Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации
В работе сформулированы основные задачи систем компьютерной математики учебного назначения, реализация которых обеспечивает интеллектуальные свойства этих систем. Описаны методы решения задач верификации хода решения учебной математической задачи в различных педагогических ситуациях, использующие те...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Штучний інтелект |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58841 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации / М.С. Львов // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 45-52. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859941430413230080 |
|---|---|
| author | Львов, М.С. |
| author_facet | Львов, М.С. |
| citation_txt | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации / М.С. Львов // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 45-52. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | В работе сформулированы основные задачи систем компьютерной математики учебного назначения, реализация которых обеспечивает интеллектуальные свойства этих систем. Описаны методы решения задач верификации хода решения учебной математической задачи в различных педагогических ситуациях, использующие технологии символьных преобразований и алгоритмы компьютерной алгебры.
In the article the basic tasks of the systems of computer mathematics of educational purpose are defined, the realization of which provides intellectual properties of these systems. The methods of solving of tasks of verification of course of solving of educational mathematical task in different pedagogical situations, using technologies of symbol transformations and algorithms of computer algebra are described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 2’2011 45
1Л
УДК 004.421.6.
М.С. Львов
Херсонский государственный университет, Украина
lvov@ksu.ks.ua
Интеллектуальные свойства
систем компьютерной математики
учебного назначения и методы их реализации
В работе сформулированы основные задачи систем компьютерной математики учебного назначения,
реализация которых обеспечивает интеллектуальные свойства этих систем. Описаны методы решения
задач верификации хода решения учебной математической задачи в различных педагогических ситуациях,
использующие технологии символьных преобразований и алгоритмы компьютерной алгебры.
Введение
Точные и естественные дисциплины занимают особое место среди учебных дис-
циплин. Они формируют фундаментальные научные знания, основанные на точных
математических моделях явлений и процессов в природе и обществе. Процесс обучения
этим дисциплинам включает не только лекции, но и активные формы обучения:
практические занятия, лабораторные работы и т.п.
Практическая математическая деятельность ученика – основная форма учеб-
ной деятельности. Она заключается в решении учебных математических задач.
Учебная цель практической работы – построение хода решения учебной задачи, а
не только ответа. Поэтому системы учебного назначения по математике, далее назы-
ваемые системами компьютерной математики учебного назначения (СКМУН), должны
поддерживать именно процесс решения учебной математической задачи [1-3].
Контроль процедурных знаний – одна из основных задач СКМУН, обладающих
нтеллектуальными чертами. Технологии контроля процедурных знаний исследованы и
разработаны еще недостаточно. Предмет настоящей работы – формулировка задач ин-
теллектуальной поддержки практической математической деятельности и методов их
решения в СКМУН.
Под СКМУН мы понимаем программные системы учебного назначения по дис-
циплинам, которые используют математические модели и методы соответствующих
предметных областей, основанные на технологиях символьных преобразований и мето-
дах компьютерной алгебры.
1 Функциональные требования
к интеллектуальным свойствам СКМУН
Информационная поддержка процесса решения учебной задачи возможна при
условии, что ее решение происходит в специализированном программном модуле –
деятельностной среде (ДС).
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 2’2011 46
1Л
Один из наиболее важных аспектов поддержки практической математической
деятельности ученика – проверка правильности выполнения его действий на разных
этапах решения задачи – начиная от этапа построения математической модели и закан-
чивая этапом проверки правильности хода решения или ответа. Второй, не менее важ-
ный аспект поддержки, – автоматизация рутинных действий, связанных с вычисле-
ниями. Третий аспект – предоставление ученику удобной системы подсказок на разных
этапах решения задачи в виде генерации математической модели задачи, хода или
шага ее решения, ответа.
Практическая деятельность преподавателя также должна поддерживаться. Первый
аспект такой поддержки – проверка правильности хода решения задачи. Система должна
проверять правильность хода решения задачи, решенной учеником (режим проверки
контрольной работы). Второй аспект – автоматизация тестирования знаний учеников.
