Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]

Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]

У роботі запропонований метод побудови у явній формі множини сплайнів першого порядку, неперервних і ортогональних на відрізку [-1,1], а також досліджується питання про наближення функцій однієї змінної за їх допомогою. Наведені формули для парних та непарних сплайнів із заданою кількістю вузл...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Штучний інтелект
Datum:2011
Hauptverfasser: Литвин, О.М., Лобанова, Л.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2011
Schlagworte:
Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59900
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1] / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Штучний інтелект. — 2011. — № 3. — С. 254-260. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-59900
record_format dspace
spelling Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
2014-04-10T14:52:00Z
2014-04-10T14:52:00Z
2011
Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1] / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Штучний інтелект. — 2011. — № 3. — С. 254-260. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
1561-5359
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59900
519.6
У роботі запропонований метод побудови у явній формі множини сплайнів першого порядку, неперервних і ортогональних на відрізку [-1,1], а також досліджується питання про наближення функцій однієї змінної за їх допомогою. Наведені формули для парних та непарних сплайнів із заданою кількістю вузлів, таблиці вузлів та нулів отриманих сплайнів. Запропонований метод можна буде використати для математичного моделювання та дослідження процесів різної природи.
В работе предложен метод построения в явной форме множества сплайнов первого порядка, непрерывных и ортогональных на отрезке [-1,1], а также исследуется вопрос о приближении функций одной переменной с их помощью. Приведены формулы для четных и нечетных сплайнов с заданным количеством узлов, таблицы узлов и нулей полученных сплайнов. Предложенный метод может быть использован для математического моделирования процессов различной природы.
The method for obvious formed construction of set of continuous and orthogonal on [-1,1] splines of the first degree is offered, and approximation of functions of one variable by these splines is also investigated. The formulas for even and odd splines with the fixed quantity of nodes, tables of nodes and zeros of the received splines are given. The offered method can be used for mathematical modeling of processes of the various nature.
uk
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
Штучний інтелект
Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений
Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
Математическое моделирование процессов с помощью интерполяционных сплайнов, ортогональных на отрезке [-1,1]
Mathematical Modeling of Processes by Orthogonal on [-1,1] Interpolation Splines
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
spellingShingle Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений
title_short Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
title_full Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
title_fullStr Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
title_full_unstemmed Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
title_sort математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1]
author Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
author_facet Литвин, О.М.
Лобанова, Л.С.
topic Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений
topic_facet Интеллектуальные интерфейсы и распознавание образов. Системы цифровой обработки изображений
publishDate 2011
language Ukrainian
container_title Штучний інтелект
publisher Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
format Article
title_alt Математическое моделирование процессов с помощью интерполяционных сплайнов, ортогональных на отрезке [-1,1]
Mathematical Modeling of Processes by Orthogonal on [-1,1] Interpolation Splines
description У роботі запропонований метод побудови у явній формі множини сплайнів першого порядку, неперервних і ортогональних на відрізку [-1,1], а також досліджується питання про наближення функцій однієї змінної за їх допомогою. Наведені формули для парних та непарних сплайнів із заданою кількістю вузлів, таблиці вузлів та нулів отриманих сплайнів. Запропонований метод можна буде використати для математичного моделювання та дослідження процесів різної природи. В работе предложен метод построения в явной форме множества сплайнов первого порядка, непрерывных и ортогональных на отрезке [-1,1], а также исследуется вопрос о приближении функций одной переменной с их помощью. Приведены формулы для четных и нечетных сплайнов с заданным количеством узлов, таблицы узлов и нулей полученных сплайнов. Предложенный метод может быть использован для математического моделирования процессов различной природы. The method for obvious formed construction of set of continuous and orthogonal on [-1,1] splines of the first degree is offered, and approximation of functions of one variable by these splines is also investigated. The formulas for even and odd splines with the fixed quantity of nodes, tables of nodes and zeros of the received splines are given. The offered method can be used for mathematical modeling of processes of the various nature.
