Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування
Let E be a real Banach space, X a nonempty weak compact subset of E, B a closed convex subset of E such that 0 belongs int B, and f : X → R be a bounded from above weak upper semicontinuous functional. It is proved that the set of all y belongs E, for which the problem f(x)+μβ(x − y) → sup x belongs...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5754 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування / В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2008. — N 8. — С. 36-42. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634165687779328 |
|---|---|
| author | Семенов, В.В. |
| author_facet | Семенов, В.В. |
| citation_txt | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування / В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2008. — N 8. — С. 36-42. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Let E be a real Banach space, X a nonempty weak compact subset of E, B a closed convex subset of E such that 0 belongs int B, and f : X → R be a bounded from above weak upper semicontinuous functional. It is proved that the set of all y belongs E, for which the problem f(x)+μβ(x − y) → sup x belongs X, where μβ is the Minkowski functional of B, has a solution, contains an Gδ-set dense in E. This result is used for proving the generic solvability optimal control problems for linear systems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.9
© 2008
В.В. Семенов
Типовiсть розв’язностi деяких задач оптимального
керування
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
Let E be a real Banach space, X a nonempty weak compact subset of E, B a closed convex subset
of E such that 0 ∈ intB, and f : X → R be a bounded from above weak upper semicontinuous
functional. It is proved that the set of all y ∈ E, for which the problem f(x)+µB(x − y) → sup
x∈X
,
where µB is the Minkowski functional of B, has a solution, contains an Gδ-set dense in E. This
result is used for proving the generic solvability optimal control problems for linear systems.
Нехай (X, ρ) — повний метричний простiр i x ∈ X. Властивiсть P (x) називаємо типовою,
якщо множина A ⊆ X, де вона виконується, мiстить злiченний перетин вiдкритих скрiзь
щiльних пiдмножин.
З теореми Бера про категорiю випливає, що у повному метричному просторi довiльна
множина, що мiстить злiченний перетин вiдкритих скрiзь щiльних пiдмножин, є скрiзь
щiльною. Такi множини часто називають масивними. Структура масивних множин багат-
ша, нiж просто скрiзь щiльних пiдмножин. Наприклад, двi скрiзь щiльнi множини можуть
не перетинатися, тодi як перетин злiченної кiлькостi масивних множин завжди непорожнiй,
бiльше того, масивний. Цим i пояснюється назва “типова властивiсть”.
Нехай X — обмежена пiдмножина банахова простору (E, ‖ · ‖E). Однiєю з класичних
задач максимiзацiї є пошук найвiддаленiших точок у множинi X. Точнiше, для y ∈ E слiд
знайти точку x ∈ X таку, що
‖y − x‖E = sup
x∈X
‖y − x‖E .
Розглянемо множину точок y ∈ E, для яких iснує найвiддаленiша в X точка:
E(X) = {y ∈ E : ∃x ∈ X‖y − x‖E = sup
x∈X
‖y − x‖E}.
У роботi [1] М. Едельштейн довiв, що якщо X — непорожня замкнена й обмежена
пiдмножина рiвномiрно опуклого банахова простору E, то множина E(X) щiльна в E.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Е. Асплунд [2] розширив цей результат, показавши, що якщо X — непорожня замкнена
й обмежена пiдмножина рефлексивного локально рiвномiрно опуклого банахова просто-
ру E, то множина E(X) мiстить щiльну в E пiдмножину типу Gδ. Нарештi, К.-С. Лау
у роботi [3] отримав подiбний результат для слабко компактної пiдмножини довiльного ба-
нахова простору. У [4] Р. Девiль та В. Зiзлер показали, що результат К.-С. Лау не можна
поширити на σ(E∗, E)-компактнi пiдмножини спряженого банахова простору. Наприклад,
∀α > 1 — множина
Xα =
{
x = (xn) ∈ l1 :
∑∞
n=1
|xn| +
∑∞
n=1
|xn|
α
6 1
}
⊆ l1 = (c0)
∗
опукла та компактна в топологiї σ(l1, c0), але для довiльної точки y ∈ l1 не iснує точки
x ∈ Xα такої, що ‖y − x‖l1 = sup
x∈Xα
‖y − x‖l1 .
