Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами
Численно решена задача дифракции плоской нормально падающей волны на периодической планарной структуре с двумя слабо асимметричными металлическими элементами сложной формы в квадратной периодической ячейке для оптического и инфракрасного диапазонов. Для решения задачи использован псевдоспектральный...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60093 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами / В.В. Хардиков, Е.О. Ярко, С.Л. Просвирнин // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 1. — С. 50-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859721599605800960 |
|---|---|
| author | Хардиков, В.В. Ярко, Е.О. Просвирнин, С.Л. |
| author_facet | Хардиков, В.В. Ярко, Е.О. Просвирнин, С.Л. |
| citation_txt | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами / В.В. Хардиков, Е.О. Ярко, С.Л. Просвирнин // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 1. — С. 50-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Численно решена задача дифракции плоской нормально падающей волны на периодической планарной структуре с двумя слабо асимметричными металлическими элементами сложной формы в квадратной периодической ячейке для оптического и инфракрасного диапазонов.
Для решения задачи использован псевдоспектральный метод Фурье с отображением совместно
с методом дополнительного дифференциального уравнения и полюсной моделью для описания
дисперсии диэлектрической проницаемости металлов. Показана возможность формирования
в структуре резонанса на запертой моде, который является более добротным по сравнению
с резонансами на плазмон-поляритоне в структурах с одним металлическим элементом на периоде. Впервые показано существование высшего резонанса на запертой моде, который имеет
добротность, превышающую добротность соответствующего основного резонанса.
Чисельно розв’язана задача дифракції плоскої нормально падаючої хвилі на періодичній
планарній структурі з двома слабкосиметричними металевими елементами складної форми у квадратній періодичній комірці для оптичного та інфрачервоного діапазонів. Для
розв’язання задачі використовувався псевдоспектральний метод Фур’є з відображенням
разом з методом додаткового диференційного
рівняння і полюсною моделлю для опису дисперсії діелектричної проникності металів. Показана можливість формування у структурі резонансу на запертій моді, який є більш добротним ніж резонанс на плазмонполяритоні
у структурах з одним металевим елементом
на період. Вперше показано існування вищого
резонансу на запертій моді, що має добротність
вищу за добротність відповідного основного
резонансу.
Normally incedent wave diffraction by planar
periodic structure of two small asymmetrical
metal complex-shaped elements has been solved
numerically for optical and infra-red ranges. The
Fourier mapped pseudospectral time-domain
method combined with auxiliary differential equations technique and complex pole model are used
for taking into account the dispersion of metal
permittivity. The trapped mode resonances forming in structures is shown possible. The Q-factor of this type resonance is higher than that
of plasmon-polariton resonance of planar structures of single metal element periodic cell. The
existence of higher order trapped mode resonance which Q-factor is greater than the that of
corresponding fundamental trapped mode resonance is first shown.
|
| first_indexed | 2025-12-01T09:49:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1, с. 50-62
© В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин, 2010
УДК 533.7:537.874.6
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции
света на двухпериодической планарной структуре
с асимметричными металлическими элементами
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
Радиоастрономический институт НАН Украины,
ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина
E-mail: Vyacheslav.V.Khardikov@univer.kharkov.ua,
yarkokatya@rian.kharkov.ua, prosvirn@rian.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 26 июня 2009 г.
Численно решена задача дифракции плоской нормально падающей волны на периодичес-
кой планарной структуре с двумя слабо асимметричными металлическими элементами слож-
ной формы в квадратной периодической ячейке для оптического и инфракрасного диапазонов.
Для решения задачи использован псевдоспектральный метод Фурье с отображением совместно
с методом дополнительного дифференциального уравнения и полюсной моделью для описания
дисперсии диэлектрической проницаемости металлов. Показана возможность формирования
в структуре резонанса на запертой моде, который является более добротным по сравнению
с резонансами на плазмон-поляритоне в структурах с одним металлическим элементом на пе-
риоде. Впервые показано существование высшего резонанса на запертой моде, который имеет
добротность, превышающую добротность соответствующего основного резонанса.
Введение
Планарные периодические в двух направ-
лениях структуры применяются в технике
микроволнового, терагерцового и оптического
диапазонов. Это обусловлено разнообразием
физических свойств и простотой изготовления
таких искусственных поверхностей. На их
основе предложены поглощающие и рассеи-
вающие покрытия, частотно-селективные и по-
ляризационно-селективные поверхности [1].
Планарные периодические структуры со слож-
ной формой проводящих элементов могут резо-
нансным образом взаимодействовать с элект-
ромагнитными волнами, не образуя дифрак-
ционных максимумов (лучей). Поэтому эти
структуры составляют основу целого ряда
искусственных материалов, в том числе так
называемых метаматериалов. К последним,
в частности, относятся искусственные среды
со свойствами магнетиков и среды с отри-
цательной рефракцией [2], слои с асимметрич-
ным прохождением света [3, 4], “невидимые”
металлы [5], высокоимпедансные отражаю-
щие поверхности со свойствами зеркала из маг-
нетика [6] и “покрытия-невидимки” [7]. Бла-
годаря замечательным физическим свойствам
планарные периодические металлодиэлектри-
ческие структуры перспективны при разработ-
ке новых узлов и приборов с уникальными
характеристиками для широкого диапазона
длин волн, начиная с микроволн и заканчивая
видимым светом.
Среди множества привлекательных для
приложений электродинамических свойств
планарных метаматериалов особый интерес
представляет показанная сравнительно недав-
но возможность существования в них высоко-
добротных запертых колебаний. Эти колеба-
ния существуют в микроволновых плоских
периодических в двух направлениях структу-
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре...
51Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
рах со сложными двухсвязными или много-
связными металлическими элементами, кото-
рые обладают малой степенью асимметрии
[8, 9]. Наличие в обычных планарных струк-
турах больших потерь на излучение за счет
сильной электродинамической связи проводя-
щих элементов со свободным пространством
и их относительно малые размеры (сравни-
мые с длиной волны) не позволяют достичь
высокой добротности резонансов. В [8, 9] было
показано теоретически и экспериментально,
что включение в периодическую ячейку струк-
туры двух почти симметричных элементов
(со слабой степенью асимметрии) может при-
водить к возбуждению колебаний на противо-
фазной моде тока. В этом случае связь прово-
дящих элементов со свободным пространством
может быть очень мала, что обеспечивает
низкие радиационные потери и, как следствие,
высокую добротность колебаний. Эти колеба-
ния получили название колебаний на запертой
моде, что и указывает на малые радиацион-
ные потери.
Плоские тонкие структуры, в которых су-
ществуют резонансы на запертой моде, перс-
пективны для приложений. Например, сле-
дует отметить, что благодаря существен-
ному нарастанию напряженности поля вблизи
структуры в режиме резонанса на запертой
моде такая структура может быть использо-
вана в виде чувствительного биосенсора.
В [10] предложен когерентный источник излу-
чения на основе резонансной системы в виде
планарной структуры в режиме запертой моды
и тонкой подложки из активного материала
с инверсной населенностью уровней энергии.
Таким образом, перспективность примене-
ния запертых мод планарных структур в опти-
ческом и инфракрасном диапазонах очевидна.
Однако имеются серьезные отличия в откли-
ке металлов на электромагнитное излучение
в микроволновом и оптическом диапазонах.
Поэтому необходимы дополнительные иссле-
дования свойств колебаний на запертых мо-
дах в планарных структурах с периодом в сотни
нанометров, предназначенных для работы
в диапазонах видимых и инфракрасных волн.
В настоящей работе исследуются свойства
таких структур.
Постановка задачи. Метод решения
Для исследования резонансов на запертых
модах рассмотрим задачу дифракции света
в диапазоне длин волн от 500 до 2500 нм
на планарной периодической в двух направле-
ниях ( xd и yd – периоды решетки) структуре
со сложной формой проводящих элементов,
расположенной на прозрачной плоскопарал-
лельной подложке, толщина L которой во много
раз больше длины волны. На рис. 1 для ил-
люстрации показана типичная решетка из эле-
ментов, имеющих форму буквы С. Далее мы
будем точно определять геометрию и размеры
элементов для каждой рассматриваемой струк-
туры. Размеры периодических ячеек всех
рассматриваемых структур 500x yd d= = нм.
Для исследования резонансов на запертых
модах в качестве проводящих элементов выб-
раны элементы, состоящие из двух подобных
по форме, но различных по длине проводников.
Для определенности рассматриваются кон-
центрические кольца (рис. 2) и несиммет-
рично разорванные С-элементы (рис. 3) из алю-
миния и золота. Все элементы, показанные на
рис. 3, получены из замкнутого квадратного
элемента с внешней стороной 400 нм и внутрен-
ней 300 нм. Оси симметрии на рис. 2 и рис. 3
изображены штрих-пунктирными линиями.
Поперечное сечение всех проводящих элемен-
тов – это квадрат со стороной 50 нм. Мате-
риал подложки – силика (синтетическая дву-
Рис. 1. Геометрия типичной планарной оптичес-
кой периодической структуры с С-образными эле-
ментами
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
52 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
окись кремния – оптически прозрачный мате-
риал с коэффициентом преломления прибли-
женно равным 1.45).
Сложность геометрии структуры и особен-
ности взаимодействия света с металлами,
обусловленные сильной дисперсией и больши-
ми диссипативными потерями, требуют ис-
пользования численных методов теории диф-
ракции. Методы теории дифракции во времен-
ной области позволяют за одну численную
реализацию определить коэффициенты отра-
жения и прохождения во всем рабочем диа-
пазоне длин волн. Этот факт и простота пря-
мого численного метода и определили выбор
псевдоспектрального метода Фурье с отобра-
жением во временной области [11] в качестве
основы для построения эффективного алгорит-
ма решения задачи дифракции. Отметим, что
псевдоспектральный метод во временной об-
ласти является разновидностью конечно-раз-
ностного метода, в котором задача сводится
фактически к определению эволюции коэффи-
циентов разложения полей по базисным функ-
циям. В качестве последних в случае метода
Фурье выбираются экспоненциальные функ-
ции, которые соответствуют разложению ис-
тинных полей по модам Флоке периодичес-
кого канала. Однако при наличии границ раз-
дела высококонтрастных материалов такое
разложение медленно сходится к истинному
решению. В этом случае численная схема ста-
новится схемой первого порядка точности
в отличие от конечно-разностной схемы, кото-
рая имеет второй порядок точности. Предло-
женный в [11] метод дает возможность избе-
жать данной проблемы в рабочем диапазоне
Рис. 2. Геометрия ячейки периодической структу-
ры с проводниками в виде двух концентрических ко-
лец. Указанные на рисунке радиусы – это радиусы
средних линий колец. Размеры даны в нанометрах
Рис. 3. Геометрия ячеек планарной структуры
с несимметрично разрезанным С-образным элемен-
том. Размеры даны в нанометрах
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре...
53Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
длин волн, используя специально выбранную
функцию для отображения неоднородной сет-
ки на однородную. Все вышесказанное в вы-
числительном алгоритме приводит к простой
формуле [11] определения пространственной
производной от поля в узловых точках с помо-
щью быстрого преобразования Фурье:
( ) ( )d d d
d dd n n
n
xf x f u
u ux
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )( )( ) diFFT FFT .
dm n
n
xjk f u
u
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Здесь обозначения FFT и iFFT использо-
ваны для операций прямого и обратного быст-
рого преобразования Фурье; j – мнимая единица
{ } { }1 12 , 0, 1,2, ..., 1; иN N
m n nn nk m l m N x u= == π = − −
неоднородная сетка в реальном (физическом)
пространстве и однородная сетка, на которую
отображается исходная неоднородная, соответст-
венно, N – число узлов в сетках, l N u= Δ –
длина однородной сетки, 1.n nu u u −Δ = − Связь
между неоднородной и однородной сеткой осу-
ществляется с помощью трансформирующей
функции ( ),x u которая обеспечивает плавное
сгущение шага неоднородной сетки вблизи
границ раздела высококонтрастных сред.
