О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций
The theory of forming a simulated vibration with the use of spectral functions and spectral moments of an additive medley of stochastic and polyharmonic vibrations is given.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5908 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 59-64. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859705107430506496 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. |
| citation_txt | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 59-64. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The theory of forming a simulated vibration with the use of spectral functions and spectral moments of an additive medley of stochastic and polyharmonic vibrations is given.
|
| first_indexed | 2025-12-01T02:04:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085–1088.
2. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – Киев: Наук. думка,
1991. – 288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти кн. / Под общ.
ред. А.Н. Гузя. Т. 2).
3. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами. –
Киев: Наук. думка, 1992. – 456 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти
кн. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 4. Кн. 1).
4. Guz A.N. On the development of brittle-fracture mechanics of materials with initial stress // Int. Appl.
Mech. – 1996. – 32, No 4. – P. 316–323.
5. Guz A.N., Dyshel’ M. Sh., Nazarenko V.M. Fracture and stability of materials and structural members
with cracks: Approaches and results // Ibid. – 2004. – 40, No 12. – P. 1323–1359.
6. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V. L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Approach,
concept and results // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 2007. – 48. – P. 285–303.
7. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Ленинград: Наука,
1977. – 220 с.
8. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of fracture. Three dimensional crack problems. – Leyden: Noordhoff,
1975. – Vol. 2. – 452 p.
9. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластических деформаций сеточных полимеров //
Высокомолекулярные соединения. – 1960. – 2, № 1. – С. 21–28.
10. Хай М.В., Лаушник И.П. О взаимодействии периодической системы дискообразных трещин // Фи-
зико-механические поля в деформируемых средах. – Киев, 1978. – С. 65–73.
Поступило в редакцию 16.04.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 620.178.3
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, В.Е. Корсун
О моделировании спектральных характеристик
смешанного процесса вибраций
The theory of forming a simulated vibration with the use of spectral functions and spectral
moments of an additive medley of stochastic and polyharmonic vibrations is given.
Эксплуатационная вибрация транспортных объектов в большинстве случаев представляет
собой совокупность стохастических и полигармонических механических колебаний [1–4].
Такую вибрацию назовем смешанной и она записывается выражением
z(t) = ξ(t) + x(t), (1)
где x(t) — квазидетерминированный полигармонический вибропроцесс;
x3 =
N
∑
k=1
Ak sin(ωkt + ϕk), s = 1, 2; (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 59
ωk — круговая частота; t — время; ξ(t) — стационарный стохастический вибропроцесс (часто
бывает нормальным).
В x(t) начальные фазы ϕk, k = 1, N , могут быть также стохастическими. Выраже-
ние (1) отображает аддитивную смесь ξ(t) и x(t). В лабораторных и производственных
условиях при имитации эксплуатационных вибраций в качестве эквивалентных характе-
ристик используются спектральные плотности мощности вибраций, спектральные функции
и спектральные моменты. Это вызвано, например, заметным влиянием уровня дисперсии
и формы спектральной плотности на вибропрочность и виброустойчивость эксплуатиру-
емых изделий. Но из-за наличия в спектральной плотности разрывов второго рода, обу-
словленных присутствием в моделирующем процессе гармонических составляющих, как
показано в работе [4], в критерии приближения целесообразно использовать спектральную
функцию, являющуюся первообразной спектральной плотности. Эта функция G(ω) мо-
жет служить параметром эквивалентирования моделирующих и моделируемых вибраций.
Спектральная функция вибровоздействия (1) не имеет разрывов второго рода. За кри-
терий приближения принимаем минимум среднеквадратичного отклонения спектральных
функций эксплуатационных Gz(ω) и стендовых Gy(ω) вибраций [4]
εG =
1
ωmax − ωmin
ωmax
∫
ωmin
[Gz(ω) − Gy(ω)]2dω. (3)
Будем рассматривать применение критерия (3) к указанным смесям. При этом запишем
Gy(ω) =
∫
Sy(ω) dω, где Sy(ω) — спектральная плотность y(t); Gy(ω) — спектральная функ-
ция y(t);
Gx(ω) =
N
∑
k=1
A2
k
2
η(ω − ωk),
где
η(·) =
{
1, (·) > 0
0, (·) < 0
}
— (4)
спектральная функция процесса (2).
Для аддитивной смеси
Gy(ω) = Gx(ω) + Gξ(ω), (5)
где
Gξ(ω) =
{
0 при ω < ωmin, ω > ωmax
Cω при ωmin 6 ω 6 ωmax
}
. (6)
Выражение (6) отображает спектральную функцию “белого шума”, спектральная плотность
которого
Sξ(ω) =
{
0 при ω < ωmin, ω > ωmax
C при ωmin 6 ω 6 ωmax
}
. (7)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Здесь C — уровень (интенсивность) “белого шума”; ωmin − ωmax — частотный диапазон
“белого шума” (ω — круговая частота ω = 2πf ; f — частота, Гц).
