Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов

В работе предложены две формы записи признака сравнения в предельной форме для оценки сходимости числовых рядов и несобственных интегралов. Показано, что обобщенно гармонический ряд имеет намного большие возможности, чем это было принято. В частности, доказано, что обобщенно гармонический ряд может...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Штучний інтелект
Дата:	2012
Автори:	Мироненко, Л.П., Петренко, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2012
Теми:	Обучающие и экспертные системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/57893
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко // Штучний інтелект. — 2012. — № 4. — С. 499-506. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860270736237658112
author	Мироненко, Л.П. Петренко, И.В.
author_facet	Мироненко, Л.П. Петренко, И.В.
citation_txt	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко // Штучний інтелект. — 2012. — № 4. — С. 499-506. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Штучний інтелект
description	В работе предложены две формы записи признака сравнения в предельной форме для оценки сходимости числовых рядов и несобственных интегралов. Показано, что обобщенно гармонический ряд имеет намного большие возможности, чем это было принято. В частности, доказано, что обобщенно гармонический ряд может быть использован в качестве эталонного для получения признаков Даламбера и Коши. Признак с параметром позволяет широко использовать правило Лопиталя для оценки сходимости рядов. У роботі запропоновано дві форми ознаки порівняння в граничній формі для оцінки збіжності числових рядів і невластивих інтегралів. Доведено, що гармонічний ряд загального вигляду має значно більше можливостей, ніж це прийнято в офіційній літературі. Наприклад, використання цієї ознаки дозволяє сформулювати підсилену необхідну ознаку збіжності числових рядів і може бути застосовано до отримання ознак Даламбера і Коші. Запис ознаки з параметром дозволяє ефективно використовувати правило Лопиталя, щодо оцінки збіжності рядів. In the paper, two forms of limiting comparison tests for estimation of convergence of the number series and improper integrals are proposed. It is shown that the Riemann zeta-function allows to formulate the new necessary test of convergence of the series to get such well-known tests as Cauchy’s Root Test and d’Alembert’s Ratio Test. The new test with a parameter allows to use l’Hopital’s rule more effectively.
first_indexed	2025-12-07T19:06:09Z
format	Article
fulltext	«Штучний інтелект» 4’2012 499 6М УДК 51(071) Л.П. Мироненко, И.В. Петренко Донецкий национальный технический университет Украина, 83001, г. Донецк, ул. Артема, 58, mironenko.leon@yandex.ru, eagor0@mail.ru Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов L.P. Mironenko, I.V. Petrenko Donetsk National Technical University Ukraine, 83001, c. Donetsk, Artema st., 58, mironenko.leon@yandex.ru, eagor0@mail.ru Test of Comparison with Parameter in the Theory of Number Series Л.П. Мироненко, І.В. Петренко Донецький національний технічний університет Украина Україна, 83001, м. Донецьк, вул. Артема, 58, mironenko.leon@yandex.ru, eagor0@mail.ru Ознака порівняння з параметром у теорії числових рядів В работе предложены две формы записи признака сравнения в предельной форме для оценки сходимости числовых рядов и несобственных интегралов. Показано, что обобщенно гармонический ряд имеет намного большие возможности, чем это было принято. В частности, доказано, что обобщенно гармонический ряд может быть использован в качестве эталонного для получения признаков Даламбера и Коши. Признак с параметром позволяет широко использовать правило Лопиталя для оценки сходимости рядов. Ключевые слова: ряд, сходимость, гармонический ряд, признаки сравнения, правило Лопиталя, предел, интегральный признак. In the paper, two forms of limiting comparison tests for estimation of convergence of the number series and improper integrals are proposed. It is shown that the Riemann zeta-function   1 /1)( n sns allows