Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви

Методом кумулянтного анализа исследованы свойства усеченного произвольным образом полета Леви. Найдена последовательность кумулянтов, характеризующая усеченное произвольным образом распределение Леви, и определена их зависимость от формы усечения. Исследовано влияние формы усечения на свойства гаус...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радиофизика и радиоастрономия
Date:	2010
Main Author:	Виноградов, Д.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2010
Subjects:	Статистическая радиофизика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60108
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви / Д.В. Виноградов // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 3. — С. 338–347. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859626896405299200
author	Виноградов, Д.В.
author_facet	Виноградов, Д.В.
citation_txt	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви / Д.В. Виноградов // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 3. — С. 338–347. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Радиофизика и радиоастрономия
description	Методом кумулянтного анализа исследованы свойства усеченного произвольным образом полета Леви. Найдена последовательность кумулянтов, характеризующая усеченное произвольным образом распределение Леви, и определена их зависимость от формы усечения. Исследовано влияние формы усечения на свойства гауссова и Леви режимов процесса. Методом кумулянтного аналізу досліджено властивості довільним чином зрізаного польоту Леві. Знайдено послідовність кумулянтів, котра характеризує довільним чином зрізаний розподіл Леві, та визначено їх залежність від форми зрізання. Досліджено вплив форми зрізання на властивості гаусівського та Леві режимів процесу Properties of arbitrary truncated Levy flight are investigated by the method of cumulant approach. The set of cumulants that characterizes an arbitrary truncated Levy distribution is found, their truncation shape dependence determined. The influence of truncation shape on the properties of Gaussian and Levy regimes of the process is investigated.
first_indexed	2025-11-29T12:48:56Z
format	Article
fulltext	Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3, с. 338-347 ISSN 1027-9636 © Д. В. Виноградов, 2010 УДК 530.162 Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви Д. В. Виноградов ООО “Химэкс”, ул. Студенческая, 30-205, г. Дзержинск, Нижегородская обл., 606016, Россия E-mail: Dmitry.Vinogradov@list.ru Статья поступила в редакцию 30 июня 2010 г. Методом кумулянтного анализа исследованы свойства усеченного произвольным образом полета Леви. Найдена последовательность кумулянтов, характеризующая усеченное произволь- ным образом распределение Леви, и определена их зависимость от формы усечения. Исследо- вано влияние формы усечения на свойства гауссова и Леви режимов процесса. 1. Введение Усеченный полет Леви относится к классу дискретных процессов случайного блужда- ния с независимыми одинаково распределен- ными приращениями. Как известно, процес- сы случайного блуждания находят широкое применение для описания стохастических процессов как физической, так и нефизичес- кой природы [1]. Например, физические про- цессы броуновского движения и диффузии описываются гауссовым случайным блуж- данием, являющимся автомодельным про- цессом с фрактальной размерностью рав- ной 2 [2]. В нефизических системах довольно часто встречаются автомодельные процессы с дру- гой фрактальной размерностью. Это так на- зываемые полеты Леви [3]. Они обладают бесконечной дисперсией, а их приращения распределены по α -устойчивым законам с индексом устойчивости 0 2< α < (распре- деления Леви). В экономических и финансовых системах, являющихся объектом исследования нового междисциплинарного направления – эконо- физики [4, 5], стохастические процессы об- ладают рядом особых свойств. Моменты их приращений конечны, но сами процессы являются негауссовыми. Их крупномасш- табные флуктуации имеют характер броу- новского движения, в то время как мелко- масштабные флуктуации обладают некото- рыми свойствами полетов