Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
В статье предложена система «элементарных» функций, которая названа тригогиперболическими функциями и обозначена как six, inx, cox, osx. Эта система функций является альтернативой обычным тригонометрическим и гиперболическим функциям sin x, cos x, shx, chx. Функции введены на основе разделения рядов...
Saved in:
| Published in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58802 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) / Л.П. Мироненко, И.К. Локтионов // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 190-206. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268302366932992 |
|---|---|
| author | Мироненко, Л.П. Локтионов, И.К. |
| author_facet | Мироненко, Л.П. Локтионов, И.К. |
| citation_txt | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) / Л.П. Мироненко, И.К. Локтионов // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 190-206. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | В статье предложена система «элементарных» функций, которая названа тригогиперболическими функциями и обозначена как six, inx, cox, osx. Эта система функций является альтернативой обычным тригонометрическим и гиперболическим функциям sin x, cos x, shx, chx. Функции введены на основе разделения рядов Маклорена функций sin x, cos x на положительную и отрицательную части. Так определяются четыре линейно независимые и аналитические функции. В статье изучаются алгебраические и аналитические свойства тригогиперболических функций.
У статті запропонована система «елементарних» функцій яка названа тригогіперболічними функціями і означена як six, inx, cox, osx. Ця система функцій є альтернативою до звичайних тригонометричних і гіперболічних функцій sin x, cos x, shx, chx. Функції введені на підставі поділення рядів Маклорена функцій sin x, cos x на позитивну і від’ємну частини. Так виникають чотири лінійно незалежні і аналітичні функції. У статті вивчаються алгебраїчні і аналітичні властивості тригогіперболічних функцій.
A new system of "elementary" functions which are called trigohyperbolic functions and denoted with symbols six, inx, cox, osx is proposed in the paper. This system is alternative to usual trigonometric and hyperbolic functions sin x, cos x, shx, chx. New functions are introduced on basis of division Maclaurin’s series for the functions sin x, cos x into positive and negative parts. In the paper algebraic and analytical properties of the new functions are investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:03:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 1’2011 190
2М
УДК 514.116
Л.П. Мироненко, И.К. Локтионов
Донецкий национальный технический университет, Украина
Тригогиперболические функции
в математическом анализе (II)
В статье предложена система «элементарных» функций, которая названа тригогиперболическими функциями и
обозначена как six, inx, cox, osx. Эта система функций является альтернативой обычным тригонометрическим и
гиперболическим функциям sin x, cos x, shx, chx. Функции введены на основе разделения рядов Маклорена
функций sin x, cos x на положительную и отрицательную части. Так определяются четыре линейно
независимые и аналитические функции. В статье изучаются алгебраические и аналитические свойства
тригогиперболических функций.
Введение
Хорошо известно, что функции синус и косинус могут представляться абсолютно
и равномерно сходящимися на всей вещественной оси степенными рядами. Эти ряды
являются знакочередующимися, рядами Лейбница [1-3]. Другими словами, каждая
из функций состоит из пары сходящихся рядов противоположного знака. Каждый из
этих рядов сходится к некоторой, как следует из их разложений, аналитической функ-
ции. На основании такого разделения рядов для синуса и косинуса на пары рядов можно
ввести четыре аналитические функции [4]. При этом, как увидим в дальнейшем, раз-
ности новых функций соответствуют обычным синусу и косинусу, а сумма – гипербо-
лическим синусу и косинусу, а также экспоненциальной функции. Так возникает единый
базис для тригонометрии обычной и гиперболической со своими «тригогиперболичес-
кими» соотношениями и свойствами.
Представление тригонометрических и гиперболических функций через новые
функции является, по сути, упрощением элементарных функций синуса и косинуса,
и служит базисом для практической работы с обычными тригонометрическими и гипер-
болическими функциями, а также с экспоненциальной функцией. Получив ряд соотно-
шений между новыми базисными четырьмя «тригогиперболическими» функциями, можно
работать как с новым набором линейно независимых функций, так и с обычным набо-
ром (синус, косинус, гиперболические синус и косинус). С каким набором функций
работать удобно, определяется постановкой решаемой задачи.
Целью статьи является введение новой системы функций, которая может быть
использована как в математическом анализе, так и в различных областях науки для
решения прикладных задач.
В этой работе рассмотрены кратко алгебраические свойства тригогиперболичес-
ких функций [4] и построен аппарат дифференциального и интегрального исчисления,
включая функции комплексной переменной.
1 Определения тригогиперболических функций
и основные обозначения
Определим функции osxcoxinxsix ,,, следующими равенствами [4]:
,cos
,sin
osxcoxx
inxsixx
.
,
osxcoxchx
inxsixshx
(1)
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 191
2М
В дальнейшем будем эти функции называть соответственно six «си-функция»,
inx «ин-функция», cox «ко-функция» и osx «ос-функция», а всю совокупность six,
osxcoxinx ,, – тригогиперболическими функциями, кратко ТГ-функции.
Решим систему (1) относительно функций osxcoxinxsix ,,, . Складывая первое и
третье равенства, получим выражение для функции six . Вычитая первое и третье ра-
венства, получим выражение для функции inx . Повторяя операции над вторым и чет-
вертым равенствами, получим функции osxcox, . Итак,
),sin(
2
1
),(sin
2
1
shxxinx
shxxsix
).cos(
2
1
),(cos
2
1
chxxosx
chxxcox
(2)
Рассмотрим некоторые следствия из определения (1).
1. Свойства симметрии функций osxcoxinxsix ,,, следуют из определения (1) и
свойств симметрии функций .)(,)(,cos)cos(,sin)sin( chxxchshxxshxxxx
,)(,)( inxxinsixxsi .)(,)( coxxoscoxxco (3)
2. Выражение для экспоненциальной функции
.osxcoxinxsixex (4)
3. Формула Муавра
).()()()( nxosnxconxinnxsienx
4. Из равенств (2) следуют некоторые частные значения функций
,0)0( si ,0)0( in ,1)0( co .0)0( os (5)
Запишем нули функции xy sin : Znnxx ,0sin . Поскольку sixx sin
inx , то Znninnsi ),()( . Аналогично, Znnxx ,
2
0cos
. Поскольку
osxcoxx cos , то Znnosnco
,
22
. Теперь рассмотрим значения sin x
1 Znnx ,2
2
. Откуда следует, что 12
2
2
2
ninnsi
.
