Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы
Рассматривается обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы. Для задания агрегированного отношения предпочтения используется операция пере- сечения нечеткого множества четких отношений, результатом которой является нечеткое отношение типа 2....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56743 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы / С.О. Мащенко // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 169-177. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860216658179653632 |
|---|---|
| author | Мащенко, С.О. |
| author_facet | Мащенко, С.О. |
| citation_txt | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы / С.О. Мащенко // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 169-177. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | Рассматривается обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы. Для задания агрегированного отношения предпочтения используется операция пере- сечения нечеткого множества четких отношений, результатом которой является нечеткое отношение типа 2. Разработано конструктивное представление его функции принадлежности. Предложен метод выбора рациональной альтернативы по нечеткому отношению типа 2, доказано существование максимизирующей альтернативы.
Розглядається узагальнена задача прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи. Для завдання агрегованого відношення переваги використовується операція перетину нечіткої множини чітких відношень, результатом якої є нечітке відношення типу 2. Розроблене конструктивне представлення його функції належності. Запропоновано метод вибору раціональної альтернативи за нечітким відношенням типу 2, доведене існування максимізуючої альтернативи.
Generalized problem of decision making in conditions of uncertainty with fuzzy set of nature states is considered. For the setting of the aggregated relation of preference, the operation of fuzzy set intersection of clear relations, the result of which is fuzzy relation of type 2, is used. Structural presentation of its membership function is developed. The method for choice of rational alternative by fuzzy relation of type 2 is offered. Existence of maximizing alternative is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:16:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 1’2012 169
4Р
УДК 519.8
С.О. Мащенко
Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, г. Киев, Украина
Украина, 01601, г. Киев, ул. Владимирская, 64, msomail@yandex.ru
Обобщенная задача принятия решений в условиях
неопределенности с нечетким множеством
состояний природы
S.O. Mashchenko
Taras Shevchenko National University of Kyiv, Ukraine
Ukraine, 01601, c. Kiev, Vladimirskaia st., 64
Generalized Problem of Decision Making in Conditions
of Uncertainty with Fuzzy Set of Nature States
С.О. Мащенко
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, м. Київ, Україна
Україна, 01601, м. Київ, вул. Володимирська, 64
Узагальнена задача прийняття рішень в умовах
невизначеності з нечіткою множиною станів природи
Рассматривается обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством
состояний природы. Для задания агрегированного отношения предпочтения используется операция пере-
сечения нечеткого множества четких отношений, результатом которой является нечеткое отношение типа 2.
Разработано конструктивное представление его функции принадлежности. Предложен метод выбора
рациональной альтернативы по нечеткому отношению типа 2, доказано существование максимизирующей
альтернативы.
Ключевые слова: нечеткое множество, нечеткое отношение типа 2, рациональный выбор.
Generalized problem of decision making in conditions of uncertainty with fuzzy set of nature states is
considered. For the setting of the aggregated relation of preference, the operation of fuzzy set intersection of
clear relations, the result of which is fuzzy relation of type 2, is used. Structural presentation of its
membership function is developed. The method for choice of rational alternative by fuzzy relation of type 2
is offered. Existence of maximizing alternative is proved.
Key words: fuzzy set, fuzzy relation of type 2, rational choice.
Розглядається узагальнена задача прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною
станів природи. Для завдання агрегованого відношення переваги використовується операція перетину
нечіткої множини чітких відношень, результатом якої є нечітке відношення типу 2. Розроблене
конструктивне представлення його функції належності. Запропоновано метод вибору раціональної
альтернативи за нечітким відношенням типу 2, доведене існування максимізуючої альтернативи.
Ключові слова: нечітка множина, нечітке відношення типу 2, раціональний вибір.
Введение
Принятие решений часто связано с тем, что исходы (результаты) выбираемых
альтернатив (действий) могут носить неопределенный характер. Это означает, что каждой
альтернативе может отвечать множество исходов. Проявление неопределенности в при-
нятии решений связано с так называемым [1] множеством состояний природы. Его
конкретная интерпретация зависит от постановки задачи (например, спрос на ту или
иную продукцию, погода и т.п.).
mailto:msomail@yandex.ru
Мащенко С.О.
