Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
Подається метод визначення діелектричної проникності та товщини шарів плоскої шаруватої
 структури за результатами вимірювання коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі.
 В цьому методі використовується підхід до реконструкції частотної залежності всіх елементів
 ма...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60106 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Визначення характеристик шаруватої структури
 за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття
 матрицею розсіювання / З.Т. Назарчук, А.Т. Синявський // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 3. — С. 295–313. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860262561498267648 |
|---|---|
| author | Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. |
| author_facet | Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. |
| citation_txt | Визначення характеристик шаруватої структури
 за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття
 матрицею розсіювання / З.Т. Назарчук, А.Т. Синявський // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 3. — С. 295–313. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Подається метод визначення діелектричної проникності та товщини шарів плоскої шаруватої
структури за результатами вимірювання коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі.
В цьому методі використовується підхід до реконструкції частотної залежності всіх елементів
матриці розсіювання в обмеженому діапазоні частот. Матриця розсіювання відновлюється через
перерахунок виміряних коефіцієнтів відбиття від такої структури у вільному просторі та на ідеально
провідній підкладці. Високої точності обчислення діелектричної проникності та товщини шарів
досягнуто за рахунок ідентифікації спектральних коефіцієнтів, які виділено з елементів матриці
розсіювання та описано скінченним рядом незгасаючих комплексних експонент.
Представлен метод определения диэлектрических проницаемостей и толщин слоев плоской многослойной структуры исходя из результатов измерений коэффициента отражения
плоской электромагнитной волны. В этом методе используется подход к реконструкции
частотной зависимости всех элементов матрицы рассеяния в ограниченном диапазоне
частот. Восстановление матрицы рассеяния
осуществлено путем перерасчета измеренных
коэффициентов отражения от такой структуры
в свободном пространстве и на идеально проводящей подложке. Высокой точности определения диэлектрической проницаемости
и толщины слоев удалось достичь за счет идентификации спектральных коэффициентов, которые выделены из элементов матрицы рассеяния и представлены в виде конечного ряда
незатухающих комплексных экспонент.
A new method for determination of both
layers’ permittivity and thickness of a plain multilayer
structure is proposed. The reflection coefficient
of a plain electromagnetic wave is considered
as initial data in the problem. The method
is based on an approach to reconstruction of the
frequency dependences of all scattering matrix
elements in a limited waveband. The scattering
matrix has been recovered by recalculation of the
measured reflection coefficients for this structure
in free space and on a perfectly-conducting
screen. A high accuracy in both permittivity and
thickness determination is achieved due to identification
of spectral coefficients which are distinguished
from scattering matrix elements and expressed
as a finite series of undamped complex
exponents.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:57:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3, с. 295-313
ISSN 1027-9636 © З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський, 2010
УДК 537.874.4
Визначення характеристик шаруватої структури
за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття
матрицею розсіювання
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України,
вул. Наукова, 5, м. Львів, 79601, Україна
nazarch@ipm.lviv.ua, a.synyavskyy@gmail.com
Стаття надійшла до редакції 26 лютого 2010 р.
Подається метод визначення діелектричної проникності та товщини шарів плоскої шаруватої
структури за результатами вимірювання коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі.
В цьому методі використовується підхід до реконструкції частотної залежності всіх елементів
матриці розсіювання в обмеженому діапазоні частот. Матриця розсіювання відновлюється через
перерахунок виміряних коефіцієнтів відбиття від такої структури у вільному просторі та на ідеально
провідній підкладці. Високої точності обчислення діелектричної проникності та товщини шарів
досягнуто за рахунок ідентифікації спектральних коефіцієнтів, які виділено з елементів матриці
розсіювання та описано скінченним рядом незгасаючих комплексних експонент.
1. Вступ
Математичною основою для створення но-
вих підходів до неруйнівного контролю мате-
ріалів є теорія обернених задач [1-3]. Зокрема,
у багаточастотному електромагнітному зонду-
ванні електричні та геометричні параметри
об’єктів доцільно визначати непрямими мето-
дами на підставі розв’язку обернених задач
розсіювання для системи рівнянь Максвелла.
Вихідними даними у таких задачах є виміряні
значення розсіяного поля у просторі навколо
об’єкту дослідження. Для плоскопаралельних
шаруватих структур з різними матеріальними
параметрами, в яких відсутні локалізовані вклю-
чення, задачу розсіювання можна звести до
одновимірної, а характеристики розсіювання
описати матрицею розсіювання, одним з еле-
ментів якої є коефіцієнт відбиття. Останній
можна отримати безпосередньо за результата-
ми вимірювання. Саме залежність коефіцієнта
відбиття від частоти ( )L ω вважають вихідною
у формулюванні більшості одновимірних обер-
нених задач розсіювання.
Вибір методу розв’язання оберненої задачі
залежить від апріорних даних про шукані мате-
ріальні параметри плоскої структури – про-
відності ,γ діелектричної ε та магнітної μ
проникностей. Для середовищ із неперервною
зміною матеріальних параметрів ( ),zε ( )zμ
та ( )zγ одновимірну обернену задачу розсію-
вання можна звести до розв’язку системи інтег-
ральних рівнянь типу Вольтерра згідно з підхо-
дами Марченка [4], Гельфанда–Левітана [5] або
Захарова–Шабата [6].
Окрему категорію складають обернені за-
дачі для плоских структур, що мають площи-
ни розділу середовищ. Наприклад, для без-
втратної ( 0)γ = та чисто діелектричної ( 1)μ =
структури з однорідними характеристиками
матеріалу шарів коефіцієнт відбиття можна
виразити рекурентною формулою [7]:
1
1
1
1
( )( )
1 ( )
i
N
i
N
L eL
L e
− ωΔν
−
− ωΔν
−
−κ + ωω = =
− κ ω
1
1(1 ) ( )i
Ne L− ωΔν
−⎡= −κ + κ − κ ω +⎣
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
296 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
( ) ( )1 1
2 32 3
1 1( ) ( ) ... ,i i
N Ne L e L− ωΔν − ωΔν
− −
⎤+ ω + ω + ⎦
(1)
де κ – коефіцієнт відбиття першої поверхні
розділу; 1( )NL − ω – коефіцієнт відбиття шару-
ватої структури без першого шару;
1 0 0 1 12 dΔν = ε μ ε – часова затримка за раху-
нок проходження хвилею подвійної відстані
у першому шарі, який має діелектричну про-
никність 1ε та товщину 1;d 0ε та 0μ – діе-
лектрична та магнітна сталі.
Методам розв’язання обернених задач диф-
ракції за наближенням Борна [8] властиві спот-
ворення розв’язку, оскільки ці методи, базую-
чись на гіпотезі про малі зміни діелектричної
проникності, належним чином не враховують
ефекту розсіювання хвиль на площинах розділу
шаруватої структури. Відомі оптимізаційні ме-
тоди розв’язання оберненої задачі для багато-
шарової структури вимагають жорстких ап-
ріорних обмежень на розв’язок, які гарантують
знаходження глобального екстремуму [9, 10].
На відміну від них метод пошарового зрізання
не потребує таких обмежень [7, 11]. Вихідними
даними у цьому методі, як і у методах, що вико-
ристовують інтегральні рівняння [12, 13], є ім-
пульсна характеристика шаруватої структури.
Таку характеристику можна обчислити перетво-
ренням Фур’є коефіцієнта відбиття:
1( ) ( ) d .
2
i tr t L e
+∞
ω
−∞
= ω ω
π ∫ (2)
Імпульсну характеристику (2) для багатоша-
рової структури з коефіцієнтом відбиття у виг-
ляді (1) можна записати виразом:
( ) ( ) (1 )r t t= −δ κ + κ − κ ×
( 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( )N N Nr t r t r t− − −× − Δν + − Δν ⊗ +
)1 1 1 1( 3 ) ( ) ( ) ,N N Nr t r t r t− − −+ − Δν ⊗ ⊗ +… (3)
де ( )tδ – дельта-функція; 1( )Nr t− – імпульсна
характеристика шаруватої структури без пер-
шого шару; ⊗ – оператор згортки.
У загальному вигляді характеристику (3)
можна записати сумою безмежних збіжних
рядів:
1
1
( ) ( )l
l
r t h t l
∞
=
= δ − Δν +∑
, 1 2
1 1 1 1 1
( ) ... .l n
l n l n m
u t l n
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
= = = = =
+ δ − Δν − Δν +∑∑ ∑∑∑ (4)
Оскільки метод пошарового зрізання при-
значений для реконструкції так званих сере-
довищ типу Гупілау [14], його застосування
грунтується на припущенні про існування ре-
гулярної сітки, на якій можна визначити всі
дельта-функції в ( ).r t Для реконструкції ме-
тодом пошарового зрізання [7] необхідно та-
кож мати значення безмежної , , 1, ,l n m = ∞…
кількості коефіцієнтів ряду lh та ,l nu при дель-
та-функціях. Однак випадкова похибка у ви-
міряних даних для обмеженого діапазону
частот не дозволяє точно оцінити коефіцієнти
з малою амплітудою. Це призводить до ха-
рактерних спотворень розв’язку або до розбіж-
ності ітераційного процесу у розв’язанні обер-
неної задачі методом пошарового зрізання.
Наявність дельта-функцій в імпульсній харак-
теристиці (4) унеможливлює розв’язання обер-
неної задачі методами інтегральних рівнянь
типу Вольтерра, які застосовують для струк-
тур із неперервною зміною матеріальних па-
раметрів [12, 13].
Щоб уникнути зазначених недоліків, необ-
хідно параметризувати вихідні дані в оберненій
задачі розсіювання так, аби їх можна було
подати у формі скінченного ряду. Відомо [15],
що відношення елементів матриці розсіюван-
ня для шаруватої структури визначають суми
М комплексних експонент:
( )
1
( ) ( )exp ( ) ,
( )
M
p
L p i p
T =
ω = β − ν ω
ω ∑ (5)
( )
1
1 ( )exp ( ) .
