Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря

Настоящая статья представляет собой вторую часть работы, посвященной электромагнитной теории смерча. В ней сформулирована и исследована гидродинамическая задача о движении плазменнокапельной среды, образующей вихрь. Получено выражение для вращающей силы. Она пропорциональна вертикальной компоненте г...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Author:	Боев, А.Г.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2009
Series:	Радиофизика и радиоастрономия
Subjects:	Радиофизика геокосмоса
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59814
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря / А.Г. Боев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2009. — Т. 14, № 3. — С. 233–253. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-59814
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-598142025-02-23T18:12:01Z Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря Боев, А.Г. Радиофизика геокосмоса Настоящая статья представляет собой вторую часть работы, посвященной электромагнитной теории смерча. В ней сформулирована и исследована гидродинамическая задача о движении плазменнокапельной среды, образующей вихрь. Получено выражение для вращающей силы. Она пропорциональна вертикальной компоненте геомагнитного поля и радиальному току в плазме и усилена радиальной компонентой силы Лоренца и центробежной силой. Проведен расчет поля скоростей, плотности и давления дозвукового вихря. Найденная картина движения качественно и количественно соответствует данным наблюдений. Стаття є другою частиною роботи, присвяченої електродинамічній теорії смерчу. Сформульовано та досліджено гідродинамічну задачу про рух плазмовокрапельного середовища, що утворює смерч. Отримано вираз для обертальної сили. Вона є пропорціональною вертикальній компоненті геомагнітного поля та радіальному струмові у плазмі і підсилена радіальною компонентою сили Лоренцо та відцентровою силою. Виконано розрахунок поля швидкостей, густини та тиску дозвукового вихору. Отримана картина руху кількісно та якісно відповідає результатам спостережень. This paper is the second part of the work de-voted to the electromagnetic theory of a tornado. The hydrodynamic problem on the movement of a whirlwind-forming plasma-drop environment is for-mulated and investigated. The expression for the rotating force is obtained. The force is proportional to the vertical component of a geomagnetic field and to the radial current in plasma. It is increased by the Lorentz force radial component and centrif-ugal force. The field of speeds, density and pres-sure of a subsonic whirlwind is calculated. The picture of movement found corresponds qualita-tively and quantitatively to the observational data. 2009 Article Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря / А.Г. Боев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2009. — Т. 14, № 3. — С. 233–253. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59814 537.52, 537.56, 533.903 ru Радиофизика и радиоастрономия application/pdf Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Радиофизика геокосмоса Радиофизика геокосмоса
spellingShingle	Радиофизика геокосмоса Радиофизика геокосмоса Боев, А.Г. Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря Радиофизика и радиоастрономия
description	Настоящая статья представляет собой вторую часть работы, посвященной электромагнитной теории смерча. В ней сформулирована и исследована гидродинамическая задача о движении плазменнокапельной среды, образующей вихрь. Получено выражение для вращающей силы. Она пропорциональна вертикальной компоненте геомагнитного поля и радиальному току в плазме и усилена радиальной компонентой силы Лоренца и центробежной силой. Проведен расчет поля скоростей, плотности и давления дозвукового вихря. Найденная картина движения качественно и количественно соответствует данным наблюдений.
format	Article
author	Боев, А.Г.
author_facet	Боев, А.Г.
author_sort	Боев, А.Г.
title	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря
title_short	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря
title_full	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря
title_fullStr	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря
title_full_unstemmed	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря
title_sort	электромагнитная теория смерча. ii. гидродинамика вихря
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Радиофизика геокосмоса
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59814
citation_txt	Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря / А.Г. Боев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2009. — Т. 14, № 3. — С. 233–253. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT boevag élektromagnitnaâteoriâsmerčaiigidrodinamikavihrâ
first_indexed	2025-11-24T07:51:40Z
last_indexed	2025-11-24T07:51:40Z
_version_	1849657341566255104
fulltext	Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3, с. 233-253 © А. Г. Боев, 2009 УДК 537.52, 537.56, 533.903 Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря А. Г. Боев Радиоастрономический институт НАН Украины, ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина E-mail: boev@ri.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 8 сентября 2008 г. Настоящая статья представляет собой вторую часть работы, посвященной электромагнит- ной теории смерча. В ней сформулирована и исследована гидродинамическая задача о движении плазменно-капельной среды, образующей вихрь. Получено выражение для вращающей силы. Она пропорциональна вертикальной компоненте геомагнитного поля и радиальному току в плазме и усилена радиальной компонентой силы Лоренца и центробежной силой. Проведен расчет поля скоростей, плотности и давления дозвукового вихря. Найденная картина движения качественно и количественно соответствует данным наблюдений. 1. Уравнения движения среды. Вращающая сила Атмосфера под грозовым облаком обыч- но турбулизована. Вихревое движение, созда- ваемое облачным зарядом, не коррелирован- но с этой турбулентностью, поэтому в каче- стве уравнений вихревого движения среды далее будут использоваться уравнения На- вье–Стокса. Однако коэффициенты переноса в этих уравнениях будут определяться не теп- ловым движением, а атмосферной турбулен- тностью. В [1] показано, что под зарядом, расположенным на относительной высоте 0.5,h a ≥ радиальные градиенты электричес- кого поля преобладают над высотными гра- диентами ( ).r z∂ ∂ ∂ ∂ В связи с этим далее для упрощения гидродинамической задачи будет использоваться приближение погранич- ного слоя [2]: 1 ( ) ( ) 0,r Zr V V r r z ∂ ∂ρ + ρ = ∂ ∂ ;gp R T= ρ (1.1) 2 1 1 ;Z V p j B r r с ϕ ϕ ∂− = − − ρ ∂ ρ (1.2) 1 ( ) ;r T r Z V V V V F V V rV r r z r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ μ ∂ ∂⎡ ⎤+ + = + ⎢ ⎥∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂⎣ ⎦ (1.3) 1 1Z Z r Z r V V pV V g j B r z z с ϕ ∂ ∂ ∂+ = − − + + ∂ ∂ ρ ∂ ρ .T ZVr r r r μ ∂ ∂⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ρ ∂ ∂⎝ ⎠ (1.4) Здесь ,rV ,Vϕ ZV – соответственно радиаль- ная, азимутальная и осевая скорости движе- ния; p, ρ, T – давление, массовая плотность и температура; Tμ – коэффициент турбулент- ной вязкости; g – ускорение силы тяжести; gR – газовая постоянная воздуха. Электро- магнитные силы в уравнениях (1.2) – (1.4) от- личны от нуля лишь в области разряда, т. е. А. Г. Боев 234 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 при 0 .Er R≤ ≤ Вне разряда токов нет, однако нейтральный газ также движется, захвачен- ный силами вязкости. Все гидродинамичес- кие поля должны быть конечны на оси вихря и убывать при удалении от него. Здесь и да- лее не учитывается изменение температуры среды, вызванное движением и токами, т. к. наблюдения [3-5] показывают, что оно не иг- рает существенной роли в формировании и ди- намике вихря. Использованное