to formulate the new necessary test of convergence of the series to get such well-known tests as Cauchy’s Root Test and d’Alembert’s Ratio Test. The new test with a parameter allows to use l’Hopital’s rule more effectively. Key Words: series, convergence, zeta-function, comparison tests, l’Hopital’s rule, limit, integral test У роботі запропоновано дві форми ознаки порівняння в граничній формі для оцінки збіжності числових рядів і невластивих інтегралів. Доведено, що гармонічний ряд загального вигляду має значно більше можливостей, ніж це прийнято в офіційній літературі. Наприклад, використання цієї ознаки дозволяє сформулювати підсилену необхідну ознаку збіжності числових рядів і може бути застосовано до отримання ознак Даламбера і Коші. Запис ознаки з параметром дозволяє ефективно використовувати правило Лопиталя, щодо оцінки збіжності рядів. Ключові слова: ряд, збіжність, розбіжність, гармонічний ряд, ознаки порівняння, правило Лопиталя, границя, інтегральна ознака. Введение Признак сравнения рядов с положительными членами в теории числовых рядов обычно используется в двух формах – конечной и предельной. В первом случае сравниваются члены двух рядов 0 , 1   nn n uu и 0 , 1   nn n vv . Если существует Миро ненко Л.П., Петренко И.В. «Искусственный интеллект» 4’2012 500 6М число 0M , такое, что с некоторого номера N выполняется неравенство nn vMu  и ряд  1n nv сходится, то ряд  1n nu также сходится. Если же ряд  1n nu расходится, то расходится ряд  1n nv [1]. В предельном признаке сравнения рассматривается предел nnn vu /lim  . Если ряд 0 , 1   nn n vv сходится, а величина предела равна C или равна нулю, то ряд  1n nu также сходится. Если ряд  1n nv расходится, а величина предела равна C , или равна бесконечности, то ряд  1n nu также расходится [1], [2]. В качестве ряда сравнения обычно выбирается один ряд из трех эталонных – гармонический, с общим членом nvn /1 , обобщенно гармонический – nvn /1 и ряд геометрической прогрессии – n n qv  . В работе сосредоточимся на обощенно гармоническом ряде и сформулируем признак сравнения в виде, пригодном для использования правила Лопиталя раскрытия неопределенностей, которые возникают из необходимого признака сходимости ря- дов 0lim   nn u . 1 Предельный признак сравнения с параметром Запишем предельный признак сравнения произвольного ряда 0 , 1   nn n uu и обобщенного гармонического ряда 1,/1 , 1   nvv nn n nn n n n n n un n u v u     lim /1 limlim . Полагая 1  , учтем, что          расходится сходится nn 0 01 1 1    , приходим к следующему признаку сходимости: если существует конечный предел   Cun nn 1lim  (1) и, при этом, 0 , то ряд 0 , 1   nn n uu сходится; во всех остальных случаях 0 (или предел равен бесконечности, или предел не существует) – расходится. Признаку (1), который будем называть признаком сравнения с параметром (в дан- ном случае  ), можно придать другой вид, непосредственно применив правило Лопи- таля. Действительно, по необходимому признаку сходимости числовых рядов 0nu при n , следовательно,  nn uu /11 и                  11 1 limlimlimlimlimlimlim n n n nn n nnnnn u n u nn u nnunn   . В результате, формула (1) примет вид      Cun nn 1/lim  . (2) Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов «Штучний інтелект» 4’2012 501 6М Демонстрируем признак сходимости (2) на примере ряда  1 1 n n :   ,lim2lim   nn n n nn   Поскольку при любом 0 данный предел равен бесконечности. 2 Некоторые следствия из признака сходимости с параметром Усиленный необходимый признак сходимости числовых рядов с положитель- ными членами. Предположим, что ряд 0 , 1   nn n uu сходится. Тогда выполняется равенство (1) при некотором 0 . Перепишем формулу (1) в виде     Cnunnunun nnnnnnn limlimlimlim 1  . (3) Предположим, что   n n lim при любом 0 , то 0lim   nn nu . Отсюда следует необходимое условие сходимости ряда :0 , 1   nn n uu 0lim   nn nu . (4) Аналогично, из формулы (2) следует еще одна форма записи необходимого признака сходимости   0/1lim 1    nn u . (5) Признаки (4) и (5) имеют более широкие возможности, чем общепринятый необходимый признак сходимости 0lim   nn u . Например, известно, что ряд  1 /1 n n расходится, хотя для него общепри- нятый необходимый признак сходимости 0/1limlim   nu nnn выполняется. Очевидно, что сделать вывод о сходимости или расходимости ряда невозможно, исходя только из общепринятого необходимого признака сходимости 0lim   nn u . В то же время, по формуле (4) наш, будем его называть усиленный необходимый признак сходимости,   nnnu nnn /limlim не выполняется, следовательно, можно делать вывод о том, что ряд расходится. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши легко получить из предельного признака (1). Для этого выполним преобразования в формуле (1):  n n nnnn unun 11 limlim       . Чтобы предел имел конечное значение, основание n nun 1 степени n должно удовлетворять неравенству 11 n nun , начиная с некоторого номера oN . То есть мы приходим к радикальному признаку Коши в конечной форме 0 ,11  n nun . (6) Миро ненко Л.П., Петренко И.В. «Искусственный интеллект» 4’2012 502 6М Перейдем в последнем неравенстве к пределу при n и учтем, что 1lim 1   n n n . Тогда получится хорошо известный радикальный признак Коши 1lim   n nn u [3]. Знак равенства в пределе появляется из известных свойств пределов [4]. Замечание. Знак равенства при вычислении предела  n n nn un 1lim    приводит к неопределенности  1 , поэтому такой случай требует дополнительного исследо- вания. Обычно используется более тонкий признак сходимости. Обратим внимание на то, что радикальный признак Коши в конечной форме (6) зависит от параметра  , а в предельной форме – не зависит. Если повторить рассуждения для другой формы записи предельного признака (2), то получим аналог признака Коши   1/1lim 1    n nn u . Признак Даламбера. Признак Даламбера также следует из признака сравнения в предельной форме (1):   Cun nn lim . Так, .11limlim)1(limlim)1(lim 111                       nu u n n u u un un n n n nn n n n n n n Для того, чтобы предел имел конечное значение, должно выполняться неравен- ство 1)1( 1    n n un un   (необходимое условие сходимости ряда, начиная с некоторого номера oN ). Мы приходим к признаку Даламбера в конечной форме 1 ,111            nu u n n . (7) Перейдем в этом неравенстве к пределу при n и учтем, что 111lim           nn , тогда получим признак Даламбера в предельной форме 1lim 1   n n n u u . Также как и в случае признака Коши, знак равенства в пределе появляется из известных свойств пределов [4], и также, как в случае признака Коши, знак равенства приводит к неопределенности. Поэтому такой случай требует дополнительного исследования. Обратим внимание на то, что признак Даламбера в конечной форме (7) зависит от параметра  1 , а в предельной форме – не зависит. Сравнение с рядом геометрической прогрессии. Применим признак сравнения к ряду геометрической прогрессии   0n nq , который, как известно, сходится при 1q и расходится при 1q . Согласно формуле (1)   .limlim 11 n n n n n qnqn       Для того, чтобы предел имел конечное значение, основание qnn 1 степени n должно удовлетворять неравенству 11  qnn  , начиная с некоторого номера oN . Перейдем в неравенстве к пределу при n и учтем, что 1lim 1   n n n , получим   1limlim 11      qnqqn n n n n  . Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов «Штучний інтелект» 4’2012 503 6М Как видно, предельный признак сравнения с параметром однозначно устанавли- вает факт сходимости геометрического ряда при 1q . Нечувствительность результата к параметру  означает, что ряд геометрической прогрессии имеет скорость сходимости выше, чем обобщенно гармонический ряд. Сравнение с признаком сравнения в конечной форме. Признаки сравнения (1) – (2) во многих случаях эффективно заменяют признак сравнения в конечной форме. Проще демонстрировать это типичным примером ряда  2 ln/1 n n , к которому обычно применяют признак сравнения в конечной форме. Рядом сравнения в этом случае обычно является гармонический ряд  1 /1 n n . Из неравенства nn 1 ln 1  при 2n следует расходимость ряда  2 ln/1 n n . С другой стороны, по формуле (2) имеем   .0 lim ln lim 1      n n n nn Следовательно, ряд расходится. Рассмотрим пример, когда без признака сравнения в конечной форме обойтись трудно, но можно совместить оба признака. Исследуем на сходимость ряд  1 2 2 .sin n n n По формуле (1) имеем .10 0limsinlimsinlim 121 2 2 1           nnn n nn nnn Сравнение с интегральным признаком Коши. Напомним, что интегральный признак Коши устанавливает равноправие в вопросе сходимости ряда  1 )( n nf и несобственного интеграла   1 )( dxxf [5].  