О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов
The formulas for the moments, cumulants, and spectral densities of a combination of stochastic and polyharmonic processes are given.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5783 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 52-58. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860253064723693568 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. |
| citation_txt | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 52-58. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The formulas for the moments, cumulants, and spectral densities of a combination of stochastic and polyharmonic processes are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:45:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 620.178.3
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, В.Е. Корсун
О числовых и спектральных характеристиках
комбинации стохастического и полигармонического
вибрационных процессов
The formulas for the moments, cumulants, and spectral densities of a combination of stochastic
and polyharmonic processes are given.
Эксплуатационные вибрации на транспорте, судах, самолетах, космических аппаратах и др.
представляют, в основном, стохастически-детерминированные механические процессы [1, 2].
Изучение их характеристик необходимо для решения задач по их воспроизведению при
стендовых испытаниях объектов, предназначенных для эксплуатации в условиях действия
смешанных (стохастически-детерминированных) динамических нагрузок. Смешанные виб-
рации могут представлять собой аддитивную yа(t) = ξ(t)+x(t), мультипликативную yм(t) =
= ξ(t)x(t) и обобщенную смеси [3] yо(t) = x1(t)ξ(t)+x2(t), где ξ(t) — стохастический процесс;
x1,2(t) =
N
∑
k=1
A1,2k sin(ωkt + ϕk) — квазидетерминированный полигармонический процесс
(t — время; A1,2k — амплитуда; ωk — круговая частота; ϕk — сдвиг фаз). Помимо функции
и плотности распределения вероятности стохастического процесса в вычислительной прак-
тике широко используются числовые и спектральные характеристики закона распределения
вероятности — моменты, кумулянты, спектральные плотности, спектральные функции и др.
С помощью этих характеристик и операций над ними удается решать вероятностные задачи
без использования законов распределения. В данном исследовании считаем, что смешанный
вибропроцесс является стационарным и эргодическим.
Для аддитивного процесса моменты определяются соотношениями [4]
My
s = lim
r→∞
1
r
r
∫
0
[y(t)]sdt, s = 1, 2, 3, . . . ,
для начальных моментов и
my
sц = lim
r→∞
1
r
r
∫
0
[y(t) − M1]
sdt, s = 2, 3, 4, . . . , (1)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
для центральных моментов. Здесь r = T = 2π/ω1 — при кратных частотах ωk = kω1 и
r → ∞ — при несоизмеримых частотах ωk. Полагая, что смешанный процесс y(t) является
центрированным (My
1 = 0), перепишем (1) в виде
my
s = lim
r→∞
1
r
r
∫
0
[ξ(t) + x(t)]sdt = 〈[ξ(t) + x(t)]s〉, (2)
где 〈·〉 — операция осреднения по времени.
Возводя y(t) в степень S, получим
my
s =
〈
s
∑
l=0
C l
sx(t)s−lξl(t)
〉
. (3)
Выражение для центральных моментов можно также получить с помощью характерис-
тической функции Θy(υ). Функция Θy(υ) смешанных колебаний определяется на основе
Фурье-преобразования плотности вероятности
Θy(υ) =
∞
∫
−∞
Py(u)eiuυdu = lim
r→∞
1
r
r
∫
0
eiυy(t)dt. (4)
Из (4), используя выражение [5]
dsΘy(υ)
dυs
∣
∣
∣
∣
υ=0
= ismy
s ,
получаем центральные моменты смешанных процессов в виде (2), а затем и (3).
Наряду с моментами статистическими характеристиками являются кумулянты κs (се-
миинварианты) [6], определяемые выражением
κs = i−s ds ln Θ(υ)
dυs
∣
∣
∣
∣
υ=0
.
Здесь функция Θ(υ) может быть разложена в ряд Маклорена с использованием момен-
тов ms
Θ(υ) = 1 +
∞
∑
s=1
(iυ)s
s!
ms (5)
и кумулянтов
Θ(υ) = exp
[
∞
∑
s=1
(iυ)s
s!
