К вопросу о статистическом моделировании надежности
Разработаны генераторы случайных чисел, распределенных в соответствии с DN- распределением, экспоненциальным распределением, логарифмически нормальным распределением и распределением Вейбулла. Исследованы их характеристики точности, стабильности, независимости и быстродействия. Розроблено генер...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58521 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К вопросу о статистическом моделировании надежности / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес-Гарсия // Мат. машини і системи. — 2006. — № 1. — С. 156-163. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859514480602382336 |
|---|---|
| author | Федухин, А.В. Сеспедес-Гарсия, Н.В. |
| author_facet | Федухин, А.В. Сеспедес-Гарсия, Н.В. |
| citation_txt | К вопросу о статистическом моделировании надежности / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес-Гарсия // Мат. машини і системи. — 2006. — № 1. — С. 156-163. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Разработаны генераторы случайных чисел, распределенных в соответствии с DN-
распределением, экспоненциальным распределением, логарифмически нормальным распределением и
распределением Вейбулла. Исследованы их характеристики точности, стабильности, независимости и
быстродействия.
Розроблено генератори випадкових чисел, які розподілені у відповідності до DN-розподілу,
експоненційного розподілу, логарифмічно нормального розподілу та розподілу Вейбулла. Досліджено їх
характеристики точності, стабільності, незалежності і швидкодії.
Generators of the random numbers distributed according to DN-distribution, exponential distribution,
lognormally distribution and distribution Weibull are developed. Their characteristics of accuracy, stability,
independence and speed are investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:34:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1 156
УДК 681.32.019.3
А.В. ФЕДУХИН, Н.В. СЕСПЕДЕС-ГАРСИЯ
К ВОПРОСУ О СТАТИСТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НАДЕЖНОСТИ
Abstract: Generators of the random numbers distributed according to DN-distribution, exponential distribution,
lognormally distribution and distribution Weibull are developed. Their characteristics of accuracy, stability,
independence and speed are investigated.
Key words: random numbers, the law of distribution, accuracy, stability, independence, speed.
Анотація: Розроблено генератори випадкових чисел, які розподілені у відповідності до DN-розподілу,
експоненційного розподілу, логарифмічно нормального розподілу та розподілу Вейбулла. Досліджено їх
характеристики точності, стабільності, незалежності і швидкодії.
Ключеві слова: випадкові числа, закон розподілу, точність, стабільність, незалежність, швидкодія.
Аннотация: Разработаны генераторы случайных чисел, распределенных в соответствии с DN-
распределением, экспоненциальным распределением, логарифмически нормальным распределением и
распределением Вейбулла. Исследованы их характеристики точности, стабильности, независимости и
быстродействия.
Ключевые слова: случайные числа, закон распределения, точность, стабильность, независимость,
быстродействие.
1. Введение
Методы статистического моделирования довольно часто используются в практике надежности. Их
можно использовать как для имитации результатов испытаний на надежность изделий и систем,
так и для исследования наилучших вариантов выравнивания статистических данных или
исследования процессов деградации. Данные методы основаны на применении генератора
случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения. В качестве случайной
величины чаще всего выбирается время до отказа i-го изделия или время достижения процессом
деградации предельного значения. Статистическое моделирование позволяет имитировать любой
план испытаний и получать все статистические оценки исследуемой выборки «отказавших»
изделий. Переход к количественным показателям надежности осуществляется либо
непосредственно через статистические оценки (моменты и квантили) при непараметрических
методах оценки надежности, либо путем вычисления параметров теоретических распределений
отказов.
Способ моделирования случайных величин основан на использовании генератора
равномерно распределенных в интервале [0, 1] псевдослучайных последовательностей чисел,
которые используются в качестве значения вероятности отказа объекта. Задаваясь функцией
распределения ( )ν,; stF , можно выбирать случайное значение γ из равномерного
распределения в интервале [0, 1] и определять значение аргумента tγ , для которого
( ) γν =,; stF . Полученная таким образом случайная величина γt будет иметь заданную функцию
распределения ( )ν,;stF . Входными параметрами генератора случайных чисел являются
математическое ожидание s случайной величины t для однопараметрических функций
распределения или математическое ожидание s и коэффициент вариации v для
двухпараметрических функций распределения.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1
157
2. Моделирование случайных величин с функцией DN – распределения
Задаваясь функцией DN-распределения [1, 2] и решая уравнение (1) относительно t
( ) ( ) γ=
+−+
−= −
stv
st
Фv
stv
st
ФvstDN
1
2exp
1
,; 2 ,
(1)
где ( ) ∫
∞−
−=
z
dx
x
zФ
2
exp
2
1 2
π
– нормированное нормальное распределение; s –
математическое ожидание случайной величины t ; v – коэффициент вариации случайной
величины t , получим случайную величину γt , которая будет иметь заданную функцию
распределения ( )ν,; stDN . Входными параметрами генератора случайных чисел по DN-
распределению являются математическое ожидание s и коэффициент вариации v случайной
величины t .
