Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5776 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 90-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860026212358815744 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 90-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:49:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2008
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.318.001.2
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Об особой формуле среднего значения тока
в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной
нагрузкой
A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and
an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function.
Во многих электротехнических цепях постоянного и переменного токов с индуктивной на-
грузкой применяются управляемые диоды (тиристоры, симисторы) [1–3]. Включаются эти
диоды устройствами управления по углу открывания диодов, закрывание осуществляется
либо уменьшением тока в полуволне его протекания до нуля, либо изменением полярно-
сти напряжения цепи. Графическое изображение управляемого тока в цепи с тиристорами
представлено на рис. 1, где а — напряжение на нагрузке в цепи переменного тока; б — на-
пряжение на нагрузке в цепи постоянного тока с двухполупериодным выпрямлением; ϕ —
угол открывания тиристора.
Рис. 1
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Среднее значение тока, соответствующего формату тока, изображенного на рис. 1, при
активном сопротивлении нагрузки RH определяется выражением [4]
Icpϕ =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
Im sin(ωt ± ϕ)dt =
−2Im
Tω
[cos(ωt ± ϕ)]
T/2
ϕ/ω =
=
−2Im
Tω
[cos ωt cos(−ϕ) ∓ sin ωt sin(−ϕ)]
T/2
−ϕ/ω =
Im
π
(1 + cos ϕ), (1)
где Im — амплитуда тока; ω — круговая частота (ω = 2πf , f — частота, Гц; T = 2π/ω =
= 1/f — период изменения тока i(t).
Как видно из рис. 1, ток i(t) в цепи появляется в виде импульсов (это при активной
нагрузке RH резистора), при индуктивной нагрузке (L), особенно, если постоянная времени
цепи τ = L/R мала. После каждого такого импульса в цепи происходит переходный процесс,
и в этом случае мгновенное и среднее значения тока i(t), Icp изменяются по сравнению с i(t)
при активной нагрузке (1). Следует отметить, что при открывании тиристоров к нагрузке
цепи (zH) прикладывается напряжение U(t) такого же вида, как показано на рис. 1. Перед-
ний фронт каждого импульса напряжения есть скачкообразная функция 1(t)Um(± sin ϕ) —
для цепи переменного тока и 1(t)Um sin ϕ — для цепи выпрямленного переменного тока.
Согласно работам [5, 6], скачкообразные функции 1(t) могут быть представлены в виде
особых (сингуларисных) разложений вида
E1(t) = E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αtE
n
∑
k=1
Umk cos ωkt, (2)
U(t)1(t) = 1(t)Um sin(ωt ± ϕ) = Umℓ−αt sin(±ϕ) + Um(1 − ℓ−αt) sin(ωt ± ϕ) +
+ |Um|ℓ−αt
n
∑
k=1
Umk sinωkt, (3)
где
n
∑
k=1
Umk = 1; Um1 = 1/π; Umk = Um1/k; k = ωk/ω1; α — коэффициент затухания.
Разложение (2) относится к цепям с постоянным входным напряжением, а разложе-
ние (3) — к входным напряжениям цепей переменного тока при обязательном условии, что
| ± ϕ| > 0. При ϕ = 0 U(t) = Um sin ωt и указанное разложение (3) отсутствует.
Заметим, что в нашем случае как для цепи выпрямленного переменного тока, так и для
цепи переменного тока, применимо разложение (3). Вследствие того, что при каждом им-
пульсе напряжения на нагрузке (zH) начинается переходный процесс в цепи, можно считать,
что момент открывания тиристора (угол ϕ) является начальным для переходного процес-
са тока (t = 0). Тогда график одного импульса напряжения Uнагр представим на рис. 2,
откуда видно, что при t = 0 U = Um sin ϕ.