Леви. Впервые в работе [6] для описания подобных процес- сов была предложена модель стохастичес- кого процесса, получившая название усечен- ный полет Леви. Распределение вероятности приращений усеченного полета Леви представляет со- бой слабым образом деформированное рас- пределение Леви. Деформация должна быть такой, чтобы дисперсия результирующего распределения оказалась конечной. Соглас- но обобщенной центральной предельной тео- реме, результирующее распределение перей- дет из области притяжения распределе- ния Леви в область притяжения гауссова распределения. Чтобы у результирующего распределения дисперсия была конечной, выбранная деформация должна подавить “хвосты” распределения Леви при сохране- нии его центральной части. Так, в пионерс- кой работе [6] для этой цели было использо- вано полное отсечение “хвостов” распреде- ления Леви. Вслед за [6] появился целый ряд работ [7-10], где предлагались иные варианты усе- Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви 339Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 чения распределения Леви и на их основе строились стохастические процессы усечен- ных полетов Леви. Действительно, сущест- вует множество вариантов слабой дефор- мации распределения Леви, решающих поставленную задачу. Поэтому имеется це- лый класс распределений, которые можно назвать произвольно усеченными распреде- лениями Леви. Усеченные полеты Леви получили доста- точно широкое распространение при опи- сании стохастических процессов различной природы, в том числе в радиофизике и ра- диоастрономии. Так, например, существует гипотеза, что турбулентность в межзвезд- ном и межпланетном пространстве подчи- няется статистике Леви. В работе [11] по- казано, что флуктуации скорости частиц и вектора магнитного поля, связанные с маг- нитогидродинамической турбулентностью быстрого солнечного ветра во внутренней гелиосфере, подчиняются статистике усе- ченного полета Леви. В работе [12] на осно- ве предположения, что флуктуации плотнос- ти межзвездного газа также подчиняются статистике Леви, объясняются аномальные зависимости излучения дальних пульсаров, а именно форма регистрируемого радиосиг- нала и зависимость его ширины от меры дис- персии. В качестве примера использования усе- ченных полетов Леви в радиофизике можно привести медицинские эксперименты по ЯМР (ядерный магнитный резонанс), в которых вероятностное распределение изменения фазы спина молекул воды в сильном нели- нейном магнитном поле является усеченным полетом Леви [13]. Следующим интересным примером яв- ляется то, что траектория движения чело- века есть усеченный полет Леви, и это необ- ходимо учитывать [14] при разработке ал- горитмов маршрутизации в сетях с перенос- ными мобильными узлами, работающими по протоколу DTN. Несмотря на то что усеченные полеты Леви получили достаточно широкое расп- ространение, до сих пор отсутствует спе- циальное исследование влияния формы де- формации на их свойства. Целью настоящей работы является исследование методом ку- мулянтного анализа влияния формы дефор- мации усечения на свойства усеченных по- летов Леви. 2. Кумулянтное представление процесса случайного блуждания Процесс дискретного случайного блуж- дания { },nη 1 , n n i i X = η =∑ (1) с независимыми одинаково распределенными приращениями { }iX относится к нестацио- нарным случайным процессам с отсутствием статистических связей между приращениями и в общем случае является негауссовым. Такой процесс полностью описывается [15] одномо- ментной плотностью вероятности ( , ),W x n где n – количество шагов, а ( ,1) ( )W x P x≡ – плотность вероятности приращений { },iX либо одномоментной характеристической функ- цией ( , ) :q nθ ( , ) ( , ) d ,iqxq n W x n e x +∞ −∞ θ = ∫ являющейся фурье-образом одномоментной плотности вероятности [16]. В статистической радиофизике для иссле- дования негауссовых случайных процессов, к числу которых относится и рассматривае- мый случай, чрезвычайно успешно приме- няется метод кумулянтного анализа [15]. В рамках кумулянтного подхода случайный процесс (1) исчерпывающим и однознач- ным образом описывается бесконечной пос- ледовательностью кумулянтных функций ( ), 1, 2, 