Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения
Сформулирована и решена задача рассеяния трехмерного гауссовского пучка, падающего под малым углом на двухпериодический магнитодиэлектрический слой. Предложена новая формула представления рассеянного поля трехмерного гауссовского пучка однократным интегралом, что дает возможность уменьшить время...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60094 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения / В.В. Ячин, T.Л. Зиненко, В.К. Киселев, С.Н. Воробьев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 1. — С. 80–88. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60094 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ячин, В.В. Зиненко, T.Л. Киселев, В.К. Воробьев, С.Н. 2014-04-11T14:15:56Z 2014-04-11T14:15:56Z 2010 Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения / В.В. Ячин, T.Л. Зиненко, В.К. Киселев, С.Н. Воробьев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 1. — С. 80–88. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60094 533.7:537.874.6 Сформулирована и решена задача рассеяния трехмерного гауссовского пучка, падающего под малым углом на двухпериодический магнитодиэлектрический слой. Предложена новая формула представления рассеянного поля трехмерного гауссовского пучка однократным интегралом, что дает возможность уменьшить время численных расчетов пространственного распределения поля и увеличить их точность. Представлены графики, иллюстрирующие применение этой формулы к расчету рассеяния наклонно падающего пучка на магнитодиэлектрический слой. Сформульовано та розв’язано задачу розсіяння тривимірного гаусівського пучка, що падає під малим кутом на двоперіодичний магнітодіелектричний шар. Запропоновано нову формулу репрезентації розсіяного поля тривимірного гаусівського пучка однократним інтегралом, що уможливлює скорочення часу числових розрахунків просторового розподілу поля та покращення їх точності. Наведені графіки ілюструють застосування цієї формули до розрахунку розсіяння похило падаючого пучка на магнітодіелектричний шар. The problem of scattering of 3-D Gaussian beam incident at a small angle onto a doubleperiodic magnetodielectric slab has been formulated and solved. The new formulas for incident and scattered 3-D Gaussian beam fields in the form of single integrals have been derived. These allow reducing the time spent upon numerical calculations of the incident and scattered beam fields and improving their accuracy. The calculations of the 3-D Gaussian beam obliquely incident onto magnetodielectric slab with the derived formulas are illustrated in figures presented in the paper. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения Дифракція тривимірного гаусівського пучка з круговою симетрією просторового розподілу поля на проникних екранах за малих кутів падіння Diffraction of 3-D Gaussian Beam with Circular Symmetry of the Field Space Distribution by Permeable Screens at Small Angles of Incidence Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения |
| spellingShingle |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения Ячин, В.В. Зиненко, T.Л. Киселев, В.К. Воробьев, С.Н. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title_short |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения |
| title_full |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения |
| title_fullStr |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения |
| title_full_unstemmed |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения |
| title_sort |
дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения |
| author |
Ячин, В.В. Зиненко, T.Л. Киселев, В.К. Воробьев, С.Н. |
| author_facet |
Ячин, В.В. Зиненко, T.Л. Киселев, В.К. Воробьев, С.Н. |
| topic |
Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet |
Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Радиофизика и радиоастрономия |
| publisher |
Радіоастрономічний інститут НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Дифракція тривимірного гаусівського пучка з круговою симетрією просторового розподілу поля на проникних екранах за малих кутів падіння Diffraction of 3-D Gaussian Beam with Circular Symmetry of the Field Space Distribution by Permeable Screens at Small Angles of Incidence |
| description |
Сформулирована и решена задача рассеяния трехмерного гауссовского пучка, падающего под
малым углом на двухпериодический магнитодиэлектрический слой. Предложена новая формула
представления рассеянного поля трехмерного гауссовского пучка однократным интегралом, что
дает возможность уменьшить время численных расчетов пространственного распределения
поля и увеличить их точность. Представлены графики, иллюстрирующие применение этой формулы к расчету рассеяния наклонно падающего пучка на магнитодиэлектрический слой.
Сформульовано та розв’язано задачу розсіяння тривимірного гаусівського пучка, що падає під
малим кутом на двоперіодичний магнітодіелектричний шар. Запропоновано нову формулу репрезентації розсіяного поля тривимірного гаусівського пучка однократним інтегралом, що уможливлює скорочення часу числових розрахунків просторового розподілу поля та покращення їх точності. Наведені графіки ілюструють застосування цієї формули до розрахунку розсіяння похило
падаючого пучка на магнітодіелектричний шар.