К таким импульсам напряжения на нагрузке в электроцепи переменного тока примени-
мо сингуларисное разложение вида (3). Проверим правильность такого разложения. При
t = 0 U(0) = Um sin ϕ, при t = ∞ U(t) = Um sin(ωt + ϕ), при α = ∞ (исключение 1(t))
U(t) = Um sin(ωt + ϕ). То есть представленное разложение при данных условиях соот-
ветствует классическому представлению U(t) = Um sin(ωt + ϕ). Для дальнейшего вывода
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 91
Рис. 2
формулы среднего значения тока i(t) будем считать, что цепь с последовательным соеди-
нением резистора R и индуктивности L является линейной. Методика вывода формулы Icp
следующая: вначале определяется i(t) с учетом переходных процессов, а затем
Icp =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
i(t) dt. (4)
Дифференциальное уравнение рассматриваемой электроцепи с учетом (3) имеет вид
Umℓ−αt sin ϕ + Um(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + |Um|ℓ−αt
n
∑
k=1
Umk sin ωkt = Ri + L
di
dt
. (5)
Применяя далее к линейной цепи RL принцип суперпозиции [4], получим выражение
тока i(t) в виде
i = i0 + i1 +
n
∑
k=2
ik. (6)
В соответствии с (6) уравнение (5) представим суммой уравнений
Umℓ−αt sin ϕ = Ri0 + L
di0
dt
, (7)
Um(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) = Ri1 + L
di1
dt
, (8)
|Um|ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Umk sin ωkt =
n
∑
k=2
(
Rik + L
dik
dt
)
. (9)
Уравнения (7)–(9) решаем операторным методом с помощью преобразований Карсо-
на [7], т. е. точно так, как представлено в работе [6]. Отличием является формула для тока
i1(t). Поэтому на основании [6] запишем здесь оригиналы токов i0(t), ik(t), k = 2, n, в виде
i0(t) =
Um sin ϕ
L
(e−δt − e−αt)
α − δ
, (10)
где δ = R/L — коэффициент затухания RL цепи;
ik(t)
k=2,n
=
|Um|Umkωk
L[(α − δ)2 + ω2
k
]
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[(δ − α) sin ωkt − ωk cos ωkt]
}
. (11)
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Заметим, что при t = 0 и t = ∞ i0 = ik = 0. При α = ∞ i0 = ik = 0.
Уравнение (8) в изображениях Карсона имеет вид
Um
[
p2 sin ϕ + ωp cos ϕ
p2 + ω2
−
p(p + α) sin ϕ + ωp cos ϕ
(p + α)2 + ω2
]
= i1(p)L(δ + p),
откуда
i1(p) =
Um
L
{
p2 sin ϕ + ωp cos ϕ
(δ + p)(p2 + ω2)
−
p(p + α) sin ϕ + ωp cos ϕ
(δ + p)[(p + α)2 + ω2]
}
. (12)
Из (12) видно, что i1(p) имеет четыре составляющих:
i11(p) =
Um
L
[
p2 sin ϕ
(δ + p)(p2 + ω2)
]
, i12(p) =
Um
L
[
ωp cos ϕ
(δ + p)(p2 + ω2)
]
,
i13(p) = −
Um
L
{
p(p + α) sin ϕ
(δ + p)[(p + α)2 + ω2]
}
, i14(p) = −
Um
L
{
ωp cos ϕ
(δ + p)[(p + α)2 + ω2]
}
.
Определим оригиналы этих изображений по таблицам [7]
i11(t) =
Um
L
sin ϕ
[
1
δ2 + ω2
(δ cos ωt + ω sin ωt − δℓ−δt)
]
, (13)
i12(t) =
Umω cos ϕ
L
[
1
δ2 + ω2
(
ℓ−δt +
δ
ω
sin ωt − cos ωt
)]
, (14)
i13(t) = −
Um cos ϕ
L
〈
1
(α−δ)2+ω2
{
−δℓ−δt+
ℓ−αt
ω
[ωδ cos ωt+(ω2+α2+αδ sin ω)]
}
+
+
α
(α − δ)2ω2
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ω
[−ω cos ωt + (δ − α) sin ωt]
}〉
, (15)
i14(p) = −
Umω cos ϕ
L
1
(α − δ)2 + ω2
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ω
[−ω cos ωt + (δ − α) sin ωt]
}
. (16)
Итак,
i1(t) = (13) + (14) + (15) + (16). (17)
При t = 0 i11 = i12 = i13 = i14 = 0, при α = ∞ i13 = i14 = 0, при t = ∞ i1(t) = Ia sin(ωt+
+ Ψ), где Ia = (Um/(L(δ2 + ω2)))
√
A2 + B2, A = ω sin ϕ + δ cos ϕ, B = ω cos ϕ − δ sinϕ,
Ψ = arctg B/A [8].