Если Znnxx ,21cos . Откуда следует, что Znnosnco
,
22
.
Итак,
Znninnsi
nosnco
nosnconinnsi
,12
2
2
2
1)2()2(
22
),()(
.
(6)
2 Основные алгебраические соотношения
для функций six, inx, cox, osx
Выведем ряд соотношений, связывающих ТГ-функции six, inx, cox, osx с обычны-
ми тригонометрическими и гиперболическими функциями
.))((cos ;))((sin 2222 xosxcoosxcoxosxcoxchxxxinxsiinxsixinxsixshxx
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 192
2М
Откуда,
, sin22 shxxxinxsi . cos22 chxxxosxco (7)
Откуда следует формула
. cos sin2222 chxxshxxxosxcoxinxsi
Используя формулы (2), найдем
.2cossin
))(cossin()cos)((sin
4
1
shxxchxx
chxxshxxchxxshxxcoxinxosxsix
Кратко
.cossin)(2 shxxchxxcoxinxosxsix
Используем основное тригонометрическое тождество 1cossin 22 sx
,122 ,1)()( 222222 osxcoxinxsixxosxcoxinxsiosxcoxinxsix
Аналогично, используем «основное» гиперболическое тождество 122 xshxch
,122 ,1)()( 222222 inxsixosxcoxxinxsixosxcoinxsixosxcox
В результате имеем пару соотношений
).(21
),(21
2222
2222
osxcoxinxsixxinxsixosxco
osxcoxinxsixxinxsixosxco
(8)
Складывая и вычитая полученные равенства, получим
,2122 inxsixxosxco .222 osxcoxxinxsi (9)
Используем формулы двойных аргументов xxx cossin22sin и chxshxxsh 22
, 2 2 2 2))((2222sin coxinxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsixxinxsix
, 2 2 2 2))((2222 coxinxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsixxinxsixsh
) (22 osxinxcoxsixxsi , ) (22 coxinxosxsixxin . (10)
Проверим результат
.2sincossin2cos) (2)coscos (2
))() ( (2) (222
xxxxinxsixxinxxsix
coxosxinxosxcoxsixcoxinxosxinxosxsixcoxsixxinxsi
Аналогично проверяется равенство .222 xshxinxsi
Используем формулы двойных аргументов xxx 22 sincos2cos и xchxch 22 2
xsh 22 [5]
,22)()(222cos 222222 inxsixosxcoxxinxsiosxcoinxsixosxcoxxosxcox
,22)()(222 222222 inxsixosxcoxxinxsiosxcoinxsixosxcoxxosxcoxch
,22 22 inxsixxosxcoxco osxcoxxinxsixos 22 22 . (11.1)
Подставив формулы (9), получим более простые выражения
inxsixxco 412 , osxcoxxos 42 . (11.2)
Вычитая и складывая выражения, получим
osxcoxinxsixxosxcox 441222cos ,
osxcoxinxsixxosxcoxch 441222
osxcoxinxsixx 4412cos , osxcoxinxsixxch 4412 . (12)
Вычитая и складывая равенства, получим еще два соотношения
,82cos2 osxcoxxxch .822cos2 inxsixxxch (13)
Используем формулы понижения степени
2
2cos1
sin2 x
x
и
2
2cos1
cos2 x
x
, подста-
вив формулу (12)
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 193
2М
2
2cos1 x
).(2
),221
2
)441(1
inxsixosxcox
osxcoxinxsixosxcoxinxsix
)(2sin2 inxsixosxcoxx , )(21cos2 osxcoxinxsixx . (14)
Используем формулы понижения степени
2
122
xch
xsh и
2
212 xch
xch
, подста-
вив (12)
.22
,221
2
1441
2
12
osxcoxinxsix
osxcoxinxsixosxcoxinxsixxch
osxcoxinxsixxch 2212 , )(22 osxcoxinxsixxsh . (15)
Найдем тригогиперболические функции для суммы и разности аргументов x и y
.)()(
,
))(())((sincoscossin)sin(
inyosxinxosyosysixosxsiyinxcoycoxinysiycoxsixcoyyxinyxsi
osxinycoxinyosxsiycoxsiyinxosyinxcoysixosysixcoy
inysiyosxcoxosycoyinxsixyxyxyx
Аналогично, для гиперболической функции )( yxsh
.
))(())(()(
osxinycoxinyosxsiycoxsiyinxosyinxcoysixosysixcoy
inysiyosxcoxosycoyinxsixchxshyshxchyyxsh
В результате получим
.)()()()()( inyosxinxosyosysixosxsiyinxcoycoxinysiycoxsixcoyyxinyxsi
Складывая и вычитая равенства для выражений )()( yxinyxsi и )()( yxinyxsi ,
получим
.)(
,)(
,)(
,)(
sixosysiyosxcoyinxinycoxyxin
sixosysiyosxcoyinxinycoxyxin
osxinyosyinxcoxsiycoysixyxsi
osxinyosyinxcoxsiycoysixyxsi
(16)
Легко проверить, что формулы двойных аргументов xinxsi 2,2 имеют место при
yx и совпадают с формулами (9).
Комбинируя в (16), получим
),(2)()(
),(2)()(
osxinycoxsiyyxsiyxsi
osyinxcoysixyxsiyxsi
).(2)()(
),(2)()(
siyosxinycoxyxinyxin
sixosycoyinxyxinyxin
(17)
Найдем тригогиперболические функции для суммы и разности аргументов в функ-
циях )cos( yx и )( yxch
.
))(())((sinsincoscos)cos(
inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosycoxosxcoycoxcoy
inysiyinxsixosycoyosxcoxyxyxyx
.)( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosxcoyosxcoycoxcoyshxshychxchyyxch
.)()( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosycoxosxcoycoxcoyyxosyxco
.)()( inxinysixinyinxsiysixsiyosxosyosxcoyosxcoycoxcoyyxosyxco
.)(
,)(
,)(
,)(
inxinysixsiyosycoxosxcoyyxos
inxinysixsiyosycoxosxcoyyxos
sixinyinxsiyosxosycoxcoyyxco
sixinyinxsiyosxosycoxcoyyxco
(18)
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 194
2М
Формулы двойных аргументов xosxco 2,2 следуют при yx и совпадают с фор-
мулами (10).