3...,j n jκ = где Д. В. Виноградов 340 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 1 ( ) ( , ) exp ( ) . ! j j j n q n iq j ∞ = ⎡ ⎤κ θ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ (2) Последовательность кумулянтных функций является фундаментальной [15], в результате чего при описании негауссовых случайных процессов кумулянтный подход оказывается наиболее простым и эффективным. Дейст- вительно, случайный процесс (1) в силу от- сутствия статистических связей между при- ращениями описывается кумулянтными функ- циями [15] с линейной зависимостью от числа шагов: ( ) ,j jn nκ = κ (3) где jκ ( (1))j jκ ≡ κ есть набор кумулянтов, определяющих распределение вероятности приращений случайного процесса ( ).P x Как уже отмечалось выше, кумулянтные функции исчерпывающим и однозначным об- разом описывают случайный процесс и содер- жат в себе все характеристики исследуемого процесса. Так, например, для дисперсии слу- чайного процесса (1), являющейся вторым кумулянтом, 2( ) ( ),D n n≡ κ получаем из (3) хорошо известный закон диффузии [2]: ( ) ,D n n=D (4) где в качестве коэффициента диффузии выс- тупает дисперсия приращений 2 2.= σ ≡ κD Форма одномоментного распределения вероятности процесса также определяется кумулянтами, а точнее, безразмерными куму- лянтными коэффициентами [15] .j j jλ = κ σ Напомним, что нормальное распределе- ние вероятности характеризуется только пер- выми двумя кумулянтами (среднее значение и дисперсия), а третий и четвертый куму- лянтные коэффициенты, 3λ и 4 ,λ являются коэффициентами асимметрии и эксцесса соответственно. Последующие кумулянтные коэффициенты описывают более сложные отк- лонения формы распределения вероятности от нормальной. Форма одномоментного распределения вероятности ( , )W x n исследуемого процес- са (1) на шаге n определяется высшими ку- мулянтными коэффициентами процесса 2 2( ) ( ) ( ),j j jn n nλ = κ κ для которых из (3) получаем: 2 1( ) ,j j jn n −λ = λ (5) где jλ – кумулянтные коэффициенты распре- деления вероятности приращений ( ).P x Из (5) видно, что высшие кумулянтные коэф- фициенты ( )j nλ при росте шагов, ,n →∞ стремятся к нулю тем быстрее, чем выше их порядок. При достаточно большом количест- ве шагов высшие кумулянтные коэффициенты становятся пренебрежимо малыми, и одномо- ментное распределение вероятности ( , )W x n определяется только первыми двумя куму- лянтами, т. е. становится гауссовым. Выра- жение (5) есть не что иное как кумулянт- ное представление центральной предельной теоремы. Таким образом, из вышеизложенного вид- но, что процесс случайного блуждания (1) с независимыми одинаково распределен- ными приращениями описывается кумулянт- ными функциями (3) и полностью опреде- ляется кумулянтами распределения вероят- ности приращений ( ).P x 3. Кумулянты произвольно усеченного распределения Леви Для исследования влияния формы дефор- мации на свойства произвольно усеченного полета Леви необходимо найти кумулянты усеченного распределения Леви, являюще- гося распределением его приращений. В настоящей работе будем рассматривать только симметричный случай. Представим произвольно усеченное распределение Леви в виде произведения двух функций: Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви 341Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 ( ) ( ) ( ),LP x CP x g x= (6) где ( )LP x есть симметричное несмещенное α -устойчивое распределение Леви [17-18], ( )g x – симметричная деформирующая функ- ция, а C – нормирующий множитель. Предпо- ложим, что деформирующая функция имеет в нуле значение (0) 1,g = а при стремлении аргумента x →∞ стремится к нулю совмест- но со всеми своими производными быстрее любой степени 1 .x Предположим также, что характерный пространственный масштаб l деформирующей функции ( )g x во много раз больше пространственного масштаба γ ис- ходного распределения Леви: .l γ (7) Для нахождения кумулянтов jκ распре- деления вероятности (6) воспользуемся их представлением через моменты распределе- ния jm [19], 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)!! , ! ! ! ! i i j pp j i i i mm j p p ππ ρ− = ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ρ−κ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑∑ … … (8) где второе суммирование распространяется на все положительные π и ,ρ подчиненные ус- ловиям: 1 1 2 2 ,i ip p p jπ + π + + π =… 1 2 .iπ + π + π = ρ… В силу симметрии распределения (6) нечет- ные кумулянты равны нулю, а низшие четные кумулянты получаем из (8): 2 2 ,mκ = 2 4 4 23 ,m mκ = − 3 6 6 2 4 215 30 .m m m mκ = − + Моменты распределения (6), в свою оче- редь, можно найти через значение его харак- теристической функции ( )qθ в нуле [16]: 0 d ( )( ) , d j j j j q qm i q = ⎡ ⎤θ= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (9) где ( )qθ есть фурье-образ плотности распре- деления вероятности ( ).P x Так как усеченное распределение Леви (6) представлено в виде произведения двух функ- ций, то, согласно свойствам Фурье преобразо- вания [20], его характеристическая функция есть свертка их фурье-образов: ( ) ( ) ( )d . 2 L Cq q G +∞ −∞ θ = θ − τ τ τ π ∫ (10) Здесь ( )G τ есть фурье-образ деформирую- щей функции ( ),g x а ( )L qθ – характеристи- ческая функция симметричного несмещен- ного α -устойчивого распределения Леви (см. например [16-18]): ( )( ) exp ,L q q ααθ = −γ (11) где α – индекс устойчивости, а γ – пара- метр, характеризующий ширину распределе- ния Леви. Опираясь на свойства характеристической функции [16], а именно (0) 1θ = и ( ) ( ),q q∗θ − = θ где знак “*” означает комплексно сопряжен- ную величину, и симметричность распределе- ния вероятности, для моментов распределе- ния (6) получим из (9), (10), (11): ( )( ) ( )d ( ) . ( ) ( )d j L j j L q G q q m i q G q q +∞ −∞ +∞ −∞ θ = θ ∫ ∫ (12) Д. В. Виноградов 342 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 Далее воспользуемся наличием в задаче малого параметра ( ) 1,l αε = γ а именно соотношением пространственных масшта- бов распределения Леви и деформирующей функции, и будем искать моменты усечен- ного распределения Леви в виде асимптоти- ческого разложения по этому малому пара- метру. Для этого используем метод Лапласа (см., например [21]). Из-за наличия малого пара- метра Фурье, образ деформирующей функ- ции ( )G q сосредоточен в малой окрестности начала координат в виде резкого максимума, а вне этой окрестности близок к нулю. Этот максимум тем резче, чем меньше параметр .ε С другой стороны, в этой окрестности значе- ние характеристической функции распреде- ления Леви ( )L qθ претерпевает малые изме- нения. В силу этого в окрестности начала координат точное значение функции ( )L qθ можно заменить ее асимптотическим разло- жением и искать решение в виде ряда по малому параметру .ε Для этого введем безразмерные коорди- наты ,lqς = x lξ = и разложим характерис- тическую функцию ( )Lθ ς в асимптотический ряд по малому параметру :ε ( ) 2 2( ) exp 1 ... . 2L α α α ς θ ς = −ε ς ≈ − ε ς + ε − (13) Перейдем в выражении (12) к безразмер- ным переменным, заменим точное значение характеристической функции на приближен- ное (13) и, ограничиваясь в решении членами порядка малости до 1( )o ε включительно, по- лучим для моментов усеченного распреде- ления Леви: ( ) ( 1) ... ( 1) ( )d .jj j jm i l j G ∞ α− −∞ = − εα α − α − + ς ς ς∫ (14) Учитывая, что обратное преобразование Фурье 1−F степенной функции [22] есть ( ) 11 1 sin 1 , 2 β −β−− πβ⎡ ⎤ς = − Γ β+ ξ⎣ ⎦ π F где ( )xΓ – гамма функция, и перейдя в выра- жении (14) из пространства фурье-образов в пространство распределений вероятности, получим: 1( 1) sin ( )d . 2 jj jm l g ∞ − −α −∞ Γ α + πα= ε ξ ξ ξ π ∫ (15) Выражение (15) справедливо для всех мо- ментов произвольно усеченного распределе- ния Леви. Отметим, что порядки величин моментов усеченного распределения Леви есть ~ .j jm l ε Поэтому, ограничиваясь в разложе- нии членами порядка малости 1( ),o ε для ку- мулянтов из (8) получим ,j jmκ ≈ или ( ) ( ),j j jl A−α ακ = γ α μ α (16) где 2( ) ( 1)sin , 2 A παα = Γ α+ π (17) 1 0 ( ) ( )d .j j g ∞ − −αμ α = ξ ξ ξ∫ (18) Здесь ( )jμ α описывает влияние формы усе- чения распределения Леви на кумулянты. От- метим, что функция ( ),jμ α по сути, является преобразованием Меллина деформирующей функции ( )g ξ [20]. В случае усеченного распределения Коши (индекс устойчивости 1)α = выражения (16), (17), (18) упрощаются. В