Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів
У роботі запропонований метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайна для наближення функції однієї змінної, що має хоча б один розрив першого роду у вузлах розбиття області визначення функції, використовуючи метод мінімакса. Визначений загальний вигляд похибки наближення функції побу...
Saved in:
| Published in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58836 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 152-158. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859818256115695616 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| author_facet | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| citation_txt | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 152-158. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | У роботі запропонований метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайна для наближення функції однієї змінної, що має хоча б один розрив першого роду у вузлах розбиття області визначення функції, використовуючи метод мінімакса. Визначений загальний вигляд похибки наближення функції побудованою розривною конструкцією в інтегральному вигляді, та наведені оцінки похибки наближення в кожному інтервалі розбиття. Запропонований метод можна буде використати для математичного моделювання розривних процесів в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях.
В работе предложен метод построения разрывного интерполяционного линейного сплайна для приближения функции одной переменной, имеющей хотя бы один разрыв первого рода в узлах разбиения области определения функции, используя метод минимакса. Определен общий вид погрешности приближения функции построенной разрывной конструкцией в интегральном виде, и приведены оценки погрешности приближения в каждом интервале разбиения. Предложенный метод можно использовать для математического моделирования разрывных процессов в медицинских, геологических, космических и других исследованиях.
In work the method of construction explosive interpolational linear spline for approach of function of one variable having at least one rupture of the first sort in knots of splitting of a range of definition of function is offered, using a minimax method. The general view of approach error of function by the constructed explosive design in an integrated kind is defined, and estimations of approach error in each interval of splitting are resulted. The offered method can be used for mathematical modelling of explosive processes in medical, geological, space and other researches.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:24:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 2’2011 152
2Л
УДК 519.6
О.М. Литвин, Ю.І. Першина
Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків
academ@kharkov.ua, yulia_pershina@mail.ru
Математичне моделювання процесів,
які мають розриви, за допомогою розривних
інтерполяційних сплайнів
У роботі запропонований метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайна для наближення
функції однієї змінної, що має хоча б один розрив першого роду у вузлах розбиття області визначення
функції, використовуючи метод мінімакса. Визначений загальний вигляд похибки наближення функції
побудованою розривною конструкцією в інтегральному вигляді, та наведені оцінки похибки наближення в
кожному інтервалі розбиття. Запропонований метод можна буде використати для математичного моделю-
вання розривних процесів в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях.
Вступ
Задачі дослідження процесів, що мають розриви, виникають значно частіше,
ніж задачі дослідження неперервних процесів [1], [2]. Наприклад, при дослідженні
внутрішньої структури тіла корисно враховувати його неоднорідність, тобто різну
щільність в різних частинах тіла (кістки, серце, шлунок, печінка тощо мають різну
щільність); при дослідженні кори Землі за допомогою даних з кернів свердловинного
буріння виникає задача відновлення внутрішньої структури між свердловинами. При
цьому очевидним є той факт, що щільність ґрунту в різних точках кори є неоднорід-
ною і найчастіше має розриви першого роду при переході від однієї складової кори
до іншої (чорнозем, пісок, глина, граніт тощо).
Весь розвиток обчислювальної та прикладної математики говорить про те, що
використання кожної додаткової інформації про досліджуваний об’єкт може при-
вести до більш точного і якісного відновлення цього об’єкта. Наприклад, в роботі [3]
пропонується використовувати рівняння поверхні черепа людини і, таким чином,
більш точно відновлювати внутрішню структуру тіла. Тому актуальною є розробка та
дослідження математичних моделей розривних процесів.
Постановка задачі
Нехай досліджуваний процес описується функцією однієї змінної ( )f x на інтер-
валі [ , ]a b та відомі точки розриву процесу , 1,kx k n . Припускаємо, що хоча б в
одному вузлі kx функція має розриви першого роду. Задані вузли розбивають ін-
тервал [ , ]a b на n частин.
Метою даної роботи є побудова та дослідження математичної моделі заданого
розривного процесу із заданими можливими точками розриву у вигляді розривного
лінійного інтерполяційного сплайна.