«Искусственный интеллект» 1’2012170
4М
Задачи принятия решений (ЗПР) достаточно хорошо изучены [1]. Основная идея
их решения связана с использованием некоторой дополнительной информации о мно-
жестве состояний природы (чаще всего это распределение вероятностей на этом мно-
жестве) или (и) с некоторой эвристикой относительно специфики (склонность к ос-
торожному поведению, относительному пессимизму, авантюризму, компромиссу и т.п.)
лица, принимающего решение (ЛПР).
Лучше всего изучены и чаще применяются на практике методы принятия
решений в задачах с известной функцией полезности ЛПР, которая определена на
множестве исходов. Тогда удается построить и оптимизировать так называемую [2]
функцию полезности альтернатив, которая уже детерминирована и не зависит от
состояний природы.
Разработаны также подходы к решению так называемых [2] обобщенных задач,
в которых ЛПР может только сравнивать исходы, а функция полезности либо ему не
известна в силу специфики задачи, либо ее сложно или совсем невозможно по-
строить. В этом случае на множестве альтернатив можно построить отношения
предпочтения ЛПР, которые характеризуют цель ЛПР, отвечающие различным со-
стояниям природы. Используя известное распределение вероятностей на множестве
состояний природы, эти отношения дают возможность построить так называемую [2]
функцию интенсивности предпочтения, которая уже не зависит от состояний при-
роды и может быть оптимизирована. Например, в [2] эта идея реализована для
совершенно упорядоченных, частично упорядоченных и произвольных асимметрич-
ных отношений предпочтения ЛПР.
Целью работы является разработка метода рационального выбора альтернатив в
условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы в задаче при-
нятия решений с целью ЛПР, заданной при каждом состоянии природы соответст-
вующим отношением предпочтения. Такая постановка расширяет область применения
обобщенных ЗПР в условиях неопределенности с четким множеством состояний при-
роды. Потребность в этом возникает тогда, когда ЛПР не может четко указать, какие
состояния природы будут влиять на последствия выбора альтернатив в задаче, которая
сложилась на момент принятия решений. ЛПР может задать лишь функцию принад-
лежности нечеткого множества актуальных состояний природы.
Постановка задачи
Предположим, что ЛПР может сравнить любую пару альтернатив ,x y из множест-
ва X евклидового пространства E при каждом состоянии природы s из универсального
множества состояний природы S (для простоты изложения материала будем считать
множество S конечным).
Пусть по результатам этих сравнений получена совокупность отношений пред-
почтения ЛПР sR , s S , которые будем считать полными бинарными отношениями.
Обозначим : {0,1}sr X X – характеристическую функцию отношения sR , т.е.
1),( yxryxR ss , ( , ) 0s sxR y r x y , s S . (1)
Предположим, что альтернатива x предпочтительнее альтернативы y для ЛПР,
если это отношение имеет место при всех состояниях природы. Тогда мы получим
известную задачу [1] рационального выбора альтернатив по агрегированному от-
ношению предпочтения s
s S
R R
. Общим решением этой задачи считается мно-
Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности...
«Штучний інтелект» 1’2012 171
4М
жество ND X – «максимальных» по отношению предпочтения R альтернатив,
которое определяется следующим образом:
{ , }ND x X yPx y X , (2)
где 1\ RRP – отношение доминирования, которое представляет собой асим-
метричную часть отношения предпочтения R .
Иногда ЛПР не может четко указать, какие состояния природы актуальны в
момент принятия решений, но может задать некоторое нечеткое подмножество S S
этих отношений. Обозначим : {0,1}S функцию принадлежности нечеткого мно-
жества S состояний природы. Тогда агрегированное отношение предпочтения ЛПР
будет задаваться пересечением s
s S
R R
нечеткого множества S
~
четких отношений
sR , s S . В этом случае задача принятия решений в условиях неопределенности с
нечетким множеством состояний природы будет состоять в выборе «максимальных» по
отношению предпочтения R
~
альтернатив. Для реализации этой идеи определим по-
нятие пересечения нечеткого множества четких отношений в соответствии с подходом,
который был предложен в [3].
