Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач
У статті пропонується просторова математична модель динаміки механічної системи класу одноступінчастих, циліндричних, косозубих, евольвентних зубчастих передач. Пропонована модель являє собою систему чотирнадцяти диференціальних рівнянь другого порядку відносно узагальнених координат, складену на ос...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58807 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач / П.В. Дяченко // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 54-60. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859819338516660224 |
|---|---|
| author | Дяченко, П.В. |
| author_facet | Дяченко, П.В. |
| citation_txt | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач / П.В. Дяченко // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 54-60. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | У статті пропонується просторова математична модель динаміки механічної системи класу одноступінчастих, циліндричних, косозубих, евольвентних зубчастих передач. Пропонована модель являє собою систему чотирнадцяти диференціальних рівнянь другого порядку відносно узагальнених координат, складену на основі рівнянь Лагранжа другого роду, що описують просторові коливання зубчастих коліс механічної системи.
В статье предлагается пространственная математическая модель динамики механической системы класса одноступенчатых, цилиндрических, косозубых, эвольвентных зубчатых передач. Предлагаемая модель представляет собой систему четырнадцати дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат, составленную на основании уравнений Лагранжа второго рода, которые описывают пространственные колебания зубчатых колес механической системы.
In the article it is offered a spatial mathematical model of mechanical system dynamic, concerning to the class of single-stage, cylindrical, lopsided, evolvent toothed issues. The proposed model is a system of fourteen differential equations of the second order of comparatively generalised coordinates, formed on basis of Lagrange’s equations of the second order, which describe the spatial fluctuations of toothed wheel about of the mechanical system.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:24:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 1’2011 54
1Д
УДК 621.01:531
П.В. Дяченко
Черкаський державний технологічний університет, Україна
Просторова математична модель власних
частот та форм коливань механічної системи
класу одноступінчастих, евольвентних
зубчастих передач
У статті пропонується просторова математична модель динаміки механічної системи класу одноступінчастих,
циліндричних, косозубих, евольвентних зубчастих передач. Пропонована модель являє собою систему
чотирнадцяти диференціальних рівнянь другого порядку відносно узагальнених координат, складену
на основі рівнянь Лагранжа другого роду, що описують просторові коливання зубчастих коліс механічної
системи.
Постановка проблеми. Поглиблене дослідження динаміки зубчастих передач
передбачає розгляд впливу різноманітних факторів на динамічну навантаженість і ко-
ливальний процес у рамках внутрішньої і зовнішньої динаміки. Дослідження динамічних
процесів, з метою спрощення, в основному пов’язане з розглядом динаміки односту-
пінчастих передач. Як у випадку одноступінчастих, так і багатоступінчастих передач
знання частот власних коливань є визначальним для динамічного аналізу механічної
системи.
Механічні коливальні системи у класичній постановці складаються з типових ла-
нок, які можуть бути представлені пружинами, демпферами і масоінерційними елемен-
тами. Для розкриття фізичної сутності перебігу вібраційного процесу і отримання спект-
рів вібрації використовують різні підходи, що базуються на розробці і дослідженні
математичних моделей дискретних і континуальних систем [1], [2]. В залежності від
характеру зовнішнього навантаження і пов’язаних з ним збурень, динамічні моделі по-
діляються на детерміновані, стохастичні й евристичні [1], [2], [3]. У детермінованих
моделях зовнішні впливи і параметри розглядаються як невипадкові величини і функ-
ції. У стохастичних моделях ці характеристики розглядаються як випадкові процеси,
функції випадкових аргументів і випадкові величини. Керовані пружні властивості
опор, в залежності від зовнішніх збурень, відображаються у евристичних моделях.