Математичне моделювання процесів, які мають розриви…
«Штучний інтелект» 2’2011 153
2Л
Побудова розривного інтерполяційного сплайна
Визначення. Будемо називати розривним інтерполяційним лінійним сплайном
на відрізку 1[ , ], 1, 1k kx x k n наступну функцію:
1
1
1 1
( ) ( , ) , 1, 1k k
k k k
k k k k
x x x x
S x Sp x A A A k n
x x x x
, (1)
де
1 1( 0), ( 0)k k k kA f x A f x
.
Теорема 1. Функція ( ) ( ), 1,kS x Sp x k n задовольняє наступним властивостям:
1( 0) , ( 0)k k k k k kSp x A Sp x A
. (2)
Доведення. Слід врахувати, що зліва від вузла kx сплайн ( )S x задається формулою:
1
1 1
1 1
( ) ( , ) k k
k k k
k k k k
x x x x
S x Sp x A A A
x x x x
,
а справа –
1
1
1 1
( ) ( , ) k k
k k k
k k k k
x x x x
S x Sp x A A A
x x x x
.
Перевіримо виконання інтерполяційних умов (2).
1
1 1
1 1
( 0, ) k k k k
k k k k k
k k k k
x x x x
Sp x A A A A
x x x x
,
1
1
1 1
( 0, ) k k k k
k k k k k
k k k k
x x x x
Sp x A A A A
x x x x
.
Теорема 1 доведена.
Теорема 2. Якщо на кожному з інтервалів 1[ , ], 1, 1k kx x k n невідомі параметри
1,k kA A
знаходити з умови
11 1
max max ( ) ( ) min
k k
k
Ak n x x x
f x Sp x
, (3)
то отримаємо розривний апроксимаційний сплайн, який є сплайном найкращого на-
ближення.
Доведення випливає з того, що кожний з елементів, який треба мінімізувати,
дорівнює максимальному відхиленню наближуючого сплайна від функції ( )f x . Тому,
при знаходженні параметрів з умови (2), отримаємо ,1 ,2,k kA A , які забезпечують най-
менше відхилення.
Литвин О.М., Першина Ю.І.
«Искусственный интеллект» 2’2011 154
2Л
Теорема 3. Якщо наближувана функція ( )f x є розривною кусково-лінійною функ-
цією з точками розриву , 1,kx x k n і наближуємо її кусково-лінійним розривним
сплайном ( , )Sp x A , що визначається формулами (1), і невідомі 1,k kA A
знаходимо з
умови (3), то отримаємо точно наближувану функцію, тобто
( , ) ( )Sp x A f x .
Доведення. Нехай функція ( )f x на k -му інтервалі має вигляд
1
,1 ,2
2 1
( , ) , 1, 1k k
k k k
k k k k
x x x x
f x B B B k n
x x x x
.
Розглянемо максимум різниці функції ( )f x на наближуваного сплайна (1) на k -му
інтервалі:
1[ , ]
max ( ) ( , )
k k
k
x x x
f x Sp x A
1
1 1
[ , ]
max { ( 0) ( 0, ) , ( 0) ( 0, )}
k k
k k k k k k
x x x
f x Sp x A f x Sp x A
1
1, 1, 2, 2,
[ , ]
max { , }
k k
k k k k
x x x
B A B A
.
Знайдемо максимум за всіма інтервалами та мінімум отриманого максимуму
1
1, 1, 2, 2,
1 1
min max max { , }
k k
k k k k
k n x x x
B A B A
.
Звідси випливає, що
1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2,0, 0 ,k k k k k k k kB A B A B A B A .
Теорема доведена.
Визначимо вигляд похибки наближення розривним сплайном (1) та оцінку
наближення розривної функції побудованим сплайном, які наведені в роботі [4].
Теорема 4. Якщо ( ) [ , ], 1, 2rf x C a b r , то залишок ( ) ( ) ( )Rf x f x S x на
кожному інтервалі розбиття буде мати вигляд:
1
( )
1( ) ( ) ( , ) , [ , ]
k
k
x
r
k k
x
Rf x f G x d x x x
,
1
1
1,
1
1
1
1.