Нехай f — заданий на X функцiонал. Ж. Баранже [5] розглянув узагальнення задачi
про найвiддаленiшу точку: для y ∈ E знайти точку x ∈ X таку, що
f(x) + ‖y − x‖E = sup
x∈X
(f(x) + ‖y − x‖E). (P)
Вiн довiв, що якщо X — непорожня замкнена й обмежена пiдмножина рiвномiрно опуклого
банахова простору E, функцiонал f : X → R — обмежений зверху та слабко напiвнеперерв-
ний зверху, то множина y ∈ E таких, що задача (P ) має розв’язок, є масивною. У [6, 7]
цей результат перенесено на випадок задачi (P ), поставленої у рефлексивному локально
рiвномiрно опуклому банаховому просторi.
С. Кобзаш [8] узагальнює на задачу (P ) результат К.-С. Лау, довiвши масивнiсть мно-
жини y ∈ E таких, що задача (P ) має розв’язок, якщо X — слабко компактна пiдмножина
банахова простору E, а функцiонал f : X → R — обмежений зверху та слабко напiвнепе-
рервний зверху.
У роботах [6, 7] результати про типовiсть iснування розв’язкiв екстремальної задачi (P )
було використано при дослiдженнi задач оптимального керування коефiцiєнтами елiптич-
них рiвнянь.
У [9] розглянуто задачу узагальненого найкращого наближення. Вiдмiннiсть вiд класич-
ної задачi полягає у використаннi для оцiнки вiдхилення елементiв функцiоналу Мiнковсь-
кого несиметричного замкненого опуклого околу нуля банахова простору. Дослiдженню
iснування узагальнених найвiддаленiших точок присвячено роботу [10].
Нашою метою є доведення типовостi розв’язностi описаного нижче узагальнення задачi
(P) та деяких задач оптимального керування. На цьому шляху ми отримуємо теорему, що
узагальнює результати робiт [3, 8].
Постановка задачi та допомiжнi факти. Розглянемо дiйсний банахiв простiр
(E, ‖ · ‖E) iз спряженим (E∗, ‖ · ‖E∗). Нехай B — замкнена опукла пiдмножина простору E
така, що 0 ∈ int B. Очевидно, що множина B поглинаюча, але не обов’язково симетрична.
Нагадаємо, що функцiонал Мiнковського µB : E → R множини B задається таким чином:
µB(x) = inf{λ > 0: x ∈ λB}, ∀x ∈ E.
Сформулюємо добре вiдомi властивостi функцiоналу Мiнковського, якi випливають без-
посередньо з його означення.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 37
Твердження 1. Для довiльних x ∈ E i y ∈ E маємо:
1) µB(x) > 0 i µB(x) = 0 ⇔ x = 0;
2) µB(αx) = αµB(x) ∀α > 0;
3) µB(x + y) 6 µB(x) + µB(y);
4) −µB(y − x) 6 µB(x) − µB(y) 6 µB(x − y);
5) µB(−x) = µ−B(x);
6) µB(x) = 1 ⇔ x ∈ fr B;
7) µB(x) < 1 ⇔ x ∈ int B;
8) µαB(x) = (1/α)µB(x) ∀α > 0;
9) m0‖x‖E 6 µB(x) 6 m1‖x‖E, де m0 = inf
x∈E : ‖x‖E=1
µB(x), m1 = sup
x∈E : ‖x‖E=1
µB(x).
Без обмеження загальностi будемо вважати, що одинична замкнена куля B1(E) просто-
ру E є пiдмножиною B.
Нагадаємо, що субдиференцiалом опуклого функцiоналу f : E → R
⋃
{+∞} у точцi x0 ∈
∈ E (такiй, що f(x0) < +∞) називається множина ∂f(x0) ⊆ E∗ лiнiйних неперервних
функцiоналiв x∗
0 таких, що f(x) − f(x0) > 〈x∗
0, x − x0〉E∗,E ∀x ∈ E. Якщо функцiонал f
неперервний у точцi x0 ∈ E, то ∂f(x0) — непорожня опукла та компактна в топологiї
σ(E∗, E) множина [7].
Нехай X ⊆ E — непорожня обмежена множина. Для обмеженого зверху функцiоналу
f : X → R та точки y ∈ E розглянемо задачу максимiзацiї
f(x) + µB(x − y) → sup
x∈X
. (1)
Якщо B = B1(E), то µB(·) = ‖ · ‖E i задача (1) збiгатиметься з задачею (P).