За адекватністю опису динамічними моделями реальних процесів, на відміну від
дискретних моделей, у яких маси, жорсткості та інші параметри розглядаються як зосе-
реджені, в континуальних системах використовуються розподілені параметри. У змішаних
моделях розподілені і зосереджені параметри поєднуються одночасно. Рух континуаль-
них систем, як систем з розподіленими параметрами, описується диференціальними рів-
няннями у частинних похідних, розв’язування яких для найбільш повних динамічних
моделей зубчастих передач є складним, навіть у випадку застосування сучасних мето-
дів комп’ютерного моделювання. У ряді випадків для визначення частот коливань і
динамічних навантажень континуальних систем використовують алгоритмічні мето-
ди кінцевих різниць і кінцевих елементів [3]. При цьому масо-жорсткісні, демпфуючі
та інші параметри системи вважаються постійними, а їх зв’язки здійснюються у вузлах
Просторова математична модель власних частот та форм коливань…
«Штучний інтелект» 1’2011 55
1Д
області розбиття. Приймаючи переміщення вузлів за узагальнені координати системи,
переміщення точок всередині елемента виражаються через переміщення його вузлів.
Зазвичай, для континуальних моделей при моделюванні на мікрорівні, система розв’язу-
ваних рівнянь руху має високий порядок, однак наявність великої кількості нульових
елементів матриць жорсткості та інерції дещо спрощує розв’язок. Врахування пружних
властивостей, фактора затухання коливань, наявності зазорів, нелінійності характерис-
тик значно ускладнює динамічні моделі.
При складенні динамічних моделей фoрмується розрахункова схема, визначаю-
ться місця і величини прикладених зовнішніх впливів (силових чи кінематичних), скла-
даються рівняння руху динамічної системи у вигляді математичної моделі і обирається
метод розв’язку або здійснюється підготовка початкових даних для комп’ютерного
моделювання [3].
Загальна методика розв’язування задач динаміки об’єктів зі стаціонарними зв’яз-
ками ґрунтується на теоремах аналітичної механіки. Фундаментальним положенням
є поняття принципу можливих переміщень, або принципу Лагранжа [4]. Об’єднуючи
цей принцип з принципом Даламбера, Лагранж отримав загальні рівняння динаміки, з
яких випливають основні диференціальні рівняння руху матеріальної системи і основні
теореми динаміки. У [4] показано, що якщо рух голономної системи описується уза-
гальненими координатами nqqq ,...,, 21 і узагальненими швидкостями nqqq ,...,, 21 , то рів-
няння руху мають вигляд:
jjj qq
T
q
T
dt
d
, (1)
де T – кінетична енергія системи, П – потенціальна енергія, qj – узагальнені координати,
jq – узагальнені швидкості. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа другого
роду. Якщо рух відбувається у потенціальному полі і вважається, що П не залежить
від узагальнених швидкостей jq , то рівняння Лагранжа (1) набудуть вигляду [4].
nj
q
L
q
L
dt
d
T
q
T
qdt
d
jjjj
,...,2,1,0,0
, (2)
де L=T-П – кінетичний потенціал, або функція Лагранжа, n – кількість узагальнених
координат. Якщо крім активних сил, що визначаються функцією П, на елементи системи
діють сили, які цією функцією не можуть бути визначені, наприклад, сили опору різ-
ного фізичного походження, то рівняння (1) можна подати у вигляді
njQ
q
L
q
L
dt
d
j
jj
,...,2,1,
. (3)
У правій частині цих рівнянь знаходяться сили, що не визначаються функцією П.
Перевагою рівнянь Лагранжа порівняно з іншими методами є те, що вони дають
змогу розробляти математичні моделі динаміки за єдиною методикою. Переміщення
елементів системи можуть бути як лінійними, так і кутовими, тобто узагальненими ко-
ординатами системи можуть виступати як лінійні переміщення, так і кути повороту.
Відповідні узагальнені сили – це звичайні сили і крутні моменти. Безпосередній аналіз
зв’язку переміщень і сил на основі законів динаміки (Ньютона) і виведення відповід-
них рівнянь руху пов’язаний з певними труднощами через векторний характер пере-
міщень і зусиль. Тому для виведення рівнянь руху вважається доцільним використо-
вувати рівняння Лагранжа другого роду у потенціальному полі [4]. Оскільки величини
Дяченко П.В.