выше пограничное прибли- жение не применимо для тонкого слоя вблизи поверхности земли, т. к. здесь, наоборот, .z r∂ ∂ ∂ ∂ Решение в этом случае должно строиться отдельно и сопрягаться с решени- ем уравнений (1.1) – (1.4.). Выражение (1.2) с учетом уравнения со- стояния записывается следующим образом: 2 1 0.z g g g V j BTR r R T r r R T c ϕ ϕ⎡ ⎤∂ρ ρ ∂+ − + + =⎢ ⎥ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ Его решение имеет вид: 2 ( , ) ( , ) ( ) exp d gr V t zTr z z t T tR T ∞ ϕ∞ ∞ ⎧ ⎫⎪ ⎪ρ = ρ − +⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ 2 ( , )1 d exp d , x z g gr r j B V t z x t R T c tR T ∞ ϕ ϕ⎧ ⎫⎪ ⎪+ −⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ где ∞ρ и T∞ – плотность и температура не- возмущенной вращением атмосферы. Умно- жая плотность на ,gR T найдем следующее выражение для давления: 2( , ) ( , ) ( )exp d gr V t z p r z p z t tR T ∞ ϕ ∞ ⎧ ⎫⎪ ⎪= − +⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ 2 ( , ) d exp d . x z gr r j B V t z x t c tR T ∞ ϕ ϕ⎧ ⎫⎪ ⎪+ −⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ Вводя в рассмотрение скорость звука в невоз- мущенной атмосфере 1 2( ) ,S ga R T∞= γ где 1.4γ = – показатель изэнтропы, а также вра- щательное число Маха ,SM V aϕ ϕ= запишем предыдущие формулы в виде: 2 ( , ) ( , ) ( ) exp d r M t zTr z z t T t ∞ ϕ∞ ∞ ⎡ ⎧ ⎫⎪ ⎪ρ = ρ −γ +⎢ ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ∫ 2 ( , )d exp d , x z r r j B M t zx t p c t ∞ ϕ ϕ ∞ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪+ −γ ⎥⎨ ⎬ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎦ ∫ ∫ (1.5) 2 ( , ) ( , ) ( ) exp d r M t z p r z p z t t ∞ ϕ ∞ ⎡ ⎧ ⎫⎪ ⎪= −γ +⎢ ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ∫ 2 ( , )d exp d . x z r r j B M t zx t p c t ∞ ϕ ϕ ∞ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪+ −γ ⎥⎨ ⎬ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎦ ∫ ∫ Согласно нижней формуле (1.5) давление внутри вихря определяется двумя факторами: центробежной силой и радиальной компонен- той силы Лоренца, ее величиной и направле- нием. Центробежная сила всегда вызывает раз- режение среды, а радиальная компонента силы Лоренца в зависимости от направления может вызывать либо сжатие среды, либо ее разре- жение. В случае разрежения стационарный вихрь будет существовать только при таком соотношении центробежной и радиальной силы Лоренца, когда 2 ( , ) d exp d 1,z r x j B M t z x t p c t ∞ ∞ ϕ ϕ ∞ ⎧ ⎫⎪ ⎪γ ≤⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 0 .r≤ ≤ ∞ В противном случае вихрь схлопывается. Из уравнения (1.3) видно, что источником вращения среды является действующая на еди- ницу массы среды азимутальная сила Лоренца (см. [1], формулы (5.6), (6.3)): Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 235Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 0 0 4 d , 0 ; 4 d , ; 0, . T d T R d T E r E B V r r R c B V r R r R c R r ∞ ϕ ∞ ϕ ⎧ π+ ρ ≤ ≤⎪ ⎪ ⎪ π⎪= + ρ ≤ ≤⎨ ⎪ ⎪ ≤ < ∞⎪ ⎪⎩ ∫ ∫B Она представляет собой вращающую силу, созданную в плазме геомагнитным полем и магнитным полем капельного соленоида и увеличенную действием центробежной силы и радиальной компоненты силы Лоренца. Роль силы Лоренца существенна либо вблизи заря- да, где величина ее очень велика, либо в на- чальной стадии раскручивания вихря, когда скорость вращения еще мала. Отсюда сле- дует, что возникновение вихря затруднено в условиях, когда плазма сжата электромаг- нитной силой, как в Z-пинче. Это является до- полнительным аргументом в пользу того, что вихри развиваются только под относитель- но низкими и широкими зарядами, когда 0.72.h a ≤ Относительное влияние радиаль- ной компоненты силы Лоренца может быть оценено с помощью магнитного параметра , ,r T M r F R p∞ β ≡ − представляющего собой отношение магнит- ного давления к невозмущенному атмосфер- ному давлению. Отрицательное значение этого параметра соответствует разрежению среды, положительное – сжатию. Для типичного значе- ния радиуса вихря 10 300TR = ÷ м, нормального атмосферного давления 750p∞ = мм рт. ст. 6( 10≈ дин/см2) 3 1 , (10 10 ) .M r rF − −β = − ÷ Оставляя в стороне случай очень низкого облака, аппроксимируем отношение давлений следующей формулой: , , ( ) ( ) ( , ) 4 ( ) 1 , ( ) Z E M r r m E E j r B r R r rr z z p z c R R ϕ ∞ ⎛ ⎞ β ≡ = β −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.7) где , ( )r m zβ – экстремальное значение радиаль- ного магнитного давления, которое дости- гается практически на половине радиуса раз- ряда [1]. Для высокого заряда ( 0.72)h a > величина , ( ) 0,r m zβ > для более низкого – , ( ) 0.r m zβ < Зависимость этого параметра от высоты определяется зависимостями от вы- соты атмосферного давления, плотности тока и азимутального магнитного поля. В приближении малости ,M rβ выражение для вращающей силы упрощается: 2 ( , ) exp d .r r F M t zj t c t ∞ ϕ ϕ ∞ ⎧ ⎫⎪ ⎪= − γ⎨ ⎬ρ ρ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ B (1.8) Вращающая сила имеет электромагнит- ное происхождение. Она зависит от скорос- ти вращения и знака капельного заряда стен- ки, осевого и радиального токов в плазме. В гидродинамике обычной непроводящей среды аналога ей нет. Именно по этой при- чине построение теории интенсивных атмос- ферных вихрей в рамках обычной гидроди- намики невозможно. Из (1.6) и (1.8) видно, что при 0 0B = вра- щающая сила становится однородной функ- 2 2 , (1.6) ( , ) ( , )dexp d exp d r x z r r r F j M t z j B M t zT xc t t T t p c t ϕ ∞ ∞ ϕ ϕ ϕ∞ ∞ ∞ −= ρ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ρ −γ + −γ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ B А. Г. Боев 236 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 цией скорости вращения. Отсюда следует, что вихрь будет отсутствовать там, где геомагнит- ное поле не имеет вертикальной компоненты. Такая ситуация наблюдается на магнитном экваторе (на географических широтах от +8 до 15 ).− ° Районы Земли, характеризующиеся максимальной смерчевой активностью, обла- дают и повышенными значениями вертикаль- ной компоненты геомагнитного поля. Это центральная и юго-восточная области США (0.4 0.55÷ Гс), Австралия (0.55 Гс) [6]. Далее, знак вращающей силы зависит от знака радиального тока, который, в свою оче- редь, определяется знаком облачного заряда. Для отрицательного заряда rj отрицателен, и знак плазменно-геомагнитной силы совпа- дает со знаком вертикальной компоненты 0.B Поэтому она, а с ней и сила (1.6), будут созда- вать циклоническое вращение вихря: влево – в северном полушарии и вправо – в южном полушарии. Именно такие вихри наблюдают- ся, в основном, в природных условиях. Это обстоятельство указывает на то, что облач- ные заряды, образующие циклонические смер- чи, являются отрицательными. Антициклони- ческие вихри также наблюдаются, однако крайне редко и, как правило, над водными поверхностями [5]. Они создаются положи- тельными облачными зарядами. Анализ формул (1.6) и (1.8) показывает, что чем быстрее вращается вихрь, тем боль- ше становится вращающая сила, действую- щая на него. Под действием такой вращаю- щей силы вихрь будет раскручиваться, до тех пор пока не схлопнется. Для существования стационарных вихрей, какие наблюдаются в природе, вращающая сила должна быть чем-то компенсирована. И такую компенса- цию частично осуществляет капельный со- леноид. При отрицательно заряженных кап- лях и определенной скорости вращения маг- нитное поле соленоида уничтожает внутри него вертикальную компоненту геомагнитно- го поля, а вместе с ней и вращающую силу. В стенке соленоида и вне ее вращающая сила существует, однако здесь она, вследствие ра- диальной неоднородности, компенсируется силой вязкости. 