),(2)()(
),(2)()(
inxsiysixinyyxcoyxco
osxosycoxcoyyxcoyxco
).(2)()(
),(2)()(
inxinysixsiyyxosyxos
osycoxosxcoyyxosyxos
(19)
3 Пределы и производные от функций six, inx, cox, osx
Дифференцируем равенства (2)
,)cos(
2
1
)sin(
2
1
)(
,)(cos
2
1
)(sin
2
1
)(
osxchxxshxxinx
coxchxxshxxsix
.)(sin
2
1
)cos(
2
1
)(
,)sin(
2
1
)(cos
2
1
)(
sixshxxchxxosx
inxshxxchxxcox
В результате имеем
.)( ,)( ,)( ,)( sixosxosxinxinxcoxcoxsix (20)
Вычислим производные высших порядков
,)()(
,)(
inxcoxsix
coxsix
.)()()()(
,)()()(
sixosxinxcoxsix
osxinxcoxsix
IV
(21)
Как видно, каждая четвертая производная от любой из ТГ-функций возвращает ее к
исходной функции.
Производные от ТГ-функций можно ввести по определению производной [6]
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)(
0
. (22)
Для определения производной функции используем формулу (16)
,)( osxxinxosinxcoxxsixcosixxxsi
x
sixosxxinxosinxcoxxsixcosix
x
xsixxsi
xsi
xx
)()()()(
lim
)()(
lim))((
00
.
)(
lim
)(
lim
)(
lim
)(
lim
0000 x
osxxin
x
xosinx
x
coxxsi
x
sixxcosix
xxxx
Поскольку 0
)(
lim
)(
lim,0
)1)((
lim
000
x
osxxin
x
xosinx
x
xcosix
xxx
,
то .
)(
lim
)(
lim')(
00
cox
x
xsi
cox
x
coxxsi
xsi
xx
Аналогом первого стандартного предела является предел [7]
.1
0
0)(
lim
0
x
xsi
x
(23)
В связи с первым стандартным «тригогиперболическим» пределом следует иметь
в виду равенства
,0
)(
lim
)(
lim
00
x
xos
x
xin
xx
(24)
которые следуют из разложений (2) в ряд Маклорена. Действительно, как следует из
разложений (2), асимптотика ТГ-функций при 0x имеет вид
.!3 ,!2 , ,!51 325 xinxxosxxsixxxcox
Заметим, что правило Лопиталя для ТГ-функций в отношении экспоненциаль-
ной функции xe при x не работает.
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 195
2М
xxxxxx e
cox
e
six
e
six
lim
)(
)(
limlim и т.д. ?limlimlimlim
xxxxxxxx e
osx
e
inx
e
cox
e
six
Это свидетельствует о том, что правило Лопиталя не работает для некоторых
пределов, связанных с ТГ-функциями osxinxcoxsix ,,, .
Тем не менее, предел существует и его легко вычислить, если использовать выраже-
ние для функции )
2
(sin
2
1
)(sin
2
1 xx ee
xshxxsix
. Отсюда видно, что
4
1
lim
xx e
six
.
Аналогично устанавливаем
4
1
limlimlim
xxxxxx e
osx
e
inx
e
cox
. Эти результаты дают асимп-
тотическое поведение функций osxinxcoxsix ,,, при x
.4xeosxinxcoxsix
При этом ясно, что
1
4 .
4
x x
x
six cox inx osx e e
Точно так, правило Лопиталя не работает, если в знаменателе есть любая из ТГ-
функций osxinxcoxsix ,,, . Например,
cox
six
x
lim , но, как следует из последнего ра-
венства 1limlim
inx
six
cox
six
xx
и т.д. Правило Лопиталя работает в большинстве случаев
неопределенностей
.
0
0)(
lim
4
1
)(
))(1(
lim
0
0)(1
lim 304040
x
xin
x
xco
x
xco
xxx
Применим правило Лопиталя еще три раза и получим .
!4
1)(1
lim 40
x
xco
x
Приведем еще один пример применения правила Лопиталя, когда его применя-
ют n раз
.0
))((
!
lim
))((
)(
lim
)(
lim )()(
)(
nxn
nn
x
n
x xsi
n
xsi
x
xsi
x
Производная )())(( nxsi дает одну из функций osxinxoxsix ,,, (в зависимости от значения n ),
а числитель дроби равен постоянной. Поэтому, применяя еще раз правило Лопиталя,
получим нуль.
Сделаем несколько замечаний относительно линейной независимости ТГ-функ-
ций. Для чего выпишем определитель Вронского W системы функций six, inx, cox,
osx [8], [9]
coxinxosxsix
sixcoxinxosx
osxsixcoxinx
inxosxsixcox
inxsixsixcox
inxsixsixcox
inxsixsixcox
inxosxsixcox
xW
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)( . (25)
В частности, в точке 0x имеем ,1 EW E – единичная матрица.
Вычисление определителя, приведенный в приложении, дает 1W . Как видно,
определитель Вронского не равен нулю ни при каких Rx , что свидетельствует о ли-
нейной независимости ТГ-функций на всей числовой оси (Приложение).
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 196
2М
4 Ряды Маклорена ТГ-функций
Запишем ряд Маклорена произвольной функции
0
)(
!
)0(
)(
n
n
n
x
n
f
xf [8]. Учтем
«периодичность» производных (6) и 1)0( ,0)0()0()0( coosinsi . В результате по-
лучим разложения ТГ-функций. Покажем это на примере функции )()( xsixf .
,1)0()0(,)()(
,0)0()0(,)(
cofcoxsixxf
sifsixxf
,0)0()0(,)()(
,0)0()0(,)()(
osfosxinxxf
infinxcoxxf
.1)0()0(...,,0)0()0(,)()( 14 cofsifsixosxxf nIVIV
Подставляя это выражение в ряд Маклорена, получим
...
