Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости
В линейной постановке рассмотрена плоская задача о свободных стационарных гравитационных волнах в горизонтальном течении с вертикальным сдвигом скорости. Нахождение параметров волн сведено к решению краевой задачи Штурма – Лиувилля. Для нескольких вертикальных распределений скорости течения найдены...
Saved in:
| Published in: | Морской гидрофизический журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56751 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 4. — С. 15-29. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860075783558529024 |
|---|---|
| author | Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. |
| author_facet | Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. |
| citation_txt | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 4. — С. 15-29. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Морской гидрофизический журнал |
| description | В линейной постановке рассмотрена плоская задача о свободных стационарных гравитационных волнах в горизонтальном течении с вертикальным сдвигом скорости. Нахождение параметров волн сведено к решению краевой задачи Штурма – Лиувилля. Для нескольких вертикальных распределений скорости течения найдены аналитические решения. Предложен численный алгоритм нахождения параметров волн. На основе проведенного анализа установлена возможность существования в течениях стационарных поверхностных волн в определенных диапазонах значений числа Фруда. При уменьшении числа Фруда волны становятся короче, что приводит к более быстрому затуханию волновых возмущений с глубиной. Для реальных условий волны являются короткими, они подвержены влиянию сдвиговых течений только в приповерхностном слое океана.
У лінійній постановці розглянуто плоску задачу про вільні стаціонарні гравітаційні хвилі в горизонтальній течії з вертикальним зсувом швидкості. Знаходження параметрів хвиль зведене до рішення краєвої задачі Штурму – Ліувілля. Для декількох вертикальних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення. Запропоновано чисельний алгоритм знаходження параметрів хвиль. На основі проведеного аналізу встановлена можливість існування в течіях стаціонарних поверхневих хвиль в певних діапазонах значень числа Фруда. При зменшенні числа Фруда хвилі стають коротшими, що призводить до швидшого загасання хвильових збурень з глибиною. Для реальних умов хвилі є короткими, вони схильні до впливу зсувних течій лише в приповерхневому шарі океану.
Plane problem on free stationary gravity waves in a horizontal current with vertical shear is considered within a framework of linear statement. The Sturm-Liouville problem is solved to find wave parameters. Analytical solutions are found for some vertical distributions of current velocity. The numerical procedure is proposed to evaluate the wave parameters. The performed analysis reveals the fact that stationary surface waves can exist in the currents in the selected ranges of the Froude number. When the Froude number decreases the waves become shorter that leads to faster attenuation of wave disturbances with depth. The waves are short in real conditions and effected by shear currents only in the upper ocean layer.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:13:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 15
© М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко, 2010
УДК 551.466
М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко
Стационарные волны в потоке однородной жидкости
с вертикальным сдвигом скорости
В линейной постановке рассмотрена плоская задача о свободных стационарных гравитаци-
онных волнах в горизонтальном течении с вертикальным сдвигом скорости. Нахождение па-
раметров волн сведено к решению краевой задачи Штурма – Лиувилля. Для нескольких верти-
кальных распределений скорости течения найдены аналитические решения. Предложен чис-
ленный алгоритм нахождения параметров волн. На основе проведенного анализа установлена
возможность существования в течениях стационарных поверхностных волн в определенных
диапазонах значений числа Фруда. При уменьшении числа Фруда волны становятся короче,
что приводит к более быстрому затуханию волновых возмущений с глубиной. Для реальных
условий волны являются короткими, они подвержены влиянию сдвиговых течений только в
приповерхностном слое океана.
Введение. Течения существенно влияют на кинематику и динамику по-
верхностных гравитационных волн в океанах и морях. Горизонтальная неод-
нородность скорости течения приводит к рефракции волн, а в результате – к
перераспределению в пространстве энергии волнового поля [1]. Рефракция
ветровых волн четко прослеживается в зонах вихревых образований и струй-
ных течений [2]. Отметим также, что в зонах течений она может приводить к
фокусировке волн и образованию волн-убийц в океане [3]. Вертикальные из-
менения скорости горизонтального потока (течение с вертикальным сдвигом
скорости) влияют на характеристики поверхностных и внутренних волн, вер-
тикальную структуру поля скорости, могут приводить к неустойчивости те-
чения и усилению перемешивания в океане [4, 5], влиять на пространствен-
ную структуру волнового поля и условия генерации вынужденных волн [6 –
8]. В большинстве конкретных случаев задавались линейные (постоянный
сдвиг скорости) или кусочно-линейные распределения горизонтальной ско-
рости течения по глубине.