Более детальное описание и примеры пост-
роения таких функций приведены в [11, 12].
Как и любой метод временной области,
псевдоспектральный метод с отображением
эффективен для решения задач в трехмерных
областях, характерные размеры которых со-
ставляют до нескольких десятков длин волн.
В случае же моделирования реальных опти-
ческих планарных структур толщина подлож-
ки (характерные значения 0.3 0.5÷ мм) мо-
жет достигать тысяч, а то и десятков тысяч
длин волн. Для подобных структур был пред-
ложен и апробирован эффективный подход
к решению задач дифракции [12], который
объединяет псевдоспектральный метод с ана-
литическим методом матриц передачи. Суть
такого подхода сводится к решению задачи диф-
ракции на структуре с подложкой в два этапа.
На первом этапе с помощью псевдоспект-
рального метода с отображением численно
решается задача дифракции на тонком слое,
который включает периодический массив про-
водящих элементов и тонкие однородные
слои свободного пространства и диэлектрика,
из которого изготовлена подложка, располо-
женные над и под элементами решетки соот-
ветственно. Однородные слои служат как для
отделения структуры от поглощающих слоев,
которые ограничивают расчетную область
и моделируют бесконечное однородное прост-
ранство для уходящих волн, так и для вве-
дения специальных численных узлов для за-
дания источников падающего поля и проб-
ников для записи временной эволюции падаю-
щего, прошедшего и отраженного полей.
На втором этапе вычисленные матрицы
передачи для периодического массива умно-
жаются на найденную аналитически матрицу
передачи для слоя диэлектрика, моделируе-
щего подложку. Метод эффективен, если от-
сутствуют дифракционные максимумы, что
соответствует условию , ,x yd d < λ которое вы-
полняется в нашем случае.
Дисперсия диэлектрической проницаемос-
ти материалов может быть включена в чис-
ленную модель с помощью метода дополни-
тельного дифференциального уравнения [13].
Суть этого метода сводится к тому, что дис-
персионная зависимость ( )ε ω аппроксими-
руется рядом простых функций. Произведе-
ние этой аппроксимации на напряженность
электрического поля заменяется некоторым
током поляризации. Для последнего формули-
руется дифференциальное уравнение во вре-
мени, которое может быть численно решено
в рамках того же псевдоспектрального метода.
Дисперсионная зависимость диэлектричес-
кой проницаемости металлов и диэлектриков
в оптическом диапазоне может быть описа-
на с помощью так называемой полюсной
модели [14]. В этой модели дисперсионная
зависимость диэлектрической проницаемости
аппроксимируется суммой пар комплексно
сопряженных простых дробей:
0 0
1
( ) .
M
m m
m m m
c c
j j
∗
∞ ∗
=
⎛ ⎞
ε ω = ε ε + ε +⎜ ⎟ω+ α ω+ α⎝ ⎠
∑
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
54 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
Здесь знаком “∗ ” обозначено комплексное
сопряжение; 0ε – диэлектрическая проницаемость
вакуума, ∞ε – диэлектрическая проницаемость
при ;ω → ∞ M – количество полюсов; mc и
mα – амплитуда и затухание некоторого осцилля-
тора, соответствующего полюсу. Отметим, что
данная модель обобщает все широко известные
модели диэлектрической проницаемости:
1) если 0mc = σ ε и 0,mα = то комплекс-
ный полюс соответствует проводимости ;σ
2) если mc и mα – вещественные числа,
то комплексный полюс соответствует полюсу
в модели Дебая;
3) если m mc jB= и ,m m mA jα = + Ω то ком-
плексный полюс соответствует полюсу в мо-
дели Лоренца;
4) полюс модели Друде представляет со-
бой сумму вкладов полюса модели Дебая
и “полюса проводимости” с одинаковыми амп-
литудами, т. е.
2
,
( ) ( )
p A A
j j j j
ω
= −
ω ω + α ω ω + α
где pω – плазменная частота.
Покажем на примере отдельного комп-
лексного полюса применение метода допол-
нительного дифференциального уравнения.
Пусть 1 1
0
1 1
( ) ,c c
j j
∗
∞ ∗
⎛ ⎞
ε ω = ε ε + +⎜ ⎟ω + α ω + α⎝ ⎠
тог-
да уравнение Максвелла для магнитного поля
в частотной области примет вид:
1 1
0
1 1
rot .c cH j E
j j
∗
∞ ∗
⎛ ⎞
= ε ε + + ω⎜ ⎟ω + α ω + α⎝ ⎠
Вводя токи поляризации ( )1 1j I j E+ω + α = ω
и ( )1 1 ,j I j E∗
−ω + α = ω получаем уравнения
в частотной области:
0 1 1 1 1
0
1 rot ,H j E c I c I∗
+ −= ωε + +
ε
( )1 1 ,j I j E+ω + α = ω
( )1 1 .j I j E∗
−ω + α = ω
После перехода во временную область полу-
чаем уравнения в виде:
1 1 1 1
0
1 Erot H c I c I ,
t
∗
∞ + −
∂= ε + +
ε ∂
1
1 1
I EI ,
t t
+
+
∂ ∂+ α =
∂ ∂
1
1 1
I EI .
t t
−
−
∂ ∂+ α =
∂ ∂
Применение конечно-разностной схемы во
времени определяет формулы обновления для
напряженности электрического поля и токов
поляризации:
( )
1
1 1
2E E
2
n n t
t c B c B
+
∗
∞ + −
Δ= + ×
ε + Δ +
1 2
1 1 1 1
0
rot H 1 1I I ;
2 2
n
n nA Ac c
+
∗+ −
+ −
⎧ ⎫+ +⎛ ⎞× − +⎨ ⎬⎜ ⎟ε ⎝ ⎠⎩ ⎭
( )1 1I I E E .n n n nA B+ +
± ± ± ±= + −
( ) ( ) ( )1 1 1Здесь 2 2 , 2 2 ,A t t B t+ += −α Δ +α Δ = +α Δ
а A A∗
− += и .B B∗
− += Поскольку поле – это
вещественная величина, а все коэффициенты
в формулах обновления токов комплексно со-
пряженные, то ( )I I .
