Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования
В статье рассматривается проблема регуляризации дифференцирования изображений с помощью репагулярного вейвлет-преобразования, для решения которой выполняется представление этого преобразования с помощью интегрирования дробного порядка....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2010
|
| Назва видання: | Штучний інтелект |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58403 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования / М.В. Полякова // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 287-296. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58403 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-584032025-02-23T20:05:25Z Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования Регуляризація диференціювання з використанням репагулярного вейвлет-перетворення Regularization of Differentiation with the Use of Repagular Wavelet Transform Полякова, М.В. Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений В статье рассматривается проблема регуляризации дифференцирования изображений с помощью репагулярного вейвлет-преобразования, для решения которой выполняется представление этого преобразования с помощью интегрирования дробного порядка. У статті розглядається проблема регуляризації диференціювання зображень за допомогою репагулярного вейвлет-перетворення, для вирішення якої виконується представлення цього перетворення за допомогою інтегрування дробового порядку. The paper is devoted to the problem of regularization of image differentiation by repagular wavelet transform for the decision of which this transform is expressed based on integration of fractional order. 2010 Article Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования / М.В. Полякова // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 287-296. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58403 681.3.01:519.67 ru Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений |
| spellingShingle |
Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений Полякова, М.В. Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования Штучний інтелект |
| description |
В статье рассматривается проблема регуляризации дифференцирования изображений с помощью репагулярного вейвлет-преобразования, для решения которой выполняется представление этого преобразования с помощью интегрирования дробного порядка. |
| format |
Article |
| author |
Полякова, М.В. |
| author_facet |
Полякова, М.В. |
| author_sort |
Полякова, М.В. |
| title |
Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования |
| title_short |
Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования |
| title_full |
Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования |
| title_fullStr |
Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования |
| title_full_unstemmed |
Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования |
| title_sort |
регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58403 |
| citation_txt |
Регуляризация дифференцирования с использованием репагулярного вейвлет-преобразования / М.В. Полякова // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 287-296. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Штучний інтелект |
| work_keys_str_mv |
AT polâkovamv regulârizaciâdifferencirovaniâsispolʹzovaniemrepagulârnogovejvletpreobrazovaniâ AT polâkovamv regulârizacíâdiferencíûvannâzvikoristannâmrepagulârnogovejvletperetvorennâ AT polâkovamv regularizationofdifferentiationwiththeuseofrepagularwavelettransform |
| first_indexed |
2025-11-24T23:12:47Z |
| last_indexed |
2025-11-24T23:12:47Z |
| _version_ |
1849715292607873024 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 4’2010 287
4П
УДК 681.3.01:519.67
М.В. Полякова
Одесский национальный политехнический университет, Украина
marina_polyakova@rambler.ru
Регуляризация дифференцирования
с использованием репагулярного
вейвлет-преобразования
В статье рассматривается проблема регуляризации дифференцирования изображений с помощью
репагулярного вейвлет-преобразования, для решения которой выполняется представление этого
преобразования с помощью интегрирования дробного порядка.
Введение
Одной из базовых процедур в системе компьютерного распознавания зритель-
ных образов является сегментация изображений на однородные по какому-либо
признаку или набору признаков области (сегменты). Целью этой процедуры является
уменьшение объема обрабатываемой при распознавании информации за счет выделения
границ однородных областей. Составной частью процедуры сегментации изображений
является подчеркивающее преобразование, задача которого – концентрация энергии
сигнала вблизи границ сегментов. Именно подчеркивающее преобразование определяет
главным образом помехоустойчивость процедуры сегментации и погрешность выделе-
ния границ однородных областей. Кроме того, при распознавании иерархических
объектов, т.е. имеющих структуру «объект-подобъект», а также при анализе сцен под-
черкивающее преобразование позволяет выделять объекты требуемых геометрических
размеров. Для таких задач требования к помехоустойчивости процедуры сегментации и
погрешности выделения границ объектов зависят от уровня иерархии последних.