Решение уравнения (1) относительно t осуществляется с помощью итерационной
процедуры. При этом с целью повышения быстродействия генератора рекомендуется задавать
плавающую точность вычисления γt , равную ε =0,001γ .
С целью упрощения вычислений интегральные функции нормированного нормального
распределения )(zФ можно заменять разложением в ряд. Один из вариантов такого разложения
приведен ниже:
для 0>A ( ) 211,; FEFstF ⋅+−=ν ;
0<A ( ) 23,; FEFstF ⋅+=ν ,
где ( )22exp −= VE ;
st
st
A
ν
1−= ;
st
st
B
ν
1+−= ;
( ) 166
6
5
5
4
4
3
3
2
211 1
2
1 −++++++= ACACACACACACF ;
( ) 166
6
5
5
4
4
3
3
2
212 1
2
1 −+−+−+−= BCBCBCBCBCBCF ;
( ) 166
6
5
5
4
4
3
3
2
213 1
2
1 −+−+−+−= ACACACACACACF ;
1C =4,986734E-02; 2C =0,021141; 3C =3,27763E-03;
4C =3,80036E-05; 5C =4,88906E-05; 6C =5,383E-06.
Описанный подход по генерации случайных чисел может быть практически реализован на
любом алгоритмическом языке программирования, в состав которого входит встроенная функция
генератора равномерного распределения RND. На рис. 1 и 2 приведены гистограммы,
соответственно, генератора равномерного распределения γ в диапазоне [0,1] и генератора
случайных чисел по DN-распределению (DNGEN) для выборки объемом N = 300.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1 158
28
26 25
29
34 33 33
31 30 31
0
5
10
15
20
25
30
35
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
75
115
44
26
5 9 3 4 5 4
0
20
40
60
80
100
120
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Рис. 1. Гистограмма генератора случайных чисел по
равномерному распределению
в интервале [0,1], N =300
Рис. 2. Гистограмма генератора случайных чисел по
DN-распределению, N =300, ŝ =1,03 и ν̂ =0,81
Для исследования выходных характеристик генератора ( ŝ и v̂ ) и оценки его стабильности
было проведено моделирование 30 выборок объемом N = 300. Полученные характеристики iŝ и
iv̂ были обработаны специальной программой, в результате которой определились статистические
оценки точности выходных характеристик генератора [ ]sM ˆ =0,9996 и [ ]ν̂M =1,003. Результаты
моделирования для начальных параметров генератора s =1 и ν =1 показали, что оценки оказались
эффективными, т.к. дисперсии среднего и коэффициента вариации малы: [ ] =sD ˆ 0,0018,
[ ] =vD ˆ 0,0077. Относительная погрешность среднего составила =
Ŝ
δ 1,94% в сторону занижения, а
относительная погрешность коэффициента вариации =νδ ˆ 4,97% – в сторону завышения.
Коэффициент вариации среднего составил [ ] =sV 0,0429, коэффициент вариации коэффициента
вариации [ ]=vV ˆ 0,0838. Эти две оценки показывают разброс между выборками, т.е. стабильность
формирования выборок случайных величин с заданными параметрами. Для оценки случайности
выборок вычислялся коэффициент парной корреляции [ ]YXK , по формуле (2) для двух выборок
N = 300.
[ ]
( )( )
( ) ( )∑∑
∑
==
=
−−
−−
=
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
YX
yy
N
xx
N
yyxx
N
K
1
2
1
2
1
,
11
1
,
(2)
где x yi i, – элементы 1-ой и 2-ой исследуемых выборок; ∑
=
=
N
i
ix
N
x
1
1
; ∑
=
=
N
i
iy
N
y
1
1
.
