Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода
Предложено развитие метода модового базиса для анализа во временной области геометрически регулярного, поперечно неоднородного волновода с многосвязным поперечным сечением. В частности, полученное обобщение метода позволяет рассматривать задачи распространения нестационарных электромагнитных волн в...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59636 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода / Ю.А. Бутрым, Б.А. Кочетов // Радиофизика и радиоастрономия. — 2009. — Т. 14, № 2. — С. 162–173. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860234921970237440 |
|---|---|
| author | Бутрым, А.Ю. Кочетов, Б.А. |
| author_facet | Бутрым, А.Ю. Кочетов, Б.А. |
| citation_txt | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода / Ю.А. Бутрым, Б.А. Кочетов // Радиофизика и радиоастрономия. — 2009. — Т. 14, № 2. — С. 162–173. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложено развитие метода модового базиса для анализа во временной области геометрически регулярного, поперечно неоднородного волновода с многосвязным поперечным сечением. В частности, полученное обобщение метода позволяет рассматривать задачи распространения нестационарных электромагнитных волн в квази-ТЕМ-линиях с поперечной магнитодиэлектрической неоднородностью
Пропонується схема метода модового базису для аналізу в часовій області геометрично регулярного, поперечно неоднорідного хвилеводу з багатозв’язним перерізом. Зокрема, отримане узагальнення методу дозволяє розглядати задачі поширення електромагнітних хвильв квазі-ТЕМ-лініях з поперечною магнітодіелектричною неоднорідністю.
Numerical simulations have been made of decametric wave Doppler shift and a focusing
factor due to cnoidal waves of electron concentration progressing in the terrestrial ionosphere. The solutions of the Korteweg–de Vries equation are used to model the nonlinear waves. The nonlinear wave parameters (the relative amplitude of electron concentration.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:22:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2, с. 162-173
© А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов, 2009
УДК 621.372.8.01
Метод модового базиса во временной области
для волновода с поперечно неоднородным многосвязным
сечением. 1. Общая теория метода
А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов
Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина,
пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
E-mail: abutrym@ya.ru, bkochetov@bk.ru
Статья поступила в редакцию 25 февраля 2009 г.
Предложено развитие метода модового базиса для анализа во временной области геометри-
чески регулярного, поперечно неоднородного волновода с многосвязным поперечным сечением.
В частности, полученное обобщение метода позволяет рассматривать задачи распространения
нестационарных электромагнитных волн в квази-ТЕМ-линиях с поперечной магнитодиэлектри-
ческой неоднородностью.
1. Введение
Для анализа нестационарных полей в одно-
родных многосвязных волноводах с идеально
проводящими стенками в работе [1] был пред-
ложен метод разложения по волноводным
модам во временной области. Позднее в [2-4]
этот подход был формализован в рамках ме-
тода эволюционных волноводных уравнений.
В работах [1, 2] для разложения полей ис-
пользовался модовый базис для пустого вол-
новода, который идентичен известным модам
в частотной области. При этом учет зависи-
мости диэлектрической и магнитной прони-
цаемостей от поперечных координат волно-
вода осуществляется при помощи вторичных
источников (индуцированных токов и заря-
дов), зависящих от поля. Недостатком тако-
го подхода к анализу поперечно неоднород-
ных волноводов является медленная сходи-
мость модового разложения, так как каждая
мода в отдельности не удовлетворяет необ-
ходимым условиям на границах неоднород-
ности. В последующих работах [3, 4] было
предложено осуществлять включение мате-
риальных параметров поперечной неоднород-
ности в задачу получения модового базиса.
Диэлектрическая и магнитная проницаемости
при этом имеют факторизованную зависимость
от поперечных координат, от продольной коор-
динаты и времени и определяются в виде:
( , ) ( ) ( , ),⊥ ⊥=r t r z tε ε ε ( , ) ( ) ( , ),⊥ ⊥=r t r z tμ μ μ
где 0 ,⊥=r r z z+ r – радиус-вектор, z – про-
дольная координата, t – время. Однако в [3, 4]
рассмотрены только односвязные волноводы.
В настоящей статье проведено дальнейшее
обобщение работ [3, 4] на случай волноводов
с многосвязным сечением, в которых возможно
существование квази-ТЕМ мод.
В первой части статьи приводится вывод
основных уравнений. Вторая будет посвящена
численной реализации метода и сравнению
результатов расчета распространения импульс-
ного сигнала в простейшей поперечно неод-
нородной ТЕМ-линии с численными результа-
тами, которые получены методом конечных
разностей во временной области (FDTD). На
рассмотренном численном примере будет по-
казана быстрая сходимость предложенного
модового разложения.
Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением...
163Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
2. Модовый базис для поперечно
неоднородных многосвязных
волноводов
2.1. Уравнения Максвелла
и материальные уравнения
Рассмотрим волновод с многосвязным
поперечным сечением, ограниченным идеаль-
но проводящими стенками, с неоднородным
и нестационарным магнитодиэлектрическим
заполнением (рис. 1). Электромагнитное поле
в рассматриваемой структуре описывается
следующей системой уравнений Максвелла:
0rot ,= ∂ + +t σH D J J rot ,− = ∂tE B
(1)
0div ,= +σρ ρD div 0.=B
Здесь σJ и 0J определяют плотности токов
проводимости и сторонних токов соответст-
венно, а σρ и 0ρ – плотности зарядов проводи-
мости и сторонних зарядов.
