’язку початково-крайової задачі з вказаною правою частиною       , , , ,tf x y t e u x y u x y     має в рівномірній нормі похибку  2O h  , де h – крок розбиття, згідно з теоретичними твердженнями, що задовольняє спів- відношенню (6). Висновки Таким чином, запропонований у роботі метод побудови точних розв’язків неста- ціонарної задачі теплопровідності в областях, складених з прямокутників, дозволяє використовувати ці розв’язки для випадків, коли     2,2,1, , 0,u x y t C D   . Література 1. Сергієнко І.В. Чисельна реалізація методу ЛІДР для рівняння нестаціонарної теплопровідності / І.В. Сергієнко, О.М. Литвин // Доповіді АН УРСР. Сер.А. – 1990. – № 10. – С. 69-73. 2. Литвин О.М. Розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності для пластини інтерлінаційним методом скінченних елементів / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Праці Міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень (ПОО – XXXV)». – Київ : Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2009. – С. 14-19. 3. Литвин О.М. Про один метод побудови точного розв’язку початково-крайової задачі для рівняння нестаціонарної теплопровідності в області складної форми / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. За- лужна // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія : Фізико-математичні науки : зб. наук. праць / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії наук України ; Кам’янець- Подільський національний університет імені Івана Огієнка. – 2010. – Вип. 4. – С. 132-138. 4. Литвин О.М. Про один метод побудови точних розв’язків крайової задачі для диференціальних рівнянь еліптичного типу в областях складної форми / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Доповіді НАНУ. – 2011. – № 7. 5. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування : [монографія] / Литвин О.М. – Харків : Основа, 2002. – 544 с. 6. Г. Стренг. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. – М. : Мир, 1977. 7. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или уг- ловыми точками / В.А. Кондратьев // Труды Московского математического общества. – 1967. – Т. 16. – С. 209-292. Literatura 1. Sergіjenko І.V., Lytvyn O.M. Dop. AN URSR. Ser.A. 1990. № 10. S. 69-73. 2. Lytvyn O.M, Lobanova L.S., Zaluzhna G.V. Pracі Mіzhnarodnogo sympozіumu “Pytannja optemіzacіi obchyslen’ (POO – XXXV)”. Kyiv: Іnstytut kіbernetyky іmenі V.M. Glushkova NAN Ukraini. 2009, S.14-19. 3. Lytvyn O.M., Lobanova L.S. Zaluzhna G.V. Matematychne ta komp’juterne modeljuvannja. Serіja: Fіzyko- matematych nіnauky: zb. nauk. prac’ / Іnstytut kіbernetyky іmenі V.M. Glushkova Nacіonal’noi akademіi nauk Ukrainy, Kam’janec’-Podіl’s’kyj nacіonal’nyj unіversytet іmenі Іvana Ogіjenka. 2010. Vyp. 4. S. 132-138. 4. Lytvyn O.M., Lobanova L.S. Dopovіdі NANU. 2011. № 7. 5. Lytvyn O.M. Іnterlіnacіja funkcіj ta dejakі ii zastosuvannja. Monografіja. Harkіv: Osnova. 2002. 544 s. 6. Streng G.,FiksDzh. Teorija metoda konechnyh jelementov. M.: Mir. 1977. 7. Kondrat’ev V.A. Tr. Moskovskogo mat. o-va .1967. T.16. S. 209-292. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. «Искусственный интеллект» 1’2012228 5Л O.N. Lytvyn, L.S. Lobanova, G.V. Zalyzhna On the Approach to Testing of New Methods for Solving the Unsteady Heat Conduction Problem This paper presents an analysis of the results of numerical experiments conducted by the authors using the program, which they create to solve problems in areas composed of rectangles. In this example, the boundary value problem solved by a test in which it was unaware of the exact solution constructed using the technique described in [1], as appropriate, transferred to the case of transient heat conduction problem. In the article [2], it is considered in more detail the structure of the approximate solution, when the area is a rectangle. In this paper, the capabilities for the case of regions consisting of rectangles are investigated. In particular, the idea of this method is used to construct an exact solution of unsteady heat conduction problem, which belongs to the class   2,2,1 0,C D  . The problem of unsteady heat conduction is considered in an area that has the form of channel bars. An approximate solution is sought in the form of:                     1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 , , , n mm n m n k k k k k k k k n k m n u x y t C t h x H y C t h x H y C t h x H y                           where  , , 0x y D t  . The functions  kC t are found by minimizing the expression  J u using the method of local potential:     22 2 , , D u u u J u f x y t u dx dy x y t                          . This leads to a system of linear differential equations in the variables  kC t . In constructing the exact solution for a test case, there must be considered that the exact solution belongs to the class of functions that have a continuous derivative in t and continuous second derivatives ,xx yyu u  . To do this, we find the exact solution of test case in the form of 5 different formulas in 5 different subareas. The method proposed in the work for constructing exact solutions of transient heat conduction problems in areas, which composed of rectangles, allows to use these solutions for cases where     2,2,1, , 0,u x y t C D   . Стаття надійшла до редакції 02.12.2011.

Ähnliche Einträge