Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах

Рассмотрена актуальность перехода к постбинарному компьютингу как важному шагу к достижению «гибкой разрядности» при кодировании количественных значений в современных компьютерных системах. Предложен ряд модификаций традиционных форматов чисел с плавающей запятой. Показаны принципы формирования...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичні машини і системи
Date:	2012
Main Authors:	Аноприенко, А.Я., Иваница, С.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2012
Subjects:	Обчислювальні системи
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60005
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах / А.Я. Аноприенко, С.В. Иваница // Мат. машини і системи. — 2012. — № 3. — С. 49-60. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60005
record_format	dspace
spelling	Аноприенко, А.Я. Иваница, С.В. 2014-04-11T08:31:29Z 2014-04-11T08:31:29Z 2012 Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах / А.Я. Аноприенко, С.В. Иваница // Мат. машини і системи. — 2012. — № 3. — С. 49-60. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60005 Рассмотрена актуальность перехода к постбинарному компьютингу как важному шагу к достижению «гибкой разрядности» при кодировании количественных значений в современных компьютерных системах. Предложен ряд модификаций традиционных форматов чисел с плавающей запятой. Показаны принципы формирования дробных, интервальных и постбинарных форматов, основанных на модификации стандартных представлений чисел в формате с плавающей запятой. Розглянуто актуальність переходу до постбінарного комп’ютингу як важливого кроку до досягнення «гнучкої розрядності» при кодуванні кількісних значень у сучасних комп’ютерних системах. Запропоновано ряд модифікацій традиційних форматів чисел з рухомою комою. Показані принципи формування дрібних, інтервальних і постбінарних форматів, заснованих на модифікації стандартних уявлень чисел у форматі з рухомою комою. The actual transition to postbinary computing as an important step towards “flexible capacity” encoding quantitative values in the modern computer systems was regarded. A variety of modifications of traditional floating decimal point formats was proposed. Some examples of development of fractional, interval and postbinary formats based on the modification of standard representations of floating decimal point numbers were described. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Обчислювальні системи Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах Особливості подання дійсних чисел в постбінарних форматах Pecularities of representation of the real numbers in the postbinary formats Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах
spellingShingle	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах Аноприенко, А.Я. Иваница, С.В. Обчислювальні системи
title_short	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах
title_full	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах
title_fullStr	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах
title_full_unstemmed	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах
title_sort	особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах
author	Аноприенко, А.Я. Иваница, С.В.
author_facet	Аноприенко, А.Я. Иваница, С.В.
topic	Обчислювальні системи
topic_facet	Обчислювальні системи
publishDate	2012
language	Russian
container_title	Математичні машини і системи
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
format	Article
title_alt	Особливості подання дійсних чисел в постбінарних форматах Pecularities of representation of the real numbers in the postbinary formats
description	Рассмотрена актуальность перехода к постбинарному компьютингу как важному шагу к достижению «гибкой разрядности» при кодировании количественных значений в современных компьютерных системах. Предложен ряд модификаций традиционных форматов чисел с плавающей запятой. Показаны принципы формирования дробных, интервальных и постбинарных форматов, основанных на модификации стандартных представлений чисел в формате с плавающей запятой. Розглянуто актуальність переходу до постбінарного комп’ютингу як важливого кроку до досягнення «гнучкої розрядності» при кодуванні кількісних значень у сучасних комп’ютерних системах. Запропоновано ряд модифікацій традиційних форматів чисел з рухомою комою. Показані принципи формування дрібних, інтервальних і постбінарних форматів, заснованих на модифікації стандартних уявлень чисел у форматі з рухомою комою. The actual transition to postbinary computing as an important step towards “flexible capacity” encoding quantitative values in the modern computer systems was regarded. A variety of modifications of traditional floating decimal point formats was proposed. Some examples of development of fractional, interval and postbinary formats based on the modification of standard representations of floating decimal point numbers were described.