Материальные уравнения записываются
в следующем виде:
0 0( ) ( ) ( ),′= + = +D E E P E E P Eε ε ε
0( ) ( ),′= +ε αP E E P E
1 ;= +ε α
(2)
( )0 0 0( ) ( ) ( ),′= + = +B H H M H H M Hμ μ μ μ
( ) ( ),′= +χM H H M H
1 .= +μ χ
Здесь 0ε и 0μ – электрическая и магнитная
постоянные. В материальных уравнениях вы-
делены линейные части диэлектрической и
магнитной проницаемостей среды, которые
представляются в виде факторизованных функ-
ций координат и времени:
( , ) ( ) ( , ),⊥ ⊥=r t r z tε ε ε
(3)
( , ) ( ) ( , ).⊥ ⊥=r t r z tμ μ μ
Учет нелинейности и неоднородности бо-
лее общего вида может быть осуществлен
с помощью индуцированных токов, зависящих
от полного поля (слагаемые со штрихами
в (2)). Введем обозначение для полных токов
и зарядов (электрических и магнитных):
Рис. 1. Геометрия задачи
А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов
164 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
0 ,′= ∂ + +t σJ P J J 0div ,′ρ = − + +σρ ρP
div 0;+ ∂ =tρJ
(4)
0
ˆ ,′= ∂tμJ M
0ˆ div ,′= −ρ μ M
ˆ ˆdiv 0.+ ∂ =tρJ
Используя материальные уравнения (2)
с учетом (3) и обозначений для полных токов
(4), получим систему уравнений Максвелла
в следующем виде:
( )0rot ,⊥= ∂ +t ε ε εH E J
(5)
( )0
ˆrot ,t ⊥− = ∂ +E H Jμ μ μ
( )0div ,⊥ =ε ε ε ρE ( )0 ˆdiv .⊥ =μ μ μ ρH (6)
На стенках контуров, ограничивающих по-
перечное сечение волновода, выполняются
граничные условия, соответствующие идеаль-
ному электрическому проводнику:
0,⋅ =
L
l E 0,⋅ =
L
n H 0 0,⋅ =
L
z E (7)
где n – нормаль к поверхности волновода, l –
касательный орт контура L, 0z – орт оси вол-
новода.
2.2. Нормально-тангенциальная форма
уравнений Максвелла
Для дальнейшего рассмотрения введем
нормально-тангенциальное разложение для
всех используемых векторов и оператора Га-
мильтона:
0 ,= + zE z EE 0 ,= + zH z HH
(8)
0 ,= + zJ z JJ 0
ˆ ˆ ˆ ,= + zJ z JJ 0 .⊥= + ∂zz∇ ∇
В дальнейших выкладках будет также исполь-
зован следующий векторный оператор:
[ ] [ ]0 0⊥ ⊥× ⋅ = − × ⋅ =z A z A∇ ∇
0 0 .⊥ ⊥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ × = ⋅ ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦z A A z∇ ∇ (9)
Запишем уравнения (6) в нормально-танген-
циальной форме:
( ) ( ) 1
0 ,−
⊥ ⊥ ⊥∂ = − ⋅ +z zE Eε ε ∇ ε ε ε ρ
(10)
( ) ( ) 1
0 ˆ.
−
⊥ ⊥ ⊥∂ = −∇ ⋅ +z zH Hμ μ μ μ μ ρ
Проекция уравнений (5) на ось волновода дает:
( ) [ ]0 0 ,⊥ ⊥∂ = − × ⋅ −t z zE z H Jε ε ε ∇
(11)
( ) [ ]0 0
ˆ .⊥ ⊥∂ = × ⋅ −t z zH z E Jμ μ μ ∇
Проецируя уравнения (5) на поперечное на-
правление и исключая продольные компонен-
ты полей с помощью (10) и (11), получаем из
исходных уравнений первого порядка следую-
щие уравнения второго порядка относительно
поперечных компонент полей:
1 1
0
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⎡ ⎤× ⋅ =⎣ ⎦z Hε ∇ μ ∇ μ
( ){ }1 1
0 0
− −
⊥ ⎡ ⎤= ∂ ∂ + ∂ × +⎣ ⎦z t zE H zμ μ ε ε ε
{ }1 1 1 1
0 0 ˆ ,− − − −
⊥ ⊥ ⊥⎡ ⎤+ ∂ + ×⎣ ⎦z J zε μ μ ∇ μ μ ρ (12)
1 1
0
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⎡ ⎤× ⋅ =⎣ ⎦z Eμ ∇ ε ∇ ε
( ){ }1 1
0 0
− −
⊥ ⎡ ⎤= ∂ ∂ + ∂ × +⎣ ⎦z t zH z Eε ε μ μ μ
{ }1 1 1 1
0 0
ˆ ,− − − −
⊥ ⊥ ⊥⎡ ⎤+ ∂ + ×⎣ ⎦z J zμ ε ε ∇ ε ε ρ (13)
Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением...
165Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
[ ]1
0
−
⊥ ⊥ ⊥× ⋅ =z E∇ μ ∇
( ){ }0 0 0 0⊥ ⎡ ⎤= −∂ ∂ + ∂ × −⎣ ⎦t z tH z Eμ μ ε μ ε ε
{ }1
0 0
ˆ ,−
⊥ ⊥⎡ ⎤− ∂ × +⎣ ⎦t zz J Jμ μ ∇ μ (14)
[ ]1
0
−
⊥ ⊥ ⊥ × ⋅ =z H∇ ε ∇
( ){ }0 0 0 0⊥ ⎡ ⎤= −∂ ∂ + ∂ × −⎣ ⎦t z tE H zε ε ε μ μ μ
{ }1
0 0
ˆ .−
⊥ ⊥
⎡ ⎤− + ∂ ×⎢ ⎥⎣ ⎦z tJ J z∇ ε ε ε (15)
Граничные условия (7), записанные в нормаль-
но-тангенциальной форме, с учетом (10), (11)
и дополнительным ограничением, состоящим
в отсутствии сторонних зарядов и сторонних
продольных электрических токов на стенках
волновода, приводят к следующим условиям:
0,⋅ =
L
l E 0,⋅ =
L
n H
(16)
( ) 0,⊥ ⊥⋅ =
L
E∇ ε 0[ ] 0.⊥ ⋅ × =
L
H z∇
2.3. Выделение линейных операторов
для постановки граничной задачи
Уравнения (12), (14) и (13), (15) объединим
попарно, выделив операции дифференцирова-
ния по поперечным координатам:
( ){ } { }
( ){ } { }
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0
ˆ
, (17)
ˆ
− − − − − −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ + ∂ × + ∂ + ×∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤−∂ ∂ + ∂ × − ∂ × +∇⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
z t z z
H
t z t t z
E H z J z
W X
H z E z J J
μ μ ε ε ε ε μ μ μ μ ρ
μ μ ε μ ε ε μ μ μ
( ){ }
( ){ } { }
1
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0
ˆ
. (18)
ˆ
t z t z t
E
z t z z
E H z J J z
W X
H z E J z
−
⊥ ⊥ ⊥
− − − − − −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞⎧ ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤−∂ ∂ + ∂ × − ∇ + ∂ ×⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎭⎜ ⎟=
⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ + ∂ × + ∂ + ∇ ×⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
ε ε ε μ μ μ ε ε ε
ε ε μ μ μ μ ε ε ε ε ρ
Здесь введено обозначение col( , )=X E H для
четырехмерного вектора, составленного из
поперечных компонент электрического и маг-
нитного полей. Операторы дифференцирования
по поперечным координатам HW и EW опре-
делены следующим образом:
=HW X
[ ]
1 1
0
1
0
0
0
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞⎡ ⎤× ⋅ ⎛ ⎞⎣ ⎦⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟× ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠
z E
Hz
ε ∇ μ ∇ μ
∇ μ ∇
[ ]
1 1
0
1
0
,
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞⎡ ⎤× ⋅⎣ ⎦⎜ ⎟=
⎜ ⎟× ⋅⎝ ⎠
z H
z E
ε ∇ μ ∇ μ
∇ μ ∇
(19)
=EW X
[ ]1
0
1 1
0
0
0
−
⊥ ⊥ ⊥
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞× ⋅ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤× ⋅ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
z E
z H
∇ ε ∇
μ ∇ ε ∇ ε
[ ]1
0
1 1
0
.
−
⊥ ⊥ ⊥
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞× ⋅
⎜ ⎟=
⎜ ⎟⎡ ⎤× ⋅⎣ ⎦⎝ ⎠
z H
z E
∇ ε ∇
μ ∇ ε ∇ ε
(20)
А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов
166 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
Введенные линейные операторы ,HW EW
определены на множестве четырехмерных
вещественных векторов, у которых двухмер-
ные компоненты E и H удовлетворяют гра-
ничным условиям (16). Вводя в этом линей-
ном пространстве скалярное произведение по
правилу
( )d⊥ ⊥= ⋅ + ⋅∫1 2 1 2 1 2
1
2( , ) ,
S
SX X E E H H Sε μ (21)
получим Гильбертово пространство 4
2 ( , )L S γ
четырехмерных векторных функций, опреде-
ленных на S, удовлетворяющих граничным
условиям (16) и квадратично интегрируемых
с весом { , }.⊥ ⊥=γ ε μ С помощью аналога фор-
мулы Грина:
( )⊥ ⊥ ⊥ ⊥⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∫ d
S
A f B B f A S∇ ∇ ∇ ∇
( )( ) ( )( ) ,⊥ ⊥⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦∫ d
L
n A B n B A f l∇ ∇
(22)
и граничных условий (16) можно показать
симметричность операторов ,HW EW отно-
сительно введенного скалярного произведения
(21), т. е. для любых 1,X 2X из 4
2 ( , )L S γ
1 2 1 2( , ) ( , ),=H HW X X X W X
(23)
1 2 1 2( , ) ( , ).=E EW X X X W X
Дальнейшие рассуждения описывают раз-
биение пространства решений на Н-, Е- и
Т-волны и метод построения базиса для них.
Такое рассмотрение не претендует на полно-
ту и строгость, так как мы предполагаем бес-
конечную дифференцируемость используемых
функций и не вводим в рассмотрение обоб-
щенные функции, считая при этом, что вве-
денные операторы действуют из 4
2 ( , )L S γ в
4
2 ( , ).L S γ
Обозначим область значений оператора
HW как ,HL ортогональным дополнением
к этому линейному подпространству в 4
2L будет
служить ядро оператора ,HW т. е. получаем
разбиение 4
2 Ker .= ⊕H HL L W Аналогично
для оператора EW получаем 4
2 Ker ,E
EL L W= ⊕
где EL – область значений .EW Несложно
показать, что Ker⊂H EL W и Ker .⊂E HL W
Тогда пространство 4
2 ( , )L S γ может быть раз-
ложено в прямую сумму трех ортогональ-
ных подпространств: 4
2 ( , ) .= ⊕ ⊕H E TL S L L Lγ
Здесь введено подпространство ,TL являю-
щееся пересечением ядер рассматриваемых
операторов Ker Ker .= ∩T H EL W W В даль-
нейшем будет показано, что введенные под-
пространства соответствуют полям волн Н-,
Е- и Т-типа соответственно.