2. Спектры облачных капель Смерч образуется из облачной массы и является как бы продолжением облака. Это связано с движением отрицательно заряжен- ных облачных капель к земле как под дейст- вием силы тяжести и электрического поля за- ряда, так и под действием вертикальной ком- поненты силы Лоренца, также направленной вниз под относительно низко расположенным зарядом [1]. Будучи затем выброшенными цен- тробежной силой из ядра вихря, капли останав- ливаются (об этом далее в п. 3) на некотором расстоянии от центра, образуя вращающуюся заряженную капельную стенку. Ее дисперсную и пространственную структуру естественно свя- зать со свойствами облачных капель. Распределение капель по размерам (спек- тры размеров) для капельных облаков доста- точно хорошо описываются гамма-распреде- лением [7]: 0 1( ) exp , ( 1) N an a aαα+ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟βΓ α + β ⎝ ⎠ (2.1) где a – радиус капли, мкм; 0N – объемная плотность капель, см–3; α и β – параметры распределения; Γ – гамма-функция. Радиус капель ,ma соответствующий мак- симуму распределения, (модальный радиус) и их средний радиус a определяются пара- метрами распределения: ,ma = βα ( 1).a =β α + При 1α эти радиусы практически совпа- дают. Среднее квадратичное отклонение ра- диусов капель от среднего rσ и относитель- ная ширина спектра r aσ определяются фор- мулами: 1 2( 1) ,rσ = β α + 1 2( 1) .r a −σ = α + Видно, что относительно малого разброса капель по радиусам можно добиться только при больших значениях параметра α. Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 237Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 Момент распределения порядка n и соот- ветствующий ему средний радиус капли na даются следующими выражениями: ( 1)( ) , ( 1) n n n nM M a Γ α + += = β Γ α + 1 1 ( 1)( ) . ( 1) n n n n na M ⎡ ⎤Γ α + += = β⎢ ⎥Γ α +⎣ ⎦ Распределения капель по размерам в об- лаках неоднородны и сильно зависят от мас- штаба осреднения [7]. Спектры размеров, осредненные по большим объемам (1 км и более), обычно широкие, r aσ порядка 0.5 и более. Локальные спектры (с масштабом осреднения 1 10÷ м) довольно узкие, r aσ не превышает 0.1 0.2.÷ Из приведенных выше формул следует, что узкие спектры должны характеризоваться большими значениями параметра α. Для облаков в умеренных широтах распре- деление внутриоблачных капель по размерам хорошо описывается распределением Хргиа- на–Мазина [7], когда в (2.1) 2.α = Средний размер капель в таких облаках изменяется от 3 до 7 мкм. На периферии облаков, в нижней их части, локальные спектры размеров более узкие ( 5 6α = ÷ и более) и более мелкокапель- ные ( 0.4βα < мкм). Здесь средний размер капель может быть на 1 3÷ мкм меньше сред- него для всего облака [7]. Нормированный на 0N спектр размеров Хргиана–Мазина при значении параметра 0.3β = мкм представлен на рис. 1 (кривая 1). Он характеризует ансамбль капель с модаль- ным радиусом 0.6 мкм и средним квадра- тичным отклонением 0.519 мкм. Там же (кри- вая 2) приведен аналогичный спектр капель с параметрами 100,α = 0.005β = мкм. Мо- дальный радиус этого распределения прак- тически совпадает со средним радиусом – 0.5 мкм, квадратичное отклонение для этого спектра – 0.05 мкм. Спектр моделирует дос- таточно однородный по размерам ансамбль капель на периферийной нижней части облака. Спектры зарядов капель, нормированных на их объемную концентрацию, при линейной зависимости заряда капли от радиуса [7, 8], повторяют, с небольшими изменениями, спект- ры капель по размерам. Модальный радиус распределения Хргиана–Мазина равен сред- нему радиусу спектра размеров – 0.9 мкм. Для мелких капель модальные радиусы обоих распределений практически совпадают. Используя распределение (2.1) и формулы для заряда q и массы m капли в единицах СГС [7, 8], 710 ,q a−= 12 34.19 10 ,m a−= ⋅ (2.2) можно получить следующие выражения для объемной плотности заряда капель ,dρ и от- носительной водности w: 7 010 ( 1),d N−ρ = β α + 9 3 03.25 10 ( 1)( 2)( 3).w N−= ⋅ β α + α + α + Для спектра Хргиана–Мазина полная плот- ность заряда ,2dρ в единицах СГС и относи- тельная водность 2w равны: Рис. 1. Нормированные распределения капель по размерам: кривая 1 – спектр Хргиана–Мазина, кривая 2 – спектр на периферии нижней части облака А. Г. Боев 238 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 8 ,2 01.5 10 ,d N−ρ = ⋅ 9 2 05.26 10 .w N−= ⋅ Аналогичные величины для капель на краю облака: 8 ,100 05 10 ,d N−ρ = ⋅ 13 100 04.06 10 .w N−= ⋅ При плотности капель 8 9 3 0 10 10 смN −= ÷ и соот- ветствующей водности 4 54.06 (10 10 )w − −= ⋅ ÷ плотность заряда равна 3 2 ,100 1.7 10 8.5 10d − −ρ = ⋅ ÷ ⋅ Кл/м3, (2.3) что на пять – шесть порядков превышает на- блюдаемые в облаках сильные неоднород- ности объемного заряда [9]. Несмотря на такую большую плотность капель, среднее рас- стояние между ними на два порядка превы- шает их размеры. 3. Стенка капельного соленоида Основная трудность, возникающая при объяснении существования стационарной стен- ки капельного соленоида, связана с нахожде- нием механизма пространственного удержа- ния вращающихся капель. Механизм, который обсуждается ниже, состоит в том, что капли, являющиеся макроскопическими образования- ми, останавливаются под действием лобового сопротивления воздушного центростремитель- ного потока, сопровождающего вращение плаз- менного столба в атмосфере. Уравнение равновесия радиальных сил, действующих на вращающуюся каплю с ра- диусом ,a массой m и зарядом q, имеет сле- дующий вид: 2 ( ) 6 ( ).r r mV qE r a V r r ϕ + = π μ (3.1) Правая часть этого уравнения представляет собой силу сопротивления Стокса [10], ( )rE r – радиальное электрическое поле в плазме вих- ря, 41.81 10 г /(см с)−μ = ⋅ ⋅ – коэффициент вяз- кости воздуха. Уравнение (3.1) должно решаться одно- временно с уравнениями движения воздуха в стенке. Однако, чтобы оценить порядок величин, входящих в него, исследуем сначала зависимости радиальной скорости от радиу- са капли, скорости вращения и расстояния до центра вихря. Это позволит также связать толщину капельной стенки и закон распреде- ления объемного заряда со спектром разме- ров облачных капель. Используя зависимости (2.2) массы и за- ряда капель от радиуса, уравнение (3.1) мож- но представить в следующем виде: [ ] 2 2 4( ) ( ) ( ) 1.58 10 ,r E a V V r V r V r r ϕ−≡ − = ⋅ (3.2) 4( ) 9.7 10 ( ).E rV r E r−≡ ⋅ Здесь радиус капли выражен в микронах, рас- стояние от центра вихря r – в километрах, радиальное электрическое поле rE – в В/см, скорость вращения Vϕ нормирована на 10 м/с, скорость rV измеряется в см/с. Такое разли- чие в нормировке величин отражает реаль- ную картину рассматриваемого явления – мик- ронные капли, радиусы вихря в десятки и сот- ни метров, большие скорости вращения. Ве- личина, обозначенная в (3.2) как ,EV представ- ляет собой радиальную скорость, при которой сила лобового сопротивления капли компенси- рует радиальную кулоновскую силу. Эта ско- рость не зависит от радиуса капли, т. к. и сила сопротивления, и кулоновская сила пропорцио- нальны его первой степени. На рис. 2 представлены зависимости EV от расстояния до центра вихря под зарядом сред- ней высоты ( 0.5).h a = Кривая 1 соответст- вует нижнему основанию вихря, кривая 2 – верхнему. Видно, что скорость растет с рас- стоянием, т. к. при этом увеличивается ра- диальная компонента электрического поля. Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 239Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 С приближением к центру вихря скорость стре- мится к нулю, поскольку поле rЕ на оси равно нулю. Расчеты показывают, что и при других значениях параметра h a величина EV также изменяется по сечению вихря в пределах не- скольких сантиметров в секунду. Зависимости скорости торможения (ра- диальной скорости, необходимой для компен- сации центробежной силы) от скорости вра- щения вихря для капель типичных облачных размеров представлены на рис. 3. Видно, что при изменении скорости вращения от 10 до 300 м/с скорость торможения изменяется в пределах 1 м/с, даже для крупных капель радиусом 10 мкм. Учет влияния кулоновской силы здесь необходим лишь при скоростях вра- щения не более 10 м/с. Рис. 4 иллюстрирует аналогичные зависимости для ансамбля мел- ких капель с узким спектром размеров (рис.1, кривая 2). Радиальные скорости, необходимые для их остановки на расстоянии 10 м от цен- тра вихря, составляют всего несколько санти- метров в секунду. Для капель таких размеров учет влияния кулоновской силы важен лишь на расстояниях порядка 100 м и более от оси вихря. Величина радиальной скорости, необ- ходимая для остановки капли, увеличивается пропорционально квадрату ее радиуса (рис. 5). Из приведенных графиков следует, что в качестве границы ядра вихря TR естествен- но принять значение расстояния до его цент- ра, на котором останавливаются капли, раз- меры которых соответствуют меньшей гра- нице их статистической дисперсии. Напри- Рис. 2. Зависимости EV от расстояния до оси вихря при h a 0.5,= a 1= км: кривая 1 – в нижнем основании, кривая 2 – в верхнем основании вихря Рис. 4. Зависимости скорости торможения капель от скорости вращения вихря: кривая 1 – a 0.45= мкм, кривая 2 – a 0.55= мкм. Расстояние от оси вихря r 10= м Рис. 3. Зависимости скорости торможения ка- пель от скорости вращения вихря: кривая 1 – a 3= мкм, кривая 2 – a 10= мкм. Расстояние от оси вихря r 100= м А. Г. Боев 240 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 мер, для узкого спектра на рис. 1 это будут капли размером 0.45 мкм. Отсюда следует, что стенка капельного соленоида должна рас- полагаться вблизи нулевого значения скорос- ти радиального потока и в области ее отрица- тельных значений. Таким образом, граница между ядром и стенкой вихря должна харак- теризоваться нулевым значением скорости радиального потока. За толщину капельной стенки aδ может быть принята разность расстояний до центра вихря, соответствующих границам статисти- ческой дисперсии. Толщина капельной стенки может быть достаточно большой для широ- кого спектра размеров капель типа Хргиана– Мазина. Отмеченные в наблюдениях [5] стен- ки с очень резкими границами могут соответ- ствовать только узким спектрам (2.1) с очень большими значениями α и малыми значения- ми β. Величина капельного заряда по сече- нию стенки будет иметь экстремум внутри стенки и резко убывать к ее краям. Для узкого спектра размеров капель ( )r aσ толщина стенки aδ связана с дис- персией следующим соотношением: 1 2 1 . ( ) T a r T T T R R V R a V R r − ⎡ ⎤⎛ ⎞δ σ ∂⎢ ⎥= + ⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Вблизи поверхности земли в тело вихря попадает еще и пыль. Независимо от знака своего начального заряда пылинки в плазмен- ном столбе заряжаются отрицательно [8] и играют такую же роль, что и капли. Уравне- ние (3.1) описывает также условие равнове- сия пылевой компоненты. Однако распреде- ление пылинок по размерам и зависимость их заряда от диаметра могут быть другими. Капельно-пылевая стенка является отра- жателем света и радиоволн, поэтому она фор- мирует еще и видимую форму вихря. Для малодисперсного распределения капель и пыли вихрь будет выглядеть тонким цилинд- ром, локализованым вблизи оси разряда. Для распределения с большой дисперсией капель- но-пылевая стенка может расшириться вплоть до внешней границы разряда. В этом случае вихрь будет иметь форму широкого конуса. 4. Ядро вихря. Скорость стационарного вращения Рассмотрим вращательное движение внут- ри капельного соленоида (0 ).Tr R≤ ≤ Капель- ная фракция здесь отсутствует, магнитное поле соленоида не зависит от радиуса. Для опреде- ления скорости вращения в этой области про- странства ограничимся для простоты случаем относительной малости радиальной компонен- ты силы Лоренца. Уравнение (1.3) для скорос- ти вращения будет иметь следующий вид: ( ) ,, , , Kr K r K z K MV jrM V r r z с ϕ ϕ ∞ ∂∂ + = − × ∂ ∂ ρ 2 , 0( , ) 4exp d d , T K d Sr R M t z Bt M r t a c ∞ ∞ ϕ ϕ ⎛ ⎞⎧ ⎫ π⎪ ⎪⎜ ⎟× γ + ρ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠ ∫ ∫ (4.1) где нижний индекс “K” характеризует поля внутри соленоида, число Маха Mϕ – враще- ние капельной стенки. Решение уравнения (4.1) должно быть конечным на оси вихря и сопря- гаться с решением в области стенки вихря при .Tr R= На поверхности земли должны быть Рис. 5. Зависимость скорости торможения от радиуса капли. Расстояние от оси вихря r 10= м, скорость вращения – 100 м/с Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 241Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 выполнены условия прилипания, т. е. , 0KVϕ = при 0.z = Рассмотрим теперь вращающую силу в правой части (4.1) более детально. Видно, что она увеличивается с ростом скорости враще- ния и радиального тока. Эти факторы связаны между собой, т. к. уменьшение давления приво- дит к увеличению параметра ,E p увеличению плотности радиального тока и, как следствие, к усилению действия силы и увеличению ско- рости вращения. В результате даже небольшая плазменно-геомагнитная сила будет неограни- ченно увеличиваться в процессе вращения, все сильнее и сильнее закручивая поток. Это указывает на существование вращательной не- устойчивости неоднородного цилиндрического столба сжимаемой среды. Ясно, что строгое рассмотрение процесса раскручивания потока и перехода к стацио- нарному вращению должно проводиться от- дельно и в рамках нестационарных уравнений. Здесь же и далее будет анализироваться только стационарная фаза вращения. Процесс раскручивания вихря будет разви- ваться до тех пор, пока азимутальная компо- нента силы Лоренца, зависящая от вращатель- ного числа Маха стенки, не обратиться в нуль. Это условие может быть выполнено только в ядре вихря, где индуцированное осевое маг- нитное поле постоянно: 0 4 d . T d R B V r c ∞ ϕ π= − ρ∫ (4.2) При выполнении этого условия уравнение (4.1) будет удовлетворено, если скорость вращения среды здесь будет равна нулю, т. е. , ( , ) 0KV r zϕ = при 0 ,Tr R≤ < 0 .z h≤ ≤ Следовательно, плазма внутри капельного со- леноида не вращается. Не трудно убедиться, что этот результат справедлив и при учете в уравнении (4.1) силы вязкости и радиальной компоненты силы Лоренца. Таким образом, внутренность капельного соленоида представ- ляет собой ядро вихря. Условие стационарности вращения (4.2) будет выполнено лишь тогда, когда 0sign sign( ).dB Vϕ= − ρ Отсюда следует, что при 0 0B Vϕ > знак ка- пельного заряда, образующего стенку, должен быть отрицательным, т. е. иметь знак облачно- го заряда, образующего вихрь. Этот результат соответствует наблюдательным данным сви- детельствующим, что тело вихря образуется из облака и является как бы его продолже- нием. Отметим, что вследствие постоянства геомагнитного поля по сечению вихря усло- вие (4.2) выполняется на заданной высоте только при некотором значении радиуса и, следовательно, внутренняя стенка вихря все- гда четко выражена. Этот факт также соот- ветствует наблюдательным данным [5]. Оце- нивая интеграл в (4.2) через средние (по сече- нию капельной стенки) скорость вращения ,Vϕ плотность заряда dρ и толщину капельной стенки δ, получим: 0 , . 4K d BcVϕ = π ρ δ (4.3) Видно, что чем меньше средняя поверхност- ная плотность заряда стенки, тем сильнее ус- певает раскрутиться вихрь в нестационарной фазе. Эту плотность можно связать с плот- ностью облачного заряда ,0 ,dρ если считать, что капли со всего сечения воронки собраны в стенке. Для тонкой стенки ,0 ,0 2 .T d d d Rρ = ρ ρ δ Формула для средней скорости вращения ка- пельной стенки при этом имеет вид: 0 , ,0 ( , )( , ) , 8K d T cBV Rϕ λ ψλ ψ = π ρ (4.4) А. Г. Боев 242 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 где λ и ψ – соответственно географическая долгота и широта вихря. Из (4.4) можно получить оценку объемной плотности облачного заряда. Например, для ядра радиусом 100TR = м, вертикальной компоненты геомагнитного поля 0 0.4B = Гс и скорости вращения , 50KVϕ = м/с имеем: 3 ,0 3.3 10d −ρ ≈ ⋅ Кл/м3. Это значение на четыре – пять порядков превышает плотность объемного заряда в нео- днородностях грозовых облаков, которые на- блюдались в измерениях на борту самолета [9]. Оно вполне согласуется с оценкой (2.3) для однородного малодисперсного распределения капель (рис. 1). По-видимому, образование в облаках таких сильных и однородных заря- дов является одной из причин сравнительно редкого появления смерчей при грозовой ак- тивности. Как известно [3-5], смерчи способны появ- ляться практически в любом районе земного шара, хотя и с разной частотой. Учитывая, что индукция геомагнитного поля во многих районах Земли (например, в Европе [6]) по величине мало отличается от индукции актив- ных районов США, следует считать, что ве- роятность появления смерчей определяется в основном условиями образования очень силь- ных и протяженных неоднородностей облач- ного заряда. Если условие (4.2) не выполняется, то ко- нечного решения уравнение (4.1) не имеет. Это соответствует тому, что в результате неогра- ниченного ускорения вращения плазма будет полностью выброшена из ядра и, в итоге, вихрь схлопнется. 