issn	1028-9763
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60005
citation_txt	Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах / А.Я. Аноприенко, С.В. Иваница // Мат. машини і системи. — 2012. — № 3. — С. 49-60. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT anoprienkoaâ osobennostipredstavleniâveŝestvennyhčiselvpostbinarnyhformatah AT ivanicasv osobennostipredstavleniâveŝestvennyhčiselvpostbinarnyhformatah AT anoprienkoaâ osoblivostípodannâdíisnihčiselvpostbínarnihformatah AT ivanicasv osoblivostípodannâdíisnihčiselvpostbínarnihformatah AT anoprienkoaâ pecularitiesofrepresentationoftherealnumbersinthepostbinaryformats AT ivanicasv pecularitiesofrepresentationoftherealnumbersinthepostbinaryformats
first_indexed	2025-11-25T21:12:17Z
last_indexed	2025-11-25T21:12:17Z
_version_	1850552710911229952
fulltext	© Аноприенко А.Я., Иваница С.В., 2012 49 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 УДК 004.942 А.Я. АНОПРИЕНКО, С.В. ИВАНИЦА ОСОБЕННОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ПОСТБИНАРНЫХ ФОРМАТАХ Анотація. Розглянуто актуальність переходу до постбінарного комп’ютингу як важливого кроку до досягнення «гнучкої розрядності» при кодуванні кількісних значень у сучасних комп’ютерних системах. Запропоновано ряд модифікацій традиційних форматів чисел з рухомою комою. Пока- зані принципи формування дрібних, інтервальних і постбінарних форматів, заснованих на модифі- кації стандартних уявлень чисел у форматі з рухомою комою. Ключові слова: постбінарні формати, тетралогіка, тетракоки, інтервальні обчислення, постбі- нарні обчислення, рухома кома, мантиса. Аннотация. Рассмотрена актуальность перехода к постбинарному компьютингу как важному шагу к достижению «гибкой разрядности» при кодировании количественных значений в современ- ных компьютерных системах. Предложен ряд модификаций традиционных форматов чисел с плавающей запятой. Показаны принципы формирования дробных, интервальных и постбинарных форматов, основанных на модификации стандартных представлений чисел в формате с плаваю- щей запятой. Ключевые слова: постбинарные форматы, тетралогика, тетракоды, интервальные вычисления, постбинарные вычисления, плавающая запятая, мантисса. Abstract. The actual transition to postbinary computing as an important step towards “flexible capacity” encoding quantitative values in the modern computer systems was regarded. A variety of modifications of traditional floating decimal point formats was proposed. Some examples of development of fractional, in- terval and postbinary formats based on the modification of standard representations of floating decimal point numbers were described. Keywords: postbinary formats, tetralogic, tetracodes, interval computations, postbinary computations, floating decimal point, mantissa. 1. Введение На сегодняшний день аппаратное обеспечение компьютеров ориентировано на операции с числами, представленными всего в двух форматах: целые числа и числа с плавающей запя- той. Целочисленная арифметика оперирует конечным подмножеством множества целых чисел. Если аппаратная часть исправна, а программы не содержат ошибок, то целочислен- ная арифметика и программные надстройки над ней работают без погрешностей. Напри- мер, на основе целочисленной арифметики можно построить арифметику систематических дробей произвольной разрядности и обыкновенных дробей. Для точного представления результатов целочисленных арифметических операций современный компьютер имеет возможность сохранять необходимое количество разрядов для точного представления дос- таточно больших целых чисел. Но при решении большинства практических задач операции производятся над ве- щественными числами. Произвольное вещественное число представляется бесконечной десятичной или двоичной дробью. На практике в научных и инженерных вычислениях ве- щественные числа приходится представлять в компьютере конечными дробями, чаще все- го числами с плавающей запятой. Арифметика чисел с плавающей запятой поддерживает- ся аппаратным обеспечением современных компьютеров и поэтому выполняется очень быстро. Но каждая операция с плавающей запятой может вносить погрешность, поскольку числа, представленные в формате с плавающей запятой (стандарт IEEE 754), представляют конечное множество, на которое отображается бесконечное множество вещественных чи- 50 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 сел. В итоге результат нескольких последовательных операций может оказаться совершен- но неверным. Приведем простой пример (аналогичный представленному в работе [1]). Пусть даны два целочисленных вектора x и y : =x (1015, 1500, –1018, 1020, 2,−1015), =y (1015, 3, 1012, 1013, 222, 1018). Обозначим скалярное произведение x и y через yx× , при выполнении которого соответственные элементы векторов перемножаются и эти произведения складываются. В точной целочисленной арифметике имеем =× yx 1030+4500−1030+1033+444−1033=4944. Ниже приведен пример реализации данного целочисленного выражения в системе компьютерной алгебры Mathematica: In[5]:=1030+4500–1030+1033+444–1033. Out[5]=4944. Однако арифметика чисел с плавающей запятой на любом современном компьюте- ре (включая те компьютеры, на которых арифметика реализована в соответствии с обнов- ленным в 2008 году стандартом формата представления чисел с плавающей запятой IEEE 754-2008) выдаст для такого скалярного произведения нулевое значение. Причина этого в столь большой разнице порядков слагаемых, что обычное представление чисел с плавающей запятой не позволяет корректно выполнить вычисление. Ниже приведен при- мер реализации данного выражения в системе компьютерной алгебры Mathematica при представлении элементов векторов x и y вещественными числами: In[6]:=10.30+4500.