Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца
Побудова та дослідження компартментних моделей популяційної динаміки вимагає отримання конструктивних умов існування та додатності розв’язків. Тоді як в лінійних випадках та таких, що до них зводяться, для таких задач отримані ефективні критерії, то для нелінійних систем тут виникають певні труднощі...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58848 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, І.С. Гвоздецька // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 159-163. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859778002150227968 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. |
| citation_txt | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, І.С. Гвоздецька // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 159-163. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | Побудова та дослідження компартментних моделей популяційної динаміки вимагає отримання конструктивних умов існування та додатності розв’язків. Тоді як в лінійних випадках та таких, що до них зводяться, для таких задач отримані ефективні критерії, то для нелінійних систем тут виникають певні труднощі. У роботі розглядається узагальнена модель динаміки Гомперца, яка, на відміну від «скалярного» випадку, не має явного розв’язку. Застосовуючи принцип стискувальних відображень для такої моделі отримано конструктивні умови існування та додатності розв’язків.
Построение и исследование компартментных моделей популяционной динамики требует получения конструктивных условий существования и положительности решений. Тогда как в линейных случаях и таких, которые к ним сводятся, для таких задач получены эффективные критерии, то для нелинейных систем здесь возникают определенные трудности. В работе рассматривается обобщенная модель динамики Гомперца, которая, в отличие от «скалярного» случая, не имеет явного решения. Применяя принцип сжимающих отображений для такой модели получены конструктивные условия существования и положительности решений.
Building and investigation of compartment models of population dynamics require constructive conditions for existence and positivity of solutions. While in linear cases and in cases raised to them effective criteria are found, then there are some difficulties in nonlinear systems. The article deals with the generalized model of Gompertz’s dynamics, which is different from “scalar” caseand doesn’t have explicit solution. By using principle of contracting mappings for this model the constructive conditions for existence and positivity of solutions have been found.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:17:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 2’2011 159
2М
УДК 519.876.2:611.018.4
В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, І.С. Гвоздецька
Тернопільский державний медичний університет ім. І.Я. Горбачевського, Україна
marceniuk@yahoo.com, irasoroka@rambler.ru
Існування та додатність розв’язків
узагальненої моделі динаміки Гомперца
Побудова та дослідження компартментних моделей популяційної динаміки вимагає отримання
конструктивних умов існування та додатності розв’язків. Тоді як в лінійних випадках та таких, що до
них зводяться, для таких задач отримані ефективні критерії, то для нелінійних систем тут виникають
певні труднощі. У роботі розглядається узагальнена модель динаміки Гомперца, яка, на відміну від
«скалярного» випадку, не має явного розв’язку. Застосовуючи принцип стискувальних відображень
для такої моделі отримано конструктивні умови існування та додатності розв’язків.
Вступ
Динаміка Гомперца – це динаміка, яка є експоненціальною в малі моменти часу і
прямує до деякого асимптотичного рівня у великі моменти часу [1].
Найпростіша модель Гомперца (запропонована Б. Гомперцом, 1779 – 1865) пред-
ставлена рівнянням:
tN
tN
K
r
dt
tdN
ln ,
розв’язком якого є функція Гомперца:
rtceKetN
,
де c – деяка стала.
За формулою Гомперца – Мейкхема розраховується кількісна оцінка показників
смертності, старіння, тривалості життя. Залежність смертності від віку [2]:
ateRtm 0 .
Модель Гомперца використовують для моделювання впливу факторів зовніш-
нього середовища на показники здоров’я населення [3].
Доведено, що динаміка Гомперца визначає існування фрактально-стохастичного
дуалізму на мікроскопічному рівні надмолекулярних, клітинних систем [4].
Моделі Гомперца знайшли практичне обґрунтування в онкології при описі росту
ракової пухлини. Для цього до уваги беруть такі міркування. Експоненціальне зростан-
ня – це найпростіше можливе зростання кількості клітин, що відповідає поділу клітин,
який відбувається у рівні проміжки часу. Експоненціальне зростання не може тривати
нескінченно. Коли розміри пухлини становлять кілька відсотків від розміру органа-мі-
шені, орган-мішень не може повністю витримувати пухлину. В цей час експоненціальне
зростання сповільнюється і прагне, аби досягти деякого асимптотичного рівня 1.
Зв’язок між динамікою Гомперца і динамікою росту популяції клітин був вико-
ристаний у створенні змішаної моделі, яка дає аналітичний розв’язок для клітин, що
розвиваються, і тих, що перебувають в стані спокою, а також співвідношення між пара-
метрами моделі [5].