2.4. Построение модового базиса
Собственные функции оператора ,HW
в силу его симметричности, будут образовы-
вать ортогональный базис в его области зна-
чений .HL Из-за блочной структуры оператора
с нолями на диагонали его собственные зна-
чения будут симметричны относительно ноля,
т. е. если 2
mp является собственным значе-
нием, соответствующим собственному векто-
ру col( , ),=m m mX E H то и 2− mp будет собствен-
ным значением, причем ему будет соответство-
вать собственный вектор col( , ).m m mX E H− = −
В конечном итоге нас интересует разложение
полей E и H по модам. Так как собственные
функции для E и ,H соответствующие поло-
жительной и отрицательной части спектра,
очевидно, линейно зависимы, то в дальнейшем
мы ограничимся рассмотрением только поло-
жительной части спектра. Отсюда и запись
собственных значений в виде квадратов 2( ).mp
Итак, задача на собственные значения для
оператора HW приводит к следующей вектор-
ной граничной задаче:
2 ,=H H
H m m mW X p X
(24)
[ ]
1 1 2
0
1 2
0
,
,
0, 0,
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥
⎧⎡ ⎤× ⋅ =⎣ ⎦⎪⎛ ⎞ ⎪= ⇒ × ⋅ =⎜ ⎟ ⎨⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠
⋅ = ⋅ =⎪⎩
H H
m m m
H
mH H H
m m m mH
m H H
m mL L
z H p E
E
X z E p H
H
l E n H
ε ∇ μ ∇ μ
∇ μ ∇
Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением...
167Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
где H
mX – собственная функция оператора
,HW а 2
mp – соответствующее ей собствен-
ное число. Задачу можно привести к скаляр-
ной, введя скалярные потенциалы ,HmΦ H
mΨ
следующим образом:
1 1
0 ,
− −
⊥ ⊥⎡ ⎤= ×⎣ ⎦
H H
m m mE p zε ∇ Φ 1 .−
⊥=H H
m m mH p ∇ Ψ
(25)
Подстановка (25) в (24), сводит исходную
векторную задачу к следующей скалярной
граничной задаче на собственные значения
с условиями Неймана на границе S:
2
1 2
0,
0,
0, 0.
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎧ ⋅ + =
⎪
⋅ + =⎪
⎨
∂ ∂⎪ = =⎪ ∂ ∂⎩
H H
m m m
H H
m m m
H H
m m
L L
p
p
n n
∇ μ ∇ Ψ μ Φ
∇ ε ∇ Φ μ Ψ
Φ Ψ
(26)
Подставив выражения для собственных функ-
ций в виде (25) или (24) в (10) и (11), можно
убедиться, что для поля с поперечными ком-
понентами ,HmE H
mH продольная компонента
электрического поля в отсутствие источников
оказывается нулевой, 0.≡HzE Таким образом,
поперечные компоненты полей из HL следует
отождествлять с Н-волнами.
Аналогичным образом строится базис и
в EL подпространстве. Векторная задача
на собственные значения для оператора EW
имеет вид:
2 ,=E E
E n n nW X q X
(27)
[ ]1 2
0
1 1 2
0
,
,
0, 0.
−
⊥ ⊥ ⊥
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎧ × ⋅ =⎪⎛ ⎞ ⎪⎡ ⎤= ⇒ × ⋅ =⎜ ⎟ ⎨⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠
⋅ = ⋅ =⎪⎩
E E
n n n
E
nE E E
n n n nE
n E E
n nL L
z H q E
E
X z E q H
H
l E n H
∇ ε ∇
μ ∇ ε ∇ ε
Введение скалярных потенциалов ,EnΨ ,EnΦ
1 ,−
⊥=E E
n n nE q ∇ Ψ 1 1
0 ,− −
⊥ ⊥⎡ ⎤= ×⎣ ⎦
E E
n n nH q zμ ∇ Φ
(28)
сводит (27) к скалярной граничной задаче на
собственные значения с условиями Дирихле
на границе S:
1 2
2
0,
0,
0, 0.
−
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎧∇ ⋅ ∇ + =⎪⎪∇ ⋅ ∇ + =⎨
⎪ = =⎪⎩
E E
n n n
E E
n n n
E E
n nL L
q
q
μ Φ ε Ψ
ε Ψ ε Φ
Ψ Φ
(29)
Подставив выражения для этих собственных
функций в виде (27) или (28) в (10) и (11),
можно убедиться, что для таких поперечных
компонент продольная компонента магнитно-
го поля в отсутствие источников оказывает-
ся нулевой, 0.≡EzH Поэтому поперечные ком-
поненты полей из EL следует отождествлять
с Е-волнами.
Для построения базиса в подпространстве
TL рассмотрим совместно задачи (24) и (27)
при нулевом собственном значении (соответ-
ствующем ядру оператора):
0,
0,
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
T
H k
T
E k
W X
W X
(30)
0
0
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∪
T
T k
k T
k
E
X
H
[ ]
[ ]
1 1
0
1
0
1 1
0
1
0
0,
0,
0;
0,
0,
0.