В результате расчетов коэффициент парной корреляции равен [ ]YXK , =0,1091, что
свидетельствует о достаточной независимости выборок, формируемых генератором DNGEN.
3. Моделирование случайных величин с функцией экспоненциального распределения
Функция экспоненциального распределения имеет вид
)exp(1);( ttE λλ −−= ,
где λ – интенсивность отказов.
n
γ
n
t
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1
159
Для удобства использования проведем параметризацию функции экспоненциального
распределения через параметр s , используя известное выражение
s
1=λ .
Задаваясь функцией экспоненциального распределения и решая уравнение (3)
относительно t
γ=−−= )exp(1);(
s
t
stE ,
(3)
получим случайную величину γt , которая будет иметь заданную функцию распределения ( )stE ; .
Так как функция экспоненциального распределения является однопараметрической, то входным
параметром генератора случайных чисел по экспоненциальному распределению являются
математическое ожидание s случайной величины t .
88
60
42
32
21
16
12 9 7 4 2 3 1 2 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,
34
1,
02 1,
7
2,
38
3,
06
3,
74
4,
42 5,
1
5,
73
Рис. 3. Гистограмма генератора случайных чисел по
экспоненциальному распределению, N =300,
ŝ =1,0 и ν̂ =0,99
Уравнение (3) решается в
аналитическом виде и выражение для
квантиля распределения имеет вид
)1ln( γγ −−= st . (4)
На рис. 3 приведена гистограмма
генератора случайных чисел по
экспоненциальному распределению (ЕGEN)
для выборки объемом N = 300.
Не трудно видеть, что гистограмма
(рис.3) хорошо выравнивается теоретической
функцией плотности экспоненциального
распределения.
4. Моделирование случайных величин с функцией логарифмически нормального
распределения
Задаваясь функцией логарифмически нормального распределения, имеем
γ
σ
µσµ =
−= t
ФtLN
ln
),;( ,
(5)
де )1ln(
2
1
ln
2s
D
s +−=µ ;
2
1
2
)1ln(
+=
s
Dσ ; D – дисперсия случайной величины t . Для
удобства использования проведем параметризацию функции логарифмически нормального
распределения в параметрах s и ν , используя известное выражение
s
D=ν .
)1ln(
2
1
ln 2νµ +−= s ; [ ] 2
1
2 )1ln( νσ += .
(6)
Подставив (6) в (5), получим
n
t
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1 160
[ ] [ ]
γ
ν
ν
ν
ν
ν =
+
+
=
+
++−
=
2
1
2
2
12
2
1
2
2
)1ln(
)1(
ln
)1ln(
)1ln(
2
1
lnln
),;(
s
t
Ф
st
ФstLN .
(7)
Решая уравнение (7) относительно t , получим случайную величину γt , которая будет
иметь заданную функцию распределения ( )ν,; stLN . Входными параметрами генератора
случайных чисел по логарифмически нормальному распределению являются математическое
ожидание s и коэффициент вариации ν случайной величины t .
Решение уравнения (7) относительно t осуществляется с помощью итерационной
процедуры. С целью упрощения вычислений интегральную функцию нормированного нормального
распределения )(zФ можно заменять разложением в ряд (см. р. 2):
для 0>A ( ) 11,; FstF −=ν ;
0<A ( ) 3,; FstF =ν ,
где
[ ]
+
+
=
2
1
2
2
12
)1ln(
)1(
ln
ν
ν
s
t
ФA .
На рис. 4 приведена гистограмма генератора случайных чисел по логарифмически
нормальному распределению (LNGEN) для выборки объемом N = 300. Не трудно видеть, что
гистограмма (рис. 4) хорошо выравнивается теоретической функцией плотности логарифмически
нормального распределения.
45
88
54
41
18 15 12
5 7
2 3 1 2 2 1 1 1 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,
33
0,
99
1,
65
2,
31
2,
97
3,
63
4,
29
4,
95
5,
61
Рис. 4. Гистограмма генератора случайных чисел по
логарифмически нормальному распределению, N =300,
ŝ =1,04 и ν̂ =1,02
5. Моделирование случайных величин с
функцией распределения Вейбулла
Задаваясь функцией распределения
Вейбулла, имеем
γ=
−−=
b
a
t
batW exp1),;( , (8)
где
ν
1=b ; ( )ν+
=
+
=
11
1
Г
s
b
Г
s
a ;
)(zГ – гамма-функция.
n
t
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1
161
Для удобства использования проведем параметризацию функции распределения Вейбулла в
параметрах s и ν :
γνν
ν
=
+−−=
1
)1(
exp1),;(
s
tГ
stW .