Для реализации этих функций предназначены разные типы деятельностных
сред. В частности, это среда тестирования, среда решения задач.
Основные системные задачи среды тестирования – задача генерации тестовых
заданий и задача проверки правильности ответов. Их решение излагается в [4].
Основные системные задачи среды решения (СРЗ) – это функции поддержки
процесса решения учебной математической задачи. Разные аспекты этой поддержки
определяют различные режимы СРЗ. Перечислим эти задачи:
1. Задача верификации модели учебной задачи (УЗ). Широкий класс УЗ требует от
пользователя самостоятельного построения модели УЗ. Это, например, так называемые
текстовые задачи курса школьной алгебры, решаемые с помощью уравнений или
систем уравнений. Задача верификации состоит в проверке правильности модели, со-
ставленной пользователем, т.е. ее эквивалентности правильной модели.
2. Задача верификации шага решения учебной задачи. Решая УЗ по шагам, поль-
зователь может допустить ошибку на каждом шаге решения. Задача верификации шага
решения состоит в проверке правильности преобразования модели, выполненной поль-
зователем на данном шаге.
3. Задача верификации хода решения учебной задачи. Решив УЗ при выполнении
контрольной работы, пользователь должен представить ход решения УЗ для проверки.
Проверку осуществляет преподаватель на своем рабочем месте в режиме offline. Если
ошибка в ходе решения найдена, это не должно привести к окончанию проверки. Задача
заключается в обнаружении всех ошибок в ходе решения и их фиксации.
4. Задача генерации шага решения УЗ. В некоторых педагогических ситуациях
пользователю, решающему УЗ, система должна предоставить подсказку в виде оче-
редного шага решения УЗ.
5. Задача генерации хода решения УЗ. В некоторых педагогических ситуациях
система должна предоставить пользователю методически правильный ход решения
УЗ. Алгоритмы решения этой задачи реализованы во многих СКМ.
6. Задача автоматической поддержки хода решения УЗ. Решение этой задачи
реализовано во многих коммерческих СКМУН.
Ниже мы рассмотрим методы решения системных задач верификации для
алгебраических задач.
2 Модель дидактического содержания СКМУН
Основная структурная единица учебного материала математической дисципли-
ны – учебный модуль. Приведем формальное определение этого понятия:
Сигнатура учебного модуля. Математические теории, которые излагаются в учебном
модуле, используют, как правило, новые математические символы. Например, учебный
Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики…
«Штучний інтелект» 2’2011 47
1Л
модуль Тригонометрия вводит символы тригонометрических и обратных тригонометри-
ческих функций, символ константы . Предметом изучения являются интерпретации
символов сигнатуры. Проблемам реализации интерпретаторов сигнатур посвящены рабо-
ты [5], [6].
Математические модели учебного модуля. К математическим моделям УМ при-
надлежат формальные определения математических объектов, являющихся предметом
изучения. В модуле Тригонометрия это, например, формальные определения тригоно-
метрического выражения, тождества, уравнения, неравенства.
Типы учебных задач учебного модуля. Основной предмет изучения учебного модуля
математической дисциплины – учебные задачи, перечень типов которых определен в про-
грамме дисциплины. Наше определение учебной задачи включает: модель ),...,( 1 nxxM ,
условие задачи ),...,( 1 nxx и вопрос ),...,(
1 mjj xxQ к ней. Формальное определение стан-
дартной задачи можно интерпретировать как
Дано ),...,( 1 nxxM , причем ),...,( 1 nxx . Найти ),...,(
1 mjj xxQ .
Например, задача «Построить касательную L к графику F функции
x
x
y
1
в точке A с абсциссой 1Ax » представлена в виде модели QMP ,, , где
)))(((&),(&)(( '
AAAAA xxxfyyLyxAxfyFM ,
)1(&)
1
)((
Ax
x
x
xf , (1)
LQ .
