Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса
Рассмотрена возможность применения методов полиаргументных систем для решения нелинейных задач тепломассопереноса. Выполнено сопоставление результатов решения модельной задачи для уравнения Бюргерса методами полиаргументных систем и Галеркина. Показана эффективность и перспективность применения пред...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2012
|
| Series: | Промышленная теплотехника |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59070 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса / Н.М. Фиалко, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, Д.Г. Блинов, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2012. — Т. 34, № 2. — С. 17-21. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-59070 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-590702025-02-23T18:17:11Z Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса The polyargument systems method application for investigation of non-linear processes of heat and mass transfer Фиалко, Н.М. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Блинов, Д.Г. Сариогло, А.Г. Тепло- и массообменные процессы Рассмотрена возможность применения методов полиаргументных систем для решения нелинейных задач тепломассопереноса. Выполнено сопоставление результатов решения модельной задачи для уравнения Бюргерса методами полиаргументных систем и Галеркина. Показана эффективность и перспективность применения предлагаемого подхода также и в случае нелинейных задач тепломассопереноса. Розглянуто можливість застосування методів поліаргументних систем для вирішення нелінійних задач тепломасопероносу. Виконано зіставлення результатів рішення модельної задачі для рівняння Бюргерса методами поліаргументних систем і Гальоркіна. Показана ефективність і перспективність застосування запропонованого підходу також у випадку нелінійних задач тепломасопереносу. The approach of non-linear heatand mass-transfer problems solving, on the base of the method of polyargumental systems is considered. The results comparison for solution of a model problem by the methods of polyargumental systems and Galerkin for the Burgers equation is made. The high efficiency and availability of proposed approach application in the case of non-linear heat- and masstransfer problem is shown. 2012 Article Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса / Н.М. Фиалко, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, Д.Г. Блинов, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2012. — Т. 34, № 2. — С. 17-21. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59070 536.25 ru Промышленная теплотехника application/pdf Інститут технічної теплофізики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы |
| spellingShingle |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы Фиалко, Н.М. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Блинов, Д.Г. Сариогло, А.Г. Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса Промышленная теплотехника |
| description |
Рассмотрена возможность применения методов полиаргументных систем для решения нелинейных задач тепломассопереноса. Выполнено сопоставление результатов решения модельной задачи для уравнения Бюргерса методами полиаргументных систем и Галеркина. Показана эффективность и перспективность применения предлагаемого подхода также и в случае нелинейных задач тепломассопереноса. |
| format |
Article |
| author |
Фиалко, Н.М. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Блинов, Д.Г. Сариогло, А.Г. |
| author_facet |
Фиалко, Н.М. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Блинов, Д.Г. Сариогло, А.Г. |
| author_sort |
Фиалко, Н.М. |
| title |
Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса |
| title_short |
Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса |
| title_full |
Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса |
| title_fullStr |
Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса |
| title_full_unstemmed |
Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса |
| title_sort |
применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса |
| publisher |
Інститут технічної теплофізики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Тепло- и массообменные процессы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59070 |
| citation_txt |
Применение методов полиаргументных систем для исследования нелинейных процессов тепломассопереноса / Н.М. Фиалко, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, Д.Г. Блинов, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2012. — Т. 34, № 2. — С. 17-21. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Промышленная теплотехника |
| work_keys_str_mv |
AT fialkonm primeneniemetodovpoliargumentnyhsistemdlâissledovaniânelinejnyhprocessovteplomassoperenosa AT prokopovvg primeneniemetodovpoliargumentnyhsistemdlâissledovaniânelinejnyhprocessovteplomassoperenosa AT šerenkovskijûv primeneniemetodovpoliargumentnyhsistemdlâissledovaniânelinejnyhprocessovteplomassoperenosa AT ûrčukvl primeneniemetodovpoliargumentnyhsistemdlâissledovaniânelinejnyhprocessovteplomassoperenosa AT blinovdg primeneniemetodovpoliargumentnyhsistemdlâissledovaniânelinejnyhprocessovteplomassoperenosa AT sariogloag primeneniemetodovpoliargumentnyhsistemdlâissledovaniânelinejnyhprocessovteplomassoperenosa AT fialkonm thepolyargumentsystemsmethodapplicationforinvestigationofnonlinearprocessesofheatandmasstransfer AT prokopovvg thepolyargumentsystemsmethodapplicationforinvestigationofnonlinearprocessesofheatandmasstransfer AT šerenkovskijûv thepolyargumentsystemsmethodapplicationforinvestigationofnonlinearprocessesofheatandmasstransfer AT ûrčukvl thepolyargumentsystemsmethodapplicationforinvestigationofnonlinearprocessesofheatandmasstransfer AT blinovdg thepolyargumentsystemsmethodapplicationforinvestigationofnonlinearprocessesofheatandmasstransfer AT sariogloag thepolyargumentsystemsmethodapplicationforinvestigationofnonlinearprocessesofheatandmasstransfer |
| first_indexed |
2025-11-24T07:50:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T07:50:15Z |
| _version_ |
1849657251731603456 |
| fulltext |
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №2 17
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 536.25
Фиалко Н.М., Прокопов В.Г., Шеренковский Ю.В.,
Юрчук В.Л., Блинов Д.Г., Сариогло А.Г.