Марценюк В.П., Андрущак І.Є., Гвоздецька І.С.
«Искусственный интеллект» 2’2011 160
2М
У роботі [6] запропоновано узагальнену модель динаміки Гомперца з урахува-
нням підпопуляцій пулів пухлинних клітин та їх впливу на нормальні клітини. Тому
метою даної роботи є дослідити умови існування та додатності розв’язків моделі,
яка може бути використана при вирішенні задач оптимального керування процесом
лікування онкологічних захворювань.
Основна частина
Розглядається модель:
Kitb
t
ta
dt
td K
s
sisK
s
s
K
s
sis
i ,1,ln
1
1
1
,
njt
tN
tN
dt
tdN K
s
ssj
s
s
n
s
jsj
j ,1,ln
11
,
),[ 0 tt . (1)
з початковими умовами:
njNtNKit jjii ,1,,,1, 0,00,0 , (2)
які задовольняють:
njN j
K
i
i ,1,0, 0,
1
0,
. (3)
До моделі (1) – (3) можуть бути зведені моделі динаміки Гомперца, що розгля-
даються в роботі.
У даній роботі буде встановлено умови, при яких існують додатні розв’язки (1) –
(3), що задовольняють:
)[,...,),,[,..., 0
1
10
1
1 tCtNtNtNtSttt nK , (4)
де
),[,:),[,...,),[ 0
1
0
1
10
1 ttttCtttS
K
i
iK .
Поряд з рівняннями (1) розглядаються їх інтегральні аналоги:
Kitdttb
t
tat
t
t
K
s
sisK
s
s
K
s
sisii i
,1,ln
0
1
1
1
0,
(5)
njtNtdtt
tN
tNNtN
jN
t
t
K
s
ssj
s
s
n
s
jsjjj ,1,,ln
0
11
0,
Лема 1. Нехай:
1) початкові умови системи (1) задовольняють нерівність (3);
2) виконується умова (А0) для довільного вектора
K
i
i
KR
1
0: :
Ksiaaba is
K
si
sisis
K
s
sK
si
sis ,1,,0,0
1,
1
1,
. (6)
Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца
«Штучний інтелект» 2’2011 161
2М
Тоді будь-який розв’язок (1), (2) для довільного ,0tt задовольняє нерівності:
,0
1
K
i
i t
(7)
njtN j ,1,0 . (8)
Доведення. Припустимо, що існує перший момент часу 02 tt , коли 0
1
2
K
i
i t . Тоді
внаслідок неперервності в як завгодно близькому околі 2t існує 1t , такий, що 0
1
1
K
i
i t .
Тоді, скориставшись рівностями (5) та використавши нерівність 0,,1ln
x
x
x
і при-
пущення (А0), отримуємо:
.0)(
ln0
1 11
1
1
1
1 11
1
1
1
1
2
2
1
2
1
K
i
t
t
K
s
sisis
K
s
K
s
s
sis
K
i
i
K
i
t
t
K
s
sis
K
s
K
s
s
sis
K
i
i
K
i
i
dttab
t
tat
dttb
t
tatt
Отримали суперечність. Отже, (7) має місце.
Розглянемо друге рівняння в (1). Використавши векторні позначення та формулу
варіації сталих, маємо:
t
t
dsssttNtttN
0
explnexpln 00 , (9)
де
nsiis ,1, ,
Ksnisi ,1,,1 , exp – матрична експонента, T
n tNtNtN ln,...,lnln 1 .
Звідси бачимо, що з умов (3) випливає (8).
Теорема 1. Нехай виконано умови леми 1. Тоді існує єдиний розв’язок задачі
(1) – (3).
Доведення. Зауважимо, що розв’язок рівнянь для tN j існує і є єдиним, як
тільки такі властивості має розв’язок рівняння для tLi . Для цього слід скористатися
формулою (9).
В силу леми 1 розв’язок системи (1) повинен задовольняти нерівності (7), (8).
Тому, використавши нерівність 0,,1ln
x
xx
в (1) отримаємо:
KitbKatb
t
ta
dt
td K
s
sis
K
s
sisK
s
s
K
s
sis
i ,1,ln
1
2
1
1
1
(10)
Отже, система (1) – (3) мажорується лінійною системою з тими ж початковими умо-
вами, розв’язок якої неперервний і існує при всіх 0tt . Неперервність правих час-
тин (1) і їх похідних в околі початкових умов гарантує локальне існування і єдиність
розв’язку [7].