Ниже исследуются свободные поверхностные гравитационные волны в
течениях с вертикальным сдвигом скорости, которые предполагаются линей-
ными и стационарными. Рассмотрены некоторые общие свойства волн, най-
дены аналитические решения задачи для нескольких вертикальных распреде-
лений скорости течения, наконец, описана численная процедура нахождения
параметров и вертикальной структуры волн для произвольного распределе-
ния однонаправленной горизонтальной скорости фонового течения.
Математическая постановка задачи. В вертикальной плоскости Oxz,
где x – горизонтальная, z – вертикальная координата, отсчитываемая вверх от
невозмущенной свободной поверхности z = 0, рассматривается горизонталь-
ный поток (U(z), 0) идеальной несжимаемой однородной жидкости постоян-
ной глубины H (рис. 1). Скорость потока зависит только от вертикальной ко-
ординаты. Будем изучать стационарные волны в таком сдвиговом течении,
предполагая их линейными, а задачу плоской.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 16
Р и с. 1. Схема задачи
Стационарные волны в потоке с вертикальным сдвигом скорости описы-
ваются в области 0 , <<−+∞<<∞− zHx системой трех линеаризован-
ных относительно среднего течения u = U(z), w = 0 уравнений с зависящими
от z коэффициентами (они получены из системы уравнений Эйлера):
,
1
x
p
dz
dU
w
x
u
U
∂∂∂∂
∂∂∂∂====++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
ρ
(1)
,
1
z
p
x
w
U
∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
ρ
(2)
,0====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
z
w
x
u
(3)
где u(x, z), w(x, z) – малые возмущения поля скорости сдвигового течения;
p(x, z) – динамические возмущения гидростатического давления в жидкости;
ρ = const – плотность жидкости.
Систему уравнений (1) – (3) необходимо дополнить кинематическим и
динамическим условиями на свободной поверхности (z = 0) и условием
скольжения на дне бассейна (z = –H):
),0(0,)0( ========−−−−==== zgpw
dx
d
U ζρζ
(4)
),(0 Hzw −−−−======== (5)
где ζ(x) – смещение свободной поверхности жидкости; g – ускорение свобод-
ного падения.
−H
0
z
x
U(z)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 17
В рамках задачи (1) – (5) рассмотрим гармонические по x стационарные
волны на поверхности течения, имеющие вид
ikxikxikxikx aeζezppezWwezuu ================ ,)( ,)( ,)( 11 , (6)
где k – волновое число, которое подлежит определению; u1, W, p1 – неизвест-
ные функции; a – константа. Подстановка выражений (6) в задачу (1) – (5) и
исключение всех неизвестных функций, кроме W, приводит к краевой задаче
для нахождения возможных значений k и соответствующих им вертикальных
распределений амплитудной функции поля вертикальной скорости [4, 5]:
),0 ( 0])( [ 2 <<<<<<<<−−−−====++++−−−− zHWzkW" α (7)
0)0()0( ====−−−− WW' γ , (8)
0)( ====−−−−HW , (9)
здесь штрих означает производную по вертикальной координате z;
)(
)(
zU
zU"====α ,
)0(
)0(
)0(2 U
U'
U
g ++++====γ . (10)
Будем предполагать скорость течения направленной вдоль оси x, распределе-
ние горизонтальной скорости U(z) > 0 гладким и не обращающимся в нуль
при всех − H ≤ z ≤ 0. Задача (7) – (9) является основной для последующего
анализа волн в сдвиговом потоке.
Некоторые общие свойства волн в сдвиговом потоке. Запишем крае-
вую задачу (7) – (9) в форме
0)0()0( ,0)( ),0( )( ====−−−−====−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−====−−−− WW'HWzHWWzW" γµα . (11)
Левая часть уравнения (11) – самосопряженный дифференциальный опе-
ратор второго порядка, µ = k2. Задача (11) является стандартной задачей
Штурма – Лиувилля [9], в которой µ выступает в роли спектрального пара-
метра.