1
( )
,
( 1)!
( , )
( )
,
( 1)!
r
k k
k k
k k
r
k k
k k
k k
x x x
x x x
x x r
G x
x x x
x x x
x x r
Математичне моделювання процесів, які мають розриви…
«Штучний інтелект» 2’2011 155
2Л
Теорема 5. Оцінка похибки наближення двічі диференційованої функції ( )f x
побудованим розривним інтерполяційним сплайном ( ) ( )kS x Sp x на кожному інтер-
валі 1[ , ], 1, 1k kx x k n має вигляд:
1
1
1 1
1 [ , ]
( ) [ , ] sup ( ) ( ) ( )
2 k k
k k
k k
k k k L x x
x x x
x x
f x C x x f x Sp x f x
1
2
2 1
1 [ , ]
( )
( ) [ , ] ( ) ( )
8 k k
k k
k k L x x
x x
f x C x x R x f x
Зауваження. Якщо ( ), 1, 1k k kA A f x k n , то побудований розривний
інтерполяційний сплайн вигляду (1) є неперервним лінійним інтерполяційним
сплайном.
Побудований розривний інтерполяційний сплайн ( )S x у вигляді формули (1) є
математичною моделлю розривного процесу, який описується функцією ( )f x з
розривами у вузлах , 1,kx k n .
Приклад 1. Нехай задана функція ( )f x на інтервалі [ 1,1] з однією точкою
розриву 0x першого роду (рис. 1):
1, 1 0
( )
1, 0 1
x x
f x
x x
.
Рисунок 1 – Графічний вигляд наближуваної функції в прикладі 1
Обираємо вузли сплайна: 1 2 31, 0, 1x x x . Вважаємо заданими односто-
ронні значення функції у вузлах:
1 1 2 2
2 2 3 3
( 0) 0, ( 0) 1,
( 0) 1, ( 0) 0.
A f x A f x
A f x A f x
Наближуємо функцію ( )f x інтерполяційним сплайном вигляду:
2 1
1 2 1 2
1 2 2 1
3 2
2 3 2 3
2 3 3 2
,
1, 1 0
( )
1, 0 1
,
x x x x
A A x x x
x x x x x x
Sp x
x x x x x x
A A x x x
x x x x
. (4)
1 0 1
1
0
1
0,99
0,99
f x( )
11 x
Литвин О.М., Першина Ю.І.
«Искусственный интеллект» 2’2011 156
2Л
Як бачимо, інтерполяційний сплайн точно наближує задану лінійну функцію, що і
підтверджує вищевикладену теорію.
Тепер побудуємо апроксимаційний сплайн у вигляді формули (1). Коефіцієнти
матриці A знаходимо, застосовуючи теорему 2, тобто розв’язуємо мінімізаційну
задачу:
1 1
max ( ) ( , ) mink
Ak n
f x Sp x A
.
В результаті отримаємо таку матрицю А:
0 1
1 0
A
.
Тобто найкраще наближення заданої функції в прикладі 1 буде мати вигляд:
1, 1 0
( )
1, 0 1
x x
Sp x
x x
,
що повністю збігається з побудованим інтерлінаційним сплайном.
Приклад 2. Нехай задана функція ( )f x на інтервалі [ 1,1] з двома точками
розриву 0.5, 0.5x x першого роду (рис. 1)
2
2
1, 1 0.5,
( ) , 0.5 0.5,
1, 0.5 1,
x x
f x x x
x x
.
Рисунок 2 – Графічний вигляд наближуваної функції в прикладі 2
Обираємо вузли сплайна: 1 2 3 41, 0.5, 0.5, 1x x x x . Вважаємо заданими
односторонні значення функції у вузлах:
1 1 3 3
2 2 3 3
2 2 4 4
( 0) 2, ( 0) 0.5,
( 0) 1.25, ( 0) 0.75,
( 0) 0.5, ( 0) 0.