( )
M
p
p i p
T =
= α ν ω
ω ∑ (6)
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
297Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
Тут ( )T ω – коефіцієнт пропускання шаруватої
структури, який для чисто діелектричних (без-
втратних) матеріалів, коли має місце то-
тожність 2 2( ) ( ) 1,T Lω + ω = можна виразити
через коефіцієнт відбиття ( ).L ω
Отже обернену задачу сформульовано як
задачу реконструкції кусково-постійної функції
діелектричної проникності ( )zε багатошаро-
вої чисто діелектричної структури за коефі-
цієнтом відбиття ( )L ω нормально падаючої
плоскої електромагнітної хвилі, комплексні
значення якого задано дискретно на обмеже-
ному діапазоні частот з певною випадковою
похибкою, властивою результатам експери-
ментальних вимірювань. Тому метою даної
роботи є встановлення всіх елементів мат-
риці розсіювання за коефіцієнтом відбиття,
який отримують з експерименту, ідентифіка-
ція параметрів моделі згідно з формулами (5),
(6) та розв’язок оберненої задачі розсіюван-
ня на основі такого параметризованого зоб-
раження.
2. Пряма задача розсіювання
Для встановлення основних властивостей
елементів матриці розсіювання насамперед
розглянемо задачу дифракції плоскої хвилі
на плоскій шаруватій діелектричній структурі.
У цьому випадку напруженість поля e в
довільній точці z можна визначити з хвильово-
го рівняння:
2
2
0 02
( ) ( ) ( ) 0.e z z e z
z
∂ +ω μ με ε =
∂
(7)
Розглядатимемо багатошарові чисто діе-
лектричні структури, в яких функція діелект-
ричної проникності ( )zε є кусково-постійною,
а магнітна проникність 1.μ = До того ж вва-
жаємо, що розсіяне на такій структурі поле,
множина значень якого складатиме вихідні
дані для оберненої задачі, вимірюється у
вільному просторі (рис. 1, а) з хвильовим чис-
лом 0 0 0 .k = ω μ ε
Для шаруватої структури з однорідними
електричними параметрами матеріалу розв’-
язок рівняння (7) має вигляд:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ,j j j jik z d ik z d
j je z a e b e− − −= ω + ω (8)
де ( )ja ω та ( )jb ω – коефіцієнти, що виз-
начають співвідношення між хвилями, які
поширюються у протилежних напрямках;
0 0j jk = ω μ ε ε – хвильове число у j-му шарі з
діелектричною проникністю ;jε 0,( 1)j N= − –
номер шару в структурі з N таких смуг.
Задовольняючи граничні умови на поверхні
розділу між j-м та ( 1)j + -м шарами, взаємо-
зв’язок коефіцієнтів ( )ja ω та ( )jb ω можна виз-
начити залежністю:
1
( ) 1
( ) 2
j
j j
a
b +
ω⎡ ⎤
= ×⎢ ⎥ω ρ⎣ ⎦
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
11 1
( ) ( ) ( )
,
( )( ) ( )
j j j j
j j j j
ik d ik d
j j j j j
ik d ik d
jj j j j
e e a
be e
+ + + +
+ + + +
−
+ + +
−
++ +
⎡ ⎤ρ +ρ ρ −ρ ω⎡ ⎤
⎢ ⎥× ⎢ ⎥ω⎢ ⎥ρ −ρ ρ +ρ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(9)
Рис. 1. Схема вимірювання коефіцієнта відбиття
від багатошарової структури, яка знаходиться
у вільному просторі (а) та від цієї ж структури
на ідеально провідній підкладці (б)
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
298 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
де 0 0j jρ = μ ε ε – характеристичний імпе-
данс; jd – товщина j-го шару.
Рекурентне перемноження згідно з фор-
мулою (9) дає можливість встановити такий
взаємозв’язок для коефіцієнтів у матеріалах
0j = та 1,j N= + що оточують багатошарову
структуру:
0
0 0 1
( ) 1
( ) 2
N
j j
a
b = +
⎛ω⎡ ⎤
= ×⎜⎢ ⎥ ⎜ω ρ⎣ ⎦ ⎝
∏
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
j j j j
j j j j
ik d ik d
j j j j
ik d ik d
j j j j
e e
e e
+ + + +
+ + + +
−
+ +
−
+ +
⎞⎡ ⎤ρ +ρ ρ −ρ ⎟⎢ ⎥× ×
⎟⎢ ⎥ρ −ρ ρ +ρ⎣ ⎦ ⎠
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0
( ) ( ) ( )1
( ) 2 ( ) ( )
ik d ik d
N
ik d ik d
N
a e e
b e e
−
+
−
+
⎡ ⎤ω ρ +ρ ρ −ρ⎡ ⎤
× = ×⎢ ⎥⎢ ⎥ω ρ ρ −ρ ρ +ρ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
11 1
11 1
( )( ) ( )
( )( ) ( )
N
N
aA B
bB A
+
+
ωω ω ⎡ ⎤⎡ ⎤
× =⎢ ⎥⎢ ⎥ ω−ω −ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0 1
0 0 1
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
N
N
A B a
B A b
+
+
ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−ω −ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(10)
де 0 ( )A ω та 0 ( )B ω – спектральні коефіцієнти
всієї структури; ( )jA ω та ( )jB ω – спектральні
коефіцієнти цієї структури без урахування впливу
її перших j шарів. При цьому припускається,
що 0.Nd =
З рівності (10) видно, що коефіцієнти 0 ( )A ω
та 0 ( )B ω задовольняють умовам симетрії та
умові збереження енергії:
0 0( ) ( ),A A−ω = ω (11)
0 0( ) ( ),B B−ω = ω (12)
0 0 0 0( ) ( ) 1 ( ) ( ).A A B B−ω ω = + −ω ω (13)
Тут 0 ( )A ω – комплексно спряжена величина
до 0 ( ).A ω
Спектральні коефіцієнти 0 ( )A ω та 0 ( )B ω
всієї структури можна охарактеризувати спів-
відношенням між амплітудами хвиль, що по-
ширюються у протилежних напрямках за умо-
ви відсутності падаючої хвилі з однієї зі сторін.
Наприклад, при зондуванні структури з лівого
боку (рис. 1, а) відсутньою буде хвиля у пра-
вому півпросторі, що поширюється у напрям-
кові на структуру: 1( ) 0.Nb + ω = Звідси рівність
(10) набуває вигляду:
0 0 1
0 0 1
( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( )
N
N
a A a
b B a
+
+
ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω −ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(14)
На основі формули (14) визначимо кое-
фіцієнт пропускання та лівобічний коефіцієнт
відбиття:
1
0 0
( ) 1( ) ,
( ) ( )
NaT
a A
+ ωω = =
ω ω
(15)
0 0
0 0
( ) ( )( ) .
( ) ( )
b BL
a A
ω −ωω = =
ω ω
(16)
У протилежному випадку, коли зондування
багатошарової структури здійснюється тільки
з правого боку, матимемо 0 ( ) 0.a ω = Тоді спів-
відношення (10) можна звести до вигляду
1
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B a
B A b
−ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−ω −ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0 0 1
0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( ) ( )
N
N
A B a a
B A b b
+
+
ω − ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −ω ω ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(17)
а отже,
0 0 1
0 0 1
( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( )
N
N
B b a
A b b
+
+
− ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(18)
Тоді коефіцієнт пропускання та правобічний
коефіцієнт відбиття можна визначити форму-
лами:
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
299Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
0
1 0
( ) 1( ) ,
( ) ( )N
bT
b A+
ωω = =
ω ω
(19)
1 0
1 0
( ) ( )( ) .
( ) ( )
N
N
a BR
b A
+
+
ω ωω = = −
ω ω
(20)
Коефіцієнт пропускання ( )T ω та коефіцієн-
ти відбиття ( ),R ω ( )L ω є елементами мат-
риці розсіювання діелектричної структури.
З отриманих формул (15), (16), (19) та (20) вид-
но, що всі елементи матриці розсіювання та-
кож задовольняють умові симетрії за анало-
гією до виразів (11) та (12):
( ) ( ),T Tω = −ω (21)
( ) ( ),L Lω = −ω (22)
( ) ( ).R Rω = −ω (23)
Умови симетрії вказують, що перетворення
Фур’є (2) коефіцієнтів відбиття та пропускання
є дійсними функціями. Крім того, з рівності (13)
можна встановити інші важливі умови, яким
задовольняють ці коефіцієнти:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,R T L Tω −ω + −ω ω = (24)
2 2( ) ( ) 1,T Rω + ω = (25)
2 2( ) ( ) 1.T Lω + ω = (26)
Добуток матриць у виразі (10) свідчить, що
спектральні коефіцієнти ( )jA ω та ( )jB ω для
0,( 1)j N= − є скінченними сумами комплекс-
них експонент:
( )
1
( ) ( )exp ( ) ,
jM
j j j
p
A p i p
=
ω = α ν ω∑ (27)
( )
1
( ) ( )exp ( ) ,
jM
j j j
p
B p i p
=
ω = β ν ω∑ (28)
де ( )j pα та ( )j pβ – коефіцієнти скінченних
сум; ( )j pν – дійсні коефіцієнти при аргумен-
тах комплексних експонент, які мають фізич-
ний зміст часу запізнення з проходженням хвилі
у багатошаровій структурі; параметр jM оз-
начимо пізніше.
Варто зауважити, що під час експерименту
для вимірювання доступні лише миттєві зна-
чення амплітуди випроміненого ( )trane ω та
прийнятого ( )rece ω сигналів у точці, яка знахо-
диться на певній відстані 0d від поверхні самої
структури. Отже, коефіцієнт відбиття ( ),mL ω
що визначається відношенням цих виміряних
величин, матиме додатковий набіг фази:
( )( ) .
( )
rec
m
tran
eL
e
ωω =
ω
(29)
Цей набіг фази можна встановити з виразів (8)
та (10), показавши відмінність між спектраль-
ними коефіцієнтами 0 ( ),A ω 0 ( )B ω шаруватої
структури і значеннями спектральних кое-
фіцієнтів ( ),mA ω ( ),mB ω які визначено шляхом
перерахунку результатів вимірювань:
( ) ( )
( ) ( )
m m
m m
A B
B A
ω ω⎡ ⎤
=⎢ ⎥−ω −ω⎣ ⎦
0 0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )0
( ) ( )0
ik d
ik d
A Be
B Ae
−⎡ ⎤ ω ω⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−ω −ω⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
( ) ( )
.