этом случае зна- чения воздействующей функции (1)jμ есть моменты деформирующей функции соот- ветствующего порядка, 2(1) ,j jM −μ = а для кумулянтов распределения получаем простое выражение: Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви 343Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 21 2 .jj j M l −−κ = γ π Как отмечалось ранее, высшие кумулянт- ные коэффициенты показывают степень от- личия распределения от нормального. Осно- вываясь на (16), (17), (18), найдем высшие кумулянтные коэффициенты для усеченного распределения Леви: ( 2) 2 2 2 ( ) . ( ) ( ) j j j j l A α − μ α⎛ ⎞λ = ⎜ ⎟γ α μ α⎝ ⎠ Из полученных результатов можно сделать вывод, что с точки зрения кумулянтного под- хода отличительной особенностью распреде- ления вероятности произвольно усеченного распределения Леви является определенный порядок величины высших кумулянтных коэф- фициентов: 1 2~ j j −λ ε (например, 1 4 ~ ,−λ ε 2 6 ~ −λ ε и т. д.). Такая зависимость есть “ви- зитная карточка” усеченного распределения Леви, и любое вероятностное распределение, высшие кумулянтные коэффициенты которого удовлетворяют этому требованию, относится к классу усеченных распределений Леви. Из полученных результатов следует так- же, что кумулянты усеченного распределения Леви (16) зависят как от характерного масш- таба деформирующей функции l, так и от соотношения пространственных масштабов ( ) ,l αε = γ а именно ~ ,j j lκ ε что в силу ма- лости ( ) 1l αγ делает зависимость значе- ний кумулянтов от индекса устойчивости α исходного распределения Леви ( ) ~ ( )j l ακ α γ сильной. Выражение (17) дает слабую за- висимость кумулянтов от индекса устой- чивости .α Зависимость кумулянтов от формы деформирующей функции описывается выра- жением (18). 4. Примеры усеченных распределений Леви Рассмотрим в качестве примеров, иллюст- рирующих полученные результаты, несколько вариантов деформирующих функций. Усечение Мантеньи–Стенли. Усеченный полет Леви был впервые предложен в работе [6], где использовалось полное отсечение “хвос- тов” распределения Леви. Используемая де- формирующая функция Мантеньи–Стенли имела вид: 1, 1; ( ) 0, 1.msg ⎧ ξ ≤⎪ξ = ⎨ ξ >⎪⎩ (19) Порождаемая ею функция воздействия ( )jμ α есть 1( ) .j j μ α = −α Из выражений (16), (17), (18) можно полу- чить все кумулянты данного усеченного рас- пределения, в том числе дисперсию: 2 2 1( ) . 2 l A−α ασ = γ α −α (20) Найденный результат совпадает с результа- том для дисперсии в работе [6]. Однако отме- тим, что в [6] он был получен для ограничен- ных значений индекса устойчивости 1 2,≤ α < в то время как сейчас для всех возможных значений индекса устойчивости 0 2.< α ≤ Достаточно важной характеристикой усе- ченного распределения Леви является также его эксцесс. Для деформирующей функции Мантеньи–Стенли это 2 4 1 (2 ) . ( ) (4 ) l A α ⎛ ⎞ −αλ = ⎜ ⎟γ α −α⎝ ⎠ Экспоненциальное усечение. Другим зна- чимым примером является экспоненциальное подавление. Его деформирующая функция есть Д. В. Виноградов 344 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 ( )( ) exp .eg ξ = − ξ (21) Она порождает функцию воздействия ( ) ( ).j jμ α = Γ −α При этом дисперсия будет иметь вид: 2 2 ( ) (2 ),l A−α ασ = γ α Γ −α (22) а эксцесс – 4 1 (2 )(3 ) . ( ) (2 ) l A α ⎛ ⎞ −α −αλ = ⎜ ⎟γ α Γ −α⎝ ⎠ Экспоненциально-степенное усечение. Можно предложить также деформирующую функцию с экспоненциальным подавлением ( )( ) exp ,h sg ξ = − ξ (23) обладающую параметром h, позволяющим менять ее форму и степень подавления “хвос- тов” распределения Леви от полного их подав- ления, ,h →∞ до полного отсутствия подав- ления, 0.h = Ее функция воздействия есть 1( ) .j j h h −α⎛ ⎞μ α = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠ Отметим, что при h →∞ она стремится к функ- ции воздействия, порождаемой деформирую- щей функцией Мантеньи–Стенли. Дисперсия данного усеченного распреде- ления есть ( )2 2 (2 ) ( ) , h l A h −α α Γ −α σ = γ α (24) а эксцесс – ( ) ( )4 2 (4 ) . ( ) (2 ) hl h A h α Γ −α⎛ ⎞λ = ⎜ ⎟γ α Γ −α⎝ ⎠ 5. Свойства усеченного полета Леви Как известно [4-6], свойства флуктуаций усеченного полета Леви зависят от их масш- таба N. Крупномасштабные флуктуации про- цесса