–10.30+10.33+444. –10.33 Out[6]=0. Эта катастрофическая погрешность возникает несмотря на то, что данные (в данном случае элементы векторов) используют менее 5% диапазона значений порядка, доступного на большинстве компьютеров. Ниже показаны результаты символьного (признак знака «→») и численного (при- знак знака «=») процессоров математического пакета Mathcad Professional при вычислении данного примера: 1030+4500–1030+1033+444–1033→4944=4.944××××103. 1030+4500–1030+1033+444–1033=0. 10.30+4500.–10.30+10.33+444.–10.33→0=0. В последнем варианте вычислений (элементы векторов – вещественные числа) сим- вольный и численный процессоры Mathcad оказались бессильны. Стоит также отметить, что при вычислении относительно простого полинома Румпа [2] с определенными входными значениями большинство существующих на сегодняшний день математических пакетов не в состоянии получить верный результат. Способы полу- чения верного результата при вычислении полинома Румпа, в принципе, существуют [2, 3], однако принятие решения о выборе тех или иных способов вычислений полностью воз- лагается на пользователя. Причем такой пользователь должен хорошо понимать суть вы- числительных процессов и иметь достаточную математическую подготовку. Естественно, ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 51 что при нарастании объемов вычислений в процессе исследования, моделирования и про- ектирования сложных систем и динамических процессов становится невозможным бук- вально «вручную» отслеживать проблемные участки в вычислениях и выявлять подобные примеру Румпа вычислительные аномалии. При этом в большинстве случаев ошибки в вы- числениях остаются просто незамеченными, существенно искажая полученные результа- ты. Это позволяет предположить, например, что многие техногенные катастрофы послед- них десятилетий были в первую очередь обусловлены не «человеческим фактором», а раз- ного рода вычислительными ошибками [4]. В данной статье рассматриваются, во-первых, актуальность перехода к постбинар- ному компьютингу и «гибкой разрядности» при кодировании количественных значений в современных компьютерных системах, и, во-вторых, предлагаются постбинарные форма- ты кодирования вещественных чисел. 2. От бинарного к постбинарному компьютингу Первая волна интенсивного развития цифровых технологий, отсчет которой можно вести примерно с 1945 года, прошла почти исключительно на базе бинарной логики и арифмети- ки. Однако, уже в 90-е годы, когда начался массовый переход к технологиям параллельных вычислений, ограниченность бинарного кодо-логического базиса стала проявляться осо- бенно остро, в связи с чем актуализировались поиски дальнейших, постбинарных, путей развития компьютерных технологий. Само понятие «компьютинг» начало использоваться еще в эпоху механических вы- числительных устройств, означая первоначально просто процесс реализации каких-либо вычислений. Однако к настоящему времени смысл этого термина существенно расширил- ся, что нашло отражение в следующем современном определении: «Под компьютингом обычно понимается деятельность, направленная на использование и разработку компью- терных технологий, компьютерной техники и программного обеспечения. Это связанная с компьютерами часть информационных технологий. С этим понятием тесно связаны ком- пьютерные науки, направленные на изучение теоретических и практических основ вычис- лений и информатики, а также – на их реализацию в компьютерных системах» [5]. Такое расширенное понимание компьютинга сложилось уже в бинарную эпоху, в связи с чем под этим термином традиционно предполагается бинарный компьютинг, в ос- нове которого лежит использование двоичной логики и двоичной системы счисления. Це- лесообразным и оправданным в настоящее время следует также признать и использование термина постбинарный компьютинг, включающего в себя все, что выходит за рамки дво- ичной логики и систем счисления, однозначно сводимых к двоичной (по сути точечной и однозначной) системе представления количественной информации. В целом можно констатировать, что возможности продуктивного системного под- хода к исследованию вопросов постбинарного компьютинга могут быть обеспечены раз- личными способами, следствием чего является естественное многообразие соответствую- щих исследований. Целесообразно, в частности, назвать такие перспективные направле- ния, как интервальные вычисления [6, 7], гипервычисления, квантовый и молекулярный компьютинг [8]. В рамках кодо-логического подхода, развиваемого авторами данной статьи, важ- нейшими предпосылками для системного исследования проблематики постбинарного компьютинга явились следующие моменты. Во-первых, введение в научный оборот понятия «кодо-логический базис» (с дооп- ределением «расширенный» или «обобщенный»), предполагающего рассмотрение эволю- ции логических и арифметических основ компьютерных технологий в неразрывном един- стве и в достаточно широкой исторической перспективе и ретроспективе [9]. 