∗
+ −= Это дает возмож-
ность для описания влияния комплексного
полюса ограничиться только одним комплекс-
ным током I .+ Аналогичным образом можно
получить формулы обновления в случае ис-
пользования моделей дисперсии с полюсами
Друде и проводимости. В последнем случае
можно обойтись без введения дополнитель-
ных токов, а просто изменить коэффициенты
в формуле обновления для электрического поля.
Для аппроксимации дисперсионной зависи-
мости диэлектрической проницаемости алю-
миния [15] была построена модель, которая
включает полюс, соответствующий проводи-
мости, два полюса Дебая и три комплексных
полюса. Для описания диэлектрической про-
ницаемости золота выбрана модель, которая
включает полюс Друде и два комплексных
полюса. Ее хорошая точность и эффективность
были показаны в [16] на примере решения
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре...
55Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
задачи дифракции света на сфере из золота
радиусом 80 нм. На рис. 4 приведены зави-
симости комплексных диэлектрических про-
ницаемостей золота и алюминия от длины
волны.
Анализ численных результатов
Для простоты будем рассматривать струк-
туру на полубесконечной подложке. Это поз-
волит исключить интерференционный резонанс
внутри нее. Резонансы отражения и пропуска-
ния решетки будут связаны с резонансами
распространяющихся вдоль поверхности ме-
таллических элементов плазмон-поляритонов.
На рис. 5 представлены зависимости от дли-
ны волны коэффициентов отражения перио-
дических структур с элементами из алюми-
ния и из золота в виде отдельного кольца с
радиусом средней линии 200 нм (см. рис. 5, а)
и замкнутого квадратного элемента с внеш-
ней стороной 400 нм и внутренней – 300 нм
(см. рис. 5, б). Отметим, что эти элементы
являются исходными для построения элемен-
тов решетки, изображенных на рис. 2 и рис. 3.
Так, например, замкнутый квадратный элемент
является частным случаем элемента, изобра-
женного на рис. 3, при условии 1 2 200y y= = нм.
Отметим, что резонансы решетки из золо-
тых элементов (линии 1 на рис. 5) сдвинуты
в длинноволновую область по отношению
к соответствующим резонансам решетки из
Рис. 5. Зависимости от длины волны коэффициен-
тов отражения решеток с элементами в виде
кольца с радиусом средней линии 200 нм (а)
и с замкнутыми квадратными элементами, у кото-
рых длина внешней стороны равна 400 нм, а внут-
ренней – 300 нм (б). Линия 1 соответствует решет-
ке из золота, линия 2 – решетке из алюминия
Рис. 4. Зависимости от длины волны вещест-
венных (а) и мнимых (б) частей комплексных диэ-
лектрических проницаемостей золота (линия 1)
и алюминия (линия 2)
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
56 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
алюминиевых элементов (линии 2 на рис. 5).
Это связано с тем, что длина волны плазмон-
поляритона на поверхности золота меньше, чем
на поверхности алюминия. На рис. 5 можно ви-
деть резонансы запирания (они отмечены циф-
рой I) на длинах волн, приближенно соот-
ветствующих условию ,pH = λ где H – эффек-
тивная длина проводника элемента решетки,
а pλ – длина волны плазмон-поляритона. Это
основной наиболее длинноволновый резонанс
в системе из таких элементов. Большая шири-
на резонансного отклика обусловлена сильной
электродинамической связью тока с полем
в свободном пространстве. Распределение тока
вдоль элемента в этом резонансном режиме
схематически показано на рис. 6, а.
Второй резонанс приближенно соответст-
вует условию 3 .pH = λ Легко видеть, что он
содержит пару: резонанс пропускания (II) и ре-
зонанс запирания (III). Распределения тока
в режимах пропускания (II) и запирания (III),
показанных на рис. 5, б, схематически изобра-
жены на рис. 6, б и рис. 6, в соответственно.
Из этих распределений следует, что ток содер-
жит составляющие, которые непосредственно
не связаны с падающим полем и с распростра-
няющейся нулевой пространственной гармони-
кой в свободном пространстве и в диэлектрике.
Эти составляющие соответствуют токам, про-
текающим по плечам квадратного элемента,
параллельным оси Oy, и затекающим на плечи,
параллельные оси Ox. Компоненты этих токов,
параллельные оси Ох, обеспечивают их элек-
тродинамическую связь с падающим полем.
Из распределений тока на рис. 6, б и рис. 6, в
видно, что амплитуды компонент токов, про-
текающих по плечам, параллельным оси Оу,
больше, чем амплитуды ортогональных ком-
понент. Последние “согласованы” с падающим
полем и способны излучать в свободное про-
странство. Отметим также, что в режиме
пропускания (II на рис. 5, б) и запирания (III на
рис. 5, б) эти компоненты остаются почти
постоянными.
Рис. 7 и рис. 8 показывают формирование
резонанса прохождения на запертой моде тока
в решетке с элементами в виде двух концен-
трических колец. Отметим, что в случае появ-
ления второго кольца режим запирания, кото-
рый соответствует условию pH = λ для от-
дельного кольца с радиусом средней линии
200 нм (см. на рис. 5, а кривую 1), разбивает-
ся на две части режимом пропускания (отме-
чен цифрой I).
Рис. 8 иллюстрирует на примере решетки
из алюминиевых колец природу этого режима.
Как легко видеть, формируется резонанс на за-
пертой моде на длинах волн между резонансами
pH = λ решеток соответствующих отдельных
колец (штрих-пунктирная и штриховая линии
на рис. 8), а значит, на кольцах наводятся резо-
нансные токи в противофазе. Такие токи слабо
излучают в свободное пространство (излуче-
ние возможно только за счет различной ампли-
Рис. 6. Распределения токов на замкнутом квадратном элементе решетки из золота, соответствующие
резонансным режимам I ( 1957λ = нм) (а), II ( 895λ = нм) (б) и III ( 835λ = нм) (в), указанным на рис. 5, б.