Используя известные свойства задачи Штурма – Лиувилля [9], можно ут-
верждать, что все собственные значения µ краевой задачи (11) являются ве-
щественными. Они образуют счетное множество ),1( ∞== jjµµ и предпо-
лагаются занумерованными в порядке убывания значений с ростом номера j,
то есть так, что µ1 > µ2 > … и µj → – ∞ при j → ∞. Каждому собственному зна-
чению µ = µj соответствует собственная функция W = Wj (z), имеющая ровно j
нулей на отрезке [–H, 0], причем один из них совпадает с точкой z = – H. Сис-
тема собственных функций ортогональна и полна в пространстве квадратич-
но интегрируемых на отрезке [–H, 0] функций.
Таким образом, для стационарных волн вида (6) значения k могут быть
либо вещественными (µj > 0), либо чисто мнимыми (µj < 0). Чисто мнимые
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 18
значения jik µ±= соответствуют неустойчивым волновым режимам (экс-
поненциальный рост по x амплитуд волн). В дальнейшем будем рассматри-
вать только вещественные значения k (периодические по x волны). В силу то-
го, что µj убывают и µj → –∞ при j → ∞, в общем случае для заданного верти-
кального распределения скорости фонового течения теоретически может су-
ществовать не более конечного числа стационарных волн вида (6).
Заметим, что, согласно теореме Рэлея [4], плоскопараллельное течение
идеальной несжимаемой однородной жидкости устойчиво, если распределе-
ние скорости U(z) не имеет точек перегиба, то есть
)0( 0)( ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−≠≠≠≠ zHzU" . (12)
Если волновое число k и соответствующее ему распределение вертикаль-
ной скорости W(z) найдены, можно, используя уравнения (1), (3) и (4), опре-
делить амплитудные функции остальных гидродинамических полей:
.
)0(
)0(
,])()()()( [),( 11 U
W
k
i
azW'zUzWzU'
k
i
pzW'
k
i
u −−−−====−−−−========
ρ
Вертикальные распределения скорости течения, допускающие ана-
литические решения. Рассмотрим некоторые распределения U(z), для кото-
рых задача (7) – (9) допускает аналитические решения.
1. Случай U(z) = U0 = const (рис. 2, а) соответствует горизонтальному по-
току жидкости без сдвига скорости. Задача (7) – (9) принимает вид
02 =−′′ WkW , 0)0()0( =−′ WW γ , 0)( =−HW , (13)
где 2
0/Ug=γ . Решение задачи (13) записывается в форме
kH
Hzk
AW
ch
)(sh += , (14)
здесь k > 0 – корень уравнения γ/th kkH = . Анализ этого уравнения показы-
вает, что волна существует только при условии ,2
0 gHU <<<< когда скорость те-
чения не превышает скорости распространения длинных волн в бассейне
глубиной H. В потоке без вертикального сдвига скорости может существо-
вать только одна периодическая волна.
Введем безразмерное волновое число и число Фруда по формулам
ξ = k H,
gH
U
F
2
0==== .
Зависимость ξ = ξ(F) описывается кривой θ = 1, приведенной на рис. 3. Волна
существует только при F < 1, и ее длина убывает при уменьшении числа
Фруда. Как следует из (14), уменьшение длины волны приводит к более бы-
строму затуханию волновых полей с глубиной.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 19
Р и с. 2. Вертикальные распределения горизонтальной скорости течения, для которых можно
найти аналитические решения задачи (1) – (5) в виде стационарных периодических поверхно-
стных волн
U1
−H
0
z
U
U0
б
U1
−H
0
z
U
U0
г
U1
U0
−H
0
z
U
д
−H
0
z
U
U0
a
U1
−h
−H
0
z
U0
е
в
−H
0
z
U
U0
U1
U
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 20
Р и с. 3. Зависимости волнового числа от числа Фруда в случае линейного по вертикали изме-
нения горизонтальной скорости течения для различных значений отношения θ скорости пото-
ка у дна к скорости потока у свободной поверхности
2. Пусть скорость течения линейно изменяется с глубиной (рис. 2, б), то
есть
z
H
UU
UU 10
0
−+= .
