Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов
Рассматриваются вопросы построения интеллектуальной системы планирования траекторий движения для группы мобильных роботов на базе рекуррентной нейронной сети. Планирование реализовано по гибридному принципу и заключается в построении общего блока конструктора пути для формирования траекторий участн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Штучний інтелект |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58823 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов / О.В. Даринцев, А.Б. Мигранов, Б.С. Юдинцев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 154-160. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859795706053656576 |
|---|---|
| author | Даринцев, О.В. Мигранов, А.Б. Юдинцев, Б.С. |
| author_facet | Даринцев, О.В. Мигранов, А.Б. Юдинцев, Б.С. |
| citation_txt | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов / О.В. Даринцев, А.Б. Мигранов, Б.С. Юдинцев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 154-160. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | Рассматриваются вопросы построения интеллектуальной системы планирования траекторий движения для группы мобильных роботов на базе рекуррентной нейронной сети. Планирование реализовано по гибридному принципу и заключается в построении общего блока конструктора пути для формирования траекторий участников группы в рабочем пространстве и использовании распределенной рекуррентной нейронной сети для формирования нейронной карты с учетом целевых позиций каждого из мобильных роботов.
Розглядаються питання побудови інтелектуальної системи планування траєкторій руху для групи мобільних роботів на базі рекурентної нейронної мережі. Планування реалізоване за гібридним принципом і полягає в побудові загального блоку конструктора дороги для формування траєкторій учасників групи в робочому просторі і використанні розподіленої рекурентної нейронної мережі для формування нейронної карти з врахуванням цільових позицій кожного з мобільних роботів.
The questions of planning intellectual system construction, which are based on a recurrent neural network, for mobile robots group trajectories are considered. Planning procedure is realized by a hybrid principle and consists of the general block of the path designer, which calculates (forms) trajectories for group participants in working space and the usage of the distributed recurrent neural network for designing a neural card taking into account target positions of each mobile robot.
|
| first_indexed | 2025-12-02T13:32:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 1’2011 154
2Д
УДК 621.865.8
О.В. Даринцев1, А.Б. Мигранов1, Б.С. Юдинцев2
1Институт механики Уфимского научного центра РАН, г. Уфа, Россия
2Уфимский государственный авиационный технический университет, г. Уфа, Россия
Нейросетевой алгоритм планирования
траекторий для группы мобильных роботов
Рассматриваются вопросы построения интеллектуальной системы планирования траекторий движения
для группы мобильных роботов на базе рекуррентной нейронной сети. Планирование реализовано по
гибридному принципу и заключается в построении общего блока конструктора пути для формирования
траекторий участников группы в рабочем пространстве и использовании распределенной рекуррентной
нейронной сети для формирования нейронной карты с учетом целевых позиций каждого из мобильных
роботов.
Введение
Для управления движением мобильных роботов, функционирующих в условиях
неопределенности, в последние годы широкое распространение получили методы ре-
шения на основе интеллектуальных алгоритмов: нейронных сетей (НС), генетических
алгоритмов и нечеткой логики [1], [2]. В данной работе будет рассмотрена методика
синтеза интеллектуального (адаптивного) управления движением мультиагентных сис-
тем в условиях неопределённости на основе нелинейных технологий управления, реа-
лизуемых в нейросетевом базисе.
Предложенный подход является развитием рассмотренной в предыдущей рабо-
те авторов методики использования нейронной карты для планирования траектории
мобильного робота [3]. Первый вариант системы позиционирования мобильного ро-
бота основан на одновременной работе трех подсистем: нейронной сети, генератора
траектории и регулятора скорости (рис. 1). Для простейшего случая, когда планирова-
ние траектории проводится для одного мобильного робота в стационарном рабочем
пространстве, отсутствие динамических препятствий снимает необходимость плани-
рования с учетом скорости перемещения, поэтому архитектура системы может быть
упрощена: работают только нейронная карта и генератор траектории. Введем следую-
щие обозначения: R – мобильный робот, С – заданное рабочее пространство. Некоторый
внешний источник (сенсорная система) непрерывно обеспечивает систему планирова-
ния информацией Х об окружающей среде. По получаемой информации определяются
конфигурация заданного пространства С и расположение препятствий. Следует отме-
тить, что определение точной конфигурации рабочего пространства во многом зависит
от технических возможностей внешнего источника (сенсорной системы). Сенсорная
информация X с помощью энергетических взаимодействий нейронов в сети отобра-
жается в виде нейронной карты на нейронной области F.
Результаты, представленные в данной статье, получены в рамках работ по проекту Программы №15
ОЭММПУ РАН и грантов РФФИ 08-08-97021-р_поволжье_а, 08-08-97039-р_поволжье_а, 10-08-00567-а.
Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы…
«Штучний інтелект» 1’2011 155
2Д
Нейронная сеть
Генератор
траектории
Положение
цели
Сенсорная
информация Траектория
Текущее
положение агента
Регулятор
скорости
Текущий
момент времени
Рисунок 1 – Архитектура системы планирования
Основная идея предлагаемого подхода состоит в том, чтобы использовать ней-
ронную карту как динамическое представление заданного пространства, информация
о которой поступает с внешних источников. Энергетические взаимодействия нейро-
нов в сети подобно распространению волны возмущений приводят к возникновению
так называемого ландшафта активации, который используется в дальнейшем как нави-
гационная карта для планирования траектории.
Координаты цели, а также информация об окружающей среде поступают на вход
аналоговой нейронной сети Хопфилда (рис. 2), которая представляет собой слой адап-
тивных сумматоров с обратными связями, выходные сигналы которых, подвергаясь
нелинейной обработке по заданному закону, поступают с некоторой временной за-
держкой на входы нейронов, в результате чего выходной сигнал нейронной сети фор-
мируется лишь после того, как сеть достигнет динамического равновесия [4].
Рисунок 2 – Архитектура рекуррентной сети Хопфилда
Нейроны сети входят в состояние равновесия и принимают собственные значе-
ния энергии (в зависимости от функции активации). Взаимодействия нейронов постро-
енной сети обусловлены динамикой и архитектурой самой сети, а также конфигурацией
окружающего пространства и координатами цели, которая является точкой активации.
Значения энергии нейронов на данной нейронной области (ландшафт активации) по-
ступают на вход блока генератора траектории, который, в свою очередь, выполняет
расчет траектории по данным значениям.
t
t
t
H1
H2
H3
I1
I2
I3
w21
w31
w12
w32
w13
w23
B1
B2
B3
Даринцев О.В., Мигранов А.Б., Юдинцев Б.С.
«Искусственный интеллект» 1’2011 156
2Д
Применение метода планирования
для группы мобильных роботов
Для малых групп мобильных роботов систему предлагается реализовать по гиб-
ридному принципу: строится общий блок конструктора пути, который последовательно
пошагово формирует траектории участников группы в общем рабочем пространстве,
и распределенная НС (каждый участник группы оснащен НС) формирует нейронную
карту с учетом собственной целевой позиции. Для эффективного управления движением
мультиагентных систем была проведена модернизация всего алгоритма функциониро-
вания системы планирования, а именно:
1. Для увеличения производительности системы изменено условие сходимости
сети: сеть считается достигшей состояния равновесия, если все активные нейроны (то
есть все нейроны, кроме препятствий) имеют значения отличные от нуля.
2. Введены значения собственных обратных связей нейронов («self-coupling weights»)
для получения более «плавного» характера убывания значений энергий нейронов при
удалении от центра активации и устранения нежелательного эффекта попадания ней-
рона, находящегося на необходимой точке траектории среди большого количества пре-
пятствий («нулевых» нейронов), в так называемую «потенциальную яму».
3. В алгоритме реализована возможность динамического изменения весовых ко-
эффициентов для ускорения процесса входа сети в состояние равновесия в сложной
конфигурации рабочего пространства. Веса для прямых и собственных связей: ws = 1×k;
для диагональных связей: ws = 0,7071×k, где k – динамически меняющийся коэффи-
циент (k 5).
4. Также реализована возможность динамического изменения точности дискрети-
зации рабочего пространства (размер дискретной ячейки больше или равен габаритам
робота) для повышения производительности системы при работе в простой конфигу-
рации рабочего пространства.
5. Разработан собственный алгоритм поиска максимального градиента по матри-
це состояний, что позволило увеличить производительность блока конструктора пути
за счет упрощения формулы расчета градиента и исключения из нее функции Евкли-
дового расстояния: grad(i, j) = (Ej – Ei) wij, где Ei и Ej – величины активации i-го и j-го
нейронов соответственно; wij – весовой коэффициент связи в направлении от нейро-
на i к j.
6. В алгоритм введена система приоритетов и условий для корректного расчета
траекторий каждого из мобильных роботов с обходом препятствий и избегания столк-
новений с другими участниками группы:
каждому участнику группы присваивается собственное значение приоритета,
таким образом, при одновременном пересечении расчетных траекторий, траектория ро-
бота с большим приоритетом остается без изменений, траектория робота с меньшим
приоритетом корректируется;
если приоритеты роботов равны, то их траектории корректируются обоюдно;
робот, достигший конечной точки траектории, воспринимается как препятст-
вие, и будет обходиться другими участниками группы вне зависимости от приоритета;
при пересечении траекторий роботов в условиях, при которых невозможна кор-
ректировка (например, длинный узкий коридор), возможно обратное движение робота
от заданной конечной точки траектории (с последующим возвращением на данную
позицию) для свободного прохода участника группы с более высоким приоритетом.