«Искусственный интеллект» 1’2011 56
1Д
Т і П є скалярними, то виведення рівнянь руху є досить простим і зводиться до зви-
чайних операцій диференціювання. Необхідно відмітити, однак, що у простих випадках
для виведення рівнянь руху можна безпосередньо використовувати закони Ньютона.
Аналіз наукових досліджень. Актуальність дослідження динаміки зубчастих
передач підтверджується роботами багатьох вітчизняних та зарубіжних дослідників.
В основоположних роботах [5, с. 175], [6] були виявлені фази кромочного і серединно-
го контакту зубців, вплив циклічної похибки, виконана оцінка динамічних навантажень
у зачепленні, отримані спектри коливань зубчастої передачі. У роботах інших авторів
динамічна модель була доповнена з урахуванням впливу пружної піддaтливості опор;
розглянуто частотний спектр параметричних коливань в залежності від змінної жорст-
кості зачеплення і впливу масляної плівки; у окремих роботах відмічається суттєвий
вплив на динамічну навантаженість і частотний спектр коливань пружних опор зубчастих
передач.
Метою даної статті є розробка просторової математичної моделі власних частот
і форм коливань механічної системи класу циліндричних одноступінчастих евольвент-
них зубчастих передач, з метою її подальшої комп’ютерної реалізації. Просторовість
моделі забезпечується врахуванням шести ступенів вільності для зубчастих коліс і
трьох ступенів для кожного валу.
Основна частина. Розробка математичної моделі здійснюється на основі попе-
редньо створеної моделі динаміки, спрощена кінематична схема якої зображена на рис. 1.
1
2
3
4
6
5
Рисунок 1 – Спрощена кінематична схема зубчастої передачі
На схемі позначені: 1, 6 – приєднані маси двигуна і робочого механізму, 2, 5 – ді-
лянки валів між приєднаними масами і зубчастими колесами, 3, 4 – зубчасті колеса.
Запропонована попередньо модель динаміки дає змогу дослідити вплив мас зуб-
частих коліс, пружність і довжину валів, на значення частот і форм власних коливань
системи з урахуванням опору середовища, обумовленого наявністю тертя і демпфуючих
властивостей масляної плівки у зачепленнях. За узагальнені координати динамічної
моделі взято:
φ, φ1, φ2, φ3 – кути повороту приєднаних мас та ділянок валів навколо осей x1, x2;
zyzy
2211 ,,, – кути повороту шестерні та колеса навколо осей y1, y2
та z1, z2;
x1, y1, z1, x2, y2, z2 – лінійні переміщення шестерні та колеса вздовж осей x, y, z.
Конструктивні параметри механічної системи:
3, JJ – моменти інерції приєднаних мас двигуна 1 та навантаження 2 відносно
осі х (рис. 1);
21, xx JJ – моменти інерції відносно осі х ділянок валів 2, 5 між зубчастими коле-
сами 3, 4 та приєднаними масами 1, 6 відповідно (рис. 1);
21, yy JJ – моменти інерції зубчастих коліс 3, 4 відносно осі y (рис. 1);
21, zz JJ – моменти інерції зубчастих коліс 3, 4 відносно осі z (рис. 1);
m1, m2 – маси зубчастих коліс 3, 4 (рис. 1);
М, М3 – крутний момент двигуна 1 та момент опору механізму навантаження 6
відповідно;
Просторова математична модель власних частот та форм коливань…
«Штучний інтелект» 1’2011 57
1Д
k1, k2, l1, l2 – крутильні жорсткості та довжини валів 2, 5 (рис. 1);
ZZ CC 11 , – жорсткості опор вхідного вала 2 по осі z (рис. 1);
yy CC 11 , – жорсткості опор вхідного вала 2 по осі y (рис. 1);
1xC – жорсткіcть опори вхідного вала 2 по осі x (рис. 1);
ZZ CC 22 , – жорсткості опор вихідного вала 5 по осі z (рис. 1);
yy CC 22 , – жорсткості опор вхідного вала 5 по осі y (рис. 1);
2xC – жорсткіcть опори вхідного вала 5 по осі x (рис. 1).
