Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики

Рассмотрено применение методов PGD и МПС для решения многомерных задач теплофизики. Показана эффективность и перспективность применения предлагаемого подхода для уравнения Фоккера-Планка и задач течения полимерных гидкостей. Розглянуто можливість застосування методів PGD и МПС для вирішення багатови...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Промышленная теплотехника
Date:	2012
Main Authors:	Авраменко, А.А., Блинов, Д.Г., Кузнецов, А.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут технічної теплофізики НАН України 2012
Subjects:	Тепло- и массообменные процессы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59052
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики / А.А. Авраменко, Д.Г. Блинов, А.В. Кузнецов // Промышленная теплотехника. — 2012. — Т. 34, № 1. — С. 38-44. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-59052
record_format	dspace
spelling	Авраменко, А.А. Блинов, Д.Г. Кузнецов, А.В. 2014-04-06T09:23:32Z 2014-04-06T09:23:32Z 2012 Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики / А.А. Авраменко, Д.Г. Блинов, А.В. Кузнецов // Промышленная теплотехника. — 2012. — Т. 34, № 1. — С. 38-44. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59052 536.25 Рассмотрено применение методов PGD и МПС для решения многомерных задач теплофизики. Показана эффективность и перспективность применения предлагаемого подхода для уравнения Фоккера-Планка и задач течения полимерных гидкостей. Розглянуто можливість застосування методів PGD и МПС для вирішення багатовимірних задач теплофізики. Показана ефективність і перспективність застосування запропонованого підходу для рівняння Фоккера-Планка та задач течії полімерних рідин. The application of the method of proper generalized decomposition (PGD) and the method of polyargumental systems (MPS) for multidimensional thermal physics problems is considered. The high efficiency of proposed approach for the simulation of the Fokker-Planck equation and flows of polymer liquids is shown. Исследования выполнены при финансовой поддержке NATO Collaborative Linkag Grant (CBP.NUKR.CLG 984260). ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики The application of the method of proper generalized decomposition (PGD) and the method of polyargumental systems (MPS) for multidimensional thermal physics problems Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики
spellingShingle	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики Авраменко, А.А. Блинов, Д.Г. Кузнецов, А.В. Тепло- и массообменные процессы
title_short	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики
title_full	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики
title_fullStr	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики
title_full_unstemmed	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики
title_sort	применение методoв pgd и мпс для исследования многомерных задач теплофизики
author	Авраменко, А.А. Блинов, Д.Г. Кузнецов, А.В.
author_facet	Авраменко, А.А. Блинов, Д.Г. Кузнецов, А.В.
topic	Тепло- и массообменные процессы
topic_facet	Тепло- и массообменные процессы
publishDate	2012
language	Russian
container_title	Промышленная теплотехника
publisher	Інститут технічної теплофізики НАН України
format	Article
title_alt	The application of the method of proper generalized decomposition (PGD) and the method of polyargumental systems (MPS) for multidimensional thermal physics problems
description	Рассмотрено применение методов PGD и МПС для решения многомерных задач теплофизики. Показана эффективность и перспективность применения предлагаемого подхода для уравнения Фоккера-Планка и задач течения полимерных гидкостей. Розглянуто можливість застосування методів PGD и МПС для вирішення багатовимірних задач теплофізики. Показана ефективність і перспективність застосування запропонованого підходу для рівняння Фоккера-Планка та задач течії полімерних рідин. The application of the method of proper generalized decomposition (PGD) and the method of polyargumental systems (MPS) for multidimensional thermal physics problems is considered. The high efficiency of proposed approach for the simulation of the Fokker-Planck equation and flows of polymer liquids is shown.