issn 1561-5359
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/59900
citation_txt Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1] / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Штучний інтелект. — 2011. — № 3. — С. 254-260. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT litvinom matematičnemodelûvannâprocesívzadopomogoûínterpolâcíinihsplainívortogonalʹnihnavídrízku11
AT lobanovals matematičnemodelûvannâprocesívzadopomogoûínterpolâcíinihsplainívortogonalʹnihnavídrízku11
AT litvinom matematičeskoemodelirovanieprocessovspomoŝʹûinterpolâcionnyhsplainovortogonalʹnyhnaotrezke11
AT lobanovals matematičeskoemodelirovanieprocessovspomoŝʹûinterpolâcionnyhsplainovortogonalʹnyhnaotrezke11
AT litvinom mathematicalmodelingofprocessesbyorthogonalon11interpolationsplines
AT lobanovals mathematicalmodelingofprocessesbyorthogonalon11interpolationsplines
first_indexed 2025-11-25T23:07:15Z
last_indexed 2025-11-25T23:07:15Z
_version_ 1850577672283881472
fulltext «Искусственный интеллект» 3’2011 254 4Л УДК 519.6 О.М. Литвин, Л.С. Лобанова Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків, Україна academ@kharkov.ua, ludmila_lobanova@mail.ru Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів, ортогональних на відрізку [-1,1] У роботі запропонований метод побудови у явній формі множини сплайнів першого порядку, неперервних і ортогональних на відрізку [-1,1], а також досліджується питання про наближення функцій однієї змінної за їх допомогою. Наведені формули для парних та непарних сплайнів із заданою кількістю вузлів, таблиці вузлів та нулів отриманих сплайнів. Запропонований метод можна буде використати для математичного моделювання та дослідження процесів різної природи. Вступ Сплайн-функції – це розділ теорії наближення функцій і чисельного аналізу, який швидко розвивається. Поряд з ортогональними системами функцій [1], [2] сплайни широко використовуються в обчислювальній математиці та інженерній практиці. Визначальна роль сплайнів в теорії наближення функцій привела до появи вели- кої кількості публікацій, присвячених сплайнам [3], [4]. Серед ортогональних кусково- лінійних сплайнів найбільш відомою є система лінійних сплайнів Франкліна, яка отримується застосуванням процесу ортогоналізації Шмідта на відрізку [0,1] до системи Фабера – Шаудера, побудованої за допомогою множини двоїчно раціональних точок відрізку [0,1]; в цьому випадку система Фабера – Шаудера з точністю до сталих множ- ників збігається з системою 1 0 1, ( )n x dx          , де   1 ( )n n x   є системою Хаара [5], [6]. Ортонормована система неперервних функцій Франкліна не має явного виразу для елементів системи, як це є в ортогональних системах Хаара, Уолша і Радемахера для кусково-сталих сплайнів. Незважаючи на це, залишається відкритим питання про побудову і використання сплайнів, ортогональних на заданому відрізку. В роботі [7] побудовані ортогональні на відрізку [-1,1] сплайни степеня n , які мають розривну похідну 1k  -го порядку        , ! 1 1 , 0, 1 2 ! n k n kn k n k k n k n k d P x x x k n n x dx            . У роботі [8] автори запропонували алгоритм побудови ортогональних на від- різку [-1,1] сплайнів та дослідили деякі їх властивості. У цій роботі розглядається загальний метод побудови неперервних ортогональних сплайнів n -го порядку на рівномірній сітці 1 2 / , 0,kx k m k m    . В основі такої побудови лежать поліноми Лежандра    2( 1) 1 , 0,1,... !2 n n n n n n d P x x n n dx        , які є ортогональними на відрізку Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів... «Штучний інтелект» 3’2011 255 4Л  1,1 . Алгоритм побудови системи сплайнів степеня n , ортогональних і неперерв- них на відрізку  