Таким чином, всі конструктивні, геометричні та динамічні параметри відобра-
жені практично повною мірою. Відповідно, вектор узагальнених координат механічної
системи містить сукупність кутових та лінійних переміщень і має вигляд: q {
Tzyzy zyxzyx },,,,,,,,,, 2221112211 .
Отже, вектор узагальнених координат містить чотирнадцять компонент, які опи-
сують крутильні i лінійні (поздовжньо-поперечні та згинальні) коливання елементів
механічної системи.
Методика складання рівнянь Лагранжа (1) – (3) містить такі кроки:
1. Визначення кінетичної енергії системи
i
iTT , де
2
2
ii
i
qJ
T
– кінетична енер-
гія окремих елементів системи.
2. Визначення потенціальної енергії системи
i
iПП , де iП – потенціальна
енергія окремих елементів системи.
3. Знаходження частинних похідних від кінетичної енергії по узагальнених швид-
костях
iq
T
, і повної похідної за часом
iq
T
dt
d
. Кількість узагальнених координат
відповідає кількості ступенів вільності системи.
4. Визначення частинних похідних від кінетичної енергії по узагальнених коор-
динатах
iq
T
.
5. Визначення узагальненої сили Qi, яка для консервативної системи визначиться
як частинна, похідна від потенціальної енергії по узагальненій координаті
i
i q
П
Q .
Виконаємо процес створення математичної моделі по кроках.
1. Кінетична енергія системи запишеться у вигляді:
.)()()(
)()()(2
2
33
22
22
2
22
2
2
2
2
2
22
2
22
2
11
2
11
2
1
2
1
2
11
2
11
JJJJzyxm
JJJzyxmJT
z
z
y
y
x
z
z
y
yx
(4)
За відсутності приєднаних мас, тобто у випадку ізольованої зубчастої передачі,
члени 2
33
2 ; JJ будуть відсутні. За відсутності осьових переміщень, тобто без ураху-
вання поздовжніх осьових сил, відсутніми будуть члени 2
11xm та 2
22 xm .
2. Визначаємо потенціальну енергію системи:
Дяченко П.В.
«Искусственный интеллект» 1’2011 58
1Д
.)21()()(
sin
1
)()()21(
cos
1
)(
)()()()()(
)()()()()(2
2
22
2
11
22
012121
2102211
2
21
2
2222
2
2122
2
1211
2
1111
2
2222
2
2122
2
1211
2
1111
2
322
2
11
xCxCxxgryy
wjxxtgrrzztC
lyClyClyClyClzC
lzClzClzCkkП
xxb
zz
t
bb
yy
t
з
z
y
z
y
z
y
z
y
y
z
y
z
y
z
y
z
(5)
3. Проведемо операції диференціювання згідно з формулою (1). Похідні від кіне-
тичної енергії:
22
2
1
1
33
3
)(;)(;)(;)(
xx J
T
dt
d
J
T
dt
d
J
T
dt
d
J
T
dt
d
z
zz
z
zz
y
y
y
yy
J
T
dt
d
J
T
dt
d
J
T
dt
d
J
T
dt
d
22
2
11
1
22
2
11
1
)(;)(;)(;)(
.zm)
z
T
(
dt
d
;zm)
z
T
(
dt
d
ym)
y
T
(
dt
d
;ym)
y
T
(
dt
d
;xm)
x
T
(
dt
d
;xm)
x
T
(
dt
d
22
2
11
1
22
2
11
1
22
2
11
1
4. Похідні від кінетичної енергії по узагальнених координатах у всіх випадках до-
рівнюють нулю, тобто
iq
T
= 0.