!9!5)!14(
)(
95
0
14
xx
x
n
x
xsi
n
n
Аналогично находим отличные от нуля производные для остальных функций
,1)0( 34 nin ,1)0(4 nco .1)0(24 nos В результате получим представление ТГ-функ-
ций в виде степенных рядов
,
)!34(
...
!11!73
,
)!14(
...
!9!5
0
341173
0
1495
n
n
n
n
n
xxxx
inx
n
xxx
xsix
.
)!4(
....
!10!6!2
,
)!4(
....
!8!4
1
0
241062
0
484
n
n
n
n
n
xxxx
osx
n
xxx
cox
Сравним со стандартными степенными рядами
,
)!2(
)1(...
!4!2
1cos
,
)!12(
)1(...
!5!3
sin
0
242
0
1253
n
n
n
n
n
n
n
xxx
x
n
xxx
xx
,
)!2(
...
!4!2
1
,
)!12(
...
!5!3
0
242
0
1253
n
n
n
n
n
xxx
chx
n
xxx
xshx
.
!
...
!3!2
1
0
32
n
n
x
n
xxx
xe
Сравнивая ряды для тригонометрических xx cos,sin и гиперболических функ-
ций chxshx, и функции xe с определениями ТГ-функций (1), (2), получим согласие с
определениями (1).
Ряды функций osxcoxinxsix ,,, сходятся абсолютно и равномерно на всей веще-
ственной оси, что легко проверяется с помощью признака Даламбера сходимости ря-
дов [10]. Продемонстрируем это на примере функции sixy
.0
)!54(
)!14(
lim
)!1)1(4(
)!14(
lim
)!14(
/
)!1)1(4(
limlim 4
4141)1(4
1
n
n
x
n
nx
n
x
n
x
u
u
xx
nn
x
n
n
x
Равенство нулю предела означает, что признак Даламбера выполняется для всех Rx .
5 Некоторые соотношения для ТГ-функций
комплексного аргумента
Подставляя в разложения функций osxcoxinxsix ,,, вместо переменной x пере-
менную ix и учитывая, что 1 , ,1 432 iiii , получим
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 197
2М
,...
!11!73
)(
,...
!9!5
)(
11117733
9955
inxi
xixixi
ixin
sixi
xixi
ixixsi
.....
!10!6!2
)(
,...
!8!4
1)(
10106622
8844
osx
xixixi
ixos
cox
xixi
ixco
В результате получим соотношения для ТГ-функций мнимого аргумента
.)( ,)( ,)( ,)( osxixoscoxixcoinxiixinsixiixsi (26)
Легко проверяются равенства
.cos)()()(
,sin)()()()(
,)()()cos(
,)()()()sin(
xosxcoxixosixcoixch
xiinxsixiixinixsiixsh
chxosxcoxixosixcoix
shxiinxsixiixinixsiix
(27)
xixosxcoxinxsixiixosixcoixinixsieix sincos)()()()()( .
Подставим эти выражения в формулы (2)
)).((
2
1
)),((
2
1
)),((
2
1
)),((
2
1
ixchchxosx
ixchchxcox
ixshishxinx
ixshishxsix
).cos)(cos(
2
1
),cos)(cos(
2
1
)),sin((sin
2
1
)),sin((sin
2
1
xixosx
xixcox
ixixinx
ixixsix
(28)
Запишем формулы (16) – (19) для комплексной переменной iyxz
),()(
),()(
siycoxinyosxinxosysixcoyiyxsi
inyosxsiycoxiinxosysixcoyiyxsi
),()(
),()(
osxsiycoxinyiosysixinxcoyiyxin
coxinyosxsiyiosysixinxcoyiyxin
),(2)()(
),(2)()(
inyosxsiycoxiiyxsiiyxsi
inxosysixcoyiyxsiiyxsi
),(2)()(
),(2)()(
coxinyosxsiyiiyxiniyxin
osysixinxcoyiyxiniyxin
(29)
),()(
),()(
),()(
),()(
inxinysixsiyiosycoxosxcoyyxos
inxinysixsiyiosycoxosxcoyyxos
sixinyinxsiyiosxosycoxcoyiyxco
inxsiysixinyiosxosycoxcoyiyxco
(30)
),(2)()(
),(2)()(
sixinyinxsiyiiyxcoiyxco
osxosycoxcoyiyxcoiyxco
).(2)()(
),(2)()(
inxinysixsiyiiyxosiyxos
osycoxosxcoyiyxosiyxos
(31)
Покажем, что функции oszcozinzsiz ,,, являются аналитическими во всей комп-
лексной плоскости z . Для этого запишем условия Коши-Римана функции
),(),()( yxivyxuzf [9]
x
yxv
y
yxu
y
yxv
x
yxu
),(),(
,
),(),(
. (32)
Рассмотрим функцию )(),(),()( inyosxsiycoxiinxosysixcoyyxivyxuzsi .
Здесь inyosxsiycoxyxvinxosysixcoyyxu ),( ,),(
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 198
2М
.)(),(
,)(),(
,)(),(
,)(),(
inysixsiyinxinyosxsiycoxyxv
inxsiysixinyinxosysixcoyyxu
osyosxcoycoxinyosxsiycoxyxv
osxosycoxcoyinxosysixcoyyxu
xx
yy
yy
xx
Как видно, условия Коши-Римана выполняются. Аналогично проверяется свойство ана-
литичности остальных функций.