(9)
Ниже, в табл. 1, приведены значения гамма – функции )(zГ для наиболее
распространенных значений коэффициента вариации ν .
Решая (9) относительно t , получим случайную величину γt ,
которая будет иметь заданную функцию распределения
( )ν,; stW . Уравнение (9) решается в аналитическом виде, и
выражение для квантиля распределения выглядит следующим
образом:
γν ν
=
+−−
1
)1(
exp1
s
tГ
;
ννγ
1
)1(
)1ln(
+−=−
s
tГ
;
[ ]
s
tГ )1(
)1ln(
νγ ν +=−− . Откуда имеем
[ ]
)1(
)1ln(
ν
γ ν
γ +
−−=
Г
s
t .
(11)
Входными параметрами генератора случайных чисел по распределению Вейбулла являются
математическое ожидание s и коэффициент вариации ν случайной величины t .
На рис. 5 и 6 приведены гистограммы генератора случайных чисел по распределению
Вейбулла (WGEN) для выборок объемом N = 300 и, соответственно, коэффициентов вариации
ν =1 и ν =0,7.
101
76
39
28
1510 9 6 5 4 1 1 1 2 1 1
0
20
40
60
80
100
120
0,4
1
1,2
3
2,0
5
2,8
7
3,6
9
4,5
1
5,3
3
6,1
5
6,9
7
25
35
47
52
42
26
1714
10 7 6 5 4 4 1 1 2 2
0
10
20
30
40
50
60
0,1
9
0,5
7
0,9
5
1,3
3
1,7
1
2,0
9
2,4
7
2,8
5
3,2
3
Рис. 5. Гистограмма генератора случайных чисел
по распределению Вейбулла, N =300, ŝ =1,05 и
ν̂ =1,06
Рис. 6. Гистограмма генератора случайных чисел по
распределению Вейбулла, N =300, ŝ =0,96 и
ν̂ =0,7
При ν =1 распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение (рис.
5), а при ν =0,7 гистограмма (рис. 6) хорошо выравнивается традиционной одномодальной
функцией плотности распределения с левой асимметрией.
Таблица 1
ν )1( ν+Г
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,75
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
0,8975
0,8873
0,8862
0,8935
0,9086
0,9191
0,9314
0,9618
1,0000
1,0465
1,1018
1,1667
n
t
n
t
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1 162
6. Сравнительная оценка стабильности и точности генераторов случайных чисел
Для исследования выходных характеристик генераторов ( ŝ и v̂ ) и оценки их стабильности было
проведено моделирование 30 выборок объемом N = 300. В табл. 2 приведены статистические
оценки точности и стабильности выходных характеристик четырех разработанных генераторов.
Таблица 2. Характеристики генераторов случайных чисел
Числовые значения характеристик генераторов
Обозначение характеристики DNGEN EGEN LNGEN WGEN
генератора s =1,0
ν =1,0
s =1,0 s =1,0
ν =1,0
s =1,0
ν =1,0
s =1,0
ν =0,7
Математическое ожидание среднего
[ ]sM ˆ
0,9996 0,9968 0,9902 0,9996 1,0044
Математическое ожидание
коэффициента вариации [ ]ν̂M
1,003 0,9951 0,9484 0,9802 0,6999
Дисперсия среднего [ ]sD ˆ 0,0018 0,0002 0,0017 0,0030 0,0016
Дисперсия коэффициента вариации
[ ]vD ˆ
0,0077 0,0007 0,0004 0,0023 0,0009
Относительная погрешность
среднего
Ŝ
δ
0,0194 0,0032 0,0098 0,0004 -0,0044*
Относительная погрешность
коэффициента вариации νδ ˆ
-0,0497* - 0,0516 0,0198 0,0002
Коэффициент вариации среднего
[ ]sV ˆ
0,0429 0,0147 0,0411 0,0552 0,0400
Коэффициент вариации
коэффициента вариации [ ]vV ˆ
0,0838 0,0272 0,0204 0,0494 0,0433
Коэффициент парной корреляции
[ ]YXK ,
0,1091 0,0195 0,0513 0,0130 0,0308
Время формирования случайного
числа, сек.