A f x A f x
A f x A f x
A f x A f x
1,96
f(x)
0,748
0,98 x 0,98
Математичне моделювання процесів, які мають розриви…
«Штучний інтелект» 2’2011 157
2Л
Наближуючий інтерполяційний сплайн, згідно з формулою (1), буде мати вигляд
(рис. 3):
1,5 0,5; 1 0,5;
( ) ; 0,5 0,5;
1,5 1,5; 0,5 1.
x x
Sp x x x
x x
.
1 0.9 0.8 0.7 0.6
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2
1.2
f x( )
S 1 x W1( )
0.51 x
0.4 0.2 0 0.2 0.4
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.5
0.5
f x( )
S 2 x W2( )
0.50.5 x
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.75
f x( )
S 3 x W3( )
10.5 x
а) б) в)
Рисунок 3 – Графічний вигляд функції ( )f x та наближуючого інтерполяційного
сплайна ( )Sp x на інтервалі: а) ( 1; 0,5) , б) ( 0,5;0,5) , в) (0,5;1)
Максимальне відхилення функції ( )f x від побудованого інтерполяційного сплайна
дорівнює
max ( ) ( ) 0,06.f x Sp x
Тепер побудуємо апроксимаційний сплайн у вигляді формули (4), де коефіцієнти
матриці A знаходяться з умови (3), тобто сплайн набуває вигляду (рис. 5):
1,5 0, 46; 1 0,5;
( ) ; 0.5 0,5;
1,5 1,54; 0,5 1.
x x
Sp x x x
x x
1 0.9 0.8 0.7 0.6
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.999
1.2
f x( )
S 1 x C1( )
0.51 x
0.4 0.2 0 0.2 0.4
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.5
0.5
f x( )
S 2 x C2( )
0.50.5 x
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.792
f x( )
S 3 x C3( )
10.5 x
а) б) в)
Рисунок 4 – Графічний вигляд функції ( )f x та наближуючого апроксимаційного
сплайна ( )Sp x на інтервалі: а) ( 1; 0,5;) , б) ( 0,5;0,5) , в) (0,5;1)
Максимальне відхилення функції ( )f x від побудованого інтерполяційного сплайна
дорівнює
max ( ) ( ) 0,02.f x Sp x
Литвин О.М., Першина Ю.І.
«Искусственный интеллект» 2’2011 158
2Л
Висновки
Таким чином, в роботі запропонована математична модель розривного процесу,
що описується функцією однієї змінної з можливими розривами першого роду в зада-
них вузлах, за допомогою розривного лінійного інтерполяційного та апроксимаційного
сплайнів.
Побудовану математичну модель можна буде використати для відновлення
внутрішньої структури об’єктів, що мають різну щільність, в медичних, геологічних,
космічних та інших дослідженнях.
Література
1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения / Корнейчук Н.П. – Москва : Наука, 1984. – 352 с.
2. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Варга Р. ; [пер. с
англ. Ю.А. Кузнецова]. – Москва : Мир, 1974. – 124 с.
3. Литвин О.М. Про один метод розв’язання 3D задачі комп’ютерної томографії / О.М. Литвин,
О.О. Литвин // Тезисы докладов Международной конференции АППММ’06. – Харків : ІПМАШ
ім. А.М. Підгорного, 2006. – С. 18.
4. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / Литвин О.М. – Х. : Основа, 2002. –
504 с.
Literatura
1. Kornejchuk N.P. Moscow: Nauka. 1984. 352 p.
2. Varga R. Moscow: Mir. 1974. 124p.
3. Litvin O.M. Tezisy dokladov Mezhdunarodnoj konferencii APPMM’06. Harkіv: ІPMASh іm. A.M.
Pіdgornogo. 2006. P.18
4. Litvin O.M. Harkiv: Osnova. 2002. 504 p.
О.Н. Литвин, Ю.И. Першина
Математическое моделирование процессов, имеющих разрывы,
с помощью разрывных интерполяционных сплайнов
В работе предложен метод построения разрывного интерполяционного линейного сплайна для приближе-
ния функции одной переменной, имеющей хотя бы один разрыв первого рода в узлах разбиения области
определения функции, используя метод минимакса. Определен общий вид погрешности приближения
функции построенной разрывной конструкцией в интегральном виде, и приведены оценки погрешности
приближения в каждом интервале разбиения. Предложенный метод можно использовать для математи-
ческого моделирования разрывных процессов в медицинских, геологических, космических и других
исследованиях.