Теорема про типовiсть розв’язностi. Cформулюємо та доведемо теорему про типо-
вiсть розв’язностi екстремальної задачi (1).
Теорема 1. Нехай (E, ‖ · ‖E) — банахiв простiр; X — непорожня компактна в топо-
логiї σ(E,E∗) пiдмножина простору E; B — замкнена опукла пiдмножина простору E
така, що 0 ∈ int B, функцiонал f : X → R — обмежений зверху та напiвнеперервний
зверху в топологiї σ(E,E∗). Тодi множина таких y ∈ E, що задача (1) має розв’язок,
мiстить щiльну в E пiдмножину типу Gδ.
Зауваження 1. Теорема 1 узагальнює результати К.-С. Лау та С. Кобзаша. Якщо по-
класти B = B1(E), то отримаємо теорему 1 з [8]. Наведене доведення використовує iдею
роботи [3].
Для точки y ∈ E покладемо
r(y) = sup
x∈X
(f(x) + µB(x − y)). (2)
Вивчимо властивостi функцiоналу r : E → R, визначеного за допомогою (2).
Лема 1. Функцiонал y 7→ r(y) опуклий та задовольняє умову Лiпшiца з константою 1.
Лема 2. Якщо y∗ ∈ ∂r(y), то
∀x ∈ E : 〈y∗, x〉E∗,E 6 µ−B(x).
Зауваження 2. З леми 2 випливає, що ∀ y∗ ∈ ∂r(y) : ‖y∗‖E∗ 6 sup
−B
y∗ 6 1.
Лема 3. Нехай y ∈ E i y∗ ∈ ∂r(y). Тодi має мiсце нерiвнiсть
sup
x∈X
(f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E) 6 r(y).
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Для кожного n ∈ N введемо множину
Fn =
{
y ∈ E : sup
x∈X
(f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E) 6 r(y) −
1
n
для деякого y∗ ∈ ∂r(y)
}
.
Покладемо F =
∞
⋃
n=1
Fn. Очевидно, що
F = {y ∈ E : sup
x∈X
(f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E) < r(y) для деякого y∗ ∈ ∂r(y)}.
Покажемо, що множина F ⊆ E є множиною першої категорiї та має тип Fσ .
Лема 4. ∀n ∈ N множина Fn замкнена.
Лема 5. ∀n ∈ N множина Fn має порожню внутрiшнiсть.
Доведення леми 5. Мiркуємо вiд супротивного. Припустимо, що для деякого n ∈
∈ N внутрiшнiсть множини Fn непорожня. Тобто, iснує вiдкрита куля O з центром в точцi
y0 ∈ Fn i радiусом 2λd (де d = sup
x∈X
‖x − y0‖E < +∞) для деякого λ > 0, така, що
O ⊆ Fn.
Покладемо ε = λ/(4(1 + λ)n).
Оберемо точку z0 ∈ X так, що
r(y0) − ε 6 f(z0) + µB(z0 − y0) 6 r(y0) (3)
i покладемо
x0 = y0 + λ(y0 − z0). (4)
На вiдрiзку [x0, y0] вiзьмемо точку x1 ∈ E так, що
‖x0 − x1‖E = ε. (5)
Оскiльки ‖x0 − y0‖E = λ‖y0 − z0‖E 6 λd < 2λd, то x0 i, звичайно, x1 лежать в кулi O ⊆ Fn.
З того, що x1 ∈ Fn, випливає iснування x∗
1 ∈ ∂r(x1) такого, що
sup
x∈X
(f(x) + 〈x∗
1, x1 − x〉E∗,E) 6 r(x1) −
1
n
. (6)
З (3) випливає
r(y0) − r(x1) 6 f(z0) + µB(z0 − y0) + ε − r(x1). (7)
Урахувавши (4), отримаємо
z0 − y0 =
1
1 + λ
(z0 − x0) (8)
та
µB(z0 − y0) =
1
1 + λ
µB(z0 − x0). (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 39
Оцiнимо рiзницю r(y0) − r(x1) зверху, використовуючи (5), (7), (8) та (9),
r(y0) − r(x1) 6 f(z0) +
1
1 + λ
µB(z0 − x0) + ε − r(x1) 6
6
1
1 + λ
r(x0) +
λ
1 + λ
f(z0) + ε − r(x1) 6
6
1
1 + λ
{r(x1) + µB(x1 − x0)} +
λ
1 + λ
f(z0) + ε − r(x1) 6
6
‖x1 − x0‖E
1 + λ
+
λ
1 + λ
f(z0) + ε −
λ
1 + λ
r(x1) <
λ
1 + λ
{f(z0) − r(x1)} + 2ε.