( ) ( )
ik d ik d
ik d ik d
A e B e
B e A e
− −⎡ ⎤ω ω
= ⎢ ⎥
−ω −ω⎢ ⎥⎣ ⎦
(30)
З отриманого виразу (30) видно, що спектральні
коефіцієнти ( )mA ω та ( )mB ω можна розклас-
ти у скінченний ряд, в якому значення аргу-
ментів комплексних експонент відрізнятимуть-
ся від значень 0 ( )pν у формулах (27) та (28)
на величину запізнення 0 0 0d ε μ за рахунок
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
300 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
проходження хвилею відстані 0d у вільному
просторі:
0 0 0( ) ( )exp( )mA A ik dω = ω − =
( )( )0
0 0 0 0 0
1
( )exp ( )
M
p
i p d
=
= α ω ω ν − ε μ =∑
0
0
1
( )exp( ),
M
p
p
p i
=
= α ωτ∑ (31)
0 0 0( ) ( )exp( )mB B ik dω = ω − =
( )( )0
0 0 0 0 0
1
( )exp ( )
M
p
p i p d
=
= β ω ν − ε μ =∑
0
0
1
( )exp( ).
M
p
p
p i
=
= β ωτ∑ (32)
Звідси можна визначити, який набіг фази при-
сутній у виміряних коефіцієнтах відбиття та
проходження:
0 0
( )( ) ( )exp( 2 ),
( )
m
m
m
BL L i k d
A
−ωω = = ω
ω
(33)
0 0
1( ) ( )exp( ).
( )m
m
T T ik d
A
ω = = ω
ω
(34)
3. Реконструкція елементів
матриці розсіювання
Маючи на меті ідентифікацію коефіцієнтів
сум (31) та (32) для подальшого розв’язання
оберненої задачі, функції ( )mA ω та ( )mB ω
можна безпосередньо обчислити за коефіцієн-
тами відбиття та пропускання згідно з вираза-
ми (33) та (34). Однак на практиці одночасне
визначення коефіцієнтів відбиття та пропус-
кання потребує залучення складного вимірю-
вального обладнання та утруднює його каліб-
рування. У деяких випадках вимірювання амп-
літуди відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через
досліджувану структуру, є принципово немож-
ливим через специфічну конструкцію об’єктів
дослідження. Тому важливим є визначення
елементів усієї матриці розсіювання (кое-
фіцієнтів відбиття та пропускання) на основі
виміряних значень розсіяного поля лише з од-
ного боку від досліджуваної структури.
Одним із підходів до встановлення коефі-
цієнта проходження за відомим коефіцієнтом
відбиття є метод реконструкції фази за моду-
лем аналітичної функції [16]. З рівностей (27)
та (28) видно, що спектральні коефіцієнти
0 ( )A ω та 0 ( )B ω є аналітичними функціями.
Використовуючи залежності (26) та (15), мож-
на обчислити значення спектрального коефі-
цієнта 0 ( ) :A ω
2
02 2
0
1 11 ( ) ( ) .
( ) 1 ( )
L A
A L
= − ω ⇒ ω =
ω − ω
(35)
Логарифм модуля 0 ( )A ω спектрального
коефіцієнта є дійсною частиною деякої аналі-
тичної функції, в якій уявна частина відповідає
його фазі [16]. Беручи до уваги те, що пере-
творення Гільберта дозволяє встановити взає-
мозв’язок між дійсною та уявною частинами
аналітичної функції, реконструйоване комп-
лексне значення спектрального коефіцієнта
можна обчислити через його модуль:
0 2
1( )
1 ( )
A
L
ω = ×
− ω
2log 1 ( )
exp d ,
2
Li +∞
−∞
⎛ ⎞′− ω⎜ ⎟′× ω⎜ ⎟′π ω−ω⎜ ⎟⎝ ⎠
∫P (36)
де dω∫P – головне значення інтеграла.
Числове інтегрування при встановленні ком-
плексного значення спектрального коефіцієнта
0 ( )A ω у виразі (36) є складною математич-
ною задачею, а отриманий при цьому резуль-
тат може стати джерелом похибок для подаль-
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
301Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
ших обчислень. Останнє зумовлено двома
обставинами. Перш за все, на практиці кое-
фіцієнт відбиття ( )L ω вимірюють в обмеженій
смузі частот min max0 ,< ω ≤ ω≤ ω що не дозво-
ляє застосувати властивості фур’є-перетворен-
ня [17] при обчисленні перетворення Гільбер-
та у виразі (36). Крім того, виміряні значення
коефіцієнта відбиття ( )L ω задані на скінчен-
новимірній множині частот, що вноситиме по-
хибку дискретизації у безпосередньому інтег-
руванні. Тому обчислення елементів матриці
розсіювання вимагає іншого підходу. Новий
алгоритм непрямого обчислення всіх елементів
матриці розсіювання обгрунтовується такою
теоремою.
Теорема. Якщо ( )L ω є коефіцієнтом відбит-
тя від плоскої шаруватої діелектричної струк-
тури у вільному просторі (рис. 1, а), а ( )L ω –
коефіцієнт відбиття цієї ж структури на ідеаль-
но провідній підкладці (рис. 1, б), то відповідну
матрицю розсіювання структури з точністю
до знака можна визначити як
( ) ( )
:
( ) ( )
R T
S
T L
ω ω⎡ ⎤= =⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦
1 ( )2( ) 2
1 ( )2 2
( ) 1 ( )
,
1 ( ) ( )
L e L e
L e L
⎛ ⎞− δ ω⎜ ⎟−δ ω ⎝ ⎠
⎛ ⎞− δ ω⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎥− ω − ω
⎢ ⎥= ±
⎢ ⎥
− ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦
(37)
де ( )δ ω – неперервна чисто уявна функція,
отримана шляхом розгортання фази аргумен-
ту функції комплексної змінної з областю зна-
чень на колі одиничного радіуса:
( ) ( ) 1( ) unwrap arg .
( ) ( )
L Li
L L
⎡ ⎤⎛ ⎞ω ω −δ ω = ⋅ ⎢ ⎥⎜ ⎟ω − ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(38)
Тут unwrap[ ]f C∈ є функцією розгортання
фази [18] від функції, що має область значень
[ , ].f ∈ −π π
Доведення. Згідно з рівністю (26) відношення
комплексно спряженого значення ( ) ( )T Tω = −ω
коефіцієнта відбиття до оригіналу ( )T ω має
вигляд
( ) ( )
2 2
2 2
( ) | ( ) | 1 | ( ) | .
( ) ( ) ( )
T T L
T T T
−ω ω − ω= =
ω ω ω
(39)
Звідси можна отримати вираз
( )2 2
1 1 ( ) ,
( )1 | ( ) |( )
T
TLT
−ω=
ω− ωω
(40)
квадратний корінь з якого дозволяє визначити
спектральний коефіцієнт 0 ( )A ω у формі
0 2
1 1 ( )( ) .
( ) ( )1 | ( ) |
TA
T TL
−ωω = = ±
ω ω− ω
(41)
Порівняння виразів (36) та (41) дає мож-
ливість зробити висновок, що відношення комп-
лексно спряженого значення ( ) ( )T Tω = −ω
коефіцієнта відбиття до оригіналу ( )T ω є комп-
лекснозначною функцією з областю значень
на колі одиничного радіуса:
( ) 1,
( )
T
T
−ω =
ω
(42)
( ) 1.
( )
T
T
−ω =
ω
(43)
З іншого боку, відношення комплексно спря-
женого значення ( ) ( )T Tω = −ω коефіцієнта
відбиття до оригіналу ( )T ω можна записати,
використовуючи вираз (36):
0
0
( )( )
( ) ( )
AT
T A
ω−ω = =
ω −ω
2
( )
log 1 ( )
exp d ,
Li e
+∞
δ ω
−∞
⎛ ⎞′− ω⎜ ⎟′= ω =⎜ ⎟′π ω−ω⎜ ⎟⎝ ⎠
∫P (44)
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
302 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
де ( )δ ω – деяка неперервна комплекснознач-
на функція, яку необхідно встановити для ре-
конструкції як коефіцієнта проходження ( ),T ω
так і спектрального коефіцієнта 0 ( )A ω за кое-
фіцієнтом відбиття ( )L ω згідно формули (41).
З умови (43) можна зробити висновок, що ця
функція є чисто уявною.
Для того щоб уникнути числового інтегру-
вання у виразі (36), внесемо надлишкову інфор-
мацію у задачу, розглядаючи значення коефі-
цієнта відбиття досліджуваної багатошарової
структури на ідеально провідній підкладці
як додаткові дані. Така стратегія розв’язання
задачі реконструкції матриці розсіювання за
коефіцієнтами відбиття передбачає виконання
подвійного експерименту. Спочатку коефіцієнт
відбиття ( )L ω визначаємо для шаруватої
структури, яка знаходиться у вільному про-
сторі, як показано на рис. 1, а. Друге вимірю-
вання спрямоване на визначення коефіцієнта
відбиття ( )L ω цієї ж структури за умови пов-
ного відбиття у просторі справа від структури.
Це забезпечується встановленням підкладки
з безмежною провідністю γ = ∞ (рис. 1, б).
В засобах неруйнівного контролю, на відміну
від дистанційного зондування, виконання екс-
перименту з метою такого перевизначення
задачі, як правило, не викликає особливих труд-
нощів.
Нехай коефіцієнти 0 ( )a ω і 0 ( )b ω визна-
чають амплітуди хвиль, які поширюються
назустріч одна одній у просторі, де вимірюєть-
ся коефіцієнт відбиття від діелектричної струк-
тури з ідеально провідним екраном справа
(рис. 1, б). Тоді 1( )Na + ω і 1( )Nb + ω є амплітуда-
ми хвиль на поверхні ідеально провідної
підкладки, де виконується гранична умова:
1 1( ) ( ).N Na b+ +ω = − ω (45)
Взаємозв’язок між амплітудами хвиль із про-
тилежних боків багатошарової структури мож-
на подати за аналогією до виразу (10):
0 10 0
0 00 1
( ) ( )( ) ( )
.