Институт технической теплофизики НАН Украины
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПОЛИАРГУМЕНТНЫХ СИСТЕМ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
Розглянуто можливість засто-
сування методів поліаргументних
систем для вирішення нелінійних
задач тепломасопероносу. Викона-
но зіставлення результатів рішен-
ня модельної задачі для рівнян-
ня Бюргерса методами поліаргу-
ментних систем і Гальоркіна. По-
казана ефективність і перспектив-
ність застосування запропонова-
ного підходу також у випадку
нелінійних задач тепломасопере-
носу.
Рассмотрена возможность при-
менения методов полиаргументных
систем для решения нелинейных
задач тепломассопереноса. Выпол-
нено сопоставление результатов ре-
шения модельной задачи для урав-
нения Бюргерса методами полиар-
гументных систем и Галеркина. По-
казана эффективность и перспек-
тивность применения предлагаемо-
го подхода также и в случае нели-
нейных задач тепломассопереноса.
The approach of non-linear heat-
and mass-transfer problems solving,
on the base of the method of polyargu-
mental systems is considered. The
results comparison for solution of a
model problem by the methods of
polyargumental systems and Galerkin
for the Burgers equation is made.
The high efficiency and availability
of proposed approach application in
the case of non-linear heat- and mass-
transfer problem is shown.
f – свободный («источниковый») член
в уравнении;
u – искомая функция;
N – число членов в форме представления
решения;
Re – параметр, аналог числа Рейнольдса;
x, y – координаты;
X, Y – аргументные функции;
МПС – метод полиаргументных систем;
ОДУ – обыкновенное дифференциальное
уравнение.
Индексы нижние:
i, j, p – индексы;
0 – левый, начальный;
1 – правый.
Решение проблемы повышения эффектив-
ности теплотехнического оборудования при-
водит к необходимости математического мо-
делирования сложных нелинейных многомер-
ных процессов тепломассопереноса. Разра-
ботке новых и совершенствованию существу-
ющих подходов к исследованию таких про-
цессов посвящен целый ряд работ. К данному
направлению относятся и работы [1–4], касаю-
щиеся развития специального класса методов –
методов полиаргументных систем (МПС) и их
практическому использованию для исследова-
ния процессов переноса различной физичес-
кой природы.
Данный класс методов можно рассматри-
вать как дальнейшее развитие и совершенство-
вание классических проекционных методов в
плане устранения в последних их основного,
принципиального недостатка – априорности
введения при построении решения базисных
и прочих функций. Устранение данной апри-
орности, реализуемое в МПС, приводит к су-
щественному увеличению их эффективности
в сравнении с другими методами, в которых
используется в той или иной форме априор-
ный базис и другие априорные функции.
Данное обстоятельство широко освещается в
ряде работ (например [1–4]), где исследуют-
ся процессы кондуктивного и конвективного
теплопереноса, напряженно-деформированно-
го состояния тел и др. При этом показано, что
быстрота сходимости МПС в сравнении с из-
вестными классическими методами в отно-
сительно сложных ситуациях для указанных
классов задач может отличаться на несколько
порядков.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №218
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
В данной работе освещается возможность
и эффективность применения МПС для более
сложных нелинейных процессов тепломассо-
переноса. В качестве модельного уравнения
для описания таких процессов, а также для
уравнений пограничного слоя, «параболизо-
ванных» и полных уравнений Навье-Стокса,
уравнений нелинейной акустики, физики плаз-
мы и др. используется, как известно, уравнение
Бюргерса [5–8]. Рассмотрим следующую по-
становку задачи для этого уравнения
2
2
1 ( , )
Re
u u uu f x y
x y y
∂ ∂ ∂
+ = ⋅ +
∂ ∂ ∂
, х0 ≤ х ≤ х1,
y0 ≤ y ≤ y1; (1)
0
0 ( )
x x
u u y
=
= ; (2)
0 1
0
y y y y
u u
= =
= = . (3)
Традиционно представим искомое решение
в виде
1
( , ) ( ) ( )i i
i N
u x y X x Y y
≤ ≤
= ∑ . (4)
Здесь Xi(x) и Yi(y) – подлежащие определению
функции одного аргумента, аргументные функ-
ции. Подчеркнем, что в отличие от проекцион-
ных методов, где одна из систем функций { }iX
или { }iY является заданной (базис), а опреде-
лению подлежит другая, в МПС как { }iX , так
и { }iY неизвестны и подлежат определению в
ходе решения так называемой полиаргумен-
тной системы, получаемой специальным обра-
зом из исходной постановки при помощи про-
цедуры редукции. Указанная процедура заклю-
чается в следующем. В соответствии с общей
методикой МПС [1–3], подставим (4) в (1) – (3),
домножим обе части уравнения (1) и началь-
ного условия (2) на весовые функции ( )x
pW y ,
p = 1,…, N, в качестве которых используем
неизвестные пока функции Yp(y) и проинтег-
рируем каждое уравнение образованной сис-
темы по y. Полученную систему (5, a) можно
рассматривать как задачу Коши для системы
ОДУ относительно функций Xi(x), при условии,
что коэффициенты Ax и Fx известны:
( )
1
1 1 1 1
0
1
,
, 1, , .