Здесь и ниже U0 = U(0) > 0 – скорость течения у свободной поверхности жид-
кости, U1 = U(–H) > 0 – скорость течения у дна. Задача (7) – (9) принимает
вид
02 =−′′ WkW , 0)0()0( =−′ WW γ , 0)( =−HW , (15)
где
0
1
2
0
,
1
U
U
HU
g =−+= θθγ .
Решение задачи (15) записывается, как и в предыдущем случае, в форме (14):
kH
Hzk
AW
ch
)(sh += ,
где A = const; k – положительный корень уравнения γ/th kkH = , который су-
ществует только при выполнении условия 1>Hγ )( 2
0 gHU <θ . В потоке с по-
стоянным вертикальным сдвигом скорости может существовать только одна
периодическая по x волна.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 21
Зависимости ξ = ξ(F) для нескольких значений θ приведены на рис. 3.
Волна существует только при F < 1/θ, ее длина убывает при уменьшении как
числа Фруда, так и отношения скорости фонового течения на дне бассейна к
скорости у свободной поверхности. Уменьшение длины волны сопровожда-
ется более быстрым затуханием волновых возмущений при смещении от сво-
бодной поверхности к дну бассейна.
3. Рассмотрим экспоненциальное распределение скорости течения по
глубине (рис. 2, в):
.ln
1
,z
0 θδδ
H
eUU −−−−========
При δ > 0 скорость течения возрастает при перемещении от дна к свободной
поверхности, при δ < 0 она убывает. Для этого распределения 2)( δα ====z .
Задача (7) – (9) принимает вид
0)( 22 =+−′′ WkW δ , 0)0()0( =−′ WW γ , 0)( =−HW , (16)
где
δγ += 2
0U
g
.
Решение задачи (16) записывается в форме
22
1
1
1 ,
ch
)(sh δ+=+= kk
Hk
Hzk
AW ,
где A = const; 1k – положительный корень уравнения γ/th 11 kHk = , который
существует только при выполнении условия δδγ >>>>Hth . В потоке с экспо-
ненциальным по z распределением скорости может существовать не более
одной периодической волны.
На рис. 4 представлены зависимости ξ = ξ(F) для различных значений θ.
Волна существует только при значениях параметров, удовлетворяющих ус-
ловию
)(
)th1(
th
0
00
0 HF δξ
ξξ
ξ =
−
< ,
ее длина убывает как при уменьшении F, так и при увеличении параметра θ.
4. Пусть 0 const )( 1 >>>>======== αα z . В этом случае 0)( >>>>zU" и распределение
скорости по z является строго выпуклым вниз (рис. 2, г), оно описывается вы-
ражением
H
zUHzU
U
1
1110
sh
sh)(sh
α
αα −+
= .
Скорость течения положительна на всех горизонтах 0≤≤− zH .
Задача (7) – (9) принимает вид
0)( 1
2 ====++++−−−− WkW" α , 0)0()0( =−′ WW γ , 0)( =−HW , (17)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 22
где
HU
U
H
U
g
10
11
112
0 sh
cth
α
α
ααγ −+= .
Р и с. 4. То же, что на рис. 3, для экспоненциального распределения по вертикали горизон-
тальной скорости течения
Решение краевой задачи (17) следующее:
1
2
2
2
2 ,
ch
)(sh α+=+= kk
Hk
Hzk
AW ,
где A = const; k2 – положительный корень уравнения γ/th 22 kHk = . В потоке
с выпуклым вниз распределением по z скорости возможно не более одной пе-
риодической по горизонтальной координате поверхностной волны.
На рис. 5, а представлены вертикальные распределения скорости течения
для трех возрастающих значений параметра 1α . Увеличение 1α , начиная с
нуля, приводит при постоянных значениях U0,1 к увеличению кривизны вер-
тикального распределения скорости течения. Волны в таком течении сущест-
вуют только при значениях числа Фруда, удовлетворяющих условию
)(
sh
11
1
1 HF αξ
θξ
ξ =< .