Стрелка в центре элемента показывает направление электрического поля падающей волны
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре...
57Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
туды токов). Отметим, что в данном случае
свойства структуры сохраняются вне зависи-
мости от поляризации волны.
Вырождение внутреннего кольца в сплош-
ной диск (рис. 7, линия 3) приводит к исчезно-
вению резонанса на запертой моде, что, по-
видимому, связано с невозможностью наве-
дения на диске кольцевых токов.
Структура с элементами, изображенными
на рис. 3, а, имеет характерный резонанс на
запертой моде вблизи резонанса запирания
отдельного элемента, который соответствует
условию 2,pH = λ – режим запирания, обо-
значенный цифрой I на рис. 9. Отметим также,
что в данном случае, как и в случае решетки
из колец, амплитуда резонанса на запертой моде
и его добротность растут с ростом степени
асимметрии структуры (разницы между пле-
чами С-элементов вдоль оси Oy). Такое пове-
дение соответствует описанному ранее в рабо-
те [9] резонансу на запертой моде в микровол-
новой планарной структуре при наличии дисси-
пативных потерь в подложке. В нашем случае
потери в металле приводят к разрушению вы-
сокодобротных резонансов, которые должны
Рис. 7. Зависимость от длины волны коэффициен-
тов отражения решетки из концентрических ко-
лец (см. рис. 2) и из элементов в виде концентричес-
ких кольца и диска из золота при 2r 200= нм:
линия 1 – 1r 120= нм; линия 2 – 1r 100= нм; линия
3 – 1r 25= нм (диск)
Рис. 8. Зависимость от длины волны коэффициен-
тов отражения решетки из элементов в виде
колец из алюминия (рис. 2): линия 1 – концентри-
ческие кольца, 1r 100= нм, 2r 200= нм; линии 2
и 3 – отдельные кольца с радиусами средних линий
r 100= нм и r 200= нм соответственно
Рис. 9. Зависимость от длины волны коэффициен-
тов отражения решеток с алюминиевыми (а)
и золотыми (б) элементами, изображенными
на рис. 3, а, для падающей у-поляризованной
волны, 1y 175= нм: линия 1 – 2y 50= нм, ли-
ния 2 – 2y 100= нм, линия 3 – 2y 150= нм
и линия 4 – 2y 175= нм
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
58 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
были бы формироваться в структуре со слабо
асимметричными элементами. Действительно,
такие резонансы связаны с большими токами
на поверхности металлических элементов,
а следовательно, сопровождаются значитель-
ными потерями в металле. Малая амплитуда
коэффициентов отражения в режиме запирания
структуры объясняется малой величиной плеч
металлических элементов вдоль оси Oy, т. е.
вдоль направления электрического поля па-
дающей волны. В случае падения на структуру
х-поляризованной волны никакие запертые ко-
лебания в ней не возбуждаются, так как струк-
тура симметрична относительно оси Ох.
Структура с элементами, изображенными
на рис. 3, б, имеет резонансы на запертой моде
не только вблизи резонанса запирания pH = λ
(I на рис. 10, а), но и вблизи 3 pH = λ (II на
рис. 10, а). На рис. 10, а линия 1 соответствует
решетке из симметрично разрезанных квадрат-
ных элементов, 1 2 175y y= = нм. Эта зависи-
мость коэффициента отражения от длины вол-
ны отличается от зависимости для замкнутого
элемента (см. рис. 5, б, линия 1) лишь слабым
смещением в коротковолновую область за счет
уменьшения эффективной длины проводящих
элементов. Очевидно, что структура проте-
кающих по элементу токов не может в данном
случае измениться, так как решетка сохраняет
симметрию. Это было подтверждено числен-
ным исследованием распределения тока вбли-
зи резонансов в такой структуре, оно качествен-
но полностью совпадает с распределениями,
представленными на рис. 6.
В случае несимметричности элементов
решетки следует ожидать формирования двух
дополнительных резонансов на запертой моде
вблизи режимов запирания, соответствующих
условиям 2pH = λ и 3 2pH = λ для отдель-
ных металлических С-образных элементов.
Именно это мы и наблюдаем на зависимос-
тях коэффициента отражения от длины вол-
ны, представленных на рис. 10 (цифрой II
отмечены соответствующие резонансы про-
зрачности). Однако возникает вопрос, почему
резонансы вблизи 2pH = λ с ростом асим-
метрии С-элементов смещаются в коротко-
волновую область, а вблизи 3 2pH = λ –
в длинноволновую. Это можно объяснить,
если рассмотреть, при каких условиях форми-
руются данные резонансы (см. рис. 11). От-
метим, что структура содержит большой
С-элемент и дипольный (прямолинейный) эле-
мент. Из рис. 11 видно, что первый резонанс фор-
мируется между резонансами запирания, соот-
ветствующими условию 2pH = λ для обоих
Рис. 10. Зависимость от длины волны коэффици-
ентов отражения х-поляризованной волны для ре-
шетки с золотыми элементами, геометрия кото-
рых показана на рис. 3, б: линия 1 – 1y 175= нм,
2y 175= нм; линия 2 – 1y 225= нм, 2y 125= нм;
линия 3 – 1y 300= нм, 2y 50= нм
Рис. 11. Зависимость от длины волны коэффи-
циентов отражения при х-поляризации для решет-
ки с алюминиевыми элементами, изображенными
на рис. 3, б, (линия 1 – 1y 300= нм, 2y 50= нм)
и для решеток, составленных из отдельных час-
тей следующих элементов: из диполей (линия 2 –
2y 50= нм); из С-образных элементов (линия 3 –
1y 300= нм )
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре...
59Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
элементов, а второй – между резонансами запи-
рания, соответствующими условию 2pH = λ
для дипольного элемента и 3 2pH = λ для
С-элемента. В этом случае можно говорить
о переходе исходного резонанса 3 pH = λ
в замкнутом квадратном элементе в резонанс
2 pH = λ асимметричной структуры, который,
естественно, является более длинноволновым,
чем исходный. Отметим, что резонанс 2 pH = λ
в симметричной структуре возбуждаться не
может, в силу того что токи на параллельных
плечах металлических элементов в этом случае
будут противофазными. Более того, с рос-
том асимметрии металлических элементов
структура токов будет все ближе и ближе к той,
которая соответствует условию 2pH = λ для
короткого и 3 2pH = λ для более длинного
металлического элемента.