T
k
T
k
T
k L
T
k
T
k
T
k L
z E
z E
l E
z H
z H
n H
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥
− −
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
−
⊥ ⊥ ⊥
⎧⎡ ⎤× ⋅ =⎣ ⎦⎪⎪ × ⋅ =⎨
⎪
⋅ =⎪⎩⇒
⎧⎡ ⎤× ⋅ =⎣ ⎦⎪⎪ × ⋅ =⎨
⎪
⋅ =⎪⎩
μ ∇ ε ∇ ε
∇ μ ∇
ε ∇ μ ∇ μ
∇ ε ∇
А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов
168 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
Проведя рассуждения аналогичные изложен-
ным в [2], можно показать, что каждая из под-
систем (30) имеет ровно 1−N линейно незави-
симых решений, где N – количество контуров,
ограничивающих S. Для получения этих реше-
ний введем скалярные потенциалы T
kΦ и :TkΨ
,⊥=T T
k kE ∇ Φ 1
0 .−
⊥ ⊥⎡ ⎤= ×⎣ ⎦
T T
k kH z μ ∇ Ψ
(31)
Подставляя (31) в (30), получим две неодно-
родные граничные задачи Дирихле:
10, 0,
; ;
−
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⎧ ⎧∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ =⎪ ⎪
⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩j j
T T
k k
T j T j
k k k kL L
c d
ε Φ μ Ψ
Φ Ψ (32)
где j
kc и j
kd – произвольные константы на j-м
контуре L. Для получения 1−N линейно неза-
висимых решений удобно взять 0,=Nkc jk kjc = δ
для , 1, 1= −k j N и аналогично для .jkd
Подставив выражения для поперечных
компонент в виде (31) в (10) и (11), с учетом
(32) несложно убедиться, что полученные ба-
зисные функции для TL соответствуют нуле-
вым продольным компонентам полей и могут
быть отождествлены с Т-волнами, а также
с электростатическим и магнитостатическим
решением для рассматриваемого волновода
с многосвязным сечением (статические
решения могут быть представлены суперпо-
зицией встречных Т-волн).
2.5. Условия ортогональности
В силу отмеченной симметричности спект-
ров операторов, т. е. благодаря тому что и
col( , )=m m mX E H и col( , )− = −m m mX E H яв-
ляются элементами базиса, вместо разложе-
ния четырехмерных векторов X можно прово-
дить разложения E и H по отдельности, т. е.
рассматривать 4
2 ( , )L S γ как внешнее произве-
дение подпространств для E и H полей:
4 2 2
2 2 2( , ) ( , ) ( , ).= ⊗L S L S L Sγ ε μ Из скалярного
произведения (21) в 4
2 ( , )L S γ выделим скаляр-
ное произведение в пространстве 2
2 ( , )L S ε
“электрических” векторных функций, удовлет-
воряющих граничным условиям для E в (16),
с весом :⊥ε
1 2 1 2
1( , ) .⊥= ⋅∫ de
S
SE E E E Sε (33)
И аналогично для пространства 2
2 ( , )L S μ “маг-
нитных” векторов, удовлетворяющих гранич-
ным условиям для H в (16), с весом :⊥μ
1 2 1 2
1( , ) .⊥= ⋅∫ dh
S
SH H H H Sμ (34)
Собственные функции задач (24), (27) и (30)
в силу симметричности рассматриваемых опе-
раторов, а также ввиду того что Ker ,⊂H EL W
Ker ,⊂E HL W Ker Ker= ∩T
E HL W W удовлет-
воряют следующим условиям ортогональнос-
ти в 2
2 ( , )L S μ и 2
2 ( , ) :L S ε
( ), ,=A B
m n mn ABe
E E δ δ ( ), ,=A B
m n mn ABh
H H δ δ
(35)
{ }, , , .∈A B H E T
Подставляя в эти условия ортогональности
представление базисных функций через ска-
лярные потенциалы (25), можно получить сле-
дующие условия биортогональности для ,HmΦ
H
mΨ в пространстве 2 ( , )L S μ скалярных функ-
ций, удовлетворяющих условию Неймана на
границе области S:
( ) 1, .⊥= =∫ dH H H H
m n m n mnh
S
S SΨ Φ μ Ψ Φ δ (36)
Можно показать, что эта система функций
образует биортогональный базис в 2 ( , ).L S μ
Аналогично скалярные функции ,EnΦ E
nΨ об-
разуют биортогональный базис в пространстве
2 ( , )L S ε скалярных функций, удовлетворяющих
условию Дирихле на границе области S:
( ) 1, .⊥= =∫ dE E E E
m n m n mne
S
S SΨ Φ ε Ψ Φ δ (37)
Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением...
169Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
2.6. Разложение полей и источников
по базису
Построив базисы для каждого из подпрос-
транств, мы располагаем полным базисом в
Гильбертовом пространстве 4
2 ,L которому при-
надлежат как искомые поля, так и функции
источников. Таким образом, поперечные ком-
поненты полей можно представить в виде раз-
ложения по полученному модовому базису:
1 2
0 ( , , )⊥ =E r z tε
( , ) ( ) ( , ) ( )⊥ ⊥= + +∑ ∑H H E E
m m n n
m n
e z t E r e z t E r
{ , , }
( , ) ( ) ( , ) ( ),T T A A
k k m m
k A H ET m
e z t E r e z t E r⊥ ⊥
∈
+ =∑ ∑ ∑
(38)
1 2
0 ( , , )⊥ =H r z tμ
( , ) ( ) ( , ) ( )⊥ ⊥= + +∑ ∑H H E E
m m n n
m n
h z t H r h z t H r
{ , , }
( , ) ( ) ( , ) ( ).T T A A
k k m m
k A H ET m
h z t H r h z t H r⊥ ⊥
∈
+ =∑ ∑ ∑
(39)
Продольная компонента zE является скаляр-
ной функцией, удовлетворяющей условию
Дирихле на границе S, и, следовательно, при-
надлежит 2 ( , ).L S ε Поэтому для разложения zE
можно использовать систему функций { }:E
nΦ
1 2
0 ( , , ) ( , ) ( ).⊥ ⊥=∑ z E
z n n n
n
E r z t e z t q rε Φ (40)
Здесь собственные числа nq в виде коэффи-
циентов добавлены с целью получить более
компактные выражения в дальнейших вык-
ладках. Аналогично можно представить zH
в 2 ( , )L S μ в виде разложения по { }:H
mΦ
1 2
0 ( , , ) ( , ) ( ).⊥ ⊥=∑ z H
z m m m
m
H r z t h z t p rμ Φ (41)
В разложениях (38)-(41) коэффициенты раз-
ложения ,Hme ,Ene ,Tke ,Hmh ,Enh ,Tkh ,zne z
mh
являются функциями продольной координаты
и времени, они описывают эволюцию волно-
водных мод при распространении. В даль-
нейшем будем называть их модовыми амп-
литудами (поперечными или продольными для
определенности). Подставляя полученные
разложения полей в уравнения Максвелла
в нормально-тангенциальной форме (10)-(15)
и проецируя их на элементы базиса, можно
получить систему дифференциальных урав-
нений, которой удовлетворяют модовые амп-
литуды.