( ) ( )( ) ( )
N
N
a aA B
B Ab b
+
+
ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−ω −ωω ω⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(46)
Беручи до уваги граничну умову (45), вимі-
ряний у цьому випадку коефіцієнт відбиття
визначимо відношенням коефіцієнтів 0 ( )a ω
та 0 ( ) :b ω
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( )( ) .
( ) ( ) ( )
b B AL
a B A
ω −ω − −ωω = =
ω − ω + ω
(47)
Виразивши спектральний коефіцієнт 0 ( )B ω
через 0 ( )A ω в рівняннях (16) та (47), отримує-
мо вираз:
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) .
( ) ( ) ( ) ( ) 1
A T L L
A T L L
−ω ω ω − ω= =
ω −ω −ω ω −
(48)
Отже, рівняння щодо невідомої функції ( )δ ω
можна безпосередньо записати, прирівнявши
відношення коефіцієнтів відбиття у виразах (44)
та (48):
( ) ( ) ( ) 1exp ( ) .
( ) ( )
L L
L L
ω ω −δ ω =
ω − ω
(49)
Оскільки функція ( )δ ω є чисто уявною, то
логарифмування виразу (49) у правій частині
дасть значення аргументу комплекснозначної
функції:
( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1log arg 2 ,
( ) ( ) ( ) ( )
L L L Li n
L L L L
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω − ω ω −= + π⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ω − ω ω − ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(50)
де n – довільне ціле число.
Як відомо, для функції аргументу arg( )⋅
інтервал [ , ]−π π є областю значень. Тому для
знаходження шуканої неперервної функції ( )δ ω
необхідно застосувати функцію розгортання
фази: unwrap[ ]:[ , ]f C−π π → [18]. Звідси роз-
в’язок рівняння (49) можна записати у вигляді:
( ) ( ) 1( ) unwrap arg .
( ) ( )
L Li
L L
⎡ ⎤⎛ ⎞ω ω −δ ω = ⋅ ⎢ ⎥⎜ ⎟ω − ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(51)
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
303Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
Таким чином, для відомої функції ( )δ ω
спектральні коефіцієнти 0 ( )A ω та 0 ( )B ω отри-
мано з виразів (16) та (41) у формі:
0 2
1 1( ) exp ( ) ,
21 | ( ) |
A
L
⎛ ⎞ω = θ δ ω⎜ ⎟⎝ ⎠− ω
(52)
0 2
( ) 1( ) exp ( ) ,
21 | ( ) |
LB
L
ω ⎛ ⎞ω = θ − δ ω⎜ ⎟⎝ ⎠− ω
(53)
де 1θ = ± – коефіцієнт неоднозначності знаку.
Доведення теореми завершимо, подаючи всі
значення матриці розсіювання через знайдену
функцію ( )δ ω згідно з виразом (51). Отже, на
основі формул (15), (16), (19), (20), а також (52)
та (53) матрицю розсіювання з точністю до
знака запишемо через функцію ( )δ ω у вигляді
(37). Матрицю розсіювання, визначену за ре-
зультатами вимірювань коефіцієнта відбиття
на відстані 0d від поверхні, записано як:
( ) ( )
:
( ) ( )
m m
m
m m
R T
S
T L
ω ω⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦
1 ( )2( ) 2
1 ( )2 2
( ) 1 ( )
.
1 ( ) ( )
m
m
m
m m
m m
L e L e
L e L
⎛ ⎞− δ ω⎜ ⎟−δ ω ⎝ ⎠
⎛ ⎞− δ ω⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎥− ω − ω
⎢ ⎥= ±
⎢ ⎥
− ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦
(54)
Варто зауважити, що виміряні значення
коефіцієнтів відбиття ( )mL ω та ( )mL ω мати-
муть набіг фази 0 0exp( 2 )i k d у відповідності
до виразу (33). Тому за аналогією з формула-
ми (51)-(53) значення допоміжної функції ( )δ ω
обчислимо як
( ) ( ) 1( ) unwrap arg ,
( ) ( )
m m
m
m m
L Li
L L
⎡ ⎤⎛ ⎞ω ω −δ ω = ⋅ ⎢ ⎥⎜ ⎟ω − ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(55)
а реконструйовані спектральні коефіцієнти да-
ватимуть формули
2
1 1( ) exp ( ) ,
21 | ( ) |
m m
m
A
L
⎛ ⎞ω = θ δ ω⎜ ⎟⎝ ⎠− ω
(56)
2
( ) 1( ) exp ( )
21 | ( ) |
m
m m
m
LB
L
ω ⎛ ⎞ω = θ − δ ω⎜ ⎟⎝ ⎠− ω
(57)
відповідно.
4. Властивості спектральних
коефіцієнтів
Ідея нового методу розв’язання оберненої
задачі розсіювання полягає у зведенні вихід-
них даних до параметризованої форми (31), (32)
та визначенні характеристик багатошарової
структури за значеннями коефіцієнтів цих сум.
Тому для конструктивної реалізації нового
методу необхідно проаналізувати властивості
коефіцієнтів сум (27), (28) та встановити взає-
мозв’язки між цими коефіцієнтами для фіксо-
ваної частоти .ω Подальші твердження вир-
ішують сформульовані завдання.
Твердження 1. Нехай q q ql d= ε – оптич-
на товща q-го шару діелектричної структури.
Тоді кількість експоненціальних доданків jM
з різними коефіцієнтами та значеннями
аргументів у сумах (27), (28), 0, ( 1),j N= −
є рівною:
2 ,N j
jM −= якщо у структурі немає шарів
з однаковою оптичною товщею, тобто ,w ql l≠
{ }, 1, 2, ..., ( ) ;w q N j w q∀ ∈ − ≠
1,jM N j= − + якщо структура складаєть-
ся лише з шарів однакової оптичної товщі
,w ql l= { }, 1, 2, ..., ( ) .w q N j∀ ∈ −
У загальному випадку кількість експо-
ненціальних доданків лежить у межах
( 1) 2 .N j
jN j M −− + ≤ ≤
Обгрунтування цього твердження можна
здійснити на підставі виразу (10). Кожна опе-
рація перемноження матриці на матрицю в (10)
подвоює кількість експоненціальних доданків,
якщо у структурі немає шарів з однаковою
оптичною товщею. Наявність шарів з однако-
вою оптичною товщею приводить до реком-
бінації експоненційних доданків з однаковими
аргументами, тому кількість експонент при
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
304 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
перемноженні двох матриць у виразі (10)
у даному випадку збільшується щонайменше
на одиницю.
Твердження 2. Значення аргументів ( ),j pν
1, ,jp M= експоненціальних доданків у cу-
мах (27), (28) є однаковими та визначаються
комбінаціями 1 2 3 0 0( ... ) .N jl l l l −± ± ± ± ε μ При
цьому мінімальне значення аргументу
1 2 3 0 0(1) ( ... )j N jl l l l −ν = − + + + ε μ матиме до-
данок з індексом 1,p = а максимальне зна-
чення 1 2 3 0 0( ) ( ... )j j N jM l l l l −ν = + + + ε μ – до-
данок з індексом .jp M=
Як видно з виразу (10), кожне перемножен-
ня матриць збільшує вдвічі множину експо-
ненціальних аргументів. При цьому нові зна-
чення аргументів відрізнятимуться від своїх
попередніх на величину 0 0 .ql± ε μ
Твердження 3. З попереднього тверджен-
ня випливає, що для впорядкованих аргументів
(1) ... ( ) ... ( ),j j j jp Mν < < ν < < ν 1, ,jp M= в
експонентах сум (27), (28) властива симетрія
абсолютних значень, так що
( ) ( ), 1, 2, ( 2 1),j j j j jp q p M q M Mν = −ν = = +
для парних ;jM
( ) ( ),j jp qν = −ν 1,( 1) 2,jp M= − q =
( )( 1) 2 ,j jM M+ для непарних .jM
Твердження 4. Значення дійсних кое-
фіцієнтів при експонентах із максимальним
та мінімальним значенням аргументу в сумах
(27), (28) співвідносяться як
1
1
(1) ( ) ( )
,
(1) ( ) ( )
j j j j j
j j j j j
M
M
+
+
β α ρ −ρ
= =
α β ρ +ρ
(58)
де 1 1(1) (1)( ) (2 )j j j j jX + +α = ρ −ρ ρ та (1)jβ =
1 1(1)( ) (2 )j j j jX + +ρ −ρ ρ – коефіцієнти при екс-
поненційному доданку з найменшим значенням
аргументу; 1 1( ) ( )( ) (2 )j j j j j j jM Y M + +α = ρ −ρ ρ
та 1 1( ) ( )( ) (2 )j j j j j j jM Y M + +β = ρ +ρ ρ – коефі-
цієнти при доданку з найбільшим значенням
аргументу експоненти; (1)jX та ( )j jY M –
деякі величини, що в загальному випадку за-
лежать від значень характеристичних імпе-
дансів 1 2 1, , ..., .j j N+ + +ρ ρ ρ
На достовірність цього твердження вказує
структура першої матриці-множника у виразі
(10), елементи якої безпосередньо визначають
саме такий характер співвідношення (58).
Твердження 5. У частковому випадку, якщо
в структурі немає шарів з однаковими оптичними
товщами: ,w ql l≠ { }, 1, 2, ...., ( ) ,w q N j w q∀ ∈ − ≠
то відношення всіх коефіцієнтів ( )j pα та
( ),j pβ 1, ,jp M= при експонентах з однако-
вим значенням аргументів може набувати од-
ного з двох значень:
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
, .