0,113 0,0023 0,09 0,002
* - знак «-» означает завышение в среднем выходных параметров генератора ( [ ]sM ˆ или [ ]ν̂M ) по
отношению к задаваемым входным параметрам s или ν .
7. Выводы
Разработанные генераторы случайных чисел имеют высокую точность и стабильность работы при
достаточно высоком быстродействии, что обеспечивает их практическую пригодность для
моделирования надежности различных систем.
Относительная погрешность в работе генераторов по среднему и коэффициенту вариации
зависит от сложности процедуры вычисления квантиля распределения. В этом отношении
наименьшую точность имеют генераторы DNGEN и LNGEN, использующие итерационные
процедуры вычисления квантилей распределения. В целом погрешность генераторов по среднему
составляет от 0,04% до 1,9%, а по коэффициенту вариации – от 0,02% до 4,9%.
Стабильность работы генераторов характеризуется коэффициентами вариации выходных
параметров. Чем они меньше, тем стабильнее работают генераторы. В нашем случае
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 1
163
коэффициенты вариации среднего находятся в диапазоне от 0,015 до 0,055, а коэффициенты
вариации коэффициента вариации – от 0,02 до 0,084.
Независимость или случайность выборок, формируемых генераторами, характеризуется
коэффициентом парной корреляции (при [ ]YXK , =1 выборки X и Y считаются полностью
взаимозависимыми). В нашем случае коэффициент парной корреляции находится в диапазоне от
0,013 до 0,11, что вполне удовлетворяет требованиям по независимости выборок в задачах по
моделированию надежности.
Разработанные генераторы случайных чисел могут найти широкое применение в задачах
моделирования надежности систем в рамках различных гипотез о теоретических законах
распределения отказов элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. –
К.: Логос, 2002. – 486 с.
2. Сеспедес-Гарсия Н.В. Статистическое моделирование надежности системы с последовательной структурой
элементов // Математические машины и системы. – 1999. – № 2. – С. 123–127.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58521 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:34:18Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Федухин, А.В. Сеспедес-Гарсия, Н.В. 2014-03-26T13:51:44Z 2014-03-26T13:51:44Z 2006 К вопросу о статистическом моделировании надежности / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес-Гарсия // Мат. машини і системи. — 2006. — № 1. — С. 156-163. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58521 681.32.019.3 Разработаны генераторы случайных чисел, распределенных в соответствии с DN- распределением, экспоненциальным распределением, логарифмически нормальным распределением и распределением Вейбулла. Исследованы их характеристики точности, стабильности, независимости и быстродействия. Розроблено генератори випадкових чисел, які розподілені у відповідності до DN-розподілу, експоненційного розподілу, логарифмічно нормального розподілу та розподілу Вейбулла. Досліджено їх характеристики точності, стабільності, незалежності і швидкодії. Generators of the random numbers distributed according to DN-distribution, exponential distribution, lognormally distribution and distribution Weibull are developed. Their characteristics of accuracy, stability, independence and speed are investigated. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення К вопросу о статистическом моделировании надежности До питання про статистичне моделювання надійності To the problem of statistical modeling of reliability Article published earlier |
| spellingShingle | К вопросу о статистическом моделировании надежности Федухин, А.В. Сеспедес-Гарсия, Н.В. Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення |
| title | К вопросу о статистическом моделировании надежности |
| title_alt | До питання про статистичне моделювання надійності To the problem of statistical modeling of reliability |
| title_full | К вопросу о статистическом моделировании надежности |
| title_fullStr | К вопросу о статистическом моделировании надежности |
| title_full_unstemmed | К вопросу о статистическом моделировании надежности |
| title_short | К вопросу о статистическом моделировании надежности |
| title_sort | к вопросу о статистическом моделировании надежности |
| topic | Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення |
| topic_facet | Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58521 |
| work_keys_str_mv | AT feduhinav kvoprosuostatističeskommodelirovaniinadežnosti AT sespedesgarsiânv kvoprosuostatističeskommodelirovaniinadežnosti AT feduhinav dopitannâprostatističnemodelûvannânadíiností AT sespedesgarsiânv dopitannâprostatističnemodelûvannânadíiností AT feduhinav totheproblemofstatisticalmodelingofreliability AT sespedesgarsiânv totheproblemofstatisticalmodelingofreliability |