Пересечение нечеткого множества четких отношений
Для произвольной пары альтернатив ,x y X рассмотрим отношение доминиро-
вания на множестве состояний природы S , которое порождается парами значений ха-
рактеристической функции ( , )sr x y и функции принадлежности ( )s .
Будем говорить, что состояние природы t S доминирует состояние природы
s S для пары альтернатив ,x y X и обозначать это
( , )x y
t s , если справедливы такие
неравенства: ( , ) ( , )t sr x y r x y , ( ) ( )t s , и хотя бы одно из них строгое.
Для Xyx , обозначим:
( , )
( , ) { : }
x y
POS x y s S t S t s – множество недо-
минируемых состояний s S и )},(0);,()({),,(~ yxSsyxSsisyx POPO –
функцию принадлежности нечеткого множества с носителем ( , )POS x y .
Пересечением нечеткого множества S четких отношений sR , s S , в со-
ответствии с [3], будем называть s
s S
R R
– нечеткое отношение типа 2, которое
определено на множестве X и задается тройками ( , , ( , , ))x y r x y z , где
: [0,1]r X Y Z – функция принадлежности нечеткого отображения , вы-
полняющего роль нечеткой функции принадлежности, определенная таким образом:
max{ ( , , ) | ( , ) }, : ( , ) ;
( , , )
0, ( , ) , ;
s s
s S
s
x y s r x y z s S r x y z
r x y z
r x y z s S
(3)
,x y – пара элементов множества альтернатив X ;
z – элемент универсального множества {0,1}Z значений отображения при-
надлежности нечеткого отношения R типа 2.
Значения нечеткого отображения принадлежности для фиксированной пары
альтернатив 0 0,x y X образуют нечеткое подмножество 0 0( , )Z x y множества {0,1}Z с
Мащенко С.О.
«Искусственный интеллект» 1’2012172
4М
функцией принадлежности 0 0( , , )r x y z . Значение 0 0( , ,1)r x y можно понимать как
степень того, что пара альтернатив 0 0,x y находится в отношении R . Соответст-
венно 0 0( , ,0)r x y – степень непринадлежности пары 0 0,x y отношению R .
С другой стороны, если в отображении ( , , )r x y z зафиксировать 1z , то мы
получим функцию принадлежности ( , ,1)r x y нечеткого множества пар альтернатив
,x y , которые находятся в отношении R . Аналогично для фиксированного значения
0z получим нечеткое множество пар альтернатив ,x y , которые не находятся в
отношении R , с функцией принадлежности ( , ,0)r x y .
Упростить построение отображения ( , , )r x y z позволяет следующая теорема.
Теорема 1. Пусть ( )R s , s S , – четкие отношения, которые заданы на множестве
X соответствующими характеристическими функциями ( , )sr x y , ,x y X , s S ;
( )s , s S , – функция принадлежности нечеткого множества S . Для того чтобы не-
четкое отношение R типа 2, которое задано отображением принадлежности ( , , )r x y z ;
,x y X ; {0,1}z , отвечало пересечению нечеткого множества S отношений sR ,
s S , т.е. s
Ss
RR
~
~
необходимо и достаточно, чтоб для ,x y X :
( , ) 0
max ( ), : ( , ) 0,
( , ,0)
0, ( , ) 1, ,
max ( ), ( , ) 1, max ( ),
( , ,1)
0, max ( ) : ( , ) 0.
s
r x ys
s
s
s S t S
s
t S
s s S r x y
r x y
r x y s S
s r x y s Arg t
r x y
s Arg t r x y
(4)
Доказательство. Сначала покажем, что формула (8) эквивалентна следующей:
( , , )
max ( ), ( , , ) ,
( , , )
0, ( , , ) ,
PO
POs S x y z
PO
s S x y z
r x y z
S x y z
(5)
где
( ) ( ) ( , ) ( , )
( , , ) { ( , ) min ( , ), ( ) max ( )}PO
s st s r x y r x yt s
S x y z s S z r x y r x y s t
. (6)
Отметим, что из (7), (8) очевидно следует, что
( , )
max { ( ) ( , ) }, ( , ) ,
( , , )
0, ( , ) .