The problem of scattering of 3-D Gaussian
beam incident at a small angle onto a doubleperiodic
magnetodielectric slab has been formulated
and solved. The new formulas for incident
and scattered 3-D Gaussian beam fields in the
form of single integrals have been derived. These
allow reducing the time spent upon numerical
calculations of the incident and scattered beam
fields and improving their accuracy. The calculations
of the 3-D Gaussian beam obliquely incident
onto magnetodielectric slab with the derived formulas
are illustrated in figures presented in the
paper.
|
| issn |
1027-9636 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60094 |
| citation_txt |
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля на проницаемых экранах при малых углах падения / В.В. Ячин, T.Л. Зиненко, В.К. Киселев, С.Н. Воробьев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 1. — С. 80–88. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT âčinvv difrakciâtrehmernogogaussovskogopučkaskrugovoisimmetrieiprostranstvennogoraspredeleniâpolânapronicaemyhékranahprimalyhuglahpadeniâ AT zinenkotl difrakciâtrehmernogogaussovskogopučkaskrugovoisimmetrieiprostranstvennogoraspredeleniâpolânapronicaemyhékranahprimalyhuglahpadeniâ AT kiselevvk difrakciâtrehmernogogaussovskogopučkaskrugovoisimmetrieiprostranstvennogoraspredeleniâpolânapronicaemyhékranahprimalyhuglahpadeniâ AT vorobʹevsn difrakciâtrehmernogogaussovskogopučkaskrugovoisimmetrieiprostranstvennogoraspredeleniâpolânapronicaemyhékranahprimalyhuglahpadeniâ AT âčinvv difrakcíâtrivimírnogogausívsʹkogopučkazkrugovoûsimetríêûprostorovogorozpodílupolânaproniknihekranahzamalihkutívpadínnâ AT zinenkotl difrakcíâtrivimírnogogausívsʹkogopučkazkrugovoûsimetríêûprostorovogorozpodílupolânaproniknihekranahzamalihkutívpadínnâ AT kiselevvk difrakcíâtrivimírnogogausívsʹkogopučkazkrugovoûsimetríêûprostorovogorozpodílupolânaproniknihekranahzamalihkutívpadínnâ AT vorobʹevsn difrakcíâtrivimírnogogausívsʹkogopučkazkrugovoûsimetríêûprostorovogorozpodílupolânaproniknihekranahzamalihkutívpadínnâ AT âčinvv diffractionof3dgaussianbeamwithcircularsymmetryofthefieldspacedistributionbypermeablescreensatsmallanglesofincidence AT zinenkotl diffractionof3dgaussianbeamwithcircularsymmetryofthefieldspacedistributionbypermeablescreensatsmallanglesofincidence AT kiselevvk diffractionof3dgaussianbeamwithcircularsymmetryofthefieldspacedistributionbypermeablescreensatsmallanglesofincidence AT vorobʹevsn diffractionof3dgaussianbeamwithcircularsymmetryofthefieldspacedistributionbypermeablescreensatsmallanglesofincidence |
| first_indexed |
2025-11-26T18:32:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T18:32:51Z |
| _version_ |
1850768463561228288 |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1, с. 80-88
© В. В. Ячин, T. Л. Зиненко, В. К. Киселев, С. Н. Воробьев, 2010
УДК 533.7:537.874.6
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой
симметрией пространственного распределения поля
на проницаемых экранах при малых углах падения
В. В. Ячин, T. Л. Зиненко1, В. К. Киселев1, С. Н. Воробьев
Радиоастрономичекий институт НАН Украины,
ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина
E-mail: yachin@rian.kharkov.ua
1Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
ул. Ак. Проскуры, 12, г. Харьков, 61085, Украина
Статья поступила в редакцию 7 мая 2009 г.
Сформулирована и решена задача рассеяния трехмерного гауссовского пучка, падающего под
малым углом на двухпериодический магнитодиэлектрический слой. Предложена новая формула
представления рассеянного поля трехмерного гауссовского пучка однократным интегралом, что
дает возможность уменьшить время численных расчетов пространственного распределения
поля и увеличить их точность. Представлены графики, иллюстрирующие применение этой фор-
мулы к расчету рассеяния наклонно падающего пучка на магнитодиэлектрический слой.
Введение
Для коллимации электромагнитного из-
лучения различного рода высокочастотных
источников, гиротронов, ЛОВ и т. д. приме-
няются квазиоптические линии передачи на ос-
нове полых диэлектрических волноводов различ-
ного типа [1-3]. В настоящее время существуют
технологические возможности для производства
различных волноводов с диэлектрическим по-
крытием стенок, обладающих приемлемыми
параметрами передачи энергии в инфракрас-
ном [2, 4], миллиметровом [5], ближнем мил-
лиметровом и субмиллиметровом диапазонах
длин волн [6].