O.N. Lytvyn, Y.I. Pershina
Mathematical Modelling of the Processes Having Ruptures, by Means of Explosive Interpolational Splines
In work the method of construction explosive interpolational linear spline for approach of function of one variable
having at least one rupture of the first sort in knots of splitting of a range of definition of function is offered, using a
minimax method. The general view of approach error of function by the constructed explosive design in an integrated
kind is defined, and estimations of approach error in each interval of splitting are resulted. The offered method can be
used for mathematical modelling of explosive processes in medical, geological, space and other researches.
Стаття надійшла до редакції 20.04.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58836 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:24:04Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. 2014-03-31T12:13:04Z 2014-03-31T12:13:04Z 2011 Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 152-158. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58836 519.6 У роботі запропонований метод побудови розривного інтерполяційного лінійного сплайна для наближення функції однієї змінної, що має хоча б один розрив першого роду у вузлах розбиття області визначення функції, використовуючи метод мінімакса. Визначений загальний вигляд похибки наближення функції побудованою розривною конструкцією в інтегральному вигляді, та наведені оцінки похибки наближення в кожному інтервалі розбиття. Запропонований метод можна буде використати для математичного моделювання розривних процесів в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях. В работе предложен метод построения разрывного интерполяционного линейного сплайна для приближения функции одной переменной, имеющей хотя бы один разрыв первого рода в узлах разбиения области определения функции, используя метод минимакса. Определен общий вид погрешности приближения функции построенной разрывной конструкцией в интегральном виде, и приведены оценки погрешности приближения в каждом интервале разбиения. Предложенный метод можно использовать для математического моделирования разрывных процессов в медицинских, геологических, космических и других исследованиях. In work the method of construction explosive interpolational linear spline for approach of function of one variable having at least one rupture of the first sort in knots of splitting of a range of definition of function is offered, using a minimax method. The general view of approach error of function by the constructed explosive design in an integrated kind is defined, and estimations of approach error in each interval of splitting are resulted. The offered method can be used for mathematical modelling of explosive processes in medical, geological, space and other researches. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Моделирование объектов и процессов Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів Математическое моделирование процессов, имеющих разрывы, с помощью разрывных интерполяционных сплайнов Mathematical Modelling of the Processes Having Ruptures, by Means of Explosive Interpolational Splines Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів Литвин, О.М. Першина, Ю.І. Моделирование объектов и процессов |
| title | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів |
| title_alt | Математическое моделирование процессов, имеющих разрывы, с помощью разрывных интерполяционных сплайнов Mathematical Modelling of the Processes Having Ruptures, by Means of Explosive Interpolational Splines |
| title_full | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів |
| title_fullStr | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів |
| title_short | Математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів |
| title_sort | математичне моделювання процесів, які мають розриви, за допомогою розривних інтерполяційних сплайнів |
| topic | Моделирование объектов и процессов |
| topic_facet | Моделирование объектов и процессов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58836 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom matematičnemodelûvannâprocesívâkímaûtʹrozrivizadopomogoûrozrivnihínterpolâcíinihsplainív AT peršinaûí matematičnemodelûvannâprocesívâkímaûtʹrozrivizadopomogoûrozrivnihínterpolâcíinihsplainív AT litvinom matematičeskoemodelirovanieprocessovimeûŝihrazryvyspomoŝʹûrazryvnyhinterpolâcionnyhsplainov AT peršinaûí matematičeskoemodelirovanieprocessovimeûŝihrazryvyspomoŝʹûrazryvnyhinterpolâcionnyhsplainov AT litvinom mathematicalmodellingoftheprocesseshavingrupturesbymeansofexplosiveinterpolationalsplines AT peršinaûí mathematicalmodellingoftheprocesseshavingrupturesbymeansofexplosiveinterpolationalsplines |