Построим две функции комплексной переменной
),()()(1 zsiizcozf ).()()(2 zinizoszf (33)
Проверим их аналитичность
,)(Im)(
,)(Re)(
),()(
)()(
)()()()(
11
11
1
inxsiysixinyinxosysixcoyiyxfzv
inyosxsiycoxosxosycoxcoyiyxfzu
inxsiysixinyinxosysixcoyiinyosxsiycoxosxosycoxcoy
inyosxsiycoxiiinxosysixcoyi
inxsiysixinyiosxosycoxcoyiyxsiiiyxcozf
).(),(
,),(
,),(
,),(
osxsiycoxinyosxosycoxcoyyxv
osyosxcoycoxosxsiycoxinyyxu
inxcoysixosyinxsiysixinyyxv
inysixsiyinxsixosyinxcoyyxu
x
y
y
x
Некоторые аналитические функции получим дифференцированием )()()(1 zsiizcozf ,
в том числе докажем свойство аналитичности функции )(2 zf
),()()()(
),()()(
21
1
zfzinizoszf
zcoizinzf
).()()()(
),()()(
11
1
zfzsiizcozf
zosizsizf
IV
Функции )(1 zf и )(2 zf привлекательны тем, что
).2()()())()())(()(()()()(
,1)(sin)(cos))sin()))(cos(()(cos()()()(
),()())()(()()()()(
,)sin()cos())()(()()()()(
22*
22
2
2
22*
11
2
1
21
21
zchzshzchzshizchzshizchzfzfzf
zzzizzsivizzfzfzf
zshizchzinzsiizoszcozfzf
ezizzinzsiizoszcozfzf iz
6 Интегралы от ТГ-функций
Неопределенные интегралы от ТГ-функций определяются обычно, то есть как
операция нахождения совокупности первообразных Cdxxf )( данной функции )(xf .
По известным производным osxinxinxcoxcoxsixsixosx )( ,)( ,)( ,)( находим
,
,
Ccoxinxdx
Cosxsixdx
.
,
Cinxosxdx
Csixcoxdx
(34)
Запишем несколько простейших интегралов, которые проверяются непосредственным
дифференцированием
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 199
2М
.
2
1
)( ,
2
1
)(
,
2
1
)( ,
2
1
)(
22
22
CxosdxsixosxCxcodxinxcox
CxindxosxinxCxsidxcoxsix
(35)
Используем формулу osxcoxinxsixx 4412cos . Интегрируя равенство, нахо-
дим .) (4)(42cos dxosxcoxdxinxsixxxdx Аналогично, используем формулу
osxcoxinxsixxch 4412 . Откуда, ,)(4)(42 dxosxcoxdxinxsixxxdxch
.
28
2sin
8
2
)( C
xxxsh
dxinxsix
Складываем и вычитаем формулы
,
48
2
416
2sin2
)(,)(822cos2 C
xxsi
C
xxxsh
dxinxsixdxinxsixxxdxxdxch
8
2
16
2sin2
) ( ,) (82cos2 C
xin
C
xxsh
dxosxcoxdxosxcoxxdxxdxch
.
Получим формулы
C
xin
dxosxcox 8
2
) ( , C
xxsi
dxinxsix 48
2
)( . (36)
Рассмотрим интегралы от квадратов ТГ-функций
.
8
2
)(2 C
xin
osxsixosxdxcoxosxsix
osxvsixdxdv
coxdxdusixu
osxsixdxdxsi
Здесь использован интеграл (36). Аналогично рассматриваются остальные интегралы.
C
xin
coxinxcoxdxosxcoxinxcoxinxdxdxin 8
2
)(2 и т.д.
Результаты сведем в таблицу
,
8
2
,
8
2
2
2
C
xin
coxinxxdxin
C
xin
osxsixxdxsi
.
48
2
,
48
2
2
2
C
xxsi
osxinxxdxos
C
xxsi
sixcoxxdxco
(37)
Проверим первую из формул: .
4
2
8
2 22 xsi
xos
xsiosxcox
xin
osxsix
Здесь ис-
пользована формула (11): osxcoxxos 42 .
Проверим формулы в совокупности. Складываем интегралы и соответственно
правые части
24
2
)( 2222 C
xxsh
osxinxcoxinxsixcoxosxsixdxxosxcoxinxsi .
Производная правой части равенства равна
.
22
2222
2222
xosxinxcoxsi
osxcoxinxsixxossixinxxincoxosxxcosixinxxsiosxcox
Здесь использована формула osxcoxinxsixxch 4412 .
Интегралы
xdxosxdxcoxdxinxdxsi nnnn , , ,
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 200
2М
выражаются через интегралы вида dxexdxex mxkmxk cos ,sin , в частности, через ин-
тегралы dxedxexdxxdx mxmxkk , ,cos ,sin (когда одно из чисел k или m равно нулю).
Это следует из выражения (2) ТГ-функций через тригонометрические и гиперболи-
ческие функции и последующим применением бинома Ньютона.
Рассмотрим интегралы, берущиеся по частям. Наиболее простыми являются ин-
тегралы вида
. , , , osxdxxcoxdxxindxxsixdxx nnnn
(38)
Интегрирование по частям выполняется n раз, всякий раз в качестве u берется
x в соответствующей степени. Продемонстрируем примером
.22
,
,2
2
22
2
2
2
Ccoxinxxosxxsixdxx
coxinxxinxdxinxx
inxvosxdxdv
dxduxu
osxdxx
osxdxxosxx
osxvsixdxdv
xdxduxu
sixdxx
Интегралы
, , , , dxeosxdxeinxdxecoxdxesix xxxx
(39)
также вычисляются по частям как возвратные интегралы [2], [3]. При этом интегри-
рование выполняется четыре раза, всякий раз в качестве u обозначается либо ТГ-функ-
ция, либо функция xe . Однако вычисления можно провести иначе, представив экспоненту
через сумму ТГ-функций
Cosxsix
xxinxsi
Cxosxsi
xxsixin
osxsix
osdxsixcoxdxsixinxdxsixxdxsidxosxcoxinxsixsixdxesix x
222
2
)(
2
1
48
22
2
1
2
1
48
2
8
2
)(
Аналогично вычислим подобные интегралы, результаты сведем в таблицу
,)(
2
1
48
2sin
,)(
2
1
48
2sin
2
2
Ccoxinx
xx
dxeinx
Cosxsix
xx
dxesix
x
x
.)(
2
1
48
2sin
,)(
2
1
48
2sin
2
2
Cosxinx
xx
dxeosx
Ccoxsix
xx
dxecox
x
x
(40)
Проверим результат, складывая почленно интегралы. Слева получим dxee xx
C
e x
2
2
, справа
.