Марценюк В.П., Андрущак І.Є., Гвоздецька І.С.
«Искусственный интеллект» 2’2011 162
2М
Наслідок 1. Нехай виконуються умови теореми 1 та виконується умова (А1) –
або матриця
KsiisbB
,1, вироджена, або матриця B – не вироджена і для довільного
вектора
K
i
i
K
K R
1
1 :,..., виконується нерівність:
.,1,,0,0
1,
1
1, Ksiaab
a
is
K
si
sisisK
s
s
K
si
sis
(11)
Тоді існує єдиний розв’язок (1) – (3), такий, що для довільного ),[ 0 tt має місце:
K
i
i t
1
. (12)
Доведення. У випадку, якщо матриця B – вироджена, то розв’язки, для яких
K
i
i t
1
, є точками рівноваги і нерівність (12) виконується.
Розглянемо випадок, коли B – невироджена. Тоді з рівняння (1) видно, що
жодна точка, для якої
K
i
i t
1
, не може бути точкою рівноваги.
Припустимо противне, тобто нехай існує момент часу 1t , коли
K
i
i t
1
1 .
Оскільки точка 111 ,..., tt K не є точкою рівноваги, то в як завгодно близькому околі
1t існує момент часу 2t , коли
K
i
i t
1
2 . Тоді, використавши рівняння (1) і нерівність
0,,1ln
x
xx
маємо:
.)(
ln
1 1
1
1
1 11
1
1
1
1
2
2
1
2
1
K
i
t
t
K
s
sisisK
s
s
K
s
sis
K
i
t
t
K
s
sis
K
s
K
s
s
sis
K
i
i
K
i
i
dttab
t
ta
dttb
t
tatt
Отримали суперечність.
Наслідок 2. При виконанні умов теореми 1 оператори Kit
i
,1, та
njtNt
jN ,1,, , що означені на відповідних банахових просторах, задо-
вольняють принципу стискаючих відображень, а їх нерухомі точки є розв’язками
задачі (1) – (3), які задовольняють умови (7), (8).
Висновок
Отже, в роботі розглянуто модель узагальненої динаміки Гомперца. Дана модель
враховує різні пули пухлинних клітин та підпопуляції нормальних клітин. Запропоно-
вано конструктивні умови існування, єдиності та додатності розв’язків моделі.
Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца
«Штучний інтелект» 2’2011 163
2М
Література
1. Retsky M. Cancer Growth: Implications to Medicine and Malpractice. [Електронний ресурс]. – Режим
доступу : http://www.tabexperts.com/tumor.html.
2. Гаврилов Л.А. Биология продолжительности жизни / Л.А. Гаврилов, Н.С. Гаврилова. – М. : Наука,
1991. – 280 с.
3. Корчевский А.А. Разработка научных основ системного анализа и прогнозирования воздействия
факторов окружающей среды на интегральные демографические показатели : дис. … канд. биол.
наук / Корчевский А.А. – М., 2007.
4. Waliszewski P. A principle of fractal-stochastic dualism and Gompertzian dynamics of growth and self-
organization / P. Waliszewski // Biosystems. – 2005. – Vol. 82(1). – P. 61-73.
5. Kozusko F. Combining Gompertzian growth and cell population dynamics / F. Kozusko, Z. Bajzer //
Mathematical Biosciences. – 2003. – Vol. 185. – P. 153-167.
6. Наконечный А.Г. Задачи управляемости для дифференциальных уравнений динамики Гомперца /
А.Г. Наконечный, В.П. Марценюк // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 2. – С. 123-133.
7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Демидович Б.П. – М. : Наука,
1967. – 472 с.
Literatura
1. Available at:http://www.tabexperts.com/tumor.html.
2. Gavrilov L.A. Moscow : Nauka, 1991. 280 p.
3. Korchevskij A. A.Dis. kand. biol. nauk. Moscow. 2007.
4. Waliszewski P. Biosystems. 2005. Vol. 82(1). P. 61-73.
5. Kozusko F. Mathematical Biosciences. 2003. Vol. 185. P. 153-167.
6. Nakonechnyj A.G., Kibernetika i sistemnyj analiz. 2004. № 2. P. 123-133.
7. Demidovich B.P. Moscow: Nauka. 1967. 472 p.
В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, И.С. Гвоздецкая
Существование и положительность решений обобщенной модели динамики Гомперца
Построение и исследование компартментных моделей популяционной динамики требует получения
конструктивных условий существования и положительности решений. Тогда как в линейных случаях
и таких, которые к ним сводятся, для таких задач получены эффективные критерии, то для нелинейных
систем здесь возникают определенные трудности. В работе рассматривается обобщенная модель
динамики Гомперца, которая, в отличие от «скалярного» случая, не имеет явного решения. Применяя
принцип сжимающих отображений для такой модели получены конструктивные условия существования и
положительности решений.