В составе преобразования, подчеркивающего перепады значений признака сег-
ментации, часто используется дифференцирование. Задача дифференцирования изобра-
жений является некорректной [1], [2]. Чтобы избежать проблем, связанных с некоррект-
ностью задачи дифференцирования, последнее выполняют в пространстве обобщенных
функций. Для этого производят свертку изображения, подлежащего дифференцирова-
нию, с гладкой основной функцией, которая дифференцируется перед выполнением
свертки. Такая последовательность действий реализуется несколькими концептуально
различными способами.
1. Строится гауссовское масштабно-пространственное представление изображе-
ния, т.е. однопараметрическое семейство сглаженных изображений, линии уровня кото-
рых являются выпуклыми. Деталям изображений большого масштаба соответствуют
детали изображений малого масштаба, причем это соответствие устанавливается с по-
мощью гауссиана. Гладкость гауссиана позволяет определить в смысле обобщенных
функций производные изображения, для которого построено масштабно-простран-
ственное представление.
2. Используется регуляризация по Тихонову, т.е. ищется дифференцируемая функ-
ция, близкая в смысле некоторого критерия к изображению признака сегментации.
Минимизация соответствующего критерию функционала производится с помощью
регуляризации, учитывающей порядок производной.
Полякова М.В.
«Искусственный интеллект» 4’2010 288
4П
3. Применяется линейная фильтрация, реализующая дифференцирование, для
подчеркивания перепадов значений признака сегментации. Обычно предполагается, что
задана модель перепада значений признака сегментации, а также критерий качества
подчеркивания перепада [3].
В работе [4] выведена взаимосвязь между дифференцированием с помощью ре-
гуляризации по Тихонову и гауссовским масштабно-пространственным представле-
нием, а также показано, что фильтры Канни-Дерича могут применяться для решения
задачи регуляризации дифференцирования.
В случае иерархической структуры объекта распознавания для получения мас-
штабно-пространственного представления в [5] применялось репагулярное вейвлет-
преобразование (ВП). Это преобразование определено в [6] как свертка строк или
столбцов изображения с функцией sgn , ;( , )
0, ,
a
a
a
x x xx a
x
ε
ψ
ε
− ≤=
>
где aε – фиксиро-
ванное число, зависящее от (0,1)a∈ – параметра преобразования. Параметр а репа-
гулярного ВП определяет соотношение между помехоустойчивостью и погрешностью
выделения перепадов значений признака сегментации. Применение репагулярного ВП
для подчеркивания перепадов значений признака сегментации позволило достичь
более высокой помехоустойчивости по сравнению с применением дифференцирова-
ния [6]. Поэтому целесообразным является представление результата репагулярного ВП
как регуляризованного решения задачи дифференцирования.
Математический аппарат, используемый в данной работе, – операции дифферен-
цирования и интегрирования дробного порядка, которые представляют собой более
общий подход к подчеркиванию перепадов значений признака сегментации, включаю-
щий и обычное дифференцирование. Эти операции использовались наряду с обычным
дифференцированием в ряде работ [7], [8] для подчеркивания перепадов интенсив-
ности и других задач обработки изображений.
Целью данной работы является доказательство того, что применение репагу-
лярного ВП осуществляет регуляризацию дифференцирования. Для этого выполняется
представление репагулярного ВП с помощью интегрирования дробного порядка.
Представление репагулярного вейвлет-преобразования
с помощью интегрирования дробного порядка
Определение интегралов и производных дробного порядка зависит от свойств
функции, стоящей под знаком производной или интеграла, а также от области определе-
ния этой функции. В качестве области определения функции, стоящей под знаком
производной или интеграла, рассматривают конечный отрезок, полуось или ось.
Предполагают, что функция, стоящая под знаком дробной производной или интегра-
ла, является интегрируемой по Лебегу или обобщенной.
В данной работе дифференцирование или интегрирование дробного порядка при-
меняется к функции ( )g x , представляющей значения признака сегментации (напри-
мер, интенсивности) строки или столбца изображения. Предположим, что эта функция
задана на конечном отрезке [ ],a b и может быть нулями дополнена на всю вещественную
ось так, чтобы интегралы, участвующие в определении дробных производных, сходи-
лись на бесконечности и в точках отрезка [ ],a b . Например, выберем ( ) ( )pg x L R∈ , где
1 1/p α≤ < , α – порядок дробной производной или интеграла.
Регуляризация дифференцирования с использованием...