1 )( n nfIf сходится    1 )( dxxf сходится. Покажем, как предельный признак сравнения может работать наряду с интеграль- ным признаком. Для этого рассмотрим пример расходящегося ряда    2 ln/1 n nn .2lnlnlimlnlim ln lnlim ln lim ln 2222     bx x xd xx dx xx dx b b b b b b b Проведем оценку сходимости без вычисления интеграла, а с помощью признака сравнения по формуле (1)   .0 lim ln limlim ln limlim ln 1lim 111                     n n nn n nn nn n nnnnnn В данном случае работает правило – дифференцировать проще, чем интегрировать. Заметим, что в данном случае использовано правило Лопиталя, которое не всегда работает при оценке сходимости рядов. Например, ряд    2 2ln/1 n nn сходится. Покажем это с помощью интегрального признака Коши . 2ln 1 2ln 1 ln 1lim ln 1lim ln lnlim ln lim ln 2 2 2 2 2 2 2     bxx xd xx dx xx dx b b b b b b b Миро ненко Л.П., Петренко И.В. «Искусственный интеллект» 4’2012 504 6М В то же время признак сравнения дает ошибочный результат     .0 lim 2 1 ln2 limlim ln2 limlim ln limlim ln limlim ln 1lim 1 1 2 1 2 1 2 1                              n n nn n nn n nn n nn nn n nnn nnnnnnn Объяснение простое. После первого применения правила Лопиталя, сравниваются скорости изменения функций x и xln , причем у первой из них скорость постоянна и равна 1, а у второй – x/1 , которая стремится к нулю при x . Последний пример устанавливает существенное ограничение на область приме- нения признака сравнения с параметром. Нижней границей являются ряды, содержащие члены с логарифмами. В этом случае данный признак может дать как правильный результат, так и ошибочный. Несобственные интегралы. Интегральный признак Коши позволяет перенести ряд полученных признаков (1), (2), (4) – (7) для числовых рядов на несобственные интегралы первого рода. Так, признак (1) для несобственных интегралов звучит так: если выполня- ется условие   Cxfx x )(lim 1 , при этом 0 , то интеграл   a dxxf )( сходится. Кратко: сходитсяdxxfCxfxif x )()(lim:0 1 1      . (8) Аналогично преобразуем признак (2) для интегралов. Заметив, что при 0 и 0)( xf имеем неопределенность  0 , которую преобразуем в   / . В этом случае  )()(1 xxf  . Применим правило Лопиталя и получим признак сходимости интеграла   1 )( dxxf : сходитсяdxxfxfxC x xIf x )()(/1)( , )( lim:0 1          . (9) Пример. Сходимость интеграла  dxx)/1cos(ln 1  можно доказать с помощью разложения подынтегральной функции в окрестности точки 0/1  xy . При x имеем:   2/1~)/1cos(ln xx . Эту оценку можно выполнить по формуле (8) или (9)                       x xx x xx x x xxxx /1cos /1sinlim 0 0 /1 /1coslnlimlim1coslnlim 1      ,10 ,0lim 0 0 /1 /1sinlim /1cos 1limlim 11             x x x x x xxxx     1 /1 /1sinlim,1 /1cos 1lim   x x x xx . Интеграл сходится. Радикальный признак Коши для несобственных интегралов в конечной и пре- дельной формах имеет вид 1)(1 x xfx  при 0 ,  oxx ; 1)(lim   x x xf . (10) Пример. Оценим сходимость интеграла   dxx x 2 /11 1   , используя предельную форму радикального признака Коши (10)     1/11lim/11lim)(lim 2   exxxf x x x x x x x . Интеграл расходится. Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов «Штучний інтелект» 4’2012 505 6М Выводы В работе предложены два представления признака сравнения в предельной форме. Признак сравнения с параметром основан на обобщенно гармоническом ряде как эталонном. В отличие от обычного признака, наш признак содержит параметр, который делает теорию более гибкой. При этом наблюдается следующее. 1. Показано, что необходимый признак сходимости в традиционной форме 0lim   nn u может быть заменен признаком 0lim   nn nu с более широкими возможностями. 