Рис. 12 схематически иллюстрирует рас-
пределения токов, вычисленные на различ-
ных резонансных длинах волн для асиммет-
ричной структуры с золотыми элементами
1( 225y = нм, 2 125y = нм). Зависимость коэф-
фициента отражения данной структуры от дли-
ны волны представлена на рис. 10 (линия 2.)
Отметим, что режимы запирания и прохож-
дения, соответствующие первому резонансу
на запертой моде (рис. 12, а и рис. 12, б), со-
провождаются формированием противофазных
токов на плечах, параллельных оси Ox, что
приводит к невозможности излучения этих
токов в свободное пространство. Режим запи-
рания (см. рис. 12, в) имеет такую же струк-
туру тока, как и предыдущие режимы на за-
пертой моде, однако амплитуда тока очень
мала. Два следующих режима (рис. 12, г и
рис. 12, д) очевидно связаны с высшим резонан-
сом на запертой моде. Как уже упоминалось,
эти режимы формируются в области между
резонансами, соответствующими условиям
2pH = λ для меньшего и 3 2pH = λ для
большего С-элемента. Это объясняет и струк-
Рис. 12. Схематические распределения токов в асимметричных элементах решетки (см. рис. 3, б,
1y 225= нм, 2y 125= нм) из золота для следующих резонансных длин волн: 2750 нм (а); 2457 нм (б);
1797 нм (в); 1067 нм (г) и 1012 нм (д). Зависимость коэффициента отражения этой структуры от длины
волны приведена на рис. 10 (линия 2)
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
60 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
туру тока в данных резонансных режимах.
Теперь ток на различных плечах, параллель-
ных оси Ox, отличается не только фазой,
но и амплитудой. Максимальные амплитуды
токов в большем С-элементе расположены на
плечах, параллельных оси Оу, а в меньшем –
на плече, параллельном оси Ох. Такое отли-
чие объясняется различными условиями ре-
зонансов на отдельных элементах. Отметим,
что в этом случае в режиме запирания наблю-
дается значительное ослабление токов на пле-
чах, параллельных оси Oy, и, более того, умень-
шаются амплитуды токов на плечах, парал-
лельных оси Ox.
Рис. 13 иллюстрирует зависимость поло-
жения и амплитуды резонансов на запертой
моде для несимметричной структуры, содер-
жащей С-элемент и дипольный элемент, от
размера дипольного элемента. Видно, что в
данном случае уменьшением длины диполя
можно совместить режим прозрачности струк-
туры на запертой моде с режимом запирания
отдельного С-элемента. Это происходит, ког-
да на длине С-элемента укладывается три
длины полуволны, а на дипольном элементе –
одна полуволна (см. рис. 13, линия 2). Даль-
нейшее уменьшение дипольного элемента при-
ведет к исчезновению резонанса на запертой
моде для условия 2pH = λ для обоих ме-
таллических элементов (кривая 3 на рис. 13, а).
Резонанс I совпадает по частоте и амплитуде
с резонансом решетки из отдельных С-эле-
ментов.
Заключение
В работе исследованы резонансные свойст-
ва оптических планарных периодических
структур, квадратная периодическая ячейка
которых содержит два одинаковых по форме,
но различных по длине металлических элемента.
В таких структурах, как и в соответствующих
структурах для микроволнового диапазона,
выявлены так называемые резонансы на за-
пертой моде. Они формируются в области
между двумя резонансными частотами, кото-
рые соответствуют резонансам плазмон-по-
ляритонов в отдельных элементах периодичес-
кой ячейки, и связаны с возбуждением на
металлических элементах противофазных
токов. Добротность таких резонансов опре-
деляется омическими потерями в металле, ко-
торые чрезвычайно велики в оптическом и ин-
фракрасном диапазонах, и потерями на излуче-
ние в свободное пространство и подложку.
Омические потери растут с уменьшением сте-
пени асимметрии структуры, что связано с
ростом амплитуды токов на поверхности ме-
таллов в этом случае. Потери же на излуче-
Рис. 13. Зависимости от длины волны коэф-
фициентов отражения при х-поляризации для
решетки с золотыми элементами, каждый из ко-
торых состоит из С-элемента и дипольного эле-
мента длиной 400 нм (линия 1), 300 нм (линия 2)
и 250 нм (линия 3). Линия 1 соответствует струк-
туре, изображенной на рис. 3, б, с параметрами
1y 300= нм, 2y 50= нм, все остальные струк-
туры получены из нее путем уменьшения длины
дипольного элемента. На рис. б) – детали резо-
нансных зависимостей, представленных на рисун-
ке а), в окрестности длины волны 1200 нм
Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре...
61Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
ние растут с ростом степени асимметрии
структуры. Таким образом, зависимость доб-
ротности резонансов на запертой моде от сте-
пени асимметрии элементов решетки качествен-
но такая же, как и у соответствующих микро-
волновых структур с диссипативной подлож-
кой [9]. Отметим также, что резонансы на за-
пертой моде имеют добротность выше, чем
обычный резонанс на плазмон-поляритоне.
