Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях
A discrete analog of the mathematical predator-prey model is considered. The sufficient conditions on the discretization step for which the considered discrete analog saves the stability property of the initial model are obtained.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5817 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях / Н.В. Брадул // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 11-15. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859631814012829696 |
|---|---|
| author | Брадул, Н.В. |
| author_facet | Брадул, Н.В. |
| citation_txt | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях / Н.В. Брадул // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 11-15. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A discrete analog of the mathematical predator-prey model is considered. The sufficient conditions on the discretization step for which the considered discrete analog saves the stability property of the initial model are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:12:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Дiйсно, якщо автоморфiзми α, β ∈ F AutT2 спряженi в F AutT2, то автоморфiзми αp
та βp скiнченностановi одночасно для всiх p ∈ Z2. Згiдно з теоремою (2), ця умова не
є достатньою. Далi, без обмеження загальностi можна вважати b 6= an (n ∈ Z, n 6= ±1).
Функцiя loga((a− 1)x + 1) є бiєкцiєю Z2 → Z2, як обернена до ax̂ при a = 4k + 1, k ∈ Z2.
Має мiсце рiвнiсть
(ax + 1)t =
(
atx + at̂
)
(t ∈ Z2). (8)
За теоремою Дiрiхле про наявнiсть простих чисел в арифметичнiй прогресiї, iснує x ∈ Z
таке, що c = (a − 1)x + 1 є простим числом, якого немає в розкладi a та b. Тодi, згiдно
з лемою 3 та формулою (8), маємо (ax+1)loga
c ∈ F AutT2, оскiльки alog
a
c = c є рацiональним
числом, а (bx + 1)loga
c не належить F AutT2, оскiльки blog
a
c не є рацiональним числом.
Враховуючи теорему (2), отримуємо твердження теореми.
Робота частково пiдтримана Державним фондом фундаментальних дослiджень (Ф 25/546–
2007 № ДР 0107U010 499) та Мiжнародним благодiйним фондом вiдродження Києво-Могилянської
академiї.
1. Сущанский В.И. Группы изометрий p-пространства Бэра // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1984. – № 8. –
С. 28–30.
2. Сущанский В.И. Сплетения по последовательности груп подстановок и финитно-апроксимируемые
группы // Докл. АН СССР. – 1984. – № 2. – С. 19–22.
3. Боднарчук Ю.В., Морозов Д. I. Будова централiзаторiв елементiв максимального про-порядку в групi
автоморфiзмiв бiнарного дерева // Наук. зап. НаУКМА. Фiз.-мат. науки. – 2005. – 39. – С. 25–27.
4. Боднарчук Ю.В., Морозов Д. I. Розширенi 2-адичнi числа як централiзатори автоморфiзмiв регуляр-
ного кореневого дерева валентностi 3 // Там само. – 2006. – 51. – С. 4–7.
Надiйшло до редакцiї 25.02.2008Нацiональний унiверситет “Києво-Могилянська академiя”
УДК 517.962.24:519.21
© 2008
Н.В. Брадул
Об устойчивости разностного аналога математической
модели “хищник-жертва” при случайных возмущениях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
A discrete analog of the mathematical predator-prey model is considered. The sufficient condi-
tions on the discretization step for which the considered discrete analog saves the stability
property of the initial model are obtained.
Математические модели типа “хищник-жертва” и их разностные аналоги исследуются во
многих работах (см., напр., [1] и приведенную там библиогр.). Одной из важнейших задач
этих исследований является задача устойчивости положительной точки равновесия таких
систем. В связи с проблемами численного анализа особый интерес представляет способность
разностного аналога исследуемой системы сохранять это свойство устойчивости.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 11
В работе рассматривается устойчивость по вероятности положительной точки равнове-
сия математической модели типа “хищник-жертва” при случайных возмущениях, которая
описывается системой стохастических нелинейных дифференциальных уравнений
ẋ1(t) = x1(t)(a − a1x1(t) − a2x2(t)) + σ1(x1(t) − x∗
1)ẇ1(t),
ẋ2(t) = −bx2(t) + b1x1(t − h1)x2(t − h2) + σ2(x2(t) − x∗
2)ẇ2(t),
(1)
с начальным условием xm(s) = ϕm(s), s ∈ [−hm, 0], m = 1, 2. Здесь x1(t) и x2(t) — плот-
ности популяций жертвы и хищника соответственно; a, a1, a2, b, b1 — положительные по-
стоянные; h1 и h2 — неотрицательные запаздывания; σ1, σ2 — произвольные постоянные;
w1(t) и w2(t) — независимые между собой винеровские процессы, определенные на неко-
тором вероятностном пространстве; ϕ1(s) и ϕ2(s) — непрерывные функции. Предполага-
ется, что система (1) имеет положительную точку равновесия, т. е. постоянное решение
(x1(t), x2(t)) = (x∗
1, x
∗
2) такое, что x∗
1 > 0, x∗
2 > 0. Случайные возмущения типа белого шума
прямо пропорциональны отклонению текущего состояния системы (x1(t), x2(t)) от точки
равновесия (x∗
1, x
∗
2). Получены достаточные условия на шаг дискретизации, при которых
разностный аналог системы (1) сохраняет свойство устойчивости точки равновесия.