2. Показано, что в ряде случаев предельный признак сравнения является более эффективным, чем признак сравнения в конечной форме, и проще в применении, чем использование интегрального признака Коши. 3. Показано, что радикальный признак Коши и признак Даламбера следуют из признака сравнения с параметром. Кроме того, получен новый вариант радикального признака Коши, который может оказаться более эффективным в ряде случаев. 4. Результаты переносятся на несобственные интегралы. Литература 1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Л.Д. Кудрявцев. – М. : Наука, 1970. – Т. I. – 571 с. 2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Изд-во ФМЛ, Москва, 1956. – Т. 1. – 472 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М. : Наука, Изд-во ФМЛ, 1972. – Т. 2. – 795 с. 4. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra / T.M. Apostol.– John Wilay and Sons, Inc., 1966. – Vol. 1. – 667 p. 5. Wrede R. Theory and Problems of Advanced Calcolus / R. Wrede, M. Spiegel. – Schaum’s Series, The MacGraw-Hill Companies Inc. 2002 (First Edition 1966). – 433 p. Literatura 1. Kudryavtsev L.D. Matematichesky Analiz. Tom 1. Nauka. 1970. 571 s. 2. Iliyn V.А. Osnovy matematicheskogo analiza. Tоm 1. М.: Izd-vo FМL. Мoskwa. 1956.472 s. 3. Fikhtengolts G.M. Kurs differentsialnogo i integralnogo isccisleniya. Tom 1. М.: Izd-vo FМL. Мoskwa. 1972. 795 s. 4. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Vol 1. John Wilay and Sons, Inc. 1966. 667 p. 5. Wrede R., Spiegel M. Theory and Problems of Advanced Calcolus. – Schaum’s Series, The MacGraw- Hill Companies Inc. 2002 (First Edition 1966). 433 p. L.P. Mironenko, I.V. Petrenko Test of Comparison with Parameter in the Theory of Number Series In the paper, two forms of limiting comparison tests for estimation of convergence of the number series and improper integrals are proposed. It is shown that the Riemann zeta-function   1 /1)( n sns allows to formulate the new necessary test of convergence of the series to get such well-known tests as Cauchy’s Root Test and d’Alembert’s Ratio Test. The new test with a parameter allows to use l’Hopital’s rule more effectively. The limiting comparison test for arbitrary series 0 ,1   nn n uu and zeta-function 1,/1  nvn is nn n nn n n un n u v u     lim /1 limlim . Let 1  and we take into account that          divergence econvergenc nn 0 01 1 1    Then: if the limit   Cun n n 1lim  (1) Миро ненко Л.П., Петренко И.В. «Искусственный интеллект» 4’2012 506 6М exists and has a limited value and 0 then the series 0 ,1   nn n uu is convergence; in other cases for 0 (or C or the limit does not exists) it is divergence. This test we will call a limiting comparison test with a parameter (  ). We can right down the test (1) in the other form. According to the necessary test for series 0nu , therefore  nn uu /11 at n and we can apply l’Hopital’s rule:                  111 limlimlimlimlimlimlim n n n nnnnnnnn u n u nn u nnunn   . In the result we have      Cun nn 1/lim  (2) Some deductions. 1. The new necessary test of a convergence of number series with nonnegative terms. Let the series 0 ,1   nn n uu is convergence. Then the equality (1) is satisfied at some 0 .     Cnunnunun nnnnnnn limlimlimlim 1  , (3) Since   n n lim at any ,0 then .0lim   nn nu Thus we have the necessary test: 0lim   nn nu . (4) We may get the other form of the necessary test, which consequences from the formula (2)   0/1lim 1    nn u . (5) The tests (4) and (5) have more possibilities with respect to the usual test 0lim   nn u . For example, the series   1 2/1n n is divergence although the necessary convergence test 0/1limlim   nu nnn is fulfilled. On the other hand, our test (4)   nnnu nnn /limlim means that the series is divergence. 2. Improper integrals. We will remind that the integral test establishes an equivalence between series  1 )(n nf and improper integrals   1 )( dxxf about of a convergence and divergence [1-2]. The integral test allows to get formulas as (1)-(5) for improper integrals. Briefly: .onvergence )()(lim,0 1 cdxxfCxfxif ax       .onvergence )()(/1)( , )( lim,0 1 cdxxfxfxC x xif x           . A new necessary test of a convergence of improper integrals with nonnegative functions is 0)(lim   xxf x or     1)()( ,0)(/1lim    xfxgxg x . The main results of the paper 1. It is shown that the classical necessary test 0lim   nn u may be replaced by the test 0lim   nn nu , which has more wide possibilities. 