s sPOs S x y
s
s r x y z r x y z
r x y z
r x y z
(7)
Поэтому для доказательства эквивалентности (8) и (5) достаточно показать, что
формула (7) эквивалентна (5). Для этого покажем, что
( ) ( ) ( , ) ( , )
( , ) { ( , ) min ( , ), ( ) max ( )}PO
s tt s r x y r x yt s
S x y s S r x y r x y s t
, ,x y X . (8)
Пусть для некоторых Xyx , , Ss выполняется следующее соотношение:
( ) ( ) ( , ) ( , )
( , ) min ( , ), ( ) max ( )s tt s r x y r x yt s
r x y r x y s t
. (9)
Предположим противное, что ( , )POs S x y . Тогда согласно (3) l S , для ко-
торого sl
yx ),(
, т.е. ( , ) ( , )l sr x y r x y , ( ) ( )l s или ( , ) ( , )l sr x y r x y , ( ) ( )l s .
В первом случае получим неравенство
( ) ( )
( , ) max ( , )l t
t s
r x y r x y
. Во втором
Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности...
«Штучний інтелект» 1’2012 173
4М
случае выполнится неравенство
( , ) ( , )
( ) max ( )
r x y r x yt s
l t
. И первое, и второе неравенства,
очевидно, противоречат (9), поэтому получим ( , )POs S x y .
Пусть ( , )POs S x y . Предположим противное, что выполняется хотя бы одно из
неравенств:
( ) ( )
( , ) min ( , )s t
t s
r x y r x y
или
( , ) ( , )
( ) max ( )
r x y r x yt s
s t
.
В случае первого неравенства делаем вывод, что l S , для которого ( ) ( )l s ,
( , ) ( , )l sr x y r x y . Тогда sl
yx ),(
и согласно (3) ( , )POs S x y .
Аналогично во втором случае p S , для которого ( , ) ( , ), ( ) ( )p sr x y r x y p s .
Тогда
( , )x y
p s и согласно (3) ( , )POs S x y . Таким образом, в обоих случаях получили
противоречие, поэтому имеет место равенство (8). Следует отметить, что доказа-
тельство равенства (8) можно получить также при использовании критерия опти-
мальности по Парето [4].
Из (6), (8) очевидно следует равенство }),({),(),,( zyxrSsyxSzyxS s
POPO .
Поэтому формула (7) эквивалентна (5). Отсюда формула (8) также эквивалентна (5).
Теперь для доказательства теоремы достаточно показать эквивалентность (4), (5).
Сначала рассмотрим (4) и (5) при 1z в двух возможных случаях. Пусть
( , ) 0,sr x y s S . Тогда согласно (4) ( , ,1) 0r x y . С другой стороны, из (6) следует,
что ( , ,1)POS x y . Поэтому согласно (5) также получим ( , ,1) 0r x y .
Во втором случае, пусть : ( , ) 0ss S r x y . Определим согласно (5) значение
( , ,0)r x y . Для этого в соответствии с (6) построим множество ( , ,0) { 0 ( , ) min ( , ), ( ) max ( )}POS x y s S r x y r x y s t
( ) ( ) ( , ) 0
( , ,0) { 0 ( , ) min ( , ), ( ) max ( )}s t
t s r x yt
S x y s S r x y r x y s t
. Покажем, что
( , ) 0
( , ,0) Arg max ( )PO
r x yt
S x y t
.
Обозначим 0
( , ) 0
( , ) max ( )
r x yt
x y t
. Пусть
( , ) 0
Arg max ( )
r x yt
s t
, тогда 0( ) ( , )s x y и
)},(min),,(minmin{),(min
),()(),()()()( 10
yxryxryxr t
yxt
t
yxt
t
st
),(0)},(min,0min{
),()( 0
yxryxr st
yxt
.
Отсюда очевидно следует, что ( , ,0)POs S x y .
Далее сравним (4) и (5) при 1z в двух возможных случаях. Обозначим
1 max ( )
t S
t
, Arg max ( )
t S
S t
. Сначала пусть ( , ) 1sr x y , s S . Тогда согласно
(4) 1( , ,1)r x y . Определим значение ( , ,1)r x y по формуле (5). Для этого построим со-
гласно с (6) множество
( ) ( )
( , ,1) { 1 ( , ) min ( , ),PO
s t
t s
S x y s S r x y r x y
( ) max ( )} { 1 ( , ) min ( , )}s t
t S t S
s t s S r x y r x y S
.