1,1 , визначається формулами        , 2 1 2 , 1 , 1 , 1 2 1 / , 1 2 / , 1, , 2 , ,n m k k n m m P t P t t k m k m k m n n n N                           1 , 2 1 2 , 1 , 1 1 , 1 2 1 / , 1 2 / , 1, , 2 1, . k n m k k n m m P t P t t k m k m k m n n n N                      Наближення функцій скінченними сумами цих сплайнів здійснюється за фор- мулами             1 , , ,2 0 1, 1 , ( ) m n m k n k k n k k n k S f x C f P x C f f x P x dx P x     . У роботі [4] досліджуються сплайн-вейвлети степеня n . В основі їх побудови лежить використання однієї функції – вейвлета  x , яка дозволяє побудувати орто- гональну вейвлет-систему на базі системи    / 2 , 2 2 , ,j j j k x x k j k Z    . Отже, залишається актуальним питання про розробку і використання сплайнів, ортогональних на заданому відрізку, та математичних моделей на їх основі. Постановка задачі Нехай досліджуваний процес описується функцією однієї змінної ( )f x на від- різку [-1,1]. Метою даної роботи є побудова у явній формі множини сплайнів першого порядку, неперервних та ортогональних на відрізку [-1,1], а також мате- матичної моделі на їх основі досліджуваного процесу. Побудова інтерполяційних сплайнів, неперервних та ортогональних на відрізку [-1,1] Припустимо, що 0 1( ) 1, ( ) ,P x P x x  а ( ) ( 2,3,...)kP x k  має 1k  вузлів , ( 1, 1)k ix i k  , розташованих симетрично відносно початку координат, і є лінійною функцією на кожному з інтервалів ,1 ,1 ,2 , 1( 1, ), ( , ),..., ( ,1)k k k k kx x x x  , яка на кінцях цих інтервалів приймає по черзі значення 1 , і ( 1) 1 ( 1,2,3,...)kP k    . Окрім цього, за побудовою 2 2 2 1 2 1( ) ( ), ( ) ( ), ( 1, 2,3...)k k k kP x P x P x P x k       , тобто множина  ( )nP x містить в собі парні і непарні сплайни; при цьому парні сплайни мають непарну кількість вузлів, і навпаки, непарні мають парну кількість вузлів. Для визначення цих вузлів використаємо умову ортогональності сплайна ( ) ( 2,3, ...)kP x k  до попередніх сплайнів ( ) ( 1, 2,..., 1)k jP x j k   : 1 2 1 1 ( ) ( ) 0, 2, 3, ..., 1, 3, ..., 2 3k jP x P x dx k j k      (1) Литвин О.М., Лобанова Л.С. «Искусственный интеллект» 3’2011 256 4Л 1 2 1 ( ) ( ) 0, 1, 2,3,..., 0, 2,..., 2 2k jP x P x dx k j k      . (2) Умови (1) або (2) приводять до системи 1k  рівнянь з 1k  невідомими. Теорема 1. Система  ( ), 0,1, 2,3,...kP x k  , де ( )kP x визначаються формулами 0 1( ) 1, ( ) ,P x P x x  (2 ) (2 )1 (2 ) (2 )1 1 2 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 11 1 1 2 ( ) ( 1) | | ( 1) (| | | |) ( )( ) n nn n nn n i i i n i in n n n n i i ii i x x P x x x x x x x x x x x                   (2 ) 1 (2 ) 1 1 1 n n n n x x      , (2 1) (2 1) 1 (2 1) (2 1)1 2 2 1 1 1(2 1) (2 1) (2 1) 1 2 1 ( ) ( 1) (| | | |) 2 ( ) n n n n n n n n n x x P x x x x x x x x                  (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)1 1 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2 1 1 ( 1) (| | | |) ( )( ) n nn n nn i i i i in n n n i i ii i x x x x x x x x x x                        (2 1) 2 1 n n x x   , (2 ) (2 1)(2 ) 0 11,2,3,...; 0, 1, 1n nn n nn x x x      є ортогональним базисом сплайнів першого степеня на відрізку [-1,1] з симетрично розташованими вузлами. Для отримання формул (3) скористались тим фактом, що функцію 1 1 2 1 2 1 ( ), ( ), ( ) ( ),n n f x x a f x a x a f x f x a x              можна записати єдиним аналітичним виразом [9] 1 1 1 1 ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) 2 n i i n i ii f x f x f x f x f x x a x a              . Наведемо кілька побудованих неперервних ортогональних на відрізку  1,1 сплайнів: 2 ( ) 1 2P x x  ,     (3) (3) (3)1 3 1 1(3) (3) (3) 1 1 1 12 ( ) | | | | 1 2 1 xx P x x x x x x x x         ,     (4) (4) (4) 1 4 1 1(4) (4)(4) (4) 1 11 1 12 | | 1 ( ) | | | | 11 xx P x x x x x x xx x         ,     (7) (7) (7) (7)1 2 7 1 1(7) (7) (7) (7) 3 1 2 1 2 ( ) | | | | 1 2 x xx P x x x x x x x x x               (7) (7) (7) (7)3 1 2 2(7) (7) (7) (7) 3 2 2 1 | | | | x x x x x x x x x x         (3) Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів... «Штучний інтелект» 3’2011 257 4Л      (7) (7) (7)2 3 3(7) (7) (7) 3 3 2 1 | | | | 1 x x x x x x x x        ,     (10) (10) (10)2 10 1 1(10) (10) (10) (10) 1 1 2 1 2 | | ( ) | | | | xx P x x x x x x x x x              (10) (10) (10) (10)3 1 2 2(10) (10) (10) (10) 3 2 2 1 | | | | x x x x x x x x x x              (10) (10) (10) (10)4 2 3 3(10) (10) (10) (10) 4 3 3 2 | | | | x x x x x x x x x x              (10) (10) (10) (10)3 4 4 4 (10)(10) (10) (10) 44 4 3 1 1 | | | | 11 x x x x x x xx x x          . (на рис. 1 наведені графіки сплайнів ( ), 2,5kP x k  ). 1 0 1 1 0 1 1 1 P2 x( ) 11 x 1 0 1 1 0 1 1 1 P3 x x13( ) 11 x а) б) 1 0 1 1 0 1 1 1 P4 x x14( ) 11 x x 1 0 1 1 0 1 1 1 P5 x x15 x25( ) 11 x в) г) Рисунок 1 – Графічний вигляд побудованих ортогональних на  1,1 сплайнів: а) 2( )P x , б) 3( )P x , в) 4( )P x , г) 5( )P x Литвин О.М., Лобанова Л.С. «Искусственный интеллект» 3’2011 258 4Л У табл. 1 наведено вузли для ( ), 3,10kP x k  ; з урахуванням симетрії наведено тільки додатні значення вузлів. Зазначимо, що вузлом всіх парних сплайнів є ще 0x  . Таблиця 1 – Додатні вузли ( )i kx неперервних сплайнів, ортогональних на відрізку [–1,1] Сплайн ( )iP x ( ) 1 ix ( ) 2 ix ( ) 3 ix ( ) 4 ix 3( )P x 0,41421356 4 ( )P x 0,50000000 5( )P x 0,20941904 0,66018307 6 ( )P x 0,29289322 0,70710678 7 ( )P x 0,18490285 0,45473964 0,73143555 8( )P x 0,25000000 0,50000000 0,75000000 9 ( )P x 0,12 971475 0,34317942 0,56565177 0,82608452 10( )P x 0,16990846 0,39529048 0,60470952 0,83009154 У табл. 2 наведено невід’ємні нулі для тих же сплайнів. Зауважимо, що сплайн ( )kP x має k нулів, що розташовані симетрично відносно початку координат; модулі їх обчислюються за формулами:   1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 0 2 2         , , , . . . , ( ) ( ) ( ) ( )x x x xn n n n  n n n n n n n nx x x            1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , для непарного сплайна 2 1( )nP x і   1 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2     x x x x xn n n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . . . ,  n n n n n n n nx x x        1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , для парного сплайна 2 ( )nP x ( 2,3,4,...).n  Сплайн 1( )P x має лише один нуль 1 0k  , а нулями 2 ( )P x є 1 20.5, 0.5k k   . Теорема 2. Розклад 1 2 0 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) n k k k k k k f x C P x C f t P t dt P t     дає найкраще наближення функції 2( ) [ 1,1]f x L  множиною  ( )kP x в нормі 2[ 1,1]L  , тобто 21 01 ( ) ( ) min k n k k k k ak f x a P x dx a C             . Зауважимо, що безпосередніми обчисленнями отримуємо 2 2 0 2 ( ) 2, ( ) , 1 3kP x P x k   . Математичне моделювання процесів за допомогою інтерполяційних сплайнів... «Штучний інтелект» 3’2011 259 4Л Таблиця 2 – Невід’ємні нулі ортогональних сплайнів Сплайн ( )iP x ( ) 1 i ( ) 2 i ( ) 3 i ( ) 4 i ( ) 5 i 1( )P x 0,00000000 2 ( )P x 0,50000000 3( )P x 0,00000000 0,70710678 4 ( )P x 0,25000000 0,75000000 5( )P x 0,00000000 0,43480106 0,83009154 6 ( )P x 0,14644661 0,50000000 0,85355339 7 ( )P x 0,00000000 0,31982125 0,59308760 0,86571778 8( )P x 0,12500000 0,37500000 0,62500000 0,87500000 9 ( )P x 0,00000000 0,23644709 0,45441559 0,69586814 0,91304226 10( )P x 0,08495423 0,28259947 0,50000000 0,71740053 0,91504577 Як приклад, на рис. 2 наведені криві, які демонструють якість наближення функ- цій ( ) cos( )f x x та 21 2 , 1 0 1( ) 1 , 0 1 x x F x x x          за допомогою побудованої системи ортогональних сплайнів. 