3. Система эволюционных
волноводных уравнений
Для получения системы эволюционных
волноводных уравнений (СЭВУ) подставим
разложения поперечных компонент искомых
полей (38), (39) в уравнения (12)-(15). Полу-
ченные уравнения спроецируем в соответст-
вующем скалярном произведении (33) или
(34) на базисные функции, используя при этом
условия ортогональности (35). В результате
получим бесконечную систему дифферен-
циальных уравнений для поперечных модо-
вых амплитуд:
( ) 2
{ , , }
H HA A H
z m mm z m m m
A H ET m
e L h p h′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂ + ∂ − =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τμ ε μ
1
1 ( , ) ,= ⋅∫ dHm
S
S f r t E S (42)
( ) 2
{ , , }
E AE A E
z n n n z n n n
A H ET n
h L e q e′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂ + ∂ − =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τε μ ε
2
1 ( , ) ,= ⋅∫ dEn
S
S f r t H S (43)
( )2
{ , , }
H H AH A
m m z m mm m
A H ET m
p e h K e′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪+ ∂ ∂ + ∂ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τ τμ ε
3
1 ( , ) ,= ⋅∫ dHm
S
S f r t H S (44)
А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов
170 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
( )2
{ , , }
E E EA A
n n z n nn n
A H ET n
q h e K h′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪+ ∂ ∂ + ∂ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τ τε μ
4
1 ( , ) ,= ⋅∫ dEn
S
S f r t E S (45)
( )
{ , , }
T TA A
z k kk z k
A H ET k
e L h′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂ + ∂ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τμ ε
1
1 ( , ) ,= ⋅∫ dTk
S
S f r t E S (46)
( )
{ , , }
T AT A
z k k k z k
A H ET k
h L e′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂ + ∂ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τε μ
2
1 ( , ) ,= ⋅∫ dTk
S
S f r t H S (47)
( )
{ , , }
T AT A
z k k k k
A H ET k
h K e′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂ + ∂ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τ τμ ε
3
1 ( , ) ,dTk
S
S f r t H S= ⋅∫ (48)
( )
{ , , }
T TA A
z k kk k
A H ET k
e K h′ ′
′∈
⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂ + ∂ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑τ τε μ
4
1 ( , ) .= ⋅∫ dTk
S
S f r t E S (49)
Далее воспользуемся уравнениями (10), (11).
Исключая из них продольные компоненты
полей, получим два скалярных дифференци-
альных уравнения. Подставим в них разложе-
ния полей (38), (39). Выражая базисные функ-
ции через скалярные потенциалы (25), (28), (31),
проецируя уравнения на те же скалярные функ-
ции, воспользовавшись условиями биортого-
нальности (36), (37), получим еще четыре эво-
люционных уравнения:
( ) 1 2 1
0
1 ˆ ,dHH H H H
mm z m m m m
m S
SL e h J p S−
′ ′ ⊥
′
⎛ ⎞∂ +∂ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫τ μ ∇ ε Ψ
(50)
( ) 1 2 1
0
1 ˆ ,dH HH H H
z m mm m m m
m S
Se K h J p S−
′ ′ ⊥
′
⎛ ⎞∂ + ∂ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫τ μ ∇ ε Φ
(51)
( ) ( )1 2 1
0
1 ,dEE E E E
nn z n n n n
n S
SL h e J q S−
′ ′ ⊥
′
∂ + ∂ = ⋅∑ ∫τ ε ∇ μ Ψ
(52)
( ) ( )1 2 1
0
1 .dE EE E E
z n n n n n n
n S
Sh K e J q S−
′ ′ ⊥
′
∂ + ∂ = ⋅∑ ∫τ ε ∇ μ Φ
(53)
Здесь ,=ctτ c – скорость света в вакууме.
Функции источников в правых частях уравне-
ний определены следующим образом:
( )1 1 2 1 2
1 0 0 0ˆ( , ) ,− −
⊥ ⊥⎡ ⎤= × − ∂⎣ ⎦ zf r t z J∇ μ μ ρ μ μ
( )1 1 2 1 2
2 0 0 0
ˆ( , ) ,− −
⊥ ⊥⎡ ⎤= × − ∂⎣ ⎦ zf r t z J∇ ε ε ρ ε ε
(54)
( )1 2 1 1 2
3 0 0 0
ˆ( , ) ,−
τ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⎡ ⎤= ∂ × −⎣ ⎦ zf r t J z Jμ μ μ μ ∇ μ ε
1 2 1 1 2
4 0 0 0
ˆ( , ) .−
τ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎛ ⎞⎡ ⎤= ∂ × −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ zf r t z J Jε ε ε ε ∇ ε μ
Бесконечные постоянные матрицы коэффи-
циентов СЭВУ L и K описывают межмодо-
вую связь. Они вычисляются по формулам:
0
1 ,dAB A B
mn m n
S
SL z E H S⎡ ⎤= ⋅ ×⎣ ⎦∫
(55)
0
1 ,dAB A B
mn m n
S
SK z E H S⊥ ⊥⎡ ⎤= ⋅ ×⎣ ⎦∫ ε μ
{ }, , , .A B H E T∈
В СЭВУ использована сокращенная запись
сумм, аналогичная (38), (39). Например:
Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением...
171Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
{ , , }
HA A HH H
mm z m mm z m
A H ET m m
L h L h′ ′ ′ ′
′ ′∈
∂ = ∂ +∑ ∑ ∑
.HE E HT T
mm z m mm z m
m m
L h L h′ ′ ′ ′
′ ′
+ ∂ + ∂∑ ∑ (56)
В дальнейшем мы также будем использовать
сокращенную матричную запись для сумм
,HE E HE E
z mm z m
m
L h′ ′
′
∂ = ∂∑L h
(57)
,HT H HT H
z k k z k
k
L e′ ′
′
′∂ = ∂∑L e
где штрих обозначает транспонирование. При
этом следует отметить, что 6 из 18 возмож-
ных матриц коэффициентов (55) оказываются
равны нулю:
.ET TH EH TE HT HE= = = = = =L L L K K K 0 (58)
Для матриц коэффициентов можно доказать
следующие соотношения:
BA CA AB AC AB AC
A A A
′ ′ ′= = =∑ ∑ ∑K L L K K L
, ,
, ,
BA CA
A
B C
B C
≠⎧′= = ⎨ =⎩
∑L K I
0
(59)
{ }, , , , .A B C H E T∈
Здесь 0 – нулевая матрица, I – единичная мат-
рица. Из (59) с учетом (58) также следует:
,AA AA AA AA AA AA AA AA′ ′ ′ ′= = = =L K K L K L L K I
(60)
{ }, , .A H E T∈
Формулы (59) можно расписать в полном виде,
например, следующим образом:
BA CA HE EE
BC mn kn
A n
L K′ = ⇒ +∑ ∑L K d
0.+ + =∑ ∑HH EH HT ET
mn kn mn kn
n n
L K L K (61)
Система уравнений (42)-(53) является пе-
реопределенной, часть из уравнений линейно
зависимы. Например, используя (60), можно
показать, что уравнения (50) и (51) суть одно
и то же, аналогично линейно зависимы (52)
и (53). С помощью полученной системы эво-
люционных уравнений можно найти попереч-
ные модовые амплитуды.
Для продольных модовых амплитуд мож-
но получить систему уравнений, если в (10),
(11) подставить разложения как поперечных
компонент полей (38) и (39), так и продоль-
ных (40), (41), выразить все модовые функ-
ции через скалярные потенциалы (25), (28),
(31) и затем спроецировать уравнения на те
же скалярные функции, воспользовавшись
условиями биортогональности (36), (37).
В результате получим уравнения, проинтег-
рировав которые, можно по известным по-
перечным модовым амплитудам найти про-
дольные:
( ) 1 2 1
0
1 ,dz E E
z n n n n
S
Se e q S− −∂ = + ∫ε ε ε ρ Ψ
(62)
( ) 1 2 1
0
1 ˆ ,dz H H
z m m m m
S
Sh h p S− −∂ = + ∫μ μ μ ρ Ψ
( ) 1 2 1
0
1 ,dz EE E E
n nn n z n n
n S
Se L h J q S−
′ ′
′
∂ = − −∑ ∫τ ε μ Ψ
(63)
( ) 1 2 1
0
1 ˆ .dz HH H H
m mm m z m m
m S
Sh L e J p S−
′ ′
′
∂ = − −∑ ∫τ μ ε Ψ
Использование свойств матриц коэффи-
циентов (58)-(60) позволяет упростить СЭВУ
при решении конкретных задач.
А. Ю. Бутрым, Б. А. Кочетов
172 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
4. Общая схема применения
метода модового базиса
во временной области
Анализ распространения импульсного сиг-
нала в волноводе с помощью предложенного
метода модового базиса во временной облас-
ти сводится к следующей схеме.
– Решаются скалярные задачи на собствен-
ные значения (26), (29) и (32).
– По полученным скалярным базисным
функциям строятся векторные базисные функ-
ции (25), (28) и (31).
– С помощью полученных базисных функ-
ций находятся матрицы коэффициентов СЭВУ
по формулам (55).
– Осуществляется проецирование функций
источников на базисные функции и вычисле-
ние интегралов в правых частях уравнений
(42)-(53) и (62), (63).
– Решаются СЭВУ для поперечных модо-
вых амплитуд (42)-(53).
– Полученные поперечные модовые амп-
литуды подставляются в уравнения (62), (63)
и, интегрированием, находятся продольные
модовые амплитуды.
– Полученные зависимости поперечных
и продольных модовых амплитуд от времени
и продольной координаты подставляются в раз-
ложения (38)-(41) и получаются формулы,
по которым вычисляются искомые поля для
произвольных координат и времени.
5. Заключение
В работе предложено обобщение метода
модового базиса для анализа многосвязных
поперечно неоднородных волноводов во вре-
менной области. Полученные результаты для
частных случаев полностью согласуются
с ранее известными. Исключив из рассмотре-
ния поперечную неоднородность диэлектри-
ческой и магнитной проницаемостей, приходим
к результатам работы [2], а предположив, что
волноведущая структура является односвяз-
ной, получаем полное согласие с результата-
ми работы [3].