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 23
Длины поверхностных волн, как следует из рассчитанных зависимостей вол-
новых чисел от параметров F и 1α (рис. 5, б), убывают при уменьшении чис-
ла Фруда и увеличении кривизны распределения скорости течения.
Р и с. 5. Строго выпуклые вниз распределения скорости течения при H = 100 м, U0 = 0,5 м⋅с–1,
U1 = 0,3 м⋅с–1 (а) и зависимости безразмерного волнового числа от числа Фруда (б): 1 —
1α = 10–3 м–2; 2 — 1α = 5·10–4 м–2; 3 — 1α = 10–5 м–2
5. Пусть α(z) = –α2 = const < 0. В этом случае 0)( <′′ zU и распределение
скорости по z является строго выпуклым вверх (рис. 2, д). Оно описывается
выражением
H
zUHzU
U
2
2120
sin
sin)(sin
α
αα −+
= .
Необходимы дополнительные ограничения на параметр 2α , чтобы обеспе-
чить положительные значения скорости течения при всех 0≤≤− zH . Задача
(7) – (9) принимает вид
0)( 2
2 =−−′′ WkW α , 0)0()0( =−′ WW γ , 0)( =−HW , (18)
где
H
H
U
g
2
2
222
0 sin
ctg
α
αθ
ααγ −+= .
Решение задачи (18) записывается в форме
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 24
2
2
3
3
3 ,
ch
)(sh α−=+= kk
Hk
Hzk
AW ,
где A = const; k3 – корень уравнения γ/th 33 kHk = , удовлетворяющий усло-
вию k3 > 0. При 2|| α<k гиперболические функции в предыдущих выраже-
ниях заменяются на тригонометрические с 2
23 kk −= α . Волны в рассмат-
риваемом потоке существуют при значениях числа Фруда, удовлетворяю-
щих условию
)(
sin
22
2
2 HF αξ
θξ
ξ =< .
На рис. 6, а показаны распределения по z скорости течения для трех зна-
чений параметра 2α . Увеличение 2α , начиная с нуля, приводит при постоян-
ных U0,1 к росту кривизны вертикального распределения скорости течения.
Длины поверхностных волн, как показывают зависимости волновых чисел от
параметров F и 2α (рис. 6, б), убывают при уменьшении числа Фруда и кри-
визны вертикального распределения скорости потока.
Р и с. 6. Строго выпуклые вверх распределения скорости течения при H = 100 м, U0 =
= 0,15 м⋅с–1, U1 = 0,1 м⋅с–1 (а) и зависимости безразмерного волнового числа от числа Фруда
(б): 1 — 2α = 10–5 м–2; 2 — 2α = 3·10–4 м–2; 3 — 2α = 5·10–4 м–2
6. Послойное задание перечисленных выше распределений горизонталь-
ной скорости течения позволяет описывать значительно более сложную вер-
тикальную структуру поля скорости потока. В качестве примера рассмотрим
течение, скорость которого в приповерхностном слое толщины h постоянна, а
ниже – убывает экспоненциально (рис. 2, е):
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 25
)0( 0 ≤≤−= zhUU , )( )](exp[0 hzHhzUU −≤≤−+= δ , (19)
где hHhh −=−= 22 ,/lnθδ .
Для нахождения k и W(z) необходимо решить уравнения
02 =−′′ WkW (– h ≤ z ≤ 0), 02
1 =−′′ WkW (– H ≤ z ≤ – h) (20)
с условиями
0)0()0( =−′ WW γ , (21)
)0()0( −−=+− hWhW , )0()0( 11 −−=+− hphp , (22)
0)( =−HW (23)
на границах, где 22
1 δ+= kk , 2
0/Ug=γ . Условия (22) обеспечивают непре-
рывность вертикальной скорости и давления в жидкости при пересечении го-
ризонта z = – h, на котором изменяется характер вертикального распределе-
ния скорости потока. Решение задачи (20) – (23) записывается в виде
−≤≤−+−
≤≤−+
=
),( )(sh
sh
shch
),0( shch
1
21
hzHHzk
hk
khkhk
zhkzkzk
AW γ
γ
где A = const. Волновое число k > 0 находится из трансцендентного уравнения
0thth)(th)()th( 21
2
211 =+++−− hkkhkhkkkhkk γδδγγ .