Перейдем к определению средних значений токов i0, i1,
n
∑
k=2
ik по формуле (4) с уче-
том (10), (11), (17)
Icp0 =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
i0(t)dt =
Umω sin ϕ
π
[
1
δ
(ℓ−δϕ/ω − ℓ−δπ/ω) +
1
α
(ℓ−αϕ/ω − ℓ−απ/ω)
]
, (18)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 93
Icp11 =
2
T
T/2
∫
+ϕ/ω
Um sinϕ
L
[
1
δ2 + ω2
(δ cos ωt + ω sin ωt − δℓ−δt)
]
dt =
=
Umωs sinϕ
πL(δ2 + ω2)
(
1 −
δ
ω
sin
ϕ
ω
+ cos
ϕ
ω
+ ℓ−δπ/ω − ℓ−δϕ/ω
)
, (19)
Icp12 =
2
T
T/2
∫
+ϕ/ω
Umω sinϕ
L(δ2 + ω2)
(
ℓ−δt +
δ
ω
sin ωt − cos ωt
)
dt =
=
Umωs2 sin ϕ
πL(δ2 + ω2)
{
δ
[
ℓ−δϕ/ω − ℓ−δπ/ω +
1
ω2
(
1 + cos
ϕ
ω
)
−
1
ω
sin
ϕ
ω
]}
, (20)
Icp13 = −
2Um sinϕ
TL[(α − δ)2 + ω2]
[
(α − δ)
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−δtdt − ω
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−αt sin ωtdt +
+ (α − δ)
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−αt cos ωtdt
]
. (21)
Для сокращения записи (21) представим в виде
Icp13 = a
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−δtdt + b
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−αt sin ωtdt + c
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−αt cos ωtdt, (22)
где a, b, c — соответственно коэффициенты при интегралах в (21),
Icp13 = a
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−δtdt = −
a
δ
ℓ−δt
∣
∣
∣
∣
T/2
+ϕ/ω
=
a
δ
(ℓ−ϕδ/ω − ℓ−δT/2). (23)
В (22) второй и третий интегралы вычислим методом по частям [8]. В результате по-
лучаем
b
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−δt sin ωtdt =
bω
α2 + ω2
[
ℓ−απ/ω − ℓ−αϕ/ω
(
cos
ϕ
ω
−
α
ω2
sin
ϕ
ω
)]
, (24)
c
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−δαt cos ωtdt =
cω
ω2 + α2
[
ℓ−αϕ/ω sin
ϕ
ω
+ α
(
ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω cos
ϕ
ω
)]
. (25)
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Таким образом, Icp13, выраженное через (23) с учетом (23)–(25), запишем в виде
−Icp13 =
a
δ
(ℓ−ϕδ/ω + ℓ−δπ/ω) +
bω
α2 + ω2
{
ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω
(
cos
ϕ
ω
+
α
ω2
sin
ϕ
ω
)
+
+
cω
α2 + ω2
[
−ℓ−αϕ/ω sin
ϕ
ω
+ α
(
ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω cos
ϕ
ω
)]
=
=
a
δ
(ℓ−ϕδ/ω + ℓ−δπ/ω) +
ωℓ−απ/ω
α2 + ω2
(b + cα) +
ω
α2 + ω2
ℓ−αϕ/ω(b + cα) −
−
ω
α2 + ω2
ℓ−αϕ/ω
(
sin
ϕ
ω
)
(c − bα)
}
. (26)
Icp14 =−
2Umω cos ϕ
TL
1
[(α − δ)2 + ω2]
T/2
∫
+ϕ/ω
{
ℓ−δt+
ℓ−αt
ω
[−ω cos ωt+(δ−α) sin ωt]dt
}
=
= −
2Umω cos ϕ
TL
1
[(α − δ)2 + ω2]
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−δtdt +
2Umω cos ϕ
TL
1
[(α − δ)2 + ω2]
×
×
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−αt cos ωtdt −
2Um cos ϕ(δ − α)
Tα[(α − δ)2 + ω2]
T/2
∫
+ϕ/ω
ℓ−αt sin ωtdt =
= d
T/2
∫
+ϕω
ℓ−δtdt + g
T/2
∫
+ϕω
ℓ−αt cos ωtdt + f
T/2
∫
+ϕω
ℓ−αt sin ωtdt, (27)
где d, g, f — соответственно коэффициенты при интегралах (27). Эти интегралы равны
интегралам в (23), (24), (25). При этом в (27) вместо a из (23) необходимо подставить d,
вместо b из (25) — g и вместо c из (25) — f . Тогда
Icp14 =
d
δ
(ℓ−δϕ/ω − ℓ−δπ/ω) +
ϕω
α2 + ω2
[
ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω
(
cos
ϕ
ω
+
α
ω2
sin
ϕ
ω
)]
+
+
fω
α2 + ω2
[
−ℓ−αϕ/ω sin
ϕ
ω
+ α
(
ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω cos
ϕ
ω
)]
. (28)
Далее найдем среднее значение суммы затухающих токов ik(t), k = 2, n. Пределы ин-
тегрирования возьмем 0 ÷ Tk/2. Тогда
Icpk =
2|Um|
mkTkL
mkTk/2
∫
0
Umkωk
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[(δ − α) sin ωkt − ωk cos ωkt]
}
=
=
2|Um|Umkωk
mkTkL[(α−δ)2+ω2
k]
mkTk/2
∫
0
ℓ−δtdt +
2|Um|Umk(δ−α)
mkTkL[(α − δ)2 + ω2
k]
mkTk/2
∫
0
ℓ−αt sin ωktdt −
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 95
−
2|Um|Umkωk
mkTkL[(α − δ)2 + ω2
k]
mkTk/2
∫
0
ℓ−αt cos ωktdt =
= h
mkTk/2
∫
0
ℓ−δtdt + n
mkTk/2
∫
0
ℓ−αt sin ωktdt + r
mkTk/2
∫
0
ℓ−αt cos ωktdt, mk =
T
Tk
, (29)
где h, n, r — соответственно коэффициенты при интегралах в (29),
h
mkTk/2
∫
0
ℓ−δtdt =
h
δ
(1 − ℓ−δπ/ωk), (30)
n
mkTk/2
∫
0
ℓ−αt sin ωktdt =
nωk
(α2 + ω2
k)