Модель задачи использует модели графика функции )(xfy , точки ),( AA yxA и
касательной к графику функции )))((( '
AAA xxxfyyL . Эти модели объединены со-
отношениями )1(&)
1
)((
Ax
x
x
xf , определенными в условии задачи.
Элементарные преобразования моделей. Процесс решения учебной задачи опре-
деляется как последовательность шагов, на каждом из которых осуществляется одно из
элементарных преобразований &M . В каждом учебном модуле определены специ-
фические преобразования. Например, специфическими для учебного модуля Диф-
ференциальное исчисление являются правила дифференцирования и таблица произ-
водных элементарных функций.
Определение учебного модуля. Учебный модуль SD описывается классом учеб-
ных задач SDTask , который и определяет содержание SD . Учебные задачи определены
в терминах математических моделей SDMM и отношений зависимости. SDMM опреде-
лены в терминах сигнатур SD учебного модуля и элементарных преобразований SDET .
Таким образом, собственно SD определяется как четверка
TaskETMMSD ,,, .
Анализ СЛС таких математических дисциплин, как школьная алгебра, мате-
матический анализ, линейная алгебра, теория обычных дифференциальных уравне-
ний, некоторых других дисциплин показал, что все они удовлетворяют этой схеме.
Соответствующая СКМНП может строиться как единая система, основанная на по-
нятии алгебраического объекта (AO) и эквационального вывода.
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 2’2011 48
1Л
Модель учебной алгебраической задачи. Под учебной алгебраической задачей
(УАЗ) мы понимаем задачу, формулируемую в терминах алгебраических объектов, яв-
ляющуюся предметом изучения и поддерживаемую СКМУН.
Определение 2.1. Сигнатурой предметной области называется пара pO , ,
где o – сигнатура операций, p – сигнатура предикатов.
Определение 2.2. Примитивным алгебраическим объектом называется элемент
носителя соответствующей многосортной алгебраической системы или переменная.
Определение 2.3. Атомарным алгебраическим объектом называется терм, состав-
ленный из примитивных АО в сигнатуре o .
Определение 2.4. Структурированным алгебраическим объектом (САО) в сигна-
туре называется бескванторная формула прикладной логики предикатов ),...,( 1 nxxF
с равенством. Множество переменых },...,{ 1 nxx называется координатным множест-
вом или координатным пространством САО.
Сигнатура p атомарных предикатов формулы ),...,( 1 nxxF , кроме предикатов ра-
венства и отрицания равенства )( , может содержать и другие атомарные предикаты,
определение и интерпретация которых осуществляется в каждой предметной области.
В частности, для «школьных» САО это предикаты строгого и нестрогого порядка.
Логические связки – конъюнкция и дизъюнкция.
Алгебраический тип УАЗ определяется типами элементов ее структуры. Напри-
мер, тип УАЗ «Решить тригонометрическое уравнение» определен структурой алгебраи-
ческих типов (рис. 1).
Эта структура уточняет условие задачи в терминах алгебр, используемых при
решении УАЗ. В рассматриваемом примере структура УАЗ определяет рациональное
тригонометрическое уравнение одного неизвестного, коэффициенты которого принадле-
жат полю ,TCoef аргументы тригонометрических функций – алгебре TArg , а реше-
ние ищется в виде элемента алгебры TSol .
Рисунок 1 – Структура алгебраических типов УАЗ «Тригонометрическое уравнение»
Определение 2.5. Учебной алгебраической задачей называется структурированный
алгебраический объект с определенным для него алгебраическим типом.
В качестве модели алгебраических вычислений, реализующих сигнатуры предмет-
ных областей, используется понятие упорядоченно-сортной алгебраической системы
(МАС) [7], [8]. Уточнение этого понятия, используемое в спецификациях СКМУН,
описано в [5], [6].
