Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах
Розглянуто особливості прояву процесів перенесення рідини і газу у розроблюваному вуглепородному масиві. За допомогою прийнятого феноменологічного підходу, з використанням теорії наслідку Больцмана-Вольтерра, розроблено математичну модель фільтрації у тріщинувато-пористих гетерогенних середовищах. F...
Saved in:
| Published in: | Наукові праці УкрНДМІ НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/57111 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах / Е.Д. Ходырев // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2012. — № 11. — С. 130-136. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859773215495159808 |
|---|---|
| author | Ходырев, Е.Д. |
| author_facet | Ходырев, Е.Д. |
| citation_txt | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах / Е.Д. Ходырев // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2012. — № 11. — С. 130-136. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Наукові праці УкрНДМІ НАН України |
| description | Розглянуто особливості прояву процесів перенесення рідини і газу у розроблюваному вуглепородному масиві. За допомогою прийнятого феноменологічного підходу, з використанням теорії наслідку Больцмана-Вольтерра, розроблено математичну модель фільтрації у тріщинувато-пористих гетерогенних середовищах.
Features related to liquid and gas transfer in coal-rock mass being mined are considered. With the help of accepted phenomenal approach using Boltzmann-Volterra theory mathematical model of seepage in fractured-porous heterogeneous media is developed.
|
| first_indexed | 2025-12-02T07:21:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
130
УДК 622.232.76
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИИ В
ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ
Ходырев Е. Д.
(УкрНИМИ НАНУ, г. Донецк, Украина)
Розглянуто особливості прояву процесів перенесення рідини
і газу у розроблюваному вуглепородному масиві. За допомогою
прийнятого феноменологічного підходу, з використанням теорії
наслідку Больцмана-Вольтерра, розроблено математичну модель
фільтрації у тріщинувато-пористих гетерогенних середовищах.
Features related to liquid and gas transfer in coal-rock mass be-
ing mined are considered. With the help of accepted phenomenal ap-
proach using Boltzmann-Volterra theory mathematical model of seep-
age in fractured-porous heterogeneous media is developed.
В разрабатываемом углепородном массиве особенность
происходящих процессов переноса жидкости и газа в ряде важ-
ных для практики случаев обусловливается сетью крупных
транспортных каналов (трещин, контактных слоев), окружающих
структурные блоки среды, в которых также происходит движение
флюидов. Поэтому блоки играют роль источников (стоков). По-
рометрические исследования показывают, что лишь малая доля
(5-10 %) общей пористости приходится на сообщающиеся тре-
щины (транспортные каналы). Вследствие этого структурные
элементы среды зачастую играют решающую роль в аккумуля-
ции фильтрующихся веществ.
Своеобразие таких аккумуляторов состоит в том, что дви-
жение между наружной поверхностью блоков и их внутренними
частями развивается во времени, создавая запаздывание реакции
блоков на изменения в окружающих трещинах. Это существенно
осложняет изучение задач, так как приходится рассматривать
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
131
процессы массопереноса флюидов, как в крупных каналах, так и
внутри блоков. Для упрощения задач в настоящее время исполь-
зуются две модели: модель вложенных сред и модель с типовым
блоком [1]. Обе они применимы лишь для линейных задач и в
случаях, когда напор фильтрации в крупных трещинах репрезен-
тативного объема среды, содержащей множество структурных
блоков, можно считать одинаковым.
При сильной фильтрационной неоднородности исследуемой
среды (подработанных горных пород) это исходное ограничение
препятствует получению более или менее достоверной информа-
ции при долгосрочных прогнозах крупномасштабных процессов
фильтрации в горном массиве при изменении водного баланса
шахт при их закрытии.
Предлагается феноменологический подход [2, 3], состоящий
в использовании теории последействия Больцмана-Вольтерра в
описании деформации твердых тел. Этот подход, плодотворный в
задачах механики твердого деформируемого тела, в применении
к задачам переноса оказывается достаточно прост в эксперимен-
тальном отношении и согласуется с результатами опытов для
весьма сложных нелинейных процессов сорбции в ископаемых
углях и породах, аналогичных им по свойствам. Это имеет стро-
гое математическое доказательство для задач, в которых перенос
в блоках описывается линейными соотношениями.
Кроме того, появившаяся в рамках такого подхода возмож-
ность принятия к учету нетривиальных версий взаимодействия
фильтрующихся веществ и горных пород существенно повышает
качество интерпретации результатов режимных наблюдений, что
позволит осуществлять непрерывный мониторинг состояния та-
кого сложного гидрогеологического объекта как закрывающаяся
шахта.
Главную трудность при изучении процессов поглощения
или отдачи вещества структурными элементами массива пред-
ставляет описание движения флюидов внутри пористых блоков,
т. к. содержащиеся в них поры существенно отличаются между
собой как по размерам, так и по форме. В силу этого процессы
поглощения развиваются одновременно по разным законам,
включая вязкое течение Пуазейля, молекулярную диффузию
Кнудсена и процессы абсорбции.