κs
]
. (6)
Согласно выражениям (5) и (6), между моментами ms и кумулянтами κs существуют
взаимозависимости [6]. Рассмотрим определение числовых характеристик процесса ya(t) =
= ξ(t)+x(t) в случае, когда ξ(t) — стационарный гауссовский процесс с дисперсией Dξ = σ2
ξ .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 53
Центральные моменты my
s процесса yа вычисляем по формуле (3), преобразованной
с учетом свойств операции [7] определения математического ожидания
my
2 = 〈ξ2(t)〉 + 〈x2(t)〉 + 2(〈ξ(t)〉〈x(t)〉),
my
3 = 〈ξ3(t)〉 + 3〈ξ2(t)〉〈x(t)〉 + 3〈ξ(t)〉〈x2(t)〉 + 〈x3(t)〉,
my
4 = 〈ξ4(t)〉 + 4〈ξ3(t)〉〈x(t)〉 + 6〈ξ2(t)〉〈x2(t)〉 + 4〈ξ(t)〉〈x3(t)〉 + 〈x4(t)〉,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
my
s =
s
∑
j=0
Cj
s〈xs−j(t)〉〈ξj(t)〉.
Заметим, что нечетные центральные моменты 〈ξ2s+1(t)〉 стохастической составляющей
ξ(t) равны нулю, а четные выражаются через ее дисперсию
mξ
2s = 〈ξ2s(t)〉 = (2s − 1)!!σ2s
ξ . (7)
С учетом (7) первые шесть моментов процесса yа записываются в виде
My
1 = 0, my
4 = mx
4 + 3σ4
ξ + 6mx
2σ2
ξ ,
my
2 = mx
2 + mξ
2, my
5 = mx
5 + 10mx
3σ2
ε ,
my
3 = mx
3 , my
6 = mx
6 + 15σ6
ξ + 15mx
4 .
(8)
При вычислении моментов по формулам (8) необходимо воспользоваться выражениями
для центральных моментов mx
s , приведенных в работах [8, 9].
По вычисленным my
s можно определить κy
s
κy
1 = My
1 , κy
4 = my
4 − 3(my
2)
2,
κy
2 = my
2, κy
5 = my
5 − 10my
2m
y
3,
κy
3 = my
3, κy
6 = my
6 − 15my
2m
y
4 − 10(my
3)
2 + 30(my
2)
3.
(9)
Выражение (9) соответствуют yа при x(t) с кратными частотами ωk = kω1. Для x(t)
с несоизмеримыми ωk и ω1 можно рекомендовать следующее вычисление кумулянтов κy
s .
Так как в yа ξ(t) и x(t) статистически независимы, то [6]
κy
s = κξ
s +
N
∑
k=1
κx
sk. (10)
Кроме того, известно [10], что гауссовский процесс ξ(t) обладает только двумя первыми
κξ
1 = M ξ
1 , κξ
2 = σ2
ξ отличными от нуля кумулянтами. Поскольку ξ(t) является центрирован-
ным, то (10) запишем в виде
κy
2 = κx
2 + κξ
2 =
N
∑
k=1
κx
sk+κξ
2,
κy
s =
N
∑
k=1
κx
sk, s = 3, 4, . . . .
(11)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Кумулянты отдельных гармоник κx
sk можно вычислить по формулам (9) через централь-
ные моменты гармоник
κx
2sk =
(2s − 1)!!
2ss!
A2s
k ,
mx
(2s−1)k = 0, s = 1, 2, . . . .
(12)
Подставляя (12) в (9), получим
κx
2k = Dk, κx
3k = 0, κx
4k = −3
2
D2
k, κx
5k = 0, κx
6k = 10D3
k, (13)
где Dk = A2
k/2 — дисперсия k-й гармоники.
Кумулянты суммарного ya(t) в соответствии с (13) имеют вид
κy
2 = σ2
ξ +
N
∑
k=1
Dk, κy
3 = 0, κy
4 = −3
2
N
∑
k=1
D2
k, κy
5 = 0, κy
6 = 10
N
∑
k=1
D3
k.
Для x(t) с кратными частотами
κy
2 = κx
2 + κξ
2, κy
3 = κx
3 , κy
4 = κx
4 , κy
5 = κx
5 , κy
6 = κx
6 .