5. Проведемо операції диференціювання від потенціальної енергії. Відповідні час-
тинні похідні набудуть вигляду:
;)()(;)()();();( 22321
2
111
1
321
3
1 RrtCk
П
RrtCk
П
k
П
k
П
bзbз
;)()()( 6012222212122
2
5012121111111
1
42222212122
2
32121111111
1
RtgrtCllycllyc
П
;Rtg βr(t)C)lφl(yc)lφl(yc
φ
П
;Rξ(t)C)lφl(zc)lφl(zc
φ
П
;Rξ(t)C)lφl(zc)lφl(zc
φ
П
bз
z
y
z
yz
bз
z
y
z
yz
з
y
z
y
zy
з
y
z
y
zy
;R(t)C)φl(zc)φl(zc
z
П
;R(t)C)φl(zc)φl(zc
z
П
;R(t)C)φl(yc)φl(yc
y
П
;R(t)C)φl(yc)φl(yc
y
П
;R)(t)(tg βCxc
x
П
;R)(t)(tg βCxc
x
П
з
y
z
y
z
з
y
z
y
z
з
z
y
z
y
з
z
y
z
y
зxзx
1222222122
2
1112111111
1
1022222122
2
911111111
1
8022
2
7011
1
11
Просторова математична модель власних частот та форм коливань…
«Штучний інтелект» 1’2011 59
1Д
Коефіцієнти R1 – R12 являють собою циклічно повторювані функції. На підставі
формули (1) і проведених операцій диференціювання, прирівнявши ліві і праві частини,
отримуємо систему 14 диференціальних рівнянь руху динамічної системи зубчастої
передачі, без врахування фактора демпфування системи. Отримана математична мо-
дель має вигляд:
.)()()(.14
;)()()(.13
;)()()(.12
;)()()(.11
;)1)((.10
;)1)((.9
;)()()(.8
;)()()(.7
;)()()(.6
;)()()(.5
;)(.4
;)()(.3
;)()(.2
;)(.1
1232222212222
1131211111111
1031222212222
931211111111
8032222
7031111
6023222221112222
5013212111111111
43222221212222
33212111111111
332233
22332222
1131111
11
RtclzClzCzm
RtclzClzCzm
RtclyClyCym
RtclyClyCym
RtgtcxCxm
RtgtcxCxm
RtgrtcllyCllyCJ
RtgrtcllyCllyCJ
RtcllzCllzCJ
RtcllzCllzCJ
MkJ
RrtckJ
RrtckJ
MkJ
Y
Z
Y
Z
Y
z
Y
Z
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Y
X
X
B
Z
Y
Z
Y
Z
Z
B
Z
Y
Z
Y
Z
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Y
Y
Z
Y
Z
Y
Y
BX
BX
(6)
де R1 = R2 = R7 = R8 = A; R3 = R4 = R11 = R12 = A/cosαt; R5 = R6 = R9 = R10 = A/sinαt.
).;;;;;;;;;;;;;()()()(
sin
1
)()()(
cos
1
A
21212121212121012121
21022112121
jzzyyxxAxxtgryy
wjxxtgrrzz
zzyy
b
zz
t
bb
yy
t
Кожне з рівнянь системи окремо описує:
– рівняння 1 (відносно ) – крутильні коливання ділянки первинного вала 2 між
приєднаною масою двигуна 1 та зубчастим колесом 3 (рис. 1);
– рівняння 2 (відносно 1 ) – крутильні коливання колеса 3 навколо осі х1 (рис. 1);
– рівняння 3 (відносно 2 ) – крутильні коливання колеса 4 навколо осі х2 (рис. 1);
– рівняння 4 (відносно 3 ) – крутильні коливання ділянки вторинного вала 5 між
приєднаною масою навантаження 6 та зубчастим колесом 4 (рис. 1);
– рівняння 5 (відносно y
1 ) – крутильні коливання колеса 3 навколо осі y1 (рис. 1);
– рівняння 6 (відносно y
2 ) – крутильні коливання колеса 4 навколо осі y2 (рис. 1);
– рівняння 7 (відносно z
1 ) – крутильні коливання колеса 3 навколо осі z1 (рис. 1);
– рівняння 8 (відносно z
2 ) – крутильні коливання колеса 4 навколо осі z2 (рис. 1);
– рівняння 9 (відносно x1) – поздовжні коливання колеса 3 вздовж осі х1 (рис. 1);
– рівняння 10 (відносно x2) – поздовжні коливання колеса 4 вздовж осі х2 (рис. 1);
– рівняння 11 (відносно y1) – поперечні коливання колеса 3 вздовж осі y1 (рис. 1);
– рівняння 12 (відносно y2) – поперечні коливання колеса 4 вздовж осі y2 (рис. 1);
– рівняння 13 (відносно z1) – поперечні коливання колеса 3 вздовж осі z1 (рис. 1);
– рівняння 14 (відносно z2) – поперечні коливання колеса 4 вздовж осі z2 (рис. 1);
Таким чином, перші 8 рівнянь системи описують крутильні коливання елемен-
тів механічної системи, решта 6 – поздовжньо-поперечні коливання зубчастих коліс.