Отсюда согласно (4) 1( , ,1)r x y . Таким образом, значения (4) и (5) при 1z
совпадают.
Рассмотрим второй случай. Пусть : ( , ) 0ss S r x y . Тогда согласно (4)
( , ,1) 0r x y . Определим значение ( , ,1)r x y согласно (5). На основании (6)
1( ) ( )
( , ,1) { 1 ( , ) min ( , ), ( ) max ( ) } { 1 ( , )PO
s t t
t s t S
S x y s S r x y r x y s t s S r x y
min ( , ) 0}t
j S
r x y
.
Мащенко С.О.
«Искусственный интеллект» 1’2012174
4М
Отсюда согласно (5) ( , ,1) 0r x y , а поэтому формулы (8), (4) – эквивалентны
при 1z . Теорема доказана.
Выбор рационального решения
Если обобщить понятие общего решения (множество ND согласно (2)) задачи
принятия решений в условиях неопределенности на случай нечеткого множества со-
стояний природы, то необходимо построить множество «максимальных» по отношению
предпочтения R альтернатив.
Отображение принадлежности нечеткого отношения типа 2 1 1\P R R R R ,
которое будет асимметричной частью отношения предпочтения R , в соответствии с
операциями над нечеткими множествами типа 2 [5], будет задаваться функцией
1 2
, {0,1},1 2
min{ , }1 2
( , , ) max min{ ( , , ), ( , ,1 )}
z z
z z z
p x y z r x y z r y x z
, ,x y X , {0,1}z . Следует отметить,
что функции ( , ,1)p x y и ( , ,0)p x y , ,x y X , будут определять нечеткие множества
пар альтернатив, которые находятся и, соответственно, не находятся в отношении
доминирования. Поэтому логично определить понятие общего решения исходной
задачи исходя из следующих рассуждений.
Поскольку величина ( , ,0)p x y есть степень, с которой альтернатива y не доми-
нируется x , то при фиксированной переменной y X определенную на X функцию
( , ,0)p y x можно считать функцией принадлежности нечеткого множества всех альтер-
натив x , которые не доминируются альтернативой y . Отсюда следует, что подмно-
жество альтернатив, каждая из которых не доминируется ни одной из альтернатив
множества X , может быть задано функцией принадлежности )0,,(min xyp
Xy
, x X .
Нечеткое множество с функцией принадлежности : [0,1]X вида
( ) min ( , ,0)
y X
x p y x
, x X ,
назовем множеством нечетких слабо эффективных альтернатив и обозначим F , а
supp( ) { ( ) 0}F x X x назовем носителем F .
Поскольку ЛПР, как правило, интересует какая-либо единственная альтернатива,
то ему стоит выбирать нечеткую слабо эффективную альтернативу x с максимальной
степенью недоминируемости ( )x .
Альтернативу x X будем называть максимизирующей нечеткой слабо эф-
фективной альтернативой задачи принятия решений в условиях неопределенности с
нечетким множеством состояний природы, если ( ) max ( )
x X
x x
.
Поскольку функция ),,( zyxp для , {0,1}x X z , может принимать лишь
конечные значения из конечного множества }),({}0{ Sss , то вполне понятно, что в
задаче принятия решений в условиях неопределенности с конечным нечетким мно-
жеством состояний природы всегда существует максимизирующая нечеткая слабо
эффективная альтернатива.
Попробуем сформулировать задачу математического программирования, реше-
нием которой была бы максимизирующая нечеткая слабо эффективная альтернатива.
Для этого представим функцию принадлежности )0,,( yxp нечеткого множества недо-
минируемых альтернатив в более простом виде.
Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности...
«Штучний інтелект» 1’2012 175
4М
Обозначим 1\ sss RRP – отношение доминирования, которое представляет собой
асимметричную часть отношения предпочтения sR ЛПР при состоянии природы s S .
Предположим, что s S sxP y , т.е. ( , ) 1, ( , ) 0s sr x y r y x . Тогда согласно
формулам (4) ( , ,0) 0r x y , ( , ,1) max ( )
s S
r x y s
, ( , ,0) max ( )
s S
r y x s
, ( , ,1) 0r y x .