Третий и четвертый кумулянты определяют асимметрию и эксцесс соответственно про-
цесса ya(t).
Для вычисления моментов мультипликативной смести yм(t) воспользуемся выражением
My
s =
∞
∫
−∞
usPy(u)du, s = 3, 4, . . . ,
в которое подставим выражение для плотности распределения этой смеси
Py(υ) =
1
rσξ
√
2π
r
∫
0
1
|x(t)| exp
(
− υ2
2σ2
ξ
x2(t)
)
dt,
выведенное авторами в процессе данного исследования. В результате получим
my
s =
1
r
√
2πσ2
ξ
∞
∫
−∞
us
r
∫
0
1
|x(t)| exp
(
− u2
2σ2
ξ
x2(t)
)
dt. (14)
Изменяя в (14) очередность интегрирования и интегрируя, находим центральные мо-
менты yм(t) в виде
my
2s = (2s − 1)!!σ2s
ξ
1
r
r
∫
0
x2s(t)dt, s = 1, 2, . . ..
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 55
Центральные моменты обобщенного вибропроцесса yo(t) определяются по правилу сло-
жения моментов (см. (14), (15)). Так центральный четвертый момент yo(t) равен
my
4 = 3σ4
ξm
x1
4 + mx2
4 + 6σ2
ξm
x1
2 mx2
2 .
Кумулянты yo(t) вычисляются в соответствии с правилом сложения кумулянтов незави-
симых случайных величин через кумулянты κξx1
5 и κx2
5 , либо через центральные моменты
на основании (9). Далее перейдем к вычислению спектральных характеристик смешанных
вибропроцессов.
Так как преобразование Фурье линейно, то спектральная плотность sy(ω) процесса ya(t)
равна
sy(ω) = sx(ω) + sξ(ω).
Спектральная плотность процесса x(t) равна [11]
sx(ω) =
N
∑
k=1
A2
k
2
δ(ω − ωk).
В качестве ξ(t) выберем стационарный, нормальный, ограниченный по частоте белый шум s
sξ(ω) =
{
c, ωmin 6 ω 6 ωmax
0, ω < ωmin, ω > ωmax
}
,
где c — амплитуда (интенсивность) белого шума.
Важной спектральной характеристикой является спектральная функция
Gy(ω) =
∫
sy(ω)dω,
являющаяся первообразной спектральной плотности sy(ω)Gx(ω) процесса x(t) является ли-
нейной комбинацией
Gx(ω) =
N
∑
k=1
A2
k
2
η(ω − ωk)
единичных функций. Для ya(t)
Gy(ω) = Gx(ω) + Gξ(ω),
где
Gξ(ω) =
0 при ω < ωmin,
cω при ωmin 6 ω 6 ωmax,
σ2
ξ при ω > ωmax.
При решении вероятностных задач [12] также используются числовые характеристики
спектра мощности в виде спектральных моментов
λl =
∞
∫
0
s(ω)ωldω. (15)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Учитывая, что sy(ω) заключена в интервал частот [ωmin, ωmax], преобразуем (15) к виду
λl =
c
l + 1
(ωmin − ωmax)
l+1 +
N
∑
k=−1
A2
k
2
(ωk)
2.
Используя известное для линейных систем соотношение [13]
Sy(ω) = |H(jω)|2SB
y (ω), j =
√
−1,
где H(jω) — передаточная функция системы; SB
y (ω) — спектральная плотность входного
воздействия yB(t); y(t) — реакция системы с H(jω), получим
λy
l = c
ωmax
∫
ωmin
ωl|H(jω)|2dω +
N
∑
k=−1
A2
k
2
ω2
k|H(jωk)|2
для спектральных моментов установившихся колебаний системы.
Спектральная плотность мультипликативной смеси yм(t) записывается в виде суммы N
спектральных плотностей
Sум(ω) =
N
∑
k=−1
A2
k
4
[Sξ(ω − ωk) + Sξ(ω + ωk)],
амплитудно-модулированных белым шумом гармоник [14].