Для мелководного потока характерные зависимости волнового числа от
числа Фруда )/(2
01 ghUF ==== и параметра θ представлены на рис. 7. При умень-
шении числа Фруда и с ростом отношения скорости у дна к скорости течения
у свободной поверхности волны становятся короче. Заметим, что периодиче-
ские волны существуют при значениях F1, удовлетворяющих условию
2
2
1 th1
th1
1
h
h
h
F
δ
δ
δ −−−−
++++<<<< .
Помимо перечисленных выше вертикальных распределений горизон-
тальной скорости течения существуют и другие более сложные зависимости
U = U(z), позволяющие найти аналитические решения задачи (7) – (9) через
специальные функции. В общем случае для нахождения параметров поверх-
ностных волн в сдвиговых течениях необходимо применение численных ме-
тодов.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 26
Р и с. 7. Зависимости волнового числа от числа Фруда и параметра θ для сдвигового течения
(19) на мелководье (H = 3 м, h = 1 м)
Численный анализ волн в сдвиговом течении. Изложим численную
процедуру расчета волновых чисел k и соответствующих им вертикальных
распределений скорости W(z) свободных волн в потоках с вертикальным
сдвигом скорости.
Заменим краевую задачу (7) – (9) системой двух обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений первого порядка:
WzkVVW )]([ , 2 α+=′=′ (–H < z < 0), (24)
0)0()0( ,0)( =−=− WVHW γ ,
где )(zα и γ находятся по формулам (10).
Обозначим через W(z, k), V(z, k) решение системы уравнений (24) для за-
данного волнового числа k с начальными условиями W(–H, k) = 0, V(–H, k) =
= 0,01. Используя его, находим величину ),0(),0()( kWkVk γ−=∆ . Корни
уравнения ∆(k) = 0 являются искомыми волновыми числами k поверхностных
волн в течении с известным вертикальным распределением скорости. Для оп-
ределения k можно применить к системе уравнений (24) метод стрельбы [10].
В этом случае последовательно находятся значения ∆(k) путем решения сис-
темы (24), начиная со значения k = 0 с шагом ∆k > 0. Перемена знака функции
∆(k) означает переход с ростом k через нуль. Последующее деление шага ∆k
пополам позволяет найти точку перемены знака ∆(k) (искомое волновое чис-
ло) с необходимой точностью.
Изложенный вычислительный алгоритм нахождения свободных волн ви-
да (6), в котором используется метод Рунге – Кутта четвертого порядка, тес-
тирован на приведенных выше распределениях U(z), допускающих аналити-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 27
ческие решения. Численные расчеты выполнены для следующего вертикаль-
ного распределения скорости течения:
)1( )(1 101 ≥−
++= sUU
H
z
UU
s
. (25)
Рассмотрим мелководный поток, характеризуемый параметрами H = 5 м,
U0 = 1,0 м⋅с–1, U1 = 0,3 м⋅с–1 и целыми значениями показателя степени
15 ,1====s . На рис. 8, а показаны распределения скорости течения, описывае-
мые формулой (25) при различных значениях s. С ростом s наибольшие ско-
рости течения локализуются в приповерхностном слое, а ниже его сдвиги
скорости практически отсутствуют. Очевидно, что увеличение параметра s
приводит к уменьшению интегрального потока жидкости. Рассчитанные вол-
новые числа k представлены на рис. 8, б. Волны являются короткими, что
предопределено достаточно большим значением параметра γ в граничном
условии (8). Для моделирования более длинных волн необходимо задавать
более интенсивные течения. С ростом показателя степени s длины волн убы-
вают. Таким образом, уменьшение средней по глубине скорости потока
∫−
−=
0
1 )(
H
dzzUHU приводит к уменьшению длины поверхностной волны, а в
результате – к более быстрому затуханию волновых возмущений при удале-
нии от свободной поверхности. Заметим, что по результатам расчетов зави-
симость k = k(s) близка к линейной. В силу малой длины волн зависимость
волнового числа от s является относительно слабой.