( ) ( ) ( )
j j j j j
j j j j j
p
p
+ +
+ +
⎧ ⎫β ρ −ρ ρ +ρ⎪ ⎪∈⎨ ⎬α ρ +ρ ρ −ρ⎪ ⎪⎩ ⎭
(59)
Твердження 6. Якщо елементи векторів
(1), (2), ..., ( )
T
j j j j jM′ ′ ′ ′⎡ ⎤= α α α⎣ ⎦α та j′ =β
(1), (2), ..., ( )
T
j j j jM′ ′ ′⎡ ⎤β β β⎣ ⎦ (символ [ ]T оз-
начає транспонування матриці) для 1, jq M=
та 0,( 1)j N= − визначено формулою:
1
1
( ) 1
( ) 2
j
j j
q
q
+
+
′α⎡ ⎤
= ×⎢ ⎥′β ρ⎣ ⎦
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
j j j j j
j j j j j
q
q
+ +
+ +
ρ + ρ − ρ −ρ α⎡ ⎤ ⎡ ⎤
×⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ρ −ρ ρ +ρ β⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(60)
то в кожному з векторів 1j+′α та 1j+′β буде
однакова кількість 1jM + ненульових елементів,
і ця кількість на загал є меншою, ніж ,jM
тобто 1.j jM M +>
Обгрунтування цього твердження можна
отримати, використавши обернене перетворен-
ня до (10):
1
1
( )
( )
j
j
A
B
+
+
ω⎡ ⎤
=⎢ ⎥−ω⎣ ⎦
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
( ) ( )1
2 ( ) ( )
j j j j
j j j j
ik d ik d
j j j j
ik d ik d
j j j j j
e e
e e
+ + + +
+ + + +
+ +
− −
+ +
⎡ ⎤ρ +ρ − ρ −ρ
⎢ ⎥= ×
ρ ⎢ ⎥− ρ −ρ ρ +ρ⎣ ⎦
( )
.
( )
j
j
A
B
ω⎡ ⎤
×⎢ ⎥−ω⎣ ⎦
(61)
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
305Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
Перетворення (61) для коефіцієнтів при експо-
нентах з однаковим значенням аргументу в
сумах (27), (28) матиме вигляд (60). Крім того,
нерівність 1j jM M +> випливає безпосередньо
з першого твердження.
Твердження 7. Нехай 1 2 3: { , , , ...,F f f f=
1
}
jMf +
– множина індексів ненульових еле-
ментів 1( ) 0,j q+′α ≠ ,q F∈ у векторі 1,j+′α а
11 2 3: { , , , ..., }
jMG g g g g
+
= – множина індексів
ненульових елементів 1( ) 0,j q+′β ≠ ,q G∈ у век-
торі 1,j+′β що обчислені за формулою (60). Нехай
також індекси в кожній з цих множин впоряд-
ковані так, що
11 2( ) ( ) ... ( )
jj j j Mf f f
+
ν < ν < < ν та
11 2( ) ( ) ... ( ).
jj j j Mg g g
+
ν < ν < < ν Тоді справед-
лива рівність:
0 0 1 1 12 ( ) ( )j j jl f g+ε μ = ν −ν =
1 12 2( ) ( ) ... ( ) ( ) .
j jj j j M j Mf g f g
+ +
= ν −ν = = ν −ν
(62)
При цьому значення коефіцієнтів сум (31), (32)
для ( 1)j + -го шару можна визначити для
11, jp M += як
1 1( ) ( ),j j pp f+ +′α = α (63)
1( ) ( ),j j pp g+ ′β = β (64)
1 0 0 1( ) ( ) ,j j p jp f l+ +ν = ν + ε μ (65)
або 1 0 0 1( ) ( ) .j j p jp g l+ +ν = ν − ε μ (66)
Справедливість цього твердження випливає
з обгрунтування твердження 2 та формули (10).
5. Спектральний метод
ідентифікації коефіцієнтів сум
Важливим етапом розв’язання оберненої
задачі дифракції є ідентифікація параметрів ,pτ
0 ,M 0 ( )pα та 0 ( ),pβ 01, ,p M= у сумах (31),
(32) за значеннями спектральних коефіцієнтів,
визначених шляхом перерахунку результатів
вимірювання. Складність такої процедури зу-
мовлена тим, що у виміряних даних завжди
присутня випадкова складова, а самі вимірю-
вання виконують на скінченній множині час-
тот в обмеженому діапазоні. Для більшої адек-
ватності математичної моделі процесу вимі-
рювання введемо припущення про адитивний
характер гаусівської випадкової складової. Тоді
оцінку спектральних коефіцієнтів можна вира-
зити сумою точного значення спектрального
коефіцієнту та похибки [19]:
ˆ ( ) ( ) ,m m AA A nω = ω + (67)
ˆ ( ) ( ) .m m BB B nω = ω + (68)
Тут An та Bn – комплексні гаусівські ви-
падкові складові з розподілами 2(0, )AN σ та
2(0, ),BN σ відповідно.
Варто зазначити, що припущення про гау-
сівський характер випадкових складових у фор-
мулах (67), (68), строго кажучи, є хибним,
оскільки спектральні коефіцієнти ( )mA ω та
( )mB ω отримано за результатами нелінійних
перетворень коефіцієнтів відбиття під час ре-
конструкції матриці розсіювання. Однак таке
припущення на практиці є допустимим, а про-
цедура ідентифікації параметрів у сумах (31),
(32) для адитивної гаусівської моделі суттєво
спрощується. При цьому обгрунтованим
є припущення щодо рівності дисперсій
2 2 2
S A Bσ = σ = σ випадкової складової для спект-
ральних коефіцієнтів ˆ ( )mA ω та ˆ ( ).mB ω
Оскільки значення ˆ ( )mA ω та ˆ ( )mB ω визна-
чені лише для скінченної множини частот
1 2 3, , , ..., ,
mNω ω ω ω вирази (67) та (68) можна
звести до скінченновимірної форми. Нехай
( )W τ є матрицею експонент із чисто уявни-
ми аргументами, що залежать від вектора не-
відомих
01 2 3[ , , , ..., ] :M= τ τ τ ττ
01 2( ) ( ), ( ) ... ( )M⎡ ⎤= τ τ τ =⎣ ⎦W τ V V V
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
306 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
1 01 1 1 2
2 02 1 2 2
1 2 0
...
... ,
...
M
M
N N N Mm m m
ii i
ii i
i i i
e e e
e e e
e e e
ω τω τ ω τ
ω τω τ ω τ
ω τ ω τ ω τ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
де 1 2( ) [ , , ..., ] .N pp p mii i T
p e e e ω τω τ ω ττ =V
Тоді, вирази (67) та (68) можна записати як:
0( ) ,A= τ ⋅ +x W α n (69)
0( ) ,B= τ ⋅ +y W β n (70)
де 1 2
ˆ ˆ ˆ( ), ( ), ..., ( )
m
T
m m m NA A A⎡ ⎤= ω ω ω⎣ ⎦x та =y
1 2
ˆ ˆ ˆ( ), ( ), ..., ( )
m
T
m m m NB B B⎡ ⎤ω ω ω⎣ ⎦ – вектори ви-
бірок комплексних значень спектральних кое-
фіцієнтів; 1mN
A C ×∈n та 1mN
B C ×∈n – вектори
миттєвих значень випадкових складових An
та ;Bn [ ] 0 1
0 0 0 0 0(1), (2), ..., ( ) T MM R ×= α α α ∈α
та [ ] 0 1
0 0 0 0 0(1), (2), ..., ( ) T MM R ×= β β β ∈β – век-
тори шуканих коефіцієнтів сум (31) та (32).
Якщо результати вимірювань задано на
регулярній сітці частот 1 2 3, , , ...,
mNω ω ω ω з
кроком ,Δω то матриця ( )W τ є матрицею
Вандермонда.
У скінченновимірному формулюванні зада-
ча спектрального аналізу полягає у знаход-
женні векторів невідомих параметрів ˆ ,τ 0ˆ ,α
0β̂ та 0M̂ за відомими векторами x та y. Роз-
в’язання поставленої задачі методом дискрет-
ного перетворення Фур’є не дозволяє отрима-
ти високу точність, яку можна досягнути ме-
тодом найменших квадратів [19]. В теорії спек-
трального аналізу [19, 20] розвинуто низку
статистично обгрунтованих підходів, які на-
дають можливість забезпечити точність роз-
в’язку поставленої задачі, близьку до точності
за методом найменших квадратів. У відомих
підходах до розв’язання задачі спектрального
аналізу [21, 22] прийнято розділяти та послідов-
но здійснювати оцінку порядку моделі 0
ˆ ,M
встановлення невідомих аргументів експонент
τ̂ та значень коефіцієнтів 0α̂ і 0
ˆ .β
Спільність параметрів 0M та
01 2 3[ , , , ..., ]M= τ τ τ ττ для моделей (69), (70)
вказує на те, що для їх оцінки можна вико-
ристати надлишковість у вихідних даних,
які виражено двома незалежними векторами
x та y. Тому розглядатимемо вектори x та y
як дві статистично незалежні реалізації дея-
кого випадкового процесу, моделлю якого
є скінченна сума періодичних функцій з випад-
ковими значеннями амплітуд.
Беручи до уваги регулярність сітки частот,
на яких виконують вимірювання, коваріаційні
матриці D D
A C ×∈K та D D
B C ×∈K кожного
з векторів x та y можна оцінити шляхом усе-
реднення коваріаційних матриць їх підвекторів
(з 1)DC × за формулами [20]:
1 1
ˆ ˆ( ) ( )
1 ,
ˆ ˆ( ) ( )
m
H
m d m dN
A
d Dm
m d D m d D
A A
N D
A A
=
− + − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑K
(71)
1 1
ˆ ˆ( ) ( )
1 ,
ˆ ˆ( ) ( )
m
H
m d m dN
B
d Dm
m d D m d D
B B
N D
B B
=
− + − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑K
(72)
де [ ]H – операція ермітового спряження мат-
риці.
Тоді оцінку коваріаційної матриці досліджу-
ваного випадкового процесу можна отримати
як середнє між (71) та (72):
( ) 2.A B= +K K K (73)
Відомо, що таку матрицю можна факторизу-
вати і записати у вигляді [20]:
2( ) ( ) ,H
S= τ τ + σK W SW I (74)
де S – кореляційна матриця, яка характеризує
статистичний взаємозв’язок між випадковими
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
307Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
значеннями амплітуди періодичних складових
досліджуваного процесу.