2
1
)2222(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
22
2222
2222
xexinxcoxosxsi
inxosxsixcoxinxcoxsixosxxinxcoxosxsi
Cosxinxcoxsixcoxinxosxsix
Здесь использованы формулы (10) и (11), согласно которым
). (2
2222 2222
coxinxosxsixosxinxcoxsixosxcoxinxsix
xinxsiosxcoxosxcoxinxsi
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 201
2М
Интегралы
dx
x
x
osxdx
x
x
inxdx
x
x
coxdx
x
x
six
cos
sin
,
cos
sin
,
cos
sin
,
cos
sin
(41)
также вычисляются по частям как возвратные интегралы [2-4]. При этом интегриро-
вание выполняется четыре раза, всякий раз в качестве u используется ТГ-функция.
Однако вычисления можно провести иначе, представив ,sin inxsixx .cos osxcoxx
Продемонстрируем на примере.
.)(
2
1
cos
,
48
2
sin
22
2
Cxosxsiosxdxsixcoxdxsixxdxsix
C
xxsh
osxsixinxdxsixxdxsixdxsix
(42)
Аналогично,
.)(
2
1
sin
,)(
2
1
cos
,)(
2
1
sin
22
22
22
Cxinxosxdxosx
Cxinxcoxdxinx
Cxcoxsixdxcox
(43)
.
48
2
cos
,
48
2
sin
,
48
2
cos
C
x
osxinx
xsh
xdxosx
Ccoxinx
xxsh
xdxinx
C
xxsh
sixcoxxdxcox
(44)
Теперь возвратный интеграл xdxex sin вычисляется иначе
.)cos(sin
2
1
))(cos)(((sin
2
1
)(
2
1
sin)(sin
2222
Cexxchxshxxshxchxx
xinxosxcoxsicoxinxosxsix
xdxosxinxcoxsixxdxe
x
x
Здесь использованы формулы
)))(cossin()cos)(((sin
4
1
chxxshxxchxxshxxcoxinxosxsix
. cos sin),cos((sin
2
1 2222 chxxshxxxinxosxcoxsishxxchxx
Рассмотрим вопрос об интегралах, которые не выражаются через элементарные
функции. Хорошо известно, что к их числу относятся интегралы dx
x
e
n
x
, 1n , dxex2
.
Подставляя в этот интеграл inxosxcoxsixex , получим интегралы, которые не
выражаются через элементарные функции
, , , , dx
x
osx
dx
x
inx
dx
x
cox
dx
x
six
nnnn .)( ,)( ,)( ,)( 2222 dxxosdxxindxxcodxxsi
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 202
2М
Аналогично рассматриваются другие интегралы, например, эллиптические ин-
тегралы первого и второго рода и др.
7 Ряды Фурье ТГ-функций
Рассмотрим ряд Фурье функции )(xf на отрезке ],[ [10-12]
),sin()cos(
2
)(
1
nxbnxa
a
xf n
n
n
o
(45)
где na и nb – коэффициенты Фурье.
Для определенности возьмем sixxf )( . Найдем коэффициенты разложения, учи-
тывая, что функция six является нечетной. В этом случае коэффициенты Фурье 0na .
Ряд Фурье принимает вид
,)sin()(
1
n
n nxbxf
dxmxxfbm )sin()(
1
. (46)
Вычислим неопределенный интеграл dxmxsix )sin( , интегрируя четыре раза по частям
,)cos(
1)cos(
)cos(
)sin(
)sin(
xdxmxcox
mm
mx
six
m
mx
vdxmxdv
coxdxdusixu
dxmxsixI
,)sin(
1)sin(
)sin(
)cos(
)cos(
1
22
dxmxinx
mm
mx
cox
m
mx
vdxxmxdv
inxdxducoxu
dxmxcox
m
,)cos(
1)cos(
)cos(
)sin(
)sin(
1
332
dxmxosx
mm
mx
inx
m
mx
vdxxmxdv
osxdxduinxu
dxmxinx
m
,
1)sin(
)sin(
)cos(
)cos(
1
443 I
mm
mx
osx
m
mx
vdxxmxdv
sixdxduosxu
dxmxosx
m
,
1)sin()cos()sin()cos(
4432
I
mm
mx
osx
m
mx
inx
m
mx
cox
m
mx
sixI
Откуда
),
)sin()cos()sin()cos(
(
1
)sin(
4324
4
m
mx
osx
m
mx
inx
m
mx
cox
m
mx
six
m
m
dxmxsix
),(
)1(
)cos(2
)sin(
1
24
3
m
in
si
m
mm
dxmxsixbm
1m . (47)
.
48
22
)sin(
1
1
sh
ossidxxsixb
Здесь использован интеграл .
48
2
sin C
xxsh
osxsixxdxsix
Теперь рассмотрим нечетную функцию )(xf inx , ее разложение содержит толь-
ко коэффициенты nb и совпадает с разложением (46). В этом случае коэффициенты
разложения имеют вид
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 203
2М
),(
)1(
)cos(2
)sin(
1
24
3
m
si
in
m
mm
dxmxinxb m
1m , (48)
.
48
22
)sin(
1
1
sh
coindxxinxb
Здесь использован интеграл coxinx
xxsh
dxxinx 48
2
)sin( .
Проверим разложение для функции ).()()sin()( xinxsixxf Коэффициенты
разложения при 1m
.0sin
)1(
)cos(2
)(
1
1
)1(
)cos(2
)(
)1(
)cos(2
)sin()(
1
224
3
224
3
m
mm
insi
mm
mm
m
si
in
m
in
si
m
mm
dxmxinxsixbbb mmm
При 1m
.1
2
)2cos(11
)(sin
1
)sin()(
1 2
111
dx
x
dxxdxxinxsixbbb
Как видно, в ряде
1
)sin(
n
n nxb остается лишь член ,11b что совпадает с функцией )sin(x .
Замечание. Коэффициент 11b можно получить иначе, записав его явные выраже-
ния для 1b и 1b .
.
24
22
48
22
48
22
111
sh
coinossi
sh
coin
sh
ossibbb
Используем равенство , 2 2 2 2222 coxinxosxsixosxinxcoxsixxinxsixsh , в ко-
тором при nx имеем ninnsi и поэтому )(42 coinossish . Откуда
следует, что 11b .