Перепишем (3) c учетом (4) и (5)
εG(ω1Dk) =
1
ωmax − ωmin
N
∑
n=0
Ψn+1(ω1)
∫
Ψn(ω1)
[Gz(ω) − Pn(Dk) − Q(Dk)(ω − ωmin)]
2dω, (8)
где
Pn(Dk) =
n
∑
k=1
Dk; Q(Dk) =
σ2
ξ
(ωmax − ωmin)
;
Ψn(ω) = nω1, n = 1, N ; Ψn+1 = ωmax; Dk — дисперсии амплитуд x(t).
Для выполнения условия нормировки смешанного вибропроцесса одну из переменных σξ
положим зависимой от остальных, т. е.
σ2
ξ = 1 −
N
∑
k=1
Dk. (9)
В дальнейших выкладках аргументы Dk функций Pn(Dk), Q(Dk), а также аргумент ω1
функции Ψn(ω1) опускаем. Необходимое условие экстремума функции (8)
∂εG(ω1,Dk)
∂ω1
= 0,
∂εG(ω1,Dk)
∂Dk
= 0 (10)
приводит к системе, включающей уравнение
N
∑
n=1
n(Pn − Pn−1)
[
Gz(nω1) − (nω1 − ωmin)Q − 1
2
(Pn + Pn−1)
]
= 0 (11)
и еще N уравнений, каждое из которых получается при подстановке различных значений
индекса m от 0 до N − 1 в формулу
m
∑
n=0
Ψn=1
∫
Ψn
[Gz(ω) − (ω − ωmin)Q − Pn](ω − ωmin) dω −
−
N
∑
n=m+1
Ψn+1
∫
Ψn
[Gz(ω) − (ω − ωmin)Q − Pn](ω − ωmax) dω = 0, m = 0, N − 1. (12)
Вычитая из второго уравнения вида (12) первое, из третьего — второе и т. д. до последнего
N -го уравнения, получаем
(n+1)ω1
∫
nω1
[Gz(ω) − (ω − ωmin)Q − Pn] dω = 0, n = 1, N − 1, (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 61
откуда
Pn =
1
ω1
(n+1)ω1
∫
nω1
[Gz(ω) − (ω − ωmin)Q] dω, n = 1, N − 1. (14)
Подставляя (14) в последнее из уравнений (13) и учитывая (8), получаем выражение
Q =
[
N
∑
n=0
Ψn
Ψn+1
∫
Ψn
Gz(ω) dω +
1
2
ω1
Nω1
∫
ω1
Gz(ω) dω +
ωmax
∫
ωmin
Gz(ω) dω − 1
2
(ωmax − Nω1)
]
×
×
{
N−1
∑
n=1
(2n + 1)
ω2
1
2
[
(2n + 1)
ω1
2
− ωmin
]
− 1
3
(ω3
max − ω3
min) −
− ω1(ω
2
min − Nω2
max) − ω2
1
[
ωmaxN
2 − 1
2
ωmin(1 + N2)
]
}
−1
. (15)
Используя формулы (14), (15), удовлетворяем всем уравнениям (13), исключая при этом
в уравнении (11) функции Pn и Q, зависящие от варьируемых переменных Dk (k = 1, N ).
Таким образом, необходимые условия (10) экстремума погрешности (8) εG приближения
по спектральной функции, представляющие собой систему из N + 1 уравнений (10) и (12),
сведены к одному нелинейному уравнению
N
∑
n=1
n[Pn(ω1)−Pn−1(ω1)][2Gz(nω1)−Pn−1(ω1)−Pn(ω1)−2Q(ω1)(nω1−ωmin)] = 0 (16)
относительно основной частоты ω1 периодических полигармонических колебаний x(t), со-
держащихся в смешанном стендовом вибровоздействии y(t). Из уравнения (16), решая его
численным методом, находим его корни ωi, для каждого из которых по формуле (14) вы-
числяются параметры Pn, а по ним — соответствующие дисперсии Dk,i = Pk,i − Pk−1,i
(k = 1, N ) амплитуд гармоник x(t). Дисперсию вибрационного шума σ2
ξ находим по фор-
муле (9). Для определения из полученных наборов параметров ωi, Dk,i (k = 1, N ) того,
который обеспечивает для погрешности εG (7) наименьший минимум, необходимо подста-
вить их в формулу (3) и из полученных значений погрешности εGi выбрать наименьшее
ε∗G. Соответствующие ему величины ω∗
i , D∗
k (k = 1, N ) принимаются в качестве параметров
смешанного вибровоздействия, воспроизводимого в стендовых испытаниях. Нормирован-
ные амплитуды полигармонических колебаний Ak, k = 1, N , определяются через дисперсии
Dk по формуле Ak =
√
2Dk, k = 1, N .
Наряду с эквивалентированием указанных вибропроцессов по минимуму погрешности
в спектральных функциях представляет интерес использование в качестве параметров экви-
валентирования числовых характеристик спектра мощности — спектральных моментов
λl =
∞
∫
0
S(ω)ωldω (l = 1, 2, . . .), (17)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
вводимых по аналогии с моментами одномерного распределения вероятностей. В качестве
критерия приближения по спектральным моментам можно воспользоваться равенством
λy
l = λz
l , l = 0, 1, 2, . . . (18)
нескольких первых спектральных моментов формируемого и эксплуатационного процессов.