52 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 Рис. 1. Структура числа в формате binaryΩ и в эквивалентном ему фор- мате pbinaryΩ (Ω – количество разрядов формата числа, S– знак, ΩE – смещенная экспонента, ΩM и mMΩ – остаток мантиссы соответст- вующих форматов, ΩMF – модификатор формата, ΩCF – код формата) Во-вторых, выявление и анализ как целостного явления добинарного (прабинарно- го) кодо-логического базиса, основными составляющими которого являются монологика и различные эволюционирующие формы монокодов [10]. В целом появились основания го- ворить о целой эпохе прабинарного компьютинга, предшествовавшей бинарному этапу в развитии вычислительных средств. Исследование закономерностей добинарной эволюции и перехода к бинарному компьютингу позволило более системно и продуктивно подойти к анализу вопросов перехода к постбинарным вычислениям. В-третьих, введение в научный оборот таких взаимосвязанных понятий, как тетра- логика и тетракоды [11], позволило впервые одновременно выйти за пределы как одно- мерного пространства двоичной логики, так и точечного бинарного представления количе- ственной информации, что явилось решающим шагом к последующим исследованиям по- стбинарного компьютинга в контексте кодо-логической эволюции. Логические, алгоритмические и прочие предпосылки перехода к постбинарному компьютингу начали складываться уже в первой половине XX века в ходе интенсивного развития средств и методов бинарного компьютинга во второй половине прошлого века, но только на рубеже тысячелетий (в первую очередь, благодаря тотальному переходу к па- раллельным вычислениям и формированию тесно взаимосвязанной глобальной компью- терной инфраструктуры) начала проявляться настоятельная необходимость преодоления многочисленных ограничений традиционного бинарного кодо-логического базиса, ориен- тированного преимущественно на последовательную (так называемую фон-неймановскую) вычислительную архитектуру. В связи с этим назрела необходимость комплексного исследования всей совокупно- сти вопросов, связанных с переходом к постбинарному компьютингу, основанному на ис- пользовании различных форм гиперлогики и гиперкодов, которые могут рассматриваться как обобщение тетралогики и тетракодов применительно к многомерным логическим про- странствам. 3. Способы представления вещественных чисел в постбинарных форматах В работе [3] был предложен ряд способов для преодоления проблем, связанных с ограни- чением разрядности чисел, поскольку использование при вычислениях разрядности, суще- ственно превышающей стандартную, является одним из способов получения правильных результатов. Все эти способы в совокупности позволяют в процессе вычислений выпол- нять следующие операции: – увеличение (или выравнивание) разрядности во избежание переполнения разрядов результата и выполнение корректных вычислений; – выполнение так называемого отложенного деления, когда отдельно вычисляются числитель и знаменатель, а деление производится на последнем шаге вычисления; – использование интервальных вычислений. В рамках реализации вышеперечисленных операций возможно достижение доста- точно надежного и эффективного контроля за корректностью вычислений. Сами же опера- ции можно эффектив- но использовать при разработке и реализа- ции постбинарных методов вычислений, основанных на по- стбинарном представ- лении количествен- ных значений [12, 13]. Однако введение дан- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 53 ных операций в постбинарный вычислительный процесс невозможно без незначительных модификаций самих форматов чисел с плавающей запятой. Поэтому на основании форма- тов чисел (binary32, binary64, binary128) стандарта IEEE754-2008 было предложено 5 мо- дифицированных (постбинарных) форматов чисел различной точности (рис. 1): от одинар- ной (pbinary32) до увеличенной в 8 раз по сравнению со стандартной (pbinary256). В предложенных постбинарных форматах поле мантиссы числа претерпело моди- фикацию путем выделения необходимого количества битов для идентификатора формата (поле idΩ), состоящего из модификатора MFΩ (внутренняя модификация формата pbinaryΩ) и кода формата CFΩ (признак принадлежности к формату pbinaryΩ). Формирование кода идентификатора формата CFΩ определено таким образом (табл. 2), что по положению младшего нуля относительно указателя p на начальный (первый младший) бит числа можно точно определить как сам формат числа pbinaryΩ, так и его границы в диапазоне [ ]pp :1−Ω+ . В то же время, в зависимости от модификатора MFΩ, формат pbinaryΩ может со- держать в себе другие подформаты представления данных. Для таких форматов приняты обозначения в виде