Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ
A mathematical model of the mechanics of thermoelastic bodies is proposed for the description of near-surface phenomena which are related to dissipative processes under the system transition from the equilibrium state to a stationary one. In this case, the parametric dependence of the constitutive e...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5909 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ / Я.Й. Бурак, Г. I. Мороз, З.В. Бойко // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 65-71. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859655729403658240 |
|---|---|
| author | Бурак, Я.Й. Мороз, Г.І. Бойко, З.В. |
| author_facet | Бурак, Я.Й. Мороз, Г.І. Бойко, З.В. |
| citation_txt | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ / Я.Й. Бурак, Г. I. Мороз, З.В. Бойко // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 65-71. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | A mathematical model of the mechanics of thermoelastic bodies is proposed for the description of near-surface phenomena which are related to dissipative processes under the system transition from the equilibrium state to a stationary one. In this case, the parametric dependence of the constitutive equations on the initial (natural) state parameters is taken into account.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:39:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
Член-кореспондент НАН України Я.Й. Бурак, Г. I. Мороз, З. В. Бойко
Математична модель термомеханiки з урахуванням
дисипативних процесiв при формуваннi приповерхневих
явищ
A mathematical model of the mechanics of thermoelastic bodies is proposed for the description of
near-surface phenomena which are related to dissipative processes under the system transition
from the equilibrium state to a stationary one. In this case, the parametric dependence of the
constitutive equations on the initial (natural) state parameters is taken into account.
Розрахунок та оптимiзацiя параметрiв мiцностi та надiйностi елементiв конструкцiй та при-
ладiв, якi працюють в умовах статичного та динамiчного силового навантаження i нагрiву,
є актуальною проблемою сучасної механiки деформiвних систем [1, 2]. В цьому зв’язку
важливими є питання конструктивної побудови математичних моделей механiки, якi б най-
бiльш повно вiдображали кiнетику формування приповерхневих явищ, що є визначальною
для кiлькiсної оцiнки параметрiв мiцностi. При побудовi таких моделей у науковiй лiтера-
турi використовують пiдходи та методи термодинамiки нерiвноважних процесiв, започатко-
ванi у класичних роботах Дж. Гiббса [3] та А. Грiффiтса [4].
Використання енергетичного пiдходу до термодинамiчного опису формування припо-
верхневих явищ в термопружних системах та встановлення вiдповiдного стацiонарного ста-
ну проаналiзовано у роботi [5].
Питання побудови математичних моделей термомеханiки твердих розчинiв з урахуван-
ням локальної градiєнтностi температурного поля i поля хiмiчного потенцiалу розглянуто
у роботах [6, 7], в яких проаналiзовано можливостi використання такого пiдходу для опи-
су приповерхневих явищ. Зокрема, у [7] одержана оцiнка параметрiв мiцностi в задачi про
дифузiйне насичення двокомпонентного термопружного шару.
У роботi [8] наведено результати модельного опису термомеханiчних процесiв у пружних
тiлах за пiдходом Ейлера з урахуванням вектора локального змiщення маси, який введений
в [9, 10].
У данiй роботi в розвиток термодинамiчного пiдходу до опису приповерхневих явищ
пропонується математична модель механiки термопружного тiла, у якiй формування при-
поверхневих явищ пов’язане з дисипативними процесами переходу пружної системи вiд
початкового рiвноважного стану до стацiонарного, якому вiдповiдає мiнiмум виникнення
ентропiї.
Основне енергетичне спiввiдношення. Розглядається термопружне тiло K∗, яке
взаємодiє iз зовнiшнiм середовищем K+
∗
. За вiдлiковий стан приймаємо однорiдний тер-
модинамiчний стан (для t 6 t0, t — час), який реалiзується за вiдсутностi взаємодiї тiла
iз зовнiшнiм середовищем (природний стан). Природний стан тiла характеризується абсо-
лютною температурою T(0) i густиною ентропiї S(0), хiмiчним потенцiалом µ(0) i густиною
маси ρ(0), тиском P(0) i питомим об’ємом V(0) = ρ−1
(0).
Вважаємо, що формування приповерхневих явищ зумовлене взаємодiєю термопружного
тiла K∗ iз зовнiшнiм середовищем K+
∗
в процесi переходу тiла K∗ iз вихiдного природного
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 65
(однорiдного) стану до градiєнтного стацiонарного в межах системи K∗
⋃
K+
∗
протягом
часу t1 < t 6 t2 (t1 > t0).