Основные определения, вспомогательные утверждения. Точка равновесия
(x∗
1, x
∗
2) системы (1) определяется условиями ẋ1(t) ≡ 0, ẋ2(t) ≡ 0, имеет вид
x∗
1 =
b
b1
, x∗
2 =
A
a2
, A = a − a1b
b1
(2)
и положительна при A > 0. Центрируя систему (1) относительно точки равновесия (x∗
1, x
∗
2),
введем новые переменные y1(t) = x1(t) − x∗
1, y2(t) = x2(t) − x∗
2. Система (1) принимает вид
ẏ1(t) = −(y1(t) + x∗
1)(a1y1(t) + a2y2(t)) + σ1y1(t)ẇ1(t),
ẏ2(t) = −by2(t) + b1(x
∗
2y1(t−h1) + x∗
1y2(t−h2) + y1(t−h1)y2(t−h2)) + σ2y2(t)ẇ2(t).
(3)
Очевидно, что устойчивость точки равновесия (x∗
1, x
∗
2) системы (1) эквивалентна устой-
чивости тривиального решения системы (3). Выделяя в (3) линейную часть, получим сис-
тему уравнений
ż1(t) = −x∗
1(a1z1(t) + a2z2(t)) + σ1z1(t)ẇ1(t),
ż2(t) = −bz2(t) + b1(x
∗
2z1(t − h1) + x∗
1z2(t − h2)) + σ2z2(t)ẇ2(t).
(4)
Пусть y(t) = (y1(t), y2(t)), z(t) = (z1(t), z2(t)), ϕ(s) = (ϕ1(s), ϕ2(s)).
Определение 1. Тривиальное решение системы (3) называется устойчивым по вероят-
ности, если для любых ε1 > 0 и ε2 > 0 существует δ > 0 такое, что решение y(t) = y(t, ϕ)
удовлетворяет условию P
{
sup
t>0
|y(t, ϕ)| > ε1
}
< ε2 для любой начальной функции ϕ такой,
что P
{
sup
s60
|ϕ(s)| < δ
}
= 1.
Определение 2. Тривиальное решение системы (4) называется устойчивым в среднем
квадратическом, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что решение z(t) =
= z(t, ϕ) удовлетворяет условию M|z(t, ϕ)|2 < ε для любой начальной функции ϕ такой, что
sup
s60
M|ϕ(s)|2 < δ. Если, кроме того, lim
t→∞
M|z(t, ϕ)|2 = 0 для любой начальной функции ϕ,
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
то тривиальное решение системы (4) называется асимптотически устойчивым в среднем
квадратическом.
Пусть
A1 =
a2
2bσ
2
2
Ab2
1
, A2 = 2b
(
a1
b1
− Ah1
)
− σ2
1, A3 =
2Ab1
a2
,
A4 =
a2b
b1
(
2(1 − bh2) −
a1σ
2
2
Ab1
)
, B1 =
a2b
2
b1
h2, B2 = Abh1.
Как показано в [2, пример 6.1], если выполняются условия
A > 0, A2 > 0, A4 > 0,
(√
B2
1 + A1A2 + B1
)(√
B2
2 + A3A4 + B2
)
< A2A4,
(5)
то тривиальное решение системы (4) асимптотически устойчиво в среднем квадратическом,
а тривиальное решение системы (3) устойчиво по вероятности.