Дяченко П.В.
«Искусственный интеллект» 1’2011 60
1Д
Висновки
На основі попередньо розробленої моделі динаміки, з використанням рівняння
Лагранжа другого роду, створена просторова математична модель (6) власних частот
та форм коливань механічної системи класу циліндричних, одноступінчастих, евольвент-
них, косозубих зубчастих передач. Запропонована математична модель являє собою
систему 14 диференціальних рівнянь другого порядку, відносно узагальнених координат
динамічної моделі. В залежності від застосованого алгоритму розв’язок даної системи
диференціальних рівнянь може бути отриманий у вигляді амплітудно-частотного спектра
частот та форм власних коливань динамічної системи (частотна область) та у вигляді
зміни у часі кожної з узагальнених координат (часова область).
Для першого випадку задача пошуку розв’язку системи зводиться до обчислення
власних чисел характеристичної матриці системи рівнянь (спектра матриці). З цією ме-
тою можуть бути застосовані відомі чисельні методи, наприклад, метод А.М. Данилев-
ського, Леверрьє – Фаддєєва, невизначених коефіцієнтів тощо.
У другому випадку для отримання розв’язку необхідно скористатись методами
покрокового інтегрування типу Рунге, Кутта – Мерсона, Ейлера, тобто звести рішення
рівнянь системи (6) до рішення задачі Коші. Це передбачає заміну системи з 14 дифе-
ренціальних рівнянь 2-го порядку системою з 28 рівнянь 1-го порядку і визначення
початкових умов, зазвичай з умови статичної рівноваги описуваної механічної системи.
Література
1. Калашников В.В. Организация моделирования сложных систем / Калашников В.В. – М. : Знание,
1982. – 200 с.
2. Степанов В.И. Использование преобразованных топологических моделей упругих систем металло-
режущих станков в задачах динамики / В.И. Степанов, М.К. Клебанов // Известия ВУЗов. Маши-
ностроение. – 1984. – № 10. – С. 139-143.
3. Системы автоматизированного проектирования : в 9 книгах. Кн. 4. Математические модели техничес-
ких объектов : учебное пособие для ВУЗов. / В.А. Трудоношин, Н.В. Пивоварова ; под ред. И.П. Но-
ренкова. – М. : Высшая школа, 1986. – 160 с.
4. Кильчевский Н.А. Курс теормеханики / Кильчевский Н.А. – М. : Наука, 1977. – Т. 2. – 544 с.
5. Абрамов Б.М. Колебания прямозубых зубчатых колес / Абрамов Б.М. – Харьков : Изд-во ХГУ,
1969.
6. Балицкий Ф.Я. Об акустической диагностике перекоса осей в прямозубом зубчастом зацеплении /
Ф.Я. Балицкий, М.Д. Генкин, А.Г. Соколова // Вибрация механизмов с зубчастыми передачами. –
М. : Наука, 1978. – С. 11-14.