5. Давление и плотность в ядре вихря Поскольку вращение среды в ядре (0 )Tr R≤ ≤ отсутствует, формулы (1.5) для плотности и давления внутри него запишутся следующим образом: ( , )r zρ = 2 ( , ) d( ) exp d , T T R z R r M t z j BT xz t T t p c ∞ ϕ ϕ∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥= ρ −γ +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ (5.1) ( , )p r z = 2 ( , ) d( ) exp d . T T R z R r M t z j Bxp z t t p c ∞ ϕ ϕ ∞ ∞ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥= −γ +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ Видно, что вращение стенки (первое сла- гаемое в скобках) приводит к постоянному распределению плотности и давления по сече- нию ядра, а влияние радиальной силы Лоренца при приближении к оси вихря усиливается. Это связано с тем, что часть вещества, нахо- дившегося сначала в ядре, выброшена из него в процессе раскручивания вихря, как в насосе после остановки поршня: воздух в нем покоит- ся, давление понижено, перепад давлений определяется интенсивностью работы поршня. В нашем случае роль поршня играет вращаю- щаяся стенка, интенсивность ее работы ха- рактеризуется разностью скоростей вращения за время формирования стационарного вихря. Электромагнитная сила, в отличие от цент- робежной, действует и в объеме ядра, изменяя не только величину давления, но и его простран- ственное распределение. Таким образом, про- цесс создания вакуума в ядре вихря аналоги- чен процессу в центробежно-электромагнит- ном насосе. Дальнейший анализ формул (5.1) требует знания распределения скорости вращения не только в капельной стенке, но и вне ее. Однако интегральный характер зависимости плотности и давления от скорости вращения допускает приближенное представление этих величин. Будем считать, что капельная стенка тон- кая ( ),TRδ скорость вращения ее постоян- на по толщине и задается формулой (4.3). Течение вне ее по характеру близко к тече- нию в пограничном слое на стенке вращаю- щегося цилиндра [2], так что Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 243Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 ( ) ,TRV r V rϕ ϕ= .TR r≤ < ∞ (5.2) При этом вычисление интеграла в показателе экспоненты (5.1) приводит к следующему ре- зультату: 2 2( , ) d , 2 TR M t z M t t ∞ ϕ ϕ=∫ 0 . 4 S d BcM aϕ ≡ π ρ δ (5.3) Здесь Mϕ представляет собой среднее по се- чению стенки вихря вращательное число Маха. Используя аппроксимацию радиального магнитного параметра (1.7), формулы (5.2) и (5.3), получим для относительного давления и относительной плотности в ядре вихря сле- дующие выражения: ( , ) ( ) p r z p z∞ = 22 , 2exp ( ) 1 1 2 , 2 3 r m E E M r rz R R ϕ⎧ ⎫γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= − + β − +⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ (5.4) ( , ) ( ) r z T z T ∞ ∞ ρ = × ρ 22 , 2exp ( ) 1 1 2 . 2 3 r m E E M r rz R R ϕ ⎡ ⎤⎧ ⎫γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥× − + β − +⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ На рис. 6–8 представлены радиальные рас- пределения относительного давления (5.4) при различных значениях магнитного параметра и вращательного числа Маха. Во-первых, сле- дует отметить, что изменение вращательного числа Маха от 0.1 до 1 вызывает уменьшение давления в ядре вихря на 400 мм рт. ст. Дом, имеющий внутри нормальное давление и вне- запно попавший внутрь вихря, будет испыты- вать внутреннее давление около 5.5 т на каж- дый квадратный метр своей поверхности. Значения магнитного параметра, оцененные по данным [1] для нормального атмосферного давления, изменяются в диапазоне 9 210 10 .− −÷ Под облаком на высоте 1 км абсолютная ве- личина магнитного параметра может дости- гать значений 0.1 1.÷ Анализ показывает, что при изменении значений магнитного параметра от 0 до 0.1 и вращательного числа Маха от 0 Рис. 7. Относительное давление в ядре вихря при различных отрицательных значениях магнитного параметра r ,mβ (указаны у кривых), M 1ϕ = Рис. 6. Относительное давление в ядре вихря при различных отрицательных значениях магнитного параметра r ,mβ (указаны у кривых), M 0.1ϕ = А. Г. Боев 244 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 до 1 изменение давления в центре вихря в ту или другую сторону (в зависимости от знака , )r mβ составляет порядка 10 % (70 100÷ мм рт. ст., рис. 9). Для достаточно больших скоростей вращения такое изменение давления не мо- жет существенно влиять на состояние вихря. При малых скоростях вращения (рис. 8) в на- чальной фазе развития вихря сжатие плазмы ,( 0)r mβ > может не только замедлить, но и вообще не допустить развитие вращательной неустойчивости. При удалении от заряда маг- нитный параметр из отрицательного становится положительным, однако значительно умень- шается по модулю [1]. Поэтому на достаточ- ном удалении от облака раскручивание вихря происходит в основном только под действием центробежной силы. На рис. 10 представлена зависимость вы- соты подъема водяного столба в центре вих- ря при различных скоростях вращения. При вращательном числе Маха равном единице и , 0.1r mβ = вода может подняться на высоту до 6 м. Подобные явления нередко отмеча- лись в наблюдениях [5]. Центробежная сила с увеличением враща- тельного числа Маха существенно умень- шает давление в ядре вихря (рис. 11). Напри- мер, при 3Mϕ = давление в ядре в 500 раз меньше атмосферного, что практически озна- чает, что в нем присутствует глубокий вакуум. Поэтому смерч не может существовать при вращательных числах Маха больших 2–3. В условиях, когда радиальная компонента силы Лоренца вызывает разрежение в ядре вихря ,( 0),r mβ < ситуация может существен-Рис. 8. Относительное давление в ядре вихря при положительных значениях магнитного парамет- ра r ,mβ (указаны у кривых), M 0.1ϕ = Рис. 9. Зависимости давления на оси вихря от маг- нитного параметра r ,mβ при различных значениях Mϕ (указаны у кривых) Рис. 10. Зависимости высоты подъема воды в центре вихря от магнитного параметра r ,mβ при различных значениях Mϕ (указаны у кривых) Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 245Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 но измениться. В ядре, и прежде всего в его центре, при некотором “критическом” значе- нии магнитного параметра может быть создан полный вакуум даже при малых значениях вра- щательного числа Маха. Зависимость крити- ческого значения магнитного параметра от вращательного числа Маха для центра ядра приведена на рис. 12. Для малых скоростей вращения критичес- кое значение ,r mβ порядка единицы, что при нормальном давлении соответствует радиаль- ной силе примерно в 610 дин/cм3. Такая сила возможна лишь под облаком, которое бук- вально ползет по земле. Подобный случай описан в [5], причем отмечается, что движение облака сопровождалось значительными разру- шениями. В условиях сильного разрежения плаз- менно-геомагнитная сила способна иницииро- вать интенсивное вращение облачной среды, из которой затем и рождается смерч. Именно такая картина наблюдается в начальной ста- дии образования смерча [3-5]. Рис.13 иллюстрирует влияние нагрева плазмы вихря на ее плотность при одновре- менном действии центробежной силы и ра- диального магнитного давления. Повышение температуры внутри вихря всегда приводит к выдавливанию плазмы из ядра на перифе- рию и уменьшению плотности. Многочислен- ные наблюдения [3-5] не отмечают заметно- го увеличения температуры в смерчах. Как видно из рисунка, возможное изменение тем- пературы даже на 10° уменьшает относитель- ную плотность на величину всего на 2 %. Рис. 13. Зависимости относительной плотности на оси вихря от отношения температур при раз- личных значениях магнитного параметра r ,mβ (указаны у кривых), M 0.1ϕ = Рис. 12. Зависимость критического значения маг- нитного параметра r ,mβ от среднего вращатель- ного числа Маха Рис. 11. Зависимость относительного давления в ядре вихря от среднего вращательного числа Маха при ,r m 0β = А. Г. Боев 246 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 Это указывает на то, что гидродинамичес- кий и омический нагрев среды вихря не явля- ется определяющим фактором в процессе его образования. 