Тригонометрическое уравнение
Равенство Неизвестное
Variable
Алгебра решений TSol
Выражение алгебры TRat (переменная)
Поле коэффициентов
TCoef
Алгебра аргументов
TArg
Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики…
«Штучний інтелект» 2’2011 49
1Л
3 Задачи верификации и методы их решения
I. Задача верификации модели учебной задачи. Рассмотрим эту задачу для класса
учебных алгебраических задач. Пусть ),...,(),,...,(),,...,(M
111 mk jjiin xxQxxxxP –
формулировка УАЗ. Как мы отмечали, для алгебраических задач ее модель M и
условие объединены в формуле ),...,(&)x,...,M(x)x,...,x(
1n1n1 kii xxF .
Вопрос ),...,(
1 mjj xxQ имеет вид ?),...,(
1
mjj xx (найти )),...,(
1 mjj xx . Это означает,
что, вообще говоря, не все переменные модели задачи являются неизвестными. Решение
задачи – это некоторое подмножество ,...}2,1,0),x,...,x(|),...,{( n1
)()(
1
iFxxA i
j
i
j m
.
Пусть )(FSolve – алгоритм решения задачи типа F , генерирующий A в опреде-
ленной канонической форме выражений из алгебры ),...,(
1 mjj xxSol : .)( AACanSol Пусть,
далее, ),...,( 1
'
myyF – модель, построенная пользователем и )( 'FSolve – ее решение. Тогда
верификация состоит в проверке
),...,(),...,( 11 mjj yyxx
m
& AyyFSolve
mjj xxm ),...,(1
'
1
|)),...,(( . (2)
Другими словами, ограничение решения модели YАЗ, построенной пользователем,
на подмножество ее неизвестных, должно быть равно канонической форме ответа УАЗ.
Алгоритм верификации модели использует:
1) список неизвестных (переменных, значения которых ищутся). Этот список
задает составитель задачи в текстовой формулировке условия задачи;
2) эталонную модель задачи )x,...,x( n1F . Модель задает составитель задачи в фор-
мулировке условия задачи;
3) решение задачи A , предоставленное в канонической форме. Это решение
составитель получает, решая задачу в среде вычислений (функция Solve).
Исходные данные 1 и 2 алгоритма верификации модели вводятся в систему в спе-
циализированном редакторе Задачника системы. К редактору имеют доступ авторы
задач (методист и учителя).
Свое решение ученик формулирует в специальном окне Модель задачи СРЗ, ко-
торое открывается командой Начать решение. Команда Проверить вызывает функцию
проверки правильности модели (1). Приведем пример:
Составить модель задачи:
Текстовое условие задачи Эталонная модель
Поезд на середине пути между станциями A и
B задержался на 15 мин. Чтобы прибыть на станцию
B вовремя, машинист увеличил скорость движения
на 10 км/час. Найти скорость поезда V , если рас-
стояние между станциями составляет 210 км.
VVV
210
10
105
60
15105
Формулировка задачи:
)0(&)
)(2602
(),,,(
V
V
S
vV
St
V
S
tvVSMM ,
)10(&)15(&)105( vtS ,
?)()( SSQ .
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 2’2011 50
1Л
Модель задачи – уравнение
V
S
vV
St
V
S
)(2602
, из которого нужно найти по-
ложительные значения V . Условие задачи – численные значения параметров tvS ,, .
Имя неизвестной величины V обязательно должно быть указано в условии.
Эталонная модель, построенная системой по условию задачи:
VVV
VF
210
10
105
60
15105
)(
.
Модель, построенная пользователем:
)2tt
4
1
(&)
10
105
(&)
105
()( 12121
'
t
V
t
V
tVF .
Решение )(VF : (( 60) ( 70)) & ( 0) ~ ( 60).V V V V
Решение ),,( 21
' VttF : )
2
3
(&)
4
7
(&)0(&))70()60(( 21 ttVVV .
Ограничение )(' VF решения: (( 60) ( 70)) & ( 0) ~ ( 60).V V V V
Результат проверки: TrueVV ~)60(~)60( .