Iнтегральною адитивною мiрою термопружного стану тiла K∗ для t > t0 є його енергiя
E(K∗, t) = E(X∗(t)
⋃
∂X∗(t)), (1)
де X∗(t)
⋃
∂X∗(t) — область евклiдового простору, яку займає термопружне тiло K∗ в мо-
мент часу t ∈ (t1, t2).
Згiдно iз законом збереження, прирiст енергiї системи подається сумою лiнiйних скла-
дових приросту енергiї системи K∗ на промiжку часу [t, t + dt]
dE(K∗, t) = δQ
(+)
∗ + δA
(+)
∗ , (2)
де складова δQ
(+)
∗ зумовлена тепловою взаємодiєю термопружного тiла K∗ iз середовищем
K+
∗
, а складова δA
(+)
∗ — вiдповiдно механiчною взаємодiєю тiла K∗ iз середовищем K+
∗
.
Аналогiчне за формою рiвняння балансу енергiї подамо для довiльної мислено видiленої
пiдсистеми K ⊂ K∗
dE(K, t) = δQ(+) + δA(+). (3)
Тут δQ(+), δA(+) — лiнiйнi складовi приросту енергiї системи K, який зумовлений взаємодi-
єю цiєї системи iз середовищем K+ = K+
∗
⋃
K∗ \K. Складова δQ(+) кiлькiсно характеризує
тепловi процеси (теплопровiднiсть i теплоперенос), а δA(+) — прирiст механiчної енергiї,
зумовлений масоперенесенням та пружним деформуванням.
Для локального опису термомеханiчних процесiв сконкретизуємо за пiдходом Лагранжа
енергетичне спiввiдношення (3) для довiльно видiленої фiзично малої пiдсистеми δK ⊂ K:
dE(δK, t) = d(E(~r, t)δV ), (4)
де E(~r, t) — густина енергiї, вiднесена до об’єму δV (t) пiдсистеми δK у момент часу t.
Надалi всi адитивнi параметри моделi нормуватимемо за геометричними характеристи-
ками фiзично малої пiдсистеми δK у вiдлiковому природному станi. Тодi рiвняння балан-
су (3) набуває вигляду
dE(δK, t) = dE0δV0, (5)
dE0 = CV dT + C∗
V dµ + σ̂ · d(~∇0 ⊗ ~r)T + (~∇0 · σ̂ + ~f+) · d~u. (6)
Тут E0 = E0(~r0, t) — густина енергiї фiзично малої пiдсистеми δK ⊂ K; CV = CV (~r0, t) —
густина теплоємностi; C∗
V = C∗
V (~r0, t) — густина “енергоємностi” масової пiдсистеми; T =
= T (~r0, t) — абсолютна температура; µ = µ(~r0, t) — хiмiчний потенцiал; σ̂ = σ̂(~r0, t) — тензор
напружень Пiоли–Кiрхгофа першого роду; ~f+ = ~f+(~r0, t) — вектор густини об’ємних сил;
~∇0 ⊗ ~r — тензор градiєнта мiсця (несиметричний тензор деформацiї матерiальної пiдсисте-
ми); ~r ≡ ~r(t) = ~r0+~u(~r0, t) — радiус-вектор мiсця матерiальної точки k ∈ K∗ у момент часу t;
~u = ~r−~r0 — вектор перемiщення. Крапкою мiж величинами позначено скалярний добуток,
⊗ — тензорний (дiадний) добуток. Вiдзначимо, що у формулi (6) символом T позначено
операцiю транспонування тензора ~∇0 ⊗ ~r.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Термодинамiчнi аспекти моделi. За законом збереження енергiї
CV dT + C∗
V dµ = −PdV − ~∇0 · [ ~JQ + (µ − µ(0)) ~JM ]dt, (7)
де P — тиск; V = ρ−1 — питомий об’єм; ~JQ i ~JM — потiк енергiї теплової форми руху
i маси вiдповiдно.