6. Поле скоростей. Граница ядра Одним из важных элементов описания дви- жения среды в вихре является нахождение неизвестной границы ядра .TR Она разде- ляет вихрь на вращающуюся и невращаю- щуюся части и должна определяться в рам- ках единой задачи о движении среды в ядре и стенке. В ядре вращения нет, и здесь дви- жение характеризуется только радиальной и вертикальной компонентами. Вне ядра дви- жение более сложное, здесь существует еще и вращение. В упрощенной постановке (ради- альная и осевая компоненты силы Лоренца малы) задача определения поля скоростей может быть сформулирована следующим образом. Для радиального и осевого движения в области ядра и вне его (0 ,r≤ < ∞ 0 ) :z h< < 1 ( ) ( ) 0,r zr V V r r r ∂ ∂ρ + ρ = ∂ ∂ (6.1) ,z z z z r z V V F VV V r r z r r r ∂ ∂ ν ∂ ∂⎛ ⎞+ = + ⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 1 2 d ; 0 ; 1где d ; . T T z T r R Vt r R t zF p g z Vt R r t z ∞ ϕ ∞ ϕ ⎧ ∂ ≤ ≤⎪ ∂⎪∂≡ − − = ⎨ρ ρ ∂ ∂⎪ ≤ < ∞⎪ ∂⎩ ∫ ∫ (6.2) На оси вихря ( 0) :r = 0,rV = .zV M< Вдали от вихря ( ) :r→∞ , 0.r zV V → Для скорости вращения вне ядра ( ,TR r≤ < ∞ 0 ) :z h< < ( ) ( )1 ,r z rV V F rVV V r r z r r r ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂+ = + ν ⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂⎝ ⎠ 1 2 , ( , ) exp d r r F j M t z c t t ϕ ∞ ϕ ∞ = − ρ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ρ −γ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ B (6.3) 0 1 4 d , ; 0, . d T E r E B V r R r R c R r ∞ ϕ ⎧ π− ρ ≤ ≤⎪= ⎨ ⎪ ≤ < ∞⎩ ∫B Скорость вращения должна удовлетворять следующим условиям: 0 4 d , T d R B V r c ∞ ϕ π= ρ∫ 0Vϕ → при .r→∞ (6.4) Эффективный коэффициент кинематической вязкости имеет вид: 2( , ) exp d .T r M t z t t ∞ ϕ⎧ ⎫⎪ ⎪ν = ν γ⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ (6.5) Для образования стационарной капельной стенки радиальная скорость внутри ядра должна быть положительной, а вне его – отрицательной. Радиус ядра TR определяется условием: 0rV = при 0.Tr R= ≠ (6.6) На поверхности земли ( 0)z = для скоростей должны выполняться условия прилипания ( , , 0).r zV V Vϕ = Однако приведенные уравне- ния справедливы при условии r z∂ ∂ ∂ ∂ и не применимы непосредственно у поверх- ности земли, где, наоборот, .z r∂ ∂ ∂ ∂ Поэтому решения этих уравнений должны со- прягаться с решением для приземного погра- ничного слоя. Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 247Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 Из (6.1) – (6.6) видно, что даже при сде- ланных упрощающих предположениях задача описания гидродинамических полей вихря по-прежнему остается очень сложной. В свя- зи с этим рассмотрим частный случай, когда: a) движение дозвуковое 2( 1),Mϕγ плот- ность среды и коэффициент кинематической вязкости при этом можно считать не завися- щими от скорости вращения; б) капельная стенка тонкая, что соответ- ствует малодисперсному распределению ка- пель по размерам, и можно считать, что вра- щающая сила скачком изменяется на границе ядра от нуля до своего максимального значе- ния ,0;Fϕ интегральное условие в (6.4) для ско- рости вращения становится начальным усло- вием на границе ядра, ,V Vϕ ϕ= 0 4 \| \|dV cBϕ ≡ π ρ δ при ;Tr R= (6.7) в) плотность радиального тока проводи- мости линейно зависит от высоты, 0( ) , 0 ; 0, . E E r T T T E z zr R rI r R j R R R h r R ⎧ ⎛ ⎞ +− − ≤ ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ >⎩ (6.8) Зависимости плотности радиального тока, определяющего вращающую силу, от коорди- нат r и z находятся численно в рамках элект- рической задачи ([1], рис. 22) с использовани- ем рис. 14. Анализ показывает, что они близки к квадратичным как по r, так и по z. Зависи- мость (6.8) (рис. 14, пунктир) хотя и не точно, но тем не менее соответствует характеру неоднородности радиального тока (монотон- ному увеличению с высотой). Величина I имеет размерность плотности тока и может быть определена по заданному распределе- нию .rj Эффективная глубина 0z введена для учета конечности тока на поверхности земли. В этих предположениях задача (6.1) – (6.6) допускает следующее решение. В области ядра (0 ) :Tr R≤ ≤ , 2 ( ),r kV r ν= φ η , ,0 ( ),z k zV V hϕ ′= − φ η (6.9) 0 ,0 0 , 4 d cBVϕ = π ρ δ ,0 2(1) , 4 V J r h ϕη = ν 1 2 2 2 1 d(1) ( ) .tJ t t ∞⎡ ⎤ = Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ Здесь ,0Vϕ и 0( )dρ δ скорость вращения и по- верхностная плотность капельного заряда ма- теринского вихря, функция Φ под интегралом описывает радиальное распределение скорос- ти вращения в стенке (см. ниже). Функция φ является решением следующей одномерной краевой задачи: 2( ) 1 0,′′ ′ ′′ ′ηφ − φφ + φ − = (6.10) (0) 0,φ = (0) ,M′φ < ( ) 0.Tφ η = Рис. 14. Распределение радиального тока по высоте вихря при Q .19= −63 Кл , h a 0.5,= r a 0.009 := кривая 1 – расчет, кривая 2 – линей- ная модель А. Г. Боев 248 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 Последнее краевое условие в (6.10) получено из (6.6), Tη – значение переменной η, при ко- тором функция φ обращается в нуль. Радиус ядра определяется по значению Tη формулой ( )1 2 1 2 ,04 (1) ~ .T TR h V J V − ϕ ϕ= ν η (6.11) Видно, что чем быстрее вращается вихрь, тем тоньше его воронка. На первый взгляд эта зависимость представляется необычной. Она есть следствие равенства вертикальных сил, действующих на границе ядра. Согласно (6.2) подъемная сила увеличивается со скоростью вращения. В условиях стационарного течения “градиентная” сила вязкости компенсирует это увеличение уменьшением радиуса ядра. Ра- венство этих сил при связи (6.9) вертикальной скорости со скоростью вращения и приводит к зависимости (6.11). Величина Tη отражает роль инерционных слагаемых во втором урав- нении (6.1). Вне ядра ( ) :TR r≤ < ∞ 1 2 ,0 ( ),r rV V G−= ς ς ,0 ( ),z z zV V G h ′= − ς (6.12) 1 2 ,0 ( ) ,zV V h − ϕ ϕ= ς Φ ς ,0 2 ,r T V R ν= ,0 2 4 ,z T hV R ν= 2 2 , T r R ς = где TR определен формулой (6.11). Здесь вве- дена уже другая переменная ς, т. к. во внеш- ней области расстояние удобнее измерять в радиусах ядра. Функции ( )G ς и ( )Φ ς удов- летворяют при этом следующим уравнениям: ( ) ( )2 2 2( ) (1) 0,G GG G P J J′′′ ′′ ′ς − + − ς = (6.13) 1 2 0,E T RG G W H R ⎛ ⎞′′ ′ ′ςΦ − Φ + Φ + ς − ς =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ где 2 ,TP ≡ η 0 2 ,0 ,TIB hW c V∞ ϕ η≡ − ρ ( )H x – функ- ция Хевисайда, 1 2 1 2 2 2( ) ( ) d .J t t t ∞ − ς ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ς ≡ Φ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ Согласно (6.7) и второму условию (6.4) функция Φ должна удовлетворять краевым условиям: (1) 1,Φ = ( ) 0.