Статистичні методи спектрального аналізу
[19-21] базуються на операції проектування
у так звані сигнальні та шумові підпростори,
які сформовано системою власних векторів ко-
варіаційної матриці. Враховуючи ермітову
структуру коваріаційної матриці ,H=K K роз-
клад її оцінки (74) у базисі власних векторів
можна подати у вигляді
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,H H
s s s n n n= Λ + ΛK U U U U (75)
де sU та nU 0( D M
s C ×∈U та 0( ) )D D M
n C × −∈U –
матриці, стовпці яких відповідають власним
векторам сигнальної та шумової компоненти;
sΛ та nΛ – діагональні матриці, уздовж діа-
гоналей яких розташовано власні значення ˆ
sqλ
для 01,q M= та ˆ
nwλ для 0( 1),w M D= + відпо-
відно.
Факторизована форма (74) коваріаційної
матриці досліджуваного випадкового процесу
та розклад оцінки коваріаційної матриці (75)
є базою для побудови оцінок невідомих пара-
метрів у моделях (69) та (70). Так, для оцінки
порядку моделі 0M можна використати ста-
тистичний підхід, який базується на відношенні
правдоподібностей [21, 22]. Порівнюючи ви-
рази (74) та (75), можна безпосередньо знайти
оцінку для дисперсії випадкової складової
у векторах x та y:
0
2
10
1 ˆˆ .
D
S nw
w MD M = +
σ = λ
− ∑ (76)
Для оцінки вектора τ̂ в моделях (69)
та (70) доцільно використати ідею алгоритму
MUSIC (Multiple Signal Classification) [23].
На відміну від методу найменших квадратів
цей метод не потребує пошуку глобального
екстремуму багатоекстремальної функції та
характеризується досить високою точністю.
Ідея вказаного алгоритму полягає у проекту-
ванні тестового вектора спостережень ( )ϕV
на підпростір, який натягнутий на власні векто-
ри коваріаційної матриці шумової складової. Най-
менше значення такої проекції вказуватиме на
відповідність параметра ϕ одній із шуканих
величин .pτ Розв’язок цієї задачі пошуку зво-
диться до мінімізації функції однієї змінної:
MUSICˆ arg min ( ),Q
ϕ
τ = ϕ (77)
де ( )MUSIC
ˆ ˆ( ) ( ) ( )H H
n nQ ϕ = ϕ ϕV U U V – значен-
ня проекції, яке в околі точок
01 2 3, , , ..., Mτ τ τ τ
має локальний мінімум.
Замість (77) прийнято обчислювати обер-
нену функцію MUSIC1 ( ) ,Q ϕ яку називають
спектром. За максимумами цієї функції оці-
нюють
01 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ , , , ..., ].M= τ τ τ ττ
Зазначимо, що введена модель процесу,
який є сумою періодичних складових з випад-
ковими амплітудами, дає можливість досягну-
ти кращої точності оцінювання невідомих пара-
метрів у векторі
01 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ , , , ..., ]M= τ τ τ ττ порівня-
но з моделлю, де періодичні складові мають
детерміновані амплітуди (69) та (70). Крім того,
краща точність оцінки є прямим наслідком
усереднення коваріаційної матриці (73).
Коефіцієнти 0α̂ і 0β̂ для відомих параметрів
01 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ , , , ..., ]M= τ τ τ ττ можна оцінити за прин-
ципом найменших квадратів:
1
0ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ,H H−
⎡ ⎤= ⎣ ⎦α W τ W τ W τ x (78)
1
0
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) .H H−
⎡ ⎤= ⎣ ⎦β W τ W τ W τ y (79)
6. Послідовність розв’язання
оберненої задачі
Встановлені властивості матриці розсіюван-
ня та виявлені взаємозв’язки між коефіцієнта-
ми скінченного ряду, яким параметризовано
спектральні коефіцієнти, дозволяють сформу-
лювати таку процедуру розв’язання оберненої
задачі.
1. На першому етапі згідно з виразами (56)
та (57) обчислюємо спектральні коефіцієнти
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
308 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
ˆ ( )mA ω та ˆ ( ).mB ω Для цього використаємо
значення коефіцієнта відбиття ( )mL ω від бага-
тошарової діелектричної структури та коефі-
цієнта відбиття ( )mL ω від цієї ж структури
на ідеально провідній підкладці. Вважаємо,
що ці коефіцієнти відбиття є результатом
безпосередніх вимірювань на сітці частот
1 2 3, , , ...,
mNω ω ω ω з кроком .Δω
2. Описаний у попередньому розділі спект-
ральний метод дає можливість оцінити парамет-
ри 0
ˆ ,M 0ˆ ( ),pα 0
ˆ ( )pβ та
01 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ , , , ..., ]M= τ τ τ ττ
за дискретними значеннями спектральних
коефіцієнтів ˆ ( )mA ω та ˆ ( ).mB ω
3. Подальші обчислення спрямовані на виз-
начення відстані 0d від поверхні структури
до точки, де вимірюються значення розсіяно-
го поля. Їх результат дозволяє оцінити пара-
метри 0ˆ ( )pν для 01,p M= та оперувати ними
у розв’язанні оберненої задачі для вихідних
даних, заданих у формі (27) та (28), замість
(31) та (32). Для цього використаємо влас-
тивість симетрії абсолютного значення аргу-
ментів, описану в твердженні 3.
Набіг фази ( )0 0 0exp i dω ε μ у спектраль-
них коефіцієнтах ˆ ( )mA ω і ˆ ( )mB ω змінює аргу-
менти експоненціальних функцій у моделях (31)
та (32) на постійну величину. З властивості
симетрії, яку встановлює твердження 3, вип-
ливає тотожність:
0 1 0 0 0( ) 2p M p d− +ω τ − τ = ω ε μ (80)
для 01, 2p M= у випадку парних 0M і
01,( 1) 2p M= − для непарних 0.M
Відстань 0d можна обчислити з виразу (80),
маючи значення будь-якої пари параметрів pτ
і
0 1 :M p− +τ
0 1
0
0 0
( )
.
2
p M pd − +τ − τ
=
ε μ
(81)
Оскільки параметри pτ відомі лише набли-
жено, для покращення точності оцінки 0d усе-
реднюємо результат для кожної з пар ˆ pτ
і
0 1ˆ :M p− +τ
0
0
round( 2)
1
0
10 0 0
ˆ ˆ( )1ˆ ,
round( 2) 2
M
p M p
p
d
M
− +
=
τ − τ
=
ε μ∑
(82)
де round( ) – функція заокруглення до найб-
лижчого цілого числа.
З виразу (31) можна встановити аргументи
всіх 01,p M= експоненціальних доданків
у сумах (27) та (28):
0 0
ˆˆ ˆ( ) .pp dν = τ − (83)
Подальші процедури складають тіло ре-
курентного процесу для обчислення характе-
ристик кожного 0,( 1)j N= − із шарів діелек-
тричної структури.
4. Тотожність (58) дозволяє виразити ха-
рактеристичний імпеданс 1j+ρ поверхневого
шару структури через значення .jρ Цю то-
тожність запишемо для коефіцієнтів при екс-
понентах з максимальним та мінімальним зна-
ченнями аргументу:
1
(1) (1)
,
(1) (1)
j j
j j
j j
+
α +β
ρ = ρ
α −β
(84)
1
( ) ( )
.
( ) ( )
j j j j
j j
j j j j
M M
M M+
β + α
ρ = ρ
β −α
(85)
Для зменшення похибок імпеданс 1j+ρ оці-
нюємо як середнє значення з (84) та (85):
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ(1) (1) ( ) ( )
ˆ .ˆ ˆ 2ˆ ˆ(1) (1) ( ) ( )
j j j j j j j
j
j j j j j j
M M
M M+
⎛ ⎞α +β β +α ρ
ρ = +⎜ ⎟⎜ ⎟α −β β −α⎝ ⎠
(86)
Відповідно значення діелектричної проник-
ності ( 1)j + -го шару обчислюємо як
0
1 2
0 1
ˆ .
ˆj
j
+
+
με =
ε ρ
(87)
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
309Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
5. Коефіцієнти 1( )j q+′α та 1( )j q+′β для
1, jq M= обчислимо, застосувавши перетво-
рення (60) для відомих параметрів середовищ
ˆ jρ та 1ˆ j+ρ у j-му та ( 1)j + -му шарі, а також
за відомими параметрами моделі ˆ ( )j pα та
ˆ ( )j qβ спектральних коефіцієнтів j-го шару.
6. У відповідності до твердження 6, части-
на коефіцієнтів, обчислених згідно з (60), є ну-
льовими. Отже задачею, що вирішується на
цьому етапі, є знаходження елементів множи-
ни індексів
11 2 3{ , , , ..., }
jMF f f f f
+
= ненульових
коефіцієнтів 1( ) 0,j q+′α ≠ ,q F∈ у векторі 1j+′α
та множини
11 2 3{ , , , ..., },
jMG g g g g
+
= для якої
1( ) 0,j q+′β ≠ ,q G∈ у векторі 1.j+′β
Наявні похибки в оцінках 1ˆ j+ρ та ˆ ,jρ а також
ˆ ( )j pα та ˆ ( )j qβ можуть спричинити відмінність
від нуля коефіцієнтів 1( )j q+′α та 1( ),j q+′β які на-
справді мають бути нульовими. Тому ідентифі-
кацію множин індексів
11 2 3: { , , , ..., }
jMF f f f f
+
=
та
11 2 3: { , , , ..., }
jMG g g g g
+
= слід здійснювати,
виходячи з умови перевищення коефіцієнтами
певного порогу .jΣ Вважатимемо коефіцієнт
1( )j q+′α чи 1( )j q+′β нульовим, якщо виконуєть-
ся умова:
1( ) ,j jq+′α < Σ (88)
1( ) .j jq+′β < Σ (89)
Порядок моделей (31) та (32) для спект-
ральних коефіцієнтів ( 1)j + -го шару можна
оцінити за кількістю елементів векторів 1j+′α
та 1,j+′β що задовольняють умовам (88) та (89):
1
ˆ #jM F+ = або 1 #jM G+ = (тут використано
позначення # кількості елементів у множині).