V.P. Martsenjuk, I.E. Andrushchak, I.S. Gvozvetska
Existence and Positivity of Solutions of Generalized Model of Gompertz’s Dynamics
Building and investigation of compartment models of population dynamics require constructive conditions
for existence and positivity of solutions. While in linear cases and in cases raised to them effective criteria
are found, then there are some difficulties in nonlinear systems. The article deals with the generalized model
of Gompertz’s dynamics, which is different from “scalar” caseand doesn’t have explicit solution. By using
principle of contracting mappings for this model the constructive conditions for existence and positivity of
solutions have been found.
Стаття надійшла до редакції 15.03.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58848 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:17:53Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. 2014-03-31T12:35:52Z 2014-03-31T12:35:52Z 2011 Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, І.С. Гвоздецька // Штучний інтелект. — 2011. — № 2. — С. 159-163. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58848 519.876.2:611.018.4 Побудова та дослідження компартментних моделей популяційної динаміки вимагає отримання конструктивних умов існування та додатності розв’язків. Тоді як в лінійних випадках та таких, що до них зводяться, для таких задач отримані ефективні критерії, то для нелінійних систем тут виникають певні труднощі. У роботі розглядається узагальнена модель динаміки Гомперца, яка, на відміну від «скалярного» випадку, не має явного розв’язку. Застосовуючи принцип стискувальних відображень для такої моделі отримано конструктивні умови існування та додатності розв’язків. Построение и исследование компартментных моделей популяционной динамики требует получения конструктивных условий существования и положительности решений. Тогда как в линейных случаях и таких, которые к ним сводятся, для таких задач получены эффективные критерии, то для нелинейных систем здесь возникают определенные трудности. В работе рассматривается обобщенная модель динамики Гомперца, которая, в отличие от «скалярного» случая, не имеет явного решения. Применяя принцип сжимающих отображений для такой модели получены конструктивные условия существования и положительности решений. Building and investigation of compartment models of population dynamics require constructive conditions for existence and positivity of solutions. While in linear cases and in cases raised to them effective criteria are found, then there are some difficulties in nonlinear systems. The article deals with the generalized model of Gompertz’s dynamics, which is different from “scalar” caseand doesn’t have explicit solution. By using principle of contracting mappings for this model the constructive conditions for existence and positivity of solutions have been found. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Моделирование объектов и процессов Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца Существование и положительность решений обобщенной модели динамики Гомперца Existence and Positivity of Solutions of Generalized Model of Gompertz’s Dynamics Article published earlier |
| spellingShingle | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. Моделирование объектов и процессов |
| title | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца |
| title_alt | Существование и положительность решений обобщенной модели динамики Гомперца Existence and Positivity of Solutions of Generalized Model of Gompertz’s Dynamics |
| title_full | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца |
| title_fullStr | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца |
| title_full_unstemmed | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца |
| title_short | Існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки Гомперца |
| title_sort | існування та додатність розв’язків узагальненої моделі динаміки гомперца |
| topic | Моделирование объектов и процессов |
| topic_facet | Моделирование объектов и процессов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58848 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp ísnuvannâtadodatnístʹrozvâzkívuzagalʹnenoímodelídinamíkigomperca AT andruŝakíê ísnuvannâtadodatnístʹrozvâzkívuzagalʹnenoímodelídinamíkigomperca AT gvozdecʹkaís ísnuvannâtadodatnístʹrozvâzkívuzagalʹnenoímodelídinamíkigomperca AT marcenûkvp suŝestvovanieipoložitelʹnostʹrešeniiobobŝennoimodelidinamikigomperca AT andruŝakíê suŝestvovanieipoložitelʹnostʹrešeniiobobŝennoimodelidinamikigomperca AT gvozdecʹkaís suŝestvovanieipoložitelʹnostʹrešeniiobobŝennoimodelidinamikigomperca AT marcenûkvp existenceandpositivityofsolutionsofgeneralizedmodelofgompertzsdynamics AT andruŝakíê existenceandpositivityofsolutionsofgeneralizedmodelofgompertzsdynamics AT gvozdecʹkaís existenceandpositivityofsolutionsofgeneralizedmodelofgompertzsdynamics |