Φ ∞ = Функция G является продолжением функции φ во внешнюю область и связана с ней на гра- нице ядра условиями непрерывности скорос- тей и вязких напряжений , , :rr r rzP P Pϕ (1) 0,G = 2(1) ,G L′ = − 2(1) ( ),T TG′′ ′′= η φ η 2 ( ) .T TL ′≡ η φ η Кроме того, ( ) 0.G′ ∞ = Решения (6.9) и (6.12) зависит от коэффи- циента турбулентной кинематической вязкос- ти ν, значение которого определяется степе- нью развитости турбулентности атмосферы под грозовым облаком. В атмосфере этот ко- эффициент может на четыре – пять, а иногда и на шесть порядков превышать значение со- ответствующего молекулярного коэффициен- та [7, 11]. Система (6.13) зависит от параметра W. Для значений ,0 150Vϕ = м/с, 500h = м, 5 0 10IB c −= Н/м3, 1.29∞ρ = кг/м3, ~ 6Tη по- лучим 610 .W −≈ Малое значение параметра W указывает на то, что в стенке дополнительного увеличения скорости вращения практически не происходит. Поэтому последнее слагаемое во втором уравнении (6.13) можно опустить. Задача определения радиальной структуры вих- ревого движения становится при этом универ- сальной, т. к. в ней нет зависимости от скорости вращения, параметров облака и атмосферы. Здесь следует заметить, что закон изменения радиального тока с высотой при этом оказы- вается несущественным и предположение о его линейности (6.8) является излишним. Однако такая оценка параметра W справед- Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 249Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 лива лишь вдали от облака. Вблизи заряда значение этого параметра может многократно возрасти, и последнее слагаемое во втором уравнении (6.13) необходимо будет учитывать. 7. Стенка, каскад, периферия Полученная система обыкновенных урав- нений интегро-дифференциальная, поэтому ре- шение ее будем строить методом итераций, определив его так, чтобы интегральные сла- гаемые на каждом шаге были уже заданы. Уравнение (6.10) зависит от распределения ско- рости вращения в стенке лишь неявно (через переменную η), поэтому рассмотрение этого процесса проведем далее только на системе (6.13). Уравнения для итераций имеют вид: 0,n n n n nG G′′ ′ ′ςΦ − Φ + Φ = 1, 2, ...,n = ( ) ( )2 2 2 1 1( ) (1) 0,n n n n n nG G G G P J J− − ′′′ ′′ ′ς − + − ς = (7.1) (1) 0,nG = 2(1) ,nG L′ = − ( ) 0,nG′ ∞ = 2(1) ( ),n T n TG′′ ′′= η φ η (1) 1,nΦ = ( ) 0.nΦ ∞ = Нулевую итерацию определим как реше- ние задачи о поведении поля скоростей вблизи границы ядра. При этом из (7.1) получим: 0 0,G = 2 0 ,G L′ = − 2 0 0 0,L′′Φ + Φ = 0 (1) 1.Φ = Откуда [ ]0 ( ) exp ( 1) .LΦ ς = − ς − При этом 1/ 2 2 2 10 2 1 ( ) 1( ) d ( 1) 2 k k tJ t k Lt ∞ ∞ − =ς Φς = = − ×∑∫ 1/ 2 1 2 ( 1) 1exp( )d , 1. 2 2 k L x x x L L −∞ ς − ς −⎛ ⎞× − <⎜ ⎟⎝ ⎠∫ Ограничившись в этой сумме первым сла- гаемым, для определения первой итерации по- лучаем следующую задачу: ( ) 2 1 2 1 1 1 1 exp 2 ( 1) 0,G GG G P L′ ⎡ ⎤′′ ′′ ′ς + − + − ς − =⎣ ⎦ 1 1 1 1 1 0,G G′′ ′ ′ςΦ + Φ − Φ = 1(1) 0,G = 2 1(1) ,G L′ = − 1( ) 0,G′ ∞ = 2 1 1(1) ( ),T TG′′ ′′= η φ η 1(1) 1,Φ = 1( ) 0.Φ ∞ = Эта и последующая для второй итерации системы интегрировались численно вместе с уравнением (6.10). На рис. 15 представлены три итерации (нулевая, первая и вторая) для функции Φ. С ростом номера итерации раз- личие между ними уменьшается, что гово- рит о сходимости процесса. На этом основа- нии процесс ограничивался нахождением лишь второй итерации. На рис. 16 представ- лены графики нормированных на свои харак- терные значения радиальной (кривая 1) и осе- вой (кривая 2) скоростей в ядре. Видно, что радиальная скорость внутри ядра положитель- на, т. е. направлена от оси. Вблизи оси ( 1.2)η ≈ Рис. 15. Итерации нормированной скорости вра- щения. Номера итераций указаны у кривых А. Г. Боев 250 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 она имеет максимум. В точке 5.95Tη = она обращается в нуль, как и положено на границе ядра. Осевая скорость в ядре изменяет знак при 2.2.η ≈ Вблизи оси воздух опускается вниз, вблизи стенки поднимается вверх. На рис. 17 представлены радиальные распреде- ления нормированных скоростей вне ядра. Радиальная скорость (рис. 17, кривая 1) отри- цательна, т. е. воздух с периферии подсасы- вается к центру вихря. Согласно (6.9) и (6.12) она не зависит от z, т. е. подсос воздуха проис- ходит равномерно по всей высоте вихря. Это означает, что внутренняя граница стенки ка- пельного соленоида (рис. 17, черный квадра- тик) представляет собой прямой круговой ци- линдр. Форма ее внешней границы определяет- ся дисперсией капель по размерам. При одно- родном распределении капель по высоте капель- ная стенка, являющаяся отражателем света и радиоволн, будет видна в виде прямого цилин- дра, окружающего ядро. Скорость радиального движения на расстоянии 0.4 TR от стенки ядра достигает своего экстремального значения, а с увеличением расстояния стремится к нулю по закону 1 .r∝ Скорость осевого движения (рис. 17, кривая 2) и скорость вращения (рис. 17, кривая 3) положительны, что соответствует циклоническому спиральному движению воз- духа вверх. Оно ускоряется с высотой (см. (6.9), (6.12)), и, как видно из рис. 17, существует лишь в небольшой (0.5 )TR внешней окрест- ности границы ядра. Эту область естественно назвать спиральной стенкой. Она состоит из смеси воздуха с заряженными каплями и пы- левыми частицами, поднятыми ветром с зем- ли. Относительный шаг спирали (высота подъе- ма за один оборот, отнесенная к радиусу ядра), с учетом (6.11), (6.12), равен 2 ( , ) ( , ) 2 (1) ( )s T z T T TR V z R V z R Jϕ ′λ = π = π φ η и является универсальной величиной. Для на- шего решения ( ) 0.57T′φ η ≈ и 1.86.s TRλ ≈ В области (0.5 1) TR÷ вне ядра воздух, при- ходящий с периферии, поднимается вверх практически без вращения. Здесь воздушный поток способен создавать вокруг вихря вер- тикальные пылевые столбы, поднимать в воз- дух листья, капли и мелкие предметы. По- добные явления носят названия каскадов и, Рис. 16. Нормированные скорости движения в ядре: кривая 1 – радиальная, кривая 2 – осевая Рис. 17. Нормированные скорости движения в стенке вихря: кривая 1 – радиальная, кривая 2 – осевая, кривая 3 – вращательная Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 251Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 согласно наблюдениям [5], сопровождают каждый смерч. Над водными поверхностями смерчи образуют каскады из воды. Эту вне- шнюю окрестность стенки вихря естественно назвать областью каскада. Вне ее ( 2.4 )Tr R> вертикального движения воздуха и вращения уже нет. Это периферия вихря. Здесь суще- ствует только медленный радиальный приток воздуха к вихрю. Проведем теперь оценку радиуса ядра и характерных скоростей, используя (6.11), (6.12) и полученное решение. Для коэффициента ки- нематической вязкости 10ν = м2/с при высо- те заряда 500 м, (1) 0.52,J ≈ 5.95Tη ≈ полу- чим: 1 2 ,0480 ,TR V − ϕ≈ ⋅ ,0 ,0 0.284,zV Vϕ ≈ ,0 ,0 2 .r z TV V R h= При скорости вращения ,0 150Vϕ = м/с 39.2TR ≈ м, ,0 43zV ≈ м/с, ,0 1.7rV ≈ м/с. Полученное решение показывает, что тол- щина спирально вращающейся воронки много меньше ее высоты, поэтому использованное приближение пограничного слоя является спра- ведливым. Линейная зависимость скорости вращения предполагает, что поверхностная плотность капельного заряда ,dρ δ согласно (6.7), обрат- но пропорциональна координате z: 0( ) ,d d h z ρ δ = ρ δ 0.z ≠ (7.2) Такая зависимость не противоречит зако- ну сохранения капельного заряда 1 ( ) ( ) 0.d r d zrV V r r z ∂ ∂ρ + ρ = ∂ ∂ Действительно, интегрирование этого уравне- ния по радиусу от границы ядра до бесконеч- ности дает: 12 ( ) ,T d zR V Cρ δ = где zV – средняя по сечению стенки вихря осевая скорость, за- висящая от z линейно (см. (6.12)). При посто- янном радиусе ядра поверхностная плотность капельного заряда должна увеличиваться с уменьшением высоты по закону (7.2). Характер этой зависимости может быть объяснен взаимодействием ветра, создавае- мого вихрем, с поверхностью земли. Макро- скопические пылинки или капли, захватывае- мые сходящимся радиальным потоком с пе- риферии вихря, попадают в плазменный столб, где перезаряжаются отрицательно. Они кон- центрируются