Приведем общий алгоритм расчета траектории и планирования движений мобиль-
ных роботов: 1) ввод начальных значений. Вводятся необходимые переменные для
формирования нейронной карты: текущая позиция агента, позиция цели, расположе-
Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы…
«Штучний інтелект» 1’2011 157
2Д
ние препятствий (если есть), также для более гибкого управления коллективом вво-
дится вектор приоритетности P = [P1, P2, …, Pn], где элементы вектора P – значения
приоритета 1-го, 2-го и n-го мобильного робота соответственно; 2) формирование
нейронных карт (получение матрицы энергии сети) для каждого из агентов; 3) поша-
говый расчет траектории для каждого мобильного робота с учетом их взаимного рас-
положения и приоритетов. Примем: Ej, Ei – векторы выходных значений энергии ней-
ронов сети для j-го и i-го агентов; Cposj, Cposi – текущая позиция j-го и i-го роботов
соответственно; Nposj, Nposi – позиция, на которую совершит переход j-й и i-й роботы
соответственно; Tposj, Tposi – конечная (целевая) позиция j-го и i-го роботов соответ-
ственно; Pj > Pi. Тогда учет расположения и приоритетов выполняется по следующим
условиям: а) если (Nposi=Nposj) или (Nposi=Сposj и Nposj=Сposi) в один момент вре-
мени, то значение нейрона на Nposi становится отрицательным (E(Nposi)= -E(Nposi))
и выполняется пересчет шага для i-го агента; б) если Nposj=Tposi, при этом i-й робот
уже находится на Tposi (то есть прошел заданную траекторию), то выполняется пе-
ресчет шага для j-го робота (вне зависимости от приоритета).
Общая блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.
Рисунок 3 – Общая блок-схема алгоритма планирования
для группы мобильных роботов
Даринцев О.В., Мигранов А.Б., Юдинцев Б.С.
«Искусственный интеллект» 1’2011 158
2Д
Результаты моделирования
Эффективность работы алгоритма была подтверждена математическим модели-
рованием. Для этого была построена математическая модель предложенной сети из
100 нейронов в пакете моделирования MatLab. Устойчивое состояние сети подавалось
на вход блока конструктора пути, где производился расчет полной траектории (кон-
фигурация местности известна и статична) или расчет части траектории (конфигура-
ция местности меняется и динамична). Непосредственно вычислительные операции
блока конструктора довольно просты, они формируют некоторую процедуру «вос-
хождения» к вершине поверхности (цели). Направление на каждом расчетном шаге
определяется максимальным градиентом по направлению от текущего нейрона i до
соседнего нейрона j. Процесс повторяется для j-го нейрона и так далее вплоть до того,
пока не будет найден целевой нейрон и построена конечная траектория.
Если i и j два смежных нейрона, то градиент по направлению от i до j будет при-
ближенно определяться по формуле:
grad(i, j) = (Ej – Ei) ij,
где Ej – величина активации i-го (текущего) нейрона, Ei – величина активации j-го ней-
рона; ij – весовой коэффициент связи в направлении от i к j.
После выбора максимального градиента и перехода на j-й нейрон значение энер-
гии i-го в матрице активации умножается на –1 (Ei = – Ei). Данная операция проводится
для того, чтобы избежать возникновения эффекта рысканья и чтобы направления, по
которым еще не перемещался агент, имели более высокий приоритет.
Стоит отметить, что при завершении процесса активации значения энергии ней-
ронов, связанных с нулевыми нейронами (расположенных вблизи препятствий), всегда
будет ниже, чем значение нейронов, связанных с ненулевыми. Данный эффект являет-
ся своеобразной «ближней предусмотрительностью» агента, что предполагает плавный
обход препятствий.
В случае, если цель недостижима (агент окружен препятствиями), значение ней-
рона-агента будет равно 0, а также все нейроны, находящиеся в окружении, будут на-
ходиться в нулевом состоянии, так как волна распространения от нейрона-цели не будет
доходить до них через препятствия. Это условие проверяется в самом начале алгорит-
ма и, если оно выполняется, то блок конструктора пути будет выдавать сообщение о
невозможности расчета траектории.