Наличие в условии задачи скрытой от ученика модели задачи дает возможность,
во-первых, автоматизировать процесс проверки правильности модели и ответа, во-вто-
рых, автоматизировать процесс тестирования деятельностных сред и программного мо-
дуля Задачник, в-третьих – реализовать функцию подсказки ученику, отображающую
на экран правильную модель учебной задачи.
Определение 2.4 позволяет сформулировать алгоритм )(FSolve для базового типа
формул ),...,( 1 nxxF . Именно, пусть
(),(),()^/(),()(),*()(),()(),() Nat
O Rat , Natp ()(),()(),()(),()(),() .
Тогда F можно представить в виде дизъюнктивной нормальной формы F
1 1& ... &k kS U S U , где )(XFj – системы целых алгебраических уравнений, а
)(XU j – системы целых алгебраических неравенств и, возможно, дополнительных
условий вида NatXg )( . Алгоритм )(FSolve заключается в решении систем урав-
нений )(XFj методом построения базисов Гребнера и последующих проверок )(XU j на
полученных решениях.
II. Задача верификации шага решения учебной задачи. Пусть )(AM – модель УЗ,
A – алгебраический объект, выделенный пользователем в )(AM , и 'A – преобразо-
вание A , выполненное пользователем. Тогда необходимо проверить 'AA
M
. Алгоритм
проверки 'AA
M
зависит от типа выделенного подвыражения в структуре )(AM :
1. A – число. Тогда 'A – числовое выражение, такое, что AAVal )( ' .
2. A – переменная. Тогда 'A – алгебраическое выражение, такое, что AAVal )( ' .
3. A – терм в сигнатуре O . Тогда 'A – терм, такой, что AAVal )( ' .
4. A – атомарное логическое выражение. Если это уравнение или неравенство од-
ной переменной, то 'A – также логическое выражение, такое, что ).()( ' ASolveASolve
Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики…
«Штучний інтелект» 2’2011 51
1Л
5. A – структурированное логическое выражение нескольких переменных. Тогда
'A – также логическое выражение, такое, что ).()( ' ASolveASolve
Итак, для реализации алгоритма задачи необходимо реализовать функцию )(AVal ,
удовлетворяющую условиям (1 – 3). Для широкого класса выражений это можно сделать
методами построения канонических форм, изложенными в [9].
Алгоритм функции )(FSolve изложен в предыдущем пункте.
III. Задача верификации хода решения учебной задачи. В обозначениях преды-
дущей задачи алгебраическая ошибка определяется соотношением 'AA
M
. Посколь-
ку наличие ошибки не должно прерывать проверку хода решения, ошибки следует
классифицировать. Наша точка зрения заключается в следующем:
1. Существуют фатальные и текущие ошибки. Фатальные ошибки – это ошибки,
нарушающие алгебраический тип или координатное множество задачи. Например, если
на некотором шаге пользователь преобразовал уравнение к терму ( )(~0)( xgxf ), он
допустил фатальную ошибку и дальнейшая проверка не имеет смысла.
2. Пусть )(AVar обозначает координатное множество переменных выражения A .
Текущие ошибки классифицируются по типам выделенных подвыражений:
1) A – число. Тогда 'A – числовое выражение, такое, что AAVal )( ' . Если
AAVal )( ' , допущена арифметическая ошибка;
2) A – переменная. Тогда 'A – алгебраическое выражение, такое, что AAVal )( ' .
Если AAVal )( ' , но )()( ' MVarAVar , допущена алгебраическая ошибка;
3) A – терм в сигнатуре O . Тогда 'A – терм, такой, что )()( ' AValAVal . Если
)()( ' AValAVal , но )()( ' MVarAVar , допущена алгебраическая ошибка;
4) A – атомарное логическое выражение. Если это уравнение или неравенство
одной переменной, то 'A – также логическое выражение, такое, что )()( ' ASolveASolve .
Если AASolve )( ' , но )()( ' MVarAVar , допущена ошибка метода решения;
5) A – структурированное логическое выражение нескольких переменных. Тогда
'A – также логическое выражение, такое, что ).()( ' ASolveASolve Если '( )Solve A
( )Solve A , но '( ) ( ),Var A Var M допущена логическая ошибка.