Основным типом колебаний в таких волно-
водах является мода 11.HE Хорошей аппрок-
симацией распределения поля для моды 11HE
является пучок с гауссовским распределе-
нием амплитуды поля по сечению в направле-
нии, поперечном относительно направления
распространения [3]. Плоскослоистые маг-
нитодиэлектрические периодические структу-
ры могут служить в качестве рассеивателей,
используемых для управления характеристи-
ками высокочастотного поля в квазиоптичес-
кой линии передачи.
Рассеяние пучка на плоскослоистых струк-
турах обычно рассматривается с помощью
метода комплексного источника [7], исполь-
зуется параксиальное приближение, когда энер-
гия пучка полагается распределенной в неболь-
шом секторе углов [8]. Стандартным мето-
дом для моделирования распространения
и взаимодействия трехмерного пучка с раз-
личного рода рассеивателями является пред-
ставление пучка в виде непрерывного про-
странственного спектра плоских волн [8-10].
В этом случае полагается, что для каждой
волны коэффициенты рассеяния от структуры
уже известны. В представленной статье вы-
ражение для трехмерных рассеянных полей,
выраженных двукратным интегралом, сво-
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля...
81Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
дится к однократному интегралу, что сущест-
венно уменьшает время счета и увеличивает
точность результатов. Мы используем анали-
тические выражения для коэффициентов отра-
жения и прохождения плоской электромагнит-
ной волны, дифрагирующей на магнитодиэлек-
трическом двоякопериодическом слое, получен-
ные методом интегральных функционалов [11]
для случая, когда период структуры гораздо
меньше длинны падающей волны.
Постановка и решение задачи
Рассмотрим рассеяние трехмерного гаус-
совского пучка с круговой симметрией рас-
пределения поля, падающего в среде с 1 1,ε μ
под малым углом θ на двухпериодический
магнитодиэлектрический слой (рис. 1). Коор-
динаты пучка и слоя связаны соотношениями:
sin ( )cos ,iz x z d= θ + + θ
cos ( )sin ,ix x z d= θ− + θ (1)
.iy y=
Распределение амплитуды поля в плоскости
0iz = имеет вид гауссовской функции и пред-
ставляется следующим образом:
2 2
2
0
( , ,0) exp ,i i
i i
x yF x y
w
⎛ ⎞+= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
где
пад
,
пад
,
y
y
E
F
H
⎧⎪= ⎨
⎪⎩
а 0w – минимальная полуши-
рина пучка, определяемая в точке, где макси-
мальная амплитуда поля уменьшается в e раз.
Пучок является монохроматическим
с временной зависимостью exp( )i t− ω и ква-
зиоптическим, когда выполняется условие
( )0 0 0 02 1,k w w= π λ где 0k и 0λ – волновое
число и длина волны в свободном простран-
стве соответственно. При малых углах паде-
ния θ поле пучка в плоскости ( , )x y при z d= −
хорошо аппроксимируется выражением [8-10]:
0( , , ) ( , ,0)exp( ).i i iF x y d F x y ik z− = (2)
Наши исследования показали, что данное при-
ближение задает поле пучка практически без
искажений в диапазоне углов падения пучка
0 18 .≤ θ ≤ °
Из (2) с помощью (1) для поля в плоскости
( , )x y при z d= − получаем
( )2 2 2
0 0( , , ) exp cosF x y d x w y w⎡ ⎤− = − θ − ×⎣ ⎦
0exp( sin ).ik x× θ (3)
Поле пучка в области 0d z− < < можно предс-
тавить в виде разложения в двойной интеграл
Фурье по плоским волнам, т. е. можно запи-
сать
2
1( , , ) ( , )exp( )exp( )