носят характер броуновского движения, и это называется гауссовым режимом усечен- ного полета Леви [4]. Мелкомасштабные флук- туации обладают некоторыми свойствами флуктуаций полета Леви, и это называется режимом Леви. Гауссов режим. С точки зрения кумулянт- ного подхода гауссов режим наступает, когда высшими кумулянтными коэффициентами од- номоментного распределения вероятности процесса ( , )W x n можно пренебречь. В этом случае процесс описывается законом диффу- зии (4), причем коэффициент диффузии есть дисперсия его приращений. В случае усечен- ных распределений Леви дисперсия определя- ется выражением (16), а в частных случаях формулами (20), (22), (24). Как следует из (5), гауссов режим насту- пает для флуктуаций с характерным масшта- бом ,GN превышающим коэффициент эксцес- са приращений 4 ,GN λ и для усеченных полетов Леви получаем 4 ~ ( )GN l αλ γ или более точно 4 4 2 2 ( ) , ( ) ( )G lN A α ⎛ ⎞ μ αλ = ⎜ ⎟γ α μ α⎝ ⎠ (25) С точки зрения кумулянтного подхода гаус- сов режим полностью определяется вторым и четвертым кумулянтами распределения при- ращений, или его дисперсией и эксцессом. С другой стороны, эти кумулянты зависят от формы усечения распределения Леви (16), (17), (18), причем она влияет как на коэффициент Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви 345Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 диффузии, так и на условие наступления гаус- сова режима (25). Например, для усеченного полета Коши 1,α = и деформирующей функции Мантеньи– Стенли (19) получаем коэффициент диффузии гауссова режима 2 ,l= γ πD и условие наступ- ления гауссова режима определяется нера- венством 6 .GN lπ γ Для экспоненциальной деформирующей функции (21) находим тот же коэффициент диффузии 2 ,l= γ πD но ха- рактерный масштаб флуктуаций гауссова ре- жима увеличивается в шесть раз – .GN lπ γ Для экспоненциально-степенной функции (23) при значении параметра 1 2h = коэффициент диффузии в два раза превышает коэффициент диффузии для усечения Мантеньи–Стенли, 4 ,l= γ πD в то время как характерный масш- таб флуктуаций гауссова режима увеличи- вается в 180 раз – 30 .GN lπ γ Режим Леви. В случае мелкомасштабных флуктуаций усеченного полета Леви, если их характерный масштаб ( ) ,N l α≤ γ выс- шими кумулянтами распределения вероят- ности пренебрегать нельзя. В этом случае для одномоментной характеристической функции усеченного полета Леви при условии (7) из (2), (3), (16) получаем: 1 ( ) ( ) ( , , ) exp ( ) . ! j j j j n l A q n iq j α −α∞ = ⎡ ⎤γ α μ α θ γ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ (26) Благодаря тому что для кумулянтов усечен- ных распределений Леви характерна зависи- мость ~ ,j j l −α ακ γ из (26) вытекает равенство 1( , , ) ( ,1, ).q n q n αθ γ = θ γ (27) Физический смысл равенства (27) состоит в том, что одномоментное распределение ве- роятности n-го шага усеченного полета Леви совпадает с распределением вероятности, полученным из исходного усеченного рас- пределения Леви изменением пространствен- ного масштаба распределения Леви на вели- чину 1 ,eff n αγ = γ при сохранении пространст- венного масштаба деформирующей функ- ции l. Это утверждение справедливо при вы- полнении условия 1 ,eff n lαγ = γ (28) когда для кумулянтов усеченного распределе- ния Леви с характерным пространственным масштабом effγ справедливы выражения (16), (17), (18). Из найденного равенства (27) элементарно следует известное свойство [4-6] усеченного полета Леви в режиме Леви зависимости ве- роятности возврата в исходную точку (0, , )W n γ от числа шагов: 1 1 (1 )(0, , ) (0, ) .LW n P n n α α Γ αγ = γ = παγ (29) Действительно, из (27) следует, что для усеченного полета Леви 1(0, , ) (0,1, ),W n W n αγ = γ и при выполнении условия (28) влияние дефор- мирующей функции на вероятность возврата в исходную точку есть величина второго по- рядка малости, и она равна вероятности воз- врата в исходную точку для невозмущенного распределения Леви (29). 