«Штучний інтелект» 4’2010 289
4П
Дробные производные на всей вещественной оси вводятся в [9] следующим обра-
зом. Выражение
1 ( )( )( )
(1 ) ( )
xd g t dtD g x
Г dx x t
α
αα+
−∞
=
− −∫ , x−∞ < < ∞
называется левосторонней дробной производной порядка α , а выражение
1 ( )( )( )
(1 ) ( )x
d g t dtD g x
Г dx x t
α
αα
∞
− =
− −∫ , x−∞ < < ∞
– правосторонней дробной производной порядка α , 0 1α< < .
Для 1≥α полагают
( ) 1
0
1
( )( ) ( )
( )
n n
n
n
dD g x t g x t dt
Г n dx
α α
α
∞
− =
±
±
=
− ∫ m , [ ] 1n α= + .
Дробные интегралы в случае вещественной оси обозначаются как
( ) 1
1 ( )( )
( ) ( )
x g t dtI g x
Г x t
α
αα+ −
−∞
=
−∫ , x−∞ < < ∞ ,
( ) 1
1 ( )( )
( ) ( )x
g t dtI g x
Г t x
α
αα
∞
− −=
−∫ , x−∞ < < ∞ ,
и называются интегралами дробного порядка α 0> , соответственно, левосторонним
и правосторонним.
Эти интегралы определены, например, на функциях ( ) ( , )pg x L∈ −∞ ∞ при 0 1α< <
и 1 1/p α≤ < .
Представим репагулярное ВП в терминах дробного интегрирования по всей ве-
щественной оси.
( ) ( ) ( ) ( )( , )
sgn( ) sgn( ) sgn( )
x
rep
x
g t dt g t dt g t dtT g x
x t x t x t x t x t x tα α αα
∞ ∞
−∞ −∞
= = + =
− − − − − −∫ ∫ ∫
( ) ( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
x
g t dt g t dt Г I g x Г I g x
x t t x
α α
α α α α
∞
− −
+ −
−∞
= − = −
− −∫ ∫ .
В частотной области репагулярное ВП в терминах дробного интегрирования
записывается с помощью формул преобразования Фурье дробного интеграла:
( )1 1€( ) ( ) / ( )F I g g iα αω ω ω− −
+ = − , 0 1 1α< − < , (1)
( )1 1€( ) ( ) / ( )F I g g iα αω ω ω− −
− = , 0 1 1α< − < , (2)
где
sgn
2( )
i
i e
βπ ωββω ω
±
± = , β – вещественное число, которое в данном случае равно 1 α− ,
F – оператор преобразования Фурье.
С учетом формул (1), (2) репагулярное ВП в частотной области имеет вид:
( ) ( ) ( )( )1 1
1 1
€ €( ) ( )( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
rep g gF T g x F Г I g x Г I g x Г Г
i i
α α
α α
ω ωα α α α α
ω ω
− −
+ − − −= − = −
−
. (3)
Обозначим результат репагулярного ВП функции )x(g через )x(f :
( ) ),x(gT)x(f rep α= .
Тогда формулу (3) в частотной области можно переписать в виде:
1 1
1 1€ €( ) ( ) ( )
( ) ( )
f Г g
i iα αω α ω
ω ω− −
= − −
.
Полякова М.В.
«Искусственный интеллект» 4’2010 290
4П
Преобразуем €( )f ω т. о., чтобы в сумме осталось только одно слагаемое:
(1 ) (1 )sgn sgn(1 ) (1 )2 2€ €( ) ( ) ( )
i i
f e e g Г
α π α πω ωα αω ω ω ω α
− − −
− − − −
= − ⋅ =
(1 ) (1 )sgn sgn(1 ) 2 2(1 ) €sin sgn 2 ( ) ( )
2
i i
i g Г e e
α π α πω ωαα π ω ω α ω
− − −
− −− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
(4)
(1 ) sgn(1 ) 2 (1 )€( ) ( ) sin sgn 2 ( )
2
i
i g e i Г
α π ωα α πω ω ω α
− −
− − − = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
Учитывая формулы (1), (2), получаем:
( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )€( ) ( ) cos sgn sin sgn sin sgn 2
2 2 2
f Г F I g i iα α π α π α πω α ω ω ω−
+
− − − = − × ⋅ =
( )(1 )
0
€( ) ( )Г F I g hαα ω−
+= ⋅ , (5)
где ( )2
0
(1 )€ ( ) 2sin sgn sin (1 ) sgn
2
h iα πω ω α π ω− = + −
.
