Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности
The article presents a generalization of the theory of long-term damageability to the case of discrete fibrous composites with orthotropic inclusions.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5770 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности / Л.B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 72-77. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860149586481381376 |
|---|---|
| author | Назаренко, Л.B. |
| author_facet | Назаренко, Л.B. |
| citation_txt | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности / Л.B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 72-77. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The article presents a generalization of the theory of long-term damageability to the case of discrete fibrous composites with orthotropic inclusions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
Л. B. Назаренко
Деформативные свойства и долговременная
повреждаемость композитов с ортотропными
включениями при дробно-степенной функции
длительной микропрочности
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Л.П. Хорошуном)
The article presents a generalization of the theory of long-term damageability to the case of
discrete fibrous composites with orthotropic inclusions.
На основе моделей и методов механики стохастически неоднородных сред теория длитель-
ной повреждаемости однородного материала построена Л.П. Хорошуном как для одно-
родного материала [1], так и для зернистых и дискретно-волокнистых композитов. В на-
стоящей работе теория длительной повреждаемости обобщается на случай композитного
материала с эллипсоидальными ортотропными включениями. Предполагается, что матри-
ца является изотропной, в то время как включения обладают ортотропной симметрией
упругих свойств.
Рассматривается случай, когда процесс повреждаемости происходит в матрице компо-
зита. В основу структурной теории длительной повреждаемости композитных материалов
положены уравнения механики микронеоднородных сред стохастической структуры. Про-
цесс повреждаемости матрицы моделируется разрушением рассеянных микрообъемов ма-
териала и образованием на их месте стохастически расположенных микропор [2]. Критерий
разрушения единичного микрообъема характеризуется его длительной прочностью, опи-
сываемой дробно-степенной функцией зависимости времени хрупкого разрушения от сте-
пени близости эквивалентного напряжения к его предельному значению, характеризующе-
му кратковременную прочность по критерию Губера–Мизеса [3]. Предел кратковременной
микропрочности принимается случайной функцией координат, одноточечное распределение
которой описывается распределением Вейбулла [2]. Эффективные деформативные свойства
и напряженно-деформированное состояние композита стохастической структуры определя-
ются на основе стохастических уравнений упругости [4].
Построен алгоритм вычисления зависимостей микроповреждаемости матрицы дискрет-
но-волокнистого композита от времени, макронапряжений или макродеформаций от вре-
мени, а также приведены соответствующие кривые в случае дробно-степенной функции
долговечности.
1. Рассмотрим композитный материал, представляющий собой матрицу, армированную
случайно расположенными однонаправленными дискретными волокнами. Предполагается,
что матрица изотропная, а включения ортотропные, причем в процессе нагружения в мат-
рице возникают микроразрушения, которые моделируются случайно расположенными пус-
тыми микропорами квазисферической формы. Макронапряжения 〈σij〉 и макродеформации
〈εkl〉 композита связаны соотношениями
〈σij〉 = λ∗ijkl〈εkl〉 (i, j, k, l = 1, 2). (1)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Здесь λ∗ijkl — тензор эффективных упругих модулей, который является функцией моду-
лей упругости поврежденных компонентов λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl, объемного содержания включений c1
в матрице и параметров формы включений s2, s3 [4], т. е.
λ∗ijkl = λ∗ijkl(λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl, c1, s2, s3), s2 =
s2
s1
, s3 =
s3
s1
, (2)
где s1, s2, s3 — размеры полуосей эллипсоидальных включений в направлении координат-
ных осей соответственно.
Тензоры модулей упругости поврежденных компонентов λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl определяются [5]
через тензоры модулей упругости скелетов компонентов λ1
ijkl, λ
2
ijkl и их пористости p1, p2,
характеризующие поврежденность, т. е.
λ
[1]
ijkl = λ
[1]
ijkl(λ
1
ijkl, p1), λ
[2]
ijkl = λ
[2]
ijkl(λ
2
ijkl, p2). (3)
Если задан тензор макродеформаций 〈εkl〉 или макронапряжений 〈σij〉, то на основе
зависимостей (1) и соотношений
〈σr
ij〉 = λ
[r]
ijkl〈ε
r
kl〉 (r = 1, 2) (4)
можно определить средние напряжения и средние деформации поврежденного r-компонен-
та 〈σr
ij〉, 〈ε
r
kl〉 как функции макродеформаций или макронапряжений [4]
〈σr
ij〉 = f1
ij(〈εkl〉), 〈εrij〉 = f2
ij(〈εkl〉), 〈σr
ij〉 = f3
ij(〈σkl〉), 〈εrij〉 = f4
ij(〈σkl〉). (5)
При этом средние по скелету r-компонента напряжения σr
ij связаны со средними напряже-
ниями 〈σr
ij〉 поврежденного r-компонента зависимостями
σr
ij =
1
1 − pr
〈σr
ij〉 (r = 1, 2). (6)
Для случая, когда процесс накопления повреждений происходит в матрице, примем
критерий кратковременного разрушения в микрообъеме неповрежденной части материала
матрицы в форме Губера–Мизеса [3]
I2
σ = k2, I2
σ = (σ2
ij
′
, σ2
ij
′
)1/2, (7)
где σ2
ij
′
— девиатор средних по неповрежденной части материала матрицы касательных
напряжений; k2 — предельное значение инварианта I2
σ, являющееся случайной функцией
координат.