pbinaryΩ/Ψφ, где Ψ – точность формата, в 2 (для { }pif ,,∈φ ) или 4 (для { }ipfp,∈φ ) раза меньшая Ω и показывающая формат составной части чисел, заклю- ченных в определяемую разрядность Ω ; φ – указатель типа числа с плавающей запятой (представлены следующие типы: f – дробное число, i – интервальное, p – постбинарное) или типа постбинарного числа (представлены fp – постбинарное дробное и ip – постби- нарное интервальное). В табл. 1 приведены все разработанные модификации форматов чи- сел различной точности в зависимости от значения модификатора MFΩ. Таблица 1. Предлагаемые модификации формата pbinaryΩ Модификатор MF[11:0] pbinary32 MF[0] pbinary64 MF[1:0] pbinary128 MF[4:0] pbinary256 MF[11:0] 0000 … 0000 pbinary32 pbinary64 pbinary128 pbinary256 0000 … 0001 pbinary32/16p pbinary64/32f pbinary128/64f pbinary256/128f 0000 … 0010 pbinary64/32i pbinary128/64i pbinary256/128i 0000 … 0011 pbinary64/32p pbinary128/64p pbinary256/128p 0000 … 0100 pbinary128/32fp pbinary256/64fp 0000 … 0101 pbinary128/32ip pbinary256/64ip … резерв резерв Рассмотрим структуру, особенности формирования и назначение каждой из пред- ставленных модификаций постбинарного формата pbinaryΩ (в качестве примера на рис. 2 представлены все модификации формата pbinary128): • pbinaryΩ – фактически число формата binaryΩ, имеющее модифицированную (уменьшенную на idΩ разрядов) мантиссу. Для постбинарного формата pbinaryΩ справед- ливы следующие соотношения, связанные с определением количества разрядов полей по- сле модификации: id 16Ω Ω= – разрядность идентификатора формата; 54 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 2cf log 16Ω Ω= – разрядность кода формата; 2mf id cf log 16 16Ω Ω Ω Ω Ω= − = − – разрядность модификатора формата; mp m idΩ Ω Ω= − – разрядность модифицированной мантиссы. S E64 pbinary128/64f E64 denom М64 numnum М64 denom MF128 CF128 1 11 48 11 48 5 3 116 02378 CF128 = 011МF128 = 00001 55566668115126127 numerator denominator x 67 S E64 pbinary128/64i E64М64 m М64 m MF128 CF128 1 11 48 11 48 5 3 116 02378 CF128 = 011МF128 = 00010 55566668115126127 67 S E64 pbinary128/64p p М64 MF128 CF128 2 22 96 5 3 104 02378 CF128 = 011МF128 = 00011 103125127 S 1 left border right border p pbinary64р 126 p S E32 pbinary128/32fp E32 p-denom М32 p-num М32 MF128 CF128 2 16 42 16 42 5 3 110 02378 CF128 = 011МF128 = 00100 49506568109125127 numerator denominator xx 66 S E32 pbinary128/32ip E32М32 p М32 p MF128 CF128 2 16 42 16 42 5 3 110 02378 CF128 = 011МF128 = 00101 49506568109125127 67 S 2 left border right border p p p-num p-denom p pp 67 66 S E128 pbinary128 М128 m MF128 CF128 1 15 104 5 3 112 02378 CF128 = 011МF128 = 00000 111126127 Рис. 2. Модификации формата pbinary128 Поля знака )(S и смещенной экспоненты )( ΩE переносятся в модифицированный формат без изменения. В табл. 2 показаны разрядности форматов pbinaryΩ по отношению к binaryΩ. Каждое число, представленное в формате pbinaryΩ, имеет знаковый бит S (рис. 1): 0=S для положительного и 1=S для отрицательного числа. Значение смещенной экспо- ненты EΩ формируется следующим образом: 2 2E exp offset ,Ω = + (1) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 55 где exp2 – значение экспоненты двоичной дроби в нормализованном экспоненциальном виде, offset – заданное смещение экспоненты в Ω-битном формате: ( )(n 1) 10 2 10 2 offset 2 1 offset offset .Ω −= − ⇒ = Таблица 2. Разрядность pbinaryΩ с указанием значения кода формата Ω s nΩ mpΩ idΩ mfΩ cfΩ CFΩ 32 1 8 21 2 1 1 0 64 1 11 48 4 2 2 01 128 1 15 104 8 5 3 011 256 1 20 219 16 12 4 0111 В поле MΩ записывается остаток мантиссы двоичного нормализованного числа с плавающей точкой (отброшена старшая 1 от нормализованного двоичного числа вида 21,xx...x exp± ⋅ ). В формате полей pbinaryΩ область нормализованных чисел лежит в преде- лах: xS= (любое значение); ΩE =000…01÷111…10; mM Ω =000…00÷111…11. Таким образом, для формата pbinaryΩ справедливы следующие соотношения: – двоичное нормализованное число dn: 2(E offset )S m 2( 1) 1,M exp ;dn Ω − Ω= − ⋅ ⋅ (2) – десятичное нормализованное число xn : ( )( ) ( ) 1010 m E offsetS 10 mp M ( 1) 2 1 ; 2 xn Ω Ω Ω−    = − ⋅ ⋅ +     (3) – абсолютная максимально возможная погрешность max∆ представления числа рав- на половине шага числа, т.е. половине величины наименьшего разряда: ( )( )1010 E offset mp 1 max 2 ;Ω Ω− − +∆ = (4) – относительная максимально возможная погрешность maxNδ представления норма- лизованного числа: ( )Nmax mp m 10 1 100%. 