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
132
Детального описания сложных процессов, происходящих
внутри пористых блоков, можно избежать, отражая их инте-
грально и задавая приток в единицах объема из блоков в крупные
трещины с помощью временного оператора «А» наследственного
типа. Оператор может быть линейным или нелинейным относи-
тельно давления, включать мгновенную или запаздывающую ре-
акцию блоков на изменения давления в окружающих трещинах,
учитывать старение блоков. Для нестареющих блоков ядро соот-
ветствующего интеграла зависит лишь от разности τ−t между
текущим моментом времени и переменным временем интегриро-
вания. Для нахождения оператора «А» достаточно провести до-
статочно простые опыты по измерению общего количества по-
ступающего в блоки флюида при мгновенном приложении посто-
янного давления. По основным парам флюид - порода необходи-
мая информация опубликована в соответствующих справочниках
или может быть получена теоретическим путем.
За основу феноменологического описания кинетических
процессов в пористых блоках, как и в случаях с однородными
энергетическими поверхностями, принимается уравнение типа
Лэнгмюра, имеющее вид:
)1( kt
pt e −−ν=ν , (1)
где tv – количество вещества, поглощенное горными поро-
дами к моменту времени t;
pv – предельное равновесное количество вещества, которое
может быть поглощено единицей массы горных пород при дан-
ном давлении – р (определяется по изотермам сорбции или
насыщения);
k – кинетический показатель, зависящий от свойств филь-
трующихся веществ и горных пород.
Таким образом, в формуле (1) мы имеем закон, соответ-
ствующий получаемым на практике данным о кинетике поглоща-
емого вещества горными породами в условиях скачкообразного
изменения давления. Однако слагающие горную породу пори-
стые блоки с заключенным в них поглощенным веществом нахо-
дятся в иных условиях. Эти условия характеризуются плавным
изменением давления фильтрующегося вещества в транспортных
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
133
каналах, окружающих пористые блоки. Если в рассматриваемой
точке в фильтрующих трещинах в конечный интервал времени
τ+τ−τ d (где τ−≤τ dt ), произошло понижение давления филь-
трующегося вещества с величины )(τp до величины )d( τ+τp , то
при давлении )(τp равновесное флюидосодержание в пористых
блоках, определяемое изотермой сорбции, составит:
)(1 τ= pp vv , (2)
а при давлении )d( τ+τp равновесное количество поглощаемого
вещества будет равно:
)d(2 τ+τ= pp vv . (3)
Тогда поглощающий блок перейдет в новое равновесное со-
стояние, когда выровняется образовавшееся избыточное количе-
ство флюида, равное разности между поглощающей емкостью
блоков при давлении вещества в момент времени τ и установив-
шимся давлением в момент )d( ττ + . Это количество будет равно:
ττ′=−−=∆ d)()( 1 2 ppp vvvv . (4)
К моменту времени τ , согласно (1), от этого избыточного
количества флюида остается:
τ−−−ττ′=τ
)(1d)( tkevQ ps , (5)
где τsQ – количество поглощаемого к моменту времени t ве-
щества, обусловленное изменением давления в момент времени
τ, м 3 /кг.
В показателе экспоненты стоит, в отличие от (1), время
τ−t , поскольку с момента τ до рассматриваемого момента t
прошло τ−t времени.
Итак, формула (5) позволяет определить количество погло-
щаемого к моменту времени t вещества при скачкообразном по-
нижении давления в момент времени τ . Чтобы получить общее
количество поглощаемого флюида, необходимо просуммировать
τsQ при всех τ ≤ (t 0 , t), где t 0 – момент первого изменения давле-
ния фильтрующегося вещества вокруг блока.
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
134
Суммируя и переходя к пределу при dτ →0, получаем инте-
гральное представление количества поглощаемого флюида при
произвольном изменении давления вокруг блока:
τ
τ−−−τ′= ∫ d)(1)(
0
t
t
ps
tkevQ . (6)
Таким образом, в формуле (6) получено аналитическое вы-
ражение, описывающее взаимодействие поглощаемой и филь-
трующейся фазы. Вид этого взаимодействия носит линейно-
наследственный характер и отвечает физическим процессам мас-
сопереноса при фильтрации флюида в средах, представленных
такими сложными по строению и свойствам трещиновато-
пористыми горными породами. Достоверность полученного со-
отношения обеспечивается его соответствием эксперименталь-
ным данным о кинетике поглощаемости вещества горными поро-
дами, являющимися частными случаями общего фазово-
химического взаимодействия, описываемого формулой (6).
Полученное соотношение (6) может служить основой для
разработки наиболее точной и принципиально новой математиче-
ской модели нестационарной фильтрации вещества в горных по-
родах.
При решении задач, связанных с изучением закономерно-
стей движения фильтрующегося вещества, необходимо привле-
кать уравнение сохранение массы в единице объема, которое для
трещиновато-пористых сред имеет вид:
)(div)( υρ−=+
∂
∂
sf QQ
t
, (7)
где fQ – количество свободного вещества, находящегося в
единице объема материала, кг/м 3 ;
sQ – количество вещества, связанного поверхностно актив-
ными силами кг/м 3 ;
ρ – плотность вещества при давлении р, кг/м 3 ;
υ – скорость движения вещества, м/с.