Устойчивость разностного аналога. Рассмотрим разностные аналоги систем (1)
и (4):
x1(i + 1) = x1(i) + ∆x1(i)(a − a1x1(i) − a2x2(i)) +
√
∆σ1(x1(i) − x∗
1)ξ1(i + 1),
x2(i + 1) = (1 − ∆b)x2(i) + ∆b1x1(i − k1)x2(i − k2) +
√
∆σ2(x2(i) − x∗
2)ξ2(i + 1),
(6)
z1(i + 1) = (1 − ∆a1x
∗
1)z1(i) − ∆a2x
∗
1z2(i) +
√
∆σ1z1(i)ξ1(i + 1),
z2(i + 1) = (1 − ∆b)z2(i) + ∆b1(x
∗
2z1(i − k1) + x∗
1z2(i − k2)) +
√
∆σ2z2(i)ξ2(i + 1).
(7)
Здесь km = hm/∆ — целое; ∆ — выбираемый шаг дискретизации; xm(i) = xm(ti); ti =
= i∆; ξm(i + 1) = (wm(ti+1) − wm(ti))/
√
∆, i ∈ Z = {0, 1, . . .}; начальное условие имеет вид
xm(j) = ϕm(j), j ∈ {−km,−km + 1, . . . , 0}, m = 1, 2. Отметим, что ξ1(i) и ξ2(i), i ∈ Z, —
независимые между собой последовательности взаимно независимых случайных величин
таких, что Mξm(i) = 0, Mξ2
m(i) = 1, M — знак математического ожидания.
Определения устойчивости для разностных уравнений аналогичны определениям 1, 2.
В [3, теорема 1] показано, что если порядок нелинейности по x больше 1, то достаточное
условие асимптотической устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения
линейной части рассматриваемой нелинейной системы обеспечивает устойчивость по веро-
ятности положительной точки равновесия исходной нелинейной системы.
Для получения достаточных условий асимптотической устойчивости в среднем квадра-
тическом тривиального решения системы (7) построим соответствующий функционал Ля-
пунова. Следуя общему методу построения функционалов Ляпунова [4] и используя (2),
представим второе уравнение системы (7) в виде
Z2(i + 1) = ∆b1x
∗
2z1(i) + Z2(i) +
√
∆σ2z2(i)ξ2(i + 1),
где
Z2(i) = z2(i) + ∆b1(x
∗
2F1(i) + x∗
1F2(i)), Fm(i) =
km∑
j=1
zm(i − j), m = 1, 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 13
Функционал Ляпунова V (i) строится в виде
V (i) = V1(i) + V2(i),
где
V1(i) = z2
1(i) + 2µz1(i)Z2(i) + γZ2
2 (i), V2(i) = ∆2
2∑
m=1
qm
km∑
j=1
(km − j + 1)z2
m(i − j),
q1 = b1[x
∗
2|γb1x
∗
2 − µa1x
∗
1| + γ−1
2 µAx∗
1], q2 = b[γ1|γb1x
∗
2 − µa1x
∗
1| + µa2x
∗
1],
γ > µ2, γ1 > 0, γ2 > 0.
(8)
Показано, что M∆V (i) 6 Mz′(i)Rz(i), где ∆V (i) = V (i + 1) − V (i), z(i) = (z1(i), z2(i))
′,
R — симметричная матрица с элементами
r11 = ∆[−a1x
∗
1(2 − ∆a1x
∗
1) + σ2
1 + 2µb1x
∗
2(1 − ∆a1x
∗
1) + γ∆b2
1(x
∗
2)
2 +
+ b1|γb1x
∗
2 − µa1x
∗
1|(2x∗
2h1 + γ−1
1 x∗
1h2) + γ−1
2 µAbh1],
r22 = ∆[∆a2
2(x
∗
1)
2−2µa2x
∗
1+γσ2
2+µb(γ2Ah1+a2x
∗
1h2)+bh2(γ1|γb1x
∗
2−µa1x
∗
1|+µa2x
∗
1)],
r12 = 2∆[γb1x
∗
2 − µa1x
∗
1 − a2x
∗
1(1 − ∆a1x
∗
1) − ∆µAb].
Из [4, теорема 1] вытекает
Утверждение. Если существуют числа µ, γ, γ1, γ2, удовлетворяющие условиям (8),
такие, что матрица R является отрицательно определенной, то тривиальное решение
системы (7) асимптотически устойчиво в среднем квадратическом и, следовательно, по-
ложительная точка равновесия системы (6) устойчива по вероятности.
При условиях (5) на параметры исходной системы такие числа µ, γ, γ1, γ2 существуют.