Якщо використати базове термодинамiчне рiвняння ~JQ = T ~Js ( ~Js — потiк ентропiї), то
спiввiдношення (7) запишеться так:
CV dT + C∗
V dµ = −PdV + {−T ~∇0 · ~Js − (µ − µ0)~∇0 · ~JM + (−~∇0T ) · ~Js +
+ [−~∇0(µ − µ(0))] · ~JM}dt. (8)
У цьому зв’язку енергетичне спiввiдношення (6) набуває форми
dE0 = −PdV + σ̂0 · dê + (~∇0 · σ̂ + ~f+) · d~u − σ̂∗ · d(~∇0 ⊗ ~u)a +
+{T (−~∇0 · ~Js)+(µ − µ(0))(−~∇0 · ~JM )+(−~∇0T ) · ~Js+[−~∇0(µ − µ(0))] · ~JM}dt. (9)
Тут ê = (~∇0 ⊗ ~u + ~u ⊗ ~∇0)/2 — симетричний тензор деформацiї; (~∇0 ⊗ ~u)a = (~∇0 ⊗ ~u −
− ~u ⊗ ~∇0)/2 — антисиметрична складова тензора градiєнта мiсця; σ̂0, σ̂∗ — симетрична та
антисиметрична складовi тензора напружень σ̂.
З урахуванням другого закону термодинамiки −~∇0· ~Js = ds/dt−σs (σs > 0 — виникнення
ентропiї) енергетичне спiввiдношення (9) набуває вигляду
dE0 = Tds − PdV + (µ−µ(0))d(−~∇0 · ~ΠM ) + σ̂0 · dê + {−Tσs + (~∇0 · σ̂ + ~f+) · ~v +
+ [−σ̂∗ · (~∇0 ⊗ ~v)a] + (−~∇0T ) · ~Js + [−~∇0(µ − µ(0))] · ~JM}dt, (10)
де ~ΠM =
t∫
t0
~JMdt̃ — вектор локального пружного змiщення центра мас системи [9]; ~v = d~u/dt.
Одержане енергетичне спiввiдношення (10) дає можливiсть встановити два базовi спiв-
вiдношення локального термодинамiчного опису, а саме рiвняння Гiббса:
dE0 ≡ dU = Tds − PdV + (µ − µ(0))d(−~∇0 · ~ΠM ) + σ̂0 · dê (11)
та вираз для виникнення ентропiї (характеристику дисипативних процесiв)
σs =
1
T
{(~∇0 · σ̂ + ~f+) · ~v − σ̂∗ · (~∇0 ⊗ ~v)a + (−~∇0T ) · ~Js + [−~∇0(µ − µ(0))] · ~JM}. (12)
Виникненню ентропiї (12) вiдповiдає така диференцiальна 1-форма:
dΨ =
1
T
{(~∇0 · σ̂ + ~f+) · d~u + (−σ̂∗) · d(~∇0 ⊗ ~u)a + (−~∇0T ) · d~Πs +
+ [−~∇0(µ − µ(0))] · d~ΠM}, (13)
де Ψ =
t∫
t0
σsdt̃ — дисипативний потенцiал; ~Πs =
t∫
t0
~Jsdt̃. За потенцiального опису дисипа-
тивних процесiв диференцiальна 1-форма (13), яка є повним диференцiалом на фазовому
просторi параметрiв ~u, (~∇0⊗~u)a, ~Πs, ~ΠM , є базовою для опису дисипативних процесiв у тiлi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 67
Iзотермiчнi процеси. Надалi обмежимося розглядом iзотермiчних процесiв (T = T(0)).
За функцiю локального стану приймемо вiльну енергiю Гельмгольца F = U − T(0)S.
Тодi визначальнi спiввiдношення (11) та (13) подамо так:
dF = −Pd(ρ−1) +
1
3
σ0de + σ̂d
0 · dêd + (µ − µ(0))d(−~∇0 · ~ΠM ), (14)
dΨ =
1
T0
{(~∇0 · σ̂ + ~f+) · d~u + (−σ̂∗) · d(~∇0 ⊗ ~u)a + [−~∇0(µ − µ(0))] · d~ΠM}. (15)
Тут у базовому рiвняннi (14) σ0 = σ11 + σ22 + σ33; e = ~∇0 · ~u — об’ємна деформацiя фiзично
малої пiдсистеми; σ̂d
0 = σ̂0 − σ0Î/3 — девiатор тензора напружень σ̂0; êd = ê − eÎ/3 —
девiатор тензора деформацiї ê; Î — одиничний тензор.