x xx x x
ip i ijp i j ip i p
i N i N j N i N
xL xL
ip i p
i N
A X A X X A X F
A X x F p N
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤
′ + = +
= =
∑ ∑ ∑ ∑
∑ (5, a)
Здесь
1
0
1
y
x
ip i p
y
A YY dy= ∫ ,
1
0
y
xx
ijp i j p
y
A YY Y dy′= ∫ ,
1
0
1
Re
y
x
ip i p
y
A Y Y dy′′= ∫ ,
1
0
y
x
p p
y
F fY dy= ∫ ,
1
0
y
xL
ip i p
y
A YY dy= ∫ ,
1
0
0
y
xL
p p
y
F u Y dy= ∫ . Анало-
гично, домножив, после подстановки (4), обе
части уравнения (1) и граничных условий (3)
на весовые функции ( ) ( )y
p pW x X x= , p = 1,…, N,
и проинтегрировав каждое уравнение образо-
ванной системы по x, получим систему (5, b),
которая также является замкнутой при извест-
ных значениях коэффициентов Ay и Fy и пред-
ставляет собой краевую задачу для системы
ОДУ относительно функций Yi(y):
( )
( )
1 2
1 1 1 1
0
1
0,
0, 1, , .
y yy y y
ip i ijp i j ip i p
i N i N j N i N
p
p
A Y A YY A Y F
Y y
Y y p N
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
′ ′′ + = +
=
= =
∑ ∑ ∑ ∑
(5, b)
Здесь
1
0
x
y
ip i p
x
A X X dx′= ∫ ,
1
0
1
x
yy
ijp i j p
x
A X X X dx= ∫ ,
1
0
2 1
Re
x
y
ip i p
x
A X X dx= ∫ ,
1
0
x
y
p p
x
F fX dx= ∫ . Обе полученные
системы (5, a) и (5, b) вместе составляют по-
лиаргументную систему одномерных задач
(5). Т.о., редуцированной постановкой для ис-
ходной задачи (1) – (3) является полиаргу-
ментная система (5). Следует обратить вни-
мание на то, что взаимосвязь одномерных
задач (подсистем (5, a) и (5, b)) в полиаргу-
ментной системе (5) осуществляется через
так называемые приведенные коэффициенты
A и F. Действительно, коэффициенты Ax и Fx
в одномерной задаче по x (5, a) определяют-
ся через неизвестные функции Yi и их произ-
водные, а коэффициенты Ay и Fy в задаче по y
(5, b) – через функции Xi и их производные.
Ввиду отмеченной особенности представ-
ляется целесообразным использование для
решения полиаргументной системы итера-
ционного метода. Причем, в рамках итера-
ционного процесса может быть реализована
,
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №2 19
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
также линеаризация полиаргументной систе-
мы (5), что во многих случаях существенно
упрощает процесс решения задачи в целом [3].
Перейдем к анализу полученных результа-
тов. Решение задачи (1) – (3) с начальным рас-
пределением
0 0
0 1 2
1 0 1 0
( ) sin sin 2y y y yu y a a
y y y y
− −
= π + π − −
,
где a1 и a2 – параметры, с помощью МПС со-
поставлено с решением ее же методом Галер-
кина, где в качестве базисных были выбраны
функции, отвечающие собственным функциям
соответствующей линейной задачи, т.е, в дан-
ном случае 0
1 0
sin y yi
y y
− π −
. Сопоставления
проводились при варьировании коэффициен-
тов a1 и a2 в достаточно широких пределах,
соответствующих данным, приводимым в [5–7].
Характерные результаты решения представле-
ны на рис. 1 – 3. На рис. 1 приведены харак-
терные поля решений уравнения Бюргерса при
различных начальных распределениях u0(y).