4 x y x yF x y z k k ik x ik y
∞ ∞
−∞ −∞
= Φ ×
π ∫ ∫
( ) { }1exp ( ) d d ( , )exp( ) ,z x y x y zik z d k k F k k ik z−× + = Φ
(4)
Рис. 1. Геометрия задачи в плоскости .( x, z ) Оси
y и iy направлены перпендикулярно плоскости
рисунка
В. В. Ячин, T. Л. Зиненко, В. К. Киселев, С. Н. Воробьев
82 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
где { }1 ...F − – обратное двойное преобразова-
ние Фурье; ,xk yk и zk – волновые числа
в направлениях x, y, z, и 2 2 2 2
0 ;x y zk k k k+ + =
( , )x yk kΦ – спектральная амплитуда Фурье
поля пучка в плоскости ( , )x y при ,z d= − ко-
торую можно получить с помощью преобра-
зования Фурье
( , )x yk kΦ =
( , , )exp( )exp( )d d .x yF x y d ik x ik y x y
∞ ∞
−∞ −∞
= − − −∫ ∫
(5)
После подстановки (3) в (5) и интегрирования
получаем
2 2 2
0 0 0
2
( sin )( , ) exp
cos 4cos
x
x y
w k k wk k
⎛ ⎞π θ−Φ = − ×⎜ ⎟θ θ⎝ ⎠
( )2 2
0exp 4 .yk w× − (6)
При представлении поля пад
yE -поляризованно-
го или пад
yH -поляризованного пучков в виде
спектра плоских волн нельзя обойтись только
парциальными волнами одной поляризации
(параллельной или перпендикулярной). Будем
иметь в виду, что из дивергентной части урав-
нений Максвелла следует, что
пад 1( , , ) ( , )exp( ) .y
z x y z
z
k
E x y z F k k ik z
k
− ⎧ ⎫
= − Φ⎨ ⎬
⎩ ⎭
Учитывая этот факт, а также свойства
плоских волн: ( ), 0,k E⊥ = ( ), 0,k E =
( ), 0,E E⊥ = – и то, что в разложении по плос-
ким волнам ,xk yk изменяются от −∞ до ,∞
можно определить, что пад
yE -компонента
падающего поля будет описываться выра-
жением (4), а y-компоненты отраженного
и прошедшего полей пучка можно предста-
вить как [8, 15]:
2
отр
2 2 2
1( , , ) ( )
4
y
y
x y
k
E x y z R R R
k k
∞ ∞
⊥ ⊥
−∞ −∞
⎛ ⎞
= − + ×⎜ ⎟⎜ ⎟π +⎝ ⎠
∫ ∫
( , )exp( )exp( )x y x yk k ik x ik y×Φ ×
( )exp ( ) d d ,z x yik z d k k× − − (7)
2
прош
2 2 2
1( , , ) ( )
4
y
y
x y
k
E x y z T T T
k k
∞ ∞
⊥ ⊥
−∞ −∞
⎛ ⎞
= − + ×⎜ ⎟⎜ ⎟π +⎝ ⎠
∫ ∫
( , )exp( )exp( )x y x yk k ik x ik y×Φ ×
exp( )d dz x yik z k k× при .z h> (8)
Здесь R⊥ и R – коэффициенты отражения
от слоя, а T⊥ и T – коэффициенты прохожде-
ния для перпендикулярно поляризованных и
параллельно поляризованных плоских волн
соответственно. Компоненты отр ,xE отр ,zE прош
xE
и прош
zE могут быть получены аналогичным
образом.
В дальнейшем ограничимся рассмотре-
нием y-компоненты падающего и отражен-
ного полей. Из формулы (4), используя (6),
получаем выражение для поля падающего
волнового пучка:
пад ( , , )yE x y z =
22
20 0
0
sinexp
4 cos 2cos
xw k k w
∞ ∞
−∞ −∞
⎡ ⎤− θ⎛ ⎞= − ×⎢ ⎥⎜ ⎟π θ θ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
( )
2
2
0exp exp
2
y
x y
k
w i k x k y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥× − + ×⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
[ ]exp ( ) d d .z x yik z d k k× + (9)
Рассеивающей структурой в данном случае
является двухпериодический магнитодиэлек-
трический бесконечный слой, расположенный
в плоскости 0.z = Периодическая ячейка тол-
щиной h является параллелепипедом с квад-
ратным основанием и квадратным отверс-
тием со стороной а, x yL L L= = – периоды
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля...
83Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
слоя в направлениях x и y, а 1ε и 2ε – диэ-
лектрические, 1μ и 2μ – магнитные прони-
цаемости окружающей среды и слоя соот-
ветственно.