Впервые показано существование и иссле-
дованы свойства высшего резонанса на за-
пертой моде. Этому резонансу в симметрич-
ной структуре (например, в решетке из эле-
ментов, имеющих форму квадратной рамки)
соответствует обычный резонанс плазмон-по-
ляритона при условии, что на длине металли-
ческого элемента укладывается три длины
волны. Отметим, что этот резонанс в сим-
метричной структуре проявляется в виде пары
резонанс–антирезонанс. Это связано со спе-
цифическим распределением тока в металли-
ческом элементе, при котором в плечах, пер-
пендикулярных электрическому полю падаю-
щей волны, наводятся противофазные токи, не
связанные с распространяющейся нулевой
пространственной гармоникой в свободном
пространстве и в диэлектрике. Высший резо-
нанс на запертой моде проявляется, когда в
системе возникает асимметрия (различные
длины металлических элементов периодичес-
кой ячейки структуры). В этом случае на пле-
чах, параллельных электрическому полю па-
дающей волны, также наводятся противофаз-
ные токи, что приводит к резкому снижению
электродинамической связи решетки со сво-
бодным пространством и подложкой. В слу-
чае возрастания асимметрии в структуре такой
резонанс постепенно вырождается в резонанс,
соответствующий условию равенства общей дли-
ны металлических элементов двум длинам волн
плазмон-поляритона. Это приводит к тому, что,
в отличие от основного резонанса, данный резо-
нанс с ростом асимметрии структуры смещает-
ся в длинноволновую область. Отметим, что этот
резонанс на запертой моде имеет добротность
выше, чем основной резонанс.
Таким образом, наше численное исследо-
вание показывает возможность создания двух-
элементных планарных периодических струк-
тур для оптического и инфракрасного диапа-
зонов длин волн, резонансное отражение и
пропускание которых будет иметь добротность
большую, чем резонансный отклик одноэле-
ментных структур.
Работа выполнена при частичной финансо-
вой поддержке по гранту №1-02-а совместного
проекта НАН Украины и Российского фонда
фундаментальных исследований.
Литература
1. Munk B. A. Frequency selective surfaces: theory and
design. – New York: John Wiley and Sons, 2000. – 440 p.
2. Smith D. R., Pendry J. B., Wiltshire M. C. K. Metamate-
rials and Negative Refractive Index // Science. – 2004. –
Vol. 305, No. 5685. – P. 788 -792.
3. Fedotov V. A., Mladyonov P. L., Prosvirnin S. L., Ro-
gacheva A. V., Chen Y., and Zheludev N. I. Asymmetric
Propagation of Electromagnetic Waves through a Pla-
nar Chiral Structure // Phys. Rev. Lett. – 2006. – Vol. 97,
No. 16. – P. 167401-1–167401-4.
4. Fedotov V. A., Schwanecke A. S., Zheludev N. I.,
Khardikov V. V., and Prosvirnin S. L. Asymmetric trans-
mission of light and enantiomerically sensitive plas-
mon resonance in planar chiral nanostructures // Nano
Lett. – 2007. – Vol. 7, No. 7. – P. 1996-1999.
5. Fedotov V. A., Mladyonov P. L., Prosvirnin S. L., and
Zheludev N. I. Planar electromagnetic metamaterial with
a fish scale structure // Phys. Rev. E. – 2005. – Vol. 72,
No. 5. – P. 056613-1–056613-4.
6. Schwanecke A. S., Fedotov V. A., Khardikov V. V.,
Prosvirnin S. L., Chen Y., and Zheludev N. I. Optical
magnetic mirrors // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. – 2007. –
Vol. 9. – P. L1-L2.
7. Schurig D., Mock J. J., Justice B. J., Cummer S. A.,
Pendry J. B., Starr A. F., and Smith. D R. Metamaterial
Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies //
Science. – 2006. – Vol. 314, No. 5801. – P. 977-980.
8. Prosvirnin S., Zouhdi S. Resonances of closed modes in
thin arrays of complex particles // Advances in Electro-
magnetics of Complex Media and Metamaterials. – Dor-
drecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers. –
2003. – Vol. 89 – P. 281-290.
9. Fedotov V. A., Rose M., Prosvirnin S. L., Papasima-
kis N. and Zheludev N. I. Sharp trapped-mode reso-
nances in planar metamaterials with a broken structu-
ral symmetry // Phys. Rev. Lett. – 2007. – Vol. 99,
No. 14. – P. 147401-1–147401-4.
10. Zheludev N. I., Prosvirnin S. L, Papasimakis N. and
Fedotov V. A. Lasing spacer // Nature Photonics –
2008. – Vol. 2, No. 6. – P. 351-354.
В. В. Хардиков, Е. О. Ярко, С. Л. Просвирнин
62 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
11. Gao X., Mirotznik M. S., Shi S. and Prather D. W.
Applying a mapped pseudospectral time-domain me-
thod in simulating diffractive optical elements // J. Opt.
Soc. Am. A. – 2004. – Vol. 21, No. 5. – P. 777-785.
12. Хардиков В. В., Ярко Е. О., Просвирнин С. Л. Ис-
пользование матриц передачи и псевдо-спектраль-
ного метода во временной области для исследова-
ния дифракции света на планарных периодических
структурах // Радиофизика и радиоастрономия. –
2008. – Т. 13, №2. – С. 146-158.
13. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electrody-
namics: The Finite-Difference Time-Domain Method.
Third edition. – Boston-London: Artech House, 2005. –
1038 p.
14. Han M., Durron R. W., Fan S. Model dispersive media
in Finite-Difference Time-Domain method with complex-
conjugate pole-residue pairs // IEEE Microwave Wire-
less Comp. Lett. – 2006. – Vol. 16, No. 3. – P. 119-121.
15. Smith D. Y., Shiles E. and Inokuti M. The Optical
Properties of Aluminum in E. D. Palik (ed.) // Hand-
book of Optical Constants of Solids. – Orlando: Aca-
demic Press, 1985. – P. 369-406.
16. Vial A., Laroche T. Comparison of gold and silver
dispersion laws suitable for FDTD Simulations // Appl.
Phys. B. – 2008. – Vol. 93, No. 1. – P. 139-143.
Дослідження резонансів на запертій
моді з дифракцією світла
на двоперіодичній планарній структурі
з асиметричними металевими
елементами
В. В. Хардиков, К. О. Ярко,
С. Л. Просвірнін
Чисельно розв’язана задача дифракції плос-
кої нормально падаючої хвилі на періодичній
планарній структурі з двома слабкосиметрич-
ними металевими елементами складної фор-
ми у квадратній періодичній комірці для оп-
тичного та інфрачервоного діапазонів. Для
розв’язання задачі використовувався псевдо-
спектральний метод Фур’є з відображенням
разом з методом додаткового диференційного
рівняння і полюсною моделлю для опису дис-
персії діелектричної проникності металів. По-
казана можливість формування у структурі ре-
зонансу на запертій моді, який є більш доброт-
ним ніж резонанс на плазмон-поляритоні
у структурах з одним металевим елементом
на період. Вперше показано існування вищого
резонансу на запертій моді, що має добротність
вищу за добротність відповідного основного
резонансу.