Выводы
Основная цель систем компьютерной математики учебного назначения – под-
держка практической учебной деятельности, которая заключается в решении учебных
математических задач. Для достижения этой цели СКМУН должны обладать рядом спе-
цифических интеллектуальных свойств, которые формулируются в виде системных
задач. К интеллектуальным свойствам относится, в частности, способность системы осу-
ществлять проверку правильности хода решения учебной задачи, решаемой пользовате-
лем в системе. Реализация системных задач верификации позволяет сделать эффективной
самостоятельную работу ученика в СКМУН и в значительной степени освободить учи-
теля от рутинной работы по контролю практической работы учеников.
Литература
1. Львов М.C. Методи проектування систем комп’ютерної підтримки математичної освіти / М.C. Львов, О.В.
Співаковський // Математичні моделі і сучасні інформаційні технології : зб. наук. праць НАН України. –
Київ, 1998 . – С. 101-111.
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 2’2011 52
1Л
2. Львов М. Основные принципы построения педагогических программных средств поддержки практических
занятий / М. Львов // Управляющие системы и машины. – 2006. – № 6. – С. 70-75.
3. Львов М.С. Шкільна система комп’ютерної алгебри ТерМ 7-9. Принципи побудови та особливості
використання / М.С. Львов // Науковий часопис НПУ ім. Драгоманова: зб. наук. праць. – К. : НПУ
ім. Драгоманова, 2005. – № 3(10). – С. 160-168. – (Серія № 2: «Комп’ютерно-орієнтовані системи
навчання»).
4. Львов М.C. Математические тесты в системах компьютерной математики учебного назначения. /
М.C. Львов // Управляющие системы и машины. – 2011 (в печати).
5. Львов М.С. Синтез інтерпретаторів алгебраїчних операцій в розширеннях багатосортних алгебр / М.С. Львов //
Вісник Харьківського національного университету. – 2009. – № 847. – С. 221-238. – (Серія «Математичне
моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління»).
6. Львов М.C. Об одном подходе к реализации алгебраических вычислений: вычисления в алгебре
высказываний / М.C. Львов // Вестник Харк. нац. ун-та. – 2009. – № 863. – С. 157-168. – (Серия «Мате-
матическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления»).
7. Goguen J. Ordered-Sorted Algebra I: Partial and Overloaded Operations. Errors and Inheritance / J. Goguen,
J. Meseguer // Theoretical Computer Science. – Oxford : Elsevier. – 1992. – Vol. 105, № 2. – P. 217-273.
8. Goguen J.A. An initial algebra approach to the specification, correctness and implementation of abstract data types /
J.A.Goguen, J.W. Thatcher, E. Wagner // Current Trends in Programming Methodology. – Englewood Cliffs,
NJ : Prentice Hall, 1978. – Р. 80-149.
9. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений / Аржанцев И.В. – Изд-во МЦНМО,
2003. – 68 с.
10. Львов М.С. Проектирование логического вывода как пошагового решения задач в математических системах
учебного назначения / М.С. Львов // Управляющие системы и машины. – 2008. – № 1. – С. 25-32.
11. Львов М.С. Математичні моделі та методи підтримки ходу розв’язання навчальних задач з аналітичної
геометрії / М.С. Львов // Искусственный интеллект. – 2010. – № 1. – С. 86-92.
12. Львов М.С. Математические модели предметных областей в системах компьютерной математики учебного
назначения / М.C. Львов // Матеріали конференції «ІКТ в освіті, дослідженнях та індустриальних додатках:
інтеграція, гармонізація та трансфер знань» (4-8 травня 2011 р.). – Херсон : вид.ХДУ, 2011. – С. 95-96.
13. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов / Б. Бухбергер //
Компьютерная алгебра: cимвольные и алгебраические вычисления / [ под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза,
Р. Лооса.]. – М. : Мир, 1986. – С. 331-383.