Рассматриваемая рассеивающая структу-
ра обладает аксиальной симметрией при пово-
роте на 2π вокруг оси z, и коэффициенты про-
хождения и отражения не зависят от ази-
мутального угла .ϕ Поэтому при решении
поставленной задачи для данной структуры
целесообразно перейти от декартовой системы
координат ( , , )x y z к цилиндрической системе
координат ( , , ).zρ ϕ При этом sin ,xk kρ= ϕ
cosyk kρ= ϕ и 2 2
0 .zk k kρ= − Таким образом,
поле наклонно падающего трехмерного гаус-
совского пучка в цилиндрической системе
координат представляется выражением:
пад ( , , )yE k zρ ϕ =
22
0
0 0
sin sin1 exp
4 cos 2cos
k k∞ π
ρ
⎡ ⎤ϕ− θ⎛ ⎞
⎢ ⎥×⎜ ⎟π θ θ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= −∫ ∫
2
2 2
0
cos
exp exp ( )
2
k
i k k z dρ
ρ
⎡ ⎤ϕ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥× − − + ×⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
exp ( sin cos ) d d .i k x k y k kρ ρ ρ ρ⎡ ⎤× ϕ ϕ ϕ⎣ ⎦+ (10)
Здесь и далее x, y, z, d, 0 ,k kρ – это без-
размерные величины, нормированные на ве-
личину 0.w
Воспользовавшись известными разложе-
ниями [12],
cos( ) ( ) ( ),i m im
m
m
e i e J
∞
κρ ϕ−α − ϕ−α
=−∞
κρ= ∑
cos( ) ( )( ) ( ),i n in
n
n
e i e J
∞− κρ ϕ−α ϕ−α
=−∞
= − κρ∑
где ( )nJ ρ – функция Бесселя с целым индек-
сом, после определенных преобразований и ин-
тегрирования по ,ϕ получаем падающее поле
трехмерного гауссовcкого пучка в виде одно-
кратного интеграла по :kρ
2
пад 201( ) exp tg
2cos 4y
kE kρ
⎛ ⎞
= − θ ×⎜ ⎟θ ⎝ ⎠
2 2
0 0
0
tgexp 1 ( ) ( )
4 2
k
J J k r
∞
ρ
ρ
⎡ ⎤ ⎛⎛ ⎞θ× − + ζ +⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
∫
2
1
( ) ( )m
m m
m
i J J k r
∞
−
ρ
=
+ ζ ×∑
m mB iA B iA
B iA B iA
− ⎞⎡ ⎤+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟× + ×⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎠
2 2
0exp ( ) d .i k k z d k kρ ρ ρ
⎡ ⎤× − +⎢ ⎥⎣ ⎦
(11)
Здесь введены следующие обозначения:
0
2
sin ,
2cos
ikA xθ= −
θ
,B y= −
2 2 ,r B A= +
22 tg .
2 2
k
i
ρ θ⎛ ⎞ζ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Преимущество выражения (11) заключает-
ся в значительном сокращении времени чис-
ленных расчетов, а также существенном уве-
личении точности вычислений по этой формуле
по сравнению с результатами, полученными
по формуле (10), где поле пучка представлено
в виде двойного интеграла. Сравнение расче-
тов поля падающего пучка по формулам (9)
и (11) показало совпадение результатов с точно-
стью до третьей значащей цифры, что под-
тверждает правомерность проведенных пре-
образований.
Таким образом, в цилиндрической системе
координат поле отраженного от структуры
пучка (7) представляется следующим выра-
жением:
2
отр 201( ) exp tg
2cos 4y
kE kρ
⎛ ⎞
= − θ ×⎜ ⎟θ ⎝ ⎠
1 2
1 Int ( ) Int ( ) ,
4
k kρ ρ
⎛ ⎞× +⎜ ⎟⎝ ⎠
В. В. Ячин, T. Л. Зиненко, В. К. Киселев, С. Н. Воробьев
84 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
где
( )
2 2
1
0
tgInt ( ) exp 1
4 2
k
k R R
∞
ρ
ρ ⊥
⎡ ⎤⎛ ⎞θ= + − + ×⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
0 0 2
1
( ) ( ) ( ) ( )m
m m
m
J J k r i J J k r
∞
−
ρ ρ
=
⎛
× ζ + ζ ×⎜
⎝
∑
m mB iA B iA
B iA B iA
− ⎞⎡ ⎤+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟× + ×⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎠
2 2
0exp ( ) d ,i k k z d k kρ ρ ρ
⎡ ⎤× − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
(12)
( )
2 2
2
0
tgInt ( ) exp 1
4 2
k
k R R
∞
ρ
ρ ⊥
⎡ ⎤⎛ ⎞θ= − − + ×⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
0 2( ) ( ) B iA B iAJ J k r
B iA B iAρ
⎛ + −⎛ ⎞× ζ + +⎜ ⎜ ⎟⎜ − +⎝ ⎠⎝
( 2( 1)
1
( ) ( )m
m m
m
i J J k r
∞
−
+ ρ
=
+ ζ ×∑
1 ( 1)m mB iA B iA
B iA B iA
+ − +⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
1 ( 1)
2( 1) ( )
m m
m
B iA B iAJ k r
B iA B iA
− − −
− ρ
⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟+ + ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠
2 2
0exp ( ) d .i k k z d k kρ ρ ρ
⎡ ⎤× − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
Поле прошедшего через структуру пучка
(8) в цилиндрической системе координат
прош ( )yE kρ находится аналогичным образом.
