Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури
The asymptotic stability of a solution of the linear system with structural perturbation is studied. An application of the obtained results is illustrated.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5910 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури / О. I. Двiрний, I.Л. Iванов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 72-74. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859799982356299776 |
|---|---|
| author | Двірний, О.І. Іванов, І.Л. |
| author_facet | Двірний, О.І. Іванов, І.Л. |
| citation_txt | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури / О. I. Двiрний, I.Л. Iванов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 72-74. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The asymptotic stability of a solution of the linear system with structural perturbation is studied. An application of the obtained results is illustrated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 536
© 2008
О. I. Двiрний, I. Л. Iванов
Достатнi умови стiйкостi лiнiйних iмпульсних систем
змiнної структури
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А.А. Мартинюком)
The asymptotic stability of a solution of the linear system with structural perturbation is studied.
An application of the obtained results is illustrated.
Розглянемо лiнiйну систему з iмпульсною дiєю вигляду
du(t)
dt
= Pσ(t)u(t), u(t0) = u0, t 6= τk,
u(t+) = Qσ(t)u(t), t = τk,
(1)
де u ∈ K ⊂ R
n — вектор стану системи; u(t+) — значення функцiї u(t) справа; σ(t) —
кусково-стала функцiя з цiлими значеннями. Нехай S1 i S2 — деякi скiнченнi або нескiнченнi
множини матриць, причому Pσ(t) ∈ S1, Qσ(t) ∈ S2. Цi множини називаються структурними
множинами системи (1), а сама система (1) називається системою зi змiнною структурою.
Розглянемо задачу про стiйкiсть лiнiйної системи змiнної структури (1), виходячи з та-
ких додаткових припущень:
1) елементи множини S1 — квазiмонотоннi матрицi вiдносно конуса K;
2) елементи множини S2 — монотоннi матрицi вiдносно конуса K;
3) моменти iмпульсної дiї {τk}
∞
k=1 задовольняють нерiвнiсть
0 < θ1 < τk+1 − τk < θ2 < ∞;
4) множини S1 i S2 скiнченнi, iнтервали [τk, τk+1) є iнтервалами сталостi функцiї σ(t),
послiдовностi матриць Pk, Qk є s-перiодичними.
Означення 1. Множина K ⊂ R
n називається (тiлесним) конусом, якщо вона задоволь-
няє такi умови:
1) якщо u ∈ K, λ > 0, то λu ∈ K; якщо u ∈ K, v ∈ K, то u + v ∈ K;
2) якщо u ∈ K, −u ∈ K, то u = 0;
3) K0 6= ∅, K = K.
Крiм того, введемо спряжений з K конус
K⋆ ⊂ R, K⋆ = {ϕ : (ϕ, u) > 0 при всiх u ∈ K}.
Вiдомо [1, 3], що K⋆⋆ = K.
Означення 2 [3, 4]. Лiнiйний оператор Q називається позитивним вiдносно конуса K,
якщо з умови u ∈ K випливає, що Q(u) ∈ K.
Означення 3 [3, 4]. Лiнiйний оператор P називається квазiмонотонним вiдносно кону-
са K, якщо з умови u ∈ K i (ϕ, u) = 0 при деякому ϕ ∈ K⋆ випливає, що (ϕ,P (u)) > 0.
Означення 4 [5]. Система (1) називається позитивною вiдносно конуса K, якщо з умови
u(t0) = u0 ∈ K випливає, що u(t) ∈ K при всiх t > t0.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
Означення 5 [5]. Розв’язок u = 0 системи (1) називається стiйким вiдносно конуса K,
якщо для всiх t0 > 0, ε > 0 iснує δ(ε, t0) таке, що з умови u0 ∈ Kδ
⋂
K випливає, що
u(t) ∈ Kε
⋂
K при всiх t > t0. Якщо, крiм того, u(t) → 0 при t → ∞, то розв’язок u = 0
називається асимптотично стiйким вiдносно конуса K.
Надалi розглянемо випадок, коли K є прямим добутком скiнченного числа напiвпрямих.
Нехай S ⊂ K — довiльна пiдмножина конуса K. Пiд лiнiйною комбiнацiєю елементiв
з S будемо розумiти суму
∑
x∈S
axx, ax > 0, {ax} — множина невiд’ємних чисел з R, майже
всi з яких дорiвнюють нулю.
Нехай K(S) — замикання множини всiх таких лiнiйних комбiнацiй. Тодi K(S) — конус
в R
n i K(S) ⊂ K.
Множина τ , для якої K(τ) ⊂ K, називається системою твiрних конуса K. Множина τ
скiнченна, оскiльки конус K є прямим добутком скiнченного числа напiвпрямих. Позначимо
τ⋆ систему твiрних конуса K⋆. Множина τ⋆ скiнченна, якщо iснує скiнченна множина τ .
Введемо множину M ⊂ τ⋆ × τ
M = {(ϕ, u) : (ϕ, u) ∈ τ⋆ × τ, (ϕ, u) 6= 0}
i постiйнi
βi =
min
M
(ϕ,Piu)
(ϕ, u)
, якщо iснує (ϕ0, u0) ∈ M, (ϕ0, Piu0) < 0;
0, якщо при всiх (ϕ0, u0) ∈ M, (ϕ0, Piu0) > 0.
Лема [6]. Якщо оператор Pi квазiмонотонний вiдносно конуса K, то оператор P ′
i =
= Pi − βiI, де I — одиничний оператор, монотонний вiдносно конуса K.