В пространственной области
2
0
(1 ) sin((1 ) )( ) 2sin ( ) 2
2
h x x
x
α π α πδ− −
= − .
Регуляризованное решение задачи дифференцирования
изображения с применением репагулярного вейвлет-
преобразования
В [1] показано, что задача дифференцирования функции ( )g x , известной прибли-
женно, является существенно некорректной. Для решения существенно некорректных
задач применяются методы регуляризации [1].
Покажем, что регуляризованное решение задачи дифференцирования функции
( )g x , известной приближенно, может быть получено в результате применения репа-
гулярного ВП. В процессе этой операции производится дифференцирование регуляри-
зованного сигнала изображения.
Использование регуляризации в случае численного дифференцирования заклю-
чается в интерполяции и аппроксимации данных некоторой функцией с последующим
вычислением производных этой функции [2]. Предположим, что интерполяционная
или аппроксимирующая функция )(xu для значений строки или столбца изображе-
ния такова, что )x(f)x(u =′ . Тогда 1( )( ) ( )D u x f x+ = . Следовательно,
€ €( ) ( ) ( )f i uω ω ω= − . (6)
Используя соотношения (4) – (6), сформулируем следующую теорему.
Теорема. Если функционал
( )(2 ) 2€€ € € €[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E u g u i h u dαω ω ω λ ω ω ω ω
∞
−
−∞
= − + −∫ ,
где параметр λ>0 достигает экстремума при 0€ €( ) ( )u uω ω= , то в пространственной
области )x(u0 может быть представлена как линейная свертка функции )R(L)x(g 1∈
Регуляризация дифференцирования с использованием...
«Штучний інтелект» 4’2010 291
4П
с импульсной характеристикой фильтра )x(H , которой в частотной области соответ-
ствует передаточная функция
(2 )
0
2 €€( ) ( ) ( )H i hαω ω ω
λ
− −= − ,
где
(1 ) sgn
2
0
(1 )€ ( ) 2 sin sgn
2
i
h ie
α π ω α πω ω
− − − =
.
Доказательство. Из представления (5) следует, что
(1 ) (1 )
0 0
€ € €€( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f Г F I g h Г i g hα αω α ω ω α ω ω ω− − −
+= = − . (7)
Подставив в (7) соотношение (6), получаем
(1 )1 €€ €( ) ( ) ( )( ) ( ) 0
( )
g i h i u
Г
αω ω ω ω ω
α
−− + − − = , (8)
где 1
0
€ €( ) ( )h hω ω−= .
Уравнение (8) представляет собой условие равенства нулю первой вариации
функционала
2 21 €€ € € €[ ( )] ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
2 ( )
E u g u i h u d
Г
αω ω ω ω ω ω ω
α
∞
−
−∞
= − + −∫ , (9)
т.к.
0 0
(2 )
€ € € €( ) ( ) ( ) ( )
1 €€ €0 ( ) ( ) ( ) ( )
€ ( )u u u u
dE g i h u
du Г
α
ω ω ω ωω ω ω ω
α
−
= =
= = − + −
,
где 0€ ( )u ω – функция, на которой функционал (9) достигает экстремума. Последняя
может быть получена путем умножения преобразования Фурье €( )g ω исходной функ-
ции )x(g на (2 )
0
€€( ) ( )( ) ( )H Г i hαω α ω ω− −= − .
Обозначим 1
2 ( )Г
λ
α
= . Заметим, что 0λ > , в случае 0α > . Тогда (9) принимает вид:
2 2€€ € € €[ ( )] ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))E u g u i h u dαω ω ω λ ω ω ω ω
∞
−
−∞
= − + −∫ , (10)
а (2 )
0
2 €€( ) ( ) ( )H i hαω ω ω
λ
− −= − . Теорема доказана.