Определение функций коэффициентов отра-
жения и прохождения для плоской волны,
падающей на двухпериодический магнитоди-
электрический слой, представляет собой от-
дельную задачу. Она была решена методом,
основанным на решении объемных интеграль-
ных уравнений макроскопической электроди-
намики, так называемом “методе интеграль-
ных функционалов” [11].
В квазистатическом приближении, когда
0 ,Lλ для получения решения достаточно
рассматривать основную волну многомодово-
го представления поля. В этом случае задача
может быть решена аналитически. Методом
интегральных функционалов нами были полу-
чены выражения для следующих коэффициен-
тов отражения и прохождения для двухперио-
дического слоя:
( )R kρ⊥ =
2 2 2 2
2 sin( ) ,
cos( )( ) sin( )( )
iCD i h
i h C D i i h C D
− χ=
− χ − − − χ +
( )T kρ⊥ =
2 2
2 2 2 2 ,
cos( )( ) sin( )( )
C D
i h C D i i h C D
−=
− χ − − − χ +
где
2 2
1 2 31 1 ,C i k W k W k Wρ ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= χ + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
1 2 31 1 ,D i k W k W k Wρ ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= χ − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
1 2
1 ,
1
W
kρχ + −
=
( )
1
0 0
2 1
2 2
0 0
1 11 1 d d
( , )
,
1 11 d d
( , )
1
yx
yx
LL
x y
LL
x y
x y
L L x y
W i
x y k
L L x y
−
−
ρ
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −
⎜ ⎟ε⎝ ⎠= χ
⎛ ⎞
⎜ ⎟− χ + −
⎜ ⎟μ⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
3W =
( )
1
0 0
1
2 2
0 0
1 11 1 d d
( , )
,
1 ( , )d d 1 1 1
yx
yx
LL
x y
LL
x y
k x y
L L x y
x y x y k
L L
−
ρ
−
ρ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ε⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟μ − χ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
−
+
∫ ∫
∫ ∫
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля...
85Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
1 2
2
0 0
0 0
1 d d
( , )
1
( , )d d
yx
yx
LL
LL
k x y
x y
i
x y x y
ρ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
ε⎜ ⎟χ = − ×⎜ ⎟
⎜ ⎟μ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
1 2
0 0 0 0
1 1d d d d .
( , ) ( , )
y yx xL LL L
x y x y
x y x y
−
⎛ ⎞
× ∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟μ ε⎝ ⎠
При этом 0 .k k kρ ρ= Коэффициенты R
и T определяются заменой ε на μ и μ на ε
в выражениях для R⊥ и T⊥ согласно дуализму
уравнений Максвелла.
Очевидно, что подынтегральные выраже-
ния в (12) сложнее, чем в (11), поскольку они
содержат простые полюса, связанные с коэф-
фициентом отражения от структуры, которые
должны быть исключены при численном
интегрировании [13]. Используя неравенство
Каптейна [14]
{ }
{ }
2
2
exp 1
( ) ,
1 1
n
nn
z n z
J nz
z
−
≤
+ −
которое верно для любого z (вещественного
или комплексного), когда 2 1z − не является
вещественным положительным числом,
можно показать, что абсолютная величина
n-го члена ряда в (11) является бесконечно
малой величиной порядка (1 )nO n при .n→∞
Суммы рядов в (11) и (12) рассчитывались
с точностью до пятого знака после запятой.
При этом число членов ряда не превышало 30
для любых значений .kρ
Численные результаты
Наиболее интересное явление в случае
параллельной поляризации поля пучка наблю-
дается при его падении на границу раздела
“немагнитных” диэлектриков 1 2( 1)μ = μ = под
углом Брюстера, который характеризуется
отсутствием отраженной волны от границы
раздела двух сред при падении параллельно
поляризованной плоской волны. Угол Брюс-
тера для параллельно поляризованной па-
дающей плоской волны вычисляется как
1 2
1
2
arcsin 1 ,B
−
⎛ ⎞εθ = +⎜ ⎟ε⎝ ⎠
что следует из форму-
лы (11). Расчеты показали, что при падении
пучка под углом Брюстера отраженный пучок
расщепляется на два незначительно отличаю-
щихся по интенсивности (см. рис. 2).