Отсюда из (10) следует, что ( , ,0) max{0,0,0} 0p x y .
Предположим, что для s S syP x , т.е. ( , ) 0, ( , ) 1s sr x y r y x . Тогда согласно
формулам (4) ( , ,0) max ( )
s S
r x y s
, ( , ,1) 0r x y , ( , ,0) 0r y x , ( , ,1) max ( )
s S
r y x s
.
Отсюда из (10) следует, что ( , ,0) max{max ( ),0,0} max ( )
s S s S
p x y s s
.
Предположим, что s S : s sxP y yP x . Обозначим Arg max ( )
t S
S t
и рас-
смотрим следующие три возможных варианта.
1. Предположим, что для s S sxP y , т.е. ( , ) 1, ( , ) 0s sr x y r y x . Тогда согласно
формулам (4)
( , ) 0
( , , 0) max ( )
r x ys
r x y s
, ( , ,1) max ( )
s S
r x y s
, ( , ,1) 0r y x . Поскольку
: ( , ) 0ss S r y x , то
( , ) 0
( , ,0) max ( ) max ( )
r y x s Ss
r y x s s
. Отсюда очевидно следует
( , ) 0 ( , ) 0
( , ,0) max{0, max ( ),0} max ( )
r x y r x ys s
p x y s s
.
2. Предположим, что для s S syP x , т.е. ( , ) 0, ( , ) 1s sr x y r y x . Тогда согласно
формулам (4)
( , ) 0
( , ,0) max ( )
r x ys
r x y s
, ( , ,1) 0r x y ,
( , ) 0
( , ,0) max ( )
r y xs
r y x s
, ( , ,1) max ( )
s S
r y x s
.
Отсюда очевидно следует, что ),(maxmax{)0,,(
0),(
syxp
yxrs
}0)},(max),(maxmin{
0),(0),(
ss
xyryxr ss
)}}(max),(maxmin{),(maxmax{
0),(0),(0),(
sss
xyryxryxr sss
. Поскольку max{ ,min{ , }}a a b a , то
( , ) 0
( , ,0) max ( )
r x ys
p x y s
.
3. Предположим, что s S : s sxP y yP x . Тогда согласно формулам (4) ( , ,1) 0r x y ,
( , ,1) 0,r y x
( , ) 0
( , ,0) max ( ).
sr x y
r x y s
Поскольку : ( , ) 0,ss S r y x то
( , ) 0
( , ,0) max ( ) max ( ).
sr y x s S
r y x s s
Отсюда
( , ) 0 ( , ) 0
( , ,0) max{0, max ( ),0} max ( )
r x y r x ys s
p x y s s
.
Из рассмотренных выше случаев очевидно следует, что
( , ) 0
max ( ), ,
( , , 0) 0, ,
max ( ), : .
s
s S
s
s s
r x ys
s s S yP x
p x y s S xP y
s s S xP y yP x
(11)
Теорема 2. Максимизирующая нечеткая слабо эффективная альтернатива за-
дачи принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством со-
стояний природы является решением задачи:
max min max{ ( ) ( , ) 0}s
y Xx X s S
s r y x
. (12)
Если задача (12) имеет единственное решение, то оно является максимизи-
рующей нечеткой слабо эффективной альтернативой.
Доказательство. Пусть *x , *y , *s образуют решение задачи (12). Сначала
покажем, что *x ND . Действительно, из (12) следует, что ( *) ( )s s , ( *, *)s M x y ,
Мащенко С.О.
«Искусственный интеллект» 1’2012176
4М
где с учетом (1) множество ( *, *) { * *}sM x y s S y R x . Причем
*),(*)*,()*,( yxMyxMyxM , ,x y X . (13)
Рассмотрим два случая. Предположим ( *, *)M x y S . Тогда * *sy R x , s S .
Поскольку ( *, ) ( *, *)M x y M x y , y X , то *syR x , s S , y X . Поскольку
1\P R R R , а s
s S
R R
, то для y X *yRx и, следовательно, *yPx . Отсюда,
согласно с (2), *x ND . Теперь пусть ( *, *)M x y S . Предположим противное, что
*x ND . Тогда существует альтернатива v X , которая vPx . Поскольку P R , а
s
s S
R R
, то svR x , s S . Отсюда *)*,(}{*),( yxMSvRySsyvM s , т.е.