На основе полученных результатов спектральная плотность syω обобщенного процесса
yo(t) определяется как сумма
sуо(ω) = sум(ω) + sx(ω),
где sум(ω) — спектральная плотность мультипликативной смеси yм(t); sx(ω) — спектральная
плотность полигармонического процесса x(t).
Таким образом, в результате данного исследования выведены формулы числовых и
спектральных характеристик смешанного процесса вибраций в виде аддитивной, мульти-
пликативной и обобщенной (аддитивного совместно с мультипликативным) смесей стохас-
тического и полигармонического процессов.
1. Случайные колебания / Под ред. С. Крендела. – Москва: Мир, 1967. – 356 с.
2. Божко А.Е. Воспроизведение вибраций. – Киев: Наук. думка, 1975. – 190 с.
3. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. – Москва: Маши-
ностроение, 1984. – 240 с.
4. Кощеев А.А., Дударева В.И. Математические модели случайных процессов в задачах имитации экс-
плуатационных вибраций // Пробл. машиностроения. – 1981. – Вып. 13. – С. 29–33.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – Москва: Наука, 1973. – 720 с.
6. Малахов А.Н. Кумулятивный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. –
Москва: Сов. радио, 1978. – 376 с.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – Москва: Наука, 1969. – 576 с.
8. Коловский М.З. О замене случайных вибрационных воздействий полигармоническим процессом //
Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение. – 1963. – № 2. – С. 93–101.
9. Божко А. Е., Штейнвольф А.Л. Воспроизведение полигармонических вибраций при стендовых ис-
пытаниях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 167 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 57
10. Лившиц Н.А., Пугачев В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления. Т. 1. –
Москва: Сов. радио, 1963. – 896 с.
11. Левин Б. З. Теоретические основы статистической радиотехники. – Москва: Сов. радио, 1974. –
Кн. 1. – 552 с.
12. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – Москва: Мир, 1969. – 398 с.
13. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. – Москва: Наука, 1979. – 335 с.
14. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – Москва: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. – 236 с.
Поступило в редакцию 29.05.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 539.3
© 2008
Г.Д. Гавриленко, В.И. Мацнер
Влияние осесимметричных несовершенств на частоты
колебаний нагруженных ребристых оболочек
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины И.С. Чернышенко)
A new approach to the problem of cylindrical shell vibrations is used for the estimation of
oscillation frequencies of shells with initial local axisymmetric deflection. The analytic solutions
and the results of calculation are presented.
1. Методика аналитического расчета частот колебаний и критических нагру-
зок подкрепленных цилиндрических оболочек с осесимметричными вмятинами
и выпучинами. Рассматриваются нагруженные осевыми сжимающими силами цилинд-
рические оболочки, подкрепленные ребрами жесткости в двух направлениях и имеющие
осесимметричные начальные прогибы в виде вмятин и выпучин (рис. 1). Части оболочки
ℓn+1 − ℓn (n = 1, 2, 3, . . . , N , где N — число вмятин) вследствие наличия начальных проги-
бов будут искривлены вдоль образующей по радиусам ρn и рассматриваются как оболочки,
близкие по форме к цилиндрическим с радиусами кривизны r, ρn. Полагается, что радиус r
Рис. 1. Схема нагруженной оболочки
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5783 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:45:10Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. 2010-02-05T11:44:15Z 2010-02-05T11:44:15Z 2008 О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 52-58. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5783 620.178.3 The formulas for the moments, cumulants, and spectral densities of a combination of stochastic and polyharmonic processes are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов Article published earlier |
| spellingShingle | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов Божко, А.Е. Корсун, В.Е. Механіка |
| title | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов |
| title_full | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов |
| title_fullStr | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов |
| title_full_unstemmed | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов |
| title_short | О числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов |
| title_sort | о числовых и спектральных характеристиках комбинации стохастического и полигармонического вибрационных процессов |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5783 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae očislovyhispektralʹnyhharakteristikahkombinaciistohastičeskogoipoligarmoničeskogovibracionnyhprocessov AT korsunve očislovyhispektralʹnyhharakteristikahkombinaciistohastičeskogoipoligarmoničeskogovibracionnyhprocessov |