7. З виразу (62) можна знайти оптичну тов-
щу 1jl + шару з номером ( 1).j + Покращення
точності оцінки оптичної товщі досягаємо усе-
редненням результату обчислення 1jl + для всіх
пар ˆ ( )j qfν та ˆ ( ),j qgν 11, :jq M +=
1
1
10 0 1
1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) .
2
jM
j j q j q
qj
l f g
M
+
+
=+
= ν − ν
ε μ ∑ (90)
Для відомих оптичної товщі та діелектрич-
ної проникності шару можна знайти його мет-
ричну товщину:
1 1 1
ˆ ˆ ˆ .j j jd l+ + += ε (91)
8. На останньому етапі рекурентної проце-
дури встановлюємо параметри моделі спект-
ральних коефіцієнтів ( 1)j + шару:
1 1( ) ( ),j j pp f+ +′α = α (92)
1( ) ( ),j j pp f+ ′β = β (93)
а також
1 0 0 1( ) ( ) ,j j p jp f l+ +ν = ν + ε μ або
(94)
1 0 0 1( ) ( ) .j j p jp g l+ +ν = ν − ε μ
Рекурентну процедуру повторюємо з чет-
вертого кроку, розглядаючи наступний шар, аж
поки не виконається умова 1 2.jM + = Така
умова свідчить про те, що в ( 1)j + -му шарі
будуть поширюватися лише хвилі, які перейш-
ли поверхню розділу середовищ між j-м та
( 1)j + -м шаром, та немає проникнення хвиль
із шару ( 2).j +
7. Статистичний аналіз точності
та визначення порогу
Для впровадження розробленого методу
розв’язання оберненої задачі дифракції необ-
хідно визначити значення порогу ,jΣ у відпо-
відності до якого відбираються ненульові еле-
менти векторів 1j+′α та 1j+′β за критеріями (88)
та (89). Важливість цього кроку підтверджуєть-
ся тим, що при заниженому значенні порогу
випадкова складова спричинятиме появу хиб-
но ідентифікованих ненульових елементів у
векторах 1j+′α та 1.j+′β У випадку завищеного
порогу “малі” елементи векторів 1j+′α та 1j+′β
вважатимуться нульовими. Така помилка може
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
310 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
призвести до недостовірного розв’язку обер-
неної задачі або до втрати збіжності описано-
го рекурентного процесу.
Для встановлення значення порогу jΣ ви-
конаємо статистичний аналіз точності оцінок
коефіцієнтів ( )j pα та ( )j pβ у сумах (31) та
(32), які обчислюються на кожному циклі ре-
курентної процедури за формулами (60), (92)
та (93). Такий аналіз базується на припущенні
щодо гаусівського розподілу похибок оцінки
параметрів. Для цього оцінки коефіцієнтів за-
пишемо у вигляді адитивної моделі їх дійсних
значень та випадкової складової:
,ˆ ( ) ( ) ,j j jp p nαα = α + (95)
,
ˆ ( ) ( ) ,j j jp p nββ = β + (96)
де , jnα та , jnβ – випадкові складові, що ха-
рактеризуються нормальним законом роз-
поділу 2(0, )jN σ з нульовим середнім та дис-
персією 2.jσ
Запропонований метод спектрального ана-
лізу дає можливість оцінити дисперсію випад-
кової складової в обчислених спектральних
коефіцієнтах за формулою (76). Ця величина
служить вихідною для статистичного аналізу,
задача якого полягає у визначенні впливу по-
хибки вихідних даних на дисперсію оцінок еле-
ментів векторів 1j+′α та 1.j+′β
Співвідношення між дисперсією 2
Sσ випад-
кової складової спектральних коефіцієнтів та
дисперсією оцінки коефіцієнтів ˆ ( ),j pα ˆ ( )j pβ
можна встановити, виходячи з границі Рао–
Крамера [19, 20]. Для моделі спостереження
у формі (31), (32) обчислення такої границі ста-
новить істотну трудність. Тому будемо вико-
ристовувати значення цієї границі для спроще-
ної моделі, що описує адитивну суміш періо-
дичної гармонічної функції з детермінованою
амплітудою та випадкової гаусівської складо-
вої [18].
Дисперсію оцінки амплітуди гармонічної
складової можна приблизно визначити як
2 2
0 .S mNσ ≈ σ (97)
Підставляючи статистичні моделі похибок
(95) і (96) у вираз (60), встановимо модель
спостереження для коефіцієнтів 1ˆ ( )j p+′α та
1
ˆ ( ) :j p+′β
1 1
1ˆ ( ) ( ) ( )
2 2
j j j j
j j j
j j
q p p+ +
+
ρ + ρ ρ −ρ
′α = α − β +
ρ ρ
1 1
, , ,
2 2
j j j j
j j
j j
n n+ +
α β
ρ + ρ ρ −ρ
+ −
ρ ρ
(98)
1 1
1
ˆ ( ) ( ) ( )
2 2
j j j j
j j j
j j
q p p+ +
+
ρ −ρ ρ + ρ
′β = − α + β −
ρ ρ
1 1
, , .
2 2
j j j j
j j
j j
n n+ +
α β
ρ −ρ ρ + ρ
− +
ρ ρ
(99)
Зауважимо, що впливом похибок параметрів
ˆ jρ та 1ˆ j+ρ на дисперсію оцінки 1ˆ ( )j p+′α та
1
ˆ ( )j p+′β у даному дослідженні знехтувано.
Використовуючи правила додавання та мно-
ження випадкових величин із виразів (98)
та (99), матимемо взаємозв’язок між значен-
нями дисперсії оцінки коефіцієнтів ˆ ( ),j pα
ˆ ( )j pβ та 1ˆ ( ),j p+′α 1
ˆ ( ) :j p+′β
2 2
1 12 2 2
1 2 2
j j j j
j j j
j j
+ +
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ + ρ ρ −ρ
σ = σ + σ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
1 2
2 .
2
j j
j
j
+⎛ ⎞ρ +ρ
= σ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ⎝ ⎠
(100)
Оскільки замість нульових коефіцієнтів у век-
торах 1j+′α та 1j+′β у обчисленнях буде спосте-
рігатися випадкова величина з дисперсією 2
1,j+σ
значення порогу jΣ можна вибрати у відпо-
відності до значення середньоквадратичного
відхилення 1.j+σ Чисельні експерименти підт-
вердили прийнятність такого значення порогу:
2 2
1 2
21.5 .
2
j j
j j
j
+⎛ ⎞ρ +ρ
Σ = σ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ⎝ ⎠
(101)
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
311Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
8. Висновок
Результати числового моделювання роз-
сіювання плоскої хвилі на діелектричних ша-
руватих структурах та розв’язання відповідної
оберненої задачі підтверджують справед-
ливість розроблених теоретичних положень
та свідчать про дієвість підходу до непрямого
визначення характеристик таких структур.
Як видно з рис. 2, де порівняно результати ре-
конструкції багатошарової структури запропо-
нованим алгоритмом (рис. 2, а) та методом
пошарового зрізання [7] (рис. 2, б) з оригіналь-
ною функцією діелектричної проникності (пунк-
тирна лінія на рисунках), точність нового ме-
тоду є суттєво вищою.
Поєднавши результати односторонніх вимі-
рювань коефіцієнта відбиття від діелектричної
структури та коефіцієнта відбиття від цієї
ж структури на ідеально провідному екрані роз-
в’язано задачу реконструкції всіх елементів
матриці розсіювання для обмеженого діапазо-
ну частот. Це дало можливість оперувати
спектральними коефіцієнтами, які на відміну
від коефіцієнтів відбиття та проходження мож-
на параметризувати скінченним рядом. Таке
трактування вихідних даних спростило роз-
в’язання оберненої задачі, дозволивши уник-
нути необхідності розв’язку інтегральних
рівнянь типу Вольтерра, які зазвичай викорис-
товуються у відомих методах [3, 12, 13].
Досягнення високої точності значною мірою
зумовлено використанням статистично обгрун-
тованих методів оцінювання параметрів
скінченного ряду як моделі спектральних ко-
ефіцієнтів, та вибором порогу для виявлення
значущих коефіцієнтів цього ряду. Розвиток ідеї
використання скінченних рядів для розв’язан-
ня оберненої задачі дозволив уникнути іденти-
фікації хибних поверхонь розділу середовищ
(рис. 2, б), що характерно для методу пошаро-
вого зрізання. Крім того, запропонований підхід
на відміну від оптимізаційних методів розв’я-
зання оберненої задачі [9, 10] не потребує ап-
ріорних даних про розв’язок, що суттєво роз-
ширює множину класів досліджуваних діелект-
ричних структур.
Зазначимо, що реконструкцію матриці роз-
сіювання та розв’язання оберненої задачі ви-
конано за коефіцієнтами відбиття, заданими
у смузі частот від 20 до 70 ГГц з кроком
50 МГц, а у вихідні дані введено випадкову
складову з дисперсією 2 20.013 .nσ = Висока
точність реконструкції параметрів шаруватої
структури за таких умов дає можливість ствер-
джувати, що запропонований підхід можна
ефективно використати як новий метод оброб-
ки результатів вимірювання у засобах неруй-
нівного контролю діелектричних матеріалів.
Література
1. Cakoni F. and Colton D. Qualitative methods in inverse
scattering theory. – Berlin: Springer, 2005. – 227 p.
2. Pike R. and Sabatier P. Scattering and inverse scatte-
ring in pure and applied science. – San Diego: Aca-
demic press, 2002. – 1831 p.
Рис. 2. Порівняння результатів розв’язання обер-
неної задачі запропонованим методом (a) та ме-
тодом пошарового зрізання [7] (б). Пунктирною
лінією показано точний розв’язок, а суцільною –
результати числового обрахунку
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявський
312 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
3. Khruslov E. Ya. and Shepelsky D. G. Review article:
Inverse scattering method in electromagnetic soun-
ding theory // Inverse problems. – 1994. – Vol. 10,
No. 1. – P. 1-37.