(1 + ℓ−απmk/ωk), (31)
r
mkTk/2
∫
0
ℓ−αt cos ωktdt =
rα
(α2 + ω2
k)
(1 + ℓ−απmk/ωk). (32)
Итак,
Icpk =
n
∑
k=2
(30) + (31) + (32) =
=
n
∑
k=2
h
δ
(1 − ℓ−δπmk/ωk) + (nωk + rα)
1
α2 + ω2
k
(1 + ℓ−απmk/ωk), (33)
а среднее значение
n
∑
k=2
Icpk с учетом (30)–(33) определяется так:
n
∑
k=2
Icpk =
n
∑
k=2
h
δ
(1 − ℓ−δπmk/ωk) + (nωk + rα)
1
α2 + ω2
k
(1 + ℓ−απmk/ωk). (34)
Таким образом, в результате проведенного исследования получена формула среднего
значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и с индуктивной нагрузкой. Для
краткости запишем эту формулу в виде
Icp = Icp0 +
4
∑
l=1
Icp1l +
n
∑
k=2
Icpk = (18) + (19) + (20) + (26) + (28) + (34). (35)
Формула (35), несмотря на свою громоздкость, более точно отражает процессы, проис-
ходящие в электроцепи. Заметим, что при каждом импульсе напряжения на индуктивной
нагрузке ток i(t) в начальном участке изменяется медленно из-за наличия гармоник ik(t),
k = 2, n, обусловливающих эффект автоматической реструктуризации цепи [9]. В связи
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Рис. 3
с затуханием этих гармоник в каждом переходном процессе Icp цепи уменьшается по срав-
нению с (1). Пояснением к этому может быть график переходных процессов, изображен-
ных на рис. 3, где UH — импульс напряжения на индуктивной нагрузке; i — ток в цепи,
рассчитанный обычным методом [4, 7]; ip — ток, рассчитанный с учетом сингуларисного
разложения (3) напряжения UH .
Как видно из рис. 3, ток i(t) нарастает в начальном участке быстрее тока ip(t). В по-
следнем, как было отмечено, из-за наличия гармоник |Um|ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=2
Umk sinωkt в напря-
жении UH(t) при использовании разложения (3) и автоматической реструктуризации RL
цепи [9] происходит медленное нарастание тока ip. Разница между i(t) и ip(t) обозначена
на рис. 3 заштрихованным участком. Эта разница обусловливает уменьшение Icp(t, ip) по
сравнению с Icp(t, i), что необходимо учитывать в расчетах на практике.
1. Брухман С.С., Трофимов Н.А. Тиристорные переключатели переменного тока. – Москва: Энергия,
1969. – 64 с.
2. Евсеев Ю.А., Крылов С.С. Симисторы и их применение в бытовой электроаппаратуре. – Москва:
Энергоатомиздат, 1999. – 120 с.
3. Энергетическая электроника: Справочное пособие / Под ред. В.А. Лабунцова. – Москва: Энергоато-
миздат, 1987. – 461 с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
5. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Украї-
ни. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
6. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Там само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
7. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
8. Бронштейн И. Н, Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
9. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
Поступило в редакцию 20.07.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 97
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5776 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:49:53Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2010-02-04T16:40:53Z 2010-02-04T16:40:53Z 2008 Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 90-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5776 621.318.001.2 A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой Article published earlier |
| spellingShingle | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой |
| title_full | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой |
| title_fullStr | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой |
| title_full_unstemmed | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой |
| title_short | Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой |
| title_sort | об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5776 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae obosoboiformulesrednegoznačeniâtokavélektrocepisupravlâemymidiodamiiinduktivnoinagruzkoi |