Функционал (10) является результатом формирования целевой функции задачи
оптимизации в области преобразования Фурье. Покажем, что этот функционал прини-
мает вещественные значения. По аналогии с доказательством предложения 1 работы [4]
предположим, что результат €( )g ω преобразования Фурье исходной функции ( )g x
является вещественным, а функция ( )g x симметрична относительно начала координат.
Так, если ( )g x представляет значения признака сегментации строки или столбца изо-
бражения, ее можно продолжить симметрично относительно начала координат. При
таком предположении функция ( )f x как результат репагулярного ВП ( )g x антисиммет-
рична относительно начала координат. Следовательно, преобразование Фурье €( )f ω функ-
ции ( )f x является чисто мнимым. Тогда согласно (6) функция €( )u ω принимает вещест-
венные значения. Выражение 1 €( ) ( )hi αω ω−− также является чисто мнимым потому, что
11 1
1
(1 ) sgn
20
( ) ( )€( ) ( ) € (1 )(1 )( ) 2sin sgn2 sin sgn
22
i
i ii h i
h ie
αα α
α
α π ω
ωω ωω ω
α πα πω ωω
−− −
−
− −
− −
− = = = −
− −
.
Полякова М.В.
«Искусственный интеллект» 4’2010 292
4П
Тогда выражение 2 €( ) ( )i hαω ω−− вещественно, т.к.
1
2 1€ €( ) ( ) ( )( ) ( )
(1 )2sin sgn
2
i h i i h
α
α α ω
ω ω ω ω ω ω
α π ω
−
− −− = − − = −
−
.
Следовательно, функционал (10) принимает вещественные значения и его опти-
мизация проводится в пространстве вещественных чисел.
В процессе доказательства теоремы было получено выражение для функционала
в частотной области, экстремум которого достигается на функции 0€ ( )u ω . Результатом
обратного преобразования Фурье от 0€ ( )u ω является функция 0 ( )u x в пространственной
области. Получим выражение для функционала в пространственной области, экстремум
которого достигается на функции 0 ( )u x .
Согласно равенству Парсеваля [10] для функций ( )q x , ( )v x и результатов пре-
образования Фурье этих функций имеем:
1 € €( ) ( ) ( ) ( )
2
q x v x dx q v dω ω ω
π
∞ ∞
−∞ −∞
=∫ ∫ , (11)
где черта над функцией означает комплексно-сопряженную величину. Равенство Парсе-
валя выполняется при условии, что ( )q x , ( )v x , €( )q ω , €( )v ω интегрируемы с квадратом
на оси R.
Применим равенство Парсеваля к (10). Сначала предположим, что € €( ) ( )q gω ω= ,
а € €( ) ( )v uω ω= . Так как €( )u ω – вещественная функция, то € €( ) ( )v uω ω= , а ( ) ( )q x g x= и
( ) ( )v x u x= . Следовательно,
€ €( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )q v d q x v x dx g x u x dxω ω ω π π
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ . (12)
Далее применим (11) ко 2-му слагаемому в (10). Полагая 2 2€ €( ) ( ) ( )q i uαω λ ω ω−= − , а
€€( ) ( )v hω ω= , имеем ( )21 /2( ) ( )q x D u xαλ −
+= , €€( ) ( )v hω ω= .
Получим представление функции €( )h ω в пространственной области. Для этого
преобразуем €( )h ω следующим образом.
(1 ) sgn1 12
0
(1 ) 1 (1 )€ €( ) ( ) sin sgn 2 1 sgn
2 2 2
i
h h e ictg
i
α π ω α π α πω ω ω ω
−
− − − − = = = −
. (13)
Тогда 4 (1 )( ) 2 ( ) 2
2
h x x ctg i
x
α πδ −
= + − .
С учетом (13) функция €( )h ω в пространственной области имеет вид:
1 1 (1 ) 4 (1 )€( ( )) 2 1 sgn 2 ( ) 2
2 2 2
i xF h ictg e dx x ctg i
x
ωα π α πω ω δ
π
∞
−
−∞
− − = + = − + ∫ . (14)
Используя (14) для 2-го слагаемого в (10), получаем
2 21 €€( ) ( ) ( )
2 ( )
i u h d
Г
αω ω ω ω
α
∞
−
−∞
− =∫
( )21 /21 4 (1 )2 ( ) 2 ( ) 2
2 ( ) 2
D u x x ctg i dx
Г x
α α ππ δ
α
∞
−
+
−∞
− = − +
∫ .