4. Марченко В. А. Операторы Штурма–Лиувилля
и их приложения. – K.: Наукова думка, 1977. – 332 с.
5. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении
дифференциального уравнения по его спектраль-
ной функции // Известия АН СССР. Сер. матем. –
1951. – Т. 15, №4. – С. 309-360.
6. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумер-
ной самофокусировки в одномерной автомодуля-
ции волн в нелинейных средах // Журнал экспери-
ментальной и теоретической физики. – 1971. – Т. 61,
вып. 1(7). – C. 118-134.
7. Синявський А. Т., Шахін М. Високороздільне
відновлення розривів функції діелектричної проник-
ності за вимірюваннями коефіцієнта відбиття в об-
меженому спектральному діапазоні // Відбір і об-
робка інформації. – Львів: Фізико-механічний інсти-
тут ім. Г. В. Карпенка НАН України. – 2008. –
Вип. 29(105). – C. 10-20.
8. Batrakov D. O. and Zhuck N. P. Solution of a general
inverse scattering problem using the distorted Born
approximation and iterative technique // Inverse Prob-
lems. – 1994. – Vol. 10, No. 1. – P. 39-54.
9. Ramm A. G. and Gutman S. Optimization methods
in direct and inverse scattering. In: Continuous Opti-
mization: Current Trends and Modern Applications /
Ed. by А. М. Rubinov. – NY: Springer-Verlag New
York, 2005. – P. 51-110.
10. Джала В. Р., Капко Л. І. Радіохвильова діагностика
плоскошарових діелектриків на підставі розв’язку
оберненої задачі // Фізико-хімічна механіка мате-
ріалів. – 2009. – Т. 45, №3. – С. 117-122.
11. Gladwell G. M. L. Inverse Problems in Scattering:
An Introduction. – Dordrecht: Kluwer Academic Pub-
lishers, 1993. – 380 p.
12. Newton R. G. Inversion of reflection data for layered
media: a review of exact methods // Geophys. J. Int. –
1982. – Vol. 69, No. 2. – P. 571-572.
13. Burridge R. The Gelfand-Levitan, the Marchenko,
and the Gopinath-Sondhi integral equations of inverse
scattering theory, regarded in the context of inverse
impulse-response problems // Wave Motion. – 1980. –
Vol. 2. – P. 305-323.
14. Ware J. A. and Aki K. Continuous and discrete
inverse-scattering problems in a stratified elastic
medium. I. Plane waves at normal incidence // J. Acoust.
Soc. Am. – 1969. – Vol. 45, No. 1. – P. 911-921.
15. Aktosun T., Klaus M., and van der Mee C. Recovery
of discontinuities in a non-homogeneous medium //
Inverse Problems. – 1996. – Vol. 12, No. 1. – P. 1-25.
16. Klibanov M. V., Sacks P. E., and Tikhonravov A. V.
The phase retrieval problem // Inverse Problems. –
1995. – Vol. 11, No. 1. – P. 1-28.
17. The transforms and applications handbook / Ed. by
Poularikas A. D. – Boca Raton: CRC Press, 2000. – 1120 p.
18. Tribolet J. M. A new phase unwrapping algorithm //
IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. – 1977. –
Vol. 25. – P. 170-177.
19. Kay S. M. Fundamentals of Statistical signal proces-
sing: estimation theory. – NY: Prentice-Hall, 1993. – 595 p.
20. Stoica P. and Moses R. Spectral analysis of sig-
nals. – NY: Prentice-Hall, 2005. – 480 p.
21. Uber J. A. Estimation of the dimensionality of the
signal subspace: Dissertation for the degree of Doc-
tor of Philosophy. – Virginia: George Mason Univer-
sity, 2003. – 183 p.
22. Synyavskyy А. Т., Antonyuk V. P., Lobur M. V., and
Klepfer Ye. I. Spectral analysis in problems of electro-
magnetic sources detection and multilayer structu-
res identification // Radioelektronika i informatika. –
2008. – No. 4. – P. 50-56.
23. Schmidt R. O. Multiple emitter location and sig-
nal parameter estimation // IEEE Trans. Antennas
Propag. – 1986. Vol. 34. – P. 276-280.
Определение характеристик
многослойной структуры
по реконструированной
по коэффициентам отражения
матрице рассеяния
З. Т. Назарчук, А. Т. Синявский
Представлен метод определения диэлект-
рических проницаемостей и толщин слоев плос-
кой многослойной структуры исходя из резуль-
татов измерений коэффициента отражения
плоской электромагнитной волны. В этом ме-
тоде используется подход к реконструкции
частотной зависимости всех элементов мат-
рицы рассеяния в ограниченном диапазоне
частот. Восстановление матрицы рассеяния
осуществлено путем перерасчета измеренных
коэффициентов отражения от такой структуры
в свободном пространстве и на идеально про-
водящей подложке. Высокой точности опре-
деления диэлектрической проницаемости
и толщины слоев удалось достичь за счет иден-
тификации спектральных коэффициентов, ко-
торые выделены из элементов матрицы рас-
сеяния и представлены в виде конечного ряда
незатухающих комплексных экспонент.
Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання
313Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3
Determination of Multilayer Structure
Parameters by Means of Reconstruction
of Scattering Matrix from Known
Reflection Coefficients
Z. T. Nazarchuk and A. T. Synyavskyy
A new method for determination of both
layers’ permittivity and thickness of a plain mul-
tilayer structure is proposed. The reflection coef-
ficient of a plain electromagnetic wave is consi-
dered as initial data in the problem. The method
is based on an approach to reconstruction of the
frequency dependences of all scattering matrix
elements in a limited waveband. The scattering
matrix has been recovered by recalculation of the
measured reflection coefficients for this structure
in free space and on a perfectly-conducting
screen. A high accuracy in both permittivity and
thickness determination is achieved due to identi-
fication of spectral coefficients which are distin-
guished from scattering matrix elements and ex-
pressed as a finite series of undamped complex
exponents.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60106 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:57:03Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. 2014-04-11T15:32:05Z 2014-04-11T15:32:05Z 2010 Визначення характеристик шаруватої структури
 за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття
 матрицею розсіювання / З.Т. Назарчук, А.Т. Синявський // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 3. — С. 295–313. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60106 537.874.4 Подається метод визначення діелектричної проникності та товщини шарів плоскої шаруватої
 структури за результатами вимірювання коефіцієнта відбиття плоскої електромагнітної хвилі.
 В цьому методі використовується підхід до реконструкції частотної залежності всіх елементів
 матриці розсіювання в обмеженому діапазоні частот. Матриця розсіювання відновлюється через
 перерахунок виміряних коефіцієнтів відбиття від такої структури у вільному просторі та на ідеально
 провідній підкладці. Високої точності обчислення діелектричної проникності та товщини шарів
 досягнуто за рахунок ідентифікації спектральних коефіцієнтів, які виділено з елементів матриці
 розсіювання та описано скінченним рядом незгасаючих комплексних експонент. Представлен метод определения диэлектрических проницаемостей и толщин слоев плоской многослойной структуры исходя из результатов измерений коэффициента отражения
 плоской электромагнитной волны. В этом методе используется подход к реконструкции
 частотной зависимости всех элементов матрицы рассеяния в ограниченном диапазоне
 частот. Восстановление матрицы рассеяния
 осуществлено путем перерасчета измеренных
 коэффициентов отражения от такой структуры
 в свободном пространстве и на идеально проводящей подложке. Высокой точности определения диэлектрической проницаемости
 и толщины слоев удалось достичь за счет идентификации спектральных коэффициентов, которые выделены из элементов матрицы рассеяния и представлены в виде конечного ряда
 незатухающих комплексных экспонент. A new method for determination of both
 layers’ permittivity and thickness of a plain multilayer
 structure is proposed. The reflection coefficient
 of a plain electromagnetic wave is considered
 as initial data in the problem. The method
 is based on an approach to reconstruction of the
 frequency dependences of all scattering matrix
 elements in a limited waveband. The scattering
 matrix has been recovered by recalculation of the
 measured reflection coefficients for this structure
 in free space and on a perfectly-conducting
 screen. A high accuracy in both permittivity and
 thickness determination is achieved due to identification
 of spectral coefficients which are distinguished
 from scattering matrix elements and expressed
 as a finite series of undamped complex
 exponents. uk Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання Определение характеристик многослойной структуры по реконструированной по коэффициентам отражения матрицей рассеяния Determination of Multilayer Structure Parameters by Means of Reconstruction of Scattering Matrix from Known Reflection Coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання Назарчук, З.Т. Синявський, А.Т. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title | Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання |
| title_alt | Определение характеристик многослойной структуры по реконструированной по коэффициентам отражения матрицей рассеяния Determination of Multilayer Structure Parameters by Means of Reconstruction of Scattering Matrix from Known Reflection Coefficients |
| title_full | Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання |
| title_fullStr | Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання |
| title_full_unstemmed | Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання |
| title_short | Визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання |
| title_sort | визначення характеристик шаруватої структури за реконструйованою з коефіцієнтів відбиття матрицею розсіювання |
| topic | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60106 |
| work_keys_str_mv | AT nazarčukzt viznačennâharakteristikšaruvatoístrukturizarekonstruiovanoûzkoefícíêntívvídbittâmatriceûrozsíûvannâ AT sinâvsʹkiiat viznačennâharakteristikšaruvatoístrukturizarekonstruiovanoûzkoefícíêntívvídbittâmatriceûrozsíûvannâ AT nazarčukzt opredelenieharakteristikmnogosloinoistrukturyporekonstruirovannoipokoéfficientamotraženiâmatriceirasseâniâ AT sinâvsʹkiiat opredelenieharakteristikmnogosloinoistrukturyporekonstruirovannoipokoéfficientamotraženiâmatriceirasseâniâ AT nazarčukzt determinationofmultilayerstructureparametersbymeansofreconstructionofscatteringmatrixfromknownreflectioncoefficients AT sinâvsʹkiiat determinationofmultilayerstructureparametersbymeansofreconstructionofscatteringmatrixfromknownreflectioncoefficients |