Для группы мобильных роботов расчет траектории и позиционирование выпол-
няются в следующем порядке:
– ввод начальных значений. Вводятся необходимые переменные для формирова-
ния нейронной карты: текущая позиция агента, позиция цели, расположение препят-
ствий (если есть), также для более гибкого управления коллективом вводится вектор
приоритетности P = [P1, P2, …, Pn], где элементы вектора P – значения приоритета 1-го,
2-го и n-го мобильного робота соответственно;
– формирование нейронных карт (получение матрицы энергии сети) для каждо-
го из агентов;
– пошаговый расчет траектории с привязкой ко времени для каждого мобильного
робота с учетом их взаимного расположения и приоритетов.
Введем следующие условные обозначения:
P = [P1, P2, P3] – вектор приоритета;
target 1, 2, 3 – номера позиции целей 1-го, 2-го и 3-го роботов соответственно;
start 1, 2, 3 – номера начальных (текущих) позиций 1-го, 2-го и 3-го роботов;
obst – вектор, элементы которого – это номера расположения препятствий, если obst = 0,
то препятствия не установлены.
Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы…
«Штучний інтелект» 1’2011 159
2Д
Выходные переменные:
steps 1, 2, 3 – количество времени, затраченное 1-м, 2-м или 3-им роботом на прохож-
дение траектории;
N agent step – момент времени пересечения N-м роботом траектории другого робота;
crossing m_n – позиция одновременного пересечения траекторий робота m и робота n;
current position – текущая позиция N-робота;
Результаты моделирования представлены на рис. 4 и 5. Окружностями обозначе-
ны вероятностные точки пересечения траекторий.
Рисунок 4 – Результаты моделирования при пересечении траекторий
трех мобильных роботов
Рисунок 5 – Результаты моделирования при встречном пересечении траекторий
1-го и 2-го роботов
Входные и выходные переменные результатов моделирования, представленных
на рис. 4, определены следующими значениями:
target1 =26
start1 =1
target2 =49
start2 =41
target3 =16
start3 =96
P = [3, 2, 1]
3rd agent step: steps3 = 5
crossing 3-2: 46
current position: 56
3rd agent step: steps3 = 6
crossing 3-2: 47
current position: 56
3rd agent step: steps3 = 9
crossing 3-1: 26
current position: 35
steps1 =5 steps2 =8 steps3 = 11
Даринцев О.В., Мигранов А.Б., Юдинцев Б.С.
«Искусственный интеллект» 1’2011 160
2Д
Входные и выходные переменные результатов моделирования, представленных
на рис. 5, определены следующими значениями:
Как видно из полученных в ходе моделирования результатов, для достижения
бесконфликтного движения в соответствии с предложенным мультиагентным алгоритмом
планирования, роботы не только своевременно изменяют маршруты своего движения
(траектории 1-го и 2-го роботов на рис. 5), но и осуществляют изменение скорости свое-
го движения (траектория 2-го робота на рис. 4). Стоит отметить, что при завершении
процесса активации значения энергии нейронов, связанных с нулевыми нейронами
(расположенных вблизи препятствий), всегда будет ниже, чем значение нейронов,
связанных с ненулевыми. Данный эффект является своеобразной «ближней предусмот-
рительностью» агента, что предполагает плавный обход статических и динамических
препятствий.
В дальнейшем планируется разработка аппаратной поддержки централизованной
системы управления на базе стационарных вычислительных комплексов с использова-
нием нейроускорителей, а также разработка распределенной децентрализованной сис-
темы с учетом аппаратной специфики бортовых комплексов.
Литература
1. Ziemke T. Adaptive behavior in autonomous agents / T. Ziemke // Presence. – 2003. – № 7(6). – P. 564-587.
2. Glasius R. Neural Network Dynamics for Path Planning and Obstacle Avoidance / R. Glasius, A. Komoda and
S. Gielen // Neural Networks. – 1995. – № 8 (1). – P. 125-133.
3. Даринцев О.В. Использование нейронной карты для планирования траектории мобильного робота /
О.В. Даринцев, А.Б. Мигранов // Искусственный интеллект. – 2009. – № 3. – С. 300-307.
4. Рычагов М.Н. Нейронные сети: многослойный перцептрон и сети Хопфилда / М.Н. Рычагов // EXPo-
nenta Pro. Математика в приложениях. – 2003. – № 1.
О.В. Дарінцев, А.Б. Мігранов, Б.С. Юдінцев
Нейромережний алгоритм планування траєкторій для групи мобільних роботів
Розглядаються питання побудови інтелектуальної системи планування траєкторій руху для групи мобільних
роботів на базі рекурентної нейронної мережі. Планування реалізоване за гібридним принципом і полягає
в побудові загального блоку конструктора дороги для формування траєкторій учасників групи в робочому
просторі і використанні розподіленої рекурентної нейронної мережі для формування нейронної карти
з врахуванням цільових позицій кожного з мобільних роботів.