Literatura
1. L'vov M.C. Matematychnі modelі і suchasnі іnformacіjnі tehnologіi:zb. nauk. prac' NAN Ukraini. Kiev. 1998 . P.
101-111.
2. L'vov M. Upravljajushhie sistemy i mashiny. 2006. №6. P. 70-75.
3. L'vov M.S. Naukovij chasopis NPU іm.Dragomanova: zb.nauk. prac'. Kiev : NPU іm. Dragomanova. 2005.
№ 3(10). P. 160-168.
4. L'vov M.C. Upravljajushhie sistemy i mashyny. 2011(in printing).
5. L'vov M.S. Upravljajushhie sistemy i mashyny. 2008.№ 1. P. 25-32.
6. L'vov M.S. Iskustvennyj intellekt. 2010. №1. P. 86-92.
7. L'vov M.S. Materіali konferencіi“ІKT v osvіtі, doslіdzhennjah ta іndustrial'nih dodatkah: іntegracіja, garmonіzacіja
ta transfer znan'” May 4-8, 2011. Herson: vid.HDU. 2011. P. 95-96.
8. Goguen J. Oxford: Elsevier. 1992.Vol.105 (Num 2). P. 217-273.
9. Goguen J.A. Prentice Hall. 1978. P. 80-149.
10. L'vov M.S. Vіsnik Har'kіvs'kogo nacіonal'nogo universitetu. 2009.№ 847. P. 221-238.
11. L'vov M.C. Vestnik Hark. nac. un-ta. 2009. № 863. P. 157-168.
12. Buhberger B. Moscow: Mir. 1986. P. 331-383.
13. Arzhancev I.V. Izd-vo MCNMO. 2003. 68 p.
M.S. Lvov
Intellectual Properties of Computer Mathematics Systems of Educational Purpose and Methods
of Their Realization
In the article the basic tasks of the systems of computer mathematics of educational purpose are defined, the
realization of which provides intellectual properties of these systems. The methods of solving of tasks of verification
of course of solving of educational mathematical task in different pedagogical situations, using technologies of
symbol transformations and algorithms of computer algebra are described.
Статья поступила в редакцию 10.06.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58841 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:30Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Львов, М.С. 2014-03-31T12:21:45Z 2014-03-31T12:21:45Z 2011 Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации / М.С. Львов // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 45-52. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58841 004.421.6. В работе сформулированы основные задачи систем компьютерной математики учебного назначения, реализация которых обеспечивает интеллектуальные свойства этих систем. Описаны методы решения задач верификации хода решения учебной математической задачи в различных педагогических ситуациях, использующие технологии символьных преобразований и алгоритмы компьютерной алгебры. In the article the basic tasks of the systems of computer mathematics of educational purpose are defined, the realization of which provides intellectual properties of these systems. The methods of solving of tasks of verification of course of solving of educational mathematical task in different pedagogical situations, using technologies of symbol transformations and algorithms of computer algebra are described. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Системы и методы искусственного интеллекта Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации Intellectual Properties of Computer Mathematics Systems of Educational Purpose and Methods of Their Realization Article published earlier |
| spellingShingle | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации Львов, М.С. Системы и методы искусственного интеллекта |
| title | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации |
| title_alt | Intellectual Properties of Computer Mathematics Systems of Educational Purpose and Methods of Their Realization |
| title_full | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации |
| title_fullStr | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации |
| title_full_unstemmed | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации |
| title_short | Интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации |
| title_sort | интеллектуальные свойства систем компьютерной математики учебного назначения и методы их реализации |
| topic | Системы и методы искусственного интеллекта |
| topic_facet | Системы и методы искусственного интеллекта |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58841 |
| work_keys_str_mv | AT lʹvovms intellektualʹnyesvoistvasistemkompʹûternoimatematikiučebnogonaznačeniâimetodyihrealizacii AT lʹvovms intellectualpropertiesofcomputermathematicssystemsofeducationalpurposeandmethodsoftheirrealization |