issn	0204-3602
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59052
citation_txt	Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики / А.А. Авраменко, Д.Г. Блинов, А.В. Кузнецов // Промышленная теплотехника. — 2012. — Т. 34, № 1. — С. 38-44. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT avramenkoaa primeneniemetodovpgdimpsdlâissledovaniâmnogomernyhzadačteplofiziki AT blinovdg primeneniemetodovpgdimpsdlâissledovaniâmnogomernyhzadačteplofiziki AT kuznecovav primeneniemetodovpgdimpsdlâissledovaniâmnogomernyhzadačteplofiziki AT avramenkoaa theapplicationofthemethodofpropergeneralizeddecompositionpgdandthemethodofpolyargumentalsystemsmpsformultidimensionalthermalphysicsproblems AT blinovdg theapplicationofthemethodofpropergeneralizeddecompositionpgdandthemethodofpolyargumentalsystemsmpsformultidimensionalthermalphysicsproblems AT kuznecovav theapplicationofthemethodofpropergeneralizeddecompositionpgdandthemethodofpolyargumentalsystemsmpsformultidimensionalthermalphysicsproblems
first_indexed	2025-11-24T21:03:22Z
last_indexed	2025-11-24T21:03:22Z
_version_	1850497323689312256
fulltext	ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №138 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ ЛИТЕРАТУРА 1. Sondhauss C. Uber die Shallschwingungen der Luft in erhitizten Glassrohren und in gedeckten Pfeifen von unleicher Weite // Poggendorf Annalen der Physik und Chemie. − 1850. − Vol. 79. − P. 1 − 34. 2. Carter R.L., Feldman K.T., McKinnon C.N. Applicability of Thermoacoustic Phenomena to MHD Conversion Systems // University of Missouri Engineering Experiment Station, Columbia, Mo. Reprint Number 64, July 1964. Reprinted from Proceeding of the Fifth Symposium on Engineering Aspects of Magneto hydrodynamics, Massachu- setts Institute of Technology Cambridge, Mass. April 1 − 2. 1964. P. 67. 3. Henderson R.L. (Environmental Test Group, Sandia Laboratory, Albuquerque), Private Communication, June 1965. 4. Фельдман К.Т., Картер Р.Л. Исследование колебаний давления, возникающих в газе при подводе тепла // Труды американского обще- ства инженеров – механиков, Теплопередача. − 1970. Сер. С, № 3. − С. 228 − 235. 5. Гоцуленко В.В. Математическое модели- рование особенностей феномена Рийке / В.В. Гоцуленко // Математическое моделирование, РАН. − 2004. − Т. 16, N 9. − С. 23 − 28. 6. Гоцуленко В.В. Тепловое сопротивление как механизм возбуждения автоколебаний / В.В. Гоцуленко, В.Н. Гоцуленко // Сборник на- учн. трудов Днепродзержинского гос. техн. ун- та. – Д., 2009. – Вып. 1(11). – С. 95 – 100. 7. Басок Б.И. Теория феномена Рийке в системе с сосредоточенными параметрами / Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко // Акустический вестник. – 2010. – Т. 13, № 3.– C. 3– 8. 8. Басок Б.И. Автоколебания в распреде- ленной модели трубы Рийке / Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко // Сибирский журнал индустриаль- ной математики. – 2011. – Т. XIV, № 4(48). – С. 3 – 13. Получено 29.12.2011 г. УДК 536.25 Авраменко А.А.1, Блинов Д.Г.1, Кузнецов А.В.2 1Институт технической теплофизики НАН Украины 2Университет штата Северная Каролина, США ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДOВ PGD И МПС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОФИЗИКИ Розглянуто можливість засто- сування методів PGD и МПС для вирішення багатовимірних задач теплофізики. Показана ефектив- ність і перспективність застосу- вання запропонованого підходу для рівняння Фоккера-Планка та задач течії полімерних рідин. Рассмотрено применение ме- тодов PGD и МПС для решения многомерных задач теплофизики. Показана эффективность и перспек- тивность применения предлагаемо- го подхода для уравнения Фоккера- Планка и задач течения полимерных гидкостей. The application of the method of proper generalized decomposition (PGD) and the method of polyargumen- tal systems (MPS) for multidimensional thermal physics problems is considered. The high efficiency of proposed approach for the simulation of the Fokker-Planck equation and flows of polymer liquids is shown. а – временная базисная функция; x – координата; q – обобщенная координата; U – неизвестная функция; φ – пространственная базисная функция; ψ – функция распределения. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №1 39 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Введение Рассмотрение ряда современных задач теплофизики основывается на анализе много- мерных постановок, включающих в себя кроме обычных пространственно-временных коор- динат, дополнительные, так называемые кон- фигурационные координаты. Так задачи те- чения вязкопластичных жидкостей, описание поведения растворов и расплавов полимеров, жидкокристаллических полимеров и т.д. – обычно содержат большое количество до- полнительных обобщенных координат. Это связано с тем, что при описании динамики движения полимерных макромолекул не дей- ствует концепция сплошной среды и необхо- димо рассматривать описания движения еди- ничной молекулы или группы молекул, состав- ляющих полимерную цепочку. Для этой цели используют подходы молекулярной динамики, непосредственно моделирующие движение макромолекул, или стохастического осредне- ния уравнений движения и связанного с этим рассмотрение функции распределения. При этом одними из наиболее часто используемых являются модели, основанные на многомер- ном уравнении Фоккера-Планка (в дальней- шем ФП) для функции распределения, кото- рое является разумным компромиссом между сложностью и детализированностью модели описания. В отличие от моделей молекулярной динамики, требующих для своего рассмотре- ния методов типа Монте-Карло значительных (даже на сегодняшний день) компьютерных ресурсов при анализе физически осмыслен- ных, а не модельных задач. Подход, основан- ный на введении вероятностного описания и приводящий к уравнениям ФП, является ре- альным в реализации даже для нетривиальных по сложности задачах. С другой стороны в от- личие от моделей сплошной среды, вводящих в описание феноменологические соотношения и не позволяющих «ухватить» сложную физи- ку поведения среды, уравнение ФП позволяет с помощью введения конфигурационных пере- менных учесть реальные особенности взаимо- действия структурных элементов среды. Система, описывающая поведение «слож- ной жидкости», состоит из уравнений движе- ния сплошной среды и уравнения типа ФП, позволяющего определить корреляционные моменты в тензоре напряжений уравнения импульсов. Принципиальные трудности воз- никают при рассмотрении уравнения ФП, ко- торое представляет собой параболическое уравнение большой размерности. Применение стандартных методов вычислительной мате- матики, типа методов конечных элементов, приводит к необходимости использовать сетки гигантской размерности. Так для задачи, опи- сывающей поведение макромолекулы в виде 8 пружинок и бусинок, требуется 3 простран- ственных, 1 временная и 24 (по 3 ориентацион- ные координаты на каждую пружину) – всего 28 координат. При числе узлов в каждом на- правлении 100, это приводит к сетке с числом неизвестных, превышающих предполагаемое число элементарных частиц во Вселенной. Описание метода Для преодоления «проклятия размерности» был предложен ряд подходов, таких как цикли- ческой редукции (cyclic reduction (PSCR)) [1, 2], разряженных сеток (sparse grids) [3]. Однако, несмотря на значительное сокращение вычис- лительных затрат, эти методы не могут рас- сматриваться как полное решение проблемы размерности. В этой работе рассмотрен новый подход для рассмотрения многомерных задач – метод PGD (proper generalized decomposition), предложен- ный в [4] и восходящий корнями к известно- му методу квантовой механики Хартли-Фока. Уже имеется обширная практика применения этого подхода к различным задачам физики [5, 6]. Эффективность его использования по- зволяет говорить об PGD как новом классе методов решения задач математической фи- зики. Подобный подход применен и в методе МПС, которой был предложен и развит (не так обширно по охвату и общности) группой авто- ров на несколько десятилетий ранее в прило- жении к задачам тепломассобмена и упругости [7]. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №140 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Одной из принципиальных особенностей метода PGD является раздельное рассмотре- ние временной и пространственной задачи. Это позволяет во многих физических задачах, для которых характерна многомасштабность пространственно-временного описания, пре- одолеть проблему совместного рассмотрения микро- и макромасштабов. Такая декомпози- ция времени и пространства используется в эффективном подходе к задачам структурной динамики – LATIN методе [8]. Метод PGD можно рассматривать как обоб- щение (что следует из названия) широко ис- пользуемого в различных разделах физики метода POD (или POD – Galerkin) [9, 10]. Оба эти метода можно отнести к разряду проек- ционных, их основное отличие от традицион- ных подходов заключается в корректном выбо- ре пространственного и временного базиса. В основе метода POD лежит идея опреде- ление базиса задачи не априорно, а на основе максимального отражения всей имеющейся информации о физическом процессе. В конеч- ном итоге, метод POD состоит в нахождении пространственного базиса на основе опреде- ления собственных функций некоторого ин- тегрального уравнения, составленного на основе процедуры Кархунена-Лоеве [9]. Это интегральное уравнение строится путем ап- проксимации корреляционной матрицы, опре- деляемой на основе исследуемого процесса. Получаемый путем анализа корреляционной матрицы процесса пространственный базис задачи, затем используется для составления динамической модели путем применения про- цедуры проектирования метода Галеркина. Выбор базиса на основе апостериорных данных (экспериментальных или данных пред- варительного решения задачи при определен- ном наборе режимных параметров) является одновременно и недостатком подхода POD- Galerkin. Некоторая несимметричность рас- смотрения временной и пространственной час- ти задачи (пространственный базис на осно- ве апостериорных данных, временной – путем решения динамической задачи) преодолена в методе PGD путем выполнения следующего шага – нахождение пространственного базиса при известном временном и далее примене- нии итерационной процедуры раздельного ре- шения временной и пространственной задач. Фактически по известному из предыдущего шага пространственному базису определяется временной, а по известному временному – про- странственный. Такое раздельное рассмотре- ние временной и пространственных задач (что соответствует концепции LATIN подхода) является для ряда задач принципиальным моментом, позволяющим преодолеть пробле- му сопряжения микро- и макромасштабов. Например, при рассмотрении диффузионных процессов совместно с быстропротекающими реакциями горения, анализе реакционно-дифу- зионных моделей в процессах деградации и т.д. Для ряда задач (включая анализ уравне- ния ФП) разделение на временной базис и пространственный является недостаточным. Необходим следующий шаг в «расчленении» решения – разложение на компоненты и про- странственной части решения. В этом случае решение представляется виде 1 1 2 1 1 ( , , ... ) ( ) ( )... ( ) N M N M i i i M i U t x x x a t x x = = ϕ ϕ∑ . (1) При этом требуется определить все функции, входящие в (1). Для удобства дальнейшего изложения далее рассмотрим модельный пример, основанный на многомерном уравнении Пуассона 1 2( , ... )MU f x x x∆ = − . (2) Задача определена в многомерном единичном кубе с нулевыми граничными условиями на гранях куба. Для стационарной задачи представление (1) можно записать в виде 1 2 1 1 ( , ... ) ( ) MN k N M i k i k U x x x x = = = ϕ∑ ∏ . (3) Спроецировав невязку в уравнении (2) на проекционный базис ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №1 41 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 1 2 1 1 ( ( ) ( , ... )) MN k i k M i k x f x x x Ω = = ∆ ϕ + ⋅∑ ∏∫ 1 d 0 M k k k p x = ≠ ⋅ =∏ p = 1,...M (4) и проинтегрировав с учетом нулевых гранич- ных условий по частям, получим M подсистем ОДУ для определения φk. Ниже записана одна из подсистем (для определения φp i = 1,...N). 2 2 1 1 1 1 d d p M M MN k ki i j k i k k kp k p k p k p x dx= = = = ≠ ≠ ≠ ϕ ⋅ ϕ ⋅ ϕ ⋅ −∑ ∏ ∏ ∏∫ 1 1 1 1 , ( ) d kk M MN N jp l li i i j k i k l kk k k p l p l k k p dd x dx dx= = = = ≠ ≠ ≠ ≠ ϕϕ − ϕ ⋅ ⋅ ϕ ϕ ⋅ =∑ ∑ ∏ ∏∫ 1 2 1 ( , ... ) d , M p M j k k k p f x x x x = ≠ = ⋅ϕ ∏∫ (5) где j = 1,…N. Записанная совокупность подсистем соответ- ствует методу МПС. В методе PGD φk функции в форме представления (3) находятся последо- вательным «обогащением» базиса. Сначала для i = 1, потом i = 2 и т.