Во второй части статьи мы рассмотрим
применение изложенного метода на конкрет-
ном примере и проведем сравнение его эф-
фективности с одним из наиболее распростра-
ненных методов во временной области – ме-
тодом конечных разностей (FDTD). Отметим,
что для большого класса нестационарных
волноводных задач модовый базис удается
построить аналитически, в случае более слож-
ного поперечного заполнения модовый базис
может быть найден с использованием универ-
сальных вычислительных методов, таких, как
метод моментов, метод конечных элементов
и т. п.
Использование полученных матричных
свойств коэффициентов СЭВУ позволяет ана-
литически исследовать свойства дисперсион-
ных характеристик и межмодовых преобразо-
ваний.
Основное преимущество метода заклю-
чается в снижении размерности задачи: от че-
тырехмерной задачи (как в FDTD) осуществ-
ляется переход к одной двухмерной задаче для
уравнения эллиптического типа (определение
базисних функций) и одной двухмерной задаче
для уравнения гиперболического типа (эволю-
ция модовых амплитуд), каждую из которых
решать существенно легче, чем исходную.
Кроме того, использование разложения по
модам, не зависящим от частоты, позволяет
выделять в поведении полей определенные
собственные характеристики, присущие вол-
новодной системе (связанные собственные
волны).
Литература
1. Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. –
Л.: Издание ВКАС, 1949. – 426 с.
2. Третьяков О. А. Эволюционные волноводные
уравнения // РиЭ. – 1989. – Т. 34, №5. – С. 917-926.
3. Бутрым А. Ю., Третьяков О. А. Модификация ме-
тода эволюционных волноводных уравнений для
случая поперечно неоднородных волноводов //
Вестник Харьковского национального универси-
тета. Радиофизика и электроника. – 2002. – №544,
вып. 1. – С. 71-74.
4. Бутрым А. Ю., Третьяков О. А. Применение
метода эволюционных волноводных уравнений
для анализа неоднородных волноводов в частот-
ной области // Вестник Харьковского националь-
ного университета. Радиофизика и электроника. –
2002. – №570, вып. 2. – С. 284-286.
Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением...
173Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №2
Метод модового базису у часовій
області для хвилеводу з поперечно
неоднорідним багатозв’язним
перерізом. 1. Загальна теорія методу
О. Ю. Бутрим, Б. А. Кочетов
Пропонується схема метода модового ба-
зису для аналізу в часовій області геометрично
регулярного, поперечно неоднорідного хвиле-
воду з багатозв’язним перерізом. Зокрема, от-
римане узагальнення методу дозволяє розгля-
дати задачі поширення електромагнітних хвиль
в квазі-ТЕМ-лініях з поперечною магніто-
діелектричною неоднорідністю.
Time Domain Mode Basis Method
for a Waveguide with Transverse
Inhomogeneous Multi-Connected
Cross-Section.
1. The General Theory of Method
А. Yu. Butrym and B. А. Kochetov
A scheme of mode basis method for time domain
analysis of a regular, transverse inhomogeneous
waveguide with multi-connected cross-section
is proposed. Particularly, the proposed approach
allows considering propagation of transient electro-
magnetic waves in a quasi-TEM line with transverse
inhomogeneous permittivity and permeability.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-59636 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:22:45Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина |
| record_format | dspace |
| spelling | Бутрым, А.Ю. Кочетов, Б.А. 2014-04-09T15:21:48Z 2014-04-09T15:21:48Z 2009 Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода / Ю.А. Бутрым, Б.А. Кочетов // Радиофизика и радиоастрономия. — 2009. — Т. 14, № 2. — С. 162–173. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59636 621.372.8.01 Предложено развитие метода модового базиса для анализа во временной области геометрически регулярного, поперечно неоднородного волновода с многосвязным поперечным сечением. В частности, полученное обобщение метода позволяет рассматривать задачи распространения нестационарных электромагнитных волн в квази-ТЕМ-линиях с поперечной магнитодиэлектрической неоднородностью Пропонується схема метода модового базису для аналізу в часовій області геометрично регулярного, поперечно неоднорідного хвилеводу з багатозв’язним перерізом. Зокрема, отримане узагальнення методу дозволяє розглядати задачі поширення електромагнітних хвильв квазі-ТЕМ-лініях з поперечною магнітодіелектричною неоднорідністю. Numerical simulations have been made of decametric wave Doppler shift and a focusing
 factor due to cnoidal waves of electron concentration progressing in the terrestrial ionosphere. The solutions of the Korteweg–de Vries equation are used to model the nonlinear waves. The nonlinear wave parameters (the relative amplitude of electron concentration. ru Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода Article published earlier |
| spellingShingle | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода Бутрым, А.Ю. Кочетов, Б.А. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода |
| title_full | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода |
| title_fullStr | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода |
| title_full_unstemmed | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода |
| title_short | Метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. Общая теория метода |
| title_sort | метод модового базиса во временной области для волновода с поперечно неоднородным многосвязным сечением. 1. общая теория метода |
| topic | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59636 |
| work_keys_str_mv | AT butrymaû metodmodovogobazisavovremennoioblastidlâvolnovodaspoperečnoneodnorodnymmnogosvâznymsečeniem1obŝaâteoriâmetoda AT kočetovba metodmodovogobazisavovremennoioblastidlâvolnovodaspoperečnoneodnorodnymmnogosvâznymsečeniem1obŝaâteoriâmetoda |