(15)
Регуляризация дифференцирования с использованием...
«Штучний інтелект» 4’2010 293
4П
Подставляя (12) и (15) в (10), имеем
( )21 /2 4 (1 )[ ( )] 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
2
E u x u x g x dx D u x x ctg i dx
x
α α ππ πλ δ
∞ ∞
−
+
−∞ −∞
− = − + − + =
∫ ∫
( ) ( )2 21 /2 1 /2(1 ) 12 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 8 ( )
2
u x g x dx D u x x dx ctg D u x dx
x
α αα ππ πλ δ πλ
∞ ∞ ∞
− −
+ +
−∞ −∞ −∞
−
= − + − +∫ ∫ ∫
( )21 /24 ( )i D u x dxαπλ
∞
−
+
−∞
+ ∫ .
С учетом известного соотношения [10] ( ) ( ) (0)v x x dx vδ
∞
−∞
=∫ , где ( )v x – некоторая
функция, [ ( )]E u x принимает вид:
( ) ( )2 21 /2 1 /2(1 ) 1[ ( )] 2 ( ) ( ) 4 (0) 8 ( )
2
E u x u x g x dx D u ctg D u x dx
x
α αα ππ πλ πλ
∞ ∞
− −
+ +
−∞ −∞
−
= − + − +∫ ∫
( )21 /24 ( )i D u x dxαπλ
∞
−
+
−∞
+ ∫ .
Введем параметр 0 2iλ λµ= , где µ – чисто мнимое число, такое, что Im 0µ ≤ . То-
гда 0 0λ ≥ , причем 0 Rλ ∈ . Видоизмененный с учетом значения 0λ функционал [ ( )]E u x
обозначим 1[ ( )]E u x . Он имеет вид:
( ) ( )2 21 /2 1 /2
1 0[ ( )] 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 (0)E u x u x g x dx D u x dx D uα απ λ π λπ
∞ ∞
− −
+ +
−∞ −∞
= − + + −∫ ∫
( )21 /2(1 ) 18 ( )
2
ctg D u x dx
x
αα ππλ
∞
−
+
−∞
−
− ∫ .
(16)
Интерпретация подчеркивающего преобразования
как результата регуляризации задачи
дифференцирования изображения
Методы регуляризации в задаче сегментации изображения используются с целью
избежать некорректности решения, вызванной наличием шума. Это происходит, когда
область значений подчеркивающего преобразования изображения не замкнута или
когда задача является существенно некорректной. Последнее означает, что изменения
правой части операторного уравнения задачи обработки изображения, связанные с на-
личием шума, могут выходить за пределы образа множества исходных изображений
при отображении его упомянутым оператором. Так как изображение неизбежно содер-
жит шум, методы регуляризации являются хорошим инструментом для решения задачи
сегментации изображений.
Основная идея метода регуляризации Тихонова заключается в том, что вводится
последовательность непрерывных приближений не непрерывного оператора. Регуляри-
зация обобщенного решения осуществляется через однопараметрическое семейство
непрерывных операторов
0 0, 0Rλ λ > , таких, что при
00 0 ( )R g xλλ → стремится к обоб-
щенному решению. Применение
0
Rλ к незашумленному изображению дает приближен-
ное решение, которое улучшается при 0 0λ → с точки зрения качества приближения.
Однако если изображение содержит шум, имеем
0 0 0
( ) ( ) ( )R g x R g x R n xλ ε λ λ ε= + , где
Полякова М.В.
«Искусственный интеллект» 4’2010 294
4П
( ) ( ) ( )g x g x n xε ε= + , ( )n xε – шум. Слагаемое
0
( )R n xλ ε , отвечающее за распростра-
нение ошибки приближения, расходится при 0 0λ → . Поэтому вводится функционал
( ( )) ( ( ))g x g xε ελΦ + Ψ и метод регуляризации путем выбора параметра 0λ выполняет
согласование между качеством приближения, определяемым слагаемым ( ( ))g xεΦ , и
распространением ошибки, выражаемым слагаемым ( ( ))g xεΨ .