В рамках потенцiального опису диференцiальна 1-форма (14) для вiльної енергiї є пов-
ним диференцiалом, який заданий на фазовому просторi параметрiв ρ−1, e, êd, −~∇0 · ~ΠM .
Така диференцiальна 1-форма є вихiдною при встановленнi рiвнянь локального термоди-
намiчного стану (фiзичнi спiввiдношення).
Рiвняння локального термодинамiчного стану. З метою конкретизацiї базових фi-
зичних спiввiдношень локального термодинамiчного стану приймемо
ρ = ρ(0)(1 − e), P = P
[
1
ρ0(1 − e)
]
, σ0 = 3Ke, (16)
де K — модуль об’ємного стиску.
В лiнiйному наближеннi диференцiальна 1-форма (14) набуває вигляду
dF =
1
3
σ∗
0de + σ̂d
0 · dêd + (µ − µ(0))d(−~∇0 · ~ΠM ). (17)
Тут введено позначення:
1
3
σ∗
0 = −
P(0)
ρ(0)
+ K∗e, K∗ = K −
2P(0)
ρ(0)
−
1
ρ2
(0)
∂P
∂(1/ρ)
∣∣∣∣
(1/ρ(0))
. (18)
За потенцiального опису локального термодинамiчного стану тiла диференцiальна
1-форма (17) є повним диференцiалом функцiї
F = F (e, êd,−~∇0 · ~ΠM ). (19)
Якщо функцiя (19) є заданою, то отримаємо такi фiзичнi спiввiдношення:
σ∗
0 = 3
∂F
∂e
= σ∗
0(B), σ̂d
0 =
∂F
∂êd
= σ̂d
0(B),
µ − µ(0) =
∂F
∂(−~∇0 · ~ΠM )
= (µ − µ(0))(B),
(20)
де B = (e, êd,−~∇0 · ~ΠM ).
Для подальшої конкретизацiї структури фiзичних спiввiдношень (20) приймемо, що
однорiдний початковий стан тiла є iзотропним i в околi цього стану вiльна енергiя F =
= F (e, êd,−~∇0 · ~ΠM ) є аналiтичною функцiєю вказаних параметрiв. Якщо обмежитись ква-
дратичним наближенням її розкладу в околi початкового стану
F = F0 −
P(0)
ρ(0)
e +
1
2
α1e
2 +
1
2
α2(−~∇0 · ~ΠM )2 +
1
2
α3(ê
d · êd) − α4e(−~∇0 · ~ΠM ), (21)
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
одержимо такi фiзичнi спiввiдношення:
1
3
σ∗
0 = −
P(0)
ρ(0)
+ K∗e − β(−~∇0 · ~ΠM ),
σ̂d
0 = 2Gêd, µ − µ(0) = α(−~∇0 · ~ΠM ) − βe,
(22)
де G — модуль зсуву, а коефiцiєнти α та β будуть α = [∂(µ − µ(0))/∂(−~∇0 · ~ΠM )]0, β =
= (1/3)[∂σ∗
0/∂(−~∇0 · ~ΠM )]0.
Тодi симетрична складова тензора напружень подається так
σ̂0 =
[
−
P(0)
ρ(0)
+ K∗e + β(~∇0 · ~ΠM )
]
Î + 2Gêd. (23)
Опис дисипативних процесiв. Поставимо у вiдповiднiсть до антисиметричних тен-
зорiв σ̂∗ та (~∇0 ⊗ ~u)a супутнi вектори
~σ∗ =
1
2
(σ23 − σ32)~e1 +
1
2
(σ31 − σ13)~e2 +
1
2
(σ12 − σ21)~e3,
~ϕ =
1
2
~∇0 × ~u =
1
2
(
∂u3
∂x2
−
∂u2
∂x3
)
~e1 +
1
2
(
∂u1
∂x3
−
∂u3
∂x1
)
~e2 +
1
2
(
∂u2
∂x1
−
∂u1
∂x2
)
~e3.
(24)
Тодi диференцiальна 1-форма (15) набуває вигляду
dΨ =
1
T(0)
{(~∇0 · σ̂ + ~f+) · d~u + (−~σ∗) · d~ϕ + [−~∇0(µ − µ0)] · d~ΠM}. (25)
Надалi вважаємо, що дисипативний потенцiал Ψ = Ψ(~u, ~ϕ, ~ΠM ) є заданим. За умов по-
тенцiального опису з формули (25) отримуємо загальну структуру вихiдних спiввiдношень
для опису дисипативних процесiв
~∇0 · σ̂ + ~f+ = T(0)
∂Ψ(B∗)
∂~u
, ~σ∗ = −T(0)
∂Ψ(B∗)
∂~ϕ
, ~∇0(µ − µ(0)) = −T(0)
∂Ψ(B∗)
∂~ΠM
, (26)
де B∗ = (~u, ~ϕ, ~ΠM ).