*)*,(*),( yxMyvM . Получили противоречие с (13). Таким образом, NDx * .
Предположим противное, что *x F . Тогда согласно определению *)( x
0)0,,(min
xyp
Xy
. Поэтому y X , для которого ( , *,0) 0q y x . Тогда из (11)
следует, что xyPs , Ss . Поэтому yPx . Отсюда несложно убедиться, что NDx * .
Получили противоречие. Таким образом, *x F .
Пусть )(supp Fx . Покажем, что x удовлетворяет }0),()({maxmin
xyrs s
SsXy
.
Сначала покажем, что Xy Ss xPy s . Предположим противное, что y X ,
для которого xPy s для Ss . Тогда из (11) следует, что 0)0,,( xyq . Следовательно
0)0,,(min)(
xypx
Xy
. Поэтому )(supp Fx . Получили противоречие.
Таким образом, Xy Ss xPy s . При этом для y X возможны два ва-
рианта: либо yxPSs s , либо yPxSs s . Тогда согласно с (10) получим: в первом
случае, )(max)0,,( sxyp
Ss
; во втором случае, )(max)0,,(
0),(
sxyp
xyrs
. Кроме этого,
согласно с (1): в первом случае, поскольку Ss 1 ss PR , то xRy s , и поэтому получим
0),( xyrs для Ss ; во втором случае, Ss xyRs , что означает 0),( xyrs .
Отсюда вполне понятно, что в общем случае можно записать )(max)0,,(
0),(
sxyp
xyrs
для
.y X Поскольку по определению ( ) min ( , ,0),
y X
x p y x
то ( ) minmax{ ( ) ( , ) 0}.s
y X s S
x s r y x
Тогда очевидно, что альтернатива x , удовлетворяющая условию )(max)( xx
Xx
, бу-
дет решением задачи (12). Теорема доказана.
Выводы
В заключении следует отметить, что рассмотренный выше подход к решению ЗПР в
условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы может быть
естественным образом обобщен на случай бесконечного множества. Кроме этого, извест-
ные методы дефазификации задач принятия решения в условиях нечеткой информации
[6] легко позволят обобщить разработанный в статье метод на случай нечеткого мно-
жества альтернатив и нечетких отношений предпочтения ЛПР.
Литература
1. Волошин О.Ф. Моделі та методи прийняття рішень : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. /
О.Ф. Волошин, С.О. Мащенко – К. : ВПЦ «Київський університет», 2010. – 336 с.
Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности...
«Штучний інтелект» 1’2012 177
4М
2. Кирута А.Я. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах
(вероятностный подход) / Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б.; отв. ред. Н.Н. Воробьев. – Л. :
Наука, 1980. – 167 с.
3. Мащенко С.О. Нечеткие индивидуально-оптимальные равновесия / С.О. Мащенко // Кибернетика и
вычислительная техника. – 2010, вып.159. – С. 19-29.
4. Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский,
В.Д. Ногин. - М. : Физматлит, 2007 (Чебоксары). – 255 с.
5. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений /
Л.А. Заде // Математика сегодня. – М. : Знание, 1974. – С. 5-49.
6. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / Орловский С.А. –
М. : Наука, 1981. – 208 с.
Literatura
1. Voloshin O.F. Modelі ta metody pryjnjattja rіshen’. K.: VPTs “Kyivs’kyi unіversytet”. 2010. 336 p.
2. Kiruta A.Ya. Optimal’nyj vybor raspredelenij v slozhnyh social’no-jekonomicheskih zadachah (verojat-
nostnyj podhod). L.: Nauka, 1980. 167 p.
3. Mashchenko S.O. Kibernetika i vychislitel’naja tehnika. 2010. V.159. P. 19-29.
4. Podinovskiy V.V. Pareto-optimal’nye reshenija mnogokriterial’nyh zadach. M.: Fizmatlit. 2007 (Cheboksary).
255 p.