вблизи стенки ядра, создавая дополнительный заряд, уменьшающийся с высотой. При этом должно происходить уве- личение толщины стенки капельного соленои- да, поскольку распределение пыли и капель по размерам в приземном слое, скорее всего, характеризуется большой дисперсией. Таким образом, стенка вихря над поверхностью зем- ли должна состоять не только из слабоионизо- ванной плазмы, но и из заряженных капель и пылинок. Аналогичная картина должна на- блюдаться и в вихрях над водной поверхнос- тью, только роль пылинок здесь должны иг- рать капли. Отметим также, что из (7.2) следует, что конвективный ток не зависит от высоты, т. е. 0.j zϕ∂ ∂ = Ранее ([1], формула (5.5)) при на- хождении магнитных полей это условие вво- дилось в качестве предположения. В формировании каскада может принимать участие не только сам вихрь, но и электричес- кое поле вне границ разряда. Здесь электри- ческое поле меньше порогового, тем не менее велико, порядка нескольких киловольт на сан- тиметр. Оно само способно поднять с поверх- ности земли заряженные капли и пыль и соз- дать невращающийся каскад. При этом радиус da и высота z подъема капли могут быть оце- нены по следующей формуле [8]: 24 ( ), 3 d w za g E zπ ρ = χ А. Г. Боев 252 Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 где wρ – плотность воды, 0.3χ = В. Напри- мер, электрическое поле напряженностью 3zE = кВ/см способно поднять капли радиу- сом 310da −≈ см. Такой каскад должен иметь вид диффузного облака, в котором более круп- ные капли расположены выше, чем мелкие. Это связано с тем, что более мелкие капли быстрее ускоряются полем, а значит, и оста- навливаются силой лобового сопротивления ближе к поверхности земли. Наличие каска- дов у смерчей служит важным доказатель- ством их электромагнитной природы. Это осо- бенно заметно на примере водяных смерчей, у которых воронка не достает воды, а каскад существует [12]. Выводы В формулировке задачи о движении плаз- менно-капельной среды в вихре основным является выражение для вращающей силы. Она имеет электродинамическую природу, ей нет аналога в гидродинамике обычной не- проводящей среды. Эта сила пропорциональ- на радиальному току в плазме, вертикальной компоненте геомагнитного поля и является возрастающей функцией скорости вращения. Под ее действием слабое начальное враще- ние способно неоднократно ускоряться. Од- нако при этом начинает происходить усиле- ние вертикального магнитного поля, индуци- рованного вращающимися заряженными кап- лями, играющими роль капельного соленоида. При некоторой скорости вращения и опре- деленных знаке и величине заряда капель магнитное поле этого соленоида уничтожает вращающую силу в центре вихря. Здесь воз- никает ядро, которое характеризуется отсутст- вием в нем вращения и пониженным давле- нием. Плотность капельного заряда, необхо- димая для создания ядра, вполне достижима в сильных облачных неоднородностях. Гра- ницей ядра служит стенка из капель, оста- новленных воздушным центростремительным потоком, созданным в атмосфере вращаю- щимся вихрем. Согласно описанному механизму возникно- вение и существование смерча определяется следующими факторами. 1. Периферийный облачный заряд – силь- ный 3 2 ,0( ~ 10 10d − −ρ ÷ Кл/м3), относительно низко расположенный ( 0.72)h a < и мелкока- пельный ( ~ 0.5a мкм). Вихрь под отрицатель- ным зарядом имеет циклоническое направле- ние вращения. 2. Атмосфера под зарядом – достаточно сухая ( 0.05),w < и вертикальная компонента геомагнитного поля 0B отлична от нуля. 3. Источником энергии вихря является ано- мально сильный облачный заряд. Электри- ческая энергия заряда радиусом 1 км и тол- щиной 10 м порядка 12 1410 10÷ МДж, мощ- ность, развиваемая им в течении получаса, – 8 10~ 5 10 10W ⋅ ÷ МВт. 4. Среда приводится во вращение плаз- менно-геомагнитной силой ,0 0 ,rF j B cϕ = − увеличенной радиальной компонентой силы Лоренца и центробежной силой. 5. Стационарный режим вращения вихря характеризуется образованием в нем капель- ного соленоида из вращающихся заряженных капель. Магнитное поле соленоида уничто- жает в центре вихря геомагнитное поле и вра- щающую силу, приводя к образованию невра- щающегося разреженного ядра. 6. Положение границы ядра характери- зуется нулевым значением радиальной ско- рости движения среды. Радиус ядра умень- шается с увеличением скорости вращения 1 2~ ,TR V − ϕ толщина капельной стенки опре- деляется распределением капель по размерам. 7. Капли рассеивают свет и радиоволны, определяя видимый образ вихря. При малодис- персном распределении капель вихрь представ- ляется в виде тонкого кругового цилиндра. В противном случае – в виде широкого круго- вого конуса. 8. Кроме вертикальных смерчей, возмож- ны и межоблачные, в том числе горизонталь- ные вихри с аналогичными свойствами. 9. Смерч характеризуется сильными, сла- боубывающими с расстоянием электрическим и магнитным полями. Плазма разряда, образу- Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря 253Радиофизика и радиоастрономия, 2009, т. 14, №3 ющего смерч, способна отражать радиовол- ны сантиметрового и миллиметрового диапа- зонов. Эти обстоятельства могут быть исполь- зованы для диагностики смерчей. 3. Проведенный анализ и корреляция по- лученных результатов с наблюдательными данными позволяют трактовать смерч как атмосферно-облачный газовый разряд. Литература 1. Боев А. Г. Электромагнитная теория смерча. I. Электродинамика вихря // Радиофизика и радио- астрономия. – 2009. – Т.14, №2. – С. 121-149. 2. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. – М.: Физматгиз, 1962. – 480 с. 3. Колобков Н. В. Грозы и шквалы. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. – 356 с. 4 Сноу Д. Т. Торнадо // В мире науки. – 1984. – №6. – С. 44-54. 5. Наливкин Д. В. Смерчи. – М.: Наука, 1984. – 112 с. 6. Справочник по геофизике. – М.: Наука, 1965. – 572 с. 7. Облака и облачная атмосфера. Справочник / Под ред. И. П. Мазина и А. Х. Хргиана. – Л.: Гидро- метеоиздат, 1989. – 648 с. 8. Френкель Я. И. Теория явлений атмосферного электричества. – Л.-М.: ГИТТЛ, 1949. – 156 с. 9. Имянитов И. М., Чубарова Е. В., Шварц Я. М. Элек- тричество облаков. – Л.: Гидрометеоиздат, 1971. – 92 с. 10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. – М.: ГИТТЛ, 1953. – 788 с. 11. Матвеев Л. Т. Курс общей метеорологии. – Л.: Гидрометеоиздат, 1976. – 640 с. 12. Наливкин Д. В. Ураганы, бури, смерчи. – Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1969. – 488 с. Електромагнітна теорія смерчу. II. Гідродинаміка вихору А. Г. Боєв Стаття є другою частиною роботи, присвя- ченої електродинамічній теорії смерчу. Сфор- мульовано та досліджено гідродинамічну зада- чу про рух плазмово-крапельного середовища, що утворює смерч. Отримано вираз для обер- тальної сили. Вона є пропорціональною верти- кальній компоненті геомагнітного поля та рад- іальному струмові у плазмі і підсилена радіаль- ною компонентою сили Лоренцо та відцентро- вою силою. Виконано розрахунок поля швидко- стей, густини та тиску дозвукового вихору. Отримана картина руху кількісно та якісно відпо- відає результатам спостережень. The Electromagnetic Theory of Tornado. II. Hydrodynamics of a Whirlwind A. G. Boev This paper is the second part of the work de- voted to the electromagnetic theory of a tornado. The hydrodynamic problem on the movement of a whirlwind-forming plasma-drop environment is for- mulated and investigated. The expression for the rotating force is obtained. The force is proportional to the vertical component of a geomagnetic field and to the radial current in plasma. It is increased by the Lorentz force radial component and centrif- ugal force. The field of speeds, density and pres- sure of a subsonic whirlwind is calculated. The picture of movement found corresponds qualita- tively and quantitatively to the observational data.

Электромагнитная теория смерча. II. Гидродинамика вихря

Institution

Similar Items