Рассмотрим четную функцию coxxf )( . Найдем коэффициенты разложения, учи-
тывая, что функция cox является четной. В этом случае коэффициенты Фурье 0nb .
Ряд (45) и коэффициенты Фурье принимает вид
),cos(
2
)(
1
nxa
a
xf
n
n
o
.)cos()(
1
dxmxxfam
(49)
Вычислим неопределенный интеграл dxmxcox )cos( , интегрируя четыре раза по частям
),
)cos()sin()cos()sin(
(
1
)cos(
4324
4
m
mx
six
m
mx
osx
m
mx
inx
m
mx
cox
m
m
dxmxcox
),(
)1(
)cos(2
)cos(
1
24
2
m
si
in
m
mm
dxmxcoxam
1m , (50)
si
sixcoxdxao
211
, .
48
22
)cos(
1
1
sh
sicodxxcoxa
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 204
2М
Здесь использован интеграл .
48
2
cos C
xxsh
sixcoxxdxcox
Теперь рассмотрим четную функцию )(xf osx , ее разложение содержит толь-
ко коэффициенты na и совпадает с разложением (49). В этом случае коэффициенты
разложения имеют вид
),(
)1(
)cos(2
)cos(
1
24
2
m
in
si
m
mm
dxmxosxam
1m , (51)
in
inxosxdxao
211
,
48
22
)cos(
1
1
osin
sh
dxxosxa .
Здесь использован интеграл .
48
2
cos C
x
osxinx
xsh
xdxosx
Так же, как для коэффициентов mb , проверим разложение в ряд Фурье для функ-
ции ).()()cos()( xosxcoxxf Коэффициенты разложения при 1m
.0sin
)1(
)cos(2
)(
1
1
)1(
)cos(2
)(
)1(
)cos(2
)cos()(
1
224
2
224
2
m
mm
insi
mm
mm
m
in
si
m
si
in
m
mm
dxmxosxcoxaaa mmm
.1
2
)2cos(11
)(cos
1
)cos()(
1 2
111
dx
x
dxxdxxosxcoxaaa
.0
sin222
insi
aaa ooo
Как видно, в ряде (49) остается лишь член ,11a что совпадает с функцией )cos(x .
Замечание. Коэффициент 11a можно получить иначе, записав его явные выраже-
ния для 1a и 1a .
.
24
22
48
22
.
48
22
111
sh
sicoosin
osin
shsh
sicoaaa
Используем равенство , 2 2 2 2222 coxnxosxsixosxinxcoxsixxinxsixsh в ко-
тором при nx имеем ninnsi и поэтому )(42 osincosish . Откуда
следует, что 11b .
Сравнивая коэффициенты разложения (47) – (50), имеем равенства
,mm amb .mm mab (52)
Заключение
Предложены альтернативные тригонометрическим и гиперболическим функциям
система «фундаментальных» («элементарных») функций на основе перестройки стан-
дартных степенных рядов для функций chxshxxx ,,cos,sin . Перестраивая абсолютно
сходящиеся ряды, введены четыре линейно независимые функции, которые условно
обозначены как osxcoxinxsix ,,, и названы тригогиперболическими функциями (ТГ-
Тригогиперболические функции в математическом анализе (II)
«Штучний інтелект» 1’2011 205
2М
функции). Эти функции выражаются через обычные функции взаимно однозначно. Для
них рассмотрен следующий спектр математических возможностей:
1. Получены алгебраические соотношения между ТГ-функциями, а также между
ТГ-функциями и обычными тригонометрическими и гиперболическими функциями.
2. Рассмотрена теория пределов.
3. Построен аппарат дифференциального исчисления.
4. Произведено аналитическое продолжение ТГ-функций в комплексную область
и записаны основные соотношения для ТГ-функций комплексного переменного.
5. Построен аппарат интегральное исчисление.
6. Получены коэффициенты Фурье ТГ-функций.
Необычные соотношения между тригогиперболическими функциями, а также
необычный аппарат дифференциального и интегрального исчисления делают теорию
достаточно сложной. Более того, математический аппарат в новых функциях имеет зна-
чительные ограничения в сравнении с классическим и требует определенной сноров-
ки и опыта. Тем не менее, теория интересная и допускает обобщения и дальнейшее
развитие.
За пределами исследования остались вопросы теории дифференциальных урав-
нений, хотя рассмотренная база свойств тригогиперболических функций позволяет в
полной мере изучить класс уравнений, решаемых в квадратурах.
Что касается перспективы предложенной теории, то сразу отметим возможность
практического использования в теории фазовых переходов и при изучении переход-
ных процессов в электрических цепях. Введенные функции обладают уникальными
свойствами. Одним из специфических свойств является монотонный характер функций
osxcoxinxsix ,,, , а их разности inxsix , osxcox уже дают ограниченную периодичес-
кую функцию.
Приложение
Доказательство линейной независимости функций osxcoxinxsix ,,,
.],,,[
coxinxosxsix
sixcoxinxosx
osxsixcoxinx
inxosxsixcox
osxinxcoxsixW
Обозначим .,,, osxdinxccoxbsixa Тогда
).)((4)()( 222222 abdcadbccadb
cbad
badc
adcb
dcba
W
).(4sincos
)(4)()()()(
))((4)()(
2222
2222
222222
coxsixinxosxosxsixinxcoxxshxxchx
coxsixinxosxosxsixinxcoxinxsixinxsixosxcoxosxcox
coxsixinxosxosxsixinxcoxxinxsixosxcoW
Остается преобразовать последний член выражения. Для этого используем формулы
).(
2
1
)cos(
2
1
),(
2
1
)(cos
2
1
),(
2
1
)sin(
2
1
),(
2
1
)(sin
2
1
2222
1111
chxxosxchxxcox
shxxinxshxxsix
Мироненко Л.П., Локтионов И.К.
«Искусственный интеллект» 1’2011 206
2М
),(
2
1
))((
4
1
))((
4
1
122111221122 osxsixinxcox
),(
2
1
))(())((
4
1
122111221122 coxsixosxinx
.cossin
))(())((4
2222
2
1
2
2
2
2
2
112211221
xshxxchx
osxinxsixcoxcoxinxsixosx
Наконец,
.1sincos)(sin)(cos
)cos(sinsincos
))((4sincos
22222222
22222222
2222
xxxchxshxxshxchx
xshxxchxxshxxchx
coxsixosxinxosxsixinxcoxxshxxchxW
Литература
1. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra / Apostol T.M. –
John Wilay and Sons, Inc., 1966. – Vol. 1. – 667 p.
