Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях
We consider the homogenization problem in a singularly perturbed two-dimensional domain of a new type, which consists of a body of junction and a great number of alternating thin rods belonging to two classes. Under the assumption that one class consists of rods of finite length and the other consis...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5818 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях / Т.А. Мельник, Г.А. Чечкин // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616949294596096 |
|---|---|
| author | Мельник, Т.А. Чечкин, Г.А. |
| author_facet | Мельник, Т.А. Чечкин, Г.А. |
| citation_txt | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях / Т.А. Мельник, Г.А. Чечкин // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We consider the homogenization problem in a singularly perturbed two-dimensional domain of a new type, which consists of a body of junction and a great number of alternating thin rods belonging to two classes. Under the assumption that one class consists of rods of finite length and the other consists of rods of small length and inhomogeneous Fourier boundary conditions (boundary conditions of the third type) with perturbed coefficients are set on the boundaries of thin rods, we prove the homogenization theorems and the convergence of the energy integrals.
|
| first_indexed | 2025-11-28T21:24:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.225;517.956.8
© 2008
Т.А. Мельник, Г. А. Чечкин
Асимптотический анализ краевых задач в густых
каскадных соединениях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
We consider the homogenization problem in a singularly perturbed two-dimensional domain
of a new type, which consists of a body of junction and a great number of alternating thin
rods belonging to two classes. Under the assumption that one class consists of rods of finite
length and the other consists of rods of small length and inhomogeneous Fourier boundary
conditions (boundary conditions of the third type) with perturbed coefficients are set on the
boundaries of thin rods, we prove the homogenization theorems and the convergence of the
energy integrals.
В настоящей работе анонсируются результаты усреднения для одной эллиптической крае-
вой задачи в новом типе сингулярно возмущенных областей (густые каскадные соединения).
Предполагается, что модельное плоское каскадное соединение состоит из тела соединения
и двух классов присоединенных тонких стержней (рис. 1). Первый класс состоит из тон-
ких стержней конечной длины, а второй — из тонких стержней малой длины. Кроме того,
стержни из разных классов периодически чередуются и имеется большой перепад длин
стержней при переходе из одного класса в другой. Такие густые каскадные соединения
являются прототипами многих физических и биологических систем, например, строение
стенки желудка и кишечника с разными уровнями поглощения полезных веществ на разных
участках тканей. Области рассматриваемого типа являются симбиозом областей с густым
соединением стержней конечной длины (обзор результатов по этой тематике см. в [1–3])
и областей с быстро осциллирующей границей, краевые задачи в которых рассматривались
в работах [4–8] (см. также цитируемую литературу).
1. Постановка задачи. Пусть a, b1, b2, h1, h2 — положительные действительные числа
такие, что
0 < b1 < b2 <
1
2
, 0 < b1 −
h1
2
, b1 +
h1
2
< b2 −
h1
2
, b2 +
h1
2
<
1
2
− h2
2
.
Эти неравенства означают, что интервалы
(
b1 −
h1
2
, b1 +
h1
2
)
,
(
b2 −
h1
2
, b2 +
h1
2
)
,
(
1 − h2
2
,
1 + h2
2
)
,
(
1 − b2 −
h1
2
, 1 − b2 +
h1
2
)
,
(
1 − b1 −
h1
2
, 1 − b1 +
h1
2
)
содержатся в (0, 1) и не пересекаются. Разобьем отрезок I0 := [0, a] на N ровных сегментов
[εj, ε(j + 1)], j = 0, . . . , N − 1. Здесь N — большое натуральное число, поэтому величина
ε = a/N — малый дискретный параметр.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Рис. 1. Плоское модельное густое каскадное соединение Ωε
Модельное густое каскадное соединение Ωε (см. рис. 1) состоит из тела соединения Ω0 =
= {x ∈ R2 : 0 < x1 < a, 0 < x2 < γ(x1)}, где γ ∈ C1([0, a]), min
[0,a]
γ > 0, и большого количества
тонких стержней
G
(1)
j (dk, ε) =
{
x ∈ R2 : |x1 − ε(j + dk)| <
εh1
2
, x2 ∈ (−εl1, 0]
}
, k = 1, . . . , 4,
G
(2)
j (ε) =
{
x ∈ R2 :
∣∣∣∣x1 − ε
(
j +
1
2
)∣∣∣∣ <
εh2
2
, x2 ∈ (−l2, 0]
}
, j = 0, 1, . . . , N − 1,
где d1 = b1, d2 = b2, d3 = 1 − b2, d4 = 1 − b1. Итак Ωε = Ω0
⋃
G
(1)
ε
⋃
G
(2)
ε , где
G(1)
ε =
N−1⋃
j=0
(
4⋃
k=1
G
(1)
j (dk, ε)
)
, G(2)
ε =
N−1⋃
j=0
G
(2)
j (ε).
В Ωε рассмотрим следующую краевую задачу:
−∆xuε(x) = fε(x), x ∈ Ωε;
∂νuε(x) + ετk1uε(x) = pε(x), x ∈ Υ(1)
ε ;
∂νuε(x) + εµk2uε(x) = εβgε(x), x ∈ Υ(2)
ε ;
uε(x) = 0, x ∈ Γ1;
∂νuε(x) = 0, x ∈ Γε.
(1)
Здесь ∂ν = ∂/∂ν — производная по внешней нормали; постоянные k1 и k2 положительные;
параметры β > 1, µ, τ ∈ R; Υ(i)
ε — объединение боковых сторон и нижних оснований стер-
жней из i-класса, i = 1, 2; Γ1 = {x : x2 = γ(x1), x1 ∈ [0, a]}; Γε = ∂Ωε \ (Υ(1)
ε
⋃
Υ
(2)
ε
⋃
Γ1).
Относительно заданных функций будем предполагать, что выполняются следующие усло-
вия. Не ограничивая общности, считаем, что fε ∈ L2(Ω2), где Ω2 = Ω0
⋃
D2, D2 = (0, a) ×
× (−l2, 0) — прямоугольник, который заполняется тонкими стержнями из второго класса,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 17
и fε
s−→ f0 в L2(Ω2) при ε → 0. Функция gε ∈ H1(D2) и gε
w−→ g0 в H1(D2) при ε → 0. На
функцию pε ∈ H1(D(1)
ε ), D(1)
ε = (0, a) × (−εl1, 0), накладываются следующие условия:
‖pε‖H1(D
(1)
ε )
6 c
√
ε, pε(·, 0) s−→ p0 в L2(0, a) при ε→ 0. (2)
Замечание 1. Здесь и далее все константы ci, Ci, которые появляются в неравенствах,
не зависят от ε.
Для каждого фиксированного значения параметра ε > 0 существует единственное обоб-
щенное решение задачи (1) — функция uε ∈ H1(Ωε,Γ1) = {v ∈ H1(Ωε) : v|Γ1 = 0}, которая
удовлетворяет следующему интегральному тождеству
∫
Ωε
∇xuε · ∇xψ dx+ ετk1
∫
Υ
(1)
ε
uεψ dσx + εµk2
∫
Υ
(2)
ε
uεψ dσx =
=
∫
Ωε
fεψ dx+
∫
Υ
(1)
ε
pεψ dσx + εβ
∫
Υ
(2)
ε
gεψ dσx ∀ψ ∈ H1(Ωε,Γ1).
(3)
Нашей целью является изучение асимптотического поведения обобщенного решения за-
дачи (1) при ε → 0, т. е. когда число тонких присоединяемых стержней из каждого класса
неограниченно возрастает, а их толщина стремится к нулю. Исследуется также влияние
параметров β, τ , µ в краевых условиях на асимптотическое поведение решения.
2. Вспомогательные асимптотические утверждения. Для усреднения краевых за-
дач в густых соединениях с неоднородными краевыми условиями Неймана, Фурье или не-
линейными краевыми условиями на границах тонких областей в работах [2, 3, 9] был пред-
ложен новый подход с использованием специальных интегральных тождеств (тип густого
соединения определяет его вид). В нашем случае оно имеет следующий вид:
εh2
2
∫
S
(2)
ε
v dx2 =
∫
G
(2)
ε
v dx− ε
∫
G
(2)
ε
Y2
(
x1
ε
)
∂x1v dx ∀v ∈ H1(G(2)
ε ), (4)
где Y2(ξ) = −ξ + [ξ] + 1/2, [ξ] — целая часть ξ; S(i)
ε — объединение боковых сторон тонких
стержней из i-класса, i = 1, 2. Обозначим через Q(i)
ε := Υ(i)
ε \ S(i)
ε — объединение нижних
оснований тонких стержней из i-класса, i = 1, 2. Учитывая, что max
R
|Y2| 6 1, из (4) следует
неравенство
‖v‖
L2(S
(2)
ε )
6 C2ε
−1/2‖v‖
H1(G
(2)
ε )
. (5)
Стандартным способом получаем ‖v‖
L2(Q
(2)
ε )
6 C3‖v‖H1(G
(2)
ε )
. С помощью тождества (4)
и ограничений на gε доказывается следующая лемма.
Лемма 1. При выполнении условий на функцию gε для любой функции ψ ∈ H1(D2)
имеет место следующая сходимость:
ε
∫
Υ
(2)
ε
gεψ dσx −→ 2
∫
D2
g0ψ dx при ε→ 0.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Пусть φ ∈ H1(D(1)
ε ). Тогда для почти всех t ∈ [−εl1, 0] легко доказать неравенство
‖φ(·, t) − 1
εl1
0∫
−εl1
φ(·, x2) dx2‖L2(0,a) 6 l1
√
ε‖∂x2φ‖L2(D
(1)
ε )
. (6)
Из (2) и (6) следует, что
1
εl1
0∫
−εl1
pε(x1, x2) dx2
s−→ p0(x1) в L2(0, a) при ε→ 0. (7)
Лемма 2. Для произвольной функции ψ ∈ H1(0, a) имеет место сходимость
∫
Υ
(1)
ε
pε(x)ψ(x1) dσx −→ (4h1 + 8l1)
∫
I0
p0(x1)ψ(x1) dx1 при ε→ 0. (8)
Доказательство. В этом случае мы используем аналогичный прием, который был при-
менен для “длинных” стержней. Записываем интегральное тождество (аналогичное (4))
∫
S
(1)
ε
pεϕdx2 =
2
h1ε
∫
G
(1)
ε
pεϕdx− 2
h1
∫
G
(1)
ε
Y1
(
x1
ε
)
∂x1(pεϕ) dx ∀ϕ ∈ H1(G(1)
ε ), (9)
где функция Y1 определяется следующим образом: она равна −t+b1, если t ∈ [0, δ0); −t+b2,
если t ∈ [δ0, 1/2); −t + 1 − b2, если t ∈ [1/2, 1 − δ0); −t + 1 − b1, если t ∈ [1 − δ0, 1). Здесь
δ0 = (b1 + b2)/2. Учитывая (2), (6) и (7), с помощью (9) выводим (8).
Следствие 1. Пусть φε ∈ H1(D(1)
ε ), норма ‖φε‖H1(D
(1)
ε )
— равномерно ограниченная
по ε и φε(x1, 0)
s−→ φ0(x1) в L2(0, a) при ε → 0. Тогда имеет место сходимость
∫
Υ
(1)
ε
pε(x)φε(x) dσx −→ (4h1 + 8l1)
∫
I0
p0(x1)φ0(x1) dx1 при ε→ 0. (10)
Лемма 3. Для любой функции v ∈ H1(Ωε,Γ1) имеют место оценки
∫
Υ
(1)
ε
v2(x) dσx 6 C1ε
∫
G
(1)
ε
|∇v|2 dx+ 4
∫
I0
v2(x1, 0) dx1, (11)
∫
Υ
(1)
ε
v2(x) dσx 6 C2‖v‖2
H1(Ωε)
. (12)
Доказательство. Представим значение функции v на вертикальной части границы
“малого” отростка, которые составляют S(1)
ε , в следующей форме:
v(x1, y) =
(x̆1,0)∫
(x1,y)
∂v
∂s
ds+ v(x̆1, 0). (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 19
Здесь x̆1 = x1+
h1
4l1
(εl1−y), а s — натуральный параметр отрезка [(x1, y); (x̆1, 0)]. С помощью
неравенства Коши–Буняковского выводим неравенство
v2(x1, y) 6 2C3ε
(x̆1,0)∫
(x1,y)
(
∂v
∂s
)2
ds + 2v2(x̆1, 0).
Интегрируя по y от −εl1 до 0, суммируя по всем боковым сторонам “малых” отростков
и оценивая следы по основаниям, получаем оценку (11), из которой вытекает (12).
Взяв ϕ = uε в интегральном тождестве (3) и учитывая неравенства (5) и (12), выводим
∫
Ωε
|∇uε|2 dx 6 C4
(
‖fε‖L2(Ωε) + ‖pε‖L2(Υ
(1)
ε )
+ εβ−(1/2)‖gε‖L2(Υ
(2)
ε )
)
‖uε‖H1(Ωε).
Тогда, в силу условий на функции fε, pε, gε, имеем ‖uε‖H1(Ωε) 6 C5.
3. Основные результаты и их обсуждение. Введем операцию продолжение нулем
для функций из пространства H1(G(2)
ε ): ỹε(x) = yε(x), если x ∈ G(2)
ε , и ỹε(x) = 0, если
x ∈ D2 \G(2)
ε . Здесь D2 = (0, a) × (−l2, 0) — прямоугольник, который заполняется тонкими
стержнями из второго класса в предельном переходе при ε → 0. С помощью результатов
пункта 2 доказываются следующие теоремы.
Теорема 1 (случай τ > 0 и µ > 1). Решение uε задачи (1) удовлетворяет соотношениям
uε|Ω0
w−→ v+
0 в H1(Ω0,Γ1), ũε
w−→ h2v
−
0 , ∂̃x2uε
w−→ h2∂x2v
−
0 , ∂̃x1uε
w−→ 0 в L2(D2) при
ε → 0. Причем функция v0, которая равна v+
0 на Ω0 и v−0 на D2, является единственным
решением задачи
−∆xv
+
0 (x) = f0(x), x ∈ Ω0,
v+
0 (x) = 0, x ∈ Γ1,
∂νv
+
0 (x) = 0, x ∈ ∂Ω0 \ (Γ1
⋃
I0),
−h2∂
2
x2x2
v−0 (x) + 2δµ,1k2v
−
0 (x) = h2f0(x) + δβ,1g0(x), x ∈ D2,
v+
0 (x1, 0) = v−0 (x1, 0), (x1, 0) ∈ I0,
(h2∂x2v
−
0 − ∂x2v
+
0 + δτ,0k1Ξ v+
0 )(x1, 0) = Ξ p0(x1), (x1, 0) ∈ I0,
∂x2v
−
0 (x1,−l2) = 0, (x1,−l2) ∈ Il2 ,
(14)
которая называется усредненной задачей для задачи (1). Здесь Il2 = {x : x2 = −l2, x1 ∈
∈ (0, a)}; δα,k — символ Кронекера; Ξ := (4h1 + 8l1) — длина границы “малых” стержней
на ячейке периодичности в растянутых координатах.
Кроме того, имеет место сходимость интегралов энергии при ε → 0 :
Eε(uε) : =
∫
Ωε
|∇xuε|2 dx+ ετk1
∫
Υ
(1)
ε
u2
ε dσx + εµk2
∫
Υ
(2)
ε
u2
ε dσx →
→
∫
Ω0
|∇v+
0 |2 dx+
∫
D2
(h2|∂x2v
−
0 |2+2δµ,1k2|v−0 |2) dx+δτ,0k1Ξ
∫
I0
|v+
0 (x1, 0)|2dx1 =: E0(v0).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Теорема 2 (случай τ < 0 и µ > 1). Для решения uε задачи (1) имеют место пределы
uε
w−→ v+
0 в H1(Ω0,Γ1), ũε
w−→ h2v
−
0 , ∂̃x2uε
w−→ h2∂x2v
−
0 , ∂̃x1uε
w−→ 0 в L2(D2) при ε → 0,
где функции v+
0 и v−0 являются соответственно решениями следующих задач:
{
−∆xv
+
0 (x) = f0(x), x ∈ Ω0,
v+
0 (x) = 0, x ∈ Γ1
⋃
I0, ∂νv
+
0 (x) = 0, x ∈ ∂Ω0 \ (Γ1
⋃
I0);
(15)
{
−h2∂
2
x2x2
v−0 (x) + 2δµ,1k2v
−
0 (x) = h2f0(x) + δβ,1g0(x), x ∈ D2,
v−0 (x1, 0) = 0, (x1, 0) ∈ I0, ∂x2v
−
0 (x1,−l2) = 0, (x1,−l2) ∈ Il2 ,
(16)
которые в совокупности называются усредненной задачей для задачи (1).
Кроме того, имеет место сходимость интегралов энергий при ε → 0:
Eε(uε) →
∫
Ω0
|∇v+
0 |2 dx+ h2
∫
D2
|∂x2v
−
0 |2 dx+ 2δµ,1k2
∫
D2
|v−0 |2 dx =: E0(v
+
0 ) + E0(v
−
0 ).
Теорема 3 (случай µ < 1). Для решения uε задачи (1) имеют место пределы uε
w−→ v+
0
в H1(Ω0,Γ1), ũε
s−→ 0 в L2(D2) при ε → 0, где функция v+
0 — решение задачи:
{
−∆xv
+
0 (x) = f0(x), x ∈ Ω0,
v+
0 (x) = 0, x ∈ Γ1
⋃
I0, ∂νv
+
0 (x) = 0, x ∈ ∂Ω0 \ (Γ1
⋃
I0).
(17)
Кроме того, имеет место сходимость интегралов энергий при ε → 0:
Eε(uε) →
∫
Ω0
|∇v+
0 |2 dx =: E0(v
+
0 ).
Из приведенных результатов видно существенное влияние краевых условий на асимпто-
тическое поведение решения задачи (1) (имеется три качественно разных случая). На стен-
ках тонких стержней из второго класса задано третье краевое условие ∂νuε +εµk2uε = εβgε.
На первый взгляд кажется, что нет никакой разницы между этим условием и однородным
условием Неймана, поскольку член k2uε умножается на εµ, а gε — на εβ ; µ > 1, β > 1.
Однако это верно только, если µ > 1, β > 1. Если же β = 1 и µ > 1, то слагаемое εgε
трансформируется в правую часть усредненного дифференциального уравнения в облас-
ти D2 (см. (14) и (16)). Если µ = 1, то мы получаем новый член 2k2v
−
0 в этом усредненном
уравнении в D2, который описывает локальную экстракцию величины, плотность которой
задается функцией v−0 .
Отметим качественное и тонкое влияния параметров τ и µ. Во-первых, при τ > 0 и µ > 1
мы получаем нестандартное неоднородное условие сопряжения
h2∂x2v
−
0 (x1, 0) − ∂x2v
+
0 (x1, 0) + δτ,0k1Ξv
+
0 (x1, 0) = Ξp0(x1), (x1, 0) ∈ I0, (18)
которое учитывает геометрию тонких стержней из первого класса и взаимодействие стенок
этих стержней с внешней средой.
Во-вторых, при τ < 0 и µ > 1 задача (1) фактически распадается в пределе на две не-
зависимые задачи (15) и (16). Аналогичный эффект отмечался в работе [9] для многоуров-
невых густых соединений. Однако в [9] такое распадение происходило за счет присутствия
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 21
однородных условий Дирихле на стенках тонких цилиндров из второго уровня, а в иссле-
дуемой задаче (1) эффект возникает как следствие очень большого взаимодействия стенок
“малых” стержней с внешней средой. В этом случае также исчезает зависимость от вели-
чины pε. Заметим, что функция pε может совпадать с функцией gε. Тогда в правой части
условия спряжения (18) появится след функции g0.
В случае µ < 1 взаимодействие стенок “длинных” стержней с внешней средой играет
превалирующую роль в асимптотическом поведении решения. Заметим, что оно (взаимо-
действие) локально может быть и не слишком большим при 0 6 µ < 1, однако за счет
суммарной длины границ “длинных” стержней дает такой эффект. В этом случае (µ < 1)
исчезает зависимость усредненной задачи (17) от величин gε, pε и параметров β и τ .
Работа Т.А. Мельника частично поддержана фондом имени Александра фон Гумбольдта, ра-
бота Г.А. Чечкина частично поддержана РФФИ.
1. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа
“густого гребешка” // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. – 1996. – 19. – С. 138–174.
2. Mel’nyk T.A. Homogenization of a singularly perturbed parabolic problem in a thick periodic junction of
type 3: 2: 1 // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, No 11. – P. 1737–1749.
3. Mel’nyk T.A. Homogenization of a boundary-value problem with a nonlinear boundary condition in a thick
junction of type 3: 2: 1 // Math. Models and Methods in Appl. Sciences. – 2008. – 31, No 9. – P. 1005–1027.
4. Мельник Т.А. Усреднение эллиптических уравнений, описывающих процессы в сильно неоднородных
тонких перфорированных областях с быстро изменяющейся толщиной // Докл. АН УССР. – 1991. –
10. – С. 15–19.
5. Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в
математике и физике Т. 3. – Новосибирск: Изд-во “Тамара Рожковская”, 2007. – 246 с.
6. Беляев А. Г., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Асимптотическое поведение решения краевой задачи
в перфорированной области с осциллирующей границей // Сиб. мат. журн. – 1998. – 39, № 4. –
С. 730–754.
7. Chechkin G.A., Friedman A., Piatnitski A. L. The boundary value problem in domains with very rapidly
oscillating boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231, No 1. – P. 213–234.
8. Чечкин Г.А., Чечкина Т.П. Об усреднении задач в областях типа “инфузории” // Тр. семинара
им. И.Г. Петровского. – 2003. – 23. – С. 386–407.
9. Мельник Т.А., Ващук П.С. Усреднение краевой задачи со сменным типом граничных условий в
густом соединении // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 5. – С. 677–685.
Поступило в редакцию 09.01.2008Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5818 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T21:24:32Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мельник, Т.А. Чечкин, Г.А. 2010-02-08T14:53:14Z 2010-02-08T14:53:14Z 2008 Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях / Т.А. Мельник, Г.А. Чечкин // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5818 517.956.225;517.956.8 We consider the homogenization problem in a singularly perturbed two-dimensional domain of a new type, which consists of a body of junction and a great number of alternating thin rods belonging to two classes. Under the assumption that one class consists of rods of finite length and the other consists of rods of small length and inhomogeneous Fourier boundary conditions (boundary conditions of the third type) with perturbed coefficients are set on the boundaries of thin rods, we prove the homogenization theorems and the convergence of the energy integrals. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях Мельник, Т.А. Чечкин, Г.А. Математика |
| title | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях |
| title_full | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях |
| title_fullStr | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях |
| title_full_unstemmed | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях |
| title_short | Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях |
| title_sort | асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5818 |
| work_keys_str_mv | AT melʹnikta asimptotičeskiianalizkraevyhzadačvgustyhkaskadnyhsoedineniâh AT čečkinga asimptotičeskiianalizkraevyhzadačvgustyhkaskadnyhsoedineniâh |