Р и с. 8. Распределения по вертикали скорости течения (25) при значениях показателя степени
s = 1, 5, 10, 15 (а) и найденные волновые числа при 15 ,1=s (б). Параметры потока: H = 5 м,
U0 = 1,0 м⋅с–1, U1 = 0,3 м⋅с–1
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 28
Заключение. В линейной постановке рассмотрена плоская задача о сво-
бодных поверхностных гравитационных волнах в течении однородной жид-
кости с вертикальным сдвигом скорости. Волны предполагаются стационар-
ными, что характерно, в частности, для подветренных волн. Нахождение па-
раметров свободных волн сведено к решению краевой задачи Штурма – Лиу-
вилля. Для нескольких модельных распределений скорости течения по верти-
кали найдены аналитические решения задачи. Также предложена численная
процедура нахождения параметров волн для сложных вертикальных распре-
делений скорости течения, сохраняющей направление на всех горизонтах
внутри жидкости.
Показано, что для рассмотренных распределений скорости течения вол-
ны могут существовать только в определенных диапазонах изменения числа
Фруда, определяемого как отношение квадрата скорости течения у свободной
поверхности к квадрату скорости распространения длинных волн. При умень-
шении числа Фруда волны в сдвиговых течениях становятся короче, что при-
водит к усилению затухания волновых возмущений с глубиной. Для тече-
ний, параметры которых соответствуют океаническим условиям, стационар-
ные поверхностные волны являются весьма короткими, и влияние на них ока-
зывают только сдвиги скорости течения в приповерхностном слое океана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда
фундаментальных исследований Украины, договор Ф28/435-2009 от
1.07.2009, проект Ф28.6/025.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стокер Дж. Волны на воде. – М.: Изд. иностр. лит., 1959. – 617 с.
2. White B.S., Fornberg B. On the change of freak waves // J. Fluid Mech. – 1998. – 255. –
P. 113 – 138.
3. Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. –
Н. Новгород: Нижегородский гос. техн. ун-т, 2004. – 158 с.
4. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1976. – 108 с.
5. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 2. – М.: Мир, 1981. – 365 с.
6. Букатов А.Е., Власенко В.И., Пухтяр Л.Д. и др. Динамика поверхностных и внутренних
волн. – Киев: Наук. думка, 1988. – 192 с.
7. Букатов А.Е., Власенко В.И., Стащук Н.М. и др. Поверхностные и внутренние гравита-
ционные волны в океане. – Киев: Наук. думка, 1989. – 144 с.
8. Черкесов Л.В., Власенко В.И., Стащук Н.М. и др. Гидродинамика морских волн. – Ки-
ев: Наук. думка, 1992. – 162 с.
9. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряженные
обыкновенные дифференциальные операторы). – М.: Наука, 1970. – 671 с.
10. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
Морской гидрофизический институт НАН Украины,
Севастополь
Материал поступил
в редакцию 23.03.09
Е-mail: sf_dotsenko@mail.ru
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 4 29
АНОТАЦІЯ У лінійній постановці розглянуто плоску задачу про вільні стаціонарні гравіта-
ційні хвилі в горизонтальній течії з вертикальним зсувом швидкості. Знаходження параметрів
хвиль зведене до рішення краєвої задачі Штурму – Ліувілля. Для декількох вертикальних роз-
поділів швидкості течії знайдені аналітичні рішення. Запропоновано чисельний алгоритм зна-
ходження параметрів хвиль. На основі проведеного аналізу встановлена можливість існування
в течіях стаціонарних поверхневих хвиль в певних діапазонах значень числа Фруда. При змен-
шенні числа Фруда хвилі стають коротшими, що призводить до швидшого загасання хвильо-
вих збурень з глибиною. Для реальних умов хвилі є короткими, вони схильні до впливу зсув-
них течій лише в приповерхневому шарі океану.