O.V. Darintsev, A.B. Migranov, B.S. Yudincev
Neural Network Algorithm of Planning Trajectories for a Group of Mobile Robots
The questions of planning intellectual system construction, which are based on a recurrent neural network, for
mobile robots group trajectories are considered. Planning procedure is realized by a hybrid principle and consists
of the general block of the path designer, which calculates (forms) trajectories for group participants in working
space and the usage of the distributed recurrent neural network for designing a neural card taking into account
target positions of each mobile robot.
Статья поступила в редакцию 23.12.2010.
target1 =100 start1 =12
target2 =1 start2 =89
target3 =51 start3 =96
2rd agent step: steps2 = 4
crossing 2-1: 45 current position: 56
steps1 =8 steps2 =10 steps3 =5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58823 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T13:32:18Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даринцев, О.В. Мигранов, А.Б. Юдинцев, Б.С. 2014-03-31T11:36:59Z 2014-03-31T11:36:59Z 2011 Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов / О.В. Даринцев, А.Б. Мигранов, Б.С. Юдинцев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 154-160. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58823 621.865.8 Рассматриваются вопросы построения интеллектуальной системы планирования траекторий движения для группы мобильных роботов на базе рекуррентной нейронной сети. Планирование реализовано по гибридному принципу и заключается в построении общего блока конструктора пути для формирования траекторий участников группы в рабочем пространстве и использовании распределенной рекуррентной нейронной сети для формирования нейронной карты с учетом целевых позиций каждого из мобильных роботов. Розглядаються питання побудови інтелектуальної системи планування траєкторій руху для групи мобільних роботів на базі рекурентної нейронної мережі. Планування реалізоване за гібридним принципом і полягає в побудові загального блоку конструктора дороги для формування траєкторій учасників групи в робочому просторі і використанні розподіленої рекурентної нейронної мережі для формування нейронної карти з врахуванням цільових позицій кожного з мобільних роботів. The questions of planning intellectual system construction, which are based on a recurrent neural network, for mobile robots group trajectories are considered. Planning procedure is realized by a hybrid principle and consists of the general block of the path designer, which calculates (forms) trajectories for group participants in working space and the usage of the distributed recurrent neural network for designing a neural card taking into account target positions of each mobile robot. Результаты, представленные в данной статье, получены в рамках работ по проекту Программы №15 ОЭММПУ РАН и грантов РФФИ 08-08-97021-р_поволжье_а, 08-08-97039-р_поволжье_а, 10-08-00567-а. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Моделирование объектов и процессов Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов Нейромережний алгоритм планування траєкторій для групи мобільних роботів Neural Network Algorithm of Planning Trajectories for a Group of Mobile Robots Article published earlier |
| spellingShingle | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов Даринцев, О.В. Мигранов, А.Б. Юдинцев, Б.С. Моделирование объектов и процессов |
| title | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов |
| title_alt | Нейромережний алгоритм планування траєкторій для групи мобільних роботів Neural Network Algorithm of Planning Trajectories for a Group of Mobile Robots |
| title_full | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов |
| title_fullStr | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов |
| title_full_unstemmed | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов |
| title_short | Нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов |
| title_sort | нейросетевой алгоритм планирования траекторий для группы мобильных роботов |
| topic | Моделирование объектов и процессов |
| topic_facet | Моделирование объектов и процессов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58823 |
| work_keys_str_mv | AT darincevov neirosetevoialgoritmplanirovaniâtraektoriidlâgruppymobilʹnyhrobotov AT migranovab neirosetevoialgoritmplanirovaniâtraektoriidlâgruppymobilʹnyhrobotov AT ûdincevbs neirosetevoialgoritmplanirovaniâtraektoriidlâgruppymobilʹnyhrobotov AT darincevov neiromerežniialgoritmplanuvannâtraêktoríidlâgrupimobílʹnihrobotív AT migranovab neiromerežniialgoritmplanuvannâtraêktoríidlâgrupimobílʹnihrobotív AT ûdincevbs neiromerežniialgoritmplanuvannâtraêktoríidlâgrupimobílʹnihrobotív AT darincevov neuralnetworkalgorithmofplanningtrajectoriesforagroupofmobilerobots AT migranovab neuralnetworkalgorithmofplanningtrajectoriesforagroupofmobilerobots AT ûdincevbs neuralnetworkalgorithmofplanningtrajectoriesforagroupofmobilerobots |