З (6) випливає, що
f(z0) − r(x1) 6 〈x∗
1, z0 − x1〉E∗,E −
1
n
.
Таким чином, маємо
r(y0) − r(x1) <
λ
1 + λ
{
〈x∗
1, z0 − x1〉E∗,E −
1
n
}
+ 2ε.
Оскiльки z0 − x1 = z0 − x0 + x0 − x1 i ‖x∗
1‖E∗ 6 1, то
r(y0) − r(x1) <
λ
1 + λ
{
〈x∗
1
, z0 − x0〉E∗,E −
1
n
}
+ 3ε.
З (4) i (8) випливає
r(y0) − r(x1) < 〈x∗
1
, y0 − x0〉E∗,E −
λ
(1 + λ)n
+ 3ε.
Нарештi отримаємо
r(y0) − r(x1) < 〈x∗
1, y0 − x1〉E∗,E −
λ
(1 + λ)n
+ 4ε 6 〈x∗
1, y0 − x1〉E∗,E.
Отже,
r(y0) − r(x1) < 〈x∗
1
, y0 − x1〉E∗,E ,
що суперечить тому, що x∗
1 ∈ ∂r(x1). Це й доводить лему.
Доведення теореми 1. Нехай D = E \ F , де F =
∞
⋃
n=1
Fn. З лем 4, 5 та теореми Бера
випливає, що множина D ⊆ E скрiзь щiльна в E та має тип Gδ .
Покажемо, що для кожного y ∈ D задача (1) має розв’язок. Нехай y ∈ D та y∗ ∈ ∂r(y).
Оскiльки ∀n ∈ N y /∈ Fn, то
sup
x∈X
(f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E) = r(y).
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
З σ(E,E∗)-компактностi множини X i σ(E,E∗)-напiвнеперервностi зверху функцiоналу f
випливає iснування точки x ∈ X такої, що
f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E = sup
x∈X
(f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E) = r(y).
З iншого боку, за лемою 2, маємо
r(y) = f(x) + 〈y∗, y − x〉E∗,E 6 f(x) + µ−B(y − x) = f(x) + µB(x − y) 6 r(y).
Таким чином, точка x ∈ X — розв’язок задачi (1).
Абстрактна задача керування лiнiйною системою. Нехай (H, ‖ · ‖H), (W, ‖ · ‖W )
i (V, ‖·‖V ) — банаховi простори; U ⊆ H — пiдмножина допустимих керувань; B — замкнена
опукла пiдмножина простору H така, що 0 ∈ int B.
Розглядається така екстремальна задача:
ϕ(y, h) + µB(h − h0) → sup, (10)
Ly − F (h) = 0, h ∈ U. (11)
Тут L : V → W — лiнiйний неперервний оператор; F : H → W — нелiнiйний оператор;
ϕ : V × H → R — заданий функцiонал; h0 ∈ H — фiксований елемент.
Припустимо, що:
1) простiр (V, ‖ · ‖V ) станiв системи (11) є рефлексивним;
2) множина U ⊆ H — компактна в топологiї σ(H,H∗);
3) оператор F : H → W — σ(H,H∗)-σ(W,W ∗)-неперервний, тобто, hn → h в топологiї
σ(H,H∗) ⇒ F (hn) → F (h) в топологiї σ(W,W ∗);
4) оператор L : V → W є лiнiйним топологiчним гомоморфiзмом V в W , причому R(L) ⊇
⊇ F (U);
5) фунцiонал ϕ : V × H → R — обмежений зверху, напiвнеперервний зверху в топологiї
σ(V, V ∗) i топологiї σ(H,H∗) (iз того, що yn → y в топологiї σ(V, V ∗) i hn → h в топологiї
σ(H,H∗), випливає ϕ(y, h) > lim
n→∞
ϕ(yn, hn)).
При виконаннi умов 1–5 задача (10), (11) може й не мати розв’язкiв. Але з результату
попереднього пункту випливає твердження.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1–5. Тодi iснує масивна множина M ⊆ H така,
що ∀h0 ∈ M задача (10), (11) має розв’язок.