На рис. 2 показана зависимость модуля
компоненты yH параллельно поляризован-
ного гауссовского пучка на частоте 110 ГГц,
падающего под углом 18Bθ = ° на поверхность
оптически менее плотного по сравнению с оп-
тической плотностью окружающей среды ди-
Рис. 2. Зависимость модуля yH -компоненты гаус-
совского пучка от координат x и y при z 0 := a) –
пучок, падающий под углом 18θ = ° на поверх-
ность диэлектрического слоя толщиной h 3= мм;
б) – отраженный пучок. Здесь и далее x и y норми-
рованы на 0w , 0w 0.69= см
В. В. Ячин, T. Л. Зиненко, В. К. Киселев, С. Н. Воробьев
86 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
электрического слоя ( )2 1 0.1 ,ε ε = (рис. 2, a)
и отраженного от этой поверхности пучка
(рис. 2, б) от координат x и y на поверхности
слоя при 0.z = Расстояние от начала коорди-
нат координатной системы ( , , )i i ix y z до по-
верхности структуры составляет 5 см. Такая
же картина распределения поля наблюдалась
в эксперименте при падении параллельно по-
ляризованного гауссова пучка на слой поли-
этилена [15].
На рис. 3 представлены изолинии модуля
yH параллельно поляризованного гауссовско-
го пучка на частоте 110 ГГц, падающего под
углом 10θ = ° на поверхность диэлектричес-
кого слоя ( )2 1 0.1 ,ε ε = (рис. 3, a) и отражен-
ного от этой поверхности пучка (рис. 3, б) как
функции координат x и y на поверхности слоя
при 0.z = Расстояние от начала координат
координатной системы ( , , )i i ix y z до поверх-
ности структуры – 5 см. Толщина слоя соот-
ветствует интерференционному минимуму для
плоской волны, падающей под таким же углом
на данную структуру. Попеременно формирую-
щиеся возвышенности и впадины на рис. 3, б
определяются расщеплением пучка при интер-
ференции в слое.
Еще одним явлением, характеризующим
рассеяние пучка на диэлектрическом слое,
является сдвиг центра отраженного пучка
относительно падающего на границе раздела
двух сред, когда угол падения лежит вблизи
угла полного внутреннего отражения. На рис. 4
можно наблюдать такой сдвиг при падении
перпендикулярно поляризованного пучка под
Рис. 3. Зависимость модуля yH -компоненты гаус-
совского пучка от координат x и y при z 0 :=
а) – пучок, падающий под углом 10θ = ° на по-
верхность диэлектрического слоя толщиной
h 5.16= мм; б) – отраженный пучок
Рис. 4. Зависимость модуля yE -компоненты гаус-
совского пучка от координат x и y при z 0 :=
a) – пучок, падающий под углом 15θ = ° на по-
верхность диэлектрического слоя толщиной
h 2.17= мм; б) – отраженный пучок
Дифракция трехмерного гауссовского пучка с круговой симметрией пространственного распределения поля...
87Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
углом 15θ = ° на поверхность диэлектричес-
кого слоя ( )2 1 0.067ε ε = с расстояния 5 см.
Выводы
В статье предложено новое представление
поля трехмерного наклонно падающего гаус-
совского пучка и поля пучка, рассеянного плос-
кой периодической структурой, обладающей
аксиальной симметрией при повороте на 2.π
Поле представляется однократным интегралом,
что дает возможность уменьшить время и уве-
личить точность расчета пространственного
распределения поля. Приведены графики, ил-
люстрирующие применение полученной форму-
лы для численного моделирования рассеяния
наклонно падающего гауссовского пучка на
диэлектрическом слое (оптически менее плот-
ном по сравнению с оптической плотностью
окружающей среды). Рассмотрены физические
явления, характерные для диффракции гауссов-
ского пучка на диэлектрическом слое.
Литература
1. Ogawa I., Sakai A., Idehara T., Kawahata K., Kas-
parek W. A quasi-optical transmission line for plasma
scattering measurements using a submillimeter wave
gyrotron // Int. J. Electronics. – 1997. – Vol. 83, No. 5. –
P. 635-644.
2. Miyagi M., Hongo A., Kawakami S. Fabrication
of germanium coated nickel hollow waveguides // Appl.
Phys. Lett. – 1983. – Vol. 43, No. 5. – P. 430-432.
3. Ohkubo K., Kubo S., Idei H., Sato M., Shimozuma T.,
Tkita Y. Coupling of tilting Gaussian beam with hybrid
mode in the corrugated waveguide // Int. J. Infrared
Millimet. Waves – 1997. – Vol. 18, No. 1. – P. 23-41.