Analysis of Trapped-Mode Resonances
of Light Diffraction by Two-Periodic Planar
Structure of Asymmetric Metal Elements
V. V. Khardikov, Е. О. Iarko,
and S. L. Prosvirnin
Normally incedent wave diffraction by planar
periodic structure of two small asymmetrical
metal complex-shaped elements has been solved
numerically for optical and infra-red ranges. The
Fourier mapped pseudospectral time-domain
method combined with auxiliary differential equa-
tions technique and complex pole model are used
for taking into account the dispersion of metal
permittivity. The trapped mode resonances for-
ming in structures is shown possible. The Q-fac-
tor of this type resonance is higher than that
of plasmon-polariton resonance of planar struc-
tures of single metal element periodic cell. The
existence of higher order trapped mode reso-
nance which Q-factor is greater than the that of
corresponding fundamental trapped mode reso-
nance is first shown.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60093 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T09:49:55Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хардиков, В.В. Ярко, Е.О. Просвирнин, С.Л. 2014-04-11T14:13:47Z 2014-04-11T14:13:47Z 2010 Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами / В.В. Хардиков, Е.О. Ярко, С.Л. Просвирнин // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 1. — С. 50-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60093 533.7:537.874.6 Численно решена задача дифракции плоской нормально падающей волны на периодической планарной структуре с двумя слабо асимметричными металлическими элементами сложной формы в квадратной периодической ячейке для оптического и инфракрасного диапазонов. Для решения задачи использован псевдоспектральный метод Фурье с отображением совместно с методом дополнительного дифференциального уравнения и полюсной моделью для описания дисперсии диэлектрической проницаемости металлов. Показана возможность формирования в структуре резонанса на запертой моде, который является более добротным по сравнению с резонансами на плазмон-поляритоне в структурах с одним металлическим элементом на периоде. Впервые показано существование высшего резонанса на запертой моде, который имеет добротность, превышающую добротность соответствующего основного резонанса. Чисельно розв’язана задача дифракції плоскої нормально падаючої хвилі на періодичній планарній структурі з двома слабкосиметричними металевими елементами складної форми у квадратній періодичній комірці для оптичного та інфрачервоного діапазонів. Для розв’язання задачі використовувався псевдоспектральний метод Фур’є з відображенням разом з методом додаткового диференційного рівняння і полюсною моделлю для опису дисперсії діелектричної проникності металів. Показана можливість формування у структурі резонансу на запертій моді, який є більш добротним ніж резонанс на плазмонполяритоні у структурах з одним металевим елементом на період. Вперше показано існування вищого резонансу на запертій моді, що має добротність вищу за добротність відповідного основного резонансу. Normally incedent wave diffraction by planar periodic structure of two small asymmetrical metal complex-shaped elements has been solved numerically for optical and infra-red ranges. The Fourier mapped pseudospectral time-domain method combined with auxiliary differential equations technique and complex pole model are used for taking into account the dispersion of metal permittivity. The trapped mode resonances forming in structures is shown possible. The Q-factor of this type resonance is higher than that of plasmon-polariton resonance of planar structures of single metal element periodic cell. The existence of higher order trapped mode resonance which Q-factor is greater than the that of corresponding fundamental trapped mode resonance is first shown. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами Дослідження резонансів на запертій моді з дифракцією світла на двоперіодичній планарній структурі з асиметричними металевими елементами Analysis of Trapped-Mode Resonances of Light Diffraction by Two-Periodic Planar Structure of Asymmetric Metal Elements Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами Хардиков, В.В. Ярко, Е.О. Просвирнин, С.Л. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами |
| title_alt | Дослідження резонансів на запертій моді з дифракцією світла на двоперіодичній планарній структурі з асиметричними металевими елементами Analysis of Trapped-Mode Resonances of Light Diffraction by Two-Periodic Planar Structure of Asymmetric Metal Elements |
| title_full | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами |
| title_fullStr | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами |
| title_full_unstemmed | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами |
| title_short | Исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами |
| title_sort | исследование резонансов на запертой моде при дифракции света на двухпериодической планарной структуре с асимметричными металлическими элементами |
| topic | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60093 |
| work_keys_str_mv | AT hardikovvv issledovanierezonansovnazapertoimodepridifrakciisvetanadvuhperiodičeskoiplanarnoistrukturesasimmetričnymimetalličeskimiélementami AT ârkoeo issledovanierezonansovnazapertoimodepridifrakciisvetanadvuhperiodičeskoiplanarnoistrukturesasimmetričnymimetalličeskimiélementami AT prosvirninsl issledovanierezonansovnazapertoimodepridifrakciisvetanadvuhperiodičeskoiplanarnoistrukturesasimmetričnymimetalličeskimiélementami AT hardikovvv doslídžennârezonansívnazapertíimodízdifrakcíêûsvítlanadvoperíodičníiplanarníistrukturízasimetričnimimetalevimielementami AT ârkoeo doslídžennârezonansívnazapertíimodízdifrakcíêûsvítlanadvoperíodičníiplanarníistrukturízasimetričnimimetalevimielementami AT prosvirninsl doslídžennârezonansívnazapertíimodízdifrakcíêûsvítlanadvoperíodičníiplanarníistrukturízasimetričnimimetalevimielementami AT hardikovvv analysisoftrappedmoderesonancesoflightdiffractionbytwoperiodicplanarstructureofasymmetricmetalelements AT ârkoeo analysisoftrappedmoderesonancesoflightdiffractionbytwoperiodicplanarstructureofasymmetricmetalelements AT prosvirninsl analysisoftrappedmoderesonancesoflightdiffractionbytwoperiodicplanarstructureofasymmetricmetalelements |