2 MΩ Ω δ = ⋅ + (5) Аналогично binaryΩ, формат pbinaryΩ имеет ряд исключительных чисел, к которым нельзя применять формулы (2–5): 1) положительный и отрицательный ноль: +0 ( xS= ; 0=ΩE ; mM Ω 0= ) и –0 ( 1=S ; 0=ΩE ; mM Ω 0= ). Большинство программных средств эти нули не различает (поскольку в этом нет необходимости), считая их просто нулевыми значениями; 2) положительная и отрицательная бесконечности (+Infinity, – Infinity): +∞ ( 0=S ; =ΩE 111…11; mM Ω 0= ) и –∞ ( 1=S ; =ΩE 111…11; mM Ω 0= ). Это числа, которые больше границ диапазона представления чисел; 56 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 3) не числа – NаN (No a Numbers), к которым относятся символы, или результаты недопустимых операций. При =ΩE 111…11 и mM Ω – любое ненулевое значение, различают +NаN ( )1=S и –NаN ( )0=S ; 4) ненормализованные числа – числа, мантиссы которых лежат в диапазоне 0,1≤ mM Ω <1. Ненормализованные числа находятся ближе к нулю, чем нормализованные, и разбивают минимальный разряд нормализованного числа на некоторое подмножество. Для ненормализованных чисел справедливы следующие равенства: – двоичное ненормализованное число dd : 2offsetS m 2( 1) 0,M exp ;dd − Ω= − ⋅ ⋅ (6) – десятичное ненормализованное число xd : ( ) ( ) 10 m 1 offsetS 10 mp M ( 1) 2 ; 2 xd Ω Ω−= − ⋅ ⋅ (7) – относительная максимально возможная погрешность maxDδ представления ненор- мализованного числа: ( )Dmax m 10 1 100%; 2 MΩ δ = ⋅ ⋅ (8) Формула (4) справедлива также для ненормализованных чисел. На рис. 3 представлено отображение чисел форматов binaryΩ и pbinaryΩ на число- вой оси. Рис. 3. Отображение чисел форматов binaryΩ и pbinaryΩ на числовой оси (Norm, Denorm – области нормализованных и ненормализованных чисел; pb – признак постбинарного формата; xd и xn – ненормализованные и нормализованные числа) Совокупности полей ±Norm и ±Denorm ([ pb maxxn− ; pb minxd− ]∪[ pb minxd+ ; pb maxxn+ ]) являют- ся диапазоном представления положительных или отрицательных чисел формата pbinaryΩ на всей числовой оси. Используя соотношения (3) и (7), можно получить десятичные зна- чения модулей минимальной pb minxd (значение по модулю наименьшего ненормализованно- го числа) и максимальной pb maxxn (значение по модулю наибольшего нормализованного числа) границ диапазона представления чисел в формате pbinaryΩ (табл. 3). Модификация (т.е. уменьшение разрядности) мантиссы постбинарного формата приводит, прежде всего, к сужению диапазона представления близких к нулю чисел (область ненормализованных чисел) по отношению к эквивалентному двоичному формату binaryΩ. Используя формулы (3, 7), получим абсолютные погрешности границ диапазона представления чисел по отно- шению к формату binaryΩ ( maxxn , maxxd и minxd – значения модулей соответствующих гра- ниц диапазона чисел формата binaryΩ): ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 57 – абсолютная погрешность представления минимального (минимального ненорма- лизованного) Ω-разрядного числа: ( ) ( )101 offset mp idpb min min min 2 1 2 ;d xd xd Ω Ω− − −∆ = − = ⋅ − (9) – абсолютная погрешность представления максимального (максимального нормали- зованного) Ω-разрядного числа: ( ) ( )10offset mp idpb max max max 2 1 2 .n xn xn Ω Ω− −∆ = − = ⋅ − (10) Абсолютная погрешность представления максимального ненормализованного Ω- разрядного числа maxd∆ соответствует формуле (9), следовательно, max mind d∆ = ∆ . Послед- нее равенство можно объяснить тем, что разница в представлении ненормализованных чи- сел pbinaryΩ и binaryΩ обусловлена одинаковой погрешностью представления значений мантисс постбинарного и бинарного форматов (все ненормализованные числа имеют ну- левое значение порядка) на протяжении всего диапазона ±Denorm. Таким образом, pb pb min max min min max max id id min min max min min max ; ; ; 2 ; 2 . xd xd xd d xd d xd d xd d xd xdΩ Ω−    = + ∆ − ∆ =      = + ∆ − ∆ = ⋅ ⋅    (11) Равенство (11) показывает, что модуль минимального ненормализованного числа формата pbinaryΩ больше модуля аналогичного числа формата binaryΩ в id2 Ω раза, и на- оборот, модуль максимального ненормализованного числа формата pbinaryΩ меньше мо- дуля аналогичного числа формата binaryΩ в id2 Ω раза. Таким образом, диапазон ±Denorm формата pbinaryΩ в id 12 Ω + раза меньше соответствующего диапазона формата binaryΩ. Отношение максимальных границ диапазона нормализованных чисел для форматов pbinaryΩ и binaryΩ близко к единице, однако следует учитывать величину абсолютной по- грешности представления числа в постбинарном и бинарном форматах. Десятичное значе- ние минимального нормализованного числа pbinaryΩ соответствует аналогичному числу binaryΩ ( pb min minxn xn± = ± , min 0n∆ = ), поскольку в формировании этих чисел участвуют толь- ко значения полей знака и порядка, которые идентичны в соответствующих постбинарных и бинарных форматах (рис. 1). Таким образом, (mp 1) id pb pb min max min max max min max(mp 1) 2 1 ; ; ; . 2 1 xn xn xn xn n xn xn Ω Ω Ω − + − − +  −    = − ∆ = ⋅     −  (12) Рассмотрим функцию ( 1) ( 1) 2 1 ( , ) 2 1 a b a f a b − + − − + −= − . Имеем lim ( , ) 1 a f a b →∞ = , откуда следует, что ( , ) 1f a b ≈ при возрастающем аргументе a . Соответственно, для значений mpΩ и idΩ представленных форматов справедливо соотношение (mp 1) id (mp 1) 2 1 1, 2 1 Ω Ω Ω − + − − + − ≈ − (13) причем данное приближенное равенство стремится к строгому равенству при возрастании значения mpΩ. Исходя из (13), выражение (12) можно записать в виде pb pb pb pb min max min max min max min max; ; ; ; .xn xn xn xn xn xn xn xn       = ≈ ⇒ ≈        (14) 58 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 Десятичные значения максимальных и минимальных чисел формата pbinaryΩ, их абсолютной погрешности по отношению к формату binaryΩ представлены в табл. 3. Таблица 