Введемо матрицю B, яка є аналогом матрицi Флоке для системи (1)
B = (e(Ps+1θ2+βs+1(θ1−θ2)IQs · · · · · e
(P2θ2+β2(θ1−θ2)IQ1).
Тодi умови асимптотичної стiйкостi можна сформулювати у виглядi такого твердження.
Теорема. Нехай система (1) така, що виконуються всi умови припущення i, крiм
того,
ρ(B) < 1
та стан рiвноваги (1) асимтотично стiйкий.
Доведення. Вiдомо [7], що розв’язок системи (1) може бути поданий у виглядi
u(t) = Ωt0
t u0, t > 0, (2)
де Ωt0
t — матрицант системи. Припустимо, що t ∈ [τk, τk+1], k = ms + r, 0 6 r < s, тодi
матрицант системи (1) можна зобразити у виглядi
Ωt0
t = ePk+1(t−τk)Qk+1e
Pk(τk−τk−1)Qk · · · e
P2(τ2−τ1)Q1e
P1(τ1−t0) =
= ePk+1(t−τk)Qk+1e
(P ′
k
+βkI)(τk−τk−1)Qk · · ·Q1e
(P ′
1+β1I)(τ1−t0) =
= ePk+1(t−τk)Qk+1e
(P ′
k
+βkI)(τk−τk−1)Qk−1 · · · e
(Ps+1+βkI)(τs+1−τs)Qs(e
(P ′
s+βsI)(τs−τs−1) · · ·
· · · e(P ′
2
+β2I)(τ2−τ1)Q1e
P1(τ1−t0)
6 ePk+1(t−τk)Qk+1e
Pkθ2+βk(θ1−θ2)IQk−1 · · ·
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 73
· · · ePms+2θ2+βms+2(θ1−θ2)IQms+1(e
(Ps+1θ2+βs+1(θ1−θ2)IQs · · ·
. . . e(P2θ2+β2(θ1−θ2)IQ1)
meP1(τ1−t0).
Враховуючи умову теореми та замкненiсть K, переходячи до границi в (2) при t → ∞,
прийдемо до висновку, що u(t) → 0 при t → ∞. Звiдки випливає асимптотична стiйкiсть
розв’язку u = 0 системи (1). Теорему доведено.
П р и к л ад . Розглянемо лiнiйну систему зi структурними збуреннями
du
dt
= Piu, t 6= τi,
u(t+) = Qiu(t), t = τi,
(3)
де u — вектор стану системи, оператори Pi, Qi перiодичнi з перiодом 3, Pi = Pi+3, Qi = Qi+3,
i = 1, 2, . . ..
P1 =
(
0,1 0,1
0,5 0,1
)
, P2 =
(
1 2
1 1
)
, P3 =
(
0,1 0,09
0,1 0,01
)
,
Q1 =
(
0,1 0,05
0,2 1
)
, Q2 =
(
0,1 0,05
0,05 0,01
)
, Q3 =
(
1 0,3
1 0,02
)
, 0, 9 6 τi+1 − τi 6 1,1.
Стан рiвноваги u = 0 системи (3) асимптотично стiйкий, оскiльки для цiєї системи ρ(B) = 0,92.
Вiдзначимо, що вiдомi умови стiйкостi [8] не дозволяють встановити умови стiйкостi
стану рiвноваги системи (3), оскiльки максимальна дiйсна частина власних значень матри-
цi A2 неперервної компоненти дорiвнює 2,4, а спектральний радiус матрицi B3 дискрет-
ної компоненти — 1,24. Таким чином, запропонований пiдхiд дозволяє встановити умови
асимптотичної стiйкостi стану рiвноваги лiнiйної системи зi структурними збуреннями, коли
матрицi неперервної та дискретної компоненти системи можуть мати спектральнi радiуси
бiльшi 2 та бiльшi 1 вiдповiдно.
1. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. – Москва: Наука,
1985. – 256 с.
2. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве
Банаха // Успехи мат. наук. – 1948. – 3, вып. 1 (2, 3). – С. 3–95.
3. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения. – Киев:
Наук. думка, 1991. – 244 с.
4. Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений систем сравнения // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1979. –
№ 8. – С. 604–611.
5. Мартынюк А.А., Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского //
Дифференц. уравнения. – 1980. – № 8. – С. 1392–1407.
6. Двирный А.И., Слынько В.И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса //
Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 42–48.
7. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
8. Гладилика Р.И., Гладилика А.А. Об устойчивости импульсных систем с переключателями // Тез.
докл. Восьмой Крымской междунар. математ. школы «Метод функций Ляпунова и его приложе-
ния». – Алушта, 2006. – 45 с.
Надiйшло до редакцiї 21.01.2008Академiя пожежної безпеки iм. Героїв Чорнобиля,
Черкаси
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5910 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:13Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Двірний, О.І. Іванов, І.Л. 2010-02-11T12:01:43Z 2010-02-11T12:01:43Z 2008 Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури / О. I. Двiрний, I.Л. Iванов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 72-74. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5910 536 The asymptotic stability of a solution of the linear system with structural perturbation is studied. An application of the obtained results is illustrated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури Article published earlier |
| spellingShingle | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури Двірний, О.І. Іванов, І.Л. Механіка |
| title | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури |
| title_full | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури |
| title_fullStr | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури |
| title_full_unstemmed | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури |
| title_short | Достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури |
| title_sort | достатні умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5910 |
| work_keys_str_mv | AT dvírniioí dostatníumovistíikostílíníinihímpulʹsnihsistemzmínnoístrukturi AT ívanovíl dostatníumovistíikostílíníinihímpulʹsnihsistemzmínnoístrukturi |