4. Garmie E., McMahon T., Bass M. Flexible infrared
waveguides for high-power transmission // IEEE J.
Quantum Electron. – 1980. – Vol. 16, No. 1. – P. 23-32.
5. Boyd R. J.,Cohen W. E., Doran W. P., Tuminaro R. D.
WT4 millimeter waveguide system. Waveguide design
and fabrication // Bell Syst. Tech. J. – 1977. – Vol. 56,
No. 10. – P. 1873-1897.
6. Безбородов В. И., Киселев В. К., Кулешов Е. М.,
Яновский М. С. Квазиоптические радиоизмеритель-
ные устройства ближнего миллиметрового и суб-
миллиметрового диапазонов волн на основе ме-
таллодиэлектрического волновода квадратного се-
чения // Радиофизика и электроника. – 2007. – Т. 12,
№3. – С. 589-594.
7. Maciel J. J., Felsen L. B. Gaussian beam analysis of
propagation from an extended aperture distribution
through dielectric layers, part I - Plane layer // IEEE
Trans. Antennas Propag. – 1990. – Vol. 38, No. 10. –
P. 1607-1617.
8. Luk K. M., Cullen A. L. Three-dimentional Gaussian
beam reflection from short-circuited isotropic ferrite
slab // IEEE Trans. Antennas Propag. – 1993. – Vol. 41,
No. 7. – P. 962-966.
9. Horowitz B. R., Tamir T. Lateral displacement of
a light beam at a dielectric interface // J. Opt. Soc.
Am. – 1971. – Vol. 61, No. 5. – P. 586-594.
10. Tamir T., Bertoni H. L. Lateral displacement of optical
beam at multilayered and periodic structures // J. Opt.
Soc. Am. – 1971. – Vol. 61, No. 10. – P. 1397-1412.
11. Yachin V., Yasumoto K. Method of integral functio-
nals for electromagnetic wave scattering from a dou-
ble-periodic magnetodielectric layers // J. Opt. Soc.
Am. – 2007. – Vol. 24, No. 11. – P. 3606-3618.
12. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электро-
магнитных волн. – М.: Радио и связь, 1983. – 295 с.
13. Воробьев С. Н., Просвирнин С. Л. Диффракция
электромагнитных волн на ограниченной плоской
структуре: спектральный метод и приближение
заданного тока // Радиотехника и электроника. –
1994. – Т. 39, №12. – С. 1951-1960.
14. Ватсон Г. Н. Теория Бесселевых функций. –
М: Из-во иностранной литературы, 1949. – 787 с.
15. Li Q., Vernon R. J. Theoretical and experimental in-
vestigation of Gaussian beam transmission and reflec-
tion by a dielectric slab at 110 GHz // IEEE Trans. An-
tennas Propag. – 2006. – Vol. 54, No. 11. – P. 3449-3457.
Дифракція тривимірного гаусівського
пучка з круговою симетрією просторового
розподілу поля на проникних екранах
за малих кутів падіння
В. В. Ячін, T. Л. Зіненко,
В. К. Кисельов, С. М. Воробьов
Сформульовано та розв’язано задачу розсіян-
ня тривимірного гаусівського пучка, що падає під
малим кутом на двоперіодичний магнітодіелект-
ричний шар. Запропоновано нову формулу репре-
зентації розсіяного поля тривимірного гаусівсько-
го пучка однократним інтегралом, що уможлив-
лює скорочення часу числових розрахунків про-
сторового розподілу поля та покращення їх точ-
ності. Наведені графіки ілюструють застосуван-
ня цієї формули до розрахунку розсіяння похило
падаючого пучка на магнітодіелектричний шар.
В. В. Ячин, T. Л. Зиненко, В. К. Киселев, С. Н. Воробьев
88 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №1
Diffraction of 3-D Gaussian Beam
with Circular Symmetry of the Field Space
Distribution by Permeable Screens
at Small Angles of Incidence
V. V. Yachin, T. L. Zinenko, V. V. Kiseliov,
and S. N. Vorobiev
The problem of scattering of 3-D Gaussian
beam incident at a small angle onto a double-
periodic magnetodielectric slab has been formu-
lated and solved. The new formulas for incident
and scattered 3-D Gaussian beam fields in the
form of single integrals have been derived. These
allow reducing the time spent upon numerical
calculations of the incident and scattered beam
fields and improving their accuracy. The calcula-
tions of the 3-D Gaussian beam obliquely incident
onto magnetodielectric slab with the derived for-
mulas are illustrated in figures presented in the
paper.
|