Доведення теореми 2. Нехай h ∈ U . Тодi iснує єдиний елемент y = y(h) ∈ V такий, що
Ly − F (h) = 0,
‖y‖V 6 c‖F (h)‖W , c > 0.
(12)
Введемо до розгляду функцiонал f : H → R:
U ∋ h → f(h) = ϕ(y(h), h).
Покажемо, що функцiонал f — напiвнеперервний зверху в топологiї σ(H,H∗) на множинi U .
Нехай hn → h в топологiї σ(H,H∗) (hn, h ∈ U). Позначимо yn = y(hn) ∈ V . Оскiльки
F (hn) → F (h) в топологiї σ(W,W ∗) i має мiсце оцiнка (12), то множина {yn} обмежена в V .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 41
Простiр V рефлексивний, тому можна вважати, що yn → y в топологiї σ(V, V ∗). Покажемо,
що y = y(h). Для довiльного e ∈ W ∗ в тотожностi
〈L∗e, yn〉V ∗,V = 〈e,Lyn〉W ∗,W = 〈e, F (hn)〉W ∗,W ∀n ∈ N
перейдемо до границi при n → ∞. Отримаємо
〈L∗e, y〉V ∗,V = 〈e, F (h)〉W ∗,W ,
тобто, y = y(h).
Таким чином, маємо
f(h) = ϕ(y(h), h) > lim
n→∞
ϕ(y(hn), hn) = lim
n→∞
f(hn).
Пiсля цього теорема 2 випливає з теореми 1.
Автор щиро вдячний професору Ю. I. Петунiну за ряд корисних порад та зауважень. Робота
виконана за фiнансової пiдтримки ДФФД України.
1. Edelstein М. Farthest points of sets in uniformly convex Banach spaces // Israel J. Math. – 1965. – 4. –
P. 171–176.
2. Aslpund E. Farthest points in reflexive locally uniformly rotund Banach spaces // Idib. – P. 213–216.
3. Lau K.-S. Farthest points in weakly compact sets // Ibid. – 1975. – 22. – P. 168–174.
4. Deville R., Zizler V. Farthest points in w
∗-compact sets // Bull. Austral. Math. Soc. – 1988. – 38 (3). –
P. 433–439.
5. Baranger J. Existence de solutions pour des problemes d’optimisation non convexes // J. Math. Pures
Appl. – 1973. – 52. – P. 377–406.
6. Baranger J., Temam R. Nonconvex optimization problems depending on a parameter // SIAM J. Control. –
1975. – 13. – P. 146–152.
7. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. – Москва: Мир, 1979. – 399 с.
8. Cobzas S. Nonconvex optimization problems on weakly compact subsets of Banach spaces // Anal. Numer.
Theor. Approx. – 1980. – 9. – P. 19–25.
9. De Blasi F. S., Myjak J. On a generalized best approximation problem // J. Approx. Theory. – 1998. –
94. – P. 54–72.
10. Ni R.X. Derivatives of generalized farthest functions and existence of generalized farthest points // J. Math.
Anal. Appl. – 2006. – 316. – P. 642–651.
Надiйшло до редакцiї 01.01.2008Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5754 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:27Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенов, В.В. 2010-02-04T12:41:46Z 2010-02-04T12:41:46Z 2008 Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування / В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2008. — N 8. — С. 36-42. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5754 517.9 Let E be a real Banach space, X a nonempty weak compact subset of E, B a closed convex subset of E such that 0 belongs int B, and f : X → R be a bounded from above weak upper semicontinuous functional. It is proved that the set of all y belongs E, for which the problem f(x)+μβ(x − y) → sup x belongs X, where μβ is the Minkowski functional of B, has a solution, contains an Gδ-set dense in E. This result is used for proving the generic solvability optimal control problems for linear systems. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування Article published earlier |
| spellingShingle | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування Семенов, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування |
| title_full | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування |
| title_fullStr | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування |
| title_full_unstemmed | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування |
| title_short | Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування |
| title_sort | типовість розв'язності деяких задач оптимального керування |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5754 |
| work_keys_str_mv | AT semenovvv tipovístʹrozvâznostídeâkihzadačoptimalʹnogokeruvannâ |