Доказанное в этой работе предложение утверждает, что проинтегрированный
результат репагулярного ВП исходного изображения доставляет минимум функциона-
лу (16), представляющему целевую функцию оптимизационной задачи на безусловный
экстремум. Представим эту задачу на безусловный экстремум как результат применения
метода неопределенных множителей Лагранжа к вариационной задаче на условный
экстремум. Тогда последняя реализует вариационный принцип отбора возможных ре-
шений для метода регуляризации, применяемого к некорректной задаче дифференци-
рования изображений. Сформулируем вариационную задачу на условный экстремум,
для которой функционал (16) представляет собой функцию Лагранжа. Для этого за-
метим, что минимизация скалярного произведения 2 ( ) ( )u x g x dxπ
∞
−∞
− ∫ по ( )u x может
проводиться путем минимизации квадрата евклидового расстояния между этими
функциями. Известно, что репагулярные вейвлет-функции характеризуются разной
регулярностью, охватывая диапазон от производной дельта-функции ( )xδ ′ до функции
Хевисайда ( )xθ [11]. Путем свертки с ( )xδ ′ осуществляется обработка изображения
в дифференциальных методах контурной сегментации, тогда как ( )xθ является мо-
делью перепада интенсивности для корреляционно-экстремальных методов.
В данной работе предполагалось, что исходная функция ( )g x представляет строку
или столбец изображения, а ( )f x – результат репагулярного ВП функции ( )g x . Тогда
перепадам значений признака сегментации функции ( )g x соответствуют пики ( )f x ,
ширина которых зависит от значения α , параметра репагулярного ВП.
Функция ( )u x определяет проинтегрированный результат репагулярного ВП.
Поэтому перепадам значений признака сегментации функции ( )g x соответствуют сгла-
женные перепады значений признака сегментации ( )u x . Чем шире пики ( )f x , тем более
сглаженной является функция ( )u x и выше значение 2 ( ) ( )u x g x dxπ
∞
−∞
− ∫ . В этом случае
результат репагулярного ВП приближается к результату согласованной фильтрации.
Следовательно, слагаемое 2 ( ) ( )u x g x dxπ
∞
−∞
− ∫ при минимизации функционала (16) опре-
деляет качество приближения функции ( )g x функцией ( )u x . Последнее влияет на
такую характеристику подчеркивающего преобразования, как погрешность определения
координат точек перепадов значений признака сегментации изображения.
Известно, что функция Лагранжа строится для оптимизационной задачи с огра-
ничениями в виде равенств. В процессе определения вида этих ограничений, прежде
всего, слагаемому ( )21 /2(1 ) 18 ( )
2
ctg D u x dx
x
αα ππλ
∞
−
+
−∞
−
∫ поставим в соответствие огра-
ничение ( )21 /2 1( ) 0D u x dx
x
α
∞
−
+
−∞
=∫ .
Регуляризация дифференцирования с использованием...
«Штучний інтелект» 4’2010 295
4П
Это условие означает, что квадрат левосторонней дробной производной от про-
интегрированного результата подчеркивающего преобразования должен затухать на
бесконечности, убывать в окрестности нуля, а также должен быть симметричным
относительно начала координат. Тогда, с точки зрения обработки изображения, пик-
сели, расположенные по обе стороны контура, равноценны.
Условие убывания квадрата левосторонней дробной производной от проинте-
грированного результата подчеркивающего преобразования в окрестности нуля позво-
ляет, приравняв 3-е слагаемое функционала (16) к нулю, сформулировать ограниче-
ние ( )21 /2 (0) 0D uα−
+ = .
Значение слагаемого ( )21 /2
02 ( )D u x dxαλ π
∞
−
+
−∞
∫ возрастает при уменьшении
ширины пиков результата репагулярного ВП функции ( )g x . Тогда это слагаемое
определяет распространение ошибки приближения функции ( )g x функцией ( )u x и
влияет на помехоустойчивость подчеркивающего преобразования.