2. It is shown that in many cases the limiting comparison test with a parameter is more effective than usual comparison test or integral test. 3. It is shown that the root and ratio tests can be gained in the frame of the comparison test with a parameter. 4. The results can be expanded to improper integrals. Статья поступила в редакцию 03.07.2012.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-57893
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T19:06:09Z
publishDate	2012
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. 2014-03-15T17:59:14Z 2014-03-15T17:59:14Z 2012 Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко // Штучний інтелект. — 2012. — № 4. — С. 499-506. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/57893 51(071) В работе предложены две формы записи признака сравнения в предельной форме для оценки сходимости числовых рядов и несобственных интегралов. Показано, что обобщенно гармонический ряд имеет намного большие возможности, чем это было принято. В частности, доказано, что обобщенно гармонический ряд может быть использован в качестве эталонного для получения признаков Даламбера и Коши. Признак с параметром позволяет широко использовать правило Лопиталя для оценки сходимости рядов. У роботі запропоновано дві форми ознаки порівняння в граничній формі для оцінки збіжності числових рядів і невластивих інтегралів. Доведено, що гармонічний ряд загального вигляду має значно більше можливостей, ніж це прийнято в офіційній літературі. Наприклад, використання цієї ознаки дозволяє сформулювати підсилену необхідну ознаку збіжності числових рядів і може бути застосовано до отримання ознак Даламбера і Коші. Запис ознаки з параметром дозволяє ефективно використовувати правило Лопиталя, щодо оцінки збіжності рядів. In the paper, two forms of limiting comparison tests for estimation of convergence of the number series and improper integrals are proposed. It is shown that the Riemann zeta-function allows to formulate the new necessary test of convergence of the series to get such well-known tests as Cauchy’s Root Test and d’Alembert’s Ratio Test. The new test with a parameter allows to use l’Hopital’s rule more effectively. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Обучающие и экспертные системы Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов Ознака порівняння з параметром у теорії числових рядів Test of Comparison with Parameter in the Theory of Number Series Article published earlier
spellingShingle	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Обучающие и экспертные системы
title	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов
title_alt	Ознака порівняння з параметром у теорії числових рядів Test of Comparison with Parameter in the Theory of Number Series
title_full	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов
title_fullStr	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов
title_full_unstemmed	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов
title_short	Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов
title_sort	признак сравнения с параметром в теории числовых рядов
topic	Обучающие и экспертные системы
topic_facet	Обучающие и экспертные системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/57893
work_keys_str_mv	AT mironenkolp priznaksravneniâsparametromvteoriičislovyhrâdov AT petrenkoiv priznaksravneniâsparametromvteoriičislovyhrâdov AT mironenkolp oznakaporívnânnâzparametromuteorííčislovihrâdív AT petrenkoiv oznakaporívnânnâzparametromuteorííčislovihrâdív AT mironenkolp testofcomparisonwithparameterinthetheoryofnumberseries AT petrenkoiv testofcomparisonwithparameterinthetheoryofnumberseries

Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов

Репозитарії

Схожі ресурси