Если инвариант I2
σ для некоторого микрообъема материала матрицы не достигает со-
ответствующего предельного значения k2, то, согласно критерию длительной прочности,
разрушение произойдет по истечении некоторого промежутка времени τ2
k , длительность
которого зависит от степени близости I2
σ к предельному значению k2. В общем случае эту
зависимость можно представить в виде некоторой функции
τ2
k = ϕ(I2
σ, k2), (8)
причем ϕ(k2, k2) = 0, ϕ(0, k2) = ∞ согласно (7).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 73
Одноточечную функцию распределения F (k2) параметра k2 можно описывать на полу-
бесконечном интервале распределением Вейбулла:
F (k2) =
{
0, k2 < k0,
1 − exp(−m2(k2 − k0)
α2), k2 > k0,
(9)
где k0 — минимальная величина предельного значения k2, с которого начинается разруше-
ние в некоторых микрообъемах материала матрицы m2; α2 — постоянные, характеризую-
щие разброс микропрочности в материале.
Примем, что случайное поле предела микропрочности k2 является статистически одно-
родным, что характерно для реальных материалов, а размеры единичных микроразруше-
ний и расстояний между ними пренебрежимо малы по сравнению с размерами рассмат-
риваемого макрообъема материала. Тогда имеет место свойство эргодичности, согласно
которому функция распределения F (k2) определяет относительное содержание неразру-
шенной части материала матрицы, где предел микропрочности меньше соответствующего
значения k2. Поэтому при ненулевых напряжениях σ2
ij функция F (I2
σ) определяет, соглас-
но (7), (9), относительное содержание мгновенно разрушенных микрообъемов материала
матрицы. Так как разрушенные микрообъемы моделируются порами, то, принимая на-
чальную пористость матрицы равной p0, можем записать уравнение баланса разрушенных
микрообъемов или пористости при кратковременной повреждаемости [2]:
p2 = p0 + (1 − p0)F (I2
σ). (10)
Если напряжения в матрице σ2
jk действуют в течение некоторого времени t, то, соглас-
но критерию длительной прочности (8), за это время разрушатся микрообъемы с такими
значениями предела микропрочности k2, для которых имеет место неравенство
t > τ2
k = ϕ(I2
σ, k2), (11)
где инвариант I2
σ определяется выражениями (7).
Время τ2
k хрупкого разрушения для реальных материалов при невысоких температурах
имеет конечное значение, начиная только с некоторого значения I2
σ > 0. В этом случае
функцию долговечности ϕ(I2
σ , k2) можно представить, например, дробно-степенной зависи-
мостью [1]:
ϕ(I2
σ, k2) = τ02
(
k2 − I2
σ
I2
σ − γ2k2
)n2
, (γ2k2 6 I2
σ 6 k2, γ2 < 1). (12)
Здесь τ02 — некоторое характерное время, показатель n2 и коэффициент γ2 определяются
из аппроксимации экспериментальных кривых долговечности материала.
Подставляя (12) в (11), приходим к неравенству
k2 6 I2
σ
1 + t
1/n2
2
1 + γ2t
1/n2
2
(
t2 =
t
τ02
)
. (13)
Принимая во внимание определение функции распределения предела микропрочности
F (k2), приходим к выводу, что функция F [I2
σψ(t2)], где
ψ(t2) =
1 + t
1/n2
2
1 + γ2t
1/n2
2
, (14)
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
определяет относительное содержание разрушенных микрообъемов неразрушенной до на-
гружения части материала матрицы в момент времени t2. Тогда с учетом (6) уравнение ба-
ланса разрушенных микрообъемов или пористости при длительной повреждаемости можно
представить в виде
p2 = p0 + (1 − p0)F
[
I2
〈σ〉
1 − p2
ψ(t2)
]
, (15)
где пористость p2 является функцией безразмерного времени t2, а инвариант I2
〈σ〉 опре-
деляется выражением (6) и является функцией макродеформаций или макронапряжений,
согласно (4).
Уравнения баланса пористости (15) с учетом (6), (7), (14) в начальный момент t2 =
= 0 определяют кратковременную (мгновенную) поврежденность материала. С ростом
времени уравнения (15), (7), (14) определяют длительную его поврежденность, кото-
рая состоит из кратковременной и дополнительной поврежденности, развивающейся во
времени.