Согласно существующим представлениям о соотношении
свободного и связанного поверхностными силами вещества, об-
ластью преимущественного проявления поверхностно активных
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
135
сил являются наиболее мелкие поры, соизмеримые по размерам с
молекулами твердого вещества и флюидов. Поэтому объемом
свободного вещества в них можно пренебречь.
Поры размером от 10 −6 см до 10 −1 см образуют сложную си-
стему сообщающихся между собой фильтрующих пор, в которых
сорбционные и подобные им процессы не играют существенной
роли. Поэтому объем этих пор и определяет общее количество
свободного вещества. Тогда, если обозначить через m - суммар-
ный объем фильтрующих пор, заключенных в единице объема
(иногда эту величину называют трещинной пористостью), коли-
чество фильтрующегося вещества в единице объема среды выра-
зится соотношением:
mQf ρ= . (8)
Формула (6) позволяет определить объем поглощенного и
приведенного к нормальным условиям вещества.
Пересчитывая это количество флюида на единицу объема
горных пород, получим:
∫
∞
τ−−
δ
′=
t
tk
pSo tjketvv d)( )( , (9)
где j – удельный вес горных пород, кг/м3.
Тогда количество поглощенного в единице объема вещества
будет равно:
δρ= os vQ 0 , (10)
где 0ρ – плотность вещества при нормальных условиях,
кг/м3.
Подставляя (10) и (9) в (8), получим:
)(div)d)(( )(
0 υρ−=τ′ρ+ρ
∂
∂
∫
∞−
τ−−
t
tk
p etvkm
t
, (11)
Объединив полученное соотношение (11) с уравнением со-
стояния флюида ),( TPρ=ρ и законом, связывающим вектор
скорости фильтрации 1υ с вектором градиента давления ixp dd ,
который в общем случае в прямоугольных декартовых координа-
тах имеет вид:
Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 11, 2012
Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 11, 2012
136
jij
i x
p
k d
d
)(
1
µ
=υ , (12)
где µ – динамический коэффициент вязкости флюидов
(Па·с), приходим к полной системе уравнений относительно P, υ
и ρ .
Выводы
Разработанные аналитические соотношения (1) – (12), полу-
ченные по результатам ранее проведенных натурных исследова-
ний процессов фильтрации жидкости и газа в разрабатываемом
углепородном массиве, количественно учитывают связь проница-
емости угольного пласта и вмещающих горных пород с их струк-
турными особенностями в зависимости от различной степени де-
формирования. С помощью разработанного феноменологическо-
го подхода, с использованием теории последействия Больцмана –
Вольтерра, разработана математическая модель фильтрации в
трещиновато-пористых гетерогенных средах. Она может быть
использована при решении вопросов дегазации угольных пла-
стов, промышленной добычи газа и повышения безопасности ве-
дения горных работ на шахтах, разрабатывающих газоносные
угольные пласты.
СПИСОК ССЫЛОК
1. Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов. Об основных уравнениях
фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах.
ДАН СССР, 1960. т. 123. С. 545 – 548.
2. Линьков А. М., Ходырев Е. Д. Об источниках наследственно-
го типа в задачах переноса. ДАН СССР. Механика.1988.
т. 302 № 2. С. 280 – 283.
3. Линьков А. М., Ходырев Е. Д. Модель фильтрации с источни-
ками наследственного типа. Изв. АН СССР. Механика жидко-
сти и газа. 1989. № 3. С. 174 – 178.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-57111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1996-885X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T07:21:38Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ходырев, Е.Д. 2014-03-03T19:06:56Z 2014-03-03T19:06:56Z 2012 Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах / Е.Д. Ходырев // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2012. — № 11. — С. 130-136. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1996-885X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/57111 622.232.76 Розглянуто особливості прояву процесів перенесення рідини і газу у розроблюваному вуглепородному масиві. За допомогою прийнятого феноменологічного підходу, з використанням теорії наслідку Больцмана-Вольтерра, розроблено математичну модель фільтрації у тріщинувато-пористих гетерогенних середовищах. Features related to liquid and gas transfer in coal-rock mass being mined are considered. With the help of accepted phenomenal approach using Boltzmann-Volterra theory mathematical model of seepage in fractured-porous heterogeneous media is developed. ru Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України Наукові праці УкрНДМІ НАН України Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах Article published earlier |
| spellingShingle | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах Ходырев, Е.Д. |
| title | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах |
| title_full | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах |
| title_fullStr | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах |
| title_full_unstemmed | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах |
| title_short | Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах |
| title_sort | математическая модель фильтрации в трещиновато-пористых гетерогенных средах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/57111 |
| work_keys_str_mv | AT hodyreved matematičeskaâmodelʹfilʹtraciivtreŝinovatoporistyhgeterogennyhsredah |