П.В. Дяченко
Пространственная математическая модель собственных частот и форм колебаний
механической системы класса одноступенчатых, эвольвентных зубчатых передач
В статье предлагается пространственная математическая модель динамики механической системы класса
одноступенчатых, цилиндрических, косозубых, эвольвентных зубчатых передач. Предлагаемая модель
представляет собой систему четырнадцати дифференциальных уравнений второго порядка относительно
обобщенных координат, составленную на основании уравнений Лагранжа второго рода, которые описывают
пространственные колебания зубчатых колес механической системы.
P.V. Dyachenko
Spatial Mathematical Model of the Proper Frequencies and Forms of the Fluctuations
of the Mechanical System, Concerning to the Class of Single-Stage, Evolvent Toothed Issues
In the article it is offered a spatial mathematical model of mechanical system dynamic, concerning to the class of
single-stage, cylindrical, lopsided, evolvent toothed issues. The proposed model is a system of fourteen differential
equations of the second order of comparatively generalised coordinates, formed on basis of Lagrange’s equations
of the second order, which describe the spatial fluctuations of toothed wheel about of the mechanical system.
Стаття надійшла до редакції 01.11.2010.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58807 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:24:04Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дяченко, П.В. 2014-03-31T11:16:08Z 2014-03-31T11:16:08Z 2011 Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач / П.В. Дяченко // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 54-60. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58807 621.01:531 У статті пропонується просторова математична модель динаміки механічної системи класу одноступінчастих, циліндричних, косозубих, евольвентних зубчастих передач. Пропонована модель являє собою систему чотирнадцяти диференціальних рівнянь другого порядку відносно узагальнених координат, складену на основі рівнянь Лагранжа другого роду, що описують просторові коливання зубчастих коліс механічної системи. В статье предлагается пространственная математическая модель динамики механической системы класса одноступенчатых, цилиндрических, косозубых, эвольвентных зубчатых передач. Предлагаемая модель представляет собой систему четырнадцати дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат, составленную на основании уравнений Лагранжа второго рода, которые описывают пространственные колебания зубчатых колес механической системы. In the article it is offered a spatial mathematical model of mechanical system dynamic, concerning to the class of single-stage, cylindrical, lopsided, evolvent toothed issues. The proposed model is a system of fourteen differential equations of the second order of comparatively generalised coordinates, formed on basis of Lagrange’s equations of the second order, which describe the spatial fluctuations of toothed wheel about of the mechanical system. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Системы и методы искусственного интеллекта Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач Пространственная математическая модель собственных частот и форм колебаний механической системы класса одноступенчатых, эвольвентных зубчатых передач Spatial Mathematical Model of the Proper Frequencies and Forms of the Fluctuations of the Mechanical System, Concerning to the Class of Single-Stage, Evolvent Toothed Issues Article published earlier |
| spellingShingle | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач Дяченко, П.В. Системы и методы искусственного интеллекта |
| title | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач |
| title_alt | Пространственная математическая модель собственных частот и форм колебаний механической системы класса одноступенчатых, эвольвентных зубчатых передач Spatial Mathematical Model of the Proper Frequencies and Forms of the Fluctuations of the Mechanical System, Concerning to the Class of Single-Stage, Evolvent Toothed Issues |
| title_full | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач |
| title_fullStr | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач |
| title_full_unstemmed | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач |
| title_short | Просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач |
| title_sort | просторова математична модель власних частот та форм коливань механічної системи, класу одноступінчастих, евольвентних зубчастих передач |
| topic | Системы и методы искусственного интеллекта |
| topic_facet | Системы и методы искусственного интеллекта |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58807 |
| work_keys_str_mv | AT dâčenkopv prostorovamatematičnamodelʹvlasnihčastottaformkolivanʹmehaníčnoísistemiklasuodnostupínčastihevolʹventnihzubčastihperedač AT dâčenkopv prostranstvennaâmatematičeskaâmodelʹsobstvennyhčastotiformkolebaniimehaničeskoisistemyklassaodnostupenčatyhévolʹventnyhzubčatyhperedač AT dâčenkopv spatialmathematicalmodeloftheproperfrequenciesandformsofthefluctuationsofthemechanicalsystemconcerningtotheclassofsinglestageevolventtoothedissues |