Подамо дисипативний потенцiал Ψ = Ψ(~u, ~ϕ, ~ΠM ) у формi полiномiальної функцiї ска-
лярних iнварiантiв параметрiв ~u, ~ϕ, ~ΠM до другого порядку включно, а саме:
I11 = (~u ⊗ ~u) · Î , I22 = (~ϕ ⊗ ~ϕ) · Î , I33 = (~ΠM ⊗ ~ΠM ) · Î ,
I12 = (~u ⊗ ~ϕ) · Î , I13 = (~u ⊗ ~ΠM ) · Î , I23 = (~ϕ ⊗ ~ΠM ) · Î .
Тодi кiнетичнi рiвняння (26) запишемо так:
~∇0 · σ̂ + ~f+ = T(0)(β1~u − γ1~ϕ − γ2
~ΠM ), ~σ∗ = −T(0)(β2~ϕ − γ1~u − γ3
~ΠM ),
~∇0(µ − µ(0)) = −T(0)(β3
~ΠM − γ2~u − γ3~ϕ).
(27)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 69
Якщо використати у кiнетичних спiввiдношеннях (27) рiвняння локального термодина-
мiчного стану (22), (23), то отримаємо ключову систему рiвнянь моделi для опису диси-
пативних процесiв
(
K∗ −
2
3
G
)
~∇0(~∇0 · ~u) + G[∆~u + ~∇0 · (~u ⊗ ~∇0)] + ~∇0 · σ̂∗ =
= T(0)β1~u − β~∇0(~∇0 · ~ΠM ) − T(0)
[
γ2
~ΠM +
γ1
2
(~∇0 × ~u)
]
− ~f+,
~σ∗ = T(0)[G
′(~∇0 × ~u) − γ1~u − γ3
~ΠM ],
α~∇0(−~∇0 · ~ΠM ) + T(0)β3
~ΠM = β~∇0(~∇0 · ~u) + T(0)
[
γ2~u +
γ3
2
(~∇0 × ~u)
]
.
(28)
Якщо iз системи (28) виключити антисиметричний тензор напружень
σ̂∗ = T(0)Є̂ · [G′(~∇0 × ~u) − γ1~u − γ3
~ΠM ], (29)
отримаємо базову систему рiвнянь для визначення вектора перемiщення ~u та вектора пруж-
ного змiщення маси ~ΠM
(
K∗−
2
3
G
)
~∇0(~∇0 · ~u)+G∆~u+~∇0 · [G(~u ⊗ ~∇0)+G′T(0)Є̂ · (~∇0×~u)−γ1T(0)(Є̂ · ~u)]+
+
1
2
T(0)γ1(~∇0×~u)=T(0)β1~u−β~∇0(~∇0 · ~ΠM )+T(0)[γ3
~∇0 · (Є̂ · ~ΠM )−γ2
~ΠM ]− ~f+,
α~∇0(−~∇0 · ~ΠM ) + T(0)β3
~ΠM = β~∇0(~∇0 · ~u) + T(0)
[
γ2~u +
1
2
γ3(~∇0 × ~u)
]
.
(30)
При цьому антисиметрична складова тензора напружень визначається спiввiдношен-
ням (29).
Для випадку модельного опису дисипативних процесiв за умов нехтування ефектiв їх
взаємовпливу ключова система рiвнянь (30) набуває вигляду
(
K∗ −
2
3
G
)
~∇0(~∇0 · ~u) + G∆~u + ~∇0 · [G(~u ⊗ ~∇0) + G′T(0)Є̂ · (~∇0 × ~u)] =
= T(0)β1~u − β~∇0(~∇0 · ~ΠM ) − ~f+,
α~∇0(−~∇0 · ~ΠM ) + T(0)β3
~ΠM = β~∇0(~∇0 · ~u).