6. Заключение Решена задача нахождения кумулянтов усеченного распределения Леви при произволь- ном усечении исходного распределения Леви. Найдено, что характерной особенностью пос- ледовательности кумулянтов усеченного расп- ределение Леви является зависимость порядка величины высших кумулянтных коэффициентов от их порядкового номера 2 1~ ( ) .j j l −λ γ Показано, что свойства гауссова режима усеченного полета Леви полностью зависят от двух кумулянтов распределения прираще- ний: дисперсии и эксцесса. Исследована их Д. В. Виноградов 346 Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 зависимость от формы усечения распределе- ния Леви. Для режима Леви установлено, что усечен- ный полет характеризуется полным набо- ром кумулянтных функций. Также найдено свойство (27), состоящее в том, что одномо- ментное распределение вероятности n-го шага усеченного полета Леви совпадает с распреде- лением вероятности, полученным из исходного усеченного распределения Леви изменением пространственного масштаба распределения Леви на величину 1 ,eff n αγ = γ при сохранении пространственного масштаба деформирующей функции l. Литература 1. Rudnick J. A. and Gaspari G. D. Elements of the Ran- dom Walk: an Introduction for Advanced Students and Researchers. – Cambridge: Cambridge University Press, 2004. – 348 p. 2. Mazo R. M. Brownian Motion: Fluctuations, Dyna- mics and Applications. – Oxford: Oxford University Press, 2002, – 304 p. 3. Chechkin A. V., Gonchar V. Y., Klafter J. and Metzler R. Fundamentals of Lévy Flight Processes // Advances in Chemical Physics. – 2006. – Vol. 133B. – P. 439-496. 4. Mantegna R. N. and Stanley H. E. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. – Cambridge: University Press, 2000. – 158 p. Русский перевод: Мантенья Р. Н., Стенли Г. Ю. Введение в эконофизику. Корреляция и сложность в финансах. – М.: Либроком, 2009. – 192 с. 5. Bouchaud J.-P. and Potters M. Theory of Financial Risk and Derivative Pricing. – Cambridge: University Press, 2000. – 400 p. 6. Mantegna R. N. and Stanley H. E. Stochastic Process with Ultraslow Convergence to a Gaussian: The Tran- cated Levy Flight // Phys. Rev. Lett. – 1994. – Vol. 73, No. 22. – P. 2946-2949. 7. Koponen I. Analytic Approach to the Problem of Convergence of Truncated Levy Flights Towards the Gaussian Stochastic Process // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52, No. 1. – P. 1197-1199. 8. Gupta H. M. and Campanha J. R. The Gradually Trun- cated Levy Flight: Stochastic Process for Complex Systems // Physica A. – 2000. – Vol. 275, Issue 3-4. – P. 531-543. 9. Gupta H. M. and Campanha J. R. Tsallis statistics and gradually truncated Lévy flight–distribution of an eco- nomical index // Physica A. – 2002. – Vol. 309, Issue 3-4. – P. 381-387. 10. Matsushita R., Rathie P. and Da Silva S. Exponen- tially Damped Levy Flights // Physica A. – 2003. – Vol. 326, Issue 3-4. – P. 544-555. 11. Bruno R., Sorriso-Valvo L., Carbone V. and Bavas- sano B. A Possible Truncated Levy Flight Statistic Recovered from Interplanetary Solar Wind Velocity and Magnetic Field Fluctuations // Europhys. Lett. – 2004. – Vol. 66, No. 1. – P. 146-152. 12. Gwinn C. R. Observations and Levy Statistics in Interstellar Scattering // Astron. Astrophys. Trans. – 2007. – Vol. 26, No. 6. – P. 525-533. 13. Posnansky O., Huang R. and Shah N. J. The Trunca- ted Levy Flight Process: Application to the Random Spin Phase Change in Non-linear Magnetic Fields // Physica A. – 2006. – Vol. 370, Issue 2. – P. 553-564. 14. Hong S., Rhee I., Kim S. J., Lee K. and Chong S. Routing Performance Analysis of Human-Driven De- lay Tolerant Networks Using the Truncated Levy Walk Model // Proc. 1st ACM SIGMOBILE Workshop on Mobility Models. – Hong Kong, Hong Kong (Chi- na). – 2008. – P. 25-32. 15. Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. – М.: Сов. Радио, 1978. – 376 с. 16. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. – М.: Мир, 1967. – 752 с. 17. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансо- вой математики. Т. 1. – М.:Фазис, 1998. – 512 с. 18. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые рас- пределения. – М.: Наука, 1983 – 304с. 19. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. – М.: Наука, 1966 – 588 с. 20. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1977 – 832 с. 21. Найфэ А. Метод возмущений. – М: Мир, 1976. – 455 с. 22. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функ- ции и действия над ними. – М.: ГИФМЛ, 1959 – 470 с. Кумулянтний опис довільним чином зрізаного польоту Леві Д. В. Виноградов Методом кумулянтного аналізу дослідже- но властивості довільним чином зрізаного по- льоту Леві. Знайдено послідовність кумулянтів, котра характеризує довільним чином зрізаний розподіл Леві, та визначено їх залежність від форми зрізання. Досліджено вплив форми зрізання на властивості гаусівського та Леві режимів процесу. Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви 347Радиофизика и радиоастрономия, 2010, т. 15, №3 Сumulant Description of Arbitrarily Truncated Levy Flight D. V. Vinogradov Properties of arbitrary truncated Levy flight are investigated by the method of cumulant ap- proach. The set of cumulants that characterizes an arbitrary truncated Levy distribution is found, their truncation shape dependence determined. The influence of truncation shape on the properties of Gaussian and Levy regimes of the process is investigated.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60108
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1027-9636
language	Russian
last_indexed	2025-11-29T12:48:56Z
publishDate	2010
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
record_format	dspace
spelling	Виноградов, Д.В. 2014-04-11T15:34:15Z 2014-04-11T15:34:15Z 2010 Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви / Д.В. Виноградов // Радиофизика и радиоастрономия. — 2010. — Т. 15, № 3. — С. 338–347. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60108 530.162 Методом кумулянтного анализа исследованы свойства усеченного произвольным образом полета Леви. Найдена последовательность кумулянтов, характеризующая усеченное произвольным образом распределение Леви, и определена их зависимость от формы усечения. Исследовано влияние формы усечения на свойства гауссова и Леви режимов процесса. Методом кумулянтного аналізу досліджено властивості довільним чином зрізаного польоту Леві. Знайдено послідовність кумулянтів, котра характеризує довільним чином зрізаний розподіл Леві, та визначено їх залежність від форми зрізання. Досліджено вплив форми зрізання на властивості гаусівського та Леві режимів процесу Properties of arbitrary truncated Levy flight are investigated by the method of cumulant approach. The set of cumulants that characterizes an arbitrary truncated Levy distribution is found, their truncation shape dependence determined. The influence of truncation shape on the properties of Gaussian and Levy regimes of the process is investigated. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Статистическая радиофизика Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви Кумулянтний опис довільним чином зрізаного польоту ЛевіКумулянтний опис довільним чином зрізаного польоту Леві Сumulant Description of Arbitrarily Truncated Levy Flight Article published earlier
spellingShingle	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви Виноградов, Д.В. Статистическая радиофизика
title	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви
title_alt	Кумулянтний опис довільним чином зрізаного польоту ЛевіКумулянтний опис довільним чином зрізаного польоту Леві Сumulant Description of Arbitrarily Truncated Levy Flight
title_full	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви
title_fullStr	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви
title_full_unstemmed	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви
title_short	Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви
title_sort	кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета леви
topic	Статистическая радиофизика
topic_facet	Статистическая радиофизика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60108
work_keys_str_mv	AT vinogradovdv kumulântnoeopisanieusečennogoproizvolʹnymobrazompoletalevi AT vinogradovdv kumulântniiopisdovílʹnimčinomzrízanogopolʹotulevíkumulântniiopisdovílʹnimčinomzrízanogopolʹotuleví AT vinogradovdv sumulantdescriptionofarbitrarilytruncatedlevyflight

Кумулянтное описание усеченного произвольным образом полета Леви

Institution

Similar Items