Подавая на вход испытательного вибростенда сигнал в виде (1) со спектральной плотно-
стью стохастической составляющей ξ(t) в виде (7), получаем в контрольной точке стенда
колебания такого же вида, но со спектральной плотностью
Sy(ω) = C|HC(iω)|2 + |HC(iω)|2
N
∑
k=1
Dx
kδ(ω − ωk), (19)
где HC(iω) — передаточная функция стенда, i =
√
−1.
Подставляя (19) в (17), перепишем (18) следующим образом:
C
ωmax
∫
ωmin
ωl|HC(iω)|2dω +
N
∑
k=1
Dδ
k(kω1)
l = λz
l , l = 0, N + 1, Dk = Dx
k |HC(iω)|2. (20)
Введя обозначения
al =
1
ωmax − ωmin
ωmax
∫
ωmin
ωl|HC(iω)|2dω,
bsk = (kω1)
l|HC(iω1k)|2, l = 0, N + 1; k = 1, 2, . . . ; s = l + 1,
запишем (20) в виде
N
∑
k=1
bskD
x
k = λz
l − alDξ.
Полученная система N + 2 уравнений может быть приведена к одному нелинейному урав-
нению, относительно основной частоты ω1 полигармонического процесса x(t)
N
∑
n=0
a2N+2,n+1D
ξ
n+1(ω1) +
N
∑
n=0
b2N+2,kD
x
k(ω1) = λz
2N+1, (21)
где Dξ
n(ω1), Dx
k(ω1) — дисперсии, которые определяются как корни системы линейных урав-
нений
N
∑
n=0
al+1,n+1D
ξ
n+1(ω1) +
N
∑
k=1
bb+1D
x
k = λz
l , l = 0, 2N,
при фиксированном ω1.
Полученное уравнение (21) может быть разрешено численно. При этом отыскиваются
только положительные значения ω1, Dξ
n (n = 0, N), Dx
k (k = 1, N ), которые и принимаются
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 63
в качестве параметров моделирующего процесса y(t). Если x(t) = 0, то y(t) = ξ(t) и ими-
тация эксплуатационных вибраций на вибростенде осуществляется нормальным стохасти-
ческим процессом с постоянной спектральной плотностью Sξ(ω) = C. При этом система
уравнений, соответствующая (20), будет иметь вид
C
Ψn+1
∫
Ψn
ωl|HC(iω)|2dω = λz
l , l = 0, N + 1. (22)
Если Ψn+1 = (n + 1)ω1, то (22) переписывается следующим образом:
C
(n+1)ω1
∫
nω1
ωl|H(iω)|2dω = λz
l . (23)
Решая уравнения (22) и (23), можно найти ширину полосы частот, пропускающую форми-
рующими фильтрами, при которой разность спектральных моментов (λz
l − λy
l ) будет мини-
мальной. В этом случае интенсивность стохастического процесса ξy(t) Cy = Dξ
n/(Ψn+1−Ψn)
будет на выходе фильтра.
Если ξ(t) = 0, то y(t) = x(t) и
N
∑
k=1
Dk(kω1)
l = λz
l , l = 0, N. (24)
Решая систему (24), определяем Dk гармонических составляющих и основную частоту ω1.
Дисперсия Dk = |HC(ikω1)|2Dx
k .
Таким образом, использование в качестве критерия приближения моделирующего ви-
бропроцесса к эксплуатационному равенств (3) и (18) позволяет решать задачу формиро-
вания моделирующего процесса с заданными спектральными характеристиками.
1. Коловский М.З. О замене случайных вибрационных воздействий полигармоническим процессом //
Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. – 1963. – № 2. – С. 93–101.
2. Божко А. Е., Штейнвольф А.Л. Воспроизведение полигармонических вибраций при стендовых ис-
пытаниях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 167 с.
3. Божко А.Е. Воспроизведение случайных вибраций. – Киев: Наук. думка, 1984. – 216 с.
4. Штейнвольф А.Л. Расчеты и имитация негауссовских случайных вибраций. – Киев: Наук. думка,
1993. – 252 с.
Поступило в редакцию 30.07.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5908 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T02:04:11Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. 2010-02-11T11:58:24Z 2010-02-11T11:58:24Z 2008 О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 59-64. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5908 620.178.3 The theory of forming a simulated vibration with the use of spectral functions and spectral moments of an additive medley of stochastic and polyharmonic vibrations is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций Article published earlier |
| spellingShingle | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций Божко, А.Е. Корсун, В.Е. Механіка |
| title | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций |
| title_full | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций |
| title_fullStr | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций |
| title_full_unstemmed | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций |
| title_short | О моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций |
| title_sort | о моделировании спектральных характеристик смешанного процесса вибраций |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5908 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae omodelirovaniispektralʹnyhharakteristiksmešannogoprocessavibracii AT korsunve omodelirovaniispektralʹnyhharakteristiksmešannogoprocessavibracii |