2. На основе соотношений (2), (3), (7), (14), (15) можно определить объемное содержа-
ние микроповреждений дискретно-волокнистого композита с ортотропными включениями
в матрице и напряженно-деформированное состояние для функции ψ(t2), определяемой
формулой (14), как при заданных макронапряжениях 〈σjk〉, так и при заданных макроде-
формациях 〈εjk〉. В качестве включений и матрицы взяты соответственно топаз и эпокси-
дная смола с характеристиками неповрежденной части:
λ1
11 = 287ΓΠa, λ1
22 = 365ΓΠa, λ1
33 = 300ΓΠa,
λ1
23 = 90ΓΠa, λ1
13 = 85ΓΠa, λ1
12 = 128ΓΠa,
λ1
44 = 110ΓΠa, λ1
55 = 135ΓΠa, λ1
66 = 133ΓΠa,
E2 = 3ΓΠa, ν2 = 0,35,
(16)
при объемной концентрации включений, начальном содержании пор в матрице и форме
включений:
c1 = 0,25; 0,5; 0,75, p0 = 0; s2 = 1, s3 = 3, (17)
а также при
k02 = 0,01ΓΠa; m2 = 1000; α2 = 2; γ2 = 0,5; n2 = 1. (18)
На рис. 1 изображены кривые зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 для
объемного содержания включений c1 = 0,25 при различных значениях макронапряжения
〈σ11〉, на рис. 2 — кривые зависимостей макродеформации 〈ε11〉 от времени t2 для объемных
содержаний включений c1 = 0,25 при различных значениях макронапряжения 〈σ11〉. Как
видим, при c1 = 0,25 для значений 〈σ11〉 = 0,016, 0,017, 0,018, 0,019, 0,020 ГПа рост макроде-
формаций и накопление повреждений во времени имеет горизонтальную асимптоту, т. е. его
характер аналогичный экспериментальным кривым для полимеров [6]. В случае же, когда
макронапряжения превосходят эти значения, для некоторых значений времени t2 макро-
деформации и поврежденность матрицы достигают критической величины, являющейся
началом разрушения материала.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 75
Рис. 1. Зависимость пористости матрицы p2 от времени t2 при различных значениях макронапряжения
Рис. 2. Зависимость макродеформации 〈ε11〉 от времени t2 при различных значениях макронапряжения
Рис. 3. Зависимость пористости матрицы p2 от времени t2 при различных значениях макродеформации
На рис. 3 приведены кривые зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 при
значениях макродеформации 〈ε11〉 = 0,006, 0,022, 0,036 и различных значениях объемного
содержания включений c1. На графиках сплошной линией показаны кривые при объемном
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Рис. 4. Зависимость макронапряжения 〈σ11〉 от времени t2 при различных значениях макродеформации
содержании включений c1 = 0,25, штриховой линией — при c1 = 0,5, пунктирной — при
c1 = 0,75. Такие же обозначения приняты и на рис. 4. Графики показывают, что с увеличе-
нием макродеформации 〈ε11〉 для всех объемных содержаний включений и произвольного
значения времени t2 микроповрежденность p2 увеличивается. Здесь наблюдается рост по-
врежденности со временем, в то время как в экспериментах с полимерами [6] при фиксиро-
ванной деформации поврежденность заметным образом не изменяется. Такое расхождение
можно объяснить как релаксацией напряжений в полимерах, обусловленной ползучестью,
которая здесь не учитывается, так и приближенностью рассматриваемой модели повреж-
даемости в конечновременной форме.
Рис. 4 иллюстрирует зависимости макронапряжения 〈σ11〉 от времени t2 при значениях
макродеформации 〈ε11〉 = 0,006, 0,022, 0,036 и различных значениях объемного содержания
включений c1. Как видим, при всех значениях объемного содержания включений кривые
являются нисходящими.
1. Khoroshun L.P. Principles of the micromechanics of material damage. 2. Long-term damage // Int. Appl.
Mech. – 2007. – 43, No 2. – P. 127–135.
2. Khoroshun L. P. Micromechanics of short-term thermal microdamageability // Ibid. – 2001. – 37, No 9. –
P. 1158–1165.
3. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 312 с.
4. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – Киев: Наук. думка, 1993. – 390 с. – (Механика композитов: В 12-ти т.
Т. 3).
5. Назаренко Л.В. Thermoelastic properties of orthotropic porous materials // Int. Appl. Mech. – 1997. –
33, № 2. – P. 114–122.
6. Тамуж В.П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. – Рига: Зинатне,
1978. – 294 с.
Поступило в редакцию 15.01.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 77
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5770 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:18Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назаренко, Л.B. 2010-02-04T16:00:55Z 2010-02-04T16:00:55Z 2008 Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности / Л.B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 72-77. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5770 539.3 The article presents a generalization of the theory of long-term damageability to the case of discrete fibrous composites with orthotropic inclusions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности Article published earlier |
| spellingShingle | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности Назаренко, Л.B. Механіка |
| title | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности |
| title_full | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности |
| title_fullStr | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности |
| title_full_unstemmed | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности |
| title_short | Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности |
| title_sort | деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с ортотропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5770 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkolb deformativnyesvoistvaidolgovremennaâpovreždaemostʹkompozitovsortotropnymivklûčeniâmipridrobnostepennoifunkciidlitelʹnoimikropročnosti |