1 0.5 0 0.5 1 1 0 11.2 1.2 f x( ) fN x( ) 11 x 1 0 1 1 0 11.2 1.2 F1 x( ) FF x( ) 11 x а) б) Рисунок 2 – Графічний вигляд функцій: а) ( )f x , б) 1( )F x – та їх наближення за допомогою побудованої системи ортогональних сплайнів Висновки Таким чином, у даній роботі запропоновано і досліджено явні формули для системи базисних сплайнів першого порядку, ортогональних на відрізку [-1,1], задані у вигляді єдиного аналітичного виразу. Запропонований метод можна буде вико- ристати для математичного моделювання та дослідження процесів різної природи. Наступним кроком в роботі авторів в цьому напрямку планується розробка загальної теорії базисних сплайнів n -го порядку ( 2)n  . Література 1. Качмаж С. Теория ортогональных рядов / С. Качмаж, Г. Штейнгауз. – М., 1958. 2. Кашин Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. – М. : Наука, 1984. – 496 с. Литвин О.М., Лобанова Л.С. «Искусственный интеллект» 3’2011 260 4Л 3. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. – М. : Наука, 1980. – 352 с. 4. Чуи Ч.К. Введение в вэйвлеты / Чуи Ч.К. ; пер. с англ. – М. : Мир, 2001. – 412 с. 5. Franklin P. Math. Ann. / P. Franklin. – 1928. – Bd. 100. – S. 522-529. 6. Haar A. Math. Ann. / A. Haar. – 1910. – Bd. 69, 8. – S. 331-371. 7. Литвин О.М. О приближении функций, существенно принадлежащих классу [ 1,1]kC  / О.М. Литвин, В.В. Паршин // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1971. – № 9. – С. 21-23. 8. Литвин О.М. Ортогональні сплайни класу [ 1,1]C  / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Доп. АН Укра- їни. – 1997. – № 1. – С. 31-33. 9. Литвин О.М. Класична формула Тейлора, її узагальнення та застосування / О.М. Литвин, В.Л. Рва- чов. – К. : Наук. думка, 1973. – 122 с. Lіteratura 1. Kachmazh S. Teorija ortogonal’nyh rjadov. M. 1958. 2. Kashin B.S. Ortogonal’nyer jady. M.: Nauka. 1984. 496 s. 3. Zav’jalov Ju.S. Metody splajn-funkcij. M.: Nauka. 1980. 352 s. 4. Chui Ch. K. Vvedenie v vjejvlety. M.: Mir. 2001. 412 s. 5. Franklin P. Math. Ann. Bd. 100. 1928. S. 522-529. 6. Haar A. Math. Ann. Bd. 69, 8. 1910. S. 331-371. 7. Litvin O.M. Dokl. AN USSR. Ser. A. 1971. № 9. S. 21-23. 8. Litvin O.M. Dop. AN Ukrainy. 1997. № 1. S. 31-33. 9. Litvin O.M. Klasуchna formula Tejlora, її uzagal’nennja ta zastosuvannja. K.: Nauk. dumka, 1973. 122 s. О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова Математическое моделирование процессов с помощью интерполяционных сплайнов, ортогональных на отрезке [-1,1] В работе предложен метод построения в явной форме множества сплайнов первого порядка, непрерывных и ортогональных на отрезке [-1,1], а также исследуется вопрос о приближении функций одной переменной с их помощью. Приведены формулы для четных и нечетных сплайнов с заданным количеством узлов, таблицы узлов и нулей полученных сплайнов. Предложенный метод может быть использован для математического моделирования процессов различной природы. O.N. Lytvyn, L.S. Lobanova Mathematical Modeling of Processes by Orthogonal on [-1,1] Interpolation Splines The method for obvious formed construction of set of continuous and orthogonal on [-1,1] splines of the first degree is offered, and approximation of functions of one variable by these splines is also investigated. The formulas for even and odd splines with the fixed quantity of nodes, tables of nodes and zeros of the received splines are given. The offered method can be used for mathematical modeling of processes of the various nature. Стаття надійшла до редакції 22.06.2011.

Ähnliche Einträge