5. Zadeh L.A. Matematika segodnja. M.: Znanie. 1974. S. 5-49.
6. Orlovskij S.A. Problemy prinjatija reshenij pri nechetkoj ishodnoj informacii. M.: Nauka. 1981. 208 s.
S.O. Mashchenko
The Generalized Problem of Decision Making in Conditions
of Uncertainty with the Fuzzy Set of Nature States
In the work, generalized problem of rational choice of alternatives in conditions of
uncertainty with fuzzy set of nature states with the purpose of the decision making person (DMP)
set by the relations of preference is considered. Needs for such problems arise in the following
cases: First, when DMP can compare the results of decision making to their own preference in
pairs only and function of their utility to him/her is either not known by virtue of the task
specificity, or it is difficult or it is quite impossible to build it. Secondly, when DMP cannot
expressly indicate what states of nature will affect the consequences of the choice of alternatives
in a task, which has been formed at the moment of the decision making. In this case, it can only
set the function of membership to fuzzy set of essential states of nature.
As a basis of the method for decision of this problem, the notion of maximal element
of a set by relation of preference, which is generalized in case of decision making in the
conditions of uncertainty with fuzzy set of nature states, is used. For the aggregated
relation of preference task, the original operation for the relations is offered, i.e.
intersection of a fuzzy set of clear relations. It is shown, that the fuzzy relation of the type
2 is the result of this operation. A structural presentation of its membership function has
been developed. The method of rational alternative choice according to the fuzzy relation
of the type 2 is offered. The method consists of the choice of alternative, which maximizes
the membership function of alternative fuzzy set, which are non-dominated by the strong
fuzzy relation of preference of the type 2. The existence of a maximizing alternative in
case of finite nature states set is shown. The contraction of the generalized alternative
rational choice problem in the conditions of uncertainty with fuzzy set of nature states to
the special kind mathematical programming minimax problem is grounded.
Статья поступила в редакцию 20.12.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56743 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:16:47Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мащенко, С.О. 2014-02-22T23:58:04Z 2014-02-22T23:58:04Z 2012 Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы / С.О. Мащенко // Штучний інтелект. — 2012. — № 1. — С. 169-177. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56743 519.8 Рассматривается обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы. Для задания агрегированного отношения предпочтения используется операция пере- сечения нечеткого множества четких отношений, результатом которой является нечеткое отношение типа 2. Разработано конструктивное представление его функции принадлежности. Предложен метод выбора рациональной альтернативы по нечеткому отношению типа 2, доказано существование максимизирующей альтернативы. Розглядається узагальнена задача прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи. Для завдання агрегованого відношення переваги використовується операція перетину нечіткої множини чітких відношень, результатом якої є нечітке відношення типу 2. Розроблене конструктивне представлення його функції належності. Запропоновано метод вибору раціональної альтернативи за нечітким відношенням типу 2, доведене існування максимізуючої альтернативи. Generalized problem of decision making in conditions of uncertainty with fuzzy set of nature states is considered. For the setting of the aggregated relation of preference, the operation of fuzzy set intersection of clear relations, the result of which is fuzzy relation of type 2, is used. Structural presentation of its membership function is developed. The method for choice of rational alternative by fuzzy relation of type 2 is offered. Existence of maximizing alternative is proved. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы Узагальнена задача прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи Generalized Problem of Decision Making in Conditions of Uncertainty with Fuzzy Set of Nature States Article published earlier |
| spellingShingle | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы Мащенко, С.О. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы |
| title_alt | Узагальнена задача прийняття рішень в умовах невизначеності з нечіткою множиною станів природи Generalized Problem of Decision Making in Conditions of Uncertainty with Fuzzy Set of Nature States |
| title_full | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы |
| title_fullStr | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы |
| title_full_unstemmed | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы |
| title_short | Обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы |
| title_sort | обобщенная задача принятия решений в условиях неопределенности с нечетким множеством состояний природы |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56743 |
| work_keys_str_mv | AT maŝenkoso obobŝennaâzadačaprinâtiârešeniivusloviâhneopredelennostisnečetkimmnožestvomsostoâniiprirody AT maŝenkoso uzagalʹnenazadačapriinâttâríšenʹvumovahneviznačenostíznečítkoûmnožinoûstanívprirodi AT maŝenkoso generalizedproblemofdecisionmakinginconditionsofuncertaintywithfuzzysetofnaturestates |