(31)
Вiдповiдний антисиметричний тензор напружень (29) в такому наближеннi буде
σ̂∗ = T(0)Є̂ · [G′(~∇0 × ~u)]. (32)
Запропонована математична модель механiки термопружного тiла дає змогу описувати
формування приповерхневих явищ, яке пов’язується з протiканням дисипативних процесiв
при переходi системи вiд рiвноважного стану до стацiонарного. При цьому враховується
параметрична залежнiсть фiзичних спiввiдношень вiд параметрiв природного початкового
стану.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Одержанi результати є базовими для постановки та розв’язування крайових задач тер-
момеханiки пружних систем з урахуванням ефектiв приповерхневої неоднорiдностi.
Робота виконана за часткової пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень
Мiнiстерства науки та освiти України.
1. Третьяченко Г.Н., Карпинос Б. C. Прочность и долговечность материалов при циклических тепло-
вых воздействиях. – Киев: Наук. думка, 1990. – 256 с.
2. Третьяченко Г.Н., Карпинос Б. C., Барило В. Г. Разрушение материалов при циклических нагре-
вах. – Киев: Наук. думка, 1993. – 288 с.
3. Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика. – Москва: Наука, 1982. – 584 с.
4. Грiффiтс А.А. Явища розриву i течiння в твердих тiлах // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. – 1993. –
29, № 3. – С. 13–42.
5. Бурак Я.Й., Чапля Є.Я. Про термодинамiчнi аспекти приповерхневих явищ у термопружних систе-
мах // Там само. – 2006. – 42, № 1. – С. 39–44.
6. Бурак Я.Й., Грицина О.Р., Нагiрний Т.С. Про один пiдхiд до врахування приповерхневої неоднорi-
дностi в термомеханiцi твердих розчинiв // Доп. НАН України. – 1991. – № 11. – С. 47–51.
7. Бурак Я.Й., Чапля Є.Я., Кондрат В.Ф. та iн. Фiзико-математичне моделювання та дослiдження
нерiвноважних процесiв у деформiвних локально-неоднорiдних багатокомпонентних твердих тiлах //
Бiблiотека державного фонду фундаментальних дослiджень. – Київ: Академперiодика, 2005. – С. 103–
119.
8. Бурак Я.Й., Чапля Є.Я., Кондрат В.Ф., Грицина О.Р. Математичне моделювання термомеханiчних
процесiв у пружних тiлах iз врахуванням локального змiщення маси // Доп. НАН України. – 2007. –
№ 6. – С. 45–49.
9. Бурак Я.Й. Визначальнi спiввiдношення локально градiєнтної термомеханiки // Доп. АН УРСР.
Серiя А. – 1987. – № 12. – С. 19–23.
10. Бурак Я.Й. Локально градiєнтнi моделi термопружностi для тiл з мiкродефектами // Фiз.-хiм. ме-
ханiка матерiалiв. – 1996. – № 2. – С. 15–23.
Надiйшло до редакцiї 11.02.2008Центр математичного моделювання Iнституту
прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5909 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:39:16Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бурак, Я.Й. Мороз, Г.І. Бойко, З.В. 2010-02-11T12:00:02Z 2010-02-11T12:00:02Z 2008 Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ / Я.Й. Бурак, Г. I. Мороз, З.В. Бойко // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 65-71. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5909 539.3 A mathematical model of the mechanics of thermoelastic bodies is proposed for the description of near-surface phenomena which are related to dissipative processes under the system transition from the equilibrium state to a stationary one. In this case, the parametric dependence of the constitutive equations on the initial (natural) state parameters is taken into account. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ Article published earlier |
| spellingShingle | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ Бурак, Я.Й. Мороз, Г.І. Бойко, З.В. Механіка |
| title | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ |
| title_full | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ |
| title_fullStr | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ |
| title_full_unstemmed | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ |
| title_short | Математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ |
| title_sort | математична модель термомеханіки з урахуванням дисипативних процесів при формуванні приповерхневих явищ |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5909 |
| work_keys_str_mv | AT burakâi matematičnamodelʹtermomehaníkizurahuvannâmdisipativnihprocesívpriformuvannípripoverhnevihâviŝ AT morozgí matematičnamodelʹtermomehaníkizurahuvannâmdisipativnihprocesívpriformuvannípripoverhnevihâviŝ AT boikozv matematičnamodelʹtermomehaníkizurahuvannâmdisipativnihprocesívpriformuvannípripoverhnevihâviŝ |