На рис. 2 представлены три первые аргу-
ментные функции из формы представления (4),
найденные МПС. Как видно (рис. 2, б), функ-
ции Yi(y) далеки от собственных (базис по си-
нусам), однако их характер достаточно хорошо
отражает резкое изменение соответствующего
поля при y = 0,5 (рис. 1, а). Этим и объясня-
ется высокая сходимость МПС (по числу чле-
нов ряда (4)) в сравнении с методом Галерки-
на (рис. 3). Так, например, для решения при
входном профиле a1 = 1, a2 = 0 и Re = 200 для
достижения интегральной погрешности реше-
ния в 1 % методу Галеркина понадобилось 54
члена ряда, а МПС – всего лишь 4. Несколь-
ко меньшие отличия (соответственно 28 и 4)
имеют место для решения при a1 = 0, a2 = 1 и
Re = 200 (рис. 1, а).
Приведенные данные свидетельствуют,
что величины погрешности решения задачи
(рис. 3, a) и невязки уравнения (рис. 3, б) в
случае использования МПС практически не-
чувствительны к варьированию параметра Re
б)
Рис. 1. Решение u(x, y) при Re = 200
и различных начальных распределениях:
(а) a1 = 0, a2 = 1; (б) a1 = 0,5, a2 = 1.
a)
(сплошные кривые на обоих рисунках слива-
ются). Напротив, эти же характеристики реше-
ния для метода Галеркина существенно зави-
сят от величины Re и растут с его увеличением
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №220
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
a) б)
Рис. 2. Аргументные функции Xi(x) (а) и Yi(y) (б) при i = 1, 2 и 3 для a1 = 0, a2 = 1 и Re = 200.
a) б)
Рис. 3. Изменение интегральной погрешности решения (а) и интегральной невязки уравне-
ния (б) по числу членов N при a1 = 1, a2 = 0 методом Галеркина (- - -) и МПС (–––) для различ-
ных значений Re: 1 – Re = 50, 2 – 100, 3 –200.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2012, т. 34, №2 21
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
(пунктирные кривые на обоих рисунках рас-
слаиваются). Это связано с тем, что в случае
применения метода Галеркина компоненты
базиса { }iX задаются априорно и остаются не-
изменными для разных значений параметра
Re (базис по синусам). В методе же полиар-
гументных систем все компоненты решения
(4) определяются индивидуально для каждой
рассматриваемой задачи.
Выводы
Полученные данные свидетельствуют, что
главная идея, лежащая в основе метода поли-
аргументных систем – отсутствие априорной
информации в форме представления решения –
определяет его высокую эффективность в пла-
не быстроты сходимости как в случае решения
линейных, так и нелинейных задач тепломассо-
переноса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шерен-
ковский Ю.В. Об одном новом методе матема-
тического исследования процессов переноса //
Пром. теплотехника. – 1979. – Т. 1, № 2. –
С. 33–41.
2. Прокопов В.Г., Шеренковский Ю.В., Бес-
палова Е.И. К созданию методов координатных
решеток для решения многомерных задач ме-
ханики сплошных сред // Проблемы прочности.
– 1980. – № 7. – С. 93. – 97.
3. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шерен-
ковский Ю.В. Применение методов полиаргу-
ментных систем для решения нелинейных
многомерных задач теплопереноса // Известия
ВУЗов, «Энергетика». – 1986. – № 3. – С. 84 –
89.
4. Прокопов В.Г., Шеренковский Ю.В., Юрчук
В.Л., Фиалко Н.М., Блинов Д.Г. Решение урав-
нения Бюргерса с помощью метода полиаргу-
ментных систем // Матеріали міжн. наук. конф.
"Математичні проблеми технічної механіки –
2010", 19 – 22 квітня 2010 р, Дніпропетровськ
– Дніпродзержинськ – 2010. – С. 37.
5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные вол-
ны. М: Мир, 1977. – 621 с.
6. Петровский С.В. Точные решения уравне-
ния Бюргерса с источником // Журнал техниче-
ской физики. – 1999. – Т. 69, вып. 8. – С. 10–14.
7. Пшеницына Н.А. Численно-асимптотиче-
ское исследование задач нелинейной акусти-
ки. Автореферат на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук // М.:
Московский государственный университет им.
М.В. Ломоносова. – 2007. – 15 с.
8. Журавлев В.М., Никитин А.В. Новый под-
ход к построению нелинейных эволюционных
уравнений, линеаризуемых с помощью подста-
новок типа Коула–Хопфа // Нелинейный мир. –
2007. – Т. 5, № 9. – С. 603–611.
Получено 14.12.2011 г.
|