ABSTRACT Plane problem on free stationary gravity waves in a horizontal current with vertical
shear is considered within a framework of linear statement. The Sturm-Liouville problem is solved to
find wave parameters. Analytical solutions are found for some vertical distributions of current veloc-
ity. The numerical procedure is proposed to evaluate the wave parameters. The performed analysis
reveals the fact that stationary surface waves can exist in the currents in the selected ranges of the
Froude number. When the Froude number decreases the waves become shorter that leads to faster
attenuation of wave disturbances with depth. The waves are short in real conditions and effected by
shear currents only in the upper ocean layer.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-56751 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0233-7584 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:13:13Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. 2014-02-23T14:29:03Z 2014-02-23T14:29:03Z 2010 Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости / М.В. Билюнас, С.Ф. Доценко // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 4. — С. 15-29. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0233-7584 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56751 551.466 В линейной постановке рассмотрена плоская задача о свободных стационарных гравитационных волнах в горизонтальном течении с вертикальным сдвигом скорости. Нахождение параметров волн сведено к решению краевой задачи Штурма – Лиувилля. Для нескольких вертикальных распределений скорости течения найдены аналитические решения. Предложен численный алгоритм нахождения параметров волн. На основе проведенного анализа установлена возможность существования в течениях стационарных поверхностных волн в определенных диапазонах значений числа Фруда. При уменьшении числа Фруда волны становятся короче, что приводит к более быстрому затуханию волновых возмущений с глубиной. Для реальных условий волны являются короткими, они подвержены влиянию сдвиговых течений только в приповерхностном слое океана. У лінійній постановці розглянуто плоску задачу про вільні стаціонарні гравітаційні хвилі в горизонтальній течії з вертикальним зсувом швидкості. Знаходження параметрів хвиль зведене до рішення краєвої задачі Штурму – Ліувілля. Для декількох вертикальних розподілів швидкості течії знайдені аналітичні рішення. Запропоновано чисельний алгоритм знаходження параметрів хвиль. На основі проведеного аналізу встановлена можливість існування в течіях стаціонарних поверхневих хвиль в певних діапазонах значень числа Фруда. При зменшенні числа Фруда хвилі стають коротшими, що призводить до швидшого загасання хвильових збурень з глибиною. Для реальних умов хвилі є короткими, вони схильні до впливу зсувних течій лише в приповерхневому шарі океану. Plane problem on free stationary gravity waves in a horizontal current with vertical shear is considered within a framework of linear statement. The Sturm-Liouville problem is solved to find wave parameters. Analytical solutions are found for some vertical distributions of current velocity. The numerical procedure is proposed to evaluate the wave parameters. The performed analysis reveals the fact that stationary surface waves can exist in the currents in the selected ranges of the Froude number. When the Froude number decreases the waves become shorter that leads to faster attenuation of wave disturbances with depth. The waves are short in real conditions and effected by shear currents only in the upper ocean layer. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины, договор Ф28/435-2009 от 1.07.2009, проект Ф28.6/025. ru Морський гідрофізичний інститут НАН України Морской гидрофизический журнал Термогидродинамика океана Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости Стаціонарні хвилі в потоці однорідної рідини з вертикальним зсувом швидкості Stationary waves in a flow of homogeneous fluid with vertical shear Article published earlier |
| spellingShingle | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости Билюнас, М.В. Доценко, С.Ф. Термогидродинамика океана |
| title | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости |
| title_alt | Стаціонарні хвилі в потоці однорідної рідини з вертикальним зсувом швидкості Stationary waves in a flow of homogeneous fluid with vertical shear |
| title_full | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости |
| title_fullStr | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости |
| title_full_unstemmed | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости |
| title_short | Стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости |
| title_sort | стационарные волны в потоке однородной жидкости с вертикальным сдвигом скорости |
| topic | Термогидродинамика океана |
| topic_facet | Термогидродинамика океана |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/56751 |
| work_keys_str_mv | AT bilûnasmv stacionarnyevolnyvpotokeodnorodnoižidkostisvertikalʹnymsdvigomskorosti AT docenkosf stacionarnyevolnyvpotokeodnorodnoižidkostisvertikalʹnymsdvigomskorosti AT bilûnasmv stacíonarníhvilívpotocíodnorídnoírídinizvertikalʹnimzsuvomšvidkostí AT docenkosf stacíonarníhvilívpotocíodnorídnoírídinizvertikalʹnimzsuvomšvidkostí AT bilûnasmv stationarywavesinaflowofhomogeneousfluidwithverticalshear AT docenkosf stationarywavesinaflowofhomogeneousfluidwithverticalshear |