Теорема. Если выполнены условия (5) и выбранный шаг дискретизации ∆ удовлетво-
ряет условиям
∆ <
b1
a1b
,
A1∆ + B1∆γ1∆
A4∆ − B2γ2∆ − B3∆γ1∆
<
A2∆ − B1∆γ−1
1∆
A3∆ + B2γ
−1
2∆ + B3∆γ−1
1∆
, (9)
где
A1∆ =
a2
2bσ
2
2
Ab2
1
+ ∆
a2
2b
2
b2
1
(
1 − a1σ
2
2
A
)
, B1∆ =
a2b
2h2
b1
(
1 − ∆
a1b
b1
)
,
A2∆ = 2b
(
a1
b1
− Ah1
)
− σ2
1 − ∆b
(
a2
1b
b2
1
+ A
(
1 − ∆
a1b
b1
))
,
A3∆ =
2Ab1
a2
+ ∆
Ab
a2
(Ab1(2h1 + ∆) − a1), B2 = Abh1,
A4∆ =
a2b
b1
(
2(1 − bh2) − σ2
2
(
a1
Ab1
+ ∆
))
, B3∆ = ∆Ab2h2,
γ1∆ =
√
B2
1∆ + A1∆A2∆ + B1∆
A2∆
, γ2∆ =
A4∆√
B2
2 + A3∆A4∆ + B2
,
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Рис. 1. Траектория устойчивого решения
то тривиальное решение системы (7) асимптотически устойчиво в среднем квадрати-
ческом и, соответственно, положительная точка равновесия (2) системы (6) устойчива
по вероятности.
Таким образом, при шаге дискретизации, удовлетворяющем условиям (9), разностный
аналог (6) сохраняет свойство устойчивости рассматриваемой системы (1).
П р и м е р . Численное моделирование системы (1) проводилось при следующих значениях пара-
метров: a = 4, a1 = 0,2, a2 = 0,5, b1 = 0,5, b = 4, h1 = h2 = 0,02, σ1 = 0,6, σ2 = 0,8, ϕ1(s) = 8,5 cos s,
ϕ2(s) = 8,5 sin(s + 1). При этом A = 2,4, A1 = 1, A2 = 2,416, A3 = 4,8, A4 = 6,96, B1 = 0,32,
B2 = 0,192, x∗
1
= 8, x∗
2
= 4,8, ϕ1(−2) = 8,498, ϕ1(−1) = 8,499, ϕ1(0) = 8,5, ϕ2(−2) = 7,059,
ϕ2(−1) = 7,106, ϕ2(0) = 7,152. Условия (2), (5) выполняются, первое неравенство (9) принимает
вид ∆ < 0,625. При выбранном шаге дискретизации ∆ = 0,01 второе неравенство (9) также выпол-
няется: 0,236 < 0,253. Было проведено численное моделирование тысячи траекторий системы (1).
Все они сходились к точке равновесия. На рис. 1 показана одна из полученных траекторий устой-
чивого решения системы (6).
1. Liming Cai, Xuezhi Li, Xinyu Song, Jingyuan Yu. Permanence and stability of an age-structured prey-
predator system with delays // Discrete Dynamics in Nature and Society. – 2007. – Article ID 54861. –
15 p.
2. Shaikhet L. E. Stability of a positive point of equilibrium of one nonlinear system with aftereffect and
stochastic perturbations // Dynamic Systems and Applications. – 2008. – 17. – P. 235–253.
3. Paternoster B., Shaikhet L. E. About stability of nonlinear stochastic difference equations // Appl. Math.
Lett. – 2000. – 13, No 5. – P. 27–32.
4. Kolmanovskii V. B., Shaikhet L.E. General method of Lyapunov functionals construction for stability
investigation of stochastic difference equations // Dynamical Systems and Applications. – 1995. – 4. –
P. 397–439.
Поступило в редакцию 09.01.2008Донецкий государственный университет управления
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 15
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5817 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:12:25Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Брадул, Н.В. 2010-02-08T14:51:29Z 2010-02-08T14:51:29Z 2008 Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях / Н.В. Брадул // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 11-15. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5817 517.962.24:519.21 A discrete analog of the mathematical predator-prey model is considered. The sufficient conditions on the discretization step for which the considered discrete analog saves the stability property of the initial model are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях Брадул, Н.В. Математика |
| title | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях |
| title_full | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях |
| title_fullStr | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях |
| title_short | Об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях |
| title_sort | об устойчивости разностного аналога математической модели ''хищник-жертва'' при случайных возмущениях |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5817 |
| work_keys_str_mv | AT bradulnv obustoičivostiraznostnogoanalogamatematičeskoimodelihiŝnikžertvaprislučainyhvozmuŝeniâh |