2. Wrede R. Theory and Problems of Advanced Calcolus / R. Wrede, M. Spiegel. – Schaum’s Series, The
MacGraw-Hill Companies Inc., 2002 (First Edition 1966). – 433 p.
3. Smirnov V.I. A Course of Higher Mathematics / Smirnov V.I. – M. : The Science, 1964. – Vol. 1. – 543 p.
4. Мироненко Л.П. Тригогиперболические функции и их алгебраические свойства (I) / Л.П. Миро-
ненко // Искусственный интеллект. – 2010. – № 3. – С. 501-509.
5. Korn G.A. Mathematical Handbook / G.A. Korn, T.M. Korn. – MacGraw Hill Book Company, 1968. – 831 p.
6. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Кудрявцев Л.Д. – M. : Наука,1970. – Т. I. – 571 с.
7. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Изд. «ФМЛ»,
1956. – Т. 1. – 472 с.
8. Apostol T.M. Calculus. Multy-Variable Calculus and Linear Algebra, with Application to Differential
Equations abd Probability / Apostol T.M. – John Wilay and Sons, Inc., 1969. – Vol. 2. – 673 p.
9. Boyce. W.E. Elementary Differential and Boundary Value Problems / W.E. Boyce, R.C. DiPrima. – John
Wiley & Sons, Inc., 2001. – P. 1310.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. –
М. : Наука, «ФМЛ», 1972. – Т. 3. – 795 с.
11. Гурса Э. Курс математического анализа / Гурса Э. – М. : Государственное технико-практическое
издательство, 1933. – Т. 3. – 368 с.
12. Смирнов В.И. Курс высшей математики / Смирнов В.И. – М. : Наука, 1974. – Т. 2. – 479 с.
Л.П. Міроненко, І.К. Локтіонов
Тригогіперболічні функції в математичному аналізі (II)
У статті запропонована система «елементарних» функцій яка названа тригогіперболічними функціями і
означена як six, inx, cox, osx. Ця система функцій є альтернативою до звичайних тригонометричних і
гіперболічних функцій sin x, cos x, shx, chx. Функції введені на підставі поділення рядів Маклорена функцій
sin x, cos x на позитивну і від’ємну частини. Так виникають чотири лінійно незалежні і аналітичні функції.
У статті вивчаються алгебраїчні і аналітичні властивості тригогіперболічних функцій.
L.P. Mironenko, I.K. Loktionov
Trigohyperbolic Functions in the Mathematical Analysis (II)
A new system of "elementary" functions which are called trigohyperbolic functions and denoted with
symbols six, inx, cox, osx is proposed in the paper. This system is alternative to usual trigonometric and
hyperbolic functions sin x, cos x, shx, chx. New functions are introduced on basis of division Maclaurin’s
series for the functions sin x, cos x into positive and negative parts. In the paper algebraic and analytical
properties of the new functions are investigated.
Статья поступила в редакцию 19.11.2010.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58802 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:03:17Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мироненко, Л.П. Локтионов, И.К. 2014-03-31T10:50:17Z 2014-03-31T10:50:17Z 2011 Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) / Л.П. Мироненко, И.К. Локтионов // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 190-206. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58802 514.116 В статье предложена система «элементарных» функций, которая названа тригогиперболическими функциями и обозначена как six, inx, cox, osx. Эта система функций является альтернативой обычным тригонометрическим и гиперболическим функциям sin x, cos x, shx, chx. Функции введены на основе разделения рядов Маклорена функций sin x, cos x на положительную и отрицательную части. Так определяются четыре линейно независимые и аналитические функции. В статье изучаются алгебраические и аналитические свойства тригогиперболических функций. У статті запропонована система «елементарних» функцій яка названа тригогіперболічними функціями і означена як six, inx, cox, osx. Ця система функцій є альтернативою до звичайних тригонометричних і гіперболічних функцій sin x, cos x, shx, chx. Функції введені на підставі поділення рядів Маклорена функцій sin x, cos x на позитивну і від’ємну частини. Так виникають чотири лінійно незалежні і аналітичні функції. У статті вивчаються алгебраїчні і аналітичні властивості тригогіперболічних функцій. A new system of "elementary" functions which are called trigohyperbolic functions and denoted with symbols six, inx, cox, osx is proposed in the paper. This system is alternative to usual trigonometric and hyperbolic functions sin x, cos x, shx, chx. New functions are introduced on basis of division Maclaurin’s series for the functions sin x, cos x into positive and negative parts. In the paper algebraic and analytical properties of the new functions are investigated. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Моделирование объектов и процессов Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) Тригогіперболічні функції в математичному аналізі (II) Trigohyperbolic Functions in the Mathematical Analysis (II) Article published earlier |
| spellingShingle | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) Мироненко, Л.П. Локтионов, И.К. Моделирование объектов и процессов |
| title | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) |
| title_alt | Тригогіперболічні функції в математичному аналізі (II) Trigohyperbolic Functions in the Mathematical Analysis (II) |
| title_full | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) |
| title_fullStr | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) |
| title_full_unstemmed | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) |
| title_short | Тригогиперболические функции в математическом анализе (II) |
| title_sort | тригогиперболические функции в математическом анализе (ii) |
| topic | Моделирование объектов и процессов |
| topic_facet | Моделирование объектов и процессов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58802 |
| work_keys_str_mv | AT mironenkolp trigogiperboličeskiefunkciivmatematičeskomanalizeii AT loktionovik trigogiperboličeskiefunkciivmatematičeskomanalizeii AT mironenkolp trigogíperbolíčnífunkcíívmatematičnomuanalízíii AT loktionovik trigogíperbolíčnífunkcíívmatematičnomuanalízíii AT mironenkolp trigohyperbolicfunctionsinthemathematicalanalysisii AT loktionovik trigohyperbolicfunctionsinthemathematicalanalysisii |