д. − фактически применяя идеологию метода подпространств Крылова (подробности смотри [4]). Приведенная формулировка метода была опробована для различных правых частей в уравнении (2) 2 1 1 2 ( 1) MM k i k k i f x = = ≠ = ⋅ −∑ ∏ , 2 1 1 (sin( )) MM k i k k i f i k x = = ≠ = ⋅ ⋅∑ ∏ (6) и для различных M вплоть до двадцати. Проведенные расчеты показали, что уже 2 итерации алгоритма (4) позволяют получить точное решение. При этом даже для размерно- сти задачи М = 20 требуется незначительные компьютерные ресурсы. Решение уравнения Фоккера-Планка Вернемся к задаче моделирования движе- ния растворов полимеров и связанной с этим задачи решения многомерного уравнения ФП. Как уже отмечалось, в основе многих совре- менных моделей таких растворов лежит мо- дельное понятие макромолекулы, которую можно рассматривать как гибкую однородную упругую нить. Одна из наиболее подробных моделей была предложена Флори [11]. В этой модели при изучении равновесных свойств полимерной молекулы учитываются длины химических связей, углы между связями и вращательные изомерные состояния. В моде- ли Крамерса считается, что полимерная цепь состоит из точечных масс или бусинок, соеди- ненных линейно системой жестких стержней. Узлы этой цепи представляют собой не отдель- ные атомы в остове макромолекулы, а конеч- ные участки молекулярной цепи. Несмотря на свою простоту, эта модель, при дополнитель- ных предположениях о характере взаимодей- ствия частиц цепи со своим окружением, оказа- лась перспективной и в настоящее время часто используется для описания концентрирован- ных растворов и расплавов, как монодисперс- ных, так и полидисперсных линейных полиме- ров. Одной из наиболее часто используемых в гидродинамическом моделировании является нелинейная полимерная модель FENE (finitely extensible nonlinear elastic) [12, 13]. Эта модель, устраняющая необходимость статистического осреднения в каждой точке пространства и по каждой молекуле, способна отразить некото- рые важные свойства полимерных растворов – уменьшение трения при движении и т.д., одна- ко неспособна проявить эффекты гистерезиса в поведении полимерных жидкостей. В модели FENE полимерная цепочка рас- сматривается на основе модели бусинок-пру- жинок, в которой взаимодействие с окружаю- щей жидкостью учитывается через бусинки, а локальная сила в молекуле – через жесткость пружинки. Уравнение движения цепочки пред- ставляет собой баланс сил сопротивления, жесткости и сил, вызванных броуновским движением. Вводя понятие плотности ве- роятности для цепочки в случае однородного потока можно записать многомерное уравне- ние ФП. i i i 1 ( ) M k i k k k p x = ≠ ϕ ⋅∏ dx dx dx dd ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №142 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 1 1 1( ) 2 2 M k k k k k k Kq F q q t q q=  ∂ψ ∂ ∂ψ = ⋅ − + + − ∂ ∂ ξ ξ ∂  ∑ 2 1 1 2 1 1 ( ) 4 M k k k k k F q q q q− − = −  ∂ ψ − + − ξ ∂ ∂  ∑ 21 1 1 1 1 1 ( ) 4 M k k k k k F q q q q − + + = +  ∂ ψ − + ξ ∂ ∂  ∑ , (7) где qk = rk+1 – rk – обобщенная координата, rk – положение k-бусинки, K – константа, харак- теризующая окружающий поток, ξ – время ре- лаксации. В модели FENE используется модель Россе [11] для свежующей силы F(qk). Функция ψ подчинена условию нормировки 1,( ... , ) d 1,Mq q t q t Ω ψ ⋅ = ∀∫ . (8) Зная функцию распределения, можно на основе соотношения Крамера [11] определить напря- жение в полимерной цепочке 2 1 1 1 ( ,..., ) ( ) d ...d M M k k M k q q F q q q q M Ω = τ = ψ −∑∫ , где { , }b bΩ = − , (9) где b – максимальное растяжение для каж- дого сегмента цепи. При M = 1 уравнение (7) можно записать в виде 2 2 1 1( ) 2 2 Kq F q q t q q  ∂ψ ∂ ∂ ψ = ⋅ − + ψ + ∂ ∂ ξ ξ ∂  . (10) Для силы связи F воспользуемся моделью Rouse [12] 2 1( ) 1 /k k F q q b = − . (11) Представим решение в виде Ψ = ψ +ψ0, где ψ0 – стационарное равновесное решение уравнения (10 ). Тогда для Ψ получим уравнение 2 2 1 1( ) 2 2 Kq F q q t q q  ∂Ψ ∂ ∂ Ψ + ⋅ − Ψ − = ∂ ∂ ξ ξ ∂  2 0 0 2 1 1( ) 2 2 Kq F q q q q   ∂ ψ∂ = − ⋅ − ψ + ∂ ξ ξ ∂  . (12) При следующих граничных и начальных усло- виях: Ψ(q,0) = 0 при ( , )q b b∈ − и ( , ) 0b tΨ ± = при max(0, )t t∈ . (13) Применяя алгоритм (4) было промоделирова- но решение уравнения (12), для K = 1, ξ = 1, b = 4. Результаты расчетов отражены на приве- денных ниже рисунках. На рис. 1 отображена функция распределения ψ при указанных вы- ше параметрах. На рис. 6 приведено устано- вившееся распределение ψ в зависимости от параметра K, характеризующего скоростной градиент потока окружающей среды. Следу- ет отметить, увеличение K приводит к «рас- тяжению» молекулы и смещению «бусинок» в Рис. 1. Функция распределения ψ. Рис. 2. Зависимость среднеквадратичной погрешности от числа членов N. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №1 43 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ стороны от центра. На рис. 2 приведена зави- симость относительной среднеквадратичной погрешности от числа членов в (3). Как видно уже 4-х членов достаточно для получения ре- шения с погрешностью меньше 1 %. На рис. 3 и рис. 4 приведены пространственные и вре- менные базисные функции и наконец, рис. 5 отражает процесс установления касательного напряжения τ. Фактически, установившееся значение τ является параметром, связывающим уравнения движения макромолекулы (уравне- ние ФП) и уравнения движения сплошной сре- ды. Заключение Рассмотренные в статье методы PGD и МПС позволяют решать задачи теплофизики высокой размерности, в том числе такие важ- ные в инженерном плане как моделирование течения растворов полимеров. Эффективное разложение задачи на ряд одномерных под- задач дает возможность кардинально снизить ресурсоемкость решения и решить проблему совместного рассмотрения микро- и макромас- штабов в задаче. Рис. 3. Характер временных базисных функций: 1, 2, 3 – соответственно первая, вторая и третья. Рис. 4. Характер пространственных базисных функций: 1, 2, 3 – соответственно первая, вторая и третья. Рис. 5. Касательное напряжение. Рис. 6. Функция распределения ψ в зависимости от K. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №144 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Исследования выполнены при финансовой под- держке NATO Collaborative Linkag Grant (CBP. NUKR.CLG 984260). ЛИТЕРАТУРА 1. Kuznetsov Y.A., Matsokin A.M. On partial solution of systems of linear algebraic equations // Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. – 1989. – Т. 4 (6). – С.453 – 467. 2. Rossi T., Toivanen J. A non-standard cyclic reduction method, its variants and stability // SIAM J. Matrix Anal. Appl. –1999. – Т. 20 (3). – С.628 – 645. 3. Bungartz H.J., Griebel M. Sparse grids // Acta Numer. – 2004, Т. 13. – С.1 – 123. 4. Ammar A., Ryckelynck D., Chinsta F., Keunings R. // On the reduction of kinetic theory models related to finitely extensible dumbbells, J. Non-Newton. Fluid Mech. – 2006. – Т. 134. – С. 136 – 147. 5. Ammara A., Mokdada B., Chinesta F., Keunings R. A new family of solvers for some classes of multidimensional partial differential equations encountered in kinetic theory modelling of complex fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. – 2006. – Т. 139. – С. 153 – 176. 6. Ryckelynck D., Chinesta F., Cueto E., Ammar A. On the a priori model reduction: overview and recent developments, State Art Rev // – 2006. – Т. 13 (1). – С. 91 – 128. 7. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренков- ский Ю.В. Применение методов полиаргумент- ных систем для решения нелинейных мно- гомерных задач теплопереноса // Известия ВУЗов, «Энергетика». – 1986. – № 3, – С. 84 – 89. 8. Ladeveze P., Passieux J.C., Neron D. The LATIN multiscale computational method and the Proper Generalized Decomposition // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. –2010. –Т. 199. – С. 1287 – 1296. 9. Sirovich L. Turbulence and the dynamics of coherent structures, Parts I – III // Quarterly of Applied Mathematics. – 1987. – Т . 45. – С. 561– 590. 10. Berkooz G., Holmes P., Lumley J.L. The proper orthogonal decomposition in the analysis of turbulent flow // Annu. Rev. Fluid Mech. 1993. – Т. 25. С. 539 – 575. 11. Doi M., Edwards S.F. The Theory of polymer dynamics. – Oxford University Press. –1986, – C. 403 12. Chupin L. The FENE model for viscoelastic thin film flows // Methods and applications of analysis. – 2009. – Т. 16, № 1. – С. 217 – 262. 13. Larson R.G. The structure and rheology of complex fluids. – Oxford University Press, New York. – 1999. Получено 02.12.2012 г.

Применение методoв PGD и МПС для исследования многомерных задач теплофизики

Institution

Similar Items