3. Значения максимальных и минимальных границ диапазонов Norm и Denorm положительных и отрицательных чисел формата pbinaryΩ (в скобках указаны значения аб- солютной погрешности представления чисел в сопоставлении с форматом binaryΩ) Ω pb minxd ( mind∆ ) pb maxxd pb minxn pb maxxn ( maxn∆ ) 32 1472−± ≈ 455,60519386 10−≈ ± ⋅ ( 454,204 e−≈ ⋅ ) 126 212 (1 2 )− −± ⋅ − ≈ 381,17549379 10−≈ ± ⋅ 1262−± ≈ 381,17549435 10−≈ ± ⋅ 127 212 (2 2 )−± ⋅ − ≈ 383,40282286 10≈ ± ⋅ ( 316,085 e≈ ⋅ ) 64 10702−± ≈ 3237,90505033 10−≈ ± ⋅ ( 3237,411 e−≈ ⋅ ) 1022 482 (1 2 )− −± ⋅ − ≈ 3082,22507386 10−≈ ± ⋅ 10222−± ≈ 3082,22507386 10−⋅≈ ± 1023 482 (2 2 )−± ⋅ − ≈ 3081,79769313 10≈ ± ⋅ ( 2932,994 e≈ ⋅ ) 128 164862−± ≈ 49631,65764483 10−≈ ± ⋅ ( 49631,651 e−≈ ⋅ ) 16382 1042 (1 2 )− −± ⋅ − ≈ 49323,36210314 10−≈ ± ⋅ 163822−± ≈ 49323,36210314 10−⋅≈ ± 16383 1042 (2 2 )−± ⋅ − ≈ 49321,18973150 10≈ ± ⋅ ( 49002,921e≈ ⋅ ) 256 5245052−± ≈ 1578921,8286336 10−≈ ± ⋅ ( 1578921,829 e−≈ ⋅ ) 524286 2192 (1 2 )− −± ⋅ − ≈ 1578261,54061213 10−≈ ± ⋅ 5242862−± ≈ 1578261,54061213 10−≈ ± ⋅ 524287 2192 (2 2 )−± ⋅ − ≈ 1578262,59637057 10≈ ± ⋅ ( 1577601,541e≈ ⋅ ) • pbinaryΩ/Ψf – дробное Ω-разрядное число, состоящее из числителя (numerator), знаменателя (denominator) Ψ -разрядной точности (т.е. двух чисел формата pbinaryΨ) и общего знака для дроби. Значения Ω и Ψ связаны следующим соотношением: 2/Ω=Ψ при =Ω {64, 128, 256, …}. Пусть a и b – числа формата binaryΨ, т.е. фактически числа стандарта IEEE 754, над которыми нужно выполнить операцию деления ba / . В ряде случаев, обусловленных, прежде всего, сложностью общего цикла вычислений, данную операцию можно отложить, т.е. сохранить результат в виде дроби a b до заключительного этапа вычислений. В таком случае справедливы следующие равенства: S S Sa bΨ Ψ= ⊕ – знак дроби; numP P ,aΨ Ψ= num mM M aΨ Ψ= – порядок и мантисса числителя дроби; denomP P ,bΨ Ψ= denom mM M bΨ Ψ= – порядок и мантисса знаменателя дроби. • pbinaryΩ/Ψi – интервальный Ω -разрядный формат числа, содержащего два пол- ноценных числа формата pbinaryΨ ( 2/Ω=Ψ , =Ω {64, 128, 256, …}), которые являются левой (left border) и правой (right border) границами интервала [14]. Заполнение полей дан- ного формата аналогично дробному, за исключением наличия знаковых полей для каждого значения границ интервала. Числа в формате pbinaryΩ/Ψi могут быть использованы для решения задач в рамках интервального анализа или интервальной математики, где они бу- дут представлять собой интервальный тип данных, вычислительные операции с которыми исключат возможные ошибки округления [15]. • pbinaryΩ/Ψр – постбинарное Ψ -разрядное число ( 2/Ω=Ψ , =Ω {32, 64, 128, 256, …}). В таком числе в качестве основного постбинарного формата рассматривается тетракод, каждый разряд которого представлен тетритом [16], кодирующим одно из четы- рех состояний: 0, 1, а также состояния «неопределенности» (А) и «множественности» (М). ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 59 Поскольку тетрит должен кодировать четыре возможных значения разряда, для его хранения и использования в современных компьютерных системах потребуются два бита. Поэтому расширение числа формата pbinaryΨ до постбинарного Ω -разрядного формата pbinaryΩ/Ψр происходит за счет удвоения разрядности знака, порядка и модифицирован- ной мантиссы. При этом каждая пара битов постбинарных значений знака, мантиссы и по- рядка имеет одно из значений множества {0, 1, А, М} [17], кодируемое следующим обра- зом: 00 – состояние неопределенности (А); 01 – ноль (0); 10 – единица (1); 11 – состояние множественности (М). При формировании разрядности знака, порядка и мантиссы постбинарного числа формата pbinaryΩ/Ψр справедливы следующие соотношения: ps s 2 sΩ Ψ Ψ= = ⋅ , pn n 2 nΩ Ψ Ψ= = ⋅ , pmp mp 2 mpΩ Ψ Ψ= = ⋅ . • pbinaryΩ/Ψfp – представляет формат постбинарного дробного Ψ -разрядного чис- ла ( 4/Ω=Ψ , =Ω {128, 256, …}). Формируется объединением описанных выше преобра- зований pbinaryΩ/Ψf ∪ pbinaryΩ/Ψp. • pbinaryΩ/Ψip – представляет формат постбинарного интервального Ψ -разрядного числа ( 4/Ω=Ψ , =Ω {128, 256, …}). Формирование полей данного числа происходит по схеме: pbinaryΩ/Ψi ∪ pbinaryΩ/Ψp. 4. Заключение В контексте перехода к постбинарному компьютингу многообразие представления логиче- ских и численных значений будет неизбежно возрастать в связи с необходимостью разви- тия как логических и алгоритмических основ компьютерных технологий, так и самого по- нятия числа, в том числе на уровне базовых форматов представления информации. Пред- ложенная в работе система компьютерных форматов данных и соответствующая система обозначений могут рассматриваться как прототипы базовых элементов для нового поколе- ния компьютерных архитектур, соответствующих начальному этапу постбинарного ком- пьютинга. Реализация вычислительных алгоритмов на базе предложенных форматов позволит обеспечить существенное расширение функциональных возможностей перспективных процессоров, в том числе за счет реализации текущего контроля требуемой разрядности и обеспечения на этой базе «гибкого форматирования» и «гибкой разрядности» при работе с компьютерным представлением численной информации. Важнейшим результатом этого должно стать кардинальное повышение надежности вычислений и оптимизация их разряд- ности. На первом этапе речь, естественно, может идти преимущественно о программном моделировании новых форматов, алгоритмов и архитектур на базе существующих компь- ютерных систем. На следующем этапе предполагается реализация соответствующих схем- ных решений на базе FPGA, вплоть до реализации экспериментальных прототипов по- стбинарных процессоров. В перспективе переход от бинарного компьютинга к постбинарному представляется практически неизбежным [18]. Во времени этот процесс может растянуться на десятиле- тия, но начинать его необходимо уже сейчас. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Numerical Toolbox for Verified Computing (Pascal-XSC Programs) / R. Hammer, M. Hocks, U. Ku- lisch, D. Ratz. – Berlin: Springer-Verlag Heidelberg, 1993. – С. 8. 2. Loh E. Rump’s Example Revisited / E. Loh, G. Walster // Reliable Computing. – 2002. – N 8. – Р. 245 – 248. 60 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 3 3. Аноприенко А.Я. Пример Румпа в контексте традиционных, интервальных и постбинарных вы- числений / А.Я. Аноприенко, В.А. Гранковский, С.В. Иваница // Научные труды Донецкого нацио- нального технического университета. – (Серия «Проблемы моделирования и автоматизации проек- тирования динамических систем» (МАП-2011)). – Донецк: ДонНТУ, 2011. – Вып. 9 (179). – С. 324 – 343. 4. Петров Ю.П. Обеспечение надежности и достоверности компьютерных расчетов / Петров Ю.П. – СПб: БХВ-Петербург, 2008. – 160 с. 5. Computing – Wikipedia, the free encyclopedia (Wikipedia.org). – Режим доступу: http://en.wikipedia.org/wiki/Computing. 6. Алефельд Г. Введение в интервальные вычисления / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. – М.: Мир, 1987. – 360 с. 7. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ [Электронный ресурс] / С.П. Шарый // Ин- ститут вычислительных технологий СО РАН. – Изд-во «XYZ»-2012. – С. 604. – Режим доступа: http://www.nsc.ru (interval). 8. Прохоров А. Прогнозы развития информационных технологий (по материалам компании Gartner) [Электронный ресурс] / А. Прохоров // Компьютер пресс. – 2006. – № 1. – Режим доступа: http://www.cpress.ru. 9. Аноприенко А.Я. Расширенный кодо-логический базис компьютерного моделирования / А.Я. Аноприенко // Информатика, кибернетика и вычислительная техника (ИКВТ-97): сб. научн. тр. ДонГТУ. – Донецк: ДонГТУ, 1997. – Вып. 1. – С. 59 – 64. 10. Аноприенко А.Я. Восхождение интеллекта: эволюция монокодовых вычислительных моделей / А.Я. Аноприенко // Научные труды Донецкого государственного технического университета. – (Серия «Информатика, кибернетика и вычислительная техника» (ИКВТ–2000)). – Донецк: ДонГТУ, 2000. – Вып. 15. – С. 87 – 107. 11. Аноприенко А.Я. Тетралогика и тетракоды / А.Я. Аноприенко // Сб. тр. факультета вычисли- тельной техники и информатики. – Донецк: ДонГТУ, 1996. – Вып. 1. – С. 32 – 43. 12. Аноприенко А.Я. Обобщенный кодо-логический базис в вычислительном моделировании и представлении знаний: эволюция идеи и перспективы развития / А.Я. Аноприенко // Научные тру- ды Донецкого национального технического университета. – (Серия «Информатика, кибернетика и вычислительная техника» (ИКВТ-2005)). – Донецк: ДонНТУ, 2005. – Вып. 93. – C. 289 – 316. 13. Аноприенко А.Я. Особенности постбинарного кодирования на примере интервального пред- ставления результатов вычислений по формуле Бэйли-Боруэйна-Плаффа / А.Я. Аноприенко, С.В. Иваница // Научные труды Донецкого национального технического университета. – (Серия: «Информатика, кибернетика и вычислительная техника» (ИКВТ-2010)). – Донецк: ДонНТУ, 2010. – Вып. 11 (164). – С. 19 – 23. 14. Аноприенко А.Я. Интервальные вычисления и перспективы их развития в контексте кодо- логической эволюции / А.Я. Аноприенко, С.В. Иваница // Научные труды Донецкого национально- го технического университета. – (Серия «Проблемы моделирования и автоматизации проектирова- ния динамических систем» (МАП-2010)). – Донецк: ДонНТУ, 2010. – Вып. 8 (168). – С. 150 – 160. 15. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs / Moore R.E. – N.J.: Prentic-e-llall, 1966. – Р. 144. 16. Иваница С.В. Особенности реализации операций тетралогики / С.В. Иваница, А.Я. Аноприенко // Научные труды Донецкого национального технического университета. Серия: «Информатика, кибернетика и вычислительная техника» (ИКВТ-2011). – Донецк: ДонНТУ, 2011. – Вып. 13 (185). – С. 134 – 140. 17. Аноприенко А.Я. Археомоделирование: модели и инструменты докомпьютерной эпохи / Ано- приенко А.Я. – Донецк: УНИТЕХ, 2007. – 318 с. 18. Аноприенко А.Я. Постбинарный компьютинг и моделирование сложных систем в контексте кодо-логической эволюции / А.Я. Аноприенко // Доклад на международной научной конференции «Моделирование-2010» (Киев, 13–14 мая 2010 г.). – Киев: Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины, 2010. – С. 150 – 161. Стаття надійшла до редакції 26.12.2011

Особенности представления вещественных чисел в постбинарных форматах

Institution

Similar Items