Слагаемое ( )21 /2
02 ( )D u x dxαλ π
∞
−
+
−∞
∫ в выражении (16) представляет собой стаби-
лизирующий функционал при вариационном подходе к регуляризации задачи дробного
дифференцирования изображений. Это обусловлено тем, что ( )21 /2 ( ) 0D u xα−
+ ≥ и 0 0λ ≥
как неопределенный множитель Лагранжа. Вариационный принцип отбора возможных
решений задачи регуляризации осуществляется путем минимизации именно стабилизи-
рующего функционала, который интерпретируется как условие гладкости проинте-
грированного результата подчеркивающего преобразования вдоль контуров объектов
на изображении. Физическим основанием для этого условия является то, что в силу
свойств процесса обработки незашумленному изображению соответствует ограничен-
ный спектр и, следовательно, оно имеет ограниченную производную [2].
Выводы
Получено представление репагулярного ВП с помощью интегрирования дробного
порядка. Доказано, что применение репагулярного ВП осуществляет регуляризацию
дифференцирования изображения. Следовательно, рассматриваемое преобразование
может использоваться для подчеркивания границ однородных областей при построении
методов сегментации изображений в задачах распознавания иерархических объектов, а
также при анализе сцен. Направлением дальнейших исследований предполагается
построение масштабно-пространственного представления изображений с применением
репагулярного ВП.
Литература
1. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. – М. : Наука,
1979. – 285 с.
2. Бертеро М. Некорректные задачи в предварительной обработке визуальной информации / М. Бертеро,
Т.А. Поджо, В. Торре // ТИИЭР. – 1988. – Т. 76, № 8. – С. 17-40.
3. Canny J.E. A computational approach to edge detection / J.E. Canny // IEEE Trans. Pattern Analysis and
Machine Intelligence. – 1986. – № 8. – P. 679-698.
4. Nielsen M. Regularization, scale-space and edge detection filters / M. Nielsen, L. Florack, R. Deriche //
J. Math. Imag. Vision. – 1997. – Vol. 7, № 4. – P. 291-307.
Полякова М.В.
«Искусственный интеллект» 4’2010 296
4П
5. Полякова М.В. Линейное масштабно-пространственное представление изображений с помощью
вейвлет-преобразования / М.В. Полякова, В.Н. Крылов, Н.А. Гуляева // Искусственный
интеллект. – 2008. – № 4. – С. 776-784.
6. Полякова М.В. Морфологический метод контурной сегментации изображений на основе
репагулярного вейвлет-преобразования / М.В. Полякова, В.Н. Крылов // Труды Одес. политех. ун-
та. – Одесса, 2006. – Вып. 1 (25). – С. 98-103.
7. Vijayasaradhi G. A fractional derivative approach for robust segmentation of blood vessels in digital
fundus retinal images / G. Vijayasaradhi, S. Balasubramanian, V. Chandrasekaran // International
Journal of Imaging Science and Engineering. – 2008. – Vol. 2, № 1. – P. 166-169.
8. Fractional differentiation for edge detection / B. Mathieu, P. Melchior, A. Oustaloup [et al.] // Elsevier
Signal Processing. – 2003. – Vol. 83. – P. 2421-2432.
9. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Самко С.Г.,
Килбас А.А., Маричев О.И. – Минск : Наука и техника, 1987. – 688 с.
10. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. –
Вып. 1. – М. : Физматгиз, 1959. – 470 с.
11. Полякова М.В. Контурная сегментация изображений с помощью репагулярного вейвлет-преобра-
зования в пространстве обобщенных функций / М.В. Полякова, В.Н. Крылов, Н.А. Гуляева //
Электроника и связь. – Киев : НТУУ «КПИ», 2007. – № 6. – С. 2631.
М.В. Полякова
Регуляризація диференціювання з використанням репагулярного вейвлет-перетворення
У статті розглядається проблема регуляризації диференціювання зображень за допомогою репагулярного
вейвлет-перетворення, для вирішення якої виконується представлення цього перетворення за допомогою
інтегрування дробового порядку.
M.V. Polyakova
Regularization of Differentiation with the Use of Repagular Wavelet Transform
The paper is devoted to the problem of regularization of image differentiation by repagular wavelet transform